Chương 7

ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA Bài 1.. Xác định độ cong Gauss K, như là một hàm theo ?, ?... Xác định các ký hiệu Christoffel.. Kiểm chứng rằng  là hệ tọa độ trắc địa, và xác định độ cong Gauss theo

CHƯƠNG 7 ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA

Bài 1 Cho 𝑈 = {(𝑢, 𝑣)|𝑣 > 1} và giả sử 𝜎: 𝑈 → 𝑅3 là mặt tham số hóa chính quy với 𝐸 = 𝐺 = 𝑣−2 và 𝐹 = 0

a Xác định độ cong Gauss K, như là một hàm theo (𝑢, 𝑣)

b Tính các ký hiệu Christoffel của 𝜎

c Kiểm chứng rằng đường cong 𝜎 ∘ 𝜇 trong đó

𝜇(𝑠) = (𝑎, 𝑒𝑠) hay 𝜇(𝑠) = (𝑎 + 𝑟𝑡𝑎𝑛ℎ𝑠, 𝑟

𝑐𝑜𝑠ℎ𝑠)

có tốc độ đơn vị, và chứng minh rằng nó là một đường trắc địa Ở đây 𝑎 𝜖 ℝ

và 𝑟 > 0 là các hằng số, và 𝑠được giả thiết là nằm trong một khoảng với

𝜇(𝑠)∈ 𝑈 Hãy phát thảo đường cong 𝜇 trong mặt phẳng tọa độ (𝑢, 𝑣) với

𝑎 = 𝑟 = 1

Hướn dẫn: Sử dụng công thức:tanh2𝑠 + 1

(𝑐𝑜𝑠ℎ𝑠) 2 = 1

d Giả sử thêm rằng mặt đã cho có các hệ số của dạng cơ bản thứ hai 𝑀 = 0

và 𝑁 = 𝑣−2(𝑣2 − 1)12 Xác định 𝐿 và các độ cong chính 𝑘1, 𝑘2.

Giải

a) Tính độ cong Gauss

Công thức (11) trang 112

𝐾 = − 1

2√𝐸𝐺((

𝐺′𝑢

√𝐸𝐺)

′

𝑢 + ( 𝐸

′ 𝑣

√𝐸𝐺)

′

𝑣 )

2√𝑣−2 𝑣−2( (𝑣−2)′

√𝑣−2 𝑣−2)

′

𝑣

= − 1

2 1

𝑣2 (−2(𝑣

−3) 1

𝑣2

)

′

𝑣

= −𝑣

2

2 (−2𝑣

−1)′𝑣 = −1

b) Tính các ký hiệu Christoffel

Áp dụng cho trường hợp đặc biệt, trong đó ta có tham số hóa trực giao, tức

là, trong đó 𝐹 = 0(giống thí dụ 6.3.2 trang 110)

𝒯111 = 1

2𝐸𝐸′𝑢 = 0 𝒯112 = 𝒯121 = 1

2𝐸𝐸′𝑣 = 1

2𝑣−2(𝑣−2)′ = −1

𝑣

𝒯122 = − 1

2𝐸𝐺

′

𝑢 = 0

𝒯211 = − 1

2𝐺𝐸

′

𝑣 = 1 𝑣

𝒯212 = 𝒯221 = 1

2𝐺𝐺′𝑢 = 0

𝒯222 = 1

2𝐸𝐺′𝑣 = −

1 𝑣

c) Xét đường cong γ(s) = σ(μ(s)) = σ(a + rtanhs; r. 1

coshs)

Khi đó: {𝑢 = 𝑎 + 𝑟𝑡𝑎𝑛ℎ𝑠𝑣 = r. 1

coshs

⟹ {

𝑢′𝑠 = 𝑟

cosh2𝑠 ⟹ 𝑢

′′

𝑠𝑠 = −2𝑟𝑠𝑖𝑛ℎ𝑠

cosh3𝑠 𝑣′𝑠 = −𝑟𝑠𝑖𝑛ℎ𝑠

cosh2𝑠 ⟹ 𝑣

′′

𝑠𝑠 = −𝑟 ( 1

𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑠−

2 sinh2𝑠 cosh3𝑠 )

* Mà theo công thức (1) trang 122

𝛾′ = 𝑢′ 𝜎′𝑢 + 𝑣′ 𝜎′𝑣 ⟹ ‖𝛾′‖2 = (𝑢′)2 ‖𝜎′𝑢‖2 + (𝑣′)2 ‖𝜎′𝑣‖2

= 1

𝑣2( 𝑟

2 𝑐𝑜𝑠ℎ4𝑠 + 𝑟

2 𝑠𝑖𝑛ℎ2𝑠 𝑐𝑜𝑠ℎ4𝑠) =

1

𝑣2 𝑟

2 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑠

2

𝑟2 1 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑠 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑠 = 1

⟹ ‖𝛾′‖ = 1 vậy đường cong 𝛾 = 𝜎 ∘ 𝜇 có tốc độ đơn vị

* Theo định lý 7.1, ta có :

1 2

3

'

ij g

1 ( )"( ) u s 11( ( ))( )'( )( )'( ) 2 ( ( ))( )'( )( )'( ) s u s v s 12 s u s v s 22 ( ( ))( )'( )( )'( ) s v s v s

1 12

( )" 2 ( ( ))( )'( )( )'( )

2 sinh 1 sinh

2 cosh cosh cosh

2

cosh

2 sinh 2 sinh

0 cosh cosh

v

r

s

2

( )"( ) ( ( ))( )'( )( )'( )

2 ( ( ))( )'( )( )'( ) ( ( ))( )'( )( )'( )

2

2

2 3 2 3

( )" ( ( ))( )'( )( )'( ) ( ( ))( )'( )( )'( )

1

(

cosh

s r

s r

r

s

2

2

3

2 3

sinh

2

sinh

cosh 0

sinh

cosh

s

s s

Vậy đường cong là đường trắc địa

d) Xác định L và độ cong chính 1, 2

Theo định nghĩa 6.1 ta có

1

2 2 2

1 1 1

v v

Theo công thức trang 106

1

1 0

0 1

1 2

2 2 2

2 2

1

0

1

0

v

v

4 2 4

4 2

1

1

1

v

2

2

2 2

1

0

1 1 1

v

v

v v

Bài 2 Cho U ℝ2

và :U ℝ3là mặt tham số hóa chính quy với

1, 0

1

G u (xem thí dụ ở Bài tập 3.10)

a Xác định các ký hiệu Christoffel

b Chứng minh rằng t ( , ) t v là đường trắc định với mọi v

c Tìm độ cong trắc địa của đường cong t   ( u , t ) với 𝑢 𝜖 ℝ

d Kiểm chứng rằng  là hệ tọa độ trắc địa, và xác định độ cong Gauss theo

phương trình (6)

Giải

a) Xác định các kí hiệu Christoffel

1 '

11

1

0

2 E Eu

11

1

0

2 G Ev

12 21

1

0

2 E Ev

22

1

2 E Gu u

22

1

0

2 E Gv

1

2 u 1

u G

b) Chứng minh

( , )

t t v

Ta có: E 1 và Ev' 2 Ft' 0

Theo bổ đề 7.4 (trang126) ta được đường cong tọa độ t ( , ) t v là

đường cong trắc địa tốc độ đơn vị

c) Tìm độ cong trắc địa

Độ cong trắc địa của đường cong t ( , ) u t

1 2

3

det( ) (( ) ' ( ) ' ) ( )

'( )

i j g

t

t

Với

'

'

0 1

Khi đó:

1/2 1 ij

3

det

'

g

g

Ta có:

2

2 ij

Mà:

2

2

, 't , 1

2

*

2 1

, 1

''t jk j ' k ' , 1, 2

j k

1

'' ' '

u

1/2 2

2

1 1

g

u u

u

d) Kiểm chứng hệ tọa độ trắc địa, xác định độ cong Gauss

Ta có: E u v ( , ) 1 , F u v ( , ) 0

2

( , ) 1

G u v u G u v ( , ) 1o

'( o, ) 0

G u v

Theo định lí 7.4 ta có  là một hệ tọa độ trắc địa

Độ cong Gauss

''

1

u u

'

1

u

2 2

2 2

2

1

1 1

u u

u u

u

2 2

1

1 u

Bài 3 Cho :U ℝ3là hệ tọa độ trắc địa mà trong đó độ cong Gauss là không đổi, K 0 Chứng minh rằng G 1 và  đẳng cự với một

mảnh của mặt phẳng

Hướng dẫn: Từ (6) suy ra G ( au b ) ,2 trong đó a và b là các hàm của

v Xác định a và b từ Định lý 7.4

Giải

* Chứng minh G 1

' '

1 ( )u u

G

Ta có:

' '

1

( G )u u 0 ( K 0)

G

' '

( G )u u 0

'

( G ) a du au b

2

u

Sử dụng định lý 7.4 Ta có

2

* Xét sự đẳng cự:

- Ta có:

E F và G  1 (1)

- Ta có phương trình mặt phẳng có dạng ( , ) u v p uq1 vq2

(theo thí dụ 3.4.1)

- Theo thí dụ 3.4.1 (Trang 56)

Ta có:

2 1

2 2

.

(1)

1, 0

- Từ (1) và (2), ta có:

Suy ra,  là đẳng cự với một mảnh trên mặt phẳng 

Bài 4 Cho :U I J ℝ3 là hệ tọa độ trắc địa ngang với đường cong

( ) t (0, ) t Giả sử rằng độ cong Gauss là không đổi, K 1. Chứng minh rằng G cos2u và  là đẳng cự với một mảnh trên mặt cầu đơn

vị

Hướng dẫn: Từ ( 6 ) suy ra G ( cos a u b sin ) u 2 trong đó a và b là các

hàm củav Xác định a và b từ Định lý 7.4

Giải

*Chứng Minh G cos2u

Thay K 1 vào (6) ta được:

1

G

( )

Phương trình ( ) có phương trình đặc trưng là:

2

1 0

K

0

0

cos sin

2

Theo định lý 7.4, ta có

'

( , ) 1 ( cos sin ) 1 1 1 ( , ) 0 2( cos sin )( sin cos ) 0 0 0

u o

* Xét sự đẳng cự:

- Theo định lý 7.4 (trang 125) mặt là một hệ tọa độ trắc địa ngang với 

ta có:

Và G cos2u

(1)

Ta có phương trình mặt cầu đơn vị theo thí dụ 1.2.2(trang 17)

( , ) u v (cos cos ,cos sin ,sin ) u v u v u

sin cos cos sin ' sin sin ' cos cos

u

Theo thí dụ 3.4.3 (trang 56)ta có:

2

u

v

E

F

(2)

E E

Suy ra,  là đẳng cự với một mảnh trên mặt cầu đơn vị 