Đáp án đề thi môn toán vòng 1 chuyên KHTN năm 2013

ĐỀ THI MÔN TOÁN CHUYÊN KHTN 2013 Câu I. (3 điểm) 1) Điều kiện: 1 2. 3 x   Phương trình đã cho tương đương với 2 2 2 2 2 3 2 (3 1)(2 ) 9 3 5 2 3 7 3 5 2 6 9 (3 0) 4 11 7 0 1, 4 x x x x x x x x x x x x x x x                             Đối chiếu với điều kiện ta thu được nghiệm: 7 1, . 4

TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2013 MÔN: TOÁN (VÒNG 1) Câu I (3 điểm) 1) Điều kiện: 1  x  Phương trình cho tương đương với  x   (3x  1)(2  x)   3 x  x    x  3x  x   x  x  (3  x  0)  x  11x    x  1, x  Đối chiếu với điều kiện ta thu nghiệm: x  1, x  2) Hệ phương trình tương đương với  1  1  x     y    y  x   1   x     x   y          y  y  x  Đặt 1 u  x  , v  y  ta thu y x   v   u u  v      u  uv    3u  u   u    2  3u 9u    u  u  3u   2  x    3 y  u    u       2  y   v   x 3y  3y y  xy     3x  x   y    2 y  xy   3x  y  1, x    y  3y      y  2, x  Suy ra:  Vậy hệ có nghiệm  ; 2   1;   Page | TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 Câu II (3 điểm) 1) Cách 1: Đẳng thức cần chứng minh tương đương với a  b  b  c  c  a  1   1   1   ab bc  bc  ca  ca  a b  ac ba cb     (a  b)(b  c) (b  c)(c  a) (c  a)(a  b)  ac(a  c)  ba(b  a)  cb(c  b)  (a  b)(b  c)(c  a )  ac(a  c)  ba(b  a)  cb(c  b)  6abc  ac(a  c)  b (a  c)  (ba  abc)  c 2b  abc  8abc  (a  c)(ac  b  ab  bc)  8abc  (a  c)(c  b)(b  a)  8abc (đpcm) Cách 2: Đặt a b c , y , z ab bc ca b c a  1 x  , 1 y  , 1 z  ba bc ca Từ điều kiện suy xyz  thu xyz  (1  x)(1  y )(1  z )   ( x  y  z )  ( xy  yz  zx)  xyz  xyz   ( x  y  z )  ( xy  yz  zx)  x  y  z   xy  yz  zx (đẳng thức cần chứng minh) x 2) Ta có abcde  abc00  de  abc 100  de  abc(101  1)  de  abc 101  abc  de Suy abcde chia hết cho 101  abc  de  abc  (10d  e) chia hết cho 101 99999  990  101 101 Vậy số có chữ số lớn chia hết cho 101 990 101 999  99 Ta có 101 n  9999  n  101 Vậy số có chữ số nhỏ chia hết cho 101 100 101 Số số có chữ số thỏa mãn yêu cầu toán là: 990 100   891 Đáp số: 891 số Ta có 101 m  99999  m  Page | TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 Câu III (3 điểm) E A F M O N B C D 1) Ta có góc nội tiếp BDM  BCF (1) BMA  BFA suy 180  BMA  180  BFA hay BMD  BFC   Từ (1) (2) suy BDM BCF đồng dạng (g.g) Ta có điều phải chứng minh 2) Từ AD phân giác BAC suy DB  DC DE vuông góc với BC trung điểm N BC Từ 1) BDM biến đổi sau BCF ta có DM BD  Vậy ta có CF BC DA DM BD CD DE      3 CF CF BC CN CE Ta lại có góc nội tiếp ADE  FCE (4) Từ (3) (4) suy EAD EFC suy EFC  EAD  90 Vậy EF  AC Page | TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn Tầng – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội Tel: (04) 0466865087 – 0983614376 Câu IV (1 điểm) Với  số thực dương ta có d a3 b3 dab  3 3 3 3  3 d b c dbc  3 3 3 3  3 d c a dca  3 3 3 3  a3  b3  c3 abc  3  Cộng bốn đẳng thức ta thu   d      a3  b3  c3   (dab  dbc  dca  abc) 3    3 4         4  3  Ta tìm   cho 3 3 1 1 Chọn    x   ta thu 2 x 1 1 3 1 x   x 6 2 x 2 x  x  12 x3   1  3 1 3 1 x   x  x   2 x  2 x 2 x Ta có nghiệm dương x   35 , x   35      35   35  Với  xác định ta thu d3  3 a  b  c    9d   a  b  c       Đẳng thức xảy a  b  c  Vậy giá trị nhỏ P    3 , d=3  35   35    3 36  36  35   35  Page | ... 10 0  de  abc (10 1  1)  de  abc 10 1  abc  de Suy abcde chia hết cho 10 1  abc  de  abc  (10 d  e) chia hết cho 10 1 99999  990  10 1 10 1 Vậy số có chữ số lớn chia hết cho 10 1 990 10 1... 10 1 990 10 1 999  99 Ta có 10 1 n  9999  n  10 1 Vậy số có chữ số nhỏ chia hết cho 10 1 10 0 10 1 Số số có chữ số thỏa mãn yêu cầu toán là: 990 10 0   8 91 Đáp số: 8 91 số Ta có 10 1 m  99999...       4  3  Ta tìm   cho 3 3 1 1 Chọn    x   ta thu 2 x 1 1 3 1 x   x 6 2 x 2 x  x  12 x3   1  3 1 3 1 x   x  x   2 x  2 x 2