Chương 7

CHƯƠNG ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA Bài Cho 𝑈 = {(𝑢, 𝑣)|𝑣 > 1} giả sử 𝜎: 𝑈 → 𝑅 mặt tham số hóa quy với 𝐸 = 𝐺 = 𝑣 −2 𝐹 = a Xác định độ cong Gauss K , hàm theo (𝑢, 𝑣) b Tính ký hiệu Christoffel 𝜎 c Kiểm chứng đường cong 𝜎 ∘ 𝜇 𝜇 (𝑠) = (𝑎, 𝑒 𝑠 ) hay 𝜇 (𝑠) = (𝑎 + 𝑟𝑡𝑎𝑛ℎ𝑠, 𝑟 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑠 ) có tốc độ đơn vị, chứng minh đường trắc địa Ở 𝑎 𝜖 ℝ 𝑟 > số, 𝑠được giả thiết nằm khoảng với 𝜇 (𝑠 ) ∈ 𝑈 Hãy phát thảo đường cong 𝜇 mặt phẳng tọa độ (𝑢, 𝑣) với 𝑎 = 𝑟 = 1 Hướn dẫn: Sử dụng công thức:tanh2 𝑠 + (𝑐𝑜𝑠ℎ𝑠)2 = d Giả sử thêm mặt cho có hệ số dạng thứ hai 𝑀 = 𝑁 = 𝑣 −2 (𝑣 − 1)2 Xác định 𝐿 độ cong 𝑘1 , 𝑘2 Giải a) Tính độ cong Gauss Công thức (11) trang 112 1|Page 𝐾=− 2√𝐸𝐺 =− ′ 𝐺 ′𝑢 ′ 𝐸′𝑣 (( ) +( ) ) √𝐸𝐺 𝑢 √𝐸𝐺 𝑣 ′ (𝑣 −2 )′ ( ) 2√𝑣 −2 𝑣 −2 √𝑣 −2 𝑣 −2 𝑣 ′ =− 𝑣2 ( −2(𝑣 −3 ) 𝑣2 𝑣2 = − (−2𝑣 −1 )′𝑣 = −1 ) 𝑣 b) Tính ký hiệu Christoffel Áp dụng cho trường hợp đặc biệt, ta có tham số hóa trực giao, tức là, 𝐹 = 0(giống thí dụ 6.3.2 trang 110) 𝒯 111 = 2𝐸 𝐸′𝑢 = 𝒯 112 = 𝒯 21 = 2𝐸 𝐸′𝑣 = 2𝑣 −2 𝒯 22 = − ′ 𝐺 =0 2𝐸 𝑢 𝒯 211 = − ′ 𝐸𝑣= 2𝐺 𝑣 𝒯 212 = 𝒯 21 = 𝒯 22 = (𝑣 −2 )′ = − 𝑣 𝐺′ = 2𝐺 𝑢 1 𝐺′𝑣 = − 2𝐸 𝑣 c) Xét đường cong γ(s) = σ(μ(s)) = σ(a + rtanhs; r coshs ) 2|Page 𝑢 = 𝑎 + 𝑟𝑡𝑎𝑛ℎ𝑠 Khi đó: { 𝑣 = r coshs 𝑟 2𝑟𝑠𝑖𝑛ℎ𝑠 ′′ ⟹ 𝑢 = − 𝑠𝑠 cosh2 𝑠 cosh3 𝑠 ⟹{ −𝑟𝑠𝑖𝑛ℎ𝑠 sinh2 𝑠 ′′ 𝑣′𝑠 = ⟹ 𝑣 𝑠𝑠 = −𝑟 ( − ) cosh2 𝑠 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑠 cosh3 𝑠 𝑢′𝑠 = * Mà theo công thức (1) trang 122 𝛾 ′ = 𝑢′ 𝜎′𝑢 + 𝑣 ′ 𝜎′𝑣 ⟹ ‖𝛾 ′ ‖2 = (𝑢′ )2 ‖𝜎 ′ 𝑢 ‖2 + (𝑣 ′ )2 ‖𝜎 ′ 𝑣 ‖2 𝑟2 𝑠𝑖𝑛ℎ2 𝑠 𝑟2 = 2( +𝑟 ) = 𝑣 𝑐𝑜𝑠ℎ4 𝑠 𝑐𝑜𝑠ℎ4 𝑠 𝑣 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑠 = 𝑟2 𝑟2 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑠 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑠 =1 ⟹ ‖𝛾 ′ ‖ = đường cong 𝛾 = 𝜎 ∘ 𝜇 có tốc độ đơn vị * Theo định lý 7.1, ta có : 3|Page kg det( gij ) ((u )' ' (u)"(s) 11 ( (v)' 2) Với (s ))(u )'(s )(v )'(s ) 112 ( (s ))(u )'(s )(v )'(s ) 22 ( (s ))(v )'( s)( v)'( s) (u )" 112 ( ( s))(u )'( s)(v)'( s) 2r sinh s r r sinh s v cosh s cosh s cosh s 2r sinh s r r sinh s r cosh s cosh s cosh s cosh s 2r sinh s 2r sinh s 3 cosh s cosh s (v)"(s) 2 12 ( 11( (s))(u)'(s)(u)'(s) (s))(u)'(s)(v)'(s) 22 ( (s))(v)'(s)(v)'( s) 4|Page (v)" 11( 22 ( ( s))(u )'( s)(u )'( s) cosh s r( cosh s sinh s ) cosh s 2 sinh s ) cosh s r( ( s))(v)'( s)(v)'( s) r ( ) v cosh s v r sinh s cosh s r ( ) r cosh s cosh s r r sinh s r( sinh s ) cosh s cosh s cosh s cosh s r r sinh s r r sinh s cosh s cosh s cosh s cosh s r r sinh s r cosh s cosh s cosh s r (1 sinh s) r sinh s r cosh s Vậy đường cong d) Xác định L r cosh s r sinh s cosh s đường trắc địa độ cong 1 ,  Theo định nghĩa 6.1 ta có LN M K EG F v2 v2 EG L K N v v2 1 v2 v2 Theo công thức trang 106 det E F F G L M M N 0 5|Page v det 1 v2 v2 v2 v2 v2 1 v4 v2 v det 1 0 1 v v2 1 0 0 v2 v2 1 v2 v2 Bài Cho U E 1, F G u (xem thí dụ Bài tập 3.10) ℝ2 :U ℝ3 mặt tham số hóa quy với a Xác định ký hiệu Christoffel b Chứng minh t (t , v) đường trắc định với v c Tìm độ cong trắc địa đường cong t   (u, t ) với 𝑢 𝜖 ℝ d Kiểm chứng  hệ tọa độ trắc địa, xác định độ cong Gauss theo phương trình (6) Giải a) Xác định kí hiệu Christoffel 6|Page 11 ' Eu 2E 11 ' Ev 2G 12 22 22 12 21 ' Ev 2E ' Gu 2E u ' Gv 2E 21 ' Gu 2G u u2 b) Chứng minh t Ta có: (t , v) E Ev' 2Ft ' Theo bổ đề 7.4 (trang126) ta đường cong tọa độ t (t , v) đường cong trắc địa tốc độ đơn vị c) Tìm độ cong trắc địa 7|Page Độ cong trắc địa đường cong t g Với det( gi j ) ((u1 )' (t ) '(t ) u1 u u1' u2 t u2' det gij Khi đó: g (u, t ) (u2 )' ) 1/2 ' Ta có: E u, v E u, t F u, v F u, t G u, v G u, t u2 1/2 det gij ' t Mà: EG F 't u, t G u, t ' 1/2 u2 ' t 't u, t 't u, t 1/2 't u, t u2 u2 8|Page * t u1 ''t j ,k u '' t u t 22 u1 '' t 1 jk uj ' t uk ' t , i 1,2 t u2 ' t u2 ' t u t' t t' t u2 1/2 u g u2 u u2 d) Kiểm chứng hệ tọa độ trắc địa, xác định độ cong Gauss Ta có: E (u, v) , F (u, v) G(u, v) u G '(uo , v) G(uo , v) Theo định lí 7.4 ta có  hệ tọa độ trắc địa Độ cong Gauss K G '' G uu u u2 u2 ' u 9|Page u 1 u2 1 u không đổi, :U K u2 u2 u2 Bài Cho u2 2 u2 u (1 u ) u 2 ℝ3 hệ tọa độ trắc địa mà độ cong Gauss Chứng minh G  đẳng cự với mảnh mặt phẳng (au b)2 , a b hàm Hướng dẫn: Từ (6) suy G v Xác định a b từ Định lý 7.4 Giải * Chứng minh G K 1 ( G )u' ' u G Ta có: ( G )u'' u G (K ( G )u'' u ( G )u' 0du 0) a 10 | P a g e ( G) ( a du au b G) G au b b) (au Gu' (a 2u 2abu b2 ) ' 2a 2u 2ab Sử dụng định lý 7.4 Ta có Gu (uo , v) Gu' (uo , v) (auo 2a 2uo b) 2ab b a * Xét đẳng cự: - Ta có: E 1, F G 1 (1) - Ta có phương trình mặt phẳng có dạng (u, v) p uq1 vq2 (theo thí dụ 3.4.1) - Theo thí dụ 3.4.1 (Trang 56) 'u q1, 'v q2 Ta có: E q1 F q1 q2 G q2 (1) Đặt biệt, q1, q2 cặp vector trực chuẩn, ta có E G 1, F (2) 11 | P a g e - Từ (1) (2), ta có: E E F F G G Suy ra,  đẳng cự với mảnh mặt phẳng :U Bài Cho (t ) I  ℝ3 hệ tọa độ trắc địa ngang với đường cong J (0, t ) Giả sử độ cong Gauss không đổi, K Chứng minh  đẳng cự với mảnh mặt cầu đơn suy G (a cos u b sin u)2 a b G cos2 u vị Hướng dẫn: Từ (6) hàm v Xác định a b từ Định lý 7.4 Giải cos2 u *Chứng Minh G Thay K vào (6) ta được: 1 G '' G uu '' G G uu '' G uu G ( ) Phương trình ( ) có phương trình đặc trưng là: K2 K K i i 12 | P a g e G a cos u b sin u G (a cos u b sin u )2 Theo định lý 7.4, ta có (a cos uo b sin uo )2 2(a cos u0 b sin u0 )( a sin u0 b cos u0 ) Gu (uo , v) Gu' (uo , v) a2 ab a b * Xét đẳng cự: - Theo định lý 7.4 (trang 125) mặt  hệ tọa độ trắc địa ngang với  ta có: E Và 1, F cos2 u G (1) Ta có phương trình mặt cầu đơn vị theo thí dụ 1.2.2(trang 17) (u, v) (cos u cos v,cos u sin v,sin u) sin u cos v sin u sin v cos u 'u 'v cos u sin v cos u cos v Theo thí dụ 3.4.3 (trang 56)ta có: E 'u G 'v F 'u 2 cos u 'v (2) Từ (1) (2), ta có: 13 | P a g e E E F F G G Suy ra,  đẳng cự với mảnh mặt cầu đơn vị  14 | P a g e [...]... Định lý 7. 4 Giải cos2 u *Chứng Minh G Thay K 1 vào (6) ta được: 1 1 G '' G uu '' G G uu '' G uu G 0 ( ) Phương trình ( ) có phương trình đặc trưng là: K2 1 0 K K 0 i 0 i 12 | P a g e G a cos u b sin u G (a cos u b sin u )2 Theo định lý 7. 4, ta có (a cos uo b sin uo )2 1 2(a cos u0 b sin u0 )( a sin u0 b cos u0 ) 0 Gu (uo , v) 1 Gu' (uo , v) 0 a2 1 ab 0 a 1 b 0 * Xét sự đẳng cự: - Theo định lý 7. 4 (trang...( G) ( a du au b G) G au b b) 2 (au Gu' (a 2u 2 2abu b2 ) ' 2a 2u 2ab Sử dụng định lý 7. 4 Ta có Gu (uo , v) Gu' (uo , v) 1 0 (auo 2a 2uo b) 2 1 2ab 0 b a 1 0 * Xét sự đẳng cự: - Ta có: E 1, F 0 và G 1 (1) - Ta có phương trình mặt phẳng có dạng (u, v) p uq1 vq2 (theo thí dụ 3.4.1) - Theo... a2 1 ab 0 a 1 b 0 * Xét sự đẳng cự: - Theo định lý 7. 4 (trang 125) mặt  là một hệ tọa độ trắc địa ngang với  ta có: E Và 1, F 0 cos2 u G (1) Ta có phương trình mặt cầu đơn vị theo thí dụ 1.2.2(trang 17) (u, v) (cos u cos v,cos u sin v,sin u) sin u cos v sin u sin v cos u 'u 'v cos u sin v cos u cos v 0 Theo thí dụ 3.4.3 (trang 56)ta có: E 'u G 'v F 'u 2 1 2 cos 2 u 'v (2) 0 Từ (1) và (2), ta có: 13