Nghiên cứu sự hủy positron trong chất rắn bằng lý thuyết hàm mật độ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA VẬT LÝ BỘ MÔN VẬT LÝ HẠT NHÂN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC ĐỀ TÀI : NGHIÊN CỨU SỰ HỦY POSITRON TRONG CHẤT RẮN BẰNG LÝ THUYẾT HÀM MẬT ĐỘ GVHD : TS Châu Văn Tạo GVPB : PGS.TS Mai Văn Nhơn SVTH : Nguyễn Trần Thọ TP Hồ Chí Minh – 2005 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khoá luận này, xin chân thành cảm ơn thầy cô Khoa lý, thầy cô Bộ môn Vật Lý Hạt Nhân truyền đạt kiến thức cho năm học đại học Tôi chân thành tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Châu Văn Tạo trực tiếp hướng dẫn, cung cấp tài liệu, giúp đỡ hoàn thành khóa luận Đồng thời xin gửi lòng biết ơn đến PGS Tiến sĩ Mai Văn Nhơn giành thời gian qúy báu để đọc góp ý cho khóa luận Lời cảm ơn xin gửi đến gia đình, tất bạn bè, đặc biệt bạn Bộ môn Vật Lý Hạt Nhân, động viên giúp đỡ suốt trình học tập TP.Hồ Chí Minh, tháng năm 2005 Nguyễn Trần Thọ MỤC LỤC Trang LỜI MỞ ĐẦU Chương 1: Lý thuyết hàm mật độ 1.1 Phương trình Schrodinger 1.2 Phép gần Born – Oppenheimer 1.3 Phương pháp electron 1.3.1 Phép gần Hartree 1.3.2 Phép gần Hartree – Fock 1.4 Lý thuyết hàm mật độ (DFT) 1.4.1 Mô hình Thomas – Fermi 1.4.2 Những lý thuyết Hohenberg – Kohn 11 1.4.2.1 Lý thuyết thứ Hohenberg – Kohn 11 1.4.2.2 Lý thuyết thứ hai Hohenberg – Kohn 13 1.4.3 Phương pháp Kohn – Sham (KS) 15 1.4.3.1 Những hàm sóng phương trình Kohn – Sham .15 1.4.3.2 Những dạng vi phân phương trình Kohn – Sham 19 1.5 Xấp xỉ hàm lượng biểu thức lượng tổng E[  (r)] 23 1.5.1 Động khí electron 23 1.5.2 Năng lượng tương quan – trao đổi 25 1.6 Sự cực tiểu hoá 27 1.6.1 Sự cực tiểu hoá động 27 1.6.2 Sự cực tiểu hoá Coulomb 28 1.6.3 Sự cực tiểu hoá 28 1.6.4 Sự cực tiểu hoá lượng tương quan – trao đổi 29 1.6.5 Mật độ electron từ cực tiểu hoá 29 Chương 2: Trạng thái positron chất rắn 31 2.1 Lý thuyết hàm mật độ hai thành phần 31 2.2 Hàm lượng tương quan – trao đổi .32 2.3 Hàm lượng tương quan 33 2.4 Trạng thái positron không định xứ 34 2.5 Hệ số tăng cường tính toán tốc độ hủy 36 Chương 3: Tính tốc độ huỷ positron kim loại 40 3.1 Công thức tính tốc độ hủy positron .40 3.2 Tính tốc độ hủy positron kim loại 44 3.3 Chương trình tính tốc độ huỷ – thời gian sống positron kim loại ngôn ngữ Visual Basic .45 3.3.1 Sơ đồ khối tổng quan chương trình 45 3.3.2 Giao diện chương trình 45 KẾT LUẬN 48 PHỤ LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Dũng, 1994, Nhập môn Cơ học lượng tử (Tập 1), Nhà xuất Giáo Dục, tr 67 – 69 [2] Louisa Màiri Fraser, 1995, Coulomb – interactions and Positron Annihilation in Many Fermion, University of London, tr 15 – 25 [3] Adam Ashmore, 2002, Electron Density Theory, Thomas – Fermi, Density Functional Theory and The Surface of Neutron Stars [4] N H March, 1992, Electron Density Theory of Atoms and Molecules, University of Oxford, UK, tr.36 [5] Guang – Yu Guo, 2003, Density Functional Theory and Computational Methods, Physics Dept., Natl Taiwan Univ [6] M J Puska and R M Nieminen, 1994, Theory of positrons in solids and on solid surfaces, Reviews of Modern Physics, Vol.66, No.3, pp 841 – 893 [7] E Boronski and R M Nieminen, 1986, Electron – positron density – functional theory, Physical Review B, Vol.34, No.6, pp 3820 – 3830 [8] J Mitroy and B Barbiellini, 2002, Enhancement factors for positron annihilation studies, Physical Review B, Vol 65 235103 [9] J Arponen, P Hautojarvi, R Nieminen and E Pajanne, 1973, Charge density and positron annihilation at lattice defects in aluminium, J Phys.F: Metal Phys., Vol 3, pp 2092 – 2108, Printed in Great Britain [10] Richard A Ferrell, 1956, Theory of Positron Annihilation in Solids, Reviews of Modern Physics, Vol 28, No 3, pp 308 – 323 [11] B Barbiellini, M J Puska, T Torsti and R M Nieminen, 1995, Gradient correction for positron states in solids, Physical Review B, Vol 51, No 11, pp 7341 – 7344 LỜI MỞ ĐẦU Trong nghiên cứu cấu trúc tính chất vật liệu, phương pháp nhiễu xạ tia X, đo phổ quang học, kính hiển vi điện tử … có phương pháp khảo sát xạ huỷ positron với electron môi trường Kỹ thuật huỷ positron có ưu điểm gamma huỷ lượng cao phát không bị ảnh hưởng tính chất bề mặt vật liệu ưu điểm positron lượng cao xuyên sâu vào bên tương tác với electron với nút mạng mẫu cần nghiên cứu Khảo sát trình tương tác biết cấu trúc tính chất vật liệu, đồng thời dựa vào đặc tính huỷ biết sai hỏng mạng Tuy nhiên để có phương pháp thực nghiệm tốt bên cạnh kỹ thuật chế tạo thiết bị cần có lý thuyết mô tả cách xác trình tương tác positron với electron môi trường từ xảy tượng huỷ Một số lý thuyết lý thuyết Hàm mật độ (Density – Functional Theory) sử dụng để nghiên cứu positron vật chất đậm đặc Khoá luận chia thành ba chương: Chương sử dụng lý thuyết hàm mật độ để khảo sát toán hệ nhiều hạt Chương mô tả trạng thái positron chất rắn lý thuyết hàm mật độ Chương tính tốc độ huỷ positron số kim loại CHƢƠNG LÝ THUYẾT HÀM MẬT ĐỘ 1.1.Phƣơng trình Schrodinger Như biết, học lượng tử, trạng thái hệ lượng tử mô tả hàm sóng (hay vectơ trạng thái) (r,t ) Về nguyên tắc, hàm sóng chứa đựng tất thông tin hệ cho, muốn biết trạng thái hệ lượng tử thời điểm t bất kỳ, cho trước trạng thái hệ thời điểm ban đầu (r,0) , giải phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian [1]: i   (r, t ) ˆ  H  (r, t ) t (1.1) Trong Hˆ Hamiltonian hệ Trong trường hợp tổng quát, Hamiltonian có dạng [1]: ˆ  H 2m   V (r, t ) (1.2) Tuy nhiên nguyên tử Hydro phương trình Schrodinger giải xác, thu hàm sóng mô tả trạng thái hệ từ xác định trạng thái lượng phép Còn hệ N hạt, hay chí nguyên tử He, phương trình Schrodinger giải xác Do phải sử dụng số phương pháp gần để thu nghiệm phương trình Schrodinger cho toán hệ nhiều hạt 1.2 Phép gần Born – Oppenheimer Theo [2] hệ N hạt có 3N bậc hạt đặc trưng toạ độ x, y, z Do việc trước tiên tìm cách giảm bớt số bậc tự hệ nhiều tốt Phép gần tốt để làm điều gần BornOppenheimer Vì lực (chủ yếu tương tác Coulomb, tương tác trao đổi tương quan) tác dụng lên electron ion mạng tinh thể có độ lớn gần nên xung lượng chúng xấp xỉ Tuy nhiên ion nặng so với electron nên động chúng nhỏ nhiều so với động electron Điều có nghĩa electron chuyển động nhanh (~ 105 m/s) ion dao động chậm quanh vị trí cân Đây tảng phép gần Born-Oppenheimer Các electron giả sử hưởng ứng cách tức thời chuyển động ion Với cấu hình ion, giả sử electron trạng thái tức thời, để tính lượng toàn phần hệ Trong phép gần Born – Oppenheimer, phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian hệ N electron tương tác có dạng: N  Ze2 ˆ H     i   2m i   ri  d  e2   E     i j  i ri  r j  (1.3) Trong đó:   hàm sóng hệ N electron  ri vị trí electron thứ i  d vị trí ion  Z điện tích ion Trong phương trình (1.3), số hạng diễn tả tương tác electron với nút mạng, số hạng sau biểu thị tương tác electron với Phương trình giải cách xác mà phải giải gần Do cần phải tìm phương pháp gần tốt nhằm thu lời giải xác phù hợp tốt với thực nghiệm 1.3 Phƣơng pháp electron Trong phép gần electron, xem electron hệ chuyển động độc lập trường trung bình tự hợp U(r) electron lại gây Khi đó, phương trình Schrodinger cho electron hệ có dạng [2]:  2m  2 (r)  U (r) (r) =  (r) (1.4) Trong đó:   (r) hàm sóng electron   lượng electron  m khối lượng electron Để giải (1.4) cần phải chọn U(r) thích hợp Thế U(r) phụ thuộc vào tương tác electron phụ thuộc vào hàm sóng  (r) Vì U(r)  (r) chưa biết phương trình (1.4) phải giải theo phương pháp tự hợp (self-consistent) 1.3.1 Phép gần Hartree Trong phép gần này, U(r) (1.4) chọn cho phải thể tương tác electron tương tác electron với trường (các nút mạng) Theo [2] đóng góp trường (các ion) vào U(r) là: U ion (r)   Z   e2 r  d (1.5) Lượng đóng góp tất electron lại (trừ electron xét) vào U(r) theo [2] là: U  (r)    (r ') e2 d r r  r (1.6) Trong (1.6) mật độ điện tích  (r) thay cho điện tích electron lại hệ (1.6) gọi Hartree Ở không xét tương tác electron với electron riêng lẽ lại, mà xét tương tác với mật độ electron  (r) Để tính xác Hartree, cần phải biết phân bố điện tích electron hệ Nếu elctron giả sử chuyển động độc lập với nhau, mật độ electron cho bởi:  (r) =   i (r) (1.7) i Thay (1.7) vào (1.6) thu được: e2 U  (r)     i (r) d r  r  r i (1.8) Kết hợp (1.5) (1.8) thu U(r) sau: U (r)   Z   e2 e2    i (r) d r r  d r  r i (1.9) Vì electron giả sử không tương tác, hàm sóng hệ N electron tích N hàm sóng electron: (r) =  (r1 ) (r2 )  N (rN ) (1.10) Phương trình (1.10) thay vào (1.3) để tìm giá trị trung bình toán tử H:  i (r)  j (r)  2  ˆ       d r (r)   i  U ion (r)  i (r)  e2   d r d r  m r  r i i j i   * i (1.11) Cực tiểu hoá phương trình (1.11) tương ứng với hàm sóng electron chuẩn hóa thu hệ phương trình electron:  j (r)  2  ion   2m i  U (r)  i (r)  e   r  r  i (r)d r   i i (r) j i   (1.12) Phương trình (1.12) gọi phương trình Hartree Giải phương trình thu trạng thái electron hệ 1.3.2 Phép gần Hartree –Fock (HF) Phép gần mở rộng phép gần Hartree để bao hàm tương tác trao đổi electron Tương tác trao đổi electron hệ qủa nguyên lý loại trừ Pauli, qua phát biểu hàm sóng hệ electron hàm phản đối xứng Theo phát biểu này, hoán đổi hai đối số cho hàm sóng đổi dấu: ( x1 , x2 , , xi , , x j , , xN )  ( x1, x2 , , x j , , xi , , xN ) (1.13) Trong xi bao gồm tọa độ spin electron Theo [2] thay sử dụng hệ hàm sóng (1.10), người ta sử dụng định thức Slater cho hàm sóng sau: Khi biết cuả positron ta giải phương trình Schrodinger để tìm hàm sóng positron đơn không định xứ hệ Thông thường ta quan tâm hàm sóng positron giá trị lượng trạng thái lượng thấp nhất, đáy dãy lượng positron thấp Điều tương ứng với động lượng positron p  , hàm sóng positron trạng thái hàm sóng s tương ứng với positron nhân (the nuclear positrons) tinh thể 2.5 Hệ số tăng cƣờng tính toán tốc độ hủy Khi positron vào chất rắn, mang điện dương nên hữu dẫn đến tích tụ mật độ electron quanh vị trí positron Điều làm tăng tốc độ hủy positron chất rắn Tốc độ hủy cho trường hợp positron khí electron trường hợp mật độ electron mật độ positron hiểu xác, việc sử dụng lý thuyết hàm mật độ hai thành phần gần LDA Trong tính toán tốc độ hủy, để diễn tả gia tăng mật độ electron quanh vị trí positron, người ta đưa vào công thức tính tốc độ hủy hệ số, gọi hệ số tăng cường (enhancement factor), giống hệ số hiệu chỉnh Hệ số tăng cường tính theo nhiều phép gần LDA, SLDA, BN, GGA … Trong phần khảo sát vài hệ số tăng cường tính theo phương pháp Khi biết mật độ positron  (r) mật độ electron  (r) , cách thông thường để tính tốc độ hủy dựa vào việc áp dụng công thức mật độ cục    re2c   (r)  (r)(  (r))d r (2.26) theo [7]  rs3 (  (r))  10  (   (r))  1     (2.27) biểu thức gần Brandt – Reinheimer phụ thuộc vào mật độ electron  (r) , diễn tả tăng cường mật độ electron vị trí positron có giá trị trường hợp positron đơn khí electron (   ) không áp dụng cho mật độ positron Các hệ số re c biểu thức (2.26) tương ứng bán kính electron cổ điển vận tốc ánh sáng 36 Theo lý thuyết hàm mật độ hai thành phần tốc độ hủy thường viết dạng:    re2c   (r)  (r)   (r),  (r)  d r (2.28) với  (  (r),  (r)) hệ số tăng cường phụ thuộc vào  (r)  (r) Theo [8] tốc độ hủy cục trường hợp hủy với lớp electron riêng biệt nguyên tử (chẳng hạn electron lõi hay electron hoá trị) tính theo công thức: i   re2c  i (r)  (r)   (r),  (r)  d r (2.29) i với  (r) mật độ electron lớp xét Mô hình hạt độc lập IPM (independent particle model) giả thiết tương quan electron – positron không gây ảnh hưởng lên tốc độ hủy,  IPM  (2.30) Trong gần LDA, hệ số tăng cường hàm mật độ electron Nó nhận từ việc tính hệ số tiếp xúc electron – positron positron khí electron Theo tính toán Arponen Pajanne, hệ số tăng cường trường hợp là:  LDA   1, 23 rs  0,0742 rs2  rs3 (2.31) Để có biểu thức giả thiết mật độ electron luôn lớn mật độ positron Điều môi trường vật chất đậm đặc, môi trường nguyên tử lại không Do đó, môi trường nguyên tử hệ số tăng cường thay  SLDA (symmetrized LDA):  SLDA   LDA (  ) với (2.32)   max(  ,  ) Những nghiên cứu phức tạp cần dùng hệ số tăng cường phụ thuộc mật độ electron positron Boronski Nieminen (BN) đưa hệ số tăng cường dựa vào tính toán Lantto khí electron – positron Hệ số tăng cường BN bao gồm hai phần Phần thứ gồm dạng hàm cho hệ số tiếp xúc electron – positron với tỉ số x    0, 0.5, Phần 37 lại hệ số tăng cường  BN bao gồm công thức nội suy hai chiều để tính  BN cho mật độ tùy ý Theo [9] ta viết công thức tính hệ số tăng cường dạng sau:  BN  g1 (   )  3  g2 (   )  2  g3 (   )     (   ) (2.33) Trong hệ số g1 (  ), g2 (  ), g3 (  ) tính theo hệ thức: g1 (  )  g2 ( )  g3 (  )   [2k (  )  6 1BN (  )  8 2BN (  )  2 0BN (  )] [3k (  )  11 1BN (  )  16 2BN (  )  5 0BN (  )]  [k (  )  4 1BN (  )  8 2BN (  )  4 0BN (  )]  (2.34) Với  0BN (  ) ,  1BN (  )  2BN (  ) tham số hoá hệ số tăng cường tương ứng với trường hợp x = 0, 1, 1/2 Các hàm xác định sau:  0BN   1, 23rs  0,8295rs3  1, 26rs2  0,3286 rs5  rs3   0,6rs  0,63rs2  0, 48 rs5  rs3 x0  1BN   0,51rs  0,65rs2  0,51rs5  rs3 x 1  2BN x  1/ (2.35) Hàm k (  ) định nghĩa sau: k ( )  r d  BN d  1BN   s d d rs (2.36) Tại giá trị rs cho trước, hệ số tăng cường  1BN  2BN nhỏ  0BN Ngoài hệ số tăng cường tính theo phép gần nói trên, có hệ số tăng cường tính theo gần GGA (generalized gradient approximation) có xét đến hiệu ứng mật độ electron không đồng nhất, có dạng:  GGA   ( SLDA  1)exp( ) (2.37) Trong đó:   0.22 cho thông số rs 38   ln    2 (  qTF ) qTF 2 d  dr qTF  4kF  , kF  (3  ) 2   qTF  (2.38) xung lương Fermi cục 39 CHƢƠNG TÍNH TỐC ĐỘ HUỶ CỦA POSITRON TRONG KIM LOẠI 3.1 Công thức tính tốc độ hủy positron Khi tính toán tốc độ huỷ positron bỏ qua đóng góp electron lõi ion xung quanh positron Theo [9] tốc hủy toàn phần tính theo biểu thức sau:  t   d r   (r) (rs (r)) (3.1) Ở (rs ) tốc độ hủy khí electron đồng mô tả thông số mật độ rs Trong trường hợp này, rs (r) xác định mật độ electron cục  (r) Ngược lại với tốc độ hủy toàn phần, tốc độ huỷ cục có mối tương quan góc phụ thuộc vào giá trị trạng thái không cục chứa biểu thức tính tốc độ hủy phần theo [9] là: R(P)  2 r02c  d r d r'exp{i P.(r  r ')} * (r) (r ')* (r) (r ') (3.2) Ở   toán tử trường positron electron Chúng ta tiếp tục ước lượng (3.2) theo cách sau Theo [9] ta viết trạng thái electron – positron sau:   d r  (r)* (r) e, r (3.3)  (r)    (r) e,r (3.4) Do mà  (r)  * (r) (r)    (r) Vì   (r) 2 e,r e,r (3.5) mật độ positron  (r) nên trạng thái e, r chuẩn hóa đến đơn vị Biểu thức (3.4) trạng thái e, r thu phép chiếu hệ electron, tương ứng với positron vị trí r Chúng ta lưu ý khối lượng nhỏ positron, nên trạng thái e, r không trạng thái 40 hệ electron trường hợp tạp chất điểm nặng r Trạng thái e, r mô tả hệ electron có tăng cường mạnh mật độ electron quanh r bên bán kính dressed positron, mật độ electron cách xa r gần giá trị không nhiễu loạn  (r ') Theo [9] có: 1    (r) (r) * e, r  (r) (r ') e, r     (r ')   r'  r (3.6) r ' r   Giá trị mong đợi phương trình (3.2) * (r) (r ')* (r) (r ')   * (r)  (r ') e,r * (r) (r ') e,r ' (3.7) Mật độ hỗn hợp hệ electron không đồng trạng thái diễn tả bởi: F0 (r, r ')    g (k F r  r ' ) (3.8) g ( z)  (sin z  z cos z ) z3 (3.9) Do hàm F0 có tầm tác động khoảng chừng r  r '  2 kF (bước sóng Fermi), bên vùng gần không Như phương pháp gần Thomas – Fermi (giả sử mật độ electron hệ không đồng không gian biến đổi chậm) ta viết: F (r, r ')   (R) g (kF (R) r  r ' ) (3.10) R  (r + r ') kF (R) động lượng Fermi cục Khi có diện positron ta phải xét F (r,r ')  e,r * (r) (r ') e,r ' Theo (3.6) có F (r, r ')  (3.11)  (r) (r) Từ kết qủa ta viết tăng cường mật độ electron sau: 1 F (r, r ')   (r) (r ')  e * (r) (r ') e   (r) (r ')  F (r, r ') (3.12) 41 Chúng ta giả thiết biểu thức (3.12) mô tả gần hợp lý hàm F Hàm F liên quan trực tiếp đến phân bố động lượng electron vùng xung quanh vị trí R Sự phụ thuộc F F vào r  r giống nhau, có khác biệt hệ số nhân không đổi Trong giới hạn không gian biến đổi chậm ta đơn giản hóa phương trình (3.12) cách thay  (r) (r)    (R) , kết hợp với phương trình (3.7) (3.10) thu được: * (r) (r)* (r) (r)   (R) (R) * (r)  (r) g ( kF (R) r  r  ) (3.13) Tốc độ hủy phần với động lượng toàn phần P cặp huỷ (the annihilating pair) là: R(P)   d rd r exp{i P.(r  r)} * (r)  (r) g{kF (R) r  r }(rs (R)) (3.14) Nếu tính theo đại lượng đo theo khe hình học ta I ( p)  d PR(P) (n.P  p) (2 )3  (3.15) Ở n vector pháp tuyến đơn vị khe hình học động lượng p hai gamma hủy Theo [9] tốc độ hủy toàn phần là:   t d P R(P)   dp I ( p) (2 )3   (3.16) Chúng ta có vài nhận xét liên quan đến thuộc tính biểu thức (3.14) (i) Trong trường hợp hệ đồng hàm sóng positron số thu R(P)    d r exp(i P.r) g (kF r) (3.17) Ta có:   0 R(P)    2 r dr  sin  eiPr cos (sin k F r  k F r cos k F r )d ( k F r )3 42   eiPr  eiPr    2 r  iPr   (sin kF r  kF r cos k F r )dr  ( k r )  F  sin Pr (sin kF r  kF r cos k F r )dr Pk r F  12   3 2   (kF  P)   (k F  P)  kF (3.18) Với hàm  ( x) có giá trị sau: 1   ( x)   1  x0 x0 x0 (3.19) Ta viết kết qủa dạng sau: 6  ( k F  P) kF3 (3.20) 3(rs ) (kF  p ) (k F2  p ) 4k F (3.21) R( P)  (rs ) Do I ( p)  (ii) Nếu biến đổi hàm sóng positron chậm so với biến đổi g (kF r  r ' ) , ta thu từ phương trình (3.14) công thức đề nghị Brandt: I ( p)  ( r (r)) s d r  (r) k F2 (r)  p   k F2 (r)  p     kF (r) (3.22) Điều có nghĩa điểm r positron hủy thể khí electron đồng nhất, ngưỡng động lượng xác đỉnh mật độ electron cục Trong trường hợp này, điều kiện thích hợp để dùng phương trình (3.22) không đầy đủ 3.2 Tính tốc độ hủy positron kim loại Ta tính tốc độ hủy trường hợp positron khí electron đồng Theo [10] khí đồng ta dùng mật độ electron trung bình theo biểu thức:   NA zA A (3.23) 43 Ở N A số Avogadro, z,  A A tương ứng hóa trị, khối lượng riêng khối lượng nguyên tử kim loại Do ta tính tham số mật độ rs theo công thức: 1  3 A rs    1,384 A  z    A N z   a   A A (3.24) Từ (3.16) (3.21) công thức tính tốc độ hủy tổng viết lại sau:  3 2 2   4kF3 (kF  p ) (kF  p ) dp t  kF    kF 3 (k F  p )dp 4k F  (rs ) (3.25) Theo (2.25) ta thu biểu thức tính tốc độ hủy cho khí điện tử đồng 12  rs3  10   t  1  10 rs   s 1 (3.26) Đồng thời ta tính thời gian sống positron kim loại theo biểu thức sau:  (3.27) t 3.3 Chƣơng trình tính tốc độ huỷ – thời gian sống positron kim loại ngôn ngữ Visual Basic 3.3.1 Sơ đồ khối tổng quát chƣơng trình Begin Input Data Validate Input Data No Yes Process Data 44 3.3.2 Giao diện chƣơng trình Form tính tốc độ huỷ – thời gian sống positron dạng Hình 3.1 Khi người sử dụng :  Nhấn nút Thoát thoát khỏi chương trình  Nhấn nút Tính tốc độ huỷ chương trình thực lệnh kiểm tra xem điều kiện chưa: Nếu số liệu nhập vào Số khối, Khối lượng riêng, Hoá trị bé dạng chuỗi chương trình cảnh báo bắt nhập lại cho Nếu điều kiện chương trình xuất kết  Khi nhấn nút Tính tiếp chương trình xoá liệu có sẵn ô textbox trở lại tính từ đầu 45 Hình 3.1 Giao diện Form tính tốc huỷ – thời gian sống positron kim loại Tốc độ huỷ – thời gian sống positron số kim loại cho bảng sau: Kim loại  (ns)1  ( ps)  * ( ps)  ** ( ps) Na 2,51 398 279 337 Al 5,62 178 144 166 V 4,84 206 103 116 Fe 5,39 185 91 101 Ni 5,66 176 88 96 46 Cu 5,39 185 96 106 Ta 4,19 239 108 117 Si 6,02 166 186 221 Ge 5,54 180 191 228 * Kết lấy theo [11] ** Kết lấy theo [6] Bảng Thời gian sống positron số kim loại Thời gian sống positron kim loại theo cách tính theo (3.27) có chênh lệch so với kết tác giả khác [11], [6] tính mật độ electron trung bình   thông qua tính tham số mật độ rs biểu thức (3.24) bỏ qua đóng góp vào tốc độ huỷ positron electron lõi Các kết Bảng gần kim loại thuộc phân nhóm bảng hệ thống tuần hoàn, kim loại thuộc phân nhóm phụ có chênh lệch nhiều so với [11], [6] 47 KẾT LUẬN Khoá luận đưa phương pháp gần để giải toán hệ N – electron sử dụng để tìm hiểu trạng thái positron vật chất đậm đặc, đồng thời tính tốc độ huỷ positron số kim loại Trong phương pháp electron, thay giải toán hệ N – electron ta giải N toán electron, electron hệ xem chuyển động độc lập trường trung bình tự hợp U(r) Theo phép gần Hartree U(r) chọn cho thể tương tác electron ( U H (r) ) tương tác electron với trường ( U ion (r) ) Còn phép gần Hartree – Fock mở rộng phép gần Hartree để bao gồm tương tác trao đổi electron, hàm sóng hệ electron hàm phản đối xứng Trong phương pháp lượng tổng, năng, động xác định theo hàm sóng hệ Ý tưởng mô hình Thomas – Fermi thay hàm sóng phức tạp phương trình Schrodinger hệ N – electron mật độ electron Các đặc trưng hệ lượng tổng ETF [  (r)] , động TTF [  (r)] , toàn phần  [  (r)] tính theo mật độ electron  (r) Theo quan niệm cổ điển hệ N – electron V(r) hoàn toàn xác định Hamilton, tất đặc trưng trạng thái hệ Nhưng theo Hohenberg – Kohn ngược lại, V(r) xác định mật độ electron  (r) Khi  (r) xác định số electron, hàm sóng trạng thái tất đặc trưng hệ Nhờ bổ sung mà mô hình Thomas – Fermi phát triển thành lý thuyết hàm mật độ Kohn – Sham đưa hàm sóng vào toán phép tính xấp xỉ bắt nguồn từ hệ thức xác động trạng thái T [  (r)] Động T [  (r)] chia thành hai phần động xác Ts [  (r)] tính từ mô hình mẫu hạt độc lập phần động bổ sung để hiệu chỉnh Năng lượng tương quan – trao đổi Exc [  (r)] chứa phần động bổ sung thể chênh lệch T [  (r)] Ts [  (r)] Vee [  (r)] Trong phương pháp Kohn – Sham ta phải giải N 48 phương trình hàm sóng electron phương pháp Thomas – Fermi giải phương trình với mật độ tổng Cực tiểu hoá xấp xỉ cục (LDA) biểu thức lượng tổng E [  (r)] động T [  (r)] , lượng tương tác Coulomb electron Eco [  (r)] , Vext [  (r)] , lượng tương quan – trao đổi Exc [  (r)] ta thu mật độ electron  (r) mối liên hệ với toàn phần V [  (r)] hệ Sử dụng lý thuyết hàm mật độ phương pháp biến phân Kohn – Sham ta thu phương Schrodinger cho electron positron vật chất đậm đặc Các hàm lượng tương quan – trao đổi Exc [  (r)] electron positron tính theo mật độ  (r) xấp xỉ cục bộ, lượng tương quan Ece p [  (r)] electron – positron hệ tính theo dạng gần Arponen – Pajanne Lantto [8] Khi positron vào vật chất, electron môi trường tích tụ xung quanh vị trí positron (hiện tượng chồng chập) tương tác Coulomb Sự tích tụ làm tăng xác suất huỷ, nên tính toán tốc độ huỷ positron ta phải nhân thêm hệ số tăng cường  Tuỳ theo điều kiện môi trường, trường hợp thực nghiệm ta có hệ số tăng cường xấp xỉ cục (LDA) thích hợp Brandt – Reinheimer [8], Arponen – Pajanne, Boronski – Nieminen (BN) hay theo xấp xỉ phần GGA [9] Trong phần cuối ta tính tốc độ huỷ positron kim loại với hệ số tăng cường Brandt – Reinheimer [8], positron xem có vỏ bọc bên (the dressed positron) Ta xét trường hợp positron khí electron đồng nhất, mật độ electron  (r) tính trung bình thông qua tham số mật độ rs [11] tính toán xấp xỉ mật độ cục LDA bỏ qua đóng góp electron lõi ion xung quanh positron 49 PHỤ LỤC Hoá trị Khối lượng riêng nguyên tử A(g) z  A ( g / cm ) Li 6,94 0,534 3,254 2,929 341,436 Na 23 0,97 3,976 2,509 398,553 K 39 0,89 4,879 2,275 439,471 Rb 85,5 1,53 5,291 2,216 451,262 Be 1,85 1,861 6,963 143,626 Mg 24,3 1,74 2,645 3,729 268,191 Ca 40 1,54 3,253 2,929 341,359 Sr 87,62 2,64 3,530 2,727 366,650 Sc 44,96 2,99 2,711 3,606 277,352 Ti 47,87 4,5 2,416 4,269 234,222 V 50,94 6,0 2,241 4,844 206,459 Cr 52 7,15 2,681 3,660 273,242 Mn 54,94 7,3 2,153 5,208 192,020 Fe 55,85 7,88 2,110 5,406 184,972 Co 58,93 8,86 2,066 5,630 177,630 Ni 58,69 8,91 2,059 5,665 176,520 Cu 63,55 8,93 2,113 5,392 185,446 Zn 65,39 7,13 2,299 4,634 215,803 Al 26,981 2,7 2,067 5,624 177,810 Si 28 2,33 1,997 6,018 166,171 Ge 72,61 5,32 2,083 5,540 180,516 Zr 91,2 6,52 2,647 3,726 268,416 Nb 92,91 8,57 3,063 3,113 321,190 Mo 95,94 10,2 2,921 3,283 304,568 Ag 107,87 10,50 3,009 3,175 314,960 Cd 112,41 8,69 2,579 3,866 258,644 Tham số mật Tốc độ huỷ Khối lượng Kim loại độ rs 1  (10 s ) Bảng giá trị tốc độ huỷ – thời gian sống số kim loại Thời gian sống  (10 12 s) [...]... thấy sự thay đổi của  (r) theo V (r) 27 CHƢƠNG 2 TRẠNG THÁI CỦA POSITRON TRONG CHẤT RẮN 2.1 Trạng thái positron theo lý thuyết hàm mật độ hai thành phần Câu hỏi đặt ra khi phân tích sự hủy positron là tương tác giữa electron và positron làm thay đổi cấu trúc electron của môi trường vật chất như thế nào Lực tương tác này dẫn đến sự chồng chất mật độ electron tại positron gây nên sự tăng cường trong. .. –Fermi Họ đã đưa ra một số lý thuyết cơ bản chứng tỏ những trạng thái cơ bản của Thomas – Fermi có thể được xem như là một dạng xấp xỉ của lý thuyết chính xác, mà được gọi là lý thuyết hàm mât độ Theo lý thuyết hàm mật độ, có tồn tại một hàm năng lượng chính xác và có tồn tại một nguyên tắc biến phân chính xác như trong các phương trình từ (1.17) đến (1.28) 1.4.2 Những lý thuyết Hohenberg – Kohn (HK)... của lý thuyết hàm mật độ là thay thế những hàm sóng phức tạp và phương trình Schrodinger của hệ N – electron bằng mật độ electron và mô hình tính toán đơn giản hơn theo mật độ Trong mô hình Thomas – Fermi, những lý thuyết thống kê được áp dụng để xấp xỉ phân bố của electron trong nguyên tử Theo Thomas đã khẳng định “ những electron được phân bố đồng nhất trong không gian pha sáu chiều Đối với chuyển động... E[  ( r )] Trong lý thuyết hàm mật độ thì năng lượng toàn phần của hệ các electron E[  (r)] được biểu diễn thông qua mật độ electron  (r) và năng lượng sẽ đạt giá trị cực tiểu khi mật độ electron có một giá trị đúng Năng lượng của hệ các electron là một phiếm hàm của mật độ electron, E [  (r)] Giá trị nào của  (r) mà làm cho E[  (r)] cực tiểu thì giá trị  (r) đó chính là mật độ electron đúng... cho động năng khí electron với giả thiết mật độ electron không đổi Vì trong thực tế mật độ electron thay đổi theo khoảng cách r Do đó trong gần đúng bậc nhất, động năng được tính theo công thức: 5 3 T [  (r)]  CK   (r) d r (1.85) với: CK  3 5 3  2 4 3 (1.86) 10m Trong phép gần đúng LDA, mật độ electron được xem là thay đổi chậm theo khoảng cách r, nghĩa là trong khoảng cách r nhỏ, có thể xem mật. .. chứng minh lý thuyết thứ hai của Hohenberg – Kohn ta sử dụng lý thuyết thứ nhất của Hohenberg – Kohn Theo lý thuyết thứ nhất của Hohenberg – Kohn thì mật độ  (r) sẽ xác định thế một thế v , Hamilton Hˆ , và hàm sóng  Hàm sóng  được xem như là hàm thử cho hệ đang xét có thế ngoài v Do đó :  Hˆ     (r) v(r) d r  FHK [  (r)]  Ev[  (r)]  Ev[  (r)] (1.41) Giả sử có một sự chênh lệch trong Ev... 2 [  0  (r)    AP   (r)   2 L   (r) ]  (r) b   (r)   (2.17) 2.4 Trạng thái của positron không định xứ Đối với một positron không định xứ (delocalized positron) trong một mạng tinh thể hoàn hảo, lý thuyết hàm mật độ hai thành phần được làm đơn giản hoá về cơ bản Bởi vì mật độ positron trong trường hợp này là nhỏ có thể bỏ qua tại mọi điểm của mạng, nó không làm ảnh hưởng đến cấu trúc... 1 cho N hàm sóng đầu tiên và ni  0 cho những hàm sóng còn lại Biểu diễn này của động năng và mật độ đã đảm bảo tính đúng đắn cho hàm sóng định thức thường được dùng để mô tả chính xác hệ N electron không tương tác Với mật độ  (r) không âm, liên tục và được chuẩn hóa thì  (r) là biểu diễn N và luôn được tách thành những số hạng hàm sóng  i (r, s) trong phương trình (1.51) Nhưng với mật độ  (r)... (1.55) và có mật độ như trong (1.51) Mặc dù đại lượng Ts [  (r)] được định nghĩa duy nhất cho mật độ bất kỳ, nhưng vẫn còn hàm năng lượng động năng không chính xác T [  (r)] chưa được biết Một ý tưởng rất khéo léo của Kohn và Sham là tách hàm năng lượng động năng của hệ tổng quát thành hai phần một là động năng chính xác Ts [  (r)] mà nó được tính từ mô hình mẫu hạt độc lập và một phần là động năng... biến bậc hai Trong trường hợp số electron chẵn thì mật độ electron có spin  bằng với mật độ electron có spin  Ta có mật độ được tính như sau: N 2  (r)  2   (r)  2   (r)  2  i (r) 2 (1.74) i Trong trường hợp số electron lẻ thì:  (r)    (r)    (r) (1.75) Trong trường hợp này thì   (r) khác   (r) một hàm sóng Những mô tả này cho những thành phần không gian của những hàm sóng chính ... dụng lý thuyết hàm mật độ để khảo sát toán hệ nhiều hạt Chương mô tả trạng thái positron chất rắn lý thuyết hàm mật độ Chương tính tốc độ huỷ positron số kim loại CHƢƠNG LÝ THUYẾT HÀM MẬT ĐỘ 1.1.Phƣơng... toán tốc độ hủy Khi positron vào chất rắn, mang điện dương nên hữu dẫn đến tích tụ mật độ electron quanh vị trí positron Điều làm tăng tốc độ hủy positron chất rắn Tốc độ hủy cho trường hợp positron. .. trường hợp mật độ electron mật độ positron hiểu xác, việc sử dụng lý thuyết hàm mật độ hai thành phần gần LDA Trong tính toán tốc độ hủy, để diễn tả gia tăng mật độ electron quanh vị trí positron,