Thu gọn hệ lực Phương trình cân bằng của hệ lực

14 Chương THU GỌN HỆ LỰC PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC Nội dung Chương đưa dạng thu gọn tương đương hệ lực, điều kiện cân hệ lực làm sở để đánh giá tác dụng chúng giải toán cân vật rắn, hệ vật rắn Yêu cầu Nắm vững điều kiện tương đương hai hệ lực, điều kiện cân hệ lực Biết cách áp dụng giải toán cân vật rắn, hệ vật rắn 2.1 HAI ĐẠI LƯNG ĐẶC TRƯNG CỦA HỆ LỰC Vector hệ lực , 1- Đònh nghóa: vector hệ lực vector tự ( R ) tổng , vector lực thuộc hệ: R = ΣF k • 2- Phương pháp xác đònh R’ R' Hình học: vector đóng kín đa giác lực Giải tích: R X ' , Y ' , Z ' ⇔ X ' = ΣFky ; Y ' = ΣFky ; Z ' = ΣFkz ( F2 F1 (2.1) Fn ) (2.2) Vector mômen hệ lực tâm 1- Đònh nghóa: vector mômen hệ lực tâm O ( M o ) hệ lực tổng vector mômen lực thuộc hệ lấy tâm đó: 2- Phương pháp xác đònh Dùng (1.2) nhận được: r r M o = Σ(Z k y k − Yk zk ) i + Σ(X k zk − Z k x k ) j + Σ(Yk x k − X k y k )k r đó: lực F (X k , Yk , Zk ) - bán kính điểm đặt lực thứ k rk (xk, yk, zk) , 3- Tính bất biến R M o qua phép biến đổi tương đương (2.4) 15 , Đònh lý 2.1 Hai đại lượng R M o bất biến qua phép biến đổi tương đương (tiên đề 3) , Chứng minh Do cặp lực cân có R = M o = (tâm O tùy ý), dùng , tiên đề có R M o hệ lực không đổi Với tiên đề 3: - Xét hai lực F , F hợp lực F 12 H.2.1 F + F = F 12 , ⇒ R = ΣF X = F + F + F + + F n = F 12 + F + + F n , ⇒ R bất biến dùng tiên đề - Đặt F 12 (X, Y, Z) F i (X1, Y1, Z1), F 12 (X2, Y2, Z2) Theo tiên đề 3: F X = X1 + X2; Y = Y1 + Y2; Z = Z1 + Z2 Dùng công thức (1.2): r r r ⇒ m o (F1 ) + m o (F ) = m o (F12 ) Chứng tỏ: Mo F12 A r r r r = m o (F1 ) + m o (F ) + m o (F ) + … + m o (F n ) r r r = m o (F12 ) + m o (F ) + … + m o (F n ) F2 Hình 2.1 ⇒ M o bất biến phép biến đổi tiên đề 2.2 ĐỊNH LÝ TƯƠNG ĐƯƠNG CƠ BẢN ⎧⎪ R' = R' Đònh lý 2.2 ϕ1 (F k ) ≡ ϕ (P i ) ⇔ ⎨ ⎪⎩ M1 = M Chứng minh Trước hết ta chứng minh: 1) , ⎧ , ⎪R = R ϕ1 (F k ) ≡ ϕ (P i ) ⇒ ⎨ ⎪⎩M = M Chúng ta thừa nhận hai hệ lực tương đương biến đổi qua phép biến đổi tương đương (tiên đề 2, 3) , Do: ϕ1 (F k ) ≡ ϕ (P i ) nên ta biến đổi chúng qua Song R M o bất biến phép biến đổi, suy ra: , ⎧ , ⎪R = R ⇒ ⎨ ⎪⎩M = M 16 , ⎧ , ⎪R = R ϕ1 (F k ) ≡ ϕ (P i ) ⇐ ⎨ ⎪⎩M = M 2) Xét hệ ϕ1 (F k ) ϕ (P i ) Chúng ta lấy điểm O hai điểm A, B (A, O, B không thẳng hàng), phân tích lực F k ≡ (F kO , F kA , F kB ) , thành phần tương đương qua O, A, B ⇒ hệ ϕ (F k ) ≡ ba hệ lực đồng quy: ϕ1 (F kO ); ϕ2 (F kA ); ϕ3 (F kB ) Dễ dàng nhận được: ϕ1 (F kO ) ≡ Fo; ϕ2 (F kA ) ≡ F A ; ϕ3 (F kB ) ≡ F B ⇒ ϕ1 (F k ) ≡ (FO , F A , F B ) Gọi OE giao tuyến hai mặt ** FO phẳng (O, F A ) (O, F B ) Trên OE lấy điểm I phân tích lực F A theo phương AO AI, F B theo phương BO BI Tiếp tục trượt lực O I lấy hợp lực (tiên đề 3) FK * FO FO B FB FA FI A * FL ⇒ ϕ1 (F k ) ≡ (F O , F A , F B ) ≡ (F O , F ) L I E tương tự ta có: * Hình 2.2 ϕ (P i ) ≡ (P O , P A , P B ) ≡ (P O , F H ) (H thuộc giao tuyến OG, khác OE) Cuối cùng, lấy điểm L thuộc giao tuyến hai mặt phẳng (O, F I ) (O, P H ) Phân tích lực F P H theo phương qua L O, trượt lực ** thành phần hai điểm O, L Sau lấy hợp lực F O F L : ** ⇒ ϕ1 (F k ) ≡ (F O , F L ) ** tương tự ta có: ϕ (P i ) ≡ (P O , P L ) Dùng điều kiện: r - M1O = M2O ⇔ m O (F L ) - , R1 , = R2 ** r = m O (P L ) ** ⇔ FL + FO = P L + P O ⇒ FL = P L ** ** ⇒ FO = P O ⇒ ϕ (F k ) ϕ (P ) biến đổi tương đương sang hệ lực thứ ba trùng Chứng tỏ: ϕ1 (F k ) ≡ ϕ (P ) 2.3 CÁC HỆ QUẢ 17 Vector mômen ngẫu lực , 1- Xét hệ hai lực: ( F, F ) phương, ngược chiều, cường độ , , khác giá tác dụng Do R = 0, M O ≠ , nên ( F, F ) không tương đương lực, hệ lực tối giản đặc biệt, gọi ngẫu Chúng ta chứng tỏ mômen ngẫu không phụ thuộc tâm lấy mômen: F , r r = mO (F) + mO (F ) MO = OA × F + OB × F d A , , = OA × F + OA × F + AB × F , , , = OA × (F + F ) + AB × F = AB × F (đpcm) , 2- Hai ngẫu: ( F, F ) , ( F1 , F1 ) α MO , O • có vector B F’ Hình 2.3 mômen tương đương (vì , R = 0) Chứng tỏ vector mômen ngẫu vector tự do, hoàn toàn đặc trưng cho ngẫu, gọi ngắn gọn vector mômen ngẫu Đònh lý thu gọn Hệ lực ϕ1 (F k ) , thu gọn tâm O, tương đương với lực , vector hệ lực R ngẫu vector mômen hệ lấy với tâm O đó: , ϕ(F k ) ≡ (R o , M o ) , r R o = ΣF k và: Mo = Σm o (F K ) với: Chứng minh Với O tuỳ ý xác đònh cần chứng minh hệ lực gồm hai thành phần: lực R vector ngẫu có mômen mômen hệ lực tâm Hệ lực tương đương với hệ lực ban đầu vector vector mômen tâm O chúng Các trường hợp đặc biệt r , 1- ≠ R ⊥ M O ⇔ ϕ(F k ) ≡ R Δ , r r (hợp lực R Δ có giá Δ với R Δ = R giá Δ thỏa mãn m O (R Δ ) = Σm O (F k )) r Chứng minh Chọn A ∈ mặt phẳng ⊥ M O qua O, Δ // R , 18 Mo Cách O đoạn d = R , , , nằm hướng R quay 90o theo chiều M o lấy A ∈ Δ ⇒ r r r r , r , ϕ(F k ) ≡ (R O , M O ) ≡ R A m A (R'o ), M o ) ≡ (R A ) ≡ (R Δ ) 1442r 443 ≡O Hợp lực hệ lực đặc biệt - Hệ lực song song: ( F k // OZ ) , r Nếu R ≠ có hợp lực: ϕ(Fk ) ≡ R Δ - Hệ lực phẳng: (F k ∈ Oxy) , r Nếu R ≠ ⇒ ϕ(F k ) ≡ R Δ (có hợp lực) ta lấy điểm A ∈ Oxy làm tâm thu gọn: ⇒ M A ⊥ Oxy ⇒ M A ⊥ R - Hợp lực hệ lực phẳng song song Cho hệ lực phân bố H.2.4 Xét phân tố Δx k , hệ lực phân bố độ dài tương đương lực F k : r F k = q(x 'k ).Δx k - đặt x 'k Hợp lực: R Δ = F = ΣF k = l ∫ F q(x) RΔ r q(x)dx X o O Giá Δ xác đònh từ điều kiện: MΔo = ΣmΔO (F k ) = Fk l ∫ q(x).x dx d X’k Δ Xk Hình 2.4 o l R Δ d = M ΔO M ΔO →d = = RΔ ∫ q(x).xdx o l (2.5) ∫ q(x)dx o đó: ΔO - trục qua O vuông góc mặt phẳng lực - Hệ lực phân bố (H.2.5) l2 = l Hợp lực: R ; R = qo.l; OI = qol qo (2.6) - Hệ lực phân bố tuyến tính (H.2.6) có ngay: q(x) = qo q x → R = o ; OI = 1 (2.7) 19 F RI RI qo qo x O I l I O l l Nhận xét: Các hợp lực có cường độ diện tích phân bố, qua trọng tâm biểu đồ diện tích , , 2- R = 0, Mo ≠ ⇔ ϕ(F k ) ≡ ngẫu tổng hợp (Q, Q ) có mômen mômen hệ lực tâm O , , Chú ý: Khi R = 0, ϕ(F k ) ≡ ngẫu (Q, Q ) nên mômen hệ không phụ thuộc tâm lấy mômen , (2.8) 3- R = 0, Mo ≠ ⇔ ϕ(F k ) ≡ , , Chứng minh Do hệ lực cân ( F, F ) có R = mômen tâm O M o = Hệ ba lực cân Hệ ba lực cân đồng phẳng Nếu lực song song với phải đồng quy Chứng minh Xét hệ ba lực (F1 , F , F ) ⇔ R = M A = (tâm A tùy ý) Có thể xảy trường hợp: • F // F : Từ: R = ⇒ (F1 + F = −F ) ≠ Chứng tỏ: ⎧⎪∈ mặt phẳng (F , F ) (F , F ) ≡ R 12 ⎨ ⎪⎩// F ⇒ (F1 , F , F ) ≡ (R12 , F ) ≡ Chứng tỏ F giá với R 12 ⇒ F // F // F đồng phẳng • F không song song với F Chọn điểm A tùy ý cố đònh thuộc giá F làm tâm lấy mômen chính: 20 Hai vector mômen đặt A mà có tổng ⇒ chúng phương ⇔ hai mặt phẳng (F , A ) (F , A) trùng nhau, tức (F , F , A ) đồng phẳng Do A tùy ý nên suy (F , F , F ) phải thuộc mặt phẳng Gọi giao điểm F , F I, để chứng minh ba lực đồng quy sử dụng: r r r r M1 = m1 (F1 ) + m1 (F ) + m1 (F ) = + + m1 (F ) = ⇒ F phải qua I (do F ≠ 0) Vậy (F , F , F ) đồng quy phẳng 2.4 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC Từ (2.8) nhận điều kiện cân hệ lực: Hệ lực tổng quát (không gian) ⎧ R ,x ⎪ , ⎪ Ry ⎪ R, ⎪ ≡ ϕ(F k ) ⇔ ⎨ Z ⎪M ox ⎪M ⎪ oy ⎪⎩ M oz = ΣFkx = = ΣFk y = = ΣFk z = (2.9) = Σm x (F k ) = = Σm y (F k ) = = Σmz (F k ) = Với hệ lực đặc biệt số phương trình tự thỏa mãn nên số điều kiện giảm Hệ lực song song (F k // OZ) ⎧ ⎪ ⎪ ≡ ϕ(F k ) ⇔ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ΣFk z = ∑ m x (F k ) = ∑ m y (F k ) = (2.10) Do ba phương trình lại tự thỏa mãn Hệ lực đồng quy ϕ(F ok ), lực qua O Do: MO ⎧ ΣFkx = ⎪ ≡ ϕ(F k ) ⇔ ⎨ ΣFky = ⎪ ⎩ ΣFkz = r = Σm O (F k ) = tự thỏa mãn (2.11) z Hệ lực phẳng ϕ(F k ), ∀F k ∈ Oxy MA Với điểm A tùy ý thuộc mặt phẳng lực Oxy y A m A (F k ) = m AZ (F).k = ± d k Fk k x dk Hình 2.7 Fk 21 Vector mômen lực phương nên ta quy ước thay m A (F k ) giá trò đại số: (2.12) m A (F k ) = m AZ (F k ) = ± d k Fk Ta lấy dấu (+) (-) theo quy tắc mômen lực trục (H.2.7) Điều kiện cân hệ lực phẳng có ba dạng: Dạng 1: ⎧ΣFk x = ⎪ ≡ ϕ(F k ) ⇔ ⎨ΣFky = ⎪ ⎩Σm A (F k ) = M A = (2.13) với A tùy ý thuộc mặt phẳng lực ⎧⎪R = Điều kiện hiển nhiên (2.12): ⇒ ⎨ ⎪⎩M A = Dạng 2: ⎧ΣFk x = ⎪ ≡ ϕ (F k ) ⇔ ⎨M A = Σm A (F k ) = ⎪M = Σm (F ) = k ⎩ B B (2.14) (với AB OX ) Chứng minh Hệ lực ϕ(F k ) tương đương đồng thời hệ hệ (H.2.8) ⇒ hệ ≡ hệ Thu hệ B: R’k , , r ⇒ hệ ≡ (R B , m B (R A ) ≡ hệ , r ⇒ m B (R A ) = R’B A A Hệ Hệ Hình 2.8 Điều chứng tỏ: ' - Hoặc R A có giá qua B: , ⇒ R x = ΣFk x ≠ mâu thuẫn điều kiện ' - Hoặc R A = kết hợp M A = ta có điều phải chứng minh Dạng 3: ≡ ϕ (F k ) ⇔ ⎧M A = Σm A (F k ) = ⎪ ⎨MB = ΣmB (F k ) = ⎪M = Σm (F ) = k C ⎩ C (2.15) ' , Sử dụng phương pháp chứng minh trên: R A ≠ R phải có giá chứa đoạn AB AC, A, B, C, không thẳng hàng nên xảy , trường hợp Vậy R = , ta có điều phải chứng minh 2.5 BÀI TOÁN CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN Mô hình toán 22 Một vật rắn không tự (chòu liên kết) chòu tác dụng lực (lực hoạt động) cân Những yêu cầu đặt là: - Xác đònh phản lực liên kết - Tìm điều kiện cân Tức tìm yêu cầu lực hoạt động yếu tố hình học để vật khảo sát cân Phương pháp giải 1- Chọn vật khảo sát: xem xét kỹ mô hình toán (hình vẽ), chọn vật rắn (có thể chất điểm) chòu tác động tất lực hoạt động 2- Đặt lực: lực bao gồm lực hoạt động phản lực liên kết Xem xét kỹ mô hình vật khảo sát, xác đònh đầy đủ liên kết, so sánh với mô hình mẫu để thay hết liên kết phản lực tương ứng 3- Lập phương trình cân - Phân tích lực đặt vào vật khảo sát (kể phản lực) theo ba phương trục toạ độ - Lập phương trình cân từ điều kiện cân hệ lực (kể phản lực): ⎧ΣFk x = ⎪ ⎨ΣFk y = và: ⎪ ⎩ΣFk z = ⎧Mox = ⎪⎪ ⎨Moy = ⎪ ⎪⎩Moz = ∑ mx (Fk ) = ∑ my (Fk ) = ∑ mz (Fk ) = - Với lưu ý ngẫu tồn hệ lực đặt vào vật không xuất phương trình hình chiếu đảm bảo vector không Chú ý: Nếu F ⊥ Δ ⇒ m Δ (F) = ± Fd đó: d - đoạn vuông góc chung Δ F Dùng (1.4) (2.4) chúng nhận được: M ox = Σ(Fkz y k − Fky z k ) = 0; M oy = Σ(Fkz z k − Fky x k = Ở đây: (xk, yk, zk) - toạ độ điểm đặt lực F k - Trường hợp hệ lực phẳng (F k ∈ Oxy) dùng (2.12) lập phương trình cân ngẫu lực Đánh giá toán 1- Nếu số phương trình cân độc lập (r) ẩn số (s) (số thành phần phản lực), toán có nghiệm (được gọi toán tónh đònh) 2- Nếu r > s có khả xảy ra: 23 - Sẽ dư số phương trình (= r – s) không chứa ẩn số (phản lực) Đây điều kiện ràng buộc lực hoạt động đại lượng hình học toán Những điều kiện gọi điều kiện cân - Trong hệ phương trình lập tồn phương trình mâu thuẫn với Chúng ta xem xét lại mô hình toán: + Đặt phản lực chưa? + Mô hình toán có tồn thực tế không? 3- Nếu r < s: Bài toán thuộc loại siêu tónh, chúng giải môn học sau Giải phương trình biện luận Theo nguyên tắc: - Phản lực tựa chiều sức căng dây luôn dương - Các phản lực khác có chiều chọn kết dương Ngược chiều chọn kết âm 2.6 CÁC VÍ DỤ Ví dụ 2.1 Giải phóng liên kết (vật khảo sát S) O (1) O S S A S (2) F A B (3) B (4) O B F (6) (5) B M A S S F Q A (7) B S A F F F A F B S A S A B S A B (8) A Q Dây S có trọng lượng Q Q (10) (9) Hình 2.9 B 24 Ví dụ 2.2 Tấm chữ nhật ABCD với: AB = b; BC = a, trọng lượng Q, giữ nằm ngang nhờ dây CE liên kết hình vẽ 2.10a Xác đònh phản lực A, B sức căng dây T? Giải • Chọn vật khảo sát: ABCD • Đặt lực: Các phản lực trọng lượng Q biểu diễn H.2.10 Tấm ABCD cân tác dụng hệ lực: ϕ(F k ) ≡ (Q, A x , A y , A z , B x , B z , T) ≡ hay chi tiết hơn: ϕ(F k ) ≡ (Q, A x , A y , A z , B x , B z , T x , T y , T z ) ≡ T 60o A Tz Ty 60 …… …… …… … … … α Tz C A Tx Txy o … …… … …… … … … … B A Tx … … … ……………… … …… …… … … ………… … … Txy E ………… ……… …………… T Txy α C D Ty C Hình 2.11 T ; Txy = T cos 30 o = T 2 3 T cos α sin α = T sin α ; Ty = Txy cos α = 2 Trong H.2.11: Tz = T cos 60 o = Tx = Txy với: tg α = a b • Phương trình cân (hệ lực không gian) ΣFk x = A x + B x − T sin α = T cos α = T = A z + Bz + =Q=0 (1) ΣFk y = A y − (2) ΣFk z (3) 25 Mox = Σm x (F k ) = − b Q + bBz + bTz = b Q + bB z + b T = 2 a Moy = Σm y (F k ) = Q − aTz = a a ⇔ Q− T=0 2 (4) ⇔− (5) (6) M oz = Σmz (F k ) = −bB x = (do T cắt trục z ⇒ m z (T) = ) • Giải sáu ẩn từ hệ sáu phương trình nhận được: Q 3 Q sin α ; Ay = Q cos α ; Az = 2 Bx = 0; Bz = 0; T = Q; Ax = Nhận xét: - Do thành phần phản lực A tính > phản lực A có chiều hình vẽ Tại B phản lực = ⇒ bỏ lề B - Nếu A liên kết lề trụ (trục lề y) toán có năm ẩn Hệ phương trình cân lập thay đổi phương trình 2: T cos α = ⇒ Suy T = mâu thuẫn với phương trình lại Sai lầm chỗ ABCD không đứng yên vò trí mà chuyển động dọc theo trục y sang bên trái Ví dụ 2.3 Xét toán mô hình (H.2.9) Trục quay cân hình vẽ, bán kính trống lớn R, trục (nhỏ) r, khoảng cách cần thiết cho hình vẽ Tìm điều kiện mômen M để trục cân tính phản lực A, B? (bỏ qua trọng lượng trục) Giải • Vật khảo sát: Trục quay z z a b Az M M Bz x Ax Bx B O x A y Q Q Hình 2.12 • Đặt lực: Tại A, B lề trụ nên hệ lực đặt vào vật khảo sát biểu diễn H.2.12: 26 ϕ(F k ) ≡ (Q, A z , B x , B z , ngM) ≡ • Phương trình cân bằng: ΣFk x = A x + Bx =0 (1) ΣFk z = A z + Bz − Q =0 (2) Σm x (F k ) = − aQ + (a + b)Bz = (3) Σm y (F k ) = R Q − M =0 (4) Σmz (F k ) = − (a + b)B x =0 (5) ( ΣFky = tự thỏa mãn) • Giải: Đây hệ năm phương trình với bốn ẩn số phản lực Phương trình không chứa phản lực M = RQ điều kiện cân (nếu M ≠ RQ trục quay) Với M ta giải được: Ax = Bx = 0; Az = b a Q; Bz = Q a+b a+b Ví dụ 2.4 Thanh gấp khúc ABCD có ABC thuộc mặt phẳng ngang, BCD thuộc mặt phẳng đứng (H.2.13a) Khớp cầu D, ổ quay A (xem lề trụ) Chòu lực hình vẽ Cho AB = a, BC = b, CD = c Tìm phản lực A, D z A Az m1 m2 B m1 C Ay A O y m2 B m3 C x a) D Dz Hình 2.13 cân bằng? m3 b) D Dy Dx Giải • Vật khảo sát: Thanh gấp khúc ABCD • Đặt lực: Các lực hoạt động ngẫu m1, m2, m3 (biểu diễn tương ứng vector mômen nằm dọc theo phương H.2.13b, đứng đỉnh vector thấy ngẫu quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ), phản lực liên kết A y , A z , Dx , Dy Dz r r r ⇒ hệ lực ϕ(F k ) = ( A y , A z , D x , D y D z , ngẫu m1 , m , m ) ≡ 27 • Phương trình cân bằng: =0 (1) ΣFk y = A y + D y = (2) ΣFk z = A z + Dz r MOx = Σm x (F k ) r M Oy = Σm y (F k ) r MOz = Σm z (F k ) (3) ΣFk x = D x =0 =0 (4) = − m2 − cDx − aDz = (5) =0 (6) = m1 + bD z + cD y = m − bD x + aD y • Giải: Từ năm phương trình (1), (2), (3), (5), (6), được: Dx = 0; Dy = − m3 ; a Dz = − m2 ; a Ay = m3 ; a Az = m2 a Thế giá trò vào phương trình (4) lại nhận được: m1 = b c m2 + m3 a a z không chứa ẩn (phản lực), điều kiện cân Mz y Các thành phần Dy, Dz có chiều ngược chiều chọn A My - Trường hợp ổ quay A có độ dài đònh: phản lực A có thêm hai thành x phần cản quay quanh trục y z Hình 2.14 r r m Ay , m Az Bài toán thuộc loại siêu tónh (có bảy ẩn số phản lực) Ví dụ 2.5 Một trụ tròn trọng lượng Q (bán kính R) đặt hố móng (độ rộng l) biểu diễn mô hình phẳng H.2.15a Xác đònh phản lực A, B? Giải • Vật khảo sát: Trụ tròn tâm O • Đặt lực: Tại A B liên kết tựa (một chiều), phản lực qua tâm O có chiều H.2.15b y O A y x α B O A x NB Q B l a) Hình 2.15 Hệ lực ϕ(F k ) ≡ (Q, N A , N B ) ≡ đồng quy phẳng b) • Phương trình cân bằng: (lập hai phương trình cân bằng): ΣFk x = N A − NB cos α = ΣFk y = − Q + N B sin α = 28 • Giải hệ phương trình: N A = Q cot gα; N B = Q sin α Tính α ? Ta có: l−R ⎛l − R⎞ ⇒ α = ar cos⎜ ⎟ R ⎝ R ⎠ cos α = Chú ý: Với hệ ba lực phẳng đồng quy cân ta dùng điều kiện đóng kín tam giác lực Ví dụ 2.6 Cho dầm AB có liên kết chòu lực H.2.16a (ngẫu M lực F thuộc mặt phẳng xy) Biết AI = a, BI = 2a Xác đònh phản lực A, B y F 60 A I B A M F Ay Ax o 60 BY I d a) x o M B b) Hình Hình2.16 2.16 Giải • Vật khảo sát: Dầm AB • Đặt lực: Tại A liên kết lề trụ, B liên kết tựa chiều chống lún xuống phía Hệ lực nhận được: ϕ(F k ) ≡ F, ngẫu M, A x , A y , B y ) ≡ • Phương trình cân bằng: ΣFk x = A x + F cos 60 o = ⇔ A x = − F (1) ΣFk y = A y + F sin 60 o + B y = ⇔ A y + B y + F=0 M A = Σm A (F k ) = −M + 3aB y + dF = ⇔ −M + 3aB y + a (2) F = (3) • Giải: Hệ ba phương trình có ba ẩn Ax = − F ; By = M −F ; 3a Ay = − M − F 3a • Nhận xét: Ax < 0, Ay < chúng có chiều ngược lại, By chiều nên: By ≥ ⇔ M 3 − F≥0 ⇔ M≥ aF - điều kiện cân 3a 29 aF ⇒ B y < 0, tức liên kết B cản trở đầu B lên, song liên kết khả năng, tức đầu B lên ⇔ dầm AB chuyển động quay - Nếu M < quanh A Ví dụ 2.7 Cho khung ABCD có liên kết chòu lực H.2.17a Tính phản lực A B? Biết AC = BD = CD = m; F = 100 KN; q = 20 KN/m Giải • Vật khảo sát: Khung ABCD • Đặt lực: Tại A tương ứng liên kết lề trụ, B tựa hai chiều, hệ lực r phân bố (q) thay tương đương Q = 2q = 40 KN đặt I H.2.17b ⇒ • Phương trình cân bằng: ΣFk x = A x + F = (1) ΣFk y = A y − Q + B y = (2) M B = ΣmB (F k ) = Q − F − 2A y = • Giải: Ax = –F; Ay = (3) Q−F Q+F ; By = 2 Thay số thấy Ax, Ay < 0, By > Vậy chiều Ax, Ay phải lấy ngược lại: Ax = 100 KN; Ay = 30 KN; By = 70 KN 2.7 BÀI TOÁN CÂN BẰNG CỦA HỆ VẬT RẮN Chúng ta lập điều kiện cân hệ vật rắn theo hai phương pháp: Phương pháp tách vật: Thiết lập điều kiện cân vật rắn thuộc hệ Phương pháp hóa rắn: Thiết lập điều kiện cân toàn hệ rắn phần hệ hóa rắn (có thể vật, hai vật,… ∈ hệ) cho số phương trình lập đủ giải yêu cầu toán Chúng ta chứng tỏ hệ n vật rắn dù cân dùng phương pháp (cũng tương đương), điều kiện cân n hệ lực cân tương ứng đặt vào vật rắn thuộc hệ Chứng minh Ta cần chứng minh cho hệ hai vật S1, S2 Nếu nhiều vật rắn cần hóa rắn S1, S2 ta chứng minh tương tự 30 (1) (2) Hóa rắn S1, S2 hệ lực tác động vào hai vật: ϕ(F k , F k ) (1) với: F k - lực đặt vào S1 ( 2) e F k - lực đặt vào S2 (loại lực thường kí hiệu F k ) Để đơn giản ta giả sử S1 S2 có liên kết (nếu thêm liên kết ta đặt thêm lực tương tác) (1) Tách riêng S1 Hệ lực tác động vào S1 là: ϕ1 (F k , F21 ) đó: F 21 - lực tương tác S2 tác động vào S1 (2) Tách riêng S2 Hệ lực tác động vào S2 là: ϕ2 (F k , F12 ) đó: F 12 - lực tương tác S1 tác động vào S2, dó nhiên: F12 = - F 21 i (loại lực thường gọi nội lực thường kí hiệu F k ) r r F 12 + F 21 = 0; m A ( F12 ) + m A ( F 21 ) = với ∀A Vì vậy: (1) , (2) Điều chứng tỏ R M A hệ ϕ(F k , F k ) thỏa mãn: , , , R = R + R ; M A = M1 A + M A có nghóa hai ba hệ lực cân hệ lực lại buộc phải cân 2.8 CÁC VÍ DỤ BÀI TOÁN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC VẬT RẮN Ví dụ 2.8 Hai bánh xe hình nón O O’ ăn khớp C, chòu ngẫu M, M’ H.2.18a, bán kính tương ứng bánh r, r’ Bánh xe O’ tác động vào bánh xe O lực R nghiêng với phương CO góc α mặt phẳng chứa ( R , O’A = a CO ) nghiêng với mặt phẳng chứa bánh xe O (Cyz) góc β Cho Xác đònh liên hệ M, M’ để hệ cân bằng? Tìm phản lực A Giải Đây hệ hai vật rắn cân chòu lực tác động hệ lực không gian, số phương trình cân thiết lập 12 = × Xem xét mô hình liên kết B, C, D có sáu ẩn, A (độ dài ống trụ phải đủ lớn) z1 z M B Bz D Rc α O x1 B y O’ x β y1 M’ C a) Rcz RC Bx B Hình 2.18 Hình 2.18 Dz Rcx x C Rcxy O’ Rcy Max2 x2 b) y2 D Dy α M’ Ax Ay A z2 O β y y z M May2 A 31 không cản trở quay quanh trục Z2 ⇒ A x , A y , A z , ngẫu M Ax , M Ay (tổng cộng có 11 ẩn phản lực) Chúng ta tìm phương trình điều kiện liên hệ M M’ Dưới ta dùng phương pháp tách vật: Vật I: • Xét bánh xe O cân (kể trục không trọng lượng BD) • Đặt lực: xem H.2.18b, hệ lực tác động: ϕ1 (F k ) ≡ (ngM, R c , B x , B y , B z , D y , D z ) ≡ O Chúng ta biểu diễn R c qua ba hình chiếu (H.2.19): ⎧R z = R c cos α ⎪ ⇒ ⎨R x = R c sin α sin β ⎪R = R sin α cos β c ⎩ y • Phương trình cân bằng: Nếu phải giải hết tất ẩn, lập đầy đủ sáu phương trình cân (với hệ trục B x1 y1 z1), yêu cầu toán không cần xác đònh phản lực B, D nên ta cần lập phương trình mômen trục x1 để tránh năm ẩn B, D Σm x1 (F k ) = −M + R y r = ⇔ −M + R sin α cos β.r = (do Rx // Bx , Rz cắt Bx ) ⇒ R = M r sin α cos β Vật II: • Xét bánh O’ cân (kể trục) , • Đặt lực: Hệ lực biểu diễn H.2.20b) với ý R c phản lực đặt , C bánh O’ ngược chiều với R c , ( R c = R c ) , ⇒ ϕ (F k ) ≡ ( A x , A y , A z , R c , ngM ' , M Ax2 , M Ay ) ≡ • Phương trình cân bằng: ΣFkx = A x + R 'x = A x − R sin α sin β = ΣFkz = A z + R 'z = A z − R cos α =0 (1) (3) Σm x2 (F k ) = m x2 (R y ) + M Ax2 = R ' y a + M Ax2 = (4) ⇔ a.R sin α cos β + M Ax2 = Σm y2 (F k ) = , m y2 (R x ) + , m y (R z ) + M Ay2 = ⇔ − a.R sin α sin β + r ' R cos α + M Ay = (5) ' Σmz2 (F k ) = M + mz2 (R y ) = ⇔ M ' − r ' R sin α cos β = • Giải hệ năm phương trình đầu ta được: (6) 32 Ax = M tgβ; r M Ax2 = − Ay = M ; r Az = M cot gα r cos β aM aM r 'M ; M Ay = tgβ − cot gα r r r cos β r' M r Còn phương trình (6) ⇒ M' = rM ' = r 'M ⇔ Đấy điều kiện cân Ví dụ 2.9 Cơ hệ có liên kết chòu lực H.2.20a Biết: P1 = 10 KN; P2 = 20 KN; M = 35 KNm; q = KN/m AB = 2BC= 2CE = ED = 2m Tính phản lực A, B, C P2 P2 o α = 30 Ay M q A C B E Q Ax A MA By M Bx’ Bx I α = 30 C B By’ a) P1 By Hình 2.20 o E b) Giải Cơ hệ hai vật rắn phẳng cân Chúng ta dùng phương pháp tách vật Vật I: • Khảo sát dầm AB cân • Đặt lực: xem H.2.20b r Hệ lực: ϕ1 (F k ) ≡ ((q), A x , A y , ngM A , B x , B y ) ≡ ⇔ (Q, A x A y , B x , B y , ngM A ) ≡ (Q = 2q, AI = 1m) • Phương trình cân bằng: ΣFkx = A x − Bx =0 (1) ΣFky = A y − Q + By =0 (2) Σm B (F k ) = M A − 2A y + 1.Q = (3) Trong hệ ba phương trình có năm ẩn, phải lập thêm phương trình: Vật II: • Khảo sát dầm BCED cân • Đặt lực: xem H.2.20b , , Hệ lực tác động: ϕ (F k ) ≡ ( B x , B y , P , C, P , ngM) ≡ , , (chú ý: B x = −B x , B y = −B y ) • Phương trình cân bằng: ΣFkx ΣFky = B x − P1 cos 30o − P2 = o = −B y − P1 sin 30 + C = (4) (5) 33 r Σm c (F k ) = −M + 1.B y + 2.P2 (6) =0 Giải hệ sáu phương trình: Ax = 20 + ; Ay = 9; MA = 14 Bx = 20 + ; By = -5; C = 0; (đơn vò KN KNm) Nhận xét: Tại C phản lực ⇒ bỏ gối C Ví dụ 2.10 Cho cấu ABCD (C, D cố đònh), xác đònh độ lớn R để cấu cân vò trí xét Xác đònh ứng lực Biết Q = 10 KN, A, B, C, D khớp lề A 45 o 30 o 60 S2 A o C y1 y B 45 C D S1 S2’ 30 x1 o 60 Q R x a) B o o D S3 b) Hình 2.21 Giải Đây loại cấu đặc biệt, chòu liên kết (trừ CD) nên có ba ứng lực ba Ta cần xét cân hai nút A, B lập bốn phương trình cân từ hai hệ lực đồng quy để giải ba ứng lực điều kiện cân (H.2.21b) • Xét nút A cân có hệ lực: ϕ1 (F k ) ≡ (Q, S1 , S ) ≡ Phương trình cân bằng: (ta giả thiết chòu kéo ⇒ S i có chiều H 2.21b) S =0 2 = − S1 + S =0 2 ΣFkx = Q + (1) ΣFky (2) Giải S2 = – Q = – 10 ; S1 = – Q = –10 • Xét nút B cân bằng, chòu tác dụng hệ lực: , , ϕ (F k ) ≡ (R, S , S ), (chú ý: S = − S ) Phương trình cân bằng: (hệ trục Bx1y1) Giải R = − R =0 R = − S3 − =0 ΣFkx1 = − S2 − (3) ΣFky1 (4) S = 2Q 2 = 20 ; S = −10 (đơn vò KN, m) 3 Chú ý: Nếu ứng lực tương ứng dương ( > 0) chòu kéo, ứng lực tương ứng âm ( < 0) chòu nén (đổi chiều) 34 Ví dụ 2.11 Ngẫu M đặt vào tay quay OA quay quanh O, chạy A có ) thể trượt dọc CB Cho biết góc C = 30o; CB = 3R; OA = R, tìm Q để cấu cân vò trí xét (H.2.22a) Xác đònh phản lực O,C? x Q B M O A A 30 Q Oy M O Cy o B Ox x 30 A o NA o 30 Cx a) b) Hình 2.22 Giải Cơ cấu gồm ba vật rắn: tay quay OA, chạy A, CB Do không cần tính phản lực chốt lề A tay quay chạy hóa rắn, xét OA (bao gồm chạy) cân Vật I: • Xét hóa rắn OA chạy A cân • Đặt lực: Khi bỏ liên kết CB chạy A liên kết tựa (hai chiều) hệ lực ϕ1 (F k ) ≡ (ngM, O x , O y , N A ) ≡ O (N A ⊥ BC) • Phương trình cân bằng: ΣFkx = O x + N A cos 30o = O x + ΣFky = O y − N A sin 30o = O y − NA = N A Σm A (F k ) = M − R.O y • Giải được: O x = − (1) =0 (2) =0 (3) M 2M 3M ; NA = ; Oy = R R R Vật II: • Tương tự xét CB cân , • Đặt lực: Hệ lực ⇒ ϕ (F k ) ≡ (Q, N A , C x , C y ) ≡ , (N A = − N A ) • Phương trình cân ΣFkx = C x − N A cos 30o + Q = C x − ΣFky = C y + N A sin 30o = C y + ΣmC (F k ) = 2RN A − 3R sin 60o.Q NA + Q = (4) =0 (5) =0 (6) N A 35 • Giải hệ ba phương trình Q= 8M ; 3R Cx = Nhận xét: Khi Q = M M −Q = ; R 3R Cy = − M R 8M cấu cân bằng, thành phần phản lực có 3R giá trò đònh (với Ox Cy đổi chiều) Ví dụ 2.12 Cho cấu chòu lực có liên kết H.2.23a, bán kính tương ứng R1 = 2.r1 = 2.R; OA = a = 1,5R Hai bánh ăn khớp I có độ lớn góc ϕ Tìm điều kiện P để cấu cân bằng, xác đònh phản lực O, O1 lực ăn khớp F O1 O1y O ϕ O1 A I y N1 P x a) I O1x Q1 Q1 P ϕ c) F N1 ϕ Oy Q O Ox I b) Q A ϕ O1 O d) Hình Hình2.23 2.23 Giải Cơ cấu hai vật rắn cân (tách vật) Vật I: • Xét bánh O cân Do xu quay bánh xe O O1, phản lực tựa mặt I có xu cản trở quay bánh ⇒ hai tiếp xúc mặt phía đường trục OO1 (H.2.23 b,c, d) • Đặt lực: Hệ lực ⇒ ϕo (F k ) ≡ (F, N1 , O x , O y , Q) ≡ • Phương trình cân bằng: ΣFkx = O x + NI sin ϕ =0 ΣFky = O y + F − Q + N I cos ϕ = r =0 Σm O (F k ) = aF − R cos ϕ.N1 36 • Giải: O x = −1,5Ftgϕ ; Oy =Q –2,5F; N I = 1,5F cos ϕ Vật II: • Xét bánh O1 cân , • Đặt lực: ϕ1 (F k ) ≡ (P, Q1 , Q1x , O1y , N1 ) ≡ • Phương trình cân bằng: ΣFkx = O1x − NI sin ϕ =0 ΣFky = O1y − N I cos ϕ − Q1 = r =0 Σm O1 (F k ) = r1p − R1 cos ϕ.N I • Giải: O1x = 1,5 Ftg ϕ ; O1y = Q1 + 1,5F P = 3F ⇒ Đây điều kiện cân [...]... chiều của Ax, Ay phải lấy ngược lại: Ax = 100 KN; Ay = 30 KN; By = 70 KN 2.7 BÀI TOÁN CÂN BẰNG CỦA HỆ VẬT RẮN Chúng ta có thể lập điều kiện cân bằng của hệ vật rắn theo hai phương pháp: Phương pháp tách vật: Thiết lập điều kiện cân bằng của mỗi vật rắn thu c hệ Phương pháp hóa rắn: Thiết lập điều kiện cân bằng của toàn hệ rắn và từng phần của hệ hóa rắn (có thể một vật, hai vật,… ∈ hệ) sao cho số phương. .. thanh đều chòu liên kết thanh (trừ CD) nên có ba ứng lực trong ba thanh Ta chỉ cần xét sự cân bằng của hai nút A, B sẽ lập được bốn phương trình cân bằng từ hai hệ lực đồng quy để giải ra ba ứng lực và một điều kiện cân bằng (H.2.21b) • Xét nút A cân bằng có hệ lực: ϕ1 (F k ) ≡ (Q, S1 , S 2 ) ≡ 0 Phương trình cân bằng: (ta giả thiết các thanh đều chòu kéo ⇒ các S i có chiều như H 2.21b) 2 S =0 2 2 2... sao cho số phương trình lập được đủ giải quyết các yêu cầu của bài toán Chúng ta chứng tỏ hệ n vật rắn dù cân bằng dùng phương pháp nào (cũng tương đương), điều kiện cân bằng của n hệ lực cân bằng tương ứng đặt vào mỗi vật rắn thu c hệ Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh cho hệ hai vật S1, S2 Nếu nhiều vật rắn chỉ cần hóa rắn S1, S2 và ta chứng minh tương tự 30 (1) (2) Hóa rắn S1, S2 hệ lực tác động vào... b) • Phương trình cân bằng: (lập được hai phương trình cân bằng) : ΣFk x = N A − NB cos α = 0 ΣFk y = − Q + N B sin α = 0 28 • Giải hệ phương trình: N A = Q cot gα; N B = Q sin α Tính α ? Ta có: l−R ⎛l − R⎞ ⇒ α = ar cos⎜ ⎟ R ⎝ R ⎠ cos α = Chú ý: Với hệ ba lực phẳng đồng quy cân bằng ta có thể dùng điều kiện đóng kín tam giác lực Ví dụ 2.6 Cho dầm AB có liên kết và chòu lực như H.2.16a (ngẫu M và lực. .. E b) Giải Cơ hệ hai vật rắn phẳng cân bằng Chúng ta dùng phương pháp tách vật Vật I: • Khảo sát dầm AB cân bằng • Đặt lực: xem H.2.20b r Hệ lực: ϕ1 (F k ) ≡ ((q), A x , A y , ngM A , B x , B y ) ≡ 0 ⇔ (Q, A x A y , B x , B y , ngM A ) ≡ 0 (Q = 2q, AI = 1m) • Phương trình cân bằng: ΣFkx = A x − Bx =0 (1) ΣFky = A y − Q + By =0 (2) Σm B (F k ) = M A − 2A y + 1.Q = 0 (3) Trong hệ ba phương trình này có... được hệ lực ϕ1 (F k ) ≡ (ngM, O x , O y , N A ) ≡ O (N A ⊥ BC) • Phương trình cân bằng: ΣFkx = O x + N A cos 30o = O x + ΣFky = O y − N A sin 30o = O y − 3 NA = 0 2 1 N 2 A Σm A (F k ) = M − R.O y • Giải được: O x = − (1) =0 (2) =0 (3) M 2M 3M ; NA = ; Oy = R R R Vật II: • Tương tự xét thanh CB cân bằng , • Đặt lực: Hệ lực ⇒ ϕ 2 (F k ) ≡ (Q, N A , C x , C y ) ≡ 0 , (N A = − N A ) • Phương trình cân bằng. .. là lực tương tác của S1 tác động vào S2, dó nhiên: F12 = - F 21 i (loại lực này thường được gọi là nội lực và thường được kí hiệu là F k ) r r F 12 + F 21 = 0; m A ( F12 ) + m A ( F 21 ) = 0 với ∀A Vì vậy: (1) , (2) Điều đó chứng tỏ R và M A của hệ ϕ(F k , F k ) thỏa mãn: , , , R = R 1 + R 2 ; M A = M1 A + M 2 A có nghóa là chỉ hai trong ba hệ lực trên cân bằng thì hệ lực còn lại buộc phải cân bằng. .. ẩn, chúng ta phải lập thêm phương trình: Vật II: • Khảo sát dầm BCED cân bằng • Đặt lực: xem H.2.20b , , Hệ lực tác động: ϕ 2 (F k ) ≡ ( B x , B y , P 1 , C, P 2 , ngM) ≡ 0 , , (chú ý: B x = −B x , B y = −B y ) • Phương trình cân bằng: ΣFkx ΣFky = B x − P1 cos 30o − P2 = 0 o = −B y − P1 sin 30 + C = 0 (4) (5) 33 r Σm c (F k ) = −M + 1.B y + 2.P2 (6) =0 Giải hệ sáu phương trình: Ax = 20 + 5 3 ; Ay =... trục OO1 (H.2.23 b,c, d) • Đặt lực: Hệ lực ⇒ ϕo (F k ) ≡ (F, N1 , O x , O y , Q) ≡ 0 • Phương trình cân bằng: ΣFkx = O x + NI sin ϕ =0 ΣFky = O y + F − Q + N I cos ϕ = 0 r =0 Σm O (F k ) = aF − R cos ϕ.N1 36 • Giải: O x = −1,5Ftgϕ ; Oy =Q –2,5F; N I = 1,5F cos ϕ Vật II: • Xét bánh răng O1 cân bằng , • Đặt lực: ϕ1 (F k ) ≡ (P, Q1 , Q1x , O1y , N1 ) ≡ 0 • Phương trình cân bằng: ΣFkx = O1x − NI sin ϕ =0... ϕ(F k ) ≡ (Q, A z , B x , B z , ngM) ≡ 0 • Phương trình cân bằng: ΣFk x = A x + Bx =0 (1) ΣFk z = A z + Bz − Q =0 (2) Σm x (F k ) = − aQ + (a + b)Bz = 0 (3) Σm y (F k ) = R Q − M =0 (4) Σmz (F k ) = − (a + b)B x =0 (5) ( ΣFky = 0 tự thỏa mãn) • Giải: Đây là hệ năm phương trình với bốn ẩn số phản lực Phương trình không chứa phản lực M = RQ chính là điều kiện cân bằng (nếu M ≠ RQ trục sẽ quay) Với M này