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Phng trỡnh Bt phng trỡnh H phng trỡnh QU TT NGUYấN N 2016 HAPPY NEW YEAR ! Nguyn Minh Thnh[Type text] Page x x x x x 5x Cõu 1: (NMT) x x (1) Do x x x x 5x x x x x x x 5x x x x 5x x x3 x 5x x3 3x 3x x x (2) x2 x x S x x 3x x x Cõu 2: (NMT) x x3 3x (*) x x 3x x x x x x x 3x x x x 3x x x x3 3x x x x x x x x x S 1;0 Cõu 3: (NMT) x x x x x x x (*) x2 x x Nguyn Minh Thnh SP Toỏn, Phm Hong Page x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x2 x x2 x x x x x x S 1; 3x 2 x x 21 x x 2 x Cõu 4: (NMT) x2 a b2 c2 ab bc ca x 29 x x x x 21 x x 2 x x 29 2 x x x x 2 x2 x2 x AM-GM 2 x 3x x x x x x x x x 2 S V x 2 x2 x Cõu 5: (NMT) x x 2x x 2x 2 a x , b 2x a b2 2ab Nguyn Minh Thnh SP Toỏn, Phm Hong a b ab2 Page 3a 2ab 3b 2 ab2 1 a b a b a b 3a 2ab 3b2 a b 3a 2ab 3b2 a b a b a b x x x 2 S 2x 3x x x x Cõu 6: (NMT) x x x x x x x x x x x 3 x (1) f t 2t 3t, t 0; ) f t 6t 0, t 0; ) 0; ) f (t ) Nờn (1) x x f x f x3 x x x 3x 3x x x x f x f x (2) x x (3) x x f x f x3 x0 x x x x x S 1;0 Nguyn Minh Thnh SP Toỏn, Phm Hong Page x x2 Cõu 7: (NMT) 1 x x x x x x x x2 1 1 x x x x x x x 2 x x x x 16 x x2 x2 x x x 1 x x 1 x x 2 x x x S 3 29 x 98 y 9( x 3x y 7) xy 3 2( x 3x y 7) x y x y Cõu 8: (PH) u ki n: x 0, y p d ng b ng th c Cauchy-Schwarz: x2 y 5x y x(2 xy 5) y x xy y ( x y)(2xy 12) Suy ra: 2( x3 3x2 y3 7) ( x y)(2 xy 12) x3 3x y ( x y)( xy 6) Ta ch ng minh: x3 3x2 y3 ( x y)( xy 6) Th t v y, ta cú: Nguyn Minh Thnh SP Toỏn, Phm Hong Page Theo b ng th c AM GM: 3( x 1) x 3 2( y 1) y x 3x y ( x y)( xy 6) x3 y xy ( x y ) V y d u '' '' ph i x y x y (th Thay x y u ki n) a S 1;1 V Cõu 9: (PH) x y x( y 28) y x 28 2 y x 30 y y 2( y y) x y 29 ; u ki n: x 28, y 2 x y x( y 28) y x 28 x x( y 28) y 28 y y x 28 x 28 x y 28 V i x y 28 y x 28 2 x y 28 0 x y 28 y x 28 c: y y 2(2 y y ) 2( y y)2 y y t 2y y t thnh: t 2t 2t t (t 1) (t 1)(2t 1) (t 1) 2t t t 2t t 2t V i t suy y y ( y 1)2 y x 29 (th Nguyn Minh Thnh SP Toỏn, Phm Hong u ki n) Page S 29;1 V (2 y 3)(2 x y ) 2y 2y x x 4y x 2 y x xy 2( x y 2) Cõu 10: (PH) x xy u ki n: y ; x y x0 y ụ x y (2 y 3)(2 x y ) 2y x x2 y 2x x2 2y x y (2 y 3)(2 x y ) 2y x x2 x 2y ( x y 6) y 2y 2y t x t 2y thnh: t 2t t t (t 1)(t 2) t (2t 1) t (t 2) (t 1)2 (t t 2) t x y p d ng b ng th c Bunhiacopski: 2( x2 y 2) 1.( y 1) 1.( x xy 3) (1 1)( y x xy 3) 2( x xy y 4) 2( x y 2) 2( x xy y 4) x y x xy y ( x y)2 ( x y) ( x y 2)( x y 1) x y x y 0x 0; y V y x y y y y y ( y 1) Nguyn Minh Thnh SP Toỏn, Phm Hong Page 2y D u '' '' ph i x y y x xy x y (th a m x y V y u ki n) S (1;1) h ( x ) y x x y ( x 1)( y 1) (1 x)(1 y ) y ( x y)2 Cõu 11: (PH) x 0; y u ki n: x y Theo b ng th - (1 x)(1 y ) y (1 x)(1 y ) : ( x 1)( y 1) y ( x 1)( y 1) ( x 1)( y 1) y ( x 1)( y 1) y y.2 2 ( x y) ( x y) ( x y)2 x y y ( x 1)( y 1) 2y x y 2y x y x y x y M t khỏc, theo b ng th c Bunhiacopski: ( x )2 y 2( x y 1) 2( x y 1) 2 x4 y x4 y x4 x2 x4 y x2 y u trờn ta cú: x2 y x ( x 1)2 T D u ' ' x y x y C V i x y thỡ Theo x4 x2 x y x x AM-GM : x (2 x 1).1.1.1 2x x x x4 x2 x 2 x4 x2 3x 4( x4 x2 2) (3x 1)2 ( x 1)2 (4 x2 x 7) x Nguyn Minh Thnh SP Toỏn, Phm Hong Page S (1;1) ( x 1)( y xy y) x3 y 3 x x 3x xy 3x x x Cõu 12: (PH) : y xy y x3 y x2 Vỡ x2 ( x2 1)( x2 1) : y 8xy y xy ( x 1) y y xy ( x 1) y2 y y2 y T (3) x , (3) x x x y2 y2 Xột hm s f (t ) 1 x x x2 t2 t t 2t t t (t 0) cú f '(t ) 0t t t4 t2 1 T (3) f (2 y) f y xy x x c: x x 3x 3 x x x x3 12 x2 12 x 3 3x3 x2 x x3 x2 x x3 12 x 12 x 3 3x3 x x 2( x3 3x 3x 1) 3( x 1) 2(3x3 x x 2) 3 3x3 x x 2( x3 3x 3x 1) 3( x 1) Xột hm s g (u) 2u 3u trờn Suy hm s ụ cú g '(u) 6u 0x ng bi n trờn f ( 3x3 x2 x 2) f ( x 1) 3x3 x x x 3x3 x x ( x 1)3 x3 3x 3x x Nguyn Minh Thnh SP Toỏn, Phm Hong y Page S ;1 x x y 12 (2 x y 3) xy 72 Cõu 13: (PH) 5x2 x 2( y 1)2 (2 x)2 ( x 2)2 ( y 1) ( y 1) Theo b ng th c Mincopski ta cú: (2 x)2 ( x 2)2 ( y 1)2 ( y 1)2 (2 x y 1) ( x y 1) 72 (2 x y 1)2 ( x y 3)2 (3) T (2) v (3) (2 x y 3)2 xy (2 x y 1)2 ( x y 3)2 (2 x y 3) (2 x y 1) xy x y xy x y 2(4 x y 4) xy x y xy x y x y xy x y ( x y 1) x y D y 2x x y x y y x y S 2;1 (4 x y xy y 1) y (4 x x 2) y 4 2 2 (4 xy y ) x (4 x y xy y 1) y Cõu 14: (PH) u ki n: x V i y 0, h ụ m V i y 0, h Nguyn Minh Thnh SP Toỏn, Phm Hong Page x x y x x y (4 x 2) x (4 x x 2) y2 y4 1 x x x x y y (4 x 2) x (4 x x 2) y4 y2 f (t ) t t trờn R cú f '(t ) 3t 0t R f (t ) Xột hm s T (1) f L + ng bi n trờn R 1 4x2 6x f 4x2 6x x2 x y y y c: 1 (4 x 2) x x x x x y y y 1 (4 x 2) x x x y y y y (4 x x 1) 2(2 x 1) x (2 x 1) y y y x 2 x (2 x 1) y y y Xột hm s g (u) u4 2u3 u2 (u 0), g '(u) 4u3 6u2 2u 0, u Suy hm s g (u ) ng bi n trờn 0; 1 f ( x 1) f x y y 2x 4x2 6x x x (loaùi) y 2x 2x x x 0( voõ nghieọm) V yh vụ nghi m Cõu 15: (PH) Nguyn Minh Thnh SP Toỏn, Phm Hong Page 10 x x y x y 2( y 2) y x y 2x y y x y y x u ki n: y Vỡ ( y y 1)( y y 1) : x x y x y 2( y 2) y x( y y 1) x x y x y (2 y 2) y y x y x y x x( x y 2) x 2y ( x y 2) y x y y2 x y y x y y2 x y y ( x y 2) y x ( x y 2) y x y y2 x y y x Ta cú: y 0, x ; y x y y2 x y y x 2y Theo b c: x y x y ng th x y 1.( x 3) y 2( x y ) x y 2( x y ) ( x 1)2 ( y 1)2 D y x 4; y (th u ki n) S 4;1 y ( y x 2 x 1) 1 ( x y 2) x y ( x y ) x Cõu 16: (PH) u ki n: x ; x y : Nguyn Minh Thnh SP Toỏn, Phm Hong Page 11 ( x y 2) x y ( x y ) x y ( x y ) x ( x y ) x y (2 y 2) x y ( x y ) 2x x y ( x y)2 2( y 1) x y 2x x y Suy ra: 2( y 1) x y ( x y)2 y 2x x y (3) y xy y x y y x x x(1 y) ( y x 1)2 x(1 y) Suy ra: x(1 y) ( y x 1)2 y x y T (3) v (4) suy ra: y x (th (4) u ki n) S 1;1 2( x x 1) ( y 1) x 1 y x 2( x y ) Cõu 17: (PH) u ki n: x V i x thỡ VT(1) VP(1) ( y 1) x y y2 2x 2x y y2 y 2x 2x Xột hm s f (t ) t 2t trờn 1; ) , f '(t ) 2t 0, t 1, v y hm s f (t ) t 2t ng bi n trờn 1; ) , t (3) f ( y) f ( x ) y x trỡnh: 2( x x 1) ( x 1) x Nguyn Minh Thnh SP Toỏn, Phm Hong Page 12 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 1 x 0, x y x 2 2x 2x S ;1 y x 2( y 2) ( x 2) 2 3 x ( x 1) x y Cõu 18: (PH) u ki n: x y x y x2 x y( x 2) x( x 4) y( x 2) x( x 2)( x 2) y x( x 2) y x x3 V i 2x y x c: x2 ( x 1)2 x y y x2 x x2 x y y f (t ) t t trờn Xột hm s trờn cú f '(t ) 3t 0, x , suy hm s , l i cú: f ( x x 1) f ( y 1) x x T ng bi n f (t ) y x2 2x y x2 2x y x y x (th x x x x y u ki n) S 1; , 0;0 Cõu 19: (PH) 2015 (1 2016 x )(1 2016 y ) x 2016 y ( x y ) 29 x 12 y (2016 y ) 17 x y Nguyn Minh Thnh SP Toỏn, Phm Hong Page 13 29 x 12 y u ki n: x y 2016 y x 2016 xy 2015 (1 2016 x )(1 2016 y ) x 2016 xy 2016 (1 2016 x )(1 2016 y ) Ta luụn cú: 2016 xy (1 2016 x )(1 2016 y ) Th t v y, v i 2016 xy , b th ụ t khỏc, v i 2016 xy , b ỳ ng ng th (1 2016 xy)2 2016 x2 2016 y (2016 xy) 2016( x y) ụ ỳ T (3) suy ra: x 2016 * ( x y ) 29 x 12 y (2016 y ) 17 x y x y 29 x 12 y 17 x y 2016 y x y 17 x y 29 x 12 y 17 x y 2016 x 17 x y x y 29 x 12 y 17 x y Ta cú: T * 41 x y 2 29 x 12 y 17 x y 41 x y 2 29 x 12 y 17 x y 2016 x 17 x y 2016 x 17 x y x 2016 v ** suy ra: x 2016 y 2016 (th ** u ki n) S 2016;2016 Cõu 20: (NMT) 2016 y x 2017 3x y 2016 x (1) x 20 y 16 2016 (2) y xy Nguyn Minh Thnh SP Toỏn, Phm Hong Page 14 x x y x y 2016 y x 2016 x 2017 2016 y x y 6x 2016 x 2017 3x y 3x y y 6x y 6x y x Do y 9 x y 20 20 21 3 16 9.9 16 96 y xy x 20 y 16 2016 y xy x ,y9 S ;9 Nguyn Minh Thnh SP Toỏn, Phm Hong Page 15 ^_^ Nguyn Minh Thnh SP Toỏn, Phm Hong Page 16