CHƯƠNG ĐỘ CONG Xác định độ cong đường cong sau ℝ2 : a 𝛾(𝑡) = (2𝑡, 𝑡 ) b 𝛾(𝑡) = (𝑒 𝑡 cos 𝑡 , 𝑒 𝑡 sin 𝑡) Giải ′ (𝑡) ′′ (𝑡) a Ta có 𝛾 = (2,2𝑡), 𝛾 = (0,2) 𝑘(𝑡) = 𝑑𝑒𝑡[𝛾′ (𝑡)𝛾′′ (𝑡)] ‖𝛾′ (𝑡)‖3 = 𝑑𝑒𝑡| 2𝑡 | (√22 +(2𝑡)2 ) = 8√(1+𝑡 )3 = 2√(1+𝑡 )3 b 𝛾 ′ (𝑡) = (𝑒 𝑡 (cos 𝑡 − sin 𝑡) , 𝑒 𝑡 (cos 𝑡 + sin 𝑡)) 𝛾 ′′ (𝑡) = (2𝑒 𝑡 sin 𝑡, 2𝑒 𝑡 cos 𝑡) ′ 𝑘(𝑡) = 𝑑𝑒𝑡 | 𝑒 𝑡(cos 𝑡−sin 𝑡) 2𝑒 𝑡 sin 𝑡 | 𝑒 𝑡 (cos 𝑡 + sin 𝑡) 2𝑒 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑒𝑡[𝛾 (𝑡)𝛾 (𝑡)] = ‖𝛾 ′ (𝑡)‖3 (√(𝑒 𝑡 (cos 𝑡 − sin 𝑡))2 + (𝑒 𝑡 (cos 𝑡 + sin 𝑡))2 ) = ′′ 2𝑒 2𝑡 cos 𝑡 +2𝑒 2𝑡 sin 𝑡 = = 𝑒 𝑡 2√2 𝑒 𝑡 √2 𝑒 3𝑡 (√2(cos 𝑡 + sin2 𝑡)) Cho 𝛾(𝑡) đường cong tốc độ đơn vị ℝ2 , giả sử có độ cong 𝑘 số khác không Chứng minh đường cong 𝛽 xác định 𝛽(𝑠) = 𝛾(𝑠) + 𝛾̂ ′ (𝑠) 𝑘 Là đường cong hằng, nghĩa là, suy biến thành điểm 𝑝 Đồng thời kết luận vết 𝛾 chứa đường tròn tâm 𝑝 Giải Vì k số khác không 𝛾(𝑠) 𝛾(𝑠) đường cong tốc độ đơn vị nên 𝛾(𝑠) đường tròn bán kính 𝛾(𝑠) = (sin 𝑠 , cos 𝑠) ⟹ 𝑘 = ⟹ 𝛾 ′ (𝑠) = (cos 𝑠 , − sin 𝑠) ⟹ 𝛾̂ ′ (𝑠) = (− sin 𝑠 , −cos 𝑠) ⟹ 𝛽(𝑠) = (sin 𝑠 , cos 𝑠) + (− sin 𝑠 , −cos 𝑠) = (0,0) Vì 𝛾(𝑠) đường tròn bán kính 1⟹vết 𝛾 chứa đường tròn tâm 𝑝 Cho 𝛾(𝑠) đường cong tốc độ đơn vị ℝ2 , giả sử độ cong 𝑘 khác không 𝑠 = Gọi 𝑘 = 𝑘(0) đặt 𝐶 = 𝛾(0) + 𝑦̂ ′ (0) 𝑘 1|Page Chứng minh đường tròn tham số hóa 𝛽(𝑠) = 𝐶 + (− cos(𝑘𝑠) 𝑦̂ ′ (0) + sin(𝑘𝑠) 𝛾 ′ (0)) 𝑘 Thỏa mãn đẳng thức 𝛽(0) = 𝛾(0), 𝛽 ′ (0) = 𝛾 ′ (0), 𝛽 ′′ (0) = 𝛾 ′′ (0) Vết nó, có bán kính |𝑘|, gọi đường tròn mật tiếp Tâm 𝐶 gọi tâm độ cong 𝛾 𝑡 = Hình vẽ mô tả vấn đề vừa nêu Giải Ta có: 1 𝛽(0) = 𝐶 + (− cos(0) 𝑦̂ ′ (0) + sin(0) 𝛾 ′ (0)) = 𝐶 − 𝛾̂ ′ (0) 𝑘 𝑘 Mà 𝐶 = 𝛾(0) + 𝑦̂ ′ (0) 𝑘 ′ (0) ⟹ 𝛽(0) = − 𝛾̂ 𝑘 + 𝛾(0) + 𝛾̂ ′ (0) = 𝛾(0) 𝑘 𝛽(𝑠) = + (𝑘 sin(𝑘𝑠) 𝛾̂ 𝑘 ′ (0) + 𝑘 cos(𝑘𝑠) 𝛾 ′ (0)) Mà 𝐶 ′ = 𝛽 ′ (0) = + 𝑘𝛾 ′ (0) = 𝛾 ′ (0) 𝑘 𝛽′′(𝑠) = (𝑘 cos(𝑘𝑠) 𝛾̂′(0) − 𝑘 sin(𝑘𝑠) 𝛾′(0)) 𝑘 𝛽′′(0) = 𝑘𝑦̂′(0) Vì 𝛾 đường cong tốc độ đơn vị ⟹ 𝑘𝑦̂ ′ (0) = 𝛾′′(0) ⟹ 𝛽(0)=γ′′(0) Cho 𝛾: 𝐼 → ℝ2 đường cong tham số hóa quy, giả sử ‖𝛾(𝑡)‖ đạt giá trị cực đại địa phương 𝑡0 ∈ I chứng minh |𝑘(𝑡0 )| ≥ ‖𝛾(𝑡 )‖ Hướng dẫn: giả sử tốc độ đường cong đơn vị điều kiện 𝛾 suy đạo hàm cấp hai hàm 𝑡 ↦ ‖𝛾(𝑡)‖2 ≤ 𝑡0 Từ kết luận 𝛾(𝑡0 ) ∙ 𝛾 ′′ (𝑡0 ) ≤ −1, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars (xem 0.A) ta điều cần chứng minh Cho (𝑠) = (sinh−1 (𝑠), √1 + 𝑠 ) Xác định 𝛾 ′ (𝑠) rõ đường cong có tốc độ đơn vị Xác định 𝛾′′(𝑠) độ cong (𝑠) Xác định góc tiếp tuyến 𝜃(𝑠), kiểm chứng Định lý 4.3 cho đường cong Công thức sau cho hàm ngược sinh−1 : ℝ → ℝ phép sử dụng 𝑑 sinh−1 𝑦 = 𝑑𝑦 √1 + 𝑦 Giải Ta có: 𝛾 ′ (𝑠) = ( √1+𝑠 ; 𝑠 √1+𝑠 ) 2|Page ‖𝛾 ′ (𝑠)‖ = √ 𝛾′ (𝑠) ⟹ ‖𝛾′ √1+𝑠 =( (𝑠)‖ √1+𝑠 + ; ⟹ 𝜃(𝑠) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 ( 𝑠 √1+𝑠 𝑠 √1+𝑠 𝑠 √1+𝑠 Ta có: 𝛾 ′ (𝑠) = ( √1+𝑠 −𝑠 𝛾′′(𝑠) = ( (1+𝑠 )√1+𝑠 𝜃 ′ (𝑠) = (arcsin ( 𝑘(𝑠) = 𝑠 ‖𝛾′ (𝑠)‖ √1+𝑠 ) ) 𝑠 √1+𝑠 ) (1+𝑠 )√1+𝑠 √1+𝑠 𝑑𝑒𝑡[𝛾′ (𝑠)𝛾′′ (𝑠)] = 𝑑𝑒𝑡 | ; ; = )) = ) √1− 𝑠 1+𝑠 = √1 + 𝑠 = 𝑑𝑒𝑡[𝛾 ′ (𝑠)𝛾′′(𝑠)] −𝑠 (1+𝑠 )√1+𝑠 𝑠 √1+𝑠 (1+𝑠 )√1+𝑠 𝑠2 | = (1−𝑠2)2 + (1+𝑠2)2 ⟹ 𝑘(𝑠) ≠ 𝜃 ′ (𝑠) ⟹ đường cong không thỏa định lý 4.3 (vì 𝜃(𝑠) không hàm trơn) Cho 𝛼: 𝐼 → ℝ2 𝛽: 𝐼 → ℝ2 hai đường cong tốc độ đơn vị xác định khoảng I, có hàm góc tiếp xúc 𝜃: 𝐼 → ℝ 𝜑: 𝐼 → ℝ trơn Giả sử đường cong có độ cong 𝜅(𝑠) với 𝑠 ∈ 𝐼 tồn 𝑠0 ∈ 𝐼 cho 𝛼(𝑠0 ) = 𝛽(𝑠0 ) 𝛼 ′ (𝑠0 ) = 𝛽 ′ (𝑠0 ) chứng minh 𝛼(𝑠) = 𝛽(𝑠), ∀𝑠 ∈ 𝐼 Giải ′ Độ cong 𝛼: 𝑘(𝑠) = 𝑑𝑒𝑡[𝛼 (𝑠)𝛼′′(𝑠)] Độ cong 𝛽: 𝑘(𝑠) = 𝑑𝑒𝑡[𝛽 ′ (𝑠)𝛽′′(𝑠)] 𝑑𝑒𝑡[𝛼 ′ (𝑠)𝛼′′(𝑠)] = 𝑑𝑒𝑡[𝛽 ′ (𝑠)𝛽′′(𝑠)] Mà ta có 𝛼 ′ (𝑠0 ) = 𝛽 ′ (𝑠0 ) ⟹ 𝛼 ′′ (𝑠0 ) = 𝛽 ′′ (𝑠0 ) ⇒ mặt khác ta có 𝜃, 𝜑 trơn Mặt khác ta lại có: 𝑘(𝑠) độ cong 𝛼, 𝛽 ⇒ 𝜃 ′ (𝑠) = 𝜑′(𝑠) mà 𝑠 ∈ 𝐼 có 𝛼 ′ (𝑠0 ) = 𝛽 ′ (𝑠0 ) ⇒ 𝛼(𝑠) = 𝛽(𝑠) ∀𝑠 ∈ 𝐼 Xác định độ dài cung 𝑠(𝑡), độ cong 𝜅(𝑡) độ xoắn 𝜏(𝑡) đường cong 𝛾(𝑡) = (3𝑡, 3𝑡 , 2𝑡 ) Giải Ta có : 𝛾 ′ (𝑡) = (3,6𝑡, 6𝑡 ), 𝛾′′(𝑡) = (0,6,2𝑡) ‖𝛾 ′ (𝑡)‖ = √9 + 36𝑡 + 36𝑡 = √(3 + 6𝑡 )2 = + 6𝑡 độ dài cung : 𝑡 𝑡 6𝑡 3 𝑠(𝑡) = ∫𝑡 2‖𝛾 ′ (𝑡)‖ 𝑑𝑡 = ∫𝑡 2(3 + 6𝑡 ) 𝑑𝑡 = (3𝑡 + )| 0𝑡 = 3𝑡 + 2𝑡 Độ cong: 3|Page 𝑘(𝑡) = ‖𝛾′ (𝑡)×𝛾′′ (𝑡)‖ ‖𝛾′ (𝑡)‖3 = √(36𝑡 )2 +(36𝑡)2 +182 (√9+36𝑡 +36𝑡 ) = √(18+36𝑡 )2 (√(3+6𝑡 )2 ) 18+36𝑡 = (3+6𝑡 2)3 Độ xoắn 𝜏(𝑡) = 𝑑𝑒𝑡[𝛾′ (𝑡)𝛾′′ (𝑡)𝛾′′′ (𝑡)] ‖𝛾′ (𝑡)×𝛾′′ (𝑡)‖ 216 = (18+36𝑡 2)2 Đường cong 𝛾(𝑡) = (𝑡, cosh 𝑡, sinh 𝑡) gọi đường xoắn ốc hyperbolic Xác định độ cong độ xoắn Giải ′ (𝑡) ′′ Ta có : 𝛾 = (1, sinh 𝑡 , cosh 𝑡), 𝛾 (𝑡) = (0, cosh 𝑡 , sinh 𝑡) 𝛾 ′′′ (𝑡) = (0, sinh 𝑡 , cosh 𝑡) 𝛾 ′ (𝑡) × 𝛾 ′′ (𝑡) = (sinh2 𝑡 − cosh2 𝑡 , − sinh 𝑡 , cosh 𝑡) ⟹ 𝛾 ′ (𝑡) × 𝛾 ′′ (𝑡) = (−1, − sinh 𝑡 , cosh 𝑡) độ cong : 𝑘(𝑡) = ‖𝛾′ (𝑡)×𝛾′′ (𝑡)‖ ‖𝛾′ (𝑡)‖3 = √1+sinh2 𝑡+cosh2 𝑡 (√1+sinh2 𝑡+cosh2 𝑡) = 1+sinh2 𝑡+cosh2 𝑡 độ xoắn : 0 𝑑𝑒𝑡 | sinh 𝑡 cosh 𝑡 sinh 𝑡 | 𝑑𝑒𝑡[𝛾 ′ (𝑡)𝛾 ′′ (𝑡)𝛾 ′′′ (𝑡)] cosh 𝑡 sinh 𝑡 cosh 𝑡 𝜏(𝑡) = = ′ ′′ ‖𝛾 (𝑡) × 𝛾 (𝑡)‖ + sinh2 𝑡 + cosh2 𝑡 cosh2 𝑡 − sinh2 𝑡 = = + sinh2 𝑡 + cosh2 𝑡 cosh2 𝑡 𝑠 𝑠 𝑠 Cho 𝛾(𝑠) = (3 sin , sin , cos ) Tìm t, n b dường cong Đồng thời 5 tìm độ cong độ xoắn, chứng minh đường cong chứa mặt phẳng cố định Tìm vector pháp tuyến mặt phẳng Giải 𝑠 4 𝑠 𝑠 𝑠 Ta có: 𝐭(𝑠) = 𝛾 ′ (𝑠) = ( cos , cos , − sin ) 5 5 𝛾 ′′ (𝑠) = (− ‖𝛾 ′′ 𝑠 25 sin , − 𝑠 sin , − cos ), 25 5 𝑠 𝑠 𝑠 (𝑠)‖ = √(− sin ) , (− sin ) , (− cos ) = 25 25 5 5 𝛾 ′′′ (𝑠) = ( 225 𝑠 225 cos , − 𝑠 cos , 𝑠 sin ) 25 𝑠 𝑠 𝑠 − sin − sin − cos 𝛾 ′′ (𝑠) 25 25 5 𝐧(𝑠) = ′′ =( , , ) ‖𝛾 (𝑠)‖ 1∕5 1∕5 1∕5 𝑠 𝑠 𝑠 = ( sin , sin , − cos ) 5 5 4|Page 𝐛 = 𝐭(𝑠) × 𝐧(𝑠) = (− , , 0) 5 Độ cong: 𝑘(𝑠) = ‖𝛾 ′ √ ( ) +( ) (𝑠) × 𝛾 (𝑠)‖ 25 25 = = ‖𝛾 ′ (𝑠)‖3 √13 ′′ Độ xoắn: 𝑑𝑒𝑡[𝛾 ′ (𝑡)𝛾 ′′ (𝑡)𝛾 ′′′ (𝑡)] 𝜏(𝑠) = = =0 ‖𝛾 ′ (𝑡) × 𝛾 ′′ (𝑡)‖2 ∕ 25 + Chứng minh : hệ 4.6, 𝑘 ≠ 0, 𝑡 = ⟹ mặt cong chứa mặt phẳng cố định (đpcm) 10 Cho 𝛾: I → ℝ3 đường cong tham số hóa quy nằm mặt tham số hóa quy 𝜎: 𝑈 → ℝ3 Giả sử ảnh 𝛾 đường thẳng (hoặc đoạn đường thẳng) Chứng minh 𝛾 đường trắc địa Giải Ta có 𝛾 đường thẳng ⟹ 𝑑𝑒𝑡[𝛾 ′ 𝛾′′] = ⟹ 𝑘 = Ta có 𝑘𝑔 = 𝑑𝑒𝑡[𝛾′ 𝛾′′ 𝑚] ‖𝛾′ ‖3 = (𝛾′ ×𝛾′′ )∙𝑚 ‖𝛾′ ‖3 = (0;0;0)∙𝑚 ‖𝛾′ ‖3 =0 ⟹ 𝛾 đường trắc đại 𝜎 Cho 𝜎 hình trụ với tham số hóa 𝜎(𝑢, 𝑣) = (cos 𝑣 , sin 𝑣, 𝑢), (𝑢, 𝑣) ∈ ℝ2 a Cho 𝛾(𝑡) = 𝜎(𝑎 cos 𝑡, 𝑡) với 𝑡 ∈ ℝ, 𝑎 ∈ ℝ số xác định 𝑘𝑛 𝑘𝑔 𝛾 Với giá trị 𝑎 đường trắc địa? b Thay vào đó, xét 𝛾(𝑡) = 𝜎(𝑎𝑡 + 𝑏), 𝜔𝑡 với 𝑡 ∈ ℝ, 𝑎, 𝑏 𝜔 số mô tả đường cong đường trắc địa 𝜎 c Xác định hai đường trắc địa 𝜎 có điểm kết thúc (1,0,0) (1,0,1), chúng có vết khác hai điểm Có đường trắc địa không hai điểm cho? Giải Ta có 𝜎 ′ 𝑢 = (0,0,1), 𝜎 ′ 𝑣 = (− sin 𝑣, cos 𝑣, 0) 11 𝜎 ′ 𝑢 × 𝜎 ′ 𝑣 = (cos 𝑣, − sin 𝑣, 0),‖𝜎 ′ 𝑢 × 𝜎 ′ 𝑣 ‖ = √cos2 𝑣 + sin2 𝑣) = 𝜎′𝑢 × 𝜎′𝑣 𝑁= ′ = (cos 𝑣, − sin 𝑣, 0) ‖𝜎 𝑢 × 𝜎 ′ 𝑣 ‖ a 𝑚(𝑡) = 𝑁(𝜇(𝑡)) = (cos 𝑡, − sin 𝑡, 0) 𝛾(𝑡) = (cos 𝑡 , sin 𝑡 , acos 𝑡), 𝛾 ′ = (− sin 𝑡 , cos 𝑡 , − asin 𝑡) 𝛾 ′′ (𝑡) = (− cos 𝑡 , − sin 𝑡 , − acos 𝑡) 5|Page − sin 𝑡 − cos 𝑡 cos 𝑡 | cos 𝑡 − sin 𝑡 − sin 𝑡| ′ (𝑡)𝛾 ′′ (𝑡)𝑚(𝑡)] 𝑑𝑒𝑡[𝛾 𝑘𝑔 (𝑡) = = − asin 𝑡 − acos 𝑡 ‖𝛾 ′ (𝑡)‖3 (√sin2 𝑡 + cos 𝑡 + a2 sin2 𝑡) − acos 𝑡 (cos 𝑡 + sin2 𝑡) −𝑎 cos 𝑡 = = 3 (√1 + a2 sin2 𝑡) (√1 + a2 sin2 𝑡) 𝛾 ′′ (𝑡) ⋅ 𝑚(𝑡) − cos 𝑡 + sin2 𝑡 sin2 𝑡 − cos 𝑡 𝑘𝑛 (𝑡) = = = ‖𝛾 ′ (𝑡)‖2 cos 𝑡 + sin2 𝑡 + a2 sin2 𝑡 + a2 sin2 𝑡 Mà 𝑘𝑔 = đường trắc địa : −𝑎 cos 𝑡 𝑘𝑔 (𝑡) = =0⟹𝑎 =0 2 (√1 + a sin 𝑡) b 𝛾(𝑡) = (cos 𝜔𝑡 , sin 𝜔𝑡 , 𝑎𝑡 + 𝑏), 𝛾 ′ (𝑡) = (− 𝜔sin 𝜔𝑡 , 𝜔cos 𝜔𝑡 , 𝑎) 𝛾 ′′ (𝑡) = (− 𝜔2 cos 𝜔𝑡 , − 𝜔2 sin 𝜔𝑡 , 0) 𝑚(𝑡) = (cos 𝜔𝑡 , − sin 𝜔𝑡 , 0) 𝑘𝑔 (𝑡) = 𝑑𝑒𝑡[𝛾′ (𝑡)𝛾′′ (𝑡)𝑚(𝑡)] − 𝜔sin 𝜔𝑡 | 𝜔cos 𝜔𝑡 𝑎 = = ‖𝛾′ (𝑡)‖3 − 𝜔 cos 𝜔𝑡 − 𝜔2 sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 − sin 𝜔𝑡| (√𝜔 sin2 𝜔𝑡 + 𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝑎2 ) 𝑎𝜔2 sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 + 𝑎𝜔2 sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 (√𝜔 𝑎2 ) = 𝑎𝜔2 sin 2𝜔𝑡 + (√𝜔 + 𝑎2 ) Mô tả : đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ, đồ thị cắt trục hoành điểm coa hoành độ 𝑥 = 𝑘𝜋 2𝜔 (𝑘 ∈ Ζ) = 𝑘 2𝜔 𝜋(𝑘 ∈ Ζ) c 𝜎(𝑢, 𝑣) = (1,0,1) ⟹ 𝜎(0,1) = (0,0,1) 𝜎(𝑢, 𝑣) = (1,0,0) ⟹ 𝜎(0,0) = (0,0,0) 𝑑𝑒𝑡[𝜎 ′ (𝑡)𝜎 ′′ (𝑡)𝑚(𝑡)] 𝑘𝑔 (𝑡) = ‖𝛾 ′ (𝑡)‖3 12 Cho 𝜎(𝑢, 𝑣) = (𝑓(𝑢) cos 𝑣, 𝑓(𝑢) sin 𝑣, 𝑔(𝑢)) mặt tròn xoay a Chứng tỏ đường kinh tuyến 𝑡 ↦ 𝜎(𝑡, 𝑣) đường trắc địa b Kiểm chứng với đường cong song song 𝑡 ↦ 𝜎(𝑢, 𝑡) 𝑓 ′ (𝑢) 𝑔′ (𝑢) (𝑡) = 𝑘𝑔 (𝑡) = , 𝑘𝑛 ′ ′ 𝑓((𝑢)(𝑓 (𝑢) + 𝑔 (𝑢) )2 𝑓((𝑢)(𝑓 ′ (𝑢)2 + 𝑔′ (𝑢)2 )2 Tìm điều kiện cần đủ để đường trắc địa Giải 6|Page 𝜎𝑢′ = (𝑓 ′ (𝑢) cos 𝑣 , 𝑓 ′ (𝑢) sin 𝑣 , 𝑔′ (𝑢)) 𝜎𝑣 ′ = (−𝑓(𝑢) sin 𝑣 , 𝑓(𝑢) cos 𝑣 , 0) 𝜎𝑢′ × 𝜎𝑣 ′ = (−𝑔′ (𝑢)𝑓(𝑢) cos 𝑣 , −𝑔′ (𝑢)𝑓(𝑢) sin 𝑣 , 𝑓 ′ (𝑢)𝑓(𝑢)) ‖𝜎𝑢′ × 𝜎𝑣 ′ ‖ = √𝑔′ (𝑢)2 𝑓(𝑢)2 + 𝑓 ′ (𝑢)2 𝑓(𝑢)2 = 𝑓(𝑢)√𝑔′ (𝑢)2 + 𝑓 ′ (𝑢)2 𝑁= 𝜎𝑢′ ×𝜎𝑣 ′ ‖𝜎𝑢′ ×𝜎𝑣 ′ ‖ =( −𝑔′ (𝑢) cos 𝑣 , √𝑔′ (𝑢)2 +𝑓′ (𝑢)2 −𝑔′ (𝑢) sin 𝑢 , √𝑔′ (𝑢)2 +𝑓′ (𝑢)2 𝑓′ (𝑢) √𝑔′ (𝑢)2 +𝑓′ (𝑢)2 ) a Ta có: 𝑚(𝑡) = ( −𝑔′ (𝑡) cos 𝑣 √𝑔′ (𝑡)2 +𝑓′ (𝑡)2 , −𝑔′ (𝑡) sin 𝑢 √𝑔′ (𝑡)2 +𝑓′ (𝑡)2 , 𝑓′ (𝑡) √𝑔′ (𝑡)2 +𝑓′ (𝑡)2 ) 𝛾(𝑡) = 𝜎(𝑡, 𝑣) = (𝑓(𝑡) cos 𝑣 , 𝑓(𝑡) sin 𝑣 , 𝑔(𝑡)) 𝛾 ′ (𝑡) = (𝑓 ′ (𝑡) cos 𝑣 , 𝑓 ′ (𝑡) sin 𝑣 , 𝑔′ (𝑡)) 𝛾 ′′ (𝑡) = (𝑓 ′ ′(𝑡) cos 𝑣 , 𝑓 ′ ′(𝑡) sin 𝑣 , 𝑔′′ (𝑡)) 𝑑𝑒𝑡[𝜎 ′ (𝑡)𝜎 ′′ (𝑡)𝑚(𝑡)] 𝑘𝑔 (𝑡) = ‖𝛾 ′ (𝑡)‖3 𝑓 ′ (𝑡) cos 𝑣 | 𝑓 ′ (𝑡) sin 𝑣 | 𝑓 ′ ′(𝑡) cos 𝑣 𝑓 ′ ′(𝑡) sin 𝑣 𝑔′ (𝑡) 𝑔′′ (𝑡) = −𝑔′ (𝑡) cos 𝑣 √𝑔′ (𝑡)2 + 𝑓 ′ (𝑡)2 | −𝑔′ (𝑡) sin 𝑢 √𝑔′ (𝑡)2 + 𝑓 ′ (𝑡)2 | 𝑓 ′ (𝑡) √𝑔′ (𝑡)2 + 𝑓 ′ (𝑡)2 (√𝑓 ′ (𝑡)2 + 𝑔′ (𝑡)2 ) = (√𝑓′ (𝑡)2 +𝑔′ (𝑡)2 ) 3 = Vậy đường kinh tuyến đường trắc địa b 𝑚(𝑡) = ( −𝑔′ (𝑢) cos 𝑡 √𝑔′ (𝑢)2 +𝑓′ (𝑢)2 , −𝑔′ (𝑢) sin 𝑡 √𝑔′ (𝑢)2 +𝑓′ (𝑢)2 , 𝑓′ (𝑢) √𝑔′ (𝑢)2 +𝑓′ (𝑢)2 ) 𝛾(𝑡) = 𝜎(𝑢, 𝑡) = (𝑓(𝑢) cos 𝑡 , 𝑓(𝑢) sin 𝑡 , 𝑔(𝑢)) 𝛾 ′ (𝑡) = (−𝑓(𝑢) sin 𝑡 , 𝑓(𝑢) cos 𝑡 , 0) 𝛾 ′′ (𝑡) = (−𝑓(𝑢) cos 𝑡 , −𝑓(𝑢) sin 𝑡 , 0) 7|Page 𝑑𝑒𝑡[𝜎 ′ (𝑡)𝜎 ′′ (𝑡)𝑚(𝑡)] 𝑘𝑔 (𝑡) = ‖𝛾 ′ (𝑡)‖3 −𝑓(𝑢) sin 𝑡 | 𝑓(𝑢) cos 𝑡 | −𝑓(𝑢) cos 𝑡 −𝑓(𝑢) sin 𝑡 0 = (√𝑓(𝑢)2 ) −𝑔′ (𝑢) cos 𝑡 √𝑔′ (𝑢)2 + 𝑓 ′ (𝑢)2 | −𝑔′ (𝑢) sin 𝑡 √𝑔′ (𝑢)2 + 𝑓 ′ (𝑢)2 | 𝑓 ′ (𝑢) √𝑔′ (𝑢)2 + 𝑓 ′ (𝑢)2 𝑓(𝑢)2 𝑓 ′ (𝑢) (cos 𝑡 + sin2 𝑡) ′ ′ √𝑓 (𝑢) + 𝑔 (𝑢) = 𝑓(𝑢)3 𝑓 ′ (𝑢) = (thỏa) ′ ′ (𝑢) (𝑢) 𝑓(𝑢)√𝑓 +𝑔 𝑔′(𝑢) 𝑓(𝑢) (cos2 𝑡 + sin2 𝑡) ′′ (𝑡) ′ ′ 𝛾 𝑚(𝑡) √𝑓 (𝑢) + 𝑔 (𝑢) 𝑘𝑛 (𝑡) = = ‖𝛾 ′ (𝑡)‖2 𝑓(𝑢)2 = 𝑔′ (𝑢) 𝑓(𝑢)√𝑓′ (𝑢)2 +𝑔′ (𝑢)2 (thỏa) Điều kiện cần đủ: 𝑘𝑔 (𝑡) = { 𝑘𝑛 (𝑡) = 13 Cho 𝛾 = 𝜎 ∘ 𝜇: 𝐼 → ℝ3 đường cong tham số hóa quy mặt tham số hóa quy 𝜎 Giả sử tồn mặt phẳng Π cố định ℝ3 chứa ảnh 𝛾 Nếu với 𝑡0 ∈ 𝐼, mặt phẳng Π vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc 𝑇𝜇(𝑡0) 𝜎 𝜎 𝜇(𝑡0 ), ta gọi 𝛾 lát cắt pháp tuyến 𝜎 điểm (hai mặt phẳng ℝ3 vuông góc vớ hai vector pháp tuyến chúng trực giao với nhau) Thí dụ, đường tròn lớn mặt cầu lát cắt pháp tuyến điểm nó, nằm mặt phẳng trực giao với không gian tiếp xúc a Chứng minh lát cắt pháp tuyến 𝑡0 có 𝑘𝑔 (𝑡0 ) = b Sử dụng phần a) để kiểm chứng tập 12a, đường kinh tuyến mặt tròn xoay đường trắc địa đồng thời kiểm chứng đường trắc địa tìm thấy Bài tập 12b 14 Cho 𝛾: 𝐼 → ℝ3 đường cong tốc độ đơn vị với độ cong 𝑘(𝑡) ≠ với 𝑡 Gọi 𝒃(𝑡) phó pháp tuyến đường cong 𝑡 Đặt 𝜎(𝑢, 𝑣) = 𝛾(𝑣) + 𝑢𝒃(𝑣) với (𝑢, 𝑣) ∈ ℝ × 𝐼 8|Page a Chứng minh 𝜎 tham số hóa quy Mặt gọi mặt phó pháp tuyến đường cong b Chứng tỏ 𝛾 đường trắc địa mặt phó pháp tuyến 15 Xét nón 𝜎(𝑢, 𝑣) = (𝑢 cos 𝑣, 𝑢 sin 𝑣, 𝑎𝑢), với 𝑢 > với 𝑎 > số cố định Một mặt cầu bán kính đặt vào nón (giống viên kem nón) a Xác định tâm mặt cầu, tham số hóa cho phầm giao mặt đường cong trơn b Đưa lập luận để thấy đường cong có độ cong trắc địa 𝜅𝑔 có độ cong pháp tuyến 𝜅𝑛 hai mặt (mặt cầu giả thiết định hướng với pháp tuyến phía tâm) Xác định |𝜅𝑔 | 𝜅𝑛 9|Page