Đề thi học sinh giỏi các tỉnh 2008 -2009 Phần II

Hướng dẫn giải bài tập đề thi học sinh giỏi các tỉnh năm 2008 - 2009 dành cho học sinh giỏi dành cho khối trung học phổ thông

TRẦN NAM DŨNG(chủ biên)LỜI GIẢI VÀ BÌNH LUẬN ĐỀ THI CÁCTỈNH, CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC NĂMHỌC 2009-2010E-BOOKvnmath.com ddddvnmath.com Lời nói đầuiiivnmath.com iv Trần Nam Dũng (chủ biên)vnmath.com Lời cảm ơnXin cảm ơn sự nhiệt tình tham gia đóng góp của các bạn:1. Phạm Tiến Đạt2. Phạm Hy Hiếu3. Nguyễn Xuân Huy4. Mai Tiến Khải5. Nguyễn Vương Linh6. Nguyễn Lâm Minh7. Nguyễn Văn Năm8. Đinh Ngọc Thạch9. Lê Nam Trường10. Võ Thành VănCùng rất nhiều bạn yêu toán khác.vvnmath.com vi Trần Nam Dũng (chủ biên)vnmath.com Mục lụcLời nói đầu iiiLời cảm ơn vI Đề toán và lời giải 11 Số học 31.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Phương trình, hệ phương trình 152.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Bất đẳng thức và cực trị 273.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Phương trình hàm và đa thức 454.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 Hình học 615.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 Tổ hợp 736.1 Đề bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76viivnmath.com viii Trần Nam Dũng (chủ biên)II Một số bài giảng toán 917 Giải phương trình hàm bằng cách lập phương trình 938 Dãy truy hồi loại un+1= f (un) 999 Các định lý tồn tại trong giải tích và định lý cơ bản của đại số 105vnmath.com Phần IĐề toán và lời giải1vnmath.com vnmath.com [...]... cả các giá trị cần tìm. Ta cũng có thể đánh giá k khác một chút, như sau. vnmath.com iv Trần Nam Dũng (chủ biên) vnmath.com viii Trần Nam Dũng (chủ biên) II Một số bài giảng tốn 91 7 Giải phương trình hàm bằng cách lập phương trình 93 8 Dãy truy hồi loại u n+1 = f (u n ) 99 9 Các định lý tồn tại trong giải tích và định lý cơ bản của đại số 105 vnmath.com Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các. .. nên ta có kết luận min M = ln2. vnmath.com Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009-2010 35 (1) Xét chóp S.ABC có các cạnh bên bằng nhau nên SH là đường cao của chóp với H là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Do AB = BC nên H thuộc đường trung trực BD của AC, suy ra AC⊥(SBD). Tương tự với chóp A.BSD có các cạnh bên bằng nhau mà AO⊥(SBD) nên O là tâm đường tròn ngoại... ơn Xin cảm ơn sự nhiệt tình tham gia đóng góp của các bạn: 1. Phạm Tiến Đạt 2. Phạm Hy Hiếu 3. Nguyễn Xuân Huy 4. Mai Tiến Khải 5. Nguyễn Vương Linh 6. Nguyễn Lâm Minh 7. Nguyễn Văn Năm 8. Đinh Ngọc Thạch 9. Lê Nam Trường 10. Võ Thành Văn Cùng rất nhiều bạn yêu toán khác. v vnmath.com vnmath.com Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009-2010 31 Một điều thú vị là sử dụng kết... Định) vnmath.com Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009-2010 13 Lời giải. Bài toán tương đương với việc tìm một cấp số cộng thực sự gồm bốn số chính phương. Ta chứng minh rằng khơng tồn tại một cấp số cộng như vậy. Giả sử ngược lại tồn tại bốn số chính phương A 2 , B 2 , C 2 , D 2 lập thành một cấp số cộng tăng, tức là B 2 − A 2 = C 2 − B 2 = D 2 −C 2 . Trong các cấp số như thế, chọn... nghiệm là (x, y) = (0, 0), (1, 2) và (2, 2). Bài 2.6. Giải phương trình −2x 3 + 10x 2 − 17x + 8 = 2x 2 3  5x− x 3 . (Bình Định) vnmath.com Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009-2010 17 2.11. Cho a, b, c là các số thực dương. Giải hệ phương trình              ax− aby + 1 xy = bc 2 abz− bc 2 x + 1 zx = a bc 2 − az + 1 yz = ab . 2.12. Giải hệ phương trình  9y 3 (3x 3 −... dãy số đã cho đều là các số nguyên dương. (2) Tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho biểu diễn thập phân của x n có bốn chữ số tận cùng là 2003. vnmath.com Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009-2010 37 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có a  a 2 h + 4h 2 − a 2 ≤  √ 2 + 1  a 2 +  √ 2− 1  (a 2 + 4h 2 ) 2 − a 2 =  √ 2− 1  (a 2 + 2h 2 ), suy ra a 2 + 2h 2 a √ a 2 +... mới. Đề thi vơ địch Liên Xơ trước đây có câu: Chứng minh rằng trong dãy số Fibonacci tồn tại ít nhất một số tận cùng bằng bốn chữ số 0. Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam năm 2004 cũng có ý tưởng tương tự: Cho dãy số (x n ) (n = 1, 2, 3, . ) được xác định bởi: x 1 = 603, x 2 = 102 và x n+2 = x n+1 + x n + 2  x n+1 x n − 2 với mọi n ≥ 1. Chứng minh rằng (1) Tất cả các số hạng của dãy số đã cho đều là các. .. thú vị được đặt ra từ bài toán này, đó là: Tìm tất cả các giá trị của k để bất đẳng thức sau a a 2 + k + b b 2 + k + c c 2 + k ≤ 3 1 + k vnmath.com Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009-2010 9 Cách 1. Từ đẳng thức x 2 0 + y 2 0 + x 0 + y 0 = kx 0 y 0 , chia hai vế cho x 0 , y 0 , ta được x 0 y 0 + y 0 x 0 + 1 y 0 + 1 x 0 = k. Mặt khác, cũng theo lý luận ở trên thì ky 0 −.. .Phần I Đề toán và lời giải 1 vnmath.com Lời nói đầu iii vnmath.com 6 Trần Nam Dũng (chủ biên) trong đó α > β là các nghiệm của phương trình x 2 − x− 1 = 0. Từ đây, từ các điều kiện ban đầu, ta tìm được c 1 = c 2 = 0, c 3 = 1 √ 5 , c 4 = − 1 √ 5 . Suy ra a n = n  1 √ 5 α n − 1 √ 5 β n  . Từ... u n+1 = f (u n ) 99 9 Các định lý tồn tại trong giải tích và định lý cơ bản của đại số 105 vnmath.com Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009-2010 21 Từ đó giải ra được phương trình. Bình luận. Bài này giống đề thi đại học hơn, khơng có ý tưởng gì. Bài 2.5. Giải hệ phương trình  x 2 − 2xy + x + y = 0 x 4 − 4x 2 y + 3x 2 + y 2 = 0 . (Đồng Nai) Lời giải. Hệ phương trình đã . DŨNG(chủ biên)LỜI GIẢI VÀ BÌNH LUẬN ĐỀ THI CÁCTỈNH, CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC NĂMHỌC 2009-2010E-BOOKvnmath.com ddddvnmath.com Lời nói đầuiiivnmath.com iv Trần Nam Dũng. tất cả các giá trị cần tìm.Ta cũng có thể đánh giá k khác một chút, như sau.vnmath.com Lời giải và bình luận đề thi các tỉnh, các trường Đại học năm học 2009-2010