CHƯƠNG DẠNG CƠ BẢN THỨ HAI a b c d Cho 𝜎 mặt xoắn ốc 𝜎(𝑢, 𝑣) = (𝑢 cos 𝑣 , 𝑢 sin 𝑣 , 𝑣) Xác định 𝑘𝑔 𝑘𝑛 đường xoắn ốc 𝛾(𝑡) = (𝑎 cos 𝑡 , 𝑎 sin 𝑡 , 𝑡) 𝜎 Ở 𝑎 ∈ ℝ số (trong trường hợp suy biến 𝑎 = 0, đường xoắn ốc đường thẳng) Xác định 𝑊(𝛾 ′ (𝑡)), với 𝑊 ánh xạ Weingarten 𝜎 𝑝 = (𝑎, 𝑡) Trả lời câu hỏi tương tự cho đường cong 𝛽(𝑡) = (𝑡 cos 𝑏 , 𝑡 sin 𝑏 , 𝑏) 𝜎, với 𝑏 ∈ ℝ số Trong đường cong trên, đường cong, đường cong đường trắc địa mặt xoắn ốc? Giải 𝜎 ′ 𝑢 = (cos 𝑣 , sin 𝑣 , 0) 𝜎 ′ 𝑣 = (−𝑢 sin 𝑣 , 𝑢 cos 𝑣 , 1) 𝛾 ′ (𝑡) = (−𝑎 sin 𝑡 , 𝑎 cos 𝑡 , 1) 𝛾 ′′ (𝑡) = (−𝑎 cos 𝑡 , −𝑎 sin 𝑡 , 0) 𝜎′𝑢 × 𝜎′𝑣 𝐍= ′ ‖𝜎 𝑢 × 𝜎 ′ 𝑣 ‖ 𝜎 ′ 𝑢 × 𝜎 ′ 𝑣 = (| sin 𝑣 𝑢 cos 𝑣 cos 𝑣 0 cos 𝑣 |,| |,| 1 −𝑢 sin 𝑣 −𝑢 sin 𝑣 sin 𝑣 |) 𝑢 cos 𝑣 = (sin 𝑣 , − cos 𝑣 , 𝑢 cos 𝑣 + 𝑢 sin2 𝑣) = (sin 𝑣 , − cos 𝑣 , 𝑢) ‖𝜎 ′ 𝑢 × 𝜎 ′ 𝑣 ‖ = √sin2 𝑣 + cos 𝑣 + 𝑢2 = √1 + 𝑢2 𝒎(𝑡) = 𝑁(𝜇(𝑡)) = (sin 𝑣 , − cos 𝑣 , 𝑢) √1 + 𝑢2 −𝑎 sin 𝑡 det[𝛾 ′ (𝑡)𝛾 ′′ (𝑡)𝒎(𝑡)] | 𝑘𝑔 (𝑡) = = 𝑎 cos 𝑡 ‖𝛾 ′ (𝑡)‖3 | −𝑎 cos 𝑡 −𝑎 sin 𝑡 sin 𝑣 √1 + 𝑢2 | − cos 𝑣 √1 + 𝑢2 | 𝑢 √1 + 𝑢2 1|Page cos 𝑣 −𝑎 sin 𝑡 𝑎 cos 𝑡 −𝑎 sin 𝑡 |− | 1 √1 + 𝑢2 √1 + 𝑢2 𝑢 −𝑎 sin 𝑡 −𝑎 cos 𝑡 + | | √1 + 𝑢2 𝑎 cos 𝑡 −𝑎 sin 𝑡 = = sin 𝑣 − sin 𝑣 𝑢2 | 𝑎 sin 𝑡 + cos 𝑣 𝑢2 𝑢 𝑎 cos 𝑡 + 𝑢2 −𝑎 cos 𝑡 | + 𝑎2 sin2 𝑡 + 𝑎2 cos 𝑡 √1 + √1 + √1 + sin 𝑣 𝑎 sin 𝑡 cos 𝑣 𝑎 cos 𝑡 𝑢 =− + + + 𝑎2 2 √1 + 𝑢 √1 + 𝑢 √1 + 𝑢 3 ‖𝛾 ′ (𝑡)‖3 = (√𝑎2 sin2 𝑡 + 𝑎2 cos 𝑡 + 1) = (√𝑎2 + 1) = (𝑎2 +1)2 Xét mặt xoắn ốc 𝜎(𝑢; 𝑣) = (𝑢 cos 𝑣 ; 𝑢 sin 𝑣 ; 𝑎𝑣) 𝜎𝑢′ = (cos 𝑣 ; sin 𝑣 ; 0) 𝜎𝑣′ = (−𝑢 sin 𝑣 ; 𝑢 cos 𝑣 ; 𝑎) ′′ 𝜎𝑢𝑢 = (0; 0; 0) ′′ 𝜎𝑣𝑣 = (−𝑢 cos 𝑣 ; −𝑢 sin 𝑣 ; 0) ′′ 𝜎𝑢𝑣 = (− sin 𝑣 ; cos 𝑣 ; 0) 𝜎𝑢′ × 𝜎𝑣′ = (𝑎 sin 𝑣 ; −𝑎 cos 𝑣 ; 𝑢) ‖𝜎𝑢′ × 𝜎𝑣′ ‖ = √𝑎2 + 𝑢2 𝜎𝑢′ × 𝜎𝑣′ 𝑎 sin 𝑣 𝑎 cos 𝑣 𝑢 𝑁= ′ = ; − ; ( ) ‖𝜎𝑢 × 𝜎𝑣′ ‖ √𝑎2 + 𝑢2 √𝑎2 + 𝑢2 √𝑎2 + 𝑢2 ′′ 𝐿 = 𝑁 𝜎𝑢𝑢 = (0; 0; 0) 𝑀= ′′ 𝑁 𝜎𝑢𝑣 = (− ′′ 𝑁 = 𝑁 𝜎𝑣𝑣 = (− 𝑎 sin2 𝑣 √𝑎2 + 𝑢2 ;− 𝑎 cos 𝑣 √𝑎2 + 𝑢2 ; 0) 𝑎𝑢 sin 𝑣 cos 𝑣 𝑎𝑢 sin 𝑣 cos 𝑣 ; ; 0) √𝑎2 + 𝑢2 √𝑎2 + 𝑢2 𝜎(𝑢; 𝑣) = (𝑓(𝑢) cos 𝑣 ; 𝑓(𝑢) sin 𝑣 ; 𝑔(𝑢)) 𝜎𝑢′ = (𝑓 ′ (𝑢) cos 𝑣 ; 𝑓 ′ (𝑢) sin 𝑣 ; 𝑔′ (𝑢)) 𝜎𝑣′ = (−𝑓(𝑢) sin 𝑣 ; 𝑓(𝑢) cos 𝑣 ; 0) 2|Page 𝜎𝑢′ × 𝜎𝑣′ = (−𝑓(𝑢)𝑔′ (𝑢) cos 𝑣 ; −𝑓(𝑢)𝑔′ (𝑢) sin 𝑣 ; 𝑓(𝑢)𝑓 ′ (𝑢)) = 𝑓(𝑢)(−𝑔′ (𝑢) cos 𝑣 ; −𝑔′ (𝑢) sin 𝑣 ; 𝑓 ′ (𝑢)) ‖𝜎𝑢′ × 𝜎𝑣′ ‖ = √[𝑓(𝑢)𝑔′ (𝑢)]2 + [𝑓(𝑢)𝑓 ′ (𝑢)]2 = 𝑓(𝑢)√[𝑔′ (𝑢)]2 + [𝑓 ′ (𝑢)]2 𝜎𝑢′ × 𝜎𝑣′ 𝑁= ′ ‖𝜎𝑢 × 𝜎𝑣′ ‖ 𝑔′ (𝑢) cos 𝑣 𝑔′ (𝑢) sin 𝑣 𝑓 ′ (𝑢) = (− ;− ; ) √[𝑔′ (𝑢)]2 + [𝑓 ′ (𝑢)]2 √[𝑔′ (𝑢)]2 + [𝑓 ′ (𝑢)]2 √[𝑔′ (𝑢)]2 + [𝑓 ′ (𝑢)]2 ′′ 𝜎𝑢𝑢 = (𝑓 ′′ (𝑢) cos 𝑣 ; 𝑓 ′′ (𝑢) sin 𝑣 ; 𝑔′′ (𝑢)) ′′ 𝜎𝑣𝑣 = (−𝑓(𝑢) cos 𝑣 ; −𝑓(𝑢) sin 𝑣 ; 0) ′′ 𝜎𝑢𝑣 = (−𝑓 ′ (𝑢) sin 𝑣 ; 𝑓 ′ (𝑢) cos 𝑣 ; 0) 𝐿= ′′ 𝑁 𝜎𝑢𝑢 = −𝑓 ′′ (𝑢)𝑔′ (𝑢) cos 𝑣 − 𝑓 ′′ (𝑢)𝑔′ (𝑢) sin2 𝑣 + 𝑓 ′ (𝑢)𝑔′′ (𝑢) √[𝑔′ (𝑢)]2 + [𝑓 ′ (𝑢)]2 = 𝑀= ′′ 𝑁 𝜎𝑢𝑣 𝑁= ′′ 𝑁 𝜎𝑣𝑣 = = 𝑓 ′ 𝑔′′ − 𝑓 ′′ 𝑔′ √(𝑔′ )2 + (𝑓 ′ )2 𝑓 ′′ (𝑢)𝑔′ (𝑢) sin 𝑣 cos 𝑣 − 𝑓 ′′ (𝑢)𝑔′ (𝑢) sin 𝑣 cos 𝑣 + √[𝑔′ (𝑢)]2 + [𝑓 ′ (𝑢)]2 𝑓(𝑢)𝑔′ (𝑢) cos 𝑣 + 𝑓(𝑢)𝑔′ (𝑢) sin2 𝑣 + √[𝑔′ (𝑢)]2 + [𝑓 ′ (𝑢)]2 = =0 𝑓𝑔′ √(𝑔′ )2 + (𝑓 ′ )2 𝜎(𝑢; 𝑣) = (𝑢 − 𝑣; 𝑢 + 𝑣; 𝑢2 + 𝑣 ) 𝜎𝑢′ = (1; 1; 2𝑢) 𝜎𝑣′ = (−1; 1; 2𝑣) 𝐸 = ‖𝜎𝑢′ ‖ = + 4𝑢2 𝐹 = 𝜎𝑢′ 𝜎𝑣′ = 4𝑢𝑣 𝐺 = ‖𝜎𝑣′ ‖ = + 4𝑣 𝜎𝑢′ × 𝜎𝑣′ = (2𝑢 − 2𝑣; −2𝑢 − 2𝑣; 2) ‖𝜎𝑢′ × 𝜎𝑣′ ‖ = √8𝑢2 + 8𝑣 + 3|Page 𝜎𝑢′ × 𝜎𝑣′ 𝑢−𝑣 −𝑢 − 𝑣 𝑁= ′ = ; ; ( ) ‖𝜎𝑢 × 𝜎𝑣′ ‖ √2𝑢2 + 2𝑣 + √2𝑢2 + 2𝑣 + √2𝑢2 + 2𝑣 + 1 b) với = ( ; ) → 𝑁(𝑝) = (0; − 2 ; 𝑒1 = (1; 0; 0) ; ⃗⃗⃗ 𝑒2 + ⃗⃗⃗ 𝑒3 = (0; 1; 1) ) ; ⃗⃗⃗ √2 √2 Ta có : 𝑁(𝑝) ⃗⃗⃗ 𝑒1 = 𝑁(𝑝) [𝑒⃗⃗⃗2 + ⃗⃗⃗ 𝑒3 ] = suy ⃗⃗⃗ 𝑒1 ⃗⃗⃗ 𝑒2 + ⃗⃗⃗ 𝑒3 vuông góc với 𝑁(𝑝) suy 𝑒1 ∈ 𝑇𝑝 𝜎 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 𝑒2 + ⃗⃗⃗ 𝑒3 ∈ 𝑇𝑝 𝜎 ′′ ′′ ′′ c) 𝜎𝑢𝑢 = (0; 0; 2) 𝜎𝑣𝑣 = (0; 0; 2) 𝜎𝑢𝑣 = (0; 0; 0) ′′ 𝐿 = 𝑁 𝜎𝑢𝑢 = √2𝑢2 + 2𝑣 + → 𝐿(𝑝) = √2 ′′ 𝑀 = 𝑁 𝜎𝑢𝑣 = → 𝑀(𝑝) = ′′ 𝑁 = 𝑁 𝜎𝑣𝑣 = √2𝑢2 + 2𝑣 + → 𝑁(𝑝) = √2 Câu 7: 𝜎(𝑢; 𝑣) = (𝑢; 𝑣; 𝑢𝑣) 𝜎𝑢′ = (1; 0; 𝑣) 𝜎𝑣′ = (0; 1; 𝑢) ′′ 𝜎𝑢𝑢 = (0; 0; 0) ′′ 𝜎𝑣𝑣 = (0; 0; 0) ′′ 𝜎𝑢𝑣 = (0; 0; 1) 𝐸 = ‖𝜎𝑢′ ‖ = + 𝑣 𝐹 = 𝜎𝑢′ 𝜎𝑣′ = 𝑢𝑣 𝐺 = ‖𝜎𝑣′ ‖ = + 𝑢2 𝜎𝑢′ × 𝜎𝑣′ = (−𝑣; −𝑢; 1) ‖𝜎𝑢′ × 𝜎𝑣′ ‖ = √𝑢2 + 𝑣 + 𝜎𝑢′ × 𝜎𝑣′ −𝑣 −𝑢 𝑁= ′ = ; ; ( ) ‖𝜎𝑢 × 𝜎𝑣′ ‖ √𝑢2 + 𝑣 + √𝑢2 + 𝑣 + √𝑢2 + 𝑣 + ′′ 𝐿 = 𝑁 𝜎𝑢𝑢 = → 𝐿(𝑝) = 4|Page ′′ 𝑀 = 𝑁 𝜎𝑢𝑣 = √𝑢2 + 𝑣 + → 𝑀(𝑝) = √2 ′′ 𝑁 = 𝑁 𝜎𝑣𝑣 = → 𝑁(𝑝) = Ta có 𝐹(𝑢0 ; 𝑣0 ) = 𝑀(𝑢0 ; 𝑣0 ) = Tại điểm cho trước (𝑢0 ; 𝑣0 ) độ cong 𝑘1 , 𝑘2 nghiệm phương trình, ứng với 𝜎𝑢′ 𝜎𝑣′ 𝑎 𝐸 −1 𝐿 𝑀 𝑎 ( ) ( )( ) = 𝑘( ) 𝑏 𝐺 𝑀 𝑁 𝑏 𝐺 𝐿 𝑎 𝑘 𝑎 ( )( )( ) = ( ) 𝑘2 𝑏 𝐸𝐺 𝐸 𝑁 𝑏 (𝐸 𝐿 (𝐸 0 𝐿 )( 𝐺 𝑘 𝑎 𝑎 )( ) = ( ) 𝑘2 𝑏 𝑁 𝑏 𝑘 𝑎 𝑎 )( ) = ( ) 𝑁 𝑏 𝑘2 𝑏 𝐺 𝐿 𝐿 𝑘 = 𝑎 𝑘 𝑎 𝐺 (𝐸 ) = ( ) ↔ { 𝑁 𝑁 𝑘2 𝑎 𝑎 𝑘2 = 𝐺 𝐺 10 Cho 𝑞(𝑥; 𝑦) = 2𝑥 + 4𝑥𝑦 + 5𝑦 Ma trận đối xứng có dạng toàn phương 𝐴 = [ 2 ] Tìm giá trị riêng 𝜆: 2−𝜆 det ( )=0 5−𝜆 ⇔ (2 − 𝜆)(5 − 𝜆) − = ⇔ 𝜆2 − 7𝜆 + = 0l 𝜆=1 ⇔[ 𝜆=6 Vec tơ tương ứng với 𝜆 = 5|Page 𝑥 2 𝑥 ] [𝑦] = [𝑦] 2𝑥 + 2𝑦 = 𝑥 ⇒{ ⇒ 𝑥 + 2𝑦 = 2𝑥 + 5𝑦 = 𝑦 𝑥 Chọn 𝑥 = 2; 𝑦 = −1 suy [𝑦] = [ ] −1 Vec tơ tương ứng với 𝜆 = 𝑞(𝑥; 𝑦) = 𝑎𝑥 + 3𝑥𝑦 + 𝑏𝑦 đưa dạng 4(𝑥 ′ ) − (𝑦 ′ )2 phép quay Xác định a, b [ 11 𝑎 Ma trận đối xứng qua 𝑞(𝑥; 𝑦)là [ 𝑎−𝜆 det ( 3 𝑏 ] )=0 𝑏−𝜆 =0 ⇔ 𝜆2 − (𝑎 + 𝑏)𝜆 + 𝑎𝑏 − = Từ (1) suy 𝜆1 = 𝜆2 = −1 Với 𝜆1 = thay vào (2): 16𝑎 + 16𝑏 − 4𝑎𝑏 = 55 Với 𝜆2 = −1 thay vào (2): 4𝑎 + 4𝑏 + 4𝑎𝑏 = 16𝑎 + 16𝑏 − 4𝑎𝑏 = 55 (3) Nên ta có hệ { 4𝑎 + 4𝑏 + 4𝑎𝑏 = (4) (3) + (4) ⇒ 20𝑎 + 20𝑏 = 60 ⇒ 𝑎 = − 𝑏 Thay 𝑎 = − 𝑏 vào(4) ta 4(3 − 𝑏) + 4𝑏 + 4(3 − 𝑏)𝑏 = ⇔ 4𝑏 − 12𝑏 + = ⇔ (𝑎 − 𝜆)(𝑏 − 𝜆 ) − −√2 − ⇒𝑎= − 2√2 √2 − 𝑏= ⇒ + 2√2 𝑏= ⇔ [ 13 ℎ(𝑢; 𝑣) = 𝑢3 − 3𝑢𝑣 Ta có 𝜎(𝑢; 𝑣) = (𝑢; 𝑣; 𝑢3 − 3𝑢𝑣 ) 𝜎𝑢′ = (1; 0; 3𝑢2 − 3𝑣 ) 𝜎𝑣′ = (0; 1; −6𝑢𝑣) 𝐸(𝑝) = ‖𝜎𝑢′ ‖2 = 6|Page 𝐹(𝑝) = 𝜎𝑢′ 𝜎𝑣′ = 𝐺(𝑝) = ‖𝜎𝑣′ ‖ = ′′ 𝜎𝑢𝑢 = (0; 0; 6𝑢) ′′ 𝜎𝑢𝑣 = (0; 0; −6𝑣) ′′ 𝜎𝑣𝑣 = (0; 0; −6𝑢) 14 𝜎(𝑢, 𝑣) = (𝑢 + 𝑣, 𝑣, 𝑢2 + 𝑢𝑣 + 2𝑣 ) ′′ 𝜎𝑢′ = (1,0, 𝑢 + 𝑣), 𝜎𝑢𝑢 = (0,0,1) ′′ ′′ 𝜎𝑣′ = (1,1,5𝑣), 𝜎𝑣𝑣 = (0,0,5), 𝜎𝑢𝑣 = (0,0,1) Khi đó: 𝐸 = ‖𝜎𝑢′ ‖2 = (√1 + (𝑢 + 𝑣)2 ) = 𝐺 = ‖𝜎𝑣′ ‖2 = (√12 + 12 + 25𝑣 ) = 𝐹 = 𝜎𝑢′ 𝜎𝑣′ = + (𝑢 + 𝑣)5𝑣 = Ta có: 𝜎𝑢′ × 𝜎𝑣′ = (| 𝑢+𝑣 𝑢+𝑣 |,| 5𝑣 5𝑣 1 |,| |) = (−𝑢 − 𝑣, 𝑢 − 4𝑣, 1) = (0,0,1) 1 ‖𝜎𝑢′ × 𝜎𝑣′ ‖ = √((−𝑢 − 𝑣)2 + (𝑢 − 4𝑣)2 + 1) = 𝜎𝑢′ × 𝜎𝑣′ ⟹𝑵= ′ = (0,0,1) ‖𝜎𝑢 × 𝜎𝑣′ ‖ Suy ′′ 𝐿 = 𝑵 𝜎𝑢𝑢 =1 ′′ 𝑀 = 𝑵 𝜎𝑢𝑣 =1 ′′ 𝑁 = 𝑵 𝜎𝑣𝑣 =5 Gọi 𝑘1 , 𝑘2 độ cong 𝐸 det (( 𝐹 𝐹 −1 𝐿 ) ( 𝐺 𝑀 ⟺ det (( 𝑀 )−𝑘( 𝑁 −1 1 𝑘 ) ( )−( √2 )) = )) = 𝑘 7|Page ⟺ det (( + √2 −1 − √2) −1 − √2 + √2 −1 ( 1 𝑘 )−( 1 𝑘 ⟺ det (( + √2 −1 − √2) ( )−( −1 − √2 + √2 𝑘 ⟺ det ((2 + √2 − − √2 −3 − 4√2) − ( 0 −6 − 6√2 ⟺ det ((1 −3 − 4√2 − 𝑘 ) ( −6 − 6√2 )) = 𝑘 )) = 𝑘 )) = 𝑘 )) = 𝑘 ⟺ det (1 − 𝑘 −3 − 4√2 1−𝑘 −3 − 4√2 = )=0⟺| | −6 − 6√2 − 𝑘 −6 − 6√2 − 𝑘 1−𝑘 =0 𝑘=1 ⟺ (1 − 𝑘)( −6 − 6√2 − 𝑘) = ⟺ [ ⟺[ −6 − 6√2 − 𝑘 = 𝑘 = −6 − 6√2 Các véctơ 𝑎𝜎𝑢′ + 𝑏𝜎𝑣′ với 𝑎, 𝑏 nghiệm 𝐸 ( 𝐹 𝐹 −1 𝐿 ) ( 𝐺 𝑀 𝑎 𝑎 1 −1 1 𝑎 𝑀 𝑎 )( ) = 𝑘( ) ⟺ ( ) ( )( ) = 𝑘( ) 𝑏 𝑏 𝑁 𝑏 𝑏 √2 𝑎 + (−3 − 4√2)𝑏 𝑎 + (−3 − 4√2)𝑏 = 𝑘𝑎 𝑎 ⟺( ) = 𝑘( ) ⟺ [ 𝑏 (−6 − 6√2)𝑏 (−6 − 6√2)𝑏 = 𝑘𝑏 15 𝜎(𝑢, 𝑣) = (𝑢, 𝑣, 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 + 𝑐𝑢2 + 𝑑𝑢𝑣 + 𝑒𝑣 ) 𝜎𝑢′ = (1,0, 𝑎 + 2𝑐𝑢 + 𝑑𝑣) ′′ 𝜎𝑢𝑢 = (0,0,2𝑐) 𝜎𝑣′ = (0,1, 𝑏 + 𝑑𝑢 + 2𝑒𝑣) ′′ 𝜎𝑣𝑣 = (0,0,2𝑒) ′′ 𝜎𝑢𝑣 = (0,0, 𝑑) 𝐸 = ‖𝜎𝑢′ ‖2 = + 𝑎2 = ; 𝐹 = 𝜎𝑢′ 𝜎𝑣′ = 𝑎𝑏 = (𝑢, 𝑣) = (0,0) 8|Page 𝐺 = ‖𝜎𝑣′ ‖2 = 𝜎𝑢′ × 𝜎𝑣′ −𝑎 −𝑏 𝑵= ′ = , , ( ) ‖𝜎𝑢 × 𝜎𝑣′ ‖ √𝑎2 + 𝑏 + √𝑎2 + 𝑏 + √𝑎2 + 𝑏 + ′′ 𝐿 = 𝑵 𝜎𝑢𝑢 = ′′ 𝑀 = 𝑵 𝜎𝑢𝑣 = ′′ 𝑁 = 𝑵 𝜎𝑣𝑣 = 2𝑐 √𝑎2 + 𝑏 + 𝑑 √𝑎2 + 𝑏 + 2𝑒 √𝑎2 + 𝑏 + =3 =− =3 Suy ra, ta có hệ + 𝑎2 = 𝑎=± 𝑎𝑏 = 𝑏 = ±1 + 𝑏2 = 2𝑐 ⟺ 𝑐= 16 = 2 √𝑎 + 𝑏 + 𝑑 = − 𝑑 =− 2 √𝑎 + 𝑏 + { 𝑒=4 2𝑒 =3 { √𝑎2 + 𝑏 + 1 9 Vậyℎ(𝑢, 𝑣) = ± 𝑢 ± 𝑣 + 𝑢2 − 𝑢𝑣 + 𝑣 2 16 4 Các độ cong nghiệm phương trình: 𝐸 det (( 𝐹 𝐹 −1 𝐿 ) ( 𝐺 𝑀 𝑀 )−𝑘( 𝑁 0 )) = −1 − 2) − ( 𝑘 ) = ⟹ det (4 2) ( 𝑘 − 2 ( ) −2 𝑘 1−𝑘 −2 ⟺ |( |=0 )−( )| = ⟺ | −1 𝑘 −1 2−𝑘 9|Page 𝑘 =0 ⟺ (1 − 𝑘)(2 − 𝑘) − = ⟺ 𝑘 − 3𝑘 = ⟺ { 𝑘2 = 𝑎 Véctơ tương ứng 𝑎𝜎𝑢′ + 𝑏𝜎𝑣′ với ( ) 𝑏 TH1: −1 − 2) (𝑎) = (𝑎) ( 2) ( 𝑏 𝑏 − 2 𝑎 −2 𝑎 ⟺( )( ) = 0( ) 𝑏 𝑏 −1 𝑎 − 2𝑏 ⟺( ) = ( ) ⟹ 𝑎 = 2𝑏 ⟹ 𝑏 = 𝑎, (𝑎 ≠ 0) −𝑎 + 2𝑏 Suy 𝑎𝜎𝑢′ + 𝑎𝜎𝑣′ TH2: 𝑎 𝑎 − 2𝑏 3𝑎 −2 𝑎 ( )( ) = 3( ) ⟺ ( ) = ( ) ⟹ 𝑎 = −𝑏 ⟹ 𝑏 = −𝑎 𝑏 𝑏 −1 −𝑎 + 2𝑏 3𝑏 Suy 𝑎𝜎𝑢′ − 𝑎𝜎𝑣′ Dạng điểm 𝑝 = (0,0,0) gọi điểm Parabolic có 𝑘1 = 𝑘2 ≠ 10 | P a g e