Hình học
“Giữa những bộ óc thông minh ngang nhau và trong những điều kiện tương tự, ai có tinh thần hình học thì người đó sẽ thắng và thu được một cường lực hoàn toàn mới mẻ.” Blaise Pascal
5.1 Đề bài
5.1. Cho tam giácABCnội tiếp đường tròn(O)và ngoại tiếp đường tròn(I).GọiD
là một điểm trên đoạnBC,đường tròn(P)tiếp xúc vớiDC,DAtạiE,F và tiếp xúc trong với(O)tạiK.Chứng minh rằngE,F,Ithẳng hàng.
5.2. Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0 cạnh bằnga.VớiM là một điểm thuộccạnhAB,chọn điểmNthuộc cạnhD0C0sao choAM+D0N=a. cạnhAB,chọn điểmNthuộc cạnhD0C0sao choAM+D0N=a.
(1) Chứng minh rằngMNđi qua một điểm cố định khiMthay đổi.
(2) Tính thể tích chópB0.A0MCNtheoa.Xác định vị trí củaMđể khoảng cách từ
B0tới mặt phẳng(A0MCN)đạt giá trị lớn nhất. Tính khoảng cách lớn nhất đó theoa.
(3) Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc củaCxuốngMNkhiMchạy trênAB.
5.3. Cho đường tròn(O)và hai điểm biênB,Csao choB,Ckhông phải là đườngkính. ĐiểmAchuyển động trên cung lớnBC(khácB,C). GọiMlà trung điểm cạnh kính. ĐiểmAchuyển động trên cung lớnBC(khácB,C). GọiMlà trung điểm cạnh
ABvàNlà hình chiếu vuông góc củaMlênAC.Cho trước số thựcakhác1và gọiK
là điểm chia đoạnHNtheo tỉ sốa,vớiHlà trung điểm cạnhBC.Vẽ đường thẳngd
quaKvà vuông góc vớiHN.Chứng minh rằngdluôn tiếp xúc với một đường cong cố định.
61
5.4. Cho hai đường thẳnga,bcắt nhau tạiMvà không vuông góc với nhau. Dựngparabol tiếp xúcatạiAvà tiếp xúcbtạiB,vớiA,Blà hai điểm cho trước thuộca,b. parabol tiếp xúcatạiAvà tiếp xúcbtạiB,vớiA,Blà hai điểm cho trước thuộca,b.
5.5. Cho tam giácABC vuông cân tạiA.D,E,F lần lượt thuộc các cạnhBC,CA,
ABsao cho tam giácDEF vuông cân tạiD.Tìm tập hợp trung điểmIcủaEF.
5.6. Cho khối tứ diệnABCDcó thể tích làV.Diện tích các tam giácABC,ABDlầnlượt làS1,S2.Gọixlà số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng(ABC)và(ABD).Mlà một lượt làS1,S2.Gọixlà số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng(ABC)và(ABD).Mlà một điểm thuộc cạnhCDsao cho khoảng cách từMđến hai mặt phẳng(ABC)và(ABD) bằng nhau.
(a) Chứng minh rằngV= 2S1S2sinx
3AB vàCM
DM =S1