Thu gọn hệ lực Phương trình cân bằng của hệ lực

Vector chính của hệ lực 1- Định nghĩa: vector chính của hệ lực là vector tự do R, bằng tổng các 2- Phương pháp xác định Hình học: vector đóng kín đa giác lực... Với O tuỳ ý xác định ch

Yêu cầu

Nắm vững điều kiện tương đương cơ bản của hai hệ lực, các điều kiện

cân bằng của hệ lực Biết cách áp dụng giải bài toán cân bằng của vật rắn, hệ vật rắn

2.1 HAI ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CỦA HỆ LỰC

1 Vector chính của hệ lực

1- Định nghĩa: vector chính của hệ lực là vector tự do (R,) bằng tổng các

2- Phương pháp xác định

Hình học: vector đóng kín đa giác lực

(X', Y', Z') X' F ky

R ⇔ = Σ ; Y ' = Σ Fky; Z ' = Σ Fkz (2.2)

2 Vector mômen chính của hệ lực đối với một tâm

1- Định nghĩa: vector mômen chính của hệ lực đối với tâm O (M o) của hệ lực bằng tổng các vector mômen của lực thuộc hệ lấy cùng đối với tâm đó:

2- Phương pháp xác định

Dùng (1.2) chúng ta nhận được:

k ) y X x (Y j ) x Z z X ( i z Y y Z (

M o = Σ k k − k k r + Σ k k − k k r+ Σ k k − k k (2.4) trong đó: lực F(Xk ,Yk ,Zk) - bán kính điểm đặt lực thứ k là rrk(xk, yk, zk)

3- Tính bất biến của R,và M o qua các phép biến đổi tương đương

• '

R

F 1 F 2

FnR’

Với tiên đề 3:

- Xét hai lực F1,F2 và hợp lực F 12 như H.2.1

12 2

FFF

FFFF

⇒ M obất biến trong phép biến đổi tiên đề 3

2.2 ĐỊNH LÝ TƯƠNG ĐƯƠNG CƠ BẢN

0 2 0

2 1 i

2

M M

' R ' R ) P (

Chứng minh Trước hết ta chứng minh:

0 0 1

, , 2

M M

R R ) P

, ,

M M

R

, , M M

R

Xét hệ ϕ1(Fk)và ϕ2(Pi) Chúng ta lấy điểm O và hai điểm A, B (A, O, B không thẳng hàng), phân tích các lực F k ≡ ( F k O , F kA , F kB ), các thành phần tương đương đi qua O, A, B

⇒ hệ ϕ1(Fk) ≡ ba hệ lực đồng quy: ϕ1(FkO); ϕ2(FkA); ϕ3(FkB)

Dễ dàng nhận được:

;oF)F( kO

ϕ ϕ2(FkA) ≡ FA; ϕ3(FkB) ≡ FB

⇒ ϕ1(Fk) ≡ (FO,FA,FB)

Gọi OE là giao tuyến của hai mặt

phẳng (O,FA) và (O,FB) Trên OE lấy

điểm I và phân tích các lực F A theo

các phương AO và AI, F B theo các

phương BO và BI Tiếp tục trượt các lực

về O và I rồi lấy các hợp lực (tiên đề

3)

⇒ ϕ1(Fk)≡(FO,FA,FB) ≡(F*O,F1)

tương tự ta có:

ϕ2(Pi)≡(PO,PA,PB)≡(P*O,FH)

(H thuộc giao tuyến OG, có thể khác OE)

Cuối cùng, lấy điểm L thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (O,FI) và )

ϕ

⇒tương tự ta có: ϕ2(Pi)≡(PO*,PL)

Dùng các điều kiện:

A

FA

FL

Hình 2.2

1 Vector mômen ngẫu lực

1- Xét hệ hai lực: (F,F,) cùng phương, ngược chiều, cùng cường độ nhưng khác giá tác dụng Do R,= 0, MO ≠ 0, nên (F,F,) không tương đương một lực, đây là một hệ lực tối giản đặc biệt, được gọi là ngẫu

Chúng ta sẽ chứng tỏ mômen chính của ngẫu không phụ thuộc tâm lấy mômen:

)F(m)F(m

MO = rO + rO ,

=OA×F+OB×F,

=OA×F+OA×F, +AB×F,

=OA×(F+F,)+AB×F, = AB×F, (đpcm)

2- Hai ngẫu: (F,F,) và (F1,F,1) có vector

mômen chính bằng nhau sẽ tương đương nhau (vì

)

R, = Chứng tỏ vector mômen chính của ngẫu là vector tự do, hoàn toàn đặc trưng cho một ngẫu, được gọi ngắn gọn là vector mômen của ngẫu

2 Định lý thu gọn

Hệ lực ϕ1(Fk), khi thu gọn về một tâm O, tương đương với một lực bằng vector chính của hệ lực R,và một ngẫu bằng vector mômen chính của hệ lấy cùng với tâm O đó:

)F( k

ϕ ≡ ( R,o , M o )

với: R,o = ΣFk và: Mo = Σmro(FK)

Chứng minh Với O tuỳ ý xác định chúng ta chỉ cần chứng minh tại đó hệ lực

gồm hai thành phần: lực R bằng vector chính và một ngẫu có mômen chính bằng mômen chính của hệ lực đối với cùng tâm đó Hệ lực này tương đương với hệ lực ban đầu do vector chính và vector mômen chính đối với tâm O của chúng bằng nhau

3 Các trường hợp đặc biệt

4 2 1

r r r r

Hợp lực của những hệ lực đặc biệt

- Hệ lực song song: (F k// OZ)

Nếu R, ≠ 0r sẽ có hợp lực: ϕ(Fk) ≡ R Δ

- Hệ lực phẳng: (Fk ∈Oxy)

Nếu R, ≠ 0r ⇒ϕ(Fk)≡ RΔ (có hợp lực) do ta lấy điểm A ∈ Oxy làm tâm thu gọn: ⇒ MA ⊥ Oxy ⇒ MA ⊥ R

- Hợp lực của hệ lực phẳng song song

Cho hệ lực phân bố như H.2.4 Xét phân tố Δxk, hệ lực phân bố trên độ

dài này tương đương một lực F k:

k ' k

xdx)

x(qR

MdM

d

trong đó: ΔO- là trục qua O và vuông góc mặt phẳng lực

- Hệ lực phân bố đều (H.2.5)

Hợp lực: R1; R = qo.l;

2

ll

q 2

lqOI

o

2 o

q)x(

Hình 2.4

Nhận xét: Các hợp lực có cường độ bằng diện tích phân bố, đi qua trọng tâm

của biểu đồ diện tích

2- R, =0, Mo ≠ 0 ⇔ ϕ(Fk) ≡ ngẫu tổng hợp (Q ,Q,) có mômen bằng mômen chính của hệ lực đối với tâm O

Chú ý: Khi R, = 0, ϕ ( F k ) ≡ ngẫu (Q ,Q,) nên mômen chính của hệ không phụ thuộc tâm lấy mômen

3-R, = 0, Mo ≠ 0⇔ ϕ(Fk) ≡ 0 (2.8)

Chứng minh Do hệ lực cân bằng (F,F,) có R,= 0 và mômen chính đối với tâm bất kỳ O Mo =0

4 Hệ ba lực cân bằng

Hệ ba lực cân bằng thì đồng phẳng Nếu các lực song song với nhau thì còn phải đồng quy

Chứng minh Xét hệ ba lực (F1,F2,F3) ⇔ R =0 và MA = 0 (tâm A tùy ý) Có thể xảy ra các trường hợp:

F//

)F,F(phẳngmặt

⇒ (F1,F2,F3) ≡(R12,F3) ≡0

Chứng tỏ F 3 cùng giá với R 12 ⇒ F 3 // F 2 // F 1 và đồng phẳng

• F 1 không song song với F 2

Chọn điểm A tùy ý cố định thuộc giá của F 3 làm tâm lấy mômen chính:

Hai vector mômen này đặt tại A mà có tổng bằng 0 ⇒ ít nhất chúng cùng phương ⇔ hai mặt phẳng (F1,A) và (F2,A) trùng nhau, tức (F1,F2,A)đồng phẳng

Do A tùy ý nên suy ra ( F 1 , F 2 , F 3 )phải thuộc cùng một mặt phẳng Gọi giao điểm của F1,F2 là I, để chứng minh ba lực đồng quy chúng ta sử dụng:

)F(m)F(m

M1 = r1 1 + r1 2 + mr1(F3) = 0+ 0+ mr1(F3) = 0 ⇒F3

phải đi qua I (do F3 ≠0).Vậy (F1,F2,F3)đồng quy phẳng

2.4 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC

Từ (2.8) chúng ta nhận được những điều kiện cân bằng của hệ lực:

1 Hệ lực tổng quát (không gian)

=

=Σ

=

=Σ

=

=Σ

=

=Σ

=

=Σ

=

0)F(mM

0)F(mM

0)F(mM

0FR

0FR

0FR

k z oz

k y oy

k x ox

z k

, Z

y k , y kx ,

⇔ ϕ

≡

∑

∑

0 ) F ( m

0 ) F ( m

0 F )

F ( 0

k y

k x

z k

k (2.10)

Do ba phương trình còn lại tự thỏa mãn

3 Hệ lực đồng quy ϕ ( F ok ), các lực đi qua O

=Σ

=Σ

⇔ϕ

≡

0F

0F

0F)

F(0

kz ky

kx

k (2.11)

Do: MO = ΣmrO(Fk) =0 tự thỏa mãn

4 Hệ lực phẳng ϕ(Fk),∀Fk ∈Oxy

Với điểm A tùy ý thuộc mặt phẳng lực Oxy

kFdkF(m)F(

A

Hình 2.7

Vector mômen của các lực này đều cùng phương nên ta có thể quy ước thay thế m A ( F k )bởi giá trị đại số:

) F (

=Σ

=Σ

0M)F(m

0

F

A k A ky x k

(2.13) với A tùy ý thuộc mặt phẳng lực

Điều kiện này hiển nhiên do (2.12):

0R

=

= Σ

=

= Σ

0 ) F ( m M

0 ) F ( m M

0 F

k B B

k A A

x k

mB ,A =

⇒ r

Điều này chứng tỏ:

- Hoặc R'A có giá đi qua B:

⇒R,x =ΣFkx ≠0 mâu thuẫn điều kiện đầu tiên

- Hoặc R'A = 0kết hợp MA = 0 ta có điều phải chứng minh

=

= Σ

=

= Σ

=

0 ) F ( m M

0 ) F ( m M

0 ) F ( m M

k C C

k B B

k A A

(2.15)

Sử dụng phương pháp chứng minh trên: nếu R'A ≠0 thì R,phải có giá chứa đoạn AB và AC, do A, B, C, không thẳng hàng nên không thể xảy ra trường hợp trên Vậy R, =0, ta có điều phải chứng minh

2.5 BÀI TOÁN CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN

1 Mô hình bài toán

Một vật rắn không tự do (chịu liên kết) chịu tác dụng của lực (lực hoạt động) đang cân bằng

Những yêu cầu được đặt ra là:

- Xác định các phản lực liên kết

- Tìm điều kiện cân bằng

Tức tìm các yêu cầu của lực hoạt động và các yếu tố hình học để vật khảo sát được cân bằng

2 Phương pháp giải

1- Chọn vật khảo sát: xem xét kỹ mô hình bài toán (hình vẽ), chúng ta chọn vật

rắn nào (có thể là chất điểm) chịu tác động của tất cả các lực hoạt động

2- Đặt lực: lực ở đây bao gồm các lực hoạt động và phản lực liên kết

Xem xét kỹ mô hình vật khảo sát, xác định đầy đủ các liên kết, so sánh với các mô hình mẫu để thay thế hết các liên kết bằng các phản lực tương ứng

3- Lập phương trình cân bằng

- Phân tích các lực đặt vào vật khảo sát (kể cả phản lực) theo ba phương của trục toạ độ

- Lập các phương trình cân bằng từ điều kiện cân bằng của hệ lực (kể cả các phản lực):

=Σ

=Σ

0F

0F

0F

z k

y k

x k

0)F(mM

0)F(mM

k z oz

k y oy

k x ox

- Với lưu ý các ngẫu tồn tại trong hệ lực đặt vào vật không xuất hiện trong các phương trình hình chiếu đảm bảo vector chính bằng không

Chú ý: Nếu F ⊥ Δ ⇒ mΔ( F ) = ± Fd

trong đó: d - là đoạn vuông góc chung giữa Δ và F

Dùng (1.4) và (2.4) chúng nhận được:

;0)zFyF(

Mox = Σ kz k − ky k = Moy = Σ(Fkzzk −Fkyxk =0

Ở đây: (xk, yk, zk) - là toạ độ điểm đặt của lực F k

- Trường hợp hệ lực phẳng (Fk ∈Oxy) dùng (2.12) lập phương trình cân bằng ngẫu lực

3 Đánh giá bài toán

1- Nếu số phương trình cân bằng độc lập được (r) bằng ẩn số (s) (số thành

phần phản lực), bài toán có nghiệm duy nhất (được gọi là bài toán tĩnh định)

2- Nếu r > s có khả năng xảy ra:

- Sẽ dư ra một số phương trình (= r – s) không chứa ẩn số (phản lực) Đây chính là các điều kiện ràng buộc các lực hoạt động và những đại lượng hình học trong bài toán Những điều kiện này được gọi là điều kiện cân bằng

- Trong hệ phương trình lập được tồn tại các phương trình mâu thuẫn với nhau Chúng ta xem xét lại mô hình bài toán:

+ Đặt phản lực đúng chưa?

+ Mô hình bài toán có tồn tại trong thực tế không?

3- Nếu r < s: Bài toán thuộc loại siêu tĩnh, chúng sẽ được giải quyết trong môn

học sau

4 Giải phương trình và biện luận

Theo nguyên tắc:

- Phản lực tựa một chiều và sức căng dây luôn luôn dương

- Các phản lực khác có chiều đúng như đã chọn nếu kết quả dương Ngược chiều đã chọn nếu kết quả âm

(10)

Q (9)

Ví dụ 2.2 Tấm chữ nhật ABCD với: AB = b; BC = a, trọng lượng Q, được giữ

nằm ngang nhờ dây CE và các liên kết như hình vẽ 2.10a Xác định phản lực A,

B và sức căng dây T?

Giải • Chọn vật khảo sát: tấm ABCD

• Đặt lực: Các phản lực và trọng lượng Q được biểu diễn như trên

H.2.10 Tấm ABCD cân bằng dưới tác dụng của hệ lực:

0)T,B,B,A,A,A,Q()F

ϕhay chi tiết hơn: ϕ(Fk)≡(Q,Ax,Ay,Az,Bx,Bz,Tx,Ty,Tz)≡0

Trong H.2.11:

2

T60cosT

2

3 30 cos T

Txy = o =

2

3 sin T

2

3cos

T

Ty xyvới: tgα =

b a

• Phương trình cân bằng (hệ lực không gian)

0 sin T 2

3 B A

0 cos T 2

3 A

Σ (2)

0Q2

TBA

b)F(m

0T2

1bbBQ2

a)F(m

0T2

aQ2

⇔ (5)

0 bB ) F ( m

M oz = Σ z k = − x = (6) (do T cắt trục z ⇒ mz(T)=0)

• Giải sáu ẩn từ hệ sáu phương trình chúng ta nhận được:

3 T cosα = 0 Suy ra T = 0 sẽ mâu thuẫn với các phương trình còn lại Sai lầm ở chỗ tấm ABCD không đứng yên tại vị trí đó mà sẽ chuyển động dọc theo trục y sang bên trái

Ví dụ 2.3 Xét bài toán ở mô hình 8 (H.2.9) Trục quay cân bằng như hình vẽ,

bán kính trống lớn là R, trục (nhỏ) là r, các khoảng cách cần thiết cho như hình vẽ Tìm điều kiện của mômen M để trục cân bằng và tính phản lực tại A, B? (bỏ qua trọng lượng trục)

Giải • Vật khảo sát: Trục quay

• Đặt lực: Tại A, B đều là các bản lề trụ nên hệ lực đặt vào vật khảo sát biểu diễn như H.2.12:

ϕ ( F k ) ≡ ( Q , A z , B x , B z , ngM ) ≡ 0

• Phương trình cân bằng:

x k F

Σ = A +x Bx = 0 (1)

z k F

Σ = Az + Bz −Q = 0 (2)

z k

x ( F ) aQ ( a b ) B

Σ = 0 (3)

M Q R ) F (

Σ = 0 (4)

x k

z ( F ) ( a b ) B

Σ = 0 (5) (Σ Fky = 0 tự thỏa mãn)

• Giải: Đây là hệ năm phương trình với bốn ẩn số phản lực Phương trình không chứa phản lực M = RQ chính là điều kiện cân bằng (nếu M ≠ RQ trục sẽ quay)

Với M này ta giải được:

Ax = Bx = 0; Az =

ba

b+ Q; Bz =

ba

a+ Q

Ví dụ 2.4 Thanh gấp khúc ABCD có ABC thuộc mặt phẳng ngang, BCD thuộc

mặt phẳng đứng (H.2.13a) Khớp cầu tại D, ổ quay tại A (xem như bản lề trụ) Chịu lực như hình vẽ Cho AB = a, BC = b, CD = c Tìm phản lực tại A, D khi

thanh cân bằng?

Giải • Vật khảo sát: Thanh gấp khúc ABCD

• Đặt lực: Các lực hoạt động ngẫu m1, m2, m3 (biểu diễn tương ứng là vector mômen nằm dọc theo các phương như H.2.13b, đứng ở đỉnh các vector thấy các ngẫu quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ), các phản lực liên kết

z y x

• Phương trình cân bằng:

x x

Σ = 0 (1)

y y y

Σ = 0 (2)

z z z

không chứa ẩn (phản lực), đấy chính là điều

kiện cân bằng

Các thành phần Dy, Dz có chiều

ngược chiều đã chọn

- Trường hợp ổ quay tại A có độ dài

nhất định: phản lực A có thêm hai thành

phần cản quay quanh trục y và z là

.

m

,

mrAy rAz Bài toán thuộc loại siêu tĩnh (có bảy ẩn số phản lực)

Ví dụ 2.5 Một trụ tròn trọng lượng Q (bán kính R) đặt trong hố móng (độ rộng

l) được biểu diễn mô hình phẳng như H.2.15a Xác định phản lực tại A, B?

Giải • Vật khảo sát: Trụ tròn tâm O

• Đặt lực: Tại A và B là các liên kết tựa (một chiều), các phản lực đều đi qua tâm O và có chiều như H.2.15b

Hệ lực ϕ(Fk) ≡ ( Q , N A , N B ) ≡ 0đồng quy phẳng

• Phương trình cân bằng: (lập được hai phương trình cân bằng):

0cosNN

Fkx = A − B α =Σ

0 sin N Q

B α

y

x O

x

My

Mz

Hình 2.14

• Giải hệ phương trình:

;gcotQ

α

= sin

⇒

−

= α

R

R cos ar R

R

Chú ý: Với hệ ba lực phẳng đồng quy cân bằng ta có thể dùng điều kiện

đóng kín tam giác lực

Ví dụ 2.6 Cho dầm AB có liên kết và chịu lực như H.2.16a (ngẫu M và lực F

đều thuộc mặt phẳng xy) Biết AI = a, BI = 2a Xác định phản lực tại A, B

Giải • Vật khảo sát: Dầm AB

• Đặt lực: Tại A liên kết bản lề trụ, tại B liên kết tựa một chiều chống lún xuống phía dưới Hệ lực nhận được:

)F( k

ϕ ≡ F , ngẫu M, A x , A y , B y ) ≡ 0

• Phương trình cân bằng:

2

FA

060cosFA

0 F 2

3 B A 0 B 60 sin F A

y y

0F2

3aaB3M0dFaB3M)F(m

3

3 a

3 a

B Y

A

Hình 2.16 Hình 2.16

Ví dụ 2.7 Cho khung ABCD có liên kết và chịu lực như H.2.17a Tính phản lực

tại A và B? Biết AC = BD =

2

CD = 1 m; F = 100 KN; q = 20 KN/m

Giải • Vật khảo sát: Khung ABCD

• Đặt lực: Tại A tương ứng liên kết bản lề trụ, tại B tựa hai chiều, hệ lực phân bố (rq) được thay tương đương bởi Q = 2q = 40 KN đặt tại I như H.2.17b ⇒

• Phương trình cân bằng:

0FA

Fkx = x + =

Σ (1)

0 B Q A

2.7 BÀI TOÁN CÂN BẰNG CỦA HỆ VẬT RẮN

Chúng ta có thể lập điều kiện cân bằng của hệ vật rắn theo hai phương pháp:

Phương pháp tách vật: Thiết lập điều kiện cân bằng của mỗi vật rắn thuộc hệ

Phương pháp hóa rắn: Thiết lập điều kiện cân bằng của toàn hệ rắn và từng phần của hệ hóa rắn (có thể một vật, hai vật,… ∈hệ) sao cho số phương trình lập được đủ giải quyết các yêu cầu của bài toán

Chúng ta chứng tỏ hệ n vật rắn dù cân bằng dùng phương pháp nào (cũng tương đương), điều kiện cân bằng của n hệ lực cân bằng tương ứng đặt vào mỗi vật rắn thuộc hệ

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh cho hệ hai vật S1, S2 Nếu nhiều vật rắn chỉ cần hóa rắn S1, S2 và ta chứng minh tương tự

Hóa rắn S1, S2 hệ lực tác động vào cả hai vật: ϕ(F(k1),F(k2))

với: F(k1)- là các lực ngoài đặt vào S1

F(k2)- là các lực ngoài đặt vào S2 (loại lực này thường được kí hiệu là Fek) Để đơn giản ta giả sử giữa S1 và S2 có một liên kết (nếu thêm liên kết ta đặt thêm lực tương tác)

Tách riêng S1 Hệ lực tác động vào S1 là: ϕ1(F(k1),F21)

trong đó: F 21 - là lực tương tác của S2 tác động vào S1

Tách riêng S2 Hệ lực tác động vào S2 là: ϕ2(F(k2),F12)

trong đó: F 12 - là lực tương tác của S1 tác động vào S2, dĩ nhiên:

R, = ,1 + ,2 M A = M 1 A + M 2 A

có nghĩa là chỉ hai trong ba hệ lực trên cân bằng thì hệ lực còn lại buộc phải cân bằng

2.8 CÁC VÍ DỤ BÀI TOÁN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC VẬT RẮN

Ví dụ 2.8 Hai bánh xe hình nón O và O’ ăn khớp răng ở C, chịu các ngẫu M, M’

như H.2.18a, bán kính tương ứng của các bánh răng là r, r’ Bánh xe O’ tác động vào bánh xe O lực R nghiêng với phương CO góc α và mặt phẳng chứa (R,

CO) nghiêng với mặt phẳng chứa bánh xe O (Cyz) góc β Cho O’A = a Xác định liên hệ giữa M, M’ để cơ hệ cân bằng? Tìm phản lực tại A

Giải Đây là cơ hệ hai vật rắn cân bằng chịu lực tác động của hệ lực không

gian, số phương trình cân bằng được thiết lập là 12 = 6 × 2 Xem xét mô hình tại các liên kết B, C, D đã có sáu ẩn, còn tại A (độ dài của ống trụ phải đủ lớn)