SỞ GD & ĐT BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG -ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II - NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn : TOÁN 11 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) A PHẦN CHUNG CHO HỌC SINH CẢ HAI BAN (8 điểm) Câu (1,5 điểm) Tính giới hạn sau: 2x + x+7 −3 a) lim b) lim x →−∞ x →2 3x + 2x − Câu (1 điểm) Tính đạo hàm hàm số: y = x x + π Câu (1 điểm) Cho hàm số: f ( x ) = x + sin x Tính f '' ÷ 2 Câu (1,5 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = độ x0 = −3 3x − điểm có hoành x +1 Câu (3 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a a) Chứng minh: BC ⊥ ( SAB ) b) Tính diện tích tam giác SBC c) Tính tang góc hai mặt phẳng ( SBD ) ( ABCD ) B PHẦN RIÊNG ( điểm) (Học sinh học theo chương trình làm phần dành riêng cho chương trình đó) Dành cho học sinh học sách Câu 6a (1 điểm) Cho hàm số f ( x ) = x − x + Giải phương trình: f '' ( x ) = Câu 7a (1 điểm) Cho hình chóp S ABC có AC = AB = 2a, SB = 3a , SA ⊥ ( ABC ) , đường thẳng SC tạo với mặt phẳng ( SAB ) góc 300 Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB ) Dành cho học sinh học sách nâng cao Câu 6b (1 điểm) Cho cấp số cộng ( un ) , biết u3 = u7 = 15 Tìm số hạng u20 Câu 7b (1 điểm) Cho hình chóp S ABC có AC = AB = 2a, SB = 3a , SA ⊥ ( ABC ) , đường thẳng SC tạo với mặt phẳng ( SAB ) góc 300 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC Hết ĐÁP ÁN THI HỌC KÌ MÔN TOÁN 11 (13 – 14) CÂU x + − lim = x →2 2x − lim x →2 1a = lim x →2 = 1b 2 ( ( x + −3 ( 2x − 4) x−2 ( x − 2) ( 2+7 +3 x+7 +3 ) = ) ( ĐÁP ÁN )( = lim x→2 x+7 +3 x+7 +3 ( ) ) = lim x+7 +3 x →2 ĐIỂM x−2 ( 2x − 4) ( = ( ) 12 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 = 3x + 2 x +1 0.25 f ' ( x ) = x + cosx 0.25 f '' ( x ) = − sin x 0.25 π π Suy f '' ÷ = − sin ÷ 2 2 = −1 = 3x − y= x +1 ( x + 1) − ( x − ) y' = = 2 ( x + 1) ( x + 1) Ta có x0 = −3 ⇒ y0 = 0.5 x +1 + x x +1 f ( x ) = 3x + sin x ) 0.25 ) 2+ 2x + x = lim lim x →−∞ x →−∞ x + 1 3+ x 2+0 = = 3+ y = x x + ( x + 1) ' y ' = x ' x + + x x +1 = x + + x x +1 x+7 +3 0.25 0.25 0.25 ( −3) − −14 = =7 −3 + −2 Hệ số góc tiếp tuyến cần tìm là: k = y ' ( −3) = 0.25 ( −3 + 1) =2 0.25 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k ( x − x0 ) + y0 Hay y = ( x + 3) + ⇔ y = x + 12 0.25 0.25 5a 5b 5c a) SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC (1) ABCD hình vuông nên BC ⊥ AB (2) Từ (1) (2) suy BC ⊥ (ABC) b) Theo câu a) ta có BC ⊥ (ABC) suy BC⊥SB suy tam giác SBC vuông B Suy S ΔSBC = SB.BC (*) Ta có BC = a Trong tam giác SAB vuông A ta có: SB = SA2 + AB = 2a + a = a Thay BC SB vào (*) ta được: a2 (đvdt) S ΔSBC = a 3.a = 2 Gọi O tâm hình vuông ABCD Ta có: ( SBD ) ∩ ( ABCD ) = BD (3) AO ⊥ BD (tính chất hình vuông) (4) AO hình chiếu SO lên (ABCD) mà AO ⊥ BD nên theo ĐL đường vuông góc suy SO ⊥ BD (5) · Từ (3), (4), (5) suy ( ( SBD), ( ABCD) ) = SOA ∆SAO vuông A ⇒ · tan SOA = SA SA a = = =2 AC AO a 2 x − x3 + Ta có: f ' ( x ) = x − x 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 f ( x) = 6a 7a 0.25 f '' ( x ) = x − 0.25 2 Ta có: f '' ( x ) = ⇔ x − = ⇔ x = ⇔ x = ±1 Trong mp(ABC) kẻ CH ⊥ AB H Ta có CH ⊥ AB (1) SA ⊥ (ABC) suy SA ⊥ CH (2) Từ (1) (2) suy CH ⊥ (SAB) suy d ( C , ( SAB ) ) = CH Và SH hình chiếu SC lên (SAB) · = 300 Suy ( SC , ( ABC ) ) = CSH SAB vuông A nên ta có: 0.55 0.25 SA = SB − AB = 9a − 4a = a 0.25 ∆ SAC vuông A nên ta có: SC = SA2 + AC = 5a + 4a = 3a ∆ SHC vuông H nên ta có: 3a · HC = SC.sin HSC = 3a.sin 300 = 3a ĐS: d ( C , ( SAB ) ) = CH = Cho cấp số cộng ( un ) , biết u3 = u7 = 15 Tìm số hạng u20 6b u3 = u + 2d = ⇔ Theo giả thiết ta có: u1 + 6d = 15 u7 = 15 d = ⇔ u1 = 0.5 0.25 0.25 Suy : u20 = u1 + 19d = + 19.2 = 41 ĐS: u20 = 41 0.5 Trong mp(ABC) kẻ CH ⊥ AB H Ta có CH ⊥ AB (1) SA ⊥ (ABC) suy SA ⊥ CH (2) Từ (1) (2) suy CH ⊥ (SAB) Và SH hình chiếu SC lên (SAB) · = 300 Suy ( SC , ( ABC ) ) = CSH 0.25 Trong mp(ABC) kẻ đường thẳng d qua C song song AB Kẻ AK ⊥ d K, suy AK//HC, suy AHCK hình chữ nhật Kẻ AO ⊥ SK O , suy AO ⊥ (SKC) Ta có AB//(SKC) suy d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SKC ) ) = d ( A, ( SKC ) ) = AO 7b 0.25 ∆ SAB vuông A nên ta có: SA = SB − AB = 9a − 4a = a ∆ SAC vuông A nên ta có: SC = SA2 + AC = 5a + 4a = 3a 3a · = 3a.sin 300 = SHC vuông H nên ta có: HC = SC.sin HSC 3a Suy AK = HC = Trong tam giác vuông SAK, đường cao AO, ta có: 0.25 9a AS AK = a 45 AO = = 2 AS + AK 29 9a 5a + 45 ĐS: d ( AB, SC ) = a 29 5a * Ghi chú: Mọi cách giải hợp lí khác cho điểm tối đa 0.25