số nguyên tố và sự phân bố số nguyên tố

Số nguyên tố là một trong những nội dung quan trọng của lý thuyết số. Các số nguyên tố được phân bổ như thế nào trong tập số tự nhiên luôn là câu hỏi dành được sự quan tâm lớn. Kết quả sớm nhất là một định lý cổ điển được giới thiệu bởi Eculid về sự vô hạn của các số nguyên tố và được xem như là một trong những định lý đẹp nhất của toán học. tuy nhiên thời gian gần đây vẫn chưa có câu trả lời cho câu hỏi “ các số nguyên tố được phân bố như thế nào ?” cho nên không thể tránh khỏi các bạn sinh vên còn bỡ ngỡ vấn đề này.vấn đề đặt ra ở đây là bổ sung một số kiến thức về số nguyên tố và sự phân bố số nguyên tố để các bạn gặp vấn đề này không còn lúng túng nữa.

Sự P PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý đo chọn đề tài

Số nguyên tố là một trong những nội dung quan trọng của lý thuyết số.Các số nguyên tố được phân bổ như thế nào trong tập số tự nhiên luôn là câuhỏi dành được sự quan tâm lớn Kết quả sớm nhất là một định lý cổ điển đượcgiới thiệu bởi Eculid về sự vô hạn của các số nguyên tố và được xem như làmột trong những định lý đẹp nhất của toán học tuy nhiên thời gian gần đâyvẫn chưa có câu trả lời cho câu hỏi “ các số nguyên tố được phân bố như thếnào ?” cho nên không thể tránh khỏi các bạn sinh vên còn bỡ ngỡ vấn đềnày.vấn đề đặt ra ở đây là bổ sung một số kiến thức về số nguyên tố và sựphân bố số nguyên tố để các bạn gặp vấn đề này không còn lúng túng nữa.Đây cũng là lý do tôi chọn đề tài “số nguyên tố và sự phân bố số nguyên tố”

1 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu tính vô hạn của tập số nguyên tố ,tính vô hạn của số nguyên

tố đặc biệt và các định lý tính chất của sự phân bố số nguyên tố vàcách chứng minh các định lý tính chất đó

2 Nội dung nghiên cứu

Đề tài gồm 3 phần

Phần 1: Đặt vấn đề

Phần 2: Nội dung

Phần 3: Kết luận

Nội dung chính của đề tài ở phần 2 gồm 2 mục là

Chương 1 tính vô hạn của các tập số nguyên tố

- Tính vô hạn của tập số nguyên tố

- Tính vô hạn của các số nguyên tố đặc biệt ( số fermat, số Mersenne,cặp số nguyên tố sinh đôi )

Chương 2 về sự phân bố của các số nguyên tố

Nêu khái niệm hàm trình bày ước giá đơn giản của hàm và chứng minhđịnh lí số nguyên tố

Trong quá trình thực hiện đề tài của mình em đã được sự giúp đỡ củagiảng viên thạc sĩ Nguyễn Thị Thanh Tâm Nhân dip này em cũng xin cảm

ơn cô giáo đã có sự hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm túc trong quátrình nghiên cứu.em xin cảm ơn

3 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu

PHÂN BỐ SỐ NGUYÊN TỐ

Chương 1 tính vô hạn của tập

số nguyên tố

1.1 Định nghĩa và các tính chất của số nguyên tố

Định nghĩa 1.1 Số nguyên p được gọi là số nguyên tố nếu p > 1 và p chỉ có

ước là 1 và chính nó Số nguyên p > 1 không là số nguyên tố thì là hợp số.

Tập các số nguyên tố thường được kí hiệu là P

Tính chất 1.1 Ước tự nhiên khác 1 nhỏ nhất của một số tự nhiên là một số nguyên tố.

Chứng minh.

Cho số a N, cho d là ước nhỏ nhất của a, d 1 Nếu d không nguyên tố thì

d = d1.d2, trong đó 1 < d1,d2 < d Suy ra di là ước thực sự của d Vì vậy di làước của a, d1 < d Điều này mâu thuẫn với sự nhỏ nhất của d □

Tính chất 1.2 Cho p nguyên tố, a N, a 0 Khi đó:

Chứng minh.

Giả sử n là hợp số, n = a.b, trong đó a,b Z, 1 < a b < n Ta có hoặc hoặc b < Giả sử a < , vì a có ước nguyên tố, giả sử đó là p, nên p cũng là

ước của n, p <

Vậy n có ước nguyên tố không vượt quá

Hệ quả 1 1 Nếu số tự nhiên a > 1 không có ước nguyên tố nào trong nửa

khoảng (1,] thì a là số nguyên tố.

1.2 Một số định lý quan trọng của số học

Định lí 1.1.1 Mọi số nguyên dương a > 1 đều phân tích được thành tích

các thừa số nguyên tố, sự phân tích đó là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các thừa số.

Nếu a1 > 1 thì a1 phải có một ước nguyên tố p2, và ta có a1 = p2.a2 do đó

a = p1.p2.a2, với 1 < a2 < a1 Nếu a2 = 1 thì a = p1.p2 là dạng phân tích của a thành thừa số nguyên tố, còn nếu a2 > 1 thì ta lập lại lý luận ở trên được số nguyên tố p3, Quá trình này phải kết thúc sau một số hữu hạn lần vì ta có

a > a1 > a2 > , nên tồn tại n N thoả mãn an = 1, và ta được a = p1.p2 pn.

Trong sự phân tích trên thì có thể xảy ra trường hợp trong tích có

nhiều thừa số nguyên tố lặp lại, gọi p1,p2, ,Pk là các thừa số nguyên tố đôi một khác nhau của a, với các bội tương ứng là a1,a2, ,ak , (ai > 0,i = 1, ,k), thì ta được a = , gọi là dạng phân tích tiêu chuẩn của a.

* Tính duy nhất: Ta giả sử a có hai dạng phân tích tiêu chuẩn:

a = =

Khi đó: pi| , i = 1, , k Vì các qj (j = 1, , l) là đôi

một khác nhau nên mỗi Pi trùng với một qj nào đó và tương tự mỗi qj trùng

với một pi nào đó Vì vậy k = l và nếu trong hai dạng phân tích tiêu chuẩntrên đều sắp xếp các thừa số nguyên tố theo thứ tự tăng dần thì pi = qj, i.Nếu > thì ta chia cả hai phân tích trên cho , ta được:

Hệ quả 1 2 Nếu p|abc l thì p|a hoặc p|b hoặc p\l.

Định lí 1.1.3 (Định lý thứ hai của Euclid)

Số các số nguyên tố là vô hạn.

Định lí 1.1.4 Tồn tại những dãy số liên tục là các hợp số mà độ dài của nó

lớn hơn một số n bất kỳ cho trước.

Chứng minh.

Cho trước số n bất kỳ Theo định lý Euclid ở trên ta thấy luôn tồn tại số

nguyên tố p > n Xét dãy 2, 3, 5, ,p các số nguyên tố không vượt

quá p Đặt q = 2.3.5 p thì q + 2, q + 3, q + 4, , q + p là các hợp số

Rõ ràng đó là p – 1 số hợp số liền nhau thoả mãn p — 1 > n.

Định lí 1.1.5 Không tồn tại đa thức mà tất cả các giá trị của nó tại các điểm x Z đều là nguyên tố.

Chứng minh.

Giả sử , deg 1 Khi đó = ± Suy ra

n0 Z sao cho |f(n0) |> 1 Giả sử p là một ước nguyên tố của f (no), xét khai

f(n0+pt) = f(n0) + p f(n0,t,p)Suy ra p\f (n0 + pt) với t tuỳ ý Ta chọn được t đủ lớn để |f (n0 + pt)| > p Suy

ra f (n0 + pt) là một hợp số

Định lí 1.1.6 Cho a là một số nguyên với dạng phân tích tiêuchuẩn

a = Khi đó số nguyên d là ước của a khi và chỉ khi nó có dạng d = với 0 < < ,i = 1, , k

Chứng minh.

Giả sử d là ước của a, khi đó tồn tại số nguyên q sao cho a = dq Đẳngthức này chứng tỏ rằng nếu d > 1 thì mọi ước nguyên tố của d là ước nguyên

tố của a và số mũ của ước nguyên tố ấy trong dạng phân tích tiêu chuẩn của

d không lớn hơn số mũ của nó trong dạng phân tích tiêu chuẩn của a Bởivậy:

d = với 0 < < ,i = 1, , k

Nếu d = 1 thì ta viết d =

Ngược lại, giả sử a và d là hai số nguyên thoả mãn điều kiện của định lý, khi

đó , i = 1, , k nên q = là một số nguyên và a = dq, nghĩa là d là ước của a.

Định lý trên cho ta xác định tất cả các ước của một số tự nhiên

a > 1, nếu số nguyên a > 1 có dạng phân tích tiêu chuẩn

a = thì số các ước nguyên dương của a là (a1 + 1)(a2 + 1) (ak + 1), định lý

trên cũng cho ta phương pháp để tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏnhất của nhiều số

3.3 Các chứng mỉnh về sự vô hạn của tập số nguyên tố

Định lý Có vô hạn số nguyên tố

Trước hết, ta trở lại cách chứng minh của Euclid: Giả sử có hữu hạn số

nguyên tố là p1,p2, ,pn, Mỗi số nguyền tố đều là số nguyên dương nên ta có

Nhưng lúc này p| p1p2 pi pn bởi vậy p không thể chia hết p1p2 pn + 1điều này dẫn đến mâu thuẫn Bởi vậy p không là một trong các số nguyên tố đã

cho, cho thấy các số nguyên tố phải là vô hạn

Chú ý rằng, hoàn toàn tương tự ta có thể dễ dàng xét với

N= p1p2 pn - 1.

Ta có thể chứng minh theo cách sau:

Ta lại giả sử rằng chỉ có hữu hạn các số nguyên tố là p1p2 pn ,Hiển

nhiên n 2 Đặt P = Chia P thành hai tập con khác rỗng

tách rời nhau P1 và P2 Xét số m = q 1 + q2, trong đó q là tích của tất cả các số

nguyên tố thuộc P1 và q1 là tích của tất cả các số nguyên tố thuộc P2 Giả sử

p là ước nguyền tố của m Do p p nên p chia hết hoặc q1 hoặc q1 nhưng

không chia hết cả hai và bởi vậy p không thể chia hết m điều này đưa đến mâu thuẫn Suy ra p không thuộc P , và như vậy tập số nguyên tố là vô hạn.

Sau đây là các chứng minh khác về tính vô hạn của tập số nguyên tố

Chứng minh 1(Sử dụng giai thừa) Giả sử rằng là tất cả các số nguyên tố.

Đặt N = , hiển nhiên với mỗi i ta có Pi < N Giả sử q là ước số nguyên tố nhỏ nhất của N! + 1 Nếu q < N thì q chia hết N!, bởi vậy q không thể chia hết N! + 1 q > N và khi đó q > pi với i = 1 n Do đó, q không là một trong các số

pivà như vậy tập số nguyên tố là vô hạn

Ta có thể sử dụng giai thừa để chứng minh theo cách sau:

Với mỗi n > 1 giả sử qn là ước số nguyên tố nhỏ nhất của n! + 1 Theo chứng minh trên ta phải có qn > n và bởi vậy tập số nguyên tố không thể là hữu hạn.

Trong chứng minh tiếp theo ta sẽ sử dụng hàm phi euler Với mỗi số

nguyên dương n ta xác định hàm

= số các số nguyên x n, với {x, n) = 1

Với một số nguyên tố p ta có = p — 1 và nếu (a, b) = 1 thì =

Chứng minh 2 (sử dụng hàm phỉ euler) Giả sử chỉ có các số nguyên tố là và đặt N = Chú ý rằng nếu pi > 2 khi đó Nếu 1 < n < N khi đó n phải có ước

số nguyên tố là , và bởi vậy là ước chung của n và N Như vậy (n, N) 1 hay

n và N không nguyên tố cùng nhau với mọi 1 < n < N, theo định nghĩa của

hàm ta có Mặt khác

dẫn đến mâu thuẫn

Chứng minh 3 (Chứng minh của Goldbach):

Số được gọi là số Fetmat thứ n.Cho trước 2 số Fermat và(k > 0),giả sử m|,m|

Đặt x = , ta có :

Vì vậy mặt khác m| nên m| Từ đó suy ra m|2 Do là số lẻ nên m = 1 Như vậy ta chứng minh được 2 số fermat bất kỳ không có ước chung nào lớn hơn 1

Từ dó suy ra rằng một trong các sốdều chia hết cho một số nguyên tố lẻ p mà

p không là ước của bất kì mooth số nào khác trong dãy trên vậy có ít nhất n

số nguyên tố không vượt quá dãy số fermat là vô hạn nên có vô hạn sốnguyên tố

Chứng minh 4 Như trên, giả sử rằng chỉ có các số nguyên tố và N = Đặt:

Do aN một số tự nhiên nên nó có ít nhất một ước số nguyên tố, mà theo giả

thiết thì chỉ là các số Khi đó |aN và với i j- Do N là một tổng nên , dẫn đến

mâu thuẫn

giả sử là tập các đa thức với hệ số nguyên và đặt tính vô hạn của số nguyên

tố được suy ra từ các bổ đề sau:

Bổ đề 1.3.1 Với mỗi đa thức khác hằng số, tập các ước số nguyên tố của

{f{k); k No} là vô hạn Trường hợp đặc biệt, tập các số nguyên tố là vô hạn

Với k đủ lớn số tự nhiên M phải có ít nhất một ước nguyền tố p không

chia hết b và như vậy p u, mâu thuẫn.

Một số chứng minh tính vô hạn của số nguyên tố dựa vào yếu tố giải tích

□

Định lý 1.3.2 Tổng ( trong đó p nguyên tố) là phân kỳ, từ đó suy ra các số

nguyên tố là vô hạn

Chứng minh Hiển nhiên, nếu chuỗi (p nguyên tố) là phân kỳ thì phải có vô

hạn số nguyền tố vì ngược lại ta được một tổng hữu hạn

Có hai cách chứng minh tổng này là phân kỳ: cách thứ nhất là chứng minhtrực tiếp, cách thứ hai là sử dụng hàm zeta Riemann

Giả sử là dãy không giảm các số nguyên tố có thể hữu hạn hoặc vô hạn Ta

Mệnh đề đúng với k + 1, theo nguyên tắc quy nạp mệnh đề đúng với mọi n

Ta sử dụng bổ đề này để chứng minh định lý 1.2.3 Giả sử rằng:

hội tụ Lúc này ta không giả sử có vô hạn các số nguyên tố Nếu chỉ có hữu hạn các số nguyên tố thì đây là một tỗng hữu hạn Do chuỗi này là hội tụ và

là dãy tăng nên tồn tại N sao cho:

Cố định giá trị N này, giả sử Qn{x) với số tự nhiên x bất kỳ là số các số

nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng X không chia hết bởi bất kỳ số nguyên tố

nào Cho trước số nguyền tố p số các số nguyên nx và chia hết bởi p nhỏ hơn

Từ đó suy ra với số nguyên x bất kỳ

Theo giả sử

□

Bởi vậy < Mặt khác, nếu n < x và n không chia hết bởi bất kỳ thì trong đó

m không chính phương Bỏi vậy trong đó e i = 0 hoặc bằng 1 Như vậy có tối

đa 2 N cách chọn 772 Hơn nữa có tối đa cách chọn n1 Từ đó ta có:

Cố định N, khi x đủ lớn ta có mâu thuẫn và bởi vậy

( p nguyên tố) là phân kỳ

Cách chứng minh sử dụng hàm zeta Riemann

Chứng minh Với mỗi số thực s > 1 ta định nghĩa hàm zeta Riemann bởi:

Do

phân kỳ nên khi s tổng phân kỳ Do n có thể biểu diễn được dưới dạng tích

các số nguyền tố, nền hàm zeta Riemann có thể viết lại dưới dạng tích

Ta có

Bởi vậy

Tích này được gọi là tích Euler

Bây giờ ta giả sử rằng các số nguyên tố là hữu hạn hay hội tụ, nhưng ta đã chỉ

ra rằng phân kì khi s 1 và bởi vậy các số nguyên tố là vô hạn

Định nghĩa 1.4.1 Các số Fermat là dãy (Fn) các số nguyên dương xác định

Một số tác giả khác gần đây đã chứng minh được rằng Fn là hợp số với

Liệu rằng số nguyền tố Fermat là vô hạn? Một số giả thuyết khác cho rằng sốnguyên tố Fermat là hữu hạn Mặt khác, nếu một số có dạng

2 n +1 là số nguyền tố thì nó phải là số nguyền tố Fermat

Định lý 1.4.2 Nếu a 2 và a n + 1 là một số nguyên tố, thì a là số chẵn và n =

2 m với m là số nguyên không âm nào đó Đặc biệt, nếu p = 2 k + 1 là số nguyên tố thì k = 2 n với n nào đó, hay nói cách khác p là một số nguyên tố Fermat.

Chứng minh Nếu a lẻ thì a n +1 là số chẵn bởi vậy không là một số nguyên

tố Giả sử a chẵn và n = kl với k lẻ và k 3 Khi đó

Bởi vậy, a l + 1 chia hết a kl + 1 nếu k 3 Do đó, nếu a n + 1 là một số nguyên

tố, thì n = 2 m

Bổ đề 1.4.3 Giả sử (F n) là dãy các số Fermat Khi đó nếu m n ta có (Fn,Fm) =

1 Bổ đề có thể phát biểu dưới dạng: "Không tồn tại hai số Fermat có ước số

Như vậy, với mỗi số Fn phải có ít nhất một ước số nguyên tố mà các phần

tử của dãy (Fn) nguyền tố cùng nhau, và từ tính vô hạn của dãy (F n) ta suy ra

được tính vô hạn của tập số nguyên tố

Định nghĩa 1.4.3 Các số Mersenne là dãy (Mn) các số nguyên dương được

Fermat là có vô hạn số nguyên tố Mersenne? Số nguyên tố Mersenne lớnnhất đến nay là số nguyên tố Mersenne thứ gồm 12.837.064 chữ số được tìm

ra bởi Odd Magnar Strindmo vào tháng 4 năm 2010 về kỉ lục của sốMersenne có thể tham khảo tại website: http://www.mersenne.org

Ta có định lý sau:

Định lý 1.4.4 Giả sử a, n là những số nguyên dương Nếu — 1 là số nguyên

tố thì a = 2 và n là số nguyên tố Trong trường hợp đặc biệt, nếu một số Mersenne Mn là một số nguyên tố Mersenne thì n là số nguyên tố.

Chứng minh Giả sử a 3 thì a — l| — 1 Bởi vậy nếu a n - 1 là số nguyên tố

□

thì ta phải có a — 2 Hơn nữa, nếu n = kl với 2 k, l < n thì

Như vậy, nếu 2 n - 1 là số nguyên tố thì n phải là số nguyên tố.

Ta sẽ sử dụng các số Mersenne để chứng minh tính vô hạn của tập số nguyên tố

Cuối cùng

Giả sử rằng , suy ra với i = 1 s

Bởi vậy

Ta sử dụng để chứng minh tính vô hạn của tập số nguyên tố

Giả sử P = là tập hữu hạn các số nguyên tố với 2 = D = Khi đó

Nói chung i = 1 n mỗi là lẻ và bất kỳ hai trong số chúng không có ước sốnguyên tố lẻ.Do chỉ có n – 1 số nguyên tố lẻ trong P nên phải tồn tại sốnguyên tố lẻ nằm ngoài P( do đó n số nguyên tố lẻ dạng

Vậy tập số nguyên tố là vô hạn

Chú ý : ở trên chúng ta dã chỉ ra một số cách chứng minh tính vô hạn của tập

số nguyên tố và cũng chỉ ra sự vô hạn của các số nguyên tố có dạng đặc biệt.Ngoài ra chúng ta có thể chứng minh tính vô hạn của các số nguyên tố códạng đặc biệt khác.Chẳng hạn, 8n + 1, 8n + 3, 8n+ 5, 8n + 7,

1.5 Sự vô hạn của các cặp số nguyên tố sinh đôi

Định nghĩa 1.5.1 Cặp số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyền tố p và q sao

2409110779845.260000 ± 1

và cặp 665551035.280025 ± 1 được tìm ra bởi P.Carmody

Kỷ lục hiện nay được tìm ra bởi D Papp vào năm 2004 đó là cặp số

154798125.2169690 ± 1Vậy có vô số cặp số nguyên tố sinh đôi ?

Định lý Brun sau cho thấy nếu có vô hạn cặp số nguyền tố sinh đôi thì tổngnghịch đảo của chúng hội tụ Chúng ta đã chứng minh được rằng tổng

Hệ quả 1.5.4 Ký hiệu P(x) là số các số nguyên tố p x sao cho p + 2 vẫn là số

nguyên tố Khi đó với x 3 ta có

trong đó k là một hằng số

Chứng minh định lý Brun Ký hiệu là số các số nguyên tố p x sao cho p +

2 vẫn là số nguyền tố Khi đó theo hệ quả trên ta có

trong đó k là một hằng số.

Giả sử là cặp số nguyên tố sinh đôi thứ r Khi đó với mọi

r 1 ta có

Sử dụng tích phân ta thấy chuỗi vô hạn

Hội tụ Theo tiêu chuẩn so sánh chuỗi

Hội tụ

Mặt khác, từ

theo tiều chuẩn so sánh ta suy điều phải chứng minh

Về các cặp số nguyên tố sinh đôi ta có các hệ quả sau:

Hệ quả 1 5 5 Số tự nhiên 5 là số nguyên tố duy nhất xuất hiện trong hai cặp

số nguyên tố sinh đôi khác nhau

Hệ quả 1 5 6 Giả sử p, q là những số nguyên tố, khi đó pq + 1 là chính

phương khỉ và chỉ khi p và q là cặp số nguyên tố sinh đôi.

Hệ quả 1 5 7 Nếu p, q là một cặp số nguyên tố sinh đôi lớn hơn 3 thì

Chương 2 Sự phân bố các số nguyên tố

Dãy các số nguyên tố đầu tiên là 2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23, 29, 31,37,

Bằng cách dùng sàng Eratosthenes ta dễ dàng xây dựng một bảng

các số nguyên tố trong giới hạn N

Ta đã biết nếu n là số tự nhiên, n < N và n không là số nguyên tố thì n

chia hết cho một số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng Ta viết xuống dãy các số2,3, 4, 5,6, 7,8, N và thực hiện tiến trình như sau:

* Vì 2 là số nguyên tố đầu tiên nên ta xoá những số sau 2 và chia hết cho

2 Số đứng sau 2 còn lại đầu tiên là 3 nên 3 là số nguyên tố

* Tiếp tục bỏ những số sau 3 và chia hết cho 3 Số đứng sau 3 còn lại đầutiên là 5 nên 5 là số nguyên tố

* Gạch bỏ những số sau 5 và chia hết cho 5 Số đứng sau 5 còn lại đầutiên là 7 nên 7 là số nguyên tố

Tiếp tục quá trình như vậy ta gạch bỏ khỏi dãy những số chia hết cho các

số nguyên tố nhỏ hơn Quá trình sẽ dừng lại cho đến khi gạp số nguyên tốlớn hơn hoạc bằng Tất cả các số chưa bị xoá là số nguyên tố

Như vậy theo thuật toán trên, để kiểm tra tính nguyên tố của n ta cần thựchiện số phép chia đúng bằng số các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng Tuynhiên số phép chia đó là rất lớn nếu n là những số lớn

Giả sử rằng 2, 3, 5, 7, ,p là dãy các số nguyên tố không vượt quá P Khi đó

mọi số nhỏ hơn hoạc bằng P đều chia hết cho một số nào đó trong dãy trên

Vì vậy nếu đạt q = 2.3.5.7 p thì tất cả các số

q ± 2, q ± 3, q ± 4, , q ± p đều là hợp số Như vậy mặc dù số các số nguyên tố là vô hạn, tức p có thể rất lớn, nhưng tất cả các số nguyên tố ấy

chỉ là một vài điểm so với tập các hợp số

Khi nói đến sự phân bố các số nguyên tố có một vài câu hỏi được đặt ra nhưsau: Có một công thức tổng quát, đơn giản nào để xác định số nguyên tố thứ nkhông? Có một công thức tổng quát để xác định số nguyên tố tiếp theo một số

nguyên tố cho trước không? Có một quy tắc để từ một số nguyên tố p đã cho

có thể tìm được số nguyên tố q lớn hơn không? Có bao nhiêu số nguyên tố không vượt quá một số x cho trước? Nhiệm vụ chính của chương này là

trình bày câu trả lời của những câu hỏi đó

Lý thuyết về sự phân bố các số nguyên tố cần sử dụng một số kiến thức

về tính chất của hàm logarit Trong đề tài này chúng ta sẽ thừa nhận và sửdụng những tính chất của hàm logarit và hàm mũ đã được học trong giải tích

cổ điển Xét hàm số f (x) = e1, ta có:

Vì vậy hàm ex tiến ra 0 nhanh hơn so với hàm luỹ thừa của x Ta đãbiết hàm ỉnx là hàm ngược của hàm ex Nên hàm ỉnx tiến ra 0 chậm hơn sovới hàm luỹ thừa dương của x

Nghĩa là ta có,

Tương tự, ta có hàm ln(lnx) tiến ra chậm hơn so với hàm luỹ thừadương của lnx

Hàm là hàm số quan trọng trong lý thuyết các số nguyên tố và lnx

nó sẽ được sử dụng nhiều trong quá trình chứng minh các định lý dưới đây

2.2 Ước giá đơn giản nhất của

Định nghĩa 2.2.1 Định nghĩa (x) là hàm số học biểu thị số các số nguyên

tố không vượt quá x

Chẳng hạn: (10) = 4, (100) = 25 Do tập các số nguyên tố là vô hạn nên ta có

1

Định lí 2.2.2 Với ta luôn có (x) > lnx - 1; Nếu ta kí hiệu pn là số nguyên

Giả sử 2, 3, 4, , pj là j số nguyên tố đầu tiên Ký hiệu N(x) là hàm biểu thị

số các số nguyên n không vượt quá x và không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố