Mét

GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)Phần 1. Không gian metric§1. Metric trên một tập hợp. Sự hội tụ.Không gian đầy đủPhiên bản đã chỉnh sửaPGS TS Nguyễn Bích Huy(Typing by thuantd)Ngày 10 tháng 11 năm 2004A. Tóm tắt lý thuyết1. Không gian metricĐịnh nghĩa 1. Cho tập X = ∅. Một ánh xạ d từ X × X vào R được gọi là một metric trênX nếu các điều kiện sau được thỏa mãn ∀x, y, z ∈ X:i. d(x, y) ≥ 0d(x, y) = 0 ⇔ x = yii. d(x, y) = d(y, x)iii. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (bất đẳng thức tam giác)Nếu d là metric trên X thì cặp (X, d) gọi là một không gian metric.Nếu d là metric trên X thì nó cũng thỏa mãn tính chất sau|d(x, y) − d(u, v)| ≤ d(x, u) + d(y, v) (bất đẳng thức tứ giác)Ví dụ 1. Ánh xạ d : Rm× Rm→ R, định bởid(x, y) =mi=1(xi− yi)21/2, x = (x1, . . . , xm), y = (y1, . . . , ym)1 là một metric trên Rm, gọi là metric thông thường của Rm.Khi m = 1, ta có d(x, y) = |x − y|Trên Rmta cũng có các metric khác nhưd1(x, y) =mi=1|xi− yi|d2(x, y) = max1≤i≤m|xi− yi|Ví dụ 2. Ký hiệu C[a,b]là tập hợp các hàm thực x = x(t) liên tục trên [a, b]. Ánh xạd(x, y) = supa≤t≤b|x(t) − y(t)|, x, y ∈ C[a,b]là metric trên C[a,b], gọi là metric hội tụ đều.2. Sự hội tụĐịnh nghĩa 2. Cho không gian metric (X, d). Ta nói dãy phần tử {xn} ⊂ X hội tụ (hội tụtheo metric d, nếu cần làm rõ) về phần tử x ∈ X nếu limn→∞d(xn, x) = 0.Khi đó ta viếtlimn→∞xn= x trong (X, d)xnd→ xxn→ xlim xn= xNhư vậy, limn→∞xn= x trong (X, d) có nghĩa∀ε > 0, ∃n0: ∀n ∈ N∗, n ≥ n0⇒ d(xn, x) < εTa chú ý rằng, các metric khác nhau trên cùng tập X sẽ sinh ra các sự hội tụ khác nhau.Tính chất1. Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.2. Nếu dãy {xn} hội tụ về x thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ về x.3. Nếu limn→∞xn= x, limn→∞yn= y thì limn→∞d(xn, yn) = d(x, y)Ví dụ 3. Trong Rmta xét metric thông thường. Xét phần tử a = (a1, . . . , am) và dãy {xn} vớixn= (xn1, . . . , xnm). Ta cód(xn, a) =mi=1(xni− ai)2≥ |xni− ai|, ∀i = 1, . . . , m2 Từ đây suy ra:limn→∞xn= a trong (Rm, d) ⇐⇒ limn→∞xni= aitrong R, ∀i = 1, . . . , nVí dụ 4. Trong C[a,b]ta xét "metric hội tụ đều". Ta cóxnd→ x ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃n0: ∀n ≥ n0⇒ supa≤t≤b|xn(t) − x(t)| < ε)⇐⇒ dãy hàm {xn(t)} hội tụ đều trên [a, b] về hàm x(t)=⇒ limn→∞xn(t) = x(t), ∀t ∈ [a, b]Như vậy, limn→∞xn(t) = x(t), ∀t ∈ [a, b] là điều kiện cần để lim xn= x trong C[a,b]với metrichội tụ đều.Chú ý này giúp ta dự đoán phần tử giới hạn.3. Không gian metric đầy đủĐịnh nghĩa 3. Cho không gian metric (X, d). Dãy {xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy (dãy cơbản) nếu limn,m→∞d(xn, xm) = 0hay∀ε > 0, ∃n0: ∀n, m ≥ n0⇒ d(xn, xm) < εTính chất1. Nếu {xn} hội tụ thì nó là dãy Cauchy.2. Nếu dãy {xn} là dãy Cauchy và có dãy con hội tụ về x thì {xn} cũng hội tụ về x.Định nghĩa 4. Không gian metric (X, d) gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy trong nó đều làdãy hội tụ.Ví dụ 5. Không gian Rmvới metric d thông thường là đầy đủ.Thật vậy, xét tùy ý dãy Cauchy {xn}, xn= (xn1, . . . , xnm). Vìd(xn, xk) ≥ |xni− xki| (i = 1, . . . , m)limn,k→∞d(xn, xk) = 0⇒ limn,k→∞|xni− xki| = 0,nên ta suy ra các dãy {xni}n(i = 1, . . . , m) là dãy Cauchy trong R, do đó chúng hội tụ vì Rđầy đủ. Đặt ai= limn→∞xni(i = 1, m) và xét phần tử a = (a1, . . . , am), ta có limn→∞xn= a trong(Rm, d).Ví dụ 6. Không gian C[a,b]với metric hội tụ đều d là đầy đủ.Giả sử {xn} là dãy Cauchy trong (C[a,b], d).3 Với mỗi t ∈ [a, b], ta có |xn(t) − xm(t)| ≤ d(xn, xm). Từ giả thiết limn,m→∞d(xn, xm) = 0 tacũng có limn,m→∞|xn(t) − xm(t)| = 0Vậy với mỗi t ∈ [a, b] thì {xn(t)} là dãy Cauchy trong R, do đó là dãy hội tụ. Lập hàm x xác định bởi x(t) = lim xn(t), t ∈ [a, b].Ta cần chứng minh x ∈ C[a,b]và lim TRƯỜNG TIỂU HỌC ĐÀO PHÚC LỘC TOÁN : TUẦN 29 Mét Giáo viên: Lưu Thị Huê LỚP : 2E Thứ ngày tháng năm 2016 Toán Kiểm tra cũ: LUYỆN TẬP Xếp số 875, 1000, 299, 420 theo thứ tự từ bé đến lớn 299 , 420 , 875 , 1000 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Độ dài từ vạch đến vạch 100 mét 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 100 Độ dài đoạn thẳng mét Mét đơn vị đo độ dài Mét viết tắt m 1dm Đoạn thẳng vừa vẽ dài 10 dm đềximét? 10dm = 1m ; 1m = 10dm m = 100cm Độ dài 1m tính từ vạch đến vạchnào 100 thước mét ? Bài 1dm =… cm 10 10 … cm = 1dm 1m =……cm 100 10 ….dm = 1m Bài 2: Tính 17m + 6m = 23m 15m - 6m = 9m 8m + 30m = 38m 38m - 24m = 14m 47m + 18m = 65m 74m - 59m = 15m Bài 3: Cây dừa cao 8m, thông cao dừa 5m Hỏi thông cao mét? Giải Cây thông cao số mét là: + = 13 (m) Đáp số: 13m Bài 4: Viết cm m vào chỗ trống cho thích hợp: m a) Cột cờ sân trường cao 10… cm b) Bút chì dài 19… m c) Cây cau cao 6…… cm d) Chú Tư cao 165… 2 m = …….dm a) 10 dm b) 20 dm c) 200 dm Về nhà làm tập toán Xem trước bài Km trang 151 GIẢI TÍCH (CƠ BẢN)Tài liệu ôn thi cao học năm 2005Phiên bản đã chỉnh sửaPGS TS. Lê Hoàn HóaNgày 15 tháng 12 năm 2004KHÔNG GIAN MÊTRIC1 Bất đẳng thức Holder – Bất đẳng MinkovskiCho p > 1, q > 1 thỏa mãn1q+1q= 1, sau đây là bất đẳng thức Holder và bất đẳng thứcMinkovski cho ba trường hợp.1.1 Tổng hữu hạnCho xi, yi, i = 1, 2, . . . , n là số thực hoặc phức.ni=1|xiyi| ni=1|xi|p1/pni=1|yi|q1/q(Bất đẳng thức Holder)ni=1|xi+ yi|p1/pni=1|xi|p1/p+ni=1|yi|p1/p(Bất đẳng thức Minkovski)1.2 Chuổi sốCho xi, yi, i ∈ N là các số thực hay phức∞i=1|xiyi| ∞i=1|xi|p1/p∞i=1|yi|q1/q∞i=1|xi+ yi|p1/p∞i=1|xi|p1/p+∞i=1|yi|p1/p1 1.3 Tích phânCho x, y : [a, b] → R khả tíchba|x(t)y(t)|dt ba|x(t)|pdt1/pba|y(t)|qdt1/qba|x(t) + y(t)|pdt1/pba|x(t)|pdt1/p+ba|y(t)|pdt1/p2 Định nghĩaCho X = ∅, mêtric d trên X là ánh xạ d: X × X → R thỏa mãn:• d(x, y) = d(y, x)• d(x, y)  0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y• d(x, z)  d(x, y) + d(y, z),∀x, y, z ∈ X (Bất đẳng thức tam giác)d(x, y) là khoảng cách giữa hai phần tử x, y. Cặp (X, d) là không gian mêtric.Ví dụ: i) Trên Rnhoặc Cn, x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn), đặtd1(x, y) =ni=1|xi− yi|d2(x, y) =ni=1|xi− yi|21/2(khoảng cách Euclide)dp(x, y) =ni=1|xi− yi|p1/p, p > 1Khi đó d1, d2, dplà các mêtric.ii) Với p  1, đặt X = {x = (xn)n:∞i=1|xn|p< +∞}. Với x = (xn)n, y = (yn)nđặtd(x, y) =∞n=1|xn− yn|p1/pKhi đó (X, d) là không gian mêtric.iii) Cho X là tập hợp các dãy số thực bị chặn. Với x = (xn)n, y = (yn)nthuộc X ta đặtd(x, y) = sup{|xn− yn| : n ∈ N}Khi đó (X, d) là không gian mêtric.Thật vậy, dễ dàng thấy rằng: d(x, y) = d(y, x), d(x, y)  0 và d(x, y) = 0 ⇔ xn= yn,∀n ∈N ⇔ x = y. Kiểm tra bất đẳng thức tam giác: Với mọi n ta có|xn− zn| = |xn− yn+ yn− zn|  |xn− yn| + |yn− zn|  d(x, y) + d(y, z)Suy rad(x, z) = sup{|xn− zn| : n ∈ N}  d(x, y) + d(y, z)2 Vậy d là mêtric trên X.iv) Đặt X là tập hợp các hàm số thực liên tục trên [a, b]. Với x, y ∈ X, đặt:d0(x, y) = max{|x(t)− y(t)| : t ∈ [a, b]}d1(x, y) =ba|x(t) − y(t)|dtd2(x, y) =ba|x(t) − y(t)|2dt1/2dp(x, y) =ba|x(t) − y(t)|pdt1/p, p > 1Khi đó d0, d1, d2, dplà các mêtric trên X.Thật vậy, dễ kiểm tra d2, dpthỏa mãn bất đẳng thức tam giác(dùng bất đẳmg thứcMinkovski).Ta kiểm tra d0thỏa mãn bất dẳng thức tam giác. Với mọi t ∈ [a, b], ta có:|x(t) − z(t)| = |x(t)− y(t) + y(t) − z(t)|  |x(t) − y(t)| + |y(t) − z(t)| d0(x, y) + d0(y, z)Suy ra:d0(x, z) = max{|x(t)− z(t)| : t ∈ [a, b]}  d0(x, y) + d0(y, z)Cụ thể, cho [a, b] = [0, 2], x(t) = t, y(t) = t2, ta tínhd0(x, y) = max{|t − t2|, t ∈ [0, 2]}Đặtϕ(t) = |t − t2| =t − t2t ∈ [0, 1]t2− t t ∈ [1, 2]ϕ(t) =1 − 2t t ∈ [0, 1]2t − 1 t ∈ [1, 2]Do đó max ϕ[0, 1] =14, max ϕ[1, 2] = 3 Vậy d0(x, y) = 3Ta cũng tính đượcd1(x, y) =20|t − t2|dt =10(t − t2)dt +21(t2− t)dt = 1d2(x, y) =20t − t22dt1/2=4√15v) Cho (X, d) là không gian mêtric. Với x, y ∈ X, đặtd1(x, y) =d(x, y)1 + d(x, y), d2(x, y) = arctg d(x, y), d3(x, y) = ln(1 + d(x, y))Khi đó d1, d2, d3là các mêtric trên X.Ta kiểm tra d1, d2, d3thỏa mãn bất đẳng thức tam giác. Xét các hàm sốϕ1(t) =t1 + t, ϕ2(t) = arctg t, ϕ3(t) = ln(1 + t), t  03 Ta cóϕ1(t) =1(1 + t)2> 0, ϕ2(t) =11 + t2> 0, ϕ3(t) =11 + t> 0, t  0Suy ra ϕ1, ϕ2, ϕ3là hàm tăng. Dẫn đến, với mọi x, y, z ∈ X ta cód1(x, z) =d(x, z)1 + d(x, z)d(x, y) + d(y, z)1 + d(x, y) + d(y, z)d(x, y)1 + d(x, y)+d(y, z)1 + d(y, z) d1(x, y) + d1(y, z)d2(x, z) = arctg d(x, z)  arctg [d(x, y) + d(y, z)] arctg d(x, y) + arctg d(y, z)  d2(x, y) + d2(y, z)(Do tg(a + b) =tg a + tg b1 − tg a tg b tg a + tg b với 0  a + b <π2).d3(x, z) = ln [1 + d(x, z)]  ln [1 + d(x, y) + d(y, z)] ln [(1 + d(x, y))(1 + d(y, z))]  ln(1 + d(x, y)) + ln(1 + d(y, z)) d3(x, y) + d3(y, z)3 Tập mở–Tập đóng3.1 Định nghĩa:Cho (X, d) là không gian mêtric, x0∈ X và r  0. Đặt B(x0, r) = {x ∈ X : d(x0, x) < r} làquả cầu mở tâm x0bán kính r. Tập D ⊂ X được gọi là tập mở nếu với GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH ToánPhần 1. Không gian metric§3. Ánh xạ liên tục(Phiên bản đã chỉnh sửa)PGS TS Nguyễn Bích HuyNgày 20 tháng 12 năm 2004Tóm tắt lý thuyết1 Định nghĩaCho các không gian metric (X, d), (Y, ρ) và ánh xạ f : X → Y• Ta nói ánh xạ f liên tục tại điểm x0∈ X nếu∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ X, d(x, x0) < δ =⇒ ρ(f(x), f(x0)) < ε• Ta nói f liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi x ∈ X2 Các tính chấtCho các không gian metric (X, d), (Y, ρ) và ánh xạ f : X → Y .Định lí 1. Các mệnh đề sau tương đương1. f liên tục tại x0∈ X2. ∀{xn} ⊂ X (lim xn= x0) =⇒ lim f(xn) = f(x0)1 Hệ quả. Nếu ánh xạ f : X → Y liên tục tại x0và ánh xạ g : Y → Z liên tục tại y0= f(x0)thì ánh xạ hợp g ◦ f : X → Z liên tục tại x0.Định lí 2. Các mệnh đề sau tương đương1. f liên tục trên X2. Với mọi tập mở G ⊂ Y thì tập nghịch ảnh f−1(G) là tập mở trong X.3. Với mọi tập đóng F ⊂ Y thì tập f−1(F ) là tập mở trong X.3 Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, ánh xạ đồng phôiCho các không gian metric X, Y và ánh xạ f : X → Y .• Ánh xạ f gọi là ánh xạ mở (đóng) nếu với mọi tập mở (đóng) A ⊂ X thì ảnh f(A) làtập mở (đóng).• Ánh xạ f gọi là ánh xạ đồng phôi nếu f là song ánh liên tục và ánh xạ ngược f−1: Y → Xliên tục.4 Một số các hệ thức về ảnh và ảnh ngượcCho các tập X, Y khác trống và ánh xạ f : X → Y . Với các tập A, Ai⊂ X và B, Bi⊂ Y , tacó1. f(i∈IAi) =i∈If(Ai), f(i∈IAi) ⊂i∈If(Ai)2. f−1(i∈IBi) =i∈If−1(Bi), f−1(i∈IBi) =i∈If−1(Bi)f−1(B1\ B2) = f−1(B1) \ f−1(B2)3. f(f−1(B)) ⊂ B ("=" nếu f là toàn ánh)f−1(f(A)) ⊃ A ("=" nếu f là đơn ánh)Bài tậpBài 1. Trong không gian C[a,b], ta xét metric d(x, y) = supa≤t≤b|x(t) − y(t)| và trong R ta xétmetric thông thường. Chứng minh các ánh xạ sau đây liên tục từ C[a,b]vào R.2 1. f1(x) = infa≤t≤bx(t)2. f2(x) =bax2(t)dtGiải. 1. Ta sẽ chứng minh |f1(x) − f1(y)| ≤ d(x, y) (*)Thật vậyf1(x) ≤ x(t) = y(t) + (x(t) − y(t)) ≤ y(t) + d(x, y) ∀t ∈ [a, b]=⇒ f1(x) − d(x, y) ≤ y(t), ∀t ∈ [a, b]=⇒ f1(x) − d(x, y) ≤ f1(y) hay f1(x) − f1(y) ≤ d(x, y)Tương tự, ta có f1(y) − f1(x) ≤ d(x, y) nên (*) đúng. Từ đây, ta thấy∀{xn}, limn→∞xn= x =⇒ limn→∞f1(xn) = f1(x)2. Xét tùy ý x ∈ C[a,b], {xn} ⊂ C[a,b]mà lim xn= x, ta cần chứng minh lim f2(xn) = f2(x)Ta có|x2n(t) − x2(t)| = |xn(t) − x(t)|.|xn(t) − x(t) + 2x(t)|≤ d(xn, x).[d(xn, x) + M] (M = supa≤t≤b2|x(t)|)=⇒ |f2(xn) − f2(x)| ≤ba|x2n(t) − x2(t)|dt≤ d(xn, x)[d(xn, x) + M](b − a)Do lim d(xn, x) = 0 nên từ đây ta có lim f2(xn) = f2(x) (đpcm)Ghi chú. Ta có thể dùng các kết quả về ánh xạ liên tục để giải bài tập 3 (§2). Ví dụ, để chứngminh tậpM = {x ∈ C[a,b]: x(t) > x0(t), ∀t ∈ [a, b]} (x0∈ C[a,b]cho trước )là tập mở, ta có thể làm như sau. Xét ánh xạf : C[a,b]→ R, f(x) = infa≤t≤b(x(t) − x0(t))Ta có:• f liên tục (lý luận như khi chứng minh f1liên tục)3 • M = {x ∈ C[a,b]: f(x) > 0} = f−1((0, +∞)), (0, ∞) là tập mở trong RBài 2. Cho các không gian metric X, Y và ánh xạ f : X → Y . Các mệnh đề sau là tươngđương1. f liên tục trên X2. f−1(B) ⊃ f−1(B) ∀B ⊂ Y3. f(A) ⊂ f(A) ∀A ⊂ XGiải. 1) ⇒ 2) Ta cóf−1(B) là tập đóng (do f liên tục và B ⊂ Y là tập đóng)f−1(B) ⊃ f−1(B)=⇒ f−1(B) ⊃ f−1(B) (do tính chất "nhỏ nhất" của bao đóng)2) ⇒ 3) Đặt B = f(A) trong 2), ta có f−1(f(A) ) GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH ToánPhần 1. Không gian metric§4. Tập compact, không gian compact(Phiên bản đã chỉnh sửa)PGS TS Nguyễn Bích HuyNgày 20 tháng 12 năm 2004Tóm tắt lý thuyết1 Định nghĩaCho các không gian metric (X, d)1. Một họ {Gi: i ∈ I} các tập con của X được gọi là một phủ của tập A ⊂ X nếu A ⊂i∈IGiNếu I là tập hữu hạn thì ta nói phủ là hữu hạn.Nếu mọi Gilà tập mở thì ta nói phủ là phủ mở.2. Tập A ⊂ X được gọi là tập compact nếu từ mỗi phủ mở của A ta luôn có thể lấy ra đượcmột phủ hữu hạn.3. Tập A được gọi là compact tương đối nếu A là tập compact.1 2 Các tính chất2.1 Liên hệ với tập đóngNếu A là tập compact trong không gian metric thì A là tập đóng.Nếu A là tập compact, B ⊂ A và B đóng thì B là tập compact.2.2 Hệ có tâm các tập đóngHọ {Fi: i ∈ I} các tập con của X được gọi là họ có tâm nếu với mọi tập con hữu hạn J ⊂ Ithìi∈JFi= ∅.Định lí 1. Các mệnh đề sau là tương đương:1. X là không gian compact.2. Mọi họ có tâm các tập con đóng của X đều có giao khác ∅.Định lí 2. Giả sử f : X → Y là ánh xạ liên tục và A ⊂ X là tập compact. Khi đó, f(A) làtập compact.Hệ quả. Nếu f : X → R là một hàm liên tục và A ⊂ X là tập compact thì f bị chặn trên Avà đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên A, nghĩa là:∃x1, x2∈ A : f(x1) = inf f(A), f(x2) = sup f(A)Định lí 3 (Weierstrass). Trong không gian metric X, các mệnh đề sau là tương đương:1. Tập A ⊂ X là compact.2. Từ mỗi dãy {xn} ⊂ A có thể lấy ra một dãy con hội tụ về phần tử thuộc A.2.3 Tiêu chuẩn compact trong RnTrong không gian Rn(với metric thông thường), một tập A là compact khi và chỉ khi nó đóngvà bị chặn.2.4 Tiêu chuẩn compact trong C[a,b]Định nghĩa. Cho tập A ⊂ C[a,b].2 1. Tập A được gọi là bị chặn từng điểm trên [a, b] nếu với mọi t ∈ [a, b] tồn tại số Mt> 0sao cho |x(t)| ≤ Mt, ∀x ∈ A.Tập A được gọi là bị chặn đều trên [a, b] nếu tồn tại số M > 0 sao cho|x(t)| ≤ M, ∀t ∈ [a, b], ∀x ∈ A.2. Tập A gọi là đồng liên tục tục trên [a, b] nếu với mọi ε > 0, tồn tại số δ > 0 sao cho vớimọi t, s ∈ [a, b] mà |t − s| < δ và với mọi x ∈ A thì ta có |x(t) − x(s)| < ε.Ví dụ. Giả sử A ⊂ C[a,b]là tập các hàm x = x(t) có đạo hàm trên (a, b) và |x(t)| ≤ 2, ∀t ∈ (a, b).• Tập A là liên tục đồng bậc. Thật vậy, do định lý Lagrange ta có|x(t) − x(s)| = |x(c)(t − s)| ≤ 2.|t − s|Do đó, cho trước ε > 0, ta chọn δ =ε2thì có:∀x ∈ A, ∀t, s ∈ [a, b], |t − s| < δ ⇒ |x(t) − x(s)| < ε• Nếu thêm giả thiết A bị chặn tại điểm t0∈ [a, b] thì A bị chặn đều trên [a, b]. Thật vậy|x(t)| ≤ |x(t) − x(t0)| + |x(t0)| = |x(c).(t − t0)| + |x(t0)|≤ 2(b − a) + Mt0∀t ∈ [a, b], ∀x ∈ AĐịnh lí 4 (Ascoli - Arzela). Tập A ⊂ C[a,b](với metric hội tụ đều) là compact tương đối khivà chỉ khi A bị chặn từng điểm và đồng liên tục trên [a, b].Bài tậpBài 1. 1. Cho X là không gian metric compact, {Fn} là họ các tập đóng, khác rỗng, thỏamãn Fn⊃ Fn+1(n = 1, 2, . . . ). Chứng minh∞n=1Fn= ∅2. Giả sử {Fn} là họ có tâm các tập đóng, bị chặn trên R. Chứng minh∞n=1Fn= ∅Giải. 1. Ta chứng minh {Fn} là họ có tâm. Nếu J ∈ N là tập hữu hạn, ta đặt n0= max Jthì sẽ cón∈JFn= Fn0= ∅Ghi chú. Dạng khác của câu 1) là: Cho F1là tập compact, Fn(n ≥ 2) là các tập đóngkhác ∅ và F1⊃ F2⊃ · · · . Khi đó∞n=1Fn= ∅3 2. Ta xây dựng dãy tập hợp {Kn} như sau:K1= F1, Kn=nk=1Fk(n ≥ 2)Thế thì ta có• Kncompact, Kn= ∅ (do họ {Fn} có tâm)• F1⊃ F2⊃ · · · ,∞n=1Kn=∞n=1FnDo đó, theo ghi chú trên ta có∞n=1Kn= ∅Bài 2. Cho X là không GIẢI TÍCH (CƠ BẢN)Tài liệu ôn thi cao học năm 2005Phiên bản đã chỉnh sửaPGS TS. Lê Hoàn HóaNgày 21 tháng 12 năm 2004KHÔNG GIAN MÊTRIC (tt)5 Không gian mêtric đầy đủ5.1 Định nghĩaCho (X, d) là không gian mêtric và (xn)nlà dãy trong X.Dãy (xn)nlà dãy cơ bản ⇔ ∀ε > 0, ∃n0∈ N : ∀n  n0, ∀p ∈ N thì d(xn+p, xn) < ε.Không gian mêtric (X, d) được gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản đềuhội tụ.Cho X là tập hợp các hàm số thực liên tục trên [0, 1] với mêtric d(x, y) = max{|x(t)−y(t)| :t ∈ [0, 1]}. Cho (xn)nđịnh bởi xn(t) = tn, ta có:limn→∞xn(t) =0 nếu 0  t < 11 nếu t = 1Tuy nhiên (xn)nkhông phải là dãy cơ bản trong X vì d(xn, x2n) = max{tn−t2n: t ∈ [0, 1]} =14với mọi n ∈ N.Thí dụ:1) Rnvới mêtric d(x, y) = [ni=1(xi− yi)2]1/2là không gian mêtric đầy đủ.2) X là tập hợp các hàm số thực liên tục trên [a, b] với mêtric d(x, y) = max{|x(t) − y(t)| :t ∈ [a, b]} là không gian mêtric đầy đủ.3) lp= {x = (xn)n:∞1|xn|p< ∞}, p  1, với mêtric định bởi: với x = (xn)n, y = (yn)ntrong lpta định nghĩad(x, y) =∞1|xn− yn|p1/p(lp, d) là không gian mêtric đầy đủ.5.2 Định nghĩaCho (X, d) là không gian mêtric, D là tập hợp con khác rỗng của X. Với x, y ∈ D đặt dD(x, y) =d(x, y). Khi đó dDlà mêtric trên D và (D, dD) là không gian mêtric con của (X, d).8 Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và D ⊂ X. Khi đó:D là không gian mêtric đầy đủ ⇔ D là tập đóngThật vậy, giả sử (D, dD) là không gian mêtric đầy đủ, (xn)nlà dãy trong D, limn→∞xn= x.Ta chứng minh x ∈ D.Do (xn)nlà dãy trong (X, d) hội tụ về x nên (xn)nlà dãy cơ bản trong (X, d). Với ε > 0cho trước, có n0∈ N sao cho với mọi n  n0và p ∈ N thì d(xn+p, xn) < ε.Do xn∈ D, ∀n ∈ N nên dD(xn+p, xn) = d(xn+p, xn) < ε.Vậy, (xn)nlà dãy cơ bản trong (D, dD). Do (D, dD) là không gian mêtric đầy đủ nên (xn)nhội tụ trong (D, dD) và do giới hạn duy nhất nên limn→∞xn= x ∈ D. Vậy D là tập đóng.Ngược lại, giả sử D là tập đóng. Cho (xn)nlà dãy cơ bản trong (D, dD). Do dD(xn+p, xn) =d(xn+p, xn), ∀n, p ∈ N nên (xn)ncũng là dãy cơ bản trong không gian mêtric đầy đủ (X, d),vậy hội tụ. Đặt x = limn→∞xn. Do D là tập đóng nên x ∈ D. Suy ra limn→∞dD(x, xn) =limn→∞d(x, xn) = 0 hay limn→∞xn= x trong (D, dD). Vậy (D, dD) là không gian mêtric đầyđủ.Từ kết quả trên ta có thể thí dụ về không gian mêtric không đầy đủ. Do Rnvới mêtricd(x, y) = [ni=1(xi− yi)2]1/2là không gian mêtric đầy đủ, lấy D là một tập hợp con khác rỗng,D không là tập đóng trong Rn. Khi đó không gian mêtric con (D, dD) không là không gianmêtric đầy đủ.5.3 Ánh xạ coCho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, f : X → X thỏa mãn điều kiện: có hằng số 0  k < 1sao cho:d(f(x), f(y))  k d(x, y), ∀x, y ∈ X(f được gọi là ánh xạ co hệ số k) Khi đó có duy nhất x0∈ X sao cho f (x0) = x0vàlimn→∞fn(x) = x0với mọi x ∈ X.Chứng minh: Với x ∈ X đặt x1= f (x), xn+1= f (xn), n ∈ N. Với n, p ∈ N, ta có:d(xn, xn+p) = d(fn(x), fn+p(x))  k d(fn−1(x), fn+p−1(x))  . . . knd(x, fp(x))  knd(x, f(x)) + d(f(x), f2(x)) + · · · + d(fp−1(x), fp(x)) kn(1 + k + · · · + kp−1)d(x, f(x)) = kn1 − kp1 − kd(x, f(x))Vậy d(xn, xn+p) kn1−kd(x, f(x)). Do 0  k < 1, bất đẳng thức trên chứng tỏ (fn(x))nlà dãycơ bản vậy hội tụ. Đặt x0= limn→∞fn(x). Dod(f(x0), fn+1(x)) = d(f(x0), xn+1)  k d(x0, xn), ∀n ∈ ... Độ dài từ vạch đến vạch 100 mét 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 100 Độ dài đoạn thẳng mét Mét đơn vị đo độ dài Mét viết tắt m 1dm Đoạn thẳng vừa vẽ dài 10 dm đềximét? 10dm = 1m ; 1m = 10dm m... + 18m = 65m 74m - 59m = 15m Bài 3: Cây dừa cao 8m, thông cao dừa 5m Hỏi thông cao mét? Giải Cây thông cao số mét là: + = 13 (m) Đáp số: 13m Bài 4: Viết cm m vào chỗ trống cho thích hợp: m a)... dài 10 dm đềximét? 10dm = 1m ; 1m = 10dm m = 100cm Độ dài 1m tính từ vạch đến vạchnào 100 thước mét ? Bài 1dm =… cm 10 10 … cm = 1dm 1m =……cm 100 10 ….dm = 1m Bài 2: Tính 17m + 6m = 23m 15m -