ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 8

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh...

Đề thi chọn học sinh Giỏi Toán 8 Đề thi chính thức (Vòng 1) Bài 1: Chứng minh rằng 3 n n − chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. Bài 2: Giải hệ phương trình: 4x 1 x 3 6 2x 3x y 1 2  − − + = −   − + =   Bài 3: a) Chứng minh rằng nếu m, n, p > 0 thì ( ) 1 1 1 m n p 9 m n p   + + + + ≥  ÷   . b) Áp dụng để chứng minh 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 3 b c c a a b 2 + + ≥ + + + (với a, b, c > 0) Bài 4: Tìm các số nguyên dương x,y, z để thỏa mãn hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 x 5y 4z 4xy 4yz 125 0 x 3y 4z 4xy 4yz 75 0  + + + + − =   + − + − − =   Bài 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và ba cạnh BC, AC, AB thỏa mãn điều kiện BC AC AB > > . Một hình vuông gọi là nội tiếp trong tam giác ABC nếu hình vuông có một cạnh nằm trên một cạnh của tam giác ABC và hai đỉnh còn lại nằm trên hai cạnh kia của tam giác đó. Như vậy, trong tam giác ABC có ba hình vuông nội tiếp. Trong ba hình vuông đó, hình vuông nào có diện tích lớn nhất? Đề thi chính thức (Vòng 2) Bài 1: Cho biểu thức ( ) 2 2 2 4 2 4 2 a a x a x 1 A a x 2a x 2 − + + = + + + a) Chứng tỏ biểu thức trên không phụ thuộc vào a. b) Xác định x để A đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. Bài 2: a) Xác định số chữ số của số 2 100 b) Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp a, b, c sao cho 2 2 2 a b c+ + cũng là số nguyên tố. Bài 3: Chứng mình rằng với mọi n N ∈ , ta đều có n n 1 n 1 n 2 + < + + . Vận dụng kết quả trên để chứng minh rằng: 1 3 5 99 1 . . . 2 4 6 100 10 < Bài 4: Xác định điểm M nằm trong tam giác ABC để cho tích các khoảng cách từ đó đến các cạnh của tam giác có giá trị lớn nhất. Đinh Vũ Hưng Page 1 PHÒNG GD – ĐT QUẢNG TRẠCH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS QUẢNG MINH LỚP THCS NĂM HỌC 2011-2012 -*&* -MÔN THI:TOÁN Thời gian:150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 1trang có câu) Câu 1:(2,5đ) a) Chứng minh với số ngyên x,y ta có: x y − xy chia hết cho 30 b) Giải phương trình : x + y + z = y ( x + z ) Câu 2:(2,5đ) a) Cho a+b=1.Tìm GTNN biểu thức A= a(a + 2b) + b(b − a) a+b+c với a,b,c độ dài ba cạnh 1  1 1 + + ≥ 2 + +  CMR: p −a p −b p −c a b c b) Cho tam giác có nửa chu vi p = Câu 3:(1,5đ) Một người xe đạp người xe máy người ô tô xuất phát từ A glần lượt lúc , 10 với vận tốc theo thứ tự 10km/h ;30km/h;50km/h Hỏi đến ô tô vị trí cách xe đạp xe máy.? Câu 4.(2đ) cho tam giác ABC, I giao điểm ba đường phân giác Đường thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC BC theo thứ tự M N.Chứng minh : a) ∆ABC ∆ABI đồng dạng AM  AI  = b)  BN  BI  Câu 5(1,5đ) : Cho hình bình hành ABCD Điểm E thuộc canh BC cho BE = BC , F trung điểm cạnh CD Các tia AE AF cắt đường chéo BD I K.Tính diện tích ∆AIK , biết diện tích hình bình hành ABCD 48 cm HẾT Chú ý : Giám thị không giải thích thêm PHÒNG GD – ĐT QUẢNG TRẠCH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS QUẢNG MINH LỚP THCS NĂM HỌC 2011-2012 -*&* -MÔN THI:TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI: Câu 1: a) Ta có: x y − xy = x y − xy − xy + xy = xy ( x − 1)( x + 1) − xy ( y − 1)( y + 1) 5 => x y − xy chia hết cho (1) Ta lại có: x y − xy = x y − xy − xy + xy = xy ( x − 1)( x + 1)( x + 1) − xy ( y − 1)( y + 1)( y + 1) [ ] [ ] = xy ( x − 1)( x + 1) ( x − 4) + − xy ( y − 1)( y + 1) ( y − 4) + = xy ( x − 1)( x + 1)( x − 2)( x + 2) − xy ( x − 1)( x + 1) − xy ( y − 1)( y + 1)( y − 2)( y + 2) − xy ( y − 1)( y + 1) => x y − xy chia hết cho (2) Từ (1) (2):ta x y − xy chia hết cho mà (5,6)=1 Nên x y − xy chia hết cho 30 b) x + y + z = y( x + z) x + y + z − xy − yz = => x + y + z − xy − yz = ( x − y ) + ( y − z ) + x + z = => Dấu "=" xảy x=y=z=0 Vậy x=y=z=0 Câu 2: a) Ta có: a+b=1 => b=1-a (1) 2 3 A = a(a + 2b) + b(b − a) = a + 2ab + b − ab = a + b3 + ab (2) Thay (1) vào (2) ta được: A = a + (1 − a)3 + a(1 − a) = 2a − 2a + = ( 2a − 0,5 ) + 0,5 ≥ 0,5 => MinA=0,5 a=b= Vậy giá trị nhỏ A=0,5 a=b= 1 b) áp dụng bất đẳng thức phụ x + y ≥ x + y ta được: 1 4 1 4 1 4 +) p − a + p − b ≥ p − a + p − b = a +) p − a + p − c ≥ p − a + p − c = b +) p − b + p − c ≥ p − b + p − c = c Cộng vế với vế bất đẳng thức trên:  1   1 1  ≥ 4 + +  + +  p −a p−b p −c   a b c 1  1 1 + + ≥ 2 + +  (ĐPCM) => p −a p−b p −c a b c 1  1 1 + + ≥ 2 + +  Vậy p −a p −b p −c a b c => 2 Câu 3: Gọi thời gian để ô tô cách xe máy xe đạp là: t (h) Quãng đường xe đạp khoảng (t+2) (h)là:10(t+2)km Quãng đường ô tô khoảng t (h) là: 50t km Quãng đường xe máy khoảng 30(t+1) km Vì thời gian t (h) vị trí ô tô cách xe đạp xe máy nên ; ta có pt 50t-10(t+2)=30(t+1)-50t 60t =50 => t = (h) Vậy đến 10h 30 phút Câu 4: a) ta có; Cˆ (tính chất góc tam giác) (3) ∠ABC = 180o − Aˆ − Cˆ Mà (1) Aˆ Cˆ => Aˆ = 90O − − 2 Aˆ Bˆ ∆AIBcó : ∠AIB = 180O − − (2) 2 ∠AMI = 90 + Thay (1) vào (2) ta được: Cˆ (4) Từ (3) (4) : ∠AMI = ∠AIB Xét ∆AIM ∆ABI có: ∠AMI = ∠AIB   => ∆AIM ~ ∆ABI (TH2) ∠BAI = ∠IAC  b) ∆MIC ∆ABI có: ¼ = NIC ¼ = 90O  MIC  ¼ = NCI ¼ MCI  =>VMIC =VNIC ( g c.g )  ICchung  ∠AIB = 90O + ¼ ¼ => IMC = INC (2 góc tương ứng ) O ¼ ¼ ¼ => AMI = INB (= 180 − IMC ) Mà ∠AMI = ∠AIB ¼ ¼ => AIB = INB Xét ∆ABI ∆IBN có: ¼ ¼  ABI = IBN   =>VABI VIBN ¼ =¼ INB AIB  BI AB = => BI = AB.BN (*) BN BI AI AM = ⇒ AI = AB AM (**) Từ ∆AIM ~ ∆ABI => AB AI Từ (*) (**) ta được: AB AM AI AM AI = ⇔ = (ĐPCM) AB.BN BI BN BI 2 AM  AI  = Vậy  BN  BI  => SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HSG TÓAN –LÝ –HÓA -SINH LONG AN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: HÓA HỌC KHỐI 12 CẤP THPT THỜI GIAN THI: 90 phút (không kể thời gian phát đề ) Ngày thi: 23/01/2011 QUI ĐỊNH: - Thí sinh trình bày tóm tắt cách giải , công thức áp dụng ( có thể chỉ ghi bước cuối cùng để tính ra kết quả ) - Các kết quả tính gần đúng lấy đến 5 chữ số thập phân (không làm tròn). Câu 1: Cho biết cân bằng sau : 4HCl (k) + O 2 (k) -> 2H 2 O(k) + 2Cl 2 (k) Tính hằng số cân bằng Kc của phản ứng ở nhiệt độ 25 0 C dựa vào các dữ kiện dưới đây Chất HCl(k) O 2 (k) H 2 O(k) Cl 2 (k) H 0 (KJ.mol -1 ) -92,3 - -241,8 - S 0 (J.K -1 .mol -1 ) 187 205,0 188,7 223,0 Câu 2: Một hỗn hợp dung dịch chứa HCN 0,005 M và NaCN 0,5M hãy tính PH của dung dịch biết K a =10 -9,35 ,K w =10 -14 Câu 3: Trong quá trình điều chế etylpropionat người ta cho a mol ancol etylic tác dụng với b mol axit propionic, khi đạt hiệu suất 75% thì nồng độ của ancol bằng 1/7 nồng độ của axit và phản ứng đạt trạng thái cân bằng tính hằng số cân bằng của phản ứng. Câu 4: Một pin điện hóa tạo ra từ hai điện cực một điện cực gồm một thanh kim loại bằng Cu nhúng vào dung dịch CuSO 4 0,06 M (dd A) nối với điện cực thứ hai là một sợi dây Pt nhúng vào 500ml dung dịch (dd B) chứa hai muối FeCl 2 ,FeCl 3 có tổng khối lượng muối tan là 4,165 gam. Mặt khác khi cho 500 ml dung dịch B trên tác dụng với dung dịch AgNO 3dư thu được 10,045g kết tủa AgCl. Tính suất điện động của pin khi pin hoạt động .biết E o cu2+/cu =0,34 V ;E o Fe3+/Fe2+ =0,77V Câu 5: Cho phèn nhôm có công thức KAl(SO 4 ) 2 .12H 2 O vào nước được dung dịch bão hòa có nồng độ 5,66% ở 20 o C .Lấy 800 g dung dịch bão hòa trên làm bay hơi bớt 300 g H 2 O ,phần còn lại làm lạnh tới 20 o C .Hỏi có bao nhiêu g KAl(SO 4 ) 2 .12H 2 O bị tách ra khỏi dung dịch . Câu 6: Cho 0,18775 g hỗn hợp gồm hai kim loại Al,Fe tác dụng vừa đủ với 500 ml dung dịch CuSO 4 0,00925M sau phản ứng thu được một kim loại duy nhất và kim loại này không phản ứng với dung dịch HCl .Tính phần trăm theo khối lượng mỗi kim loại trong hỗn hợp đầu. Câu 7: Nung m gam hỗn hợp A gồm KMnO 4 và KClO 3 thu được rắn A 1 và khí O 2 (phản ứng không hoàn toàn). Trong A 1 có 0,8829 gam KCl chiếm 8,1% khối lượng. Trộn lượng O 2 thu được ở trên với không khí theo tỉ lệ thể tích V O2 : V kk = 1:3 trong một bình kín thu được hỗn hợp khí A 2 . Cho vào bình đựng khí này 0,4608 gam cacbon rồi đốt cháy hết cacbon thu được hỗn hợp khí A 3 gồm 3 khí trong đó CO 2 chiếm 20%. Tính m ? ( Cho biết rằng không khí chứa 80% là N 2 và 20% là O 2 , và trong hỗn hợp khí A 3 có chứa khí O 2 ) Câu 8: Có a gam hỗn hợp X gồm etanol và ba hiđrocacbon ở thể lỏng liên tiếp nhau trong dãy đồng đẳng. Nếu lấy ¼ hỗn hợp trên cho phản ứng với Na dư thu được 0,28 lit khí hiđro ở đktc . Nếu lấy ¾ hỗn hợp còn lại đốt cháy hoàn toàn , dẫn sản phẩm cháy đi qua bình đựng dung dịch Ba(OH) 2 dư thấy bình nặng thêm 157,35 gam đồng thời xuất hiện 472,8 gam kết tủa . Tính a? Câu 9: Lấy 7,29 gam hỗn hợp A gồm nhôm và nhôm cacbua hòa tan hoàn toàn trong dung dịch HCl 2M thì thu được một lượng khí có tỉ khối hơi so với oxi bằng 0,390625 . Định phần ∆ trăm khối lượng của hỗn hợp A ? Câu 10 : Hòa tan hoàn toàn 24,56 gam hỗn hợp hai kim loại Mg và Fe bằng dung dịch H 2 SO 4 đặc nóng dư thu được 3,92 lit khí SO 2 (đktc) , 1,28 gam lưu huỳnh , 4,032 lit khí H 2 S ( đktc) và dung dịch X . Tính tổng khối K THI CHN HC SINH GII S: 01 -------------------------- MễN : TON LP 9 ề CHNH THC ( Thi gian lm bi : 150 phỳt) Câu I:. Cho đờng thẳng y = (m-2)x + 2 (d) a) Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m. b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) bằng 1. c) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) có giá trị lớn nhất. CâuII: Giải các phơng trình: a) 696122 22 =++++ xxxx b) 11212 =++ xxxx Câu III: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A= y zx x yz z xy ++ với x, y, z là số dơng và x + y + z= 1 b) Giải hệ phơng trình: =+ = = 1223 2 2 3 2 5 1 zyx zyx c) B = xxx xxx xxx xxx 2 2 2 2 2 2 2 2 + + 1. Tìm điều kiện xác định của B 2. Rút gọn B 3. Tìm x để B<2 Câu IV: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, với AC < AB; AH là đờng cao kẻ từ đỉnh A. Các tiếp tuyến tại A và B với đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại M. Đoạn MO cắt cạnh AB ở E. Đoạn MC cắt đờng cao AH tại F. K o dài CA cho cắt đ ờng thẳng BM ở D. Đờng thẳng BF cắt đờng thẳng AM ở N. a) Chứng minh OM//CD và M là trung điểm của BD b) Chứng minh EF // BC c) Chứng minh HA là tia phân giác của góc MHN d) Cho OM =BC = 4cm. Tính chu vi tam giác ABC. Câu V: Cho (O;2cm) và đờng thẳng d đi qua O. Dựng điểm A thuộc miền ngoài đờng tròn sao cho các tiếp tuyến kẻ từ A với đờng tròn cắt đờng thẳng d tại B và C tạo thành tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Đề Số: 02 -------------------------- MÔN : TOÁN – LỚP 9 ĐÒ CHÍNH THỨC ( Thời gian làm bài : 150 phút) Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức : 15 11 3 2 2 3 2 3 1 3 x x x A x x x x − − + = + − + − − + 1. Rút gọn A 2. Tìm giá trị của x khi 1 2 A = 3. Tìm giá trị nguyên của x để A là số nguyên. 4. Tìm giá trị của x để A đạt giá trị lớn nhất Câu 2: (4 điểm) 1. Cho 1, 1.x y≥ ≥ Chứng minh : 1 1x y y x xy− + − ≤ . 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 ( 1; 1) y x A x y y x − − = + ≥ ≥ Câu 3: (4 điểm) Một đoàn khách du lịch đi tham quan bằng ô tô. Họ quyết định mỗi chiếc ô tô phải chở một số hành khách như nhau. Ban đầu họ định cho mỗi ô tô chở 22 hành khách, nhưng như vậy còn thừa ra một người. Về sau , khi bớt đi 1 ôtô thì có thể phân phối số hành khách như nhau lên mỗi ôtô còn lại. Hỏi ban đầu có bao nhiêu ôtô và có tất cả bao nhiêu khách du lịch, biết rằng mỗi ôtô chỉ chở được không quá 32 người. Câu 4: (5 điểm) Cho đường tròn (O,R) dây AB = R 2 . Trên tiếp tuyến tại A của (O) lấy M sao cho AM = R ( M thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa O) 1. Tứ giác AMBO là hình gì? 2. Đường OM cắt (O) tại I, tính IM theo R ( I thuộc cung nhỏ AB ) 3. Tính AI theo R 4. Đường AI cắt BM tại H . Chứng minh AH là phân giác của góc MAB 5. Khi A chuyển động trên (O) thì M di chuyển trên đường nào? Câu 5: (3điểm ) Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính R. Một điểm M chạy trên cung nhỏ AB. Hãy chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến A và B không lớn hơn đường kính của đường tròn đó. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Đề Số: 03 -------------------------- MÔN : TOÁN – LỚP 9 ĐÒ CHÍNH THỨC ( Thời gian làm bài : 150 phút) Câu 1: (4điểm) Cho biểu thức 15 11 3 2 2 3 2 3 1 3 x x x A x x x x − − + = + − + − − + Đ /k : 0; 1x x≥ ≠ (0,5đ) 1. Rút gọn: 15 11 (3 2)( 3) (2 3)( 1) ( 1)( 3) ( 1)( 3) ( 1)( 3) x x x x x A x x x x x x − − + + − = − − − + − + − + (1đ) 15 11 3 7 6 2 3 ( 1)( 3) x x x x x x x − − − + − − + = − + (1đ) 7 5 2 ( 1)(5 2) ( 1)( 3) ( 1)( 3) 5 2 3 x x x x x x x x x A x − − − − = = − + − + − = + (1,5đ) Câu 2: (4điểm) 1. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có: 1 1 1 1.( 1) 2 2 y y y y + − − = − ≤ = (0,5đ) 1 2 xy x y⇒ − ≤ (0,5đ) Tương tự : 1 2 xy y x − ≤ (0,5đ) Do đó : 1 1x y y x xy− + − ≤ (0,5đ) 2. Theo câu ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH 2001 Câu I: Cho hàm số sau: Với giá trị nào của a hàm số có đạo hàm tại x = 1? Với giá trị a vừa tìm được, tính ? Câu II Cho tam giác ABC. Biết rằng trên mặt phẳng (ABC) có điểm M sao cho MA = 1; MB = MC = 6. Gọi S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng Đẳng thức xảy ra khi nào? Câu III Trên mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy cho các điểm A'(-a;0); A(a;0) và elip (E) có phương trình: với a > b > 0. Trên elip (E) lấy điểm M bất kì. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác MAA' khi điểm M chuyển động trên elip (E). Câu IV Tìm tất cả các cặp số (x;y) thỏa mãn: Câu V Cho hai phương trình sau: (1) (2) (a là tham số, x là ẩn số) Tìm a để số nghiệm của phương trình (1) không vượt quá số nghiệm của phương trình (2). --------------------------------------------------------HẾT------------------------------------------------------- ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH 2002 Câu I Giải hệ phương trình: . Câu II Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: Câu III Gọi A, B, C là các góc của tam giác ABC. 1) Chứng minh rằng: 2) Xác định giá trị của A, B, C để biểu thức: đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy? Câu IV Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho họ đường thẳng: với m > 0. Tìm tất cả các điểm mà qua mỗi điểm đó có đúng 2 đường thẳng của họ đường thẳng đã cho đi qua và hai đường thẳng này vuông góc với nhau. Câu V Không sử dụng máy tính bỏ túi hoặc bảng số, hãy so sánh hai số sau: và --------------------------------------------------------HẾT-------------------------------------------------------- ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH 2004 Câu I (5,0 điểm). Giải bất phương trình . Câu II (6,0 điểm). 1) Cho phương trình Tìm tất cả các giá trị của tham số a, để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt. 2) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hệ sau luôn có nghiệm (x;y) Câu III (6,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho 2 đường thẳng sao cho các đường thẳng: đôi một chéo nhau và vuông góc nhau. 1) Xét đường thẳng d bất kì đi qua O. Gọi thứ tự là góc giữa d với các đường thẳng . Chứng minh: 2) Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng bất kỳ trong ba đường thẳng cùng bằng 2 đơn vị độ dài. Một hình hộp ABCD.A'B'C'D' thỏa mãn B' và D thuộc ; A' và C' thuộc ; A và D' thuộc . Tính thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D'. Câu IV (3,0 điểm). Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: . --------------------------------------------------------HẾT-------------------------------------------------------- ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH 2005 Câu I (6,0 điểm). Cho hàm số , (m là tham số). 1) Khi , hãy tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số. 2) Xác định m để hàm số nghịch biến trên R. Câu II (4,0 điểm). Tính tích phân Câu III (7,0 điểm). Trên mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho đường parabol (P) có phương trình: và đường tròn (C) có phương trình: 1) Chứng minh rằng (P) và (C) có đúng 4 giao điểm phân biệt. 2) Cho điểm A(1;6) thuộc đường tròn (C). Hãy lập phương trình đường tròn đi qua điểm M(2;-1) và tiếp xúc với đường tròn (C) tại điểm A. 3) Giả sử đường thẳng (d) KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. (4,5 điểm): a) Cho hàm số 3 2010 f (x) (x 12x 31) = + − Tính f (a) tại 3 3 a 16 8 5 16 8 5 = − + + b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 5(x xy y ) 7(x 2y) + + = + Câu 2. (4,5 điểm): a) Giải phương trình: 2 3 2 2 x x x x x = − + − b) Giải hệ phương trình: 2 1 1 1 2 x y z 2 1 4 xy z  + + =     − =   Câu 3. (3,0 điểm): Cho x; y; z là các số thực dương thoả mãn: xyz = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 A x y 1 y z 1 z x 1 = + + + + + + + + Câu 4. (5,5 điểm): Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB. Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O'). Hai đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm O' lần lượt tại M và N (M và N khác với điểm A). Đường thẳng DE cắt MN tại I. Chứng minh rằng: a) MI.BE BI.AE = b) Khi điểm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5. (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. Điểm M di động trên đoạn AD. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC. Vẽ NH PD ⊥ tại H. Xác định vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất. KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2013 – 2014 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Môn: TOÁN Câu Ý Nội dung Điểm 1, (4,5đ ) a) (2,0đ) 3 3 16 8 5 16 8 5a = − + + ⇒ 3 3 3 3 32 3 (16 8 5)(16 8 5).( 16 8 5 16 8 5 )a = + − + − + + 0,5 ⇒ 3 32 3.( 4).a a= + − 0,5 ⇒ 3 32 12a a= − 0,25 ⇒ 3 12 32 0a a+ − = 0,25 ⇒ 3 12 31 1a a+ − = 0,25 ⇒ 2010 ( ) 1 1f a = = 0,25 b) (2,5đ) 2 2 5( ) 7( 2 )x xy y x y+ + = + (1) ⇒ 7( 2 ) 5x y+ M ⇒ ( 2 ) 5x y+ M 0,25 Đặt 2 5x y t+ = (2) ( )t Z∈ 0,25 (1) trở thành 2 2 7x xy y t+ + = (3) Từ (2) ⇒ 5 2x t y= − thay vào (3) ta được 0,25 2 2 3 15 25 7 0y ty t t− + − = (*) 0,25 2 84 75t t∆ = − Để (*) có nghiệm 2 0 84 75 0t t⇔ ∆ ≥ ⇔ − ≥ 28 0 25 t⇔ ≤ ≤ 0,25 0,25 Vì 0t Z t∈ ⇒ = hoặc 1t = 0,25 Thay vào (*) Với 0t = 1 0y⇒ = 1 0x⇒ = 0,25 0,25 Với 1t = 2 2 3 3 3 1 2 1 y x y x = ⇒ = −  ⇒  = ⇒ =  0,25 0,25 2, ĐK 0x = hoặc 1x ≥ 0,25 Với 0x = thoã mãn phương trình 0,25 Với 1x ≥ Ta có 3 2 2 2 1 ( 1) ( 1) 2 x x x x x x− = − ≤ + − 0,5 2 2 2 1 1( ) ( 1) 2 x x x x x x− = − ≤ − + 0,5 3 2 2 2 x x x x x⇒ − + − ≤ 0,25 Dấu "=" Xẩy ra 2 2 1 1 x x x x  = −  ⇔  − =   0,25 2 2 1 1 1 1 x x x x x x  = −  ⇔ ⇒ + = −  = +   Vô lý 0,25 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 0x = 0,25 b) (2,0đ) 2 1 1 1 2 (1) ( ) 2 1 4 (2) x y z I xy z  + + =     − =   ĐK ; ; 0x y z ≠ 0,25 Từ (1) 2 2 2 1 1 1 2 2 2 4 x y z xy xz yz ⇒ + + + + + = 0,25 Thế vào (2) ta được: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 xy z x y z xy xz yz − = + + + + + 0,25 2 2 2 1 1 2 2 2 0 x y z xz yz ⇔ + + + + = 0,25 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 ( ) ( ) 0 x xz z y yz z ⇔ + + + + + = 0,25 2 2 1 1 1 1 0 x z y z     ⇔ + + + =  ÷  ÷     0,25 1 1 0 1 1 0 x z x y z y z  + =   ⇔ ⇔ = = −   + =   0,25 Thay vào hệ (I) ta được: 1 1 1 ( ; ; ) ( ; ; ) ( ) 2 2 2 x y z TM= − 0,25 3, Ta có 2 (x y) 0 x;y− ≥ ∀ ...PHÒNG GD – ĐT QUẢNG TRẠCH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS QUẢNG MINH LỚP THCS NĂM HỌC 2011-2012 -*&* -MÔN THI: TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI: Câu 1: a) Ta có: x y −... phút Câu 4: a) ta có; Cˆ (tính chất góc tam giác) (3) ∠ABC = 180 o − Aˆ − Cˆ Mà (1) Aˆ Cˆ => Aˆ = 90O − − 2 Aˆ Bˆ ∆AIBcó : ∠AIB = 180 O − − (2) 2 ∠AMI = 90 + Thay (1) vào (2) ta được: Cˆ (4) Từ... g c.g )  ICchung  ∠AIB = 90O + ¼ ¼ => IMC = INC (2 góc tương ứng ) O ¼ ¼ ¼ => AMI = INB (= 180 − IMC ) Mà ∠AMI = ∠AIB ¼ ¼ => AIB = INB Xét ∆ABI ∆IBN có: ¼ ¼  ABI = IBN   =>VABI VIBN ¼ =¼