Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 464 tháng 2 năm 2016 được biên soạn nhằm phục vụ bạn đọc, góp phần phổ biến kiến thức toán học cho nhiều thế hệ học sinh tại Việt Nam. Mời các bạn cùng tham khảo bổ sung các kiến thức toán học hay và bổ ích.
Trang 2
1 es ca a
Mimg xuan Binh Than
(Bài thơ xướng)
4Dhúe lộc trời ban được tuổi hân
Ung dung chẳng quan lam phong trần
Bayen may dp t tinh Su pha
Cr TTR ey
Luyen Foun — tu duy tim luténg ding Tu nhân — hành động biết xa gân
Oui xuan vinh canh “Foun Fanh Gia”
Fao thé tung hoanh “Can dau van"
TP Vĩnh, ngày 31 thang 12 năm 2015 DAO TAM (Dai hive Vinh)
im it meer ante trải bụi trầm (Đức độ sáng trong tê lão tướng
đài năng xuất chúng cỡ dawÍt nhân
[01/10 AN AI cac dễ
Khéo bước, đường xa bỗng hố gần
Quyét chi thanh tai, ain n“giiệp (iz
2ðag cao chẳng nệ phép "đằng ôn”
TP Hà Chí Minh, ngày 13 tháng ! năm 2016
Trang 3https://www.facebook.com/etrungkienmath
TRUNG HOC CO S6
lệc hình thành kƑ năng giải tốn là rất khĩ, nhưng
với mơn hình học thì nhiêu học sinh khi gặp một bài
todn theing hing ning khơng biết bất điều từ đâu cĩ học sinh cịn né tránh Đặc biệt là khả năng nhận ra các bài tốn cùng dạng Trong bài viết này! chúng tơi muốn cùng
bạn đọc tìm hiểu thêm về một ứng dhụng của tỉnh chất
đường trịn nội tiếp tam giác
Đường trịn nội tiếp của tam giác tiếp xúc với các
cạnh và cĩ tâm là giao điểm của các đường phân giác trong Giả sử A 48C cĩ đường trịn tâm O
nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh 4B = e,
BC=a, CA = b tại các điểm K, M, N ta kí hiệu độ dài các đoạn thẳng như hình I Khi đĩ K, A⁄, N là
hình chiếu của Ø trên 4ð, CB, CA Hình 1 Theo tính chất tiếp tuyến ta cĩ AK=AN=>~‡—# BK = BM 24-5 () CM=CNĂ=“*?~€ 2 Ị uc = 9° °È#” ( ) với „ là bán kính
đường trịn nội tiếp của A ABC
Để hiểu thêm về ứng dụng của tính chất đơn giản trên ta xét một số thí dụ sau:
*Thí dụ 1 Cho tam giác ABC” cĩ BC= 14 (cm), 4C - 4B = 2 (cm) Gọi Ở là tâm đường trịn nội tiếp của tam giác M là hình https://sites.øooele.com/site/lerungkienmath chiếu vuơng gĩc của O trên BC Tỉnh độ dài cdc doan thang BM, CM Lời giải (h.2) Hình 2 Theo tính chất (1) ta cĩ CM = Ae 8 -_— =8 (cm), Suy ra BM = BC~— CM= 14 - 8 =6 (cm) F]
Nhận xét Bài tốn này tuy khơng khĩ nhưng nếu khơng chọn đúng hướng đi thì việc giải cĩ thé gặp khĩ khăn Ở đây ta nhận thấy trong A.4BC, BC cĩ
độ dài đã biết, hiệu 4C — 4# cĩ độ dài đã biết, nên ta
nghĩ ngay đến tính chất (1)
*Thí dụ 2 Cho tam giác ABC vuơng tại Ä cĩ đường trịn nội tiếp tiếp xúc với cạnh huyền BC tại M và BAI= m, CM = n (với m n là độ dài đã
biết) Tính điện tích của tam giác ABC
Hinh 3
Ta kí hiệu độ dài các cạnh như hinh 3 Do AABC vuơng tại 4 nên Sac= và đ`~(Ì+c°)=0 Gọi
O 1a tam đường trịn nội tiếp của A4BC Khi
đĩ theo (1) ta cĩ:
Trang 4https://www.facebook.com/etrungkienmath HE abnnrue lÍa-®-2] bc “i-to-i 2p sae Vay Supc =m.n T
Nhận xét Nếu giữ nguyên giả thiết ở thí dụ 2 và
cho biết điện tích A4BC bang m.n thi ta cing sé
chứng minh được A4BC vuơng tại A
*Thí dụ 3 Đường trơồn tâm Ở nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB tại D Tính sơ
đo của ACB biết rằng AC.BC =2AD.BD Loi giải (h.4)
Hình 4
Gọi Z và Ƒ lần lượt là các tiếp điểm của đường trịn
(O) với các cạnh ĐC, CA Ta cĩ AF = AD = x, BE = BD = y Theo (1) ta cĩ _b+e-a sae 2 _atce-b 8 Tw AC.BC=2AD.BD <— ab = 2xy, suy ra = (c+b-a) (ate-b) ab=2 Soi oi Coa ©2ab=[e+(b—a)||[c—(b~a)| 2ab=c)—(b~d)! © 2ab= €? =(a? +b”)+2ab œc?-(a?+b?)=0>e? =a? +bẺ
Vay AABC vuơng tại C, suy ra ACB =90° 0
*Thí dụ 4 Cho tam giác ABC vuơng lại 4 và
AC > AB Gọi O là trung điểm của BC và T là
tâm đường trịn nội tiếp tam giác Tỉnh tỷ số
= biết rang BIO =90° (Bai 15/367 TH&TT
x
số 367, tháng | nam 2008)
Lời giải Gọi E va Ƒ lần lượt là các tiếp điểm
của đường trịn (/) với các cạnh 4C, 48 Do
AABC vuơng tại 4 nên tứ giác 4E là hình
vuơng => 4E= AF= FI= IE = r Gọi H là hình
chiếu của / trên 8C, khi đĩ ta cĩ 7H = r 2 Oe Số 464 (2-2016) https://sites.øooele.com/site/lerungkienmath ' Hình 5 Đặt BC = a, 4B = b, AC = c Theo (1) ta cĩ xà t8 699g, „49-0 2 2 2
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuơng
1OB ta cĩ: IH® = OH HB =(OB - HB).HB =n-[(j-n)»e(*t£*} LS) ôâđ(b+e-a)? =(eb)(a+be) âb?+e? +a?+2be2ab2ae =aeab+2be(b? +c) 28 2ab2ac=acabd âa(3a~3cb)=0 ô (3a3eb)=0 (do a> 0) ©3a=3c+b>9a? =(3e+b)? ©9(0? +c?)=9e? +b? +6bc © 8b? = 6be b_3 AB 3 Pu Figg S PT og gee
*Thi du 5 Cho tam giác ABC cĩ hai trung tuyén BM và AN cắt nhau tại Œ Chứng mình
rằng các đường trịn nội tiếp tam giác AGM và
BGN cĩ bản kính bằng nhau thì tam giác ABC
can tai dinh C
Lời giải Giả sử đường trịn nội tiếp các tam
giác AGM và BGN tiếp xúc các cạnh của nĩ
như hình 6 dưới đây Gọi tâm các đường trịn là
O,, O; và OK= O;H=r Áp dụng tính chất tiếp
tuyến cĩ G=G:;G: =6, mà MGA = NGB,
hay GitG.=G+G, =>G.=G Th a6 suy ra
AKGO, = AHGO, (g.c.g) > GK =GH =x
Do G la trong tim cla AABC nên diện tích hai
tam giác 4GM và BGN bằng nhau, các độ dài đoạn
Trang 5https://www.facebook.com/etrungkienmath Cc Hinh 6 Sucm =Saey ®>r(a+b+x) =r(c+d+x) ©>a+b=c+d AM = BN CB =CÁA
hay A4BC cân tại C
* Thi du 6 Cho tam gidc ABC cĩ hai trung tuyển
CM và BN cất nhau tại G Ching minh rang ABC cân tai dinh Anéu AM + MG =AN+GN
Lời giải
Hình T
Đặt 4B = 2a, AC = 2b, khi đĩ AM = BM = a,
AN = CN = b Gọi Ø¡ và O; lần lượt là tâm
đường trịn nội tiếp các tam gidc AMG va ANG,
và các đường trịn này tiếp xúc với các cạnh của
nĩ như hình 7 Do Œ là trọng tâm của tam giác
ABC nên suy ra diện tích các tam giác 4A⁄#Œ và
ANG bằng nhau nên theo (*) ta cĩ nÂAM+-GM-+-AG)=r(AN+GN+AG) mà theo giả thiết AM + MG = AN + ŒN suy ra n„=n, Mặt khác ta cĩ: MK = ML = x= AGM AG = ANtGN-AG _ PN =NO=y https://sites google.com/site/letrungkienmath
Dodé ALO.M =AQO,N (c.g)
=> O.ML = 0.NQ = 20,ML =20,NO, bay a =AN IMC ‘ N i ==- AM _ AC AMC=ANB—AIMC©°5Adt 8 (88) ay g 20 8 Xã r8 4 ee = = hay = Io oe =>a=b=>2a=2b
= AB=AC nén AABC cân tại 4 f
Nhận xét Từ giả thiết bài ra: chụ vì và điện tích của
hai tam gidc AMG va ANG bang nhau nén ta nghĩ
ngay đến việc vẽ thêm đường trịn nội tiệp hai tam
giác này Do vậy cách giải bài tốn nay dé dang
nhận ra Bài tốn cĩ thể thay điều kiện AM + MG =
AM + ỚN bởi bán kính đường trịn nội tiêp các tam giac AMG va ANG băng nhau
Trên đây là một số thí dụ mà chúng tơi đã sử dụng cơng thức khá quen thuộc để áp dụng vào
giải một sơ bài tốn hình học Qua bài viết này
tơi muơn các bạn học sinh hãy “đừng ngại khi giải bài hình học ”, bài tốn khĩ “ihường ” xuất phát từ những bài tốn cơ bản, những bài tốn gơc, từ những tính chât quen thuộc, mong các bạn sẽ học chắc và tốt kiến thức hình học Mời các
bạn giải các bài tập sau:
| Cho tam giác 48C cĩ tâm đường trịn nội tiếp tiếp xúc với cạnh BC G M Ching minh răng tam giác
ABC vuơng nêu diện tích của nĩ băng BA.CM
2 Tính diện tích của tam giác vuơng biết một cạnh
gĩc vuơng băng I2em, tỷ số giữa bán kính đường trịn nội tiêp và ngoại tiép tam giác đĩ băng 2:5
3 Cho tam gidc ABC vuơng tai 4, 4B = 10cm Tinh độ dài các cạnh 4C, BC biệt răng sơ đo của chu vi
tam giác 48C băng sơ đo diện tích của nĩ
4 Cho tam giac ABC, duéng cao AH Goi (O, r), (O1, ri), (Qo, r2),theo thir ty là các đường trịn nội
tiêp các tam giác ABC, ABH, ACH a) Chimg minh rangr +r) +r, = AH
b) Chimg minh rang r? +72 =r’
c) Tính độ đài Ø¡Ĩ; biết 4 = 3cm, 4C = 4cm
Š Bán kính của đường trịn nội tiệp của một tam
giác băng 2cm, tiệp diém trên một cạnh chia cạnh đĩ
thành hai đoạn thăng cỏ độ dài là 4cm, và 6em Tính độ dài các cạnh cịn lại của tam giác đĩ
6 Gọi r và R theo thứ tự là các bán kính của các đường trịn nội tiếp và ngoại tiếp của một tam giác
vuơng cĩ diện tích là $ Chứng minh răng :
R+r2J28
7 Cho tam gide ABC cé dudng tron néi tiép tim O
tiếp xtc voi canh BC 6 D Goi M 1a trung điêm của ĐC, N là trung điêm của 4D Chứng minh rằng ba
điểm 4,O, N thẳng hang
s TOAN HOC
Trang 6https://www.facebook.com/etrungkienmath
fp hương trình nghiệm nguyên ax + by = £
(*) với a, b, c là các sơ nguyên cho trước
là một dạng PT khá đơn giản Với đ = (a, 6), khi đĩ (*) vơ nghiệm nếu c khơng chia hết cho đ và (*®) cĩ vơ số nghiệm nếu ¢ chia hết chia đ
Ở trường hợp thứ hai, khơng mất tổng quát giả
sử đ = 1 (nếu đ # 1 thì ta chia cả hai về cho đ) Khi đĩ nếu (xạ; yo) là một nghiệm của (*) thì ta
c6 axg + byp =c, suy ra
—by+c _—by+axytbyg mi
Nox
* a a : a
Dat 278 21 € Z,ta06 x=x)— bh, y= at + Yo
Vậy (*) cĩ vơ số nghiệm nguyên:
a voit Z
y=yytat
Sau đây ta xét PT nghiệm nguyên (*) với a,b,ce7„az0,b+0, (a, b, c) = 1, (a, B)= 1
1 Trường hợp nhằm được nghiệm
Lời giải sẽ ngắn gọn hơn khi áp dụng kết quả
trên (chỉ cần đặt ân phụ một lần do trong biểu thức -=2—% a hệ số của y bang 1) * Vi du 1 Tim nghiém nguyén cua phwong trinh 12x-—7y=45 (1) Phân tích Do x, y phải tìm là các số nguyên nên 7y : 3 mà (7, 3) = ly: 3 Loi gidi e Chọn y = -3 ta nhằm được x = 2 nên (1) cĩ một nghiệm nguyên (xo; vo) = (2; 3) Cách 1: Từ (1) ta rút ra được: 7y+45 _ 7y+12.2-7.(- 3) =247 y3 xe 12 12 12 pat = 5 =t,dox,y eZ>teZ Từ đĩ x=2 +7 và y= 12— 3 Vậy (1) cĩ SE Vú, voite Z vơ số nghiệm nguyên: p mm TOAN HOC 4 : Cluổityc — Số 484-2016) https://sites.øooele.com/site/lerungkienmath LỜI GIẢI NGẮN GỌN CHO PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN ax + by=c pr, ˆ TRÀN XUÂN UY (Nam Định) ø Chọn y= 9 ta nhằm được x = 9 nên (1) cĩ một
nghiệm nguyên (xạ; yo) = (9; 9)
Cách 2 (rút x theo y): Từ (1) ta rút ra được: 7y+45 _ 7y+12.9-1749 _ -9 12 12 2 x= gà = 1 y=) | Dat T2 Từ đĩ x= 9+7 và y= 12/ + 9 Vậy, (1) cĩ salir y=94+12t voite Z l Cách 3 (rút y theo x); Từ (1) ta rút ra được: 12x-45 _12x-12.9+7.9 x- =o Dae 7 =9+12 7 Đặt =, dox,y eZ=reZ Từ đĩ y= 9 + 12 và x= 7+ 9 Vậy (1) cĩ x=9+7t vơ số nghiệm nguyên: i — với f €2 =t,dox,yeZ—=!e vơ số nghiệm nguyên: { Nhận xét
- Nếu (*) cĩ (a4, c) #1 hoặc (b, c) # 1 thi ta sử dung tinh chất chia hết để nhằm nghiệm sẽ dễ dàng hơn
- Các cơng thức nghiệm trên là tương đương - Tinh x theo y hoặc tính y theo x đều cho lời giải ngắn gọn mà khơng cần so sánh lal voi |b| để lựa chọn *% Ví dụ 2 Tìm nghiệm nguyên của Phương trình 1Ix+ l§y= 120 (2) Phân tích Do x, y phải tìm là các số nguyên nên 11x : 6 mà (11,6)=1>x: 6 Chọn x = 6 ta nhằm được y = 3 nên (2) cĩ một nghiệm nguyên (xo; yo) = (6; 3)
Lời giải Từ (2) ta rút ra được x bằng: —18y+120 _ -18y+11.6+18.3 _ =G RE -3 11 11 oe y-3 Đặt il =t,dox,y eZ>teZ Tir do x= 6—-18f va y= 11f+ 3 Vay (2) cĩ
aon Tee với f e Z
Trang 7https://www.facebook.com/etrungkienmath
*Ví du 3
phương trình 1 Lx +
Phân tích Do (L1, 73) = 1, (8, 73) = 1, ta khơng sử dụng được tính chất giữa hết Ở đây ta cĩ thê nhằm được một nghiệm của phương trình bằng
một vài phép thử đơn giản, chẳng hạn: chọn
y=5 ta được x = 3 để cho 11.3 + 8.5 = 73
Lời giải Từ (3) ta rút ra được: -8y+73_ -8y+113+85 _ DI omg qe ey Tìm nghiệm n 8y 3@) 5 1 Đặt yar, dox,y €Z>1reZ Ti déx=3-8f va y=1lt+5 Dox =3-8t>O0va y=11f+5>0 suy ra 5 3 “The >
nguyên dương duy nhất là: (x; y) = (3; 5)
Nhận xét Khi việc nhầm nghiệm trực tiếp gap
khĩ khăn (giá trị lớn, ), ta cĩ thé rat 4n nay theo ẫn kia, tách lấy phan nguyên Chang han, 73—11x 1-3x 1-3x ————— ,do 8 —5, tương ứng cĩ y = l6 = 0 Vậy (3) cĩ nghiệm =9-x+ eZ rity = dễ dàng chọn được x = * Vi du 4, Viet 47 thành tơng hai một số chia hết cho 4, mét se
Phân tích Các số nguyên đương chia hết cho 4
và 11 lân lượt cĩ dạng 4x và lly (x, y nguyên
dương), thỏa mãn điều kiện: 4x + lly = 47 Chọn y = 5 ta nhằm được x = -2 Lời giải Gọi hai số nguyên đương cần tìm là 4x va Ily (x, y €Z"), ta 06: 4x + Ly =47 (4) Ciena 2+115 _ -2_ 1.22 5 4 4 pat 2 =1, dox,y €Z>teZ Từ đĩ x=-2— l1/ và y=4/+ 5 Do x =-2 — l11?> và y= 4í + 5 > Ư suy ra 5 2 zs) a ^x << = F= l>x=9;y=1 Vay 47 = 36+ 11 *Vi du 5 Tim nghiém ngu 2S của phương trình: 16x Phân tích Ta cĩ 16x chắn = 25y lẻ © y lẻ = 25y cĩ tận cùng là 5 = 16x cĩ tận cùng là 6 https://sites.øooele.com/site/lerungkienmath => x cĩ tận cùng là 1 hoặc 6 Thử chọn x = 1Í ta tìm được y = 7 Lời giải Từ (5) ta rút ra được x bằng: 25/+1_25y+1611-27 n1 16 16 16 yar Dat 16 =í, dox,y eZ>!eZ Từ đĩ x= II +25 và y= l6 +7 Dox= 11+25/> 0 và y= lĩt + 7 > 0 suy ra t>~: toe = /U: Các cơng thức tính x, y theo 7 cĩ dang ham số bậc nhất cĩ các hệ số gĩc đương nên x và y nhỏ nhất ©> / nhỏ nhất, ta được f = 0 Khi đĩ ta cĩ nghiệm nguyên đương nhỏ nhất của (5) là: Œ; y) = (11; 7) * Vi du 6 ighiem nguyen Cua privong f trinh Ay 100 (6) -4y+100 „ y~25 Lời giải Ta cĩ (6)>x= 7 =o eyes Dat 4 etiam SEO RE Ìy=24t7t Nhận xét - Cĩ thể hỗ trợ việc nhảm nghiệm bằng cách
linh hoạt áp dụng các tính chất như trong 5
- Trường hợp đặc biệt, nếu ƯCLN(4, e) = a,
hoặc ƯCLN(b, e) = ð thì lời giải của (*) cịn
ngăn gọn hơn (như 6)
2 Trường hợp khơng nhằm được nghiệm
Cũng giống như khi ta khơng quan tâm đến VIỆC nhằm nghiệm của PT, khi đĩ ta sẽ phải rút an nay theo Ấn kia, tách lay phan nguyén va dat a an phu;
Trang 8https://www.facebook comMetrungkienmath _ https://sites google com/site/letrungkien math
bhuing ẩm 41 ĐỀ THỊ HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Tiny H (Đẻ thì dãng tr Câu l
a) Điều kiện: x>; y> 3
Ap dung bat đăng thức Cauchy, ta cĩ: đc ha 2 84 x y xy xty Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y Thay vào PT thứ hai ta cĩ: x? =J4x—3 © x? -2x41= V4x-3-2x41 > (x-1P +5 (V3 -1) =0 ©x=l Dap sé: (x;y) = (1; 1) b) Đặt fx? +? + Jxy =F (x>0;y>0;x+y=2) Dé thy x? + y? =4—-2x Áp dụng bất đăng thức Cauchy ta cĩ: F2 =4-xy+2,J2xy(2—-xy) <4-xy+(2ay+2-2y)=6; () Lại cĩ t+y 2222, Suy ra F2 =x? +y*4+xy+2Jay(x? +y?) >x?+y?+2xy=4 (2) Từ (1) và (2) suy ra 2< < 6 (đpem) Cau 2 Tacé 1424+ 4+k= Het) 1 4 By Te REO 1.4 2.5 3.6 (n—1)(n+2) pss chon cĩc cĩ nín+]) với mọi ke? (k—1)@ +2) k(k+1) 1— in Ga ge A _ [1.2.3 2-D).[4.5.6 2+2)] _ n+2 — J244.mll345.@+Ð0] 3a” Khi đĩ -L=3——Ế— eZ.<>n+2=6>n=4 P n+2 (do n 2 2) Cau 3
a) Nhận xét: Một số chính phương khi chia
cho 3 và cha cho 4 chỉ cĩ thể dư 0 hoặc 1
TOAN HOC
6 : Cjuditre _ Số 464-2016)
A! x1 "NĂM HỌC 2014 - 2015
ên TH& TT s 463, thing I nim 2016)
« Giả sử xy khơng chia hết cho, 3 thì + và y đều khơng chia hết cho 3, khi đĩ x vay chia 3 du
1, suy ra Z” chia 3 dư 2, vơ lí
Vậy xy chia hết cho 3
« Giả sir xy khong chia hết cho 4 thì x và y đều khơng chia hết cho 4; x và y khơng đồng thời chia hết cho 2 Cĩ hai trường hợp xảy ra:
- Nếu x và y đều lẻ thì xˆ và y” chia 4 du 1,
suy ra z” chia 4 dư 2, vơ lí - Nếu x và y cĩ một số chẵn, một số lẻ thì z là số lẻ Giả sử: x = 2a; y= 2b + l;z= 2c + 1 Ta cĩ xŸ + y2 =z? = 4đ? + (2b + 1 = (2e + LÝ =Ø`=c(c+1)—b(b+1)—=a°12—>a:2 =x:4, vơ lí
Vậy xy chia hết cho 4
«Do (3; 4) = I nên xy chia hét cho 12 (dpem)
b) Nhận xét: Một số chính phương khi chia cho 7 chỉ cĩ thé du 0, 1, 2 hoặc 4
Giả sử x° lĩt =F = (a? — y*) khong chia hét cho 7
Khi d6 x vay ? déu khéng chia hét cho 7 va khơng cĩ cùng số dư khi chia cho 7
- Nếu xˆ chia cho 7 dư 1 cịn yŸ chia cho 7 dư 2 hoặc ngược lại thì z” chia cho 7 dư 3, vơ lí
- Nếu x? chia cho 7 dư 1 cịn yŸ chia cho 7 dư 4
hoặc ngược lại thì z? chia cho 7 dư 5, vơ lí
- Néu? chia cho 7 dư 2 cịn yŸ chia cho 7 dư 4
hoặc ngược lại thì Z chia cho 7 du 6, v6 li
Trang 9https://www.facebook.com/etrungkienmath https://sites Poti cọn/site/lei N6 NAI
BE THI HOC SINH GIO! LOP 9 TINH BONG NAM HOC 2013 - 2014 (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu ¡, Tìm các số thực x thỏa mãn: x†+2x?+x?+2x+lI=0 Câu 2, Giải hệ phương trình: +z3+2y=l y+2x=-l Câu 3, Cho my ø là hai số nguyên dương lẻ TH AC (m2 +2)in thỏa mãn: 3 Nii
1) Hay tìm một cặp gồm hai số nguyên dương lẻ (m; n) thỏa mãn các điều kiện đã cho với m>l,n>l;
2) Chứng minh (m? +n? +2) : 4mm
a) Theo tính chất tam giác cân và gĩc nội tiếp ta cĩ CEA =CBA =CDA va CED=CDE nén AED = ADE, suy ra AD = AE, két hgp với CD = CE suy ra DE 1 AC (dpem)
b) Áp dụng câu a) ta cĩ ADE = AED = ABF
(gĩc nội tiếp chắn cung nhỏ AF) Suy ra F8D là tam giác cân tại F > FB = FD Kết hợp với CB =CD suy ra CF L BD hay CK 1 BG Mặt khác CB = CE = COILBE hay CG 1 BK Suy ra Ớ là trực tâm của tam giác BCK Khi dé CKG =90° -KCB =CBG (dpem) Câu 5 a) Chia hình chữ nhật đã cho thành 10 hình chữ nhật cĩ kích thước 2 x 3 như hình dưới Câu 4
1) Tính số các ước dương của 1000;
2) Tính số các ước dương chẵn của 1000
Câu 5 Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc đều nhọn Goi (O) là đường trịn tâm Ĩ nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với hai cạnh 4ð; 4C lần lượt
tại D; E Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng ØB và DE; N là giao điểm của hai đường thẳng ĨC và DE Chứng minh bốn điểm 8; C;
M; N cùng thuộc một đường trịn
NGUYEN TAT THU
(GV THPT chuyén Luong Thé Vinh, Dong Nai)
giới thiệu
Theo nguyên lí Dirichlet, 10 hình chữ nhật nhỏ
chứa 11 điểm nên luơn tổn tại hai điểm cùng
thuộc một hình chữ nhật nhỏ, khoảng cách giữa
chúng khơng lớn hơn đường chéo của hình chữ
nhật nhỏ là v2? +3? = V13 (đpem)
b) Khi ø = 10 kết luận trên vẫn đúng Thật vay:
Chia hình chữ nhật đã cho thành 9 hình như
hình dưới
Theo nguyên lí Dirichlet, 9 hình nhỏ chứa 10
điểm nên luơn tồn tại hai điểm cùng thuộc một
Trang 10https://www.facebook.com/etrungkienmath
e
ài toản xác định tham số để hàm đa thức đơn điệu trên một khoảng cho trước cĩ lễ
7 một bài tốn quen thuộc trong các dé thi
tuyển sinh Đại học từ xưa đến giờ Chúng ta nĩi
là “quen thuộc” nhưng đơi khi dạng tốn này
rất “xa lạ" và mang đến thật nhiều khĩ khăn
đối với số đơng các em học sinh THPT Tại sao vậy? Bởi vì các em học sinh thường hay quên
các kiến thức hỗ trợ như là: định iy về dấu của
tam thức bậc hai, điều kiện để tam thức bậc hai
khơng đổi dau trén R, so sánh các nghiệm của
phương trình bậc hai đối với số một số œ nào đĩ, đồng thời các em chưa khéo léo trong việc vận dụng các kiến thức về đạo hàm cĩ liên
quan Nhằm giúp các em học sinh tự tin khi đối
mặt với kỳ thi THPT Quốc gia 2015, trong bài báo ngắn này tơi xin nhắc lại vài kiến thức hỗ trợ, những phương pháp chung và phân tích -
bình luận một số bài tốn điễn hình
1 Phương pháp
1 Ta thực hiện theo các bước sau đây:
- Bước 1: Tìm tập xác định của ham sé - Bước 2: Tính đạo hàm y’
- Bước 3: Lập luận cho các trường hợp mà bài tốn yêu cầu
2 Đề vận dụng tốt phương pháp này ta cần nắm vững một sơ kiến thức liên quan đến định Jý về
dấu của tam thức bậc hai
2.1 Định lý về đầu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai ƒ(x) =ax”+bx+c Khi đĩ:
„Nếu A<0 thi af (x)>0,¥xeR
- Nếu A=0 thì 2ƒ@)>0,Yx#~.—,
„ Nếu A>0 (giả sử ƒ(x) cĩ 2 nghiệm phân biệt
x, <a) thi of (x) <0,¥x E(x 3x) va af (x53) > 0, Wx © (—00; x,) U (2,3 +00) 2.2 Diêu kiện đề tam thức bậc hai khơng đơi dẫu trên TOAN HOC 8 ' €fuu6ilrc _ Số 464 @-2016) https: ://sites google ` A2
XAC BINH THAM $0 DE HAM DA THUC DONDEU TEN HOT HON Ma, HO TRUCK
VAN PHU QUỐC (Gv THPT chuyên Nguyễn Binh Khiêm, Quảng Nam)
Cho tam thức bậc hai ƒ(x)=ax°+bx+e Khi đĩ ta cĩ: ậ /G)>0xeR© (Ơi a>0 A<0 a<0 A<0 a>0 A<0 a<0 2.3 So sánh các nghiệm của một phương trình bậc hai với số (l
Cho phương trình bậc hai ax’ +bx+c=0 Khi do:
- ƒ(x) cĩ hai nghiệm x,,x; thỏa mãn x, <0<x, oP <0 /@)<0,vxeR© | /@)>0,vxeR© | /@)<0,vxeR©| - ƒ(x) cĩ hai nghiệm x,,x; thỏa mãn A»>0 0<x S425 4W SU0: S>0 - ƒ(x) cĩ hai nghiệm x,,x; thỏa mãn A>0 x, <x, <04P>0 <0
Để ý rằng nếu để yêu cầu so sánh các nghiệm
của một phương trình bậc hai với sơ œ0 ta
làm như sau:
Đặt £=x—œ, phương trình: ax’ +bx+c=0 tra thành phương trình a/? +b,#+c# =0
Khi đĩ bài tốn quy về so sánh các nghiệm của
một phương trình bậc hai với sơ 0
IL Phân tích, bình luận một số bài tốn điện hình
Trang 11Trước hết tính đạo hàm: y/ =xŸ +2(2m—])x+m+l
Áp dụng định lý về hàm số đơn điệu chúng ta
lập luận như sau:
Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi y' >0, VxelR hay xŠ+2(2m—l)x+m+1>0,VxeR (*) Sử dụng điều kiện để tam thức bậc hai khơng
đơi dâu trên TR vừa nêu ở trên ta đưa (*) đên
điêu kiện tương đương:
A'<0©(2m—1))~m—1<0
© AmÈ ~Sm <0 0<m <5
Vậy các giá trị cần tìm của m 1a 0<m<Š Bài tốn 2 Tim m dé ham so
y=4x
trén khoang [0: to}
+m+3]xˆ+mx+ 4mm" đơng biên
Đối với bài tốn này, chúng tơi xin trình bày ba hướng giải quyết để các em học sinh tham khảo Hy vọng các em sẽ lựa chọn cho mình được một hướng giải quyết tối ưu nhất
Trước hết ta cân tim tập xác định và tính sẵn đạo hàm:
- Tập xác định: D=R
- Đạo hàm y'=12x” +2(m+3)x+m
Hướng thứ 1 Hàm số đồng biến trên khoảng
[0:+©) ©w>0, vxe[0;+s)<©> PTy'=0 vơ nghiệm hoặc cĩ nghiệm kép hoặc PT y'=0 cĩ
nghiém x,,x, thoa man x, <x, <0 (m-3)' <0 A'<0 3 m=3 a (4>., (m-3) > —_ me ise gay |) eg “as ba P20 || 6 m>0 D7 Vậy m=0 thoa man yéu cầu bài tốn (Chú ý Khi gặp hệ bắt phương trình các em học sinh cán cần thận hơn trong những thao tác sử dụng phép hợp, phép giao các tập nghiệm)
Hướng thứ 2 Chịu khĩ quan sát, chúng ta sẽ
thấy phương trình y'=0 luơn cĩ nghiệm
spe eae
2? 6”
Hàm số đồng biến trên khoảng [0;+øo) <> y’>0,
vxe[0+©)© PTy'=0 cĩ nghiệm Xếp Bese PT y' =0 cĩ nghiệm x,,x„ thỏa mãn = <= $Ø A=0 i m=3 = -5<-s<0© 0<m<3© m >0 ie 1 m>3 aa Vậy m>0 thỏa mãn yêu cầu bai tốn Hướng thứ 3 Hàm số đồng biến trên khoảng [0;+s) © y'>0,Vxe[0;+e) Ẩ© 12x +2(m+3)x+m >0, V+x [0;+00) âm(2x+1)>~12x 6x,Vx e[0;+}
âđm>~6x,Vx e[;+so) <> m= max (—6x) =0 xe|0;4o) Vậy m>0 thỏa mãn yêu cầu bải tốn
Bài toan 3 Tim m để hàm số
y=—<+ +|m—l]|x +| m+3Ìx—4m +2nf —Tm+—
đồng biên trên khoảng (0:3) - Tập xác định: D=R
+ Dao ham y’ =—x? +2(m—1)x+(m+3)
- Hàm số đã cho đồng biến trên khoang (0;3)
© y'>0,Vxe(0;3)
„ Vì hàm số y(x) liên tục tại x=0,x=3 nên y'>0,Vxe(0;3) © y'> 0, vx e[0;3]
©m(2x+l)>+°+2x—3,vxe[0;3| (mục đích là
2
epee yn e[0:1]
(do 2x+1>0,¥xe[0;3] nên khi chỉa cả 2 về
của bất phương trình trên cho 2x+1 khơng làm đơi dâu) cơ lập tham số 7) ©>m> x? 4+2x-3 2x+l ` Vấn đề cịn lại là chúng ta đi tìm giá trị lớn nhất x 422-3 2x+
Đây là một bài tốn về cực trị quá quen thuộc
đối với tất cả các em học sinh lớp 12
2y t2rt8 >0,vxe[0;3] (2x+1)
ome max a(x) với øg(x)=
của hàm số g(x)= trên đoạn [0:3] ‘
Ta cĩ: g(x)=
TỐN HỌC
Trang 12Điều nay din đến việc g(x) đồng biến trên
12
[0;3] Do đĩ: max #(3) =g(3)= >
Vậy m> + thỏa mãn yêu cầu bài tốn
Chúng ta nhận thấy rằng việc giải bài tốn này
bằng phương pháp hàm số là một phương pháp
giải tối ưu Nĩ đơn giản hơn phương pháp tam thức bậc hai rất nhiều Bởi vì nếu sử dụng
phương pháp tam thức bậc hai chúng ta sẽ quy về việc so sánh các nghiệm của một phương
trình bậc hai đối với hai số œ, đĩ là: œ=, œ=3, vơ cùng vất vả Bài tốn 4 7?m m | — —( mm —1)x° +(m—1) 2x+m +2” de nam Se
rh biên trên khoảng (—>:2}
Nhận thấy bài tốn này khơng thể cơ lập tham
số zz một cách dễ dàng như bải tốn trên nên chúng ta hãy từ bỏ ý định sử dụng phương pháp
hàm số mà nên tiến hành giải bằng phương
pháp tam thức bậc hai Như vậy, các em học
sinh cĩ thể thấy rằng việc khẳng định một
phương pháp giải tốn nào đĩ là tối ưu khơng
phải chuyện đơn giản Phải tùy vào từng tình
huống tốn, các em mới cĩ thể cĩ những nhận
xét, đánh giá một cách khách quan được Chúng
tơi hy vọng rằng các em cĩ thể khéo léo lựa
chọn cho mình một phương pháp giải an tồn, chắc chắn nhất Bây giờ chúng ta giải bài tốn
này các em nhé!
* Tập xác định: D=lR
- Đạo hàm: 1 =(m° -1)* +2(m-l)x—2
Đến đây thường cĩ nhiều học sinh vội vàng sử
dụng kiến thức về tam thức bậc hai đã bỏ sĩt mắt trường hợp m=+I, thật là đáng tiếc Vì vậy, các em cần phải cần thận dé khắc phục tình trạng này Bây giờ ta xem xét từng trường hợp như sau: - Trường hợp: mì —1=(0© m= + TOAN HOC 1 () ° €[uổilrc — Số 4644-2016)
+ Với m=1 thì y=-2x+3 (y=-2<0,VxeR)
Suy ra hàm số luơn nghịch biến trên khoảng
(—=;-2)
+ Với m=~l thì y=-2+Ÿ -2z—1 y=—4x-2<0 2 x> 5 Suy ra hàm khơng nghịch biến trên
khoảng (—œ;~2)
- Trường hợp: m” —1 0 © mz +
Chắc chắn rằng ta sẽ quy về đạng tốn so sánh
các nghiệm của một phương trình bậc hai với số
a #0 ma cy thé trong bai tốn này là œ=2 Vì
vậy ta sử dụng kĩ thuật dat ấn phụ để quy về việc so sánh các nghiệm của một phương trình
bậc hai với số 0
Trước tiên ta đặt /=x—2 hay x=/+2 Thay
vào y' =(m° -1)x +2(m—1)x—2 ta thu được
một tam thức bậc hai (theo 7) như sau: #(f)=(mẺ —1)Ÿ +(4mP +2m—6)t+Ám” +4m~10 Hàm số nghịch biến trên khoảng (—œ; 2) = y '<0,Vxe(_-œ; 2) © gí) <0,Vf c(—œ; 0) Điều này sẽ tương đương với: 2 ae : 1<0 boặc 4m” + 2m—6 3m“ —2m—1<0 Giải hai hệ bất phương trình này ta tìm được nghiệm -s m<l
Tổng hợp hai trường hợp trên ta đi đến kết luận:
Với “4 <m<1 ham số đã cho nghịch biến trên
Trang 13Bai toan 5 Tim m dé ham so
y=x +3v +nmx+rm —m chi nghịch biên trên
một đoạn cĩ độ dài bằng Ì
Mới đọc qua đề tốn này, cĩ lẽ nhiều em học
sinh sẽ “ngỡ ngàng” vì yêu cầu cĩ vẻ “lạ lẫm”
Tuy nhiên, chịu khĩ quan sát một chút các em
sẽ nhận ra rằng: hàm số chỉ nghịch biến trên
một đoạn cĩ độ dai bang 1 cĩ nghĩa là nghịch
biến trên đoạn [x,,x;] sao cho /=|x, —x;|=l (với x,x; là nghiệm phân biệt của phương trình y' =0)
Bây giờ chúng ta bắt đầu giải bài tốn này: + Tập xác định: D=R
* Đạo hàm y'=3x°+6x+m Tacé: A'=9-3m
- Nếu m>3 thì y'>0,VxelR Điều này dẫn đến hàm số đã cho đồng biến trên l Như vậy khơng thỏa mãn yêu câu bài tốn
- Nêu m<3 thì A'>0 PT y=0 cĩ hai nghiệm phân biệt xị,x; (xị < x; )
Hàm số chỉ nghịch biến trên một đoạn cĩ độ dài
bang 1<> hàm số nghịch biên trên đoạn [213%] voi |x, -x,|=1
Hệ thức này đã gợi ý chúng ta sử dụng định lý Viéte
That vay, |x, -x,|=1< (x,-x,)° =1
20) +m) dum leo aya =leom=3
Nếu khơng sử dụng định lý Viète thì các em học sinh cĩ thể làm như sau:
PT y' =0 cĩ hai nghiệm phân biệt là _-3-v9-ä3m , _ -3+v9-3m NI NGHỆ nh Khi đĩ: lịox|rLe| hệ căm - Poe 3 2 O=3m = 3c m=9, 4 Bài tốn 6 7m m để hàm số:
p=x`~20w”=3m+L đồng biến trên khoảng (1:2)
Đối với hàm trùng phương bao giờ cũng dễ dàng tìm được nghiệm cụ thể của phương trình
y'=0 Vì vậy ta hãy tìm ra các nghiệm của nĩ
rồi lập luận đẻ đi đến được yêu cầu bài tốn,
* Tập xác định: D=®
+ Đạo hàm y' =4x` -4mx = 4x(xˆ —m)
- Nếu m<0 thì y'>0,
hàm số luơn đồng biến trên (0:+z) nên nĩ luơn Vxe(0:+z) Tức là
đồng biến trên khoảng (1;2)
- Nếu m>0 thì phương trình y =0 sẽ cĩ 3
nghiệm phân biét la: —J/m,0,Vm
Ham sé đồng biến trên đoạn (2)
© 4m <l€m<I
Tương tự như bài 3, chúng ta cĩ một hướng
giải quyết khác cho bài tốn này là phương
pháp hàm số ae ‘
Ta lập luận như sau: Hàm số đồng biên trên
(I;2) © „/'>0,Vxce(;2) © y' >0, vx e[I;2]
(đo y(z) liên tục tại x=l,x=2)
<> 4x° -4mx 20, Vx € [1,2]
©m<+? ,Vxe[l; 2]=m< min (x )=]1,
Các em cĩ nhận ra rằng sử dụng phương pháp hàm số để giải quyết bài tốn này rất là háp dẫn phải khơng? Nĩ vừa ngắn gọn, vừa gân gũi với những vấn đề mà các em đang học ở năm cuối cấp III Bai tap dé nghị 1 Tìm m để hàm số ye +m +(3m—2)x+m° —3m? —7m+9 đồng biến trên R 2 Tìm mm để hàm sé y=Sx`+(m+1)+” +(m? +4m+3)x—m? +1 déng bién trén [1;+00) 3 Tìm m để hàm số y=x +3 +(m+1)x+m' +3mˆ—im—l1 nghịch biến trên (—1;1) Í Tìm m để hàm số years 5(sinr—cost) x? -(sine}x+2015 luén déng bién trén R
5 Cho ham sé: y =—x* +2mx? —m’ Timm dé: a) Ham s6 nghich bién trén (1;+90);
b) Hàm số nghịch biến trên (—1;0), (2;3)
TOAN HOC
Trang 14THU SUC TRUOC Ki THI
ĐỀ SỐ 6
(Thời gian làm bài: 180 phú!)
Câu 1 (2 đĩn) Cho hàm sốy= —
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đề thị (C) của
hàm số đã cho
2) Tìm tham số m để đường thẳng đ: y= x+m
cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt 4, B sao cho tam giác 4 vuơng tại Ø (Ø là gốc tọa độ) Câu 2 (1,5 điểm) log, x 1+log, x log, x-2~ 2+log, x” 2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=vx?+2+v4-x2 Câu 3 (1 điểm) 1) Cho số phức z thỏa mãn (I-2i)(z~1)=(2+3i)z Hãy tính z.z
2) Trên giá sách cĩ 3 ngăn, ngăn thứ nhất cĩ 5 cuốn sách giáo khoa Tốn và 5 cuốn sách bài tập Tốn; ngăn thứ hai cĩ 6 cuốn sách giáo khoa Lý và 6 cuốn sách bai tập Lý và ngăn thứ ba cĩ 5 cuốn sách giáo khoa Hĩa va 5 cudn
sách bài tập Hĩa Lần lượt lay ngau nhiên mỗi
ngăn một cuốn, tìm xác suất để 3 cuốn lây được đêu là sách bài tập 1) Giải bất phương trình To Câu 4 (0,5 điểm) Tính tích phân 7= F°^+ 9 OOS x HƯỚNG DẪN GIẢI DE
Cau | a) Ban doc ty giai
b) Gọi xạ là hồnh độ tiép diém, gidi PT
#Œ)=-3 được x„ e{0;2} Từ đĩ tìm được hai tiếp tuyến cĩ phương trình lần lượt là y=-3x-1, y=-3x411 Cau 2 a) Phuong trinh cho trong đương với cos 2x+cosx—sinx=0 <> (cosx—sinx)(cosx+sinx+1)=0 Đáp số xaitkhn, x= ~5+È2m,x= + k2, TOAN HỌC ' €luổilrc _ Số 4842-2016) 12 “5 (1 điểm) Trong khơng gian Oxyz, cho x=1+t đường thắng A:4 y=l+¿ và mặt phẳng z=l+/
(P):x-2y+2z-3=0 Tim tọa độ điểm trên
trục tung sao cho khoảng cách từ điểm đĩ đến
đường thăng A băng khoảng cách từ điêm đĩ đên mặt phẳng (P)
Câu 6 (1 điểm) Cho lăng trụ 4BC.4'B'C' cĩ
AˆABC là tứ diện đều cạnh a Tinh theo a thé tích khối tứ diện 4# ”8C và khoảng cách giữa
hai Na thang AB va CC’
Cau (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường trịn (C):x?+y?—2x—4y=0 Tìm tọa
độ các điểm 4,B,C nằm trên đường trịn (C) sao cho Ø4BC là hình chữ nhật cĩ 4B = 28C Cau 8 (1 điểm) Giải hệ phương trình xfy +yvx =6 4JT+x—xyJ4+y? = Cầu 9, (1 điểm) Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn; n +y?+z?=§ (x,y<R) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ Xy+}yZz+zx =4 3 3 a nhat cia biéu thite P= 72 77 eye
NGUYEN VAN SANG
Trang 15log, 2+log, (x-1) =log, (x +x-4) ©log; (2x ~4x+ 2)=log, (x? +x-4) Đáp số xe {2;3} Cfiu 4 DK: x €(—<0;—-1]U[1; +99) pat a=Vx° 4x42, b= Vx —1 thi 4x? +x-1=38 +a’, 40° +3x4+5=3a' +h’, BPT đã cho cĩ dạng: (80? +a?)a<(32? +b?)b+1Le(a—ð) <1 ©a<b+lhay xJx°+x+2<I+v/x?—l (1) Giải (1) bằng cách bình phương hai về được đáp số xe[T—m a AT LPT 0), Cau 5 I= f(arax)etar- fox? +x)de 0 " 2 a Ix x? A= |(2x ss)ar=[ Po) F i u=1+2x tree Dat dv =e*dx B= fsa £'dx=(I+2x)£ „ > tacd: v=e py fees etl
Vay [=B-A= e-d
Cau 6 Tinh = HD’ =aJ3,
S pcp = AB.AD = 2a’ V3, f;ao=28H18,„=92
» Tir AB//CD => AB//(SCD), do đĩ: d(AB;SD) = d(AB;(SCD)) = d(H;(SCD)) Ké HM 1 CD, HK 1 SM, chimg minh duge HK L(SCD) nén Se : Et Chỉ ra HM =a,3, ti a “et pat HK = — Vay d( AB; sp) = 98
Câu 7 Gọi E là điểm đối xứng của 4 qua M
thì 4B/EC Xét AAEC cĩ CM là trung tuyến,
CD=CM nên D là trọng tâm, 4D là phân
giác của EAC nên A4EC cân tại 4, Suy Tả AD 1 EC Từ đĩ 41B L 4D Từ kết quả ae tr hình chiếu vuơng gĩc của B trên AD, được 4=(1;-1) ares ae AD (D=#A nén t #1) 3-4 %-9 = X~ 4 5 d(C: AB) = see = t>z Tacd d(C;4B)=— 8 Tu (*) tim được =3, suy ra cỗ: Từ BC= SBD tìm được C= > , VỚI 5 2 313 > (*) 5.90 ` ĐI Câu 8 Từ {1}=d(P)=>!=(:2;3) Mặt phẳng (P) cĩ VTPT là n(2;l;-1), đ cĩ VTCP là w,(1;2;1) A cĩ một VTCP là ae x=3+í Uy =3| m1 ]=(E-EI) Đáp số A: 4y=2-t z=3+t
Câu 9 Mỗi câu cĩ 4 cách lựa chọn phương án
nên khơng gian mẫu © của phép thử cĩ số
phan tir 1a |Q|=4"°
Gọi x là số câu trả lời đúng của một thí sinh
(xeĐ,x<10), thí sinh được 26 điểm khi và
chỉ khi 5z—(10—x)= 26 © x=6
Gọi 44 là biến cố: “Thí sinh làm bài bằng cách
chon ngdu nhién phương á án trả lời được 26 điểm” - Chon 6 câu trong số 10 câu cĩ Cứ, cách
- Với mỗi bộ 6 câu đã chọn chỉ cĩ một cách dé
chọn phương án đúng cho cả 6 câu đĩ, 4 câu
cịn lại cĩ 3° cách chọn phương án để thí sinh
lam sai cả 4 câu này Suy ra |O,|= Cũ.3
ss _ Oil e638" 8505
Trang 16LOI GIAI NGAN GON (Tiép theo trang 5) Dat “TT =t, doxyeZotel ,5y+4_ _ 17-4 _ 2t—4 Ta cĩ T7 =fœy= 5 =3t+ 57 Dat 4 at, doyteZ>n eZ 2t-4 St, +4 t T: a cĩ 5 = Lot =—' 2 = 2n+2+2 a Đặt =0, don € Z6 € Z, Từ đĩ /= 5b; +2; x = 14 + 391 ; y= L7p + 6 Vậy, (7) cĩ vơ số nghiệm nguyên: a Gite eth y=6+17t, Atal Nhận xét
- Việc khơng nhầm được nghiệm hoặc khơng nhằm nghiệm dẫn đến lời giải dài dịng, việc
biến đổi và tính tốn nhiều dé gây nhầm lẫn - Thực chất mỗi lan dat an phụ là một lần đưa PT về dạng đơn giản hơn Ví dụ khi đặt
5y+4
17
nghiệm nguyên -5y + 17/ = 4 Vì vay tiếp tục
nhằm được nghiệm sẽ là phương án tốt nhất
e Nhằm nghiệm khi cĩ cơ hội Ở PT trên ta nhằm được một nghiệm (yọ; fo) = (6; 2) Cách 2: Từ (7) ta rút ra được: ng 39y+4 _ 2y+ 5y+4 <2y+—5.61112 17 la 17 J=9 =2y+2+5.—— 7” Đặt xO or, do x,y e Z—=/ e Z Suy ra (7) =¡, thực chất là ta tiếp tục giải PT cĩ x=l4+39r
ơ số nghiệ ên: site Z
võ sơ nghiệm nguyên oe voit €
*Ví dụ 8 Tìm nghiệm nguyên dương nhỏ nhất
của phương trình 4lx-— 37y= I8§7 (8)
Lời giải Từ (§) ta rút ra được: gee TET my độ TS 37 37 4x+4.18—37.2 x+18 i a co =x-7+4 37 x+18 Dat =t,dox,yeZ>teZ 37 1 rh CAN Custis Số 464 (2-9016) Từ đĩ x=—1§ +37 và y=~25 + 41 Dox=-l8 +37/>0; y=-25 +4l;>0
Suy ra thi ri =r>I1= x và y nhỏ nhất
©>/ duy nhất ge ill Vậy (8) cĩ nghiệm nguyên dương duy nhất là: (x; y) = (19; 19)
Nhận xéi
- Khi tách được đến at :
PT nghiém nguyén —4x + 37 =—2 Điều này tương đương với việc tách được -2 trong
ta cần tiếp tục giải
= Ê thành tổng của hai số nguyên,
một số chia hết cho 4, một số chia hết cho 37 (dễ thay -2 = 72 — 74 = 4.18 — 37.2) biểu thức * Vi du 9 Tìm nghiệm nguyên của phương trình 40x-3ly=1 (9) Phan tich - Ta thấy 40x cĩ chữ số tận cùng là 0 => 31y cĩ chữ số tận cùng là 9; chọn y = 9 ta nhằm được x=7 40x-1 =x+ 9x-1 31 31
tach —1 thanh téng của hai số nguyên, một số
chia hết cho 9, một số chia hết cho 31, ta cĩ:
-1 = 62 - 63 = 31.2 -9.7
Lời giải
Cách 1: Từ (9) ta rút ra được:
3ly+l_ 3ly+40.7-31.9 _ TU =7+31.“— y-9 :
Đặt a =t, dox,y eZ.=re Z Suy ra (9) - Nếu tách y= „ ta cĩ thể x= cĩ vơ số nghiệm nguyên: { Gite Z Cách 2: Từ (9) ta rút ra được: _ 40x-1 oe ĐXL "mm 9x+31.2-9.7 =x+ —3 +249 ân i #—T 31 =t, dox,y e Z => c Z Suy ra (9) Đặt eit oe a
ĩ vơ số nghiệ ên:
Trang 17BAI TAP VAN DUNG
| Gidi cac phuong trinh véi nghiém nguyên:
a) 3x + 17y=159 e) 1lx-20y = 49
b) 2x + 13y = 156 f) 9x + 20y = 547
c) 5x-7y=21 g) 17x + 38y=2
a) lx-7y=31
wiét 112 thanh tổng của hai số nguyên
Ơi: một số chia hết cho 5, số cịn lại chia hết
cho 7 : :
ä Tìm các số nguyên dương x, y nhỏ nhat nghiệm đúng phương trình:
a) 15x— 49y= 11 b) 17x — 29y = 100
4 Tìm hai số dương nhỏ nhất thỏa mãn: hiệu của chúng là 10, số bị trừ chia hết cho 8, số trừ
chia hết cho 17
5 Tìm số học sinh của một lớp học, biết rằng
khi xếp hàng, nêu xếp mỗi hàng 5 hoc sinh thi
thừa 3 học sinh, nếu xếp mỗi hàng 7 học sinh
thì thừa 1 học sinh
6 Can đặt một ơng nuéc dai 21m bang hai loai ống: ống đài 2m và ơng đài 3m Hỏi mỗi loại cần mấy ống để khơng bị bỏ phí một đoạn ống
nào?
HƯỚNG DẪN GIẢI (Tiếp theo trang 13)
Vì AB=BC=CA=+xJ3 nên A4BC đều, đường
trịn tam O với bán kính R=1 là đường tron ngoại tiếp A4BC và M thay đổi trên đường
trịn này khi (x;y) thay doi
‹ Bằng tính tốn trực tiếp chỉ ra được: MA? + MB? + MC? =6 (1) M4? MB? + MB?.MC? + MC? Md’ =9 (2) Từ (1) và (2) cĩ 2V2P =(MA.MB + MB.MC + MC.MA)`—9 =[3(w4+wø+ ve} -3Ï -s @)
Xét điểm A⁄Z chạy trên đường trịn ngoại tiếp
tam giác đều 48C, khơng giảm tính tổng quát
7 Tìm nghiệm nguyên đương nhỏ nhất của hệ
x+2y+3z=20
ae a =37
8 (Bài tốn cổ) Mai em đi chợ phiên Anh gửi một tiền (60 đồng) Mua cam cùng quýt Khơng nhiều thì ít Mua lấy 100 Cam 3 đơng một
Quýt 1 đồng năm Thanh yên tươi tốt 5 đồng
một trái Hỏi mua mỗi thứ mấy trái?
9, (Bài tốn cổ) Một trăm con trâu Một trăm bĩ
cỏ Trâu đứng ăn 5 Trâu năm ăn 3 In khụ trâu già Ba con 1 bĩ Hỏi mơi loại trâu cĩ mây con?
coi Ä# thuộc cung nhỏ 8C, khi đĩ chứng minh
được Ä⁄8+ MC= MA— MA+ MB+MC=2MA,
cĩ 4B< AM<2R, nên 2J3< M4+MB+MC<4,
trong đĩ A⁄44+A4B+jMC=4, chẳng hạn khi
AM là đường kính của đường trịn (O;1) hay
M(0;-1) Các trường hợp cịn lại về vị trí của
Trang 18CÁC LỚP THCS Đài F1/464 (Lớp 6) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (m, n) thỏa mãn : 3” =2” =5 ; l VŨ VĂN LIÊM
(Cẩm Quan, Cẩm Xá, Mỹ Hào, Hưng Yên)
Bài T2/464 (Lớp 7) Cho A4BC vuơng tại 4, đường cao 4H, 48 < AC Trên cạnh 4C lay diém D sao cho AD = AB Goi Tila là trung điểm
của 8D Chứng minh rằng BIH = ACB
THÁI NHẬT PHƯỢNG (GV THCS Nguyễn Van Tréi,
Cam Nghia, Cam Ranh, Khanh Héa)
Bài 13/464 Cĩ thể lát kín một cái sân hình
vuơng cạnh 3,5 m bằng những viên gạch hình
chữ nhật kích thước 25 cm x 100 em mà khơng
cat gach duoc hay khong ?
: TRƯƠNG QUANG AN
(GV THCS Nghia Thang, Tu Nghia, Quang Ngai)
Bai 14/464 Dung tam giác 4BC biết ba đường
thắng đ„ đ,, d, chứa ba đường trung trực của tam giác (giả thiết ba đường này đồng quy tại
Ø) và biết độ dài đoạn 4H, ở đây H là trực tâm
của tam giác 48C
VŨ ĐÌNH PHƯỢNG
(GV khoa Tốn, ĐHSP Hà Nội)
Bài 75/464, Giải phương trình: 2010-416 + 6+ Ÿ2016—x =x PHAM XUAN TRINH (GV THCS Trực Phú, Trực Ninh, Nam Định) CÁC LỚP THPT Hài 16/464 Giải hệ phương trình TẾ _3+x„~2.JÄy—x x Ay+3 +y=z?—x—3
HỒNG ĐĂNG THƯỞNG
(GV THPT Thanh Thủy, Thanh Thủy, Phú Tho) TOAN HOC 16 : Cluổitrẻ Số 464 (2-2016) Bài 17/464, Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x°+y°+z?=8 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau m=|2~z|sl2-z|s|#-*Ì: VŨ HỎNG PHONG (GV THPT Tiên Du 1, Tiên Du, Bắc Ninh)
Bài T8/464 Cho tam giác 48C nhọn cĩ tâm
đường trịn ngoại tiếp là Ø P là điểm bat ky
trên đường trịn ngoại tiên tam giác OBC va P nằm trong tam giác 4BC (P khác B, Œ) Phân
giác của gĩc CP4 cắt C4 tại E, phân giác của
gĩc APB cit AB tại F Gọi 1, L, K lần lượt là tâm đường trịn nội tiếp các tam gidc PEF, PCA,
PAB Ching minh rang J, K, L thang hang
TRAN QUANG HUNG
(GV THPT chuyén KHTN, ĐHQG Hà Nội)
Bài T9/464 Tìm các số ĐA NÿED dương x, y sao
cho x) + y) =x?+12xy+yŸ
CAO NGỌC TOẢN
(GV THPT Tam Giang, Phong Điền, Thừa Thiên — Huế)
TIẾN TỚI OLYMPIC TỐN
Bài T10/464 Cho m số thực a,,4;, ,đ„ (n > 3)
thỏa mãn điêu kiện:
ai +a; + +a„ 2n và a +a; tut @zn’
Chimg minh ring max(q,,a,, 4,) = 2 NGUYEN TH] CHUC (GV THPT chuyén Ha Giang) Bai T1 1/464 Cho day sé thực (a,): a,20 a,,;=10"a?, n=1 n+
Tim các giá trị của a¡ để lima, =0
NGUYEN TAT THU
(GV THPT chuyén Luong Thé Vinh, Dong Nai)
Bai 112/464 Cho tam gidc nhon ABC Goi E,
F lan lugt la hinh chiéu cua B, C trén AC, AB; I, J lan lugt 1a tâm đường trịn bang tiép các gĩc F, E của các tam giác 4#' C, AEB; BJ cắt CT tai K Lấy điểm Ø trên đường trịn ngoại tiếp tam giác BKC sao cho AOK =90° Ching minh
rằng 4Ĩ, BI, CJ đồng quy
NGUYÊN THANH DŨNG
Trang 19Bài L1/464 Một thiên thạch cĩ khối lượng 1600 kg chuyên động quanh Trái Đất theo quỹ
đạo trịn ở độ cao 4200 km so voi Mat Dat Thiên thạch đĩ bất ngờ va chạm trực diện với một thiên thạch khác bé hơn nhiều và bị mất
2,0% động năng, nhưng khơng bị lệch hướng
chuyển động và giữ nguyên khối lượng
1) Mơ tả hình dạng quỹ đạo thiên thạch sau va
chạm
2) Tìm khoảng cách ngắn nhất của quỹ dạo
thiên thạch sau va chạm so với mặt đất Nhận xét Cho biết bán kính Trái Dat là 6400 km
VŨ THANH KHIÉẾT (NXBGD Việt Nam)
Bài 1.2/464 Cho mạch điện cĩ sơ đồ như hình
bên X, Y là hai hộp linh kiện, mỗi hộp chỉ chứa 2 trong 3 loại linh kiện mắc nĩi tiếp gồm: điện trở thuần, cuộn cảm thuần, tụ điện Biết ampe kế cĩ điện trở rất nhỏ, vơn kế cĩ điện trở rất
lớn Ban đầu mắc 2 điểm 4, #⁄ vào hai cực của
một nguồn khơng đổi thì Ƒ¡ chỉ 45V, ampe kế chỉ 1,5A Sau đĩ mắc 4, 8 vào nguồn xoay
chiều cĩ điện áp uy, = 120sin100m (V) thi
ampe kế chỉ 1A, hai vơn kế chỉ cùng một giá trị
và 1„a; lệch pha gĩc = SO VOi Uy
a) Hỏi hộp X, Y chứa các linh kiện nao, tinh tri
số của chúng? Việt biêu thức của cường độ dịng điện b) Thay tụ C trong mạch bằng tụ C' thì số chỉ V; lớn nhất Tính Œ” và Urmax rcL AF A 7B 1l | | J2 — | ea
ĐINH THỊ THÁI QUỲNH (Hà Nội)
PROBLEMS IN THIS ISSUE
FOR SECONDARY SCHOOL
Problem 11/464 (For 6" grade) Find all pairs of natural numbers (m, 7) satisfying 3” —2” =5
Problem 12/464 (For 7" grade) Given a right
triangle AABC with the right angle A and
AB < AC Let AH be the altitude from the vertex A On AC choose D such that AD = AB Let J be
the midpoint of BD Prove that BIH = ACB
Problem 13/464 Can we cover a square-shape
area of the size 3,5 m x 3,5 m by rectangle-
shape tiles of the size 25 cm x 100 cm without cutting any tile?
Problem 14/464 Construct a triangle ABC given three lines d,, d,, and d which contain perpendicular bisectors of ABC (assume that they are concurrent at O) and given the length
of AH where H is the orthocenter of ABC
Problem 15/464 Solve the equation 2010- Ÿ6+ Ÿ6+Ÿ2016—x =x FOR HIGHSCHOOL Problem 16/464 Solve the system of equations 32 3x A Ay =x x : Jyw+3+y=xÌ-x-3
Problem 'T7/464 Let x, y, z be real numbers such that x7 + y’?+z?=8 Find the maximum and minimum values of the expression
H =|? -y'|+|y? -2'|+|2-2']
Problem 18/464 Given an acute traingle ABC with the circumcenter O, Let P be an arbitrary point on the circumcircle of the traingle OBC
such that P lies inside the triangle ABC and P is different from B and C The bisectors of the angles CPA and APB respectivly intersects
CA and AB at E and F Let J, L, and K
respectively be the incenters of the incircles of
the triangles PEF, PCA, and PAB Prove that J, K, and L are collinear
(Xem tiép trang 37)
TOAN HOC
Trang 20
Bai T1/460 Cho a là một số tự nhiên gơm các
chữ số khác nhau và b là sơ gơm các chữ số của thứ tự khác Biết
1 (n chit s6 1, n là số nguyên
a nhung theo một a—-b=]Il
dương) tìm giá trị lớn nhát của n
Lời giải Gọi tổng các chữ số của a và b tương ứng là s(a) va s(b) Do tổng các chữ số của một
- cĩ cùng số dư với số đĩ nên — s(4) = 9r và
— s(b) = 9¿ Theo giả thiết cĩ s(a) = s(b) nên
a—b=09(r~ ¡) chia hết cho 9, do đĩ số 11 11
chia hết cho 9, mà tổng các chữ số của số 11 11 bằng øœ nên ø chia hết cho 9 Do a
gồm các chữ số khác nhau nên < 10 Suy ra n= 9 Điều này xảy ra, chẳng hạn với = 9087654321 và b = 8976543210, hoặc = 1987654320 va b = 1876543209 0
>Nhan xét Một số bạn khi giải đã đưa thêm yêu
cầu sắp thứ tự các chữ số của a, hoặc tìm được n =9 nhưng khơng chỉ ra sự ton tại của các số a và b
như thế Các bạn sau cĩ lời giải tốt: Hà Tĩnh: Xgơ Đức Hồng, Nguyễn Thị Thùy Trang, 6A, Thiều Thị Hạnh Nguyên, 6B, THCS Xuân Diệu, Can Lộc; Phú Yên: Nguyễn Trần Gia Mỹ, 6E, THCS Lương Thế
Vinh, TP.Tuy Hịa; TP Hồ Chí Minh: Ngơ Võ
Hồng Việt, 6A3, TrH Thực hành Sài Gịn, Q 5 VIỆT HẢI Bài T2/460 Tìm các số nguyên đương x, y, z sao cho: (x —y} +(y-zy +3|z—x|=27
Lời giải Vì (x—y)+(y—z)+(z—x)=0 là số
chẵn nên trong ba số (x—y),(y—z),(z—x)
hoặc là cùng chẵn, hoặc là cĩ hai số lẻ và một số chẵn Mặt khác, (x-y) và (x—y); (y—z}
và (y—z); 3|Ìz—x| và (z—x) cùng cĩ tính chẵn
18 TỐN HỌC
* Cluổi trẻ Số 464 (2-2016)
lẻ nên vế trái của đẳng thức đã cho, tức
(x-y+@-—? +|z—+l luơn là s6 chin, trong
khi đĩ 27 (về phải) là số lẻ Vậy khơng tồn tại
các sơ nguyên x, y, z thỏa mãn đê bài FT
> Nhận xét 1) Bài tốn rất đơn giản nhưng nhiều bạn
chia trường hợp khơng hợp lý, lập luận chưa rõ ràng 2) Các bạn sau đây cĩ lời giải tốt: Phú Thọ:
Tạ Hồng Hải, Lê Trung Hiếu, Nguyễn Trung Hiểu,
Khổng Dỗn Hung, 7A3, THCS Lam Thao;
Vĩnh Phúc: Lê Hồng Nhung, Lê Minh Viét Anh, 7A, THCS Vĩnh Yên, TP Vĩnh Yên, Tạ Kim Thanh Hiền, 7A4, THCS Yên Lạc; Hà Nội: Nguyễn Hà
Khánh Nam, 71A2, Trường Hanoi Academy, Từ
Liêm; Nghệ An: Nguyễn Hữu Nguyên, Tăng Hồng
Quân, 1A, Hồng Hải Long, Nguyễn Thị Vân Quý,
Phạm Thị Hương Giang, 7B; Nguyễn Sỹ Trọng,
Nguyễn Thu Hiền, Nguyễn Thị Thùy Duong, Tran
Thi Cam Ly, Lê Bùi Phương Huyễn, Nguyễn Thị
Linh Đan, Lê Đình Thành, Hồng Thị Ngọc Trâm,
7D, THC§ Lý Nhật Quang, Đơ Lương; Quảng Ngai: Tran Thị Thanh Huyén, 6D, Nguyễn Trung
Phú, 6A, Lê Tuần Kiệt, 6A, THCS Phạm Văn Đồng, Nguyễn Thị Kỳ Duyên, 7A, THCS Hành Trung, Nguyễn Thị Kiều Mẫn, 7B, THCS Nguyễn Kim Vang, Nghia Hanh, V6 Thi Héng Kiéu, 7A, THCS Nghĩa Mỹ, Mai Thị Thu Thảo, 7C, THPT Sơng Vệ,
Tư Nghĩa
NGUYÊN XUÂN BÌNH
Bai T3/460 Cho a, b, c la dé dai ba cạnh của một tam giác Chứng minh rang ab ä.e Ðð Pea |e + + v2 ) ae ey eee Lời giải Cách 1 (Của bạn Tạ Kim Thanh Hiền, 7A4, THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc) Ta cĩ: Œ®e4(#+ by +š]>2($+ÿ+2+3) bc a c ba c3 Bh he RE + boc og ¢ Ð ú {Sb S Beggs >0 b 6 đ ¿ b &q ©3a-)(b—e)(cđ—a)+
+[a(b—e)? +b(c—a)? +c(a—b)}?Ì}>0
(do a, b, e đương, quy đồng và bỏ mẫu số)
Mặt khác, dễ thấy với mọi x, y, z thỏa mãn
x+y+z=0 thì 3xyz= x” + yÌ + xỶ Suy ra:
3(a—b)(b—c)(ce—a)=(a—b} +(b—ec)+(c—a)) Do đĩ (*)©>(a—ð)?(a—b+c)
Trang 21BĐT trên luơn đúng với mọi a, b, c là ba cạnh của
một tam giác Đẳng thức xảy ra khi g = b =
Vậy (*) được chứng minh
Cách 2 (Của bạn Lê Tuần Tú, §T, THPT Dân
Lập Lương Thế Vinh, Hà Nội)
Ta cĩ (#) tương đương với:
2(a2c + b2a+c2b) > a?b + c?a + b?c + 3ahc «>ˆ(c—b)+b?(a—c)+c?(b— a) >ac(b—a)+ ab(c—b)+ bc(a—c) ôđâa(eb)(ab)+b(ae)(be)+c(ba)(ca)30 Mt khỏc, do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên tơn tại ba sơ dương +, y, z thỏa mãn: a+b-c=2z>0 q=y+z b+c-a=2x>0—=4b=z+x c+a-b=2y>0_ |c=x+y Thay vào BĐT trên ta được: (y+z)œw~z)~+)+(+2)(z—>)(— y) +(x+y)(œx-y)œ—z)>0 —2*\(y—x)+(z? -x?)(z-y) +(x? -y?\(x-z)20 ©+?+y?+z?—2yz2—2xy?—2x?z +xz?+x?y+y?z>0 ©=x(x-z)?+ yw-—x)?+z(z- y}>0,
BĐT đúng với mọi x, y, z dương, đẳng thức xảy
ra khi x=y=z (khi đĩ a = b = ©)
Vậy (*) được chứng minh FT
> Nhận xét Cĩ nhiều bạn tham gia giải bài tốn
này nhưng chỉ cĩ hai bạn 7hanh Hiển và Tuần Tú
giải đúng Các bạn khác đã mắc phải một trong các
sai lầm cơ bản sau:
- a, b,c chi cé vai trd hốn vị vịng quanh, khơng cĩ vai trị như nhau nên khơng thể giả thiết a < b < e Do 8> C nên 4 > B © 4 > C (thực chất đây chỉ là “bắc cẩu” nên chỉ cĩ thể “suy ra” mà khơng thé “tương đương”) -A2B;C2D>A-C2B-D « (a — b)(b—c)(c — a) > 0 luén ding do a, b, ¢ 1a dé
dai ba cạnh của một tam giác
NGUYEN ANH QUAN Bai 14/460 Xét tam gidc ABC thay đổi, cân tại A, nội tiếp đường trịn (O: R) cho trước Kẻ
BH vuơng gĩc với AC tai H Tim giá trị lớn
nhất của độ dài đoạn thăng BH =œ? Lời giải Cách 1 Gọi 7 là trung điểm của 8C Kẻ đường kính 4 Ta cĩ
BH = BC sinC = 2Bicos + = 2ABsin cos
= 2ADcos .Sin 2 COS 2 4R.cos 2 Sin 7" để co ĐT cu Đo, 2A yA Mat khac, str dung bất đăng thức Cauchy cho các sơ dương, ta cĩ 2A jeesin? ae geage 2 4d jgos? Sg teget tre 2 1 A 4A > 3y sin” 2 ,COS 2° 33/— = pes, 2A AL 23 8Rv3
Suy ra cos? Sang <, từ đĩ, BH< 9
Vậy độ dài BH lớn nhất bằng „ xây ra khi
; Ai v2 v2
pin 2 2 cg, hay tan oe oe 4 Le
Cách 2 (Theo bạn Bùi Thị Liêu Dương, 9A4,
THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc) ˆ
Kẻ đường kính 4D, gọi !, K lân lượt là trung điểm của BC, HC Dễ thấy JK = BH Đặt AI = x Dễ thấy !K // DC, áp dụng định lí QUÁ „ẤP, Thalés cho tam giac ACD, ta c6 —— CD ` 2CDAI S uy ra BH =2/K =2]K = “AD
Mặt khác, tam giác 4CD vuơng tại C cĩ Cï là
Trang 22_4R
Khi 5 =2R- x, hay x= 3 „5
> Nhận xét 1) Đa số các bạn gửi lời giải về Tịa soạn đều cho lời giải chưa chặt chẽ, phụ thuộc vào hình vẽ
Chủ yếu các bạn sĩt trường hợp gĩc BAC ti Một số
bạn xét cả hai trường hợp thì cho lời giải quá dài
2) Ngồi bạn Dương, bạn Lê Tuấn Tú, ST, THPT DL Lương Thế Vinh, Hà Nội cũng cho lời giải tốt NGUYÊN THANH HỎNG Bai T5/460 Giải hệ phương trình: 3) _> =vx+4\) (1) (x + yp Xx+l)=4+2w(x-l) (2) Lời giải ĐK: x > 0, y> 0 và x + y# 0 (®) Ta cĩ (2©x+-22y+x?+x°+yˆ+24w=4 ©zx(œ-y}+(x+y} =4 Từ điều kiện (*) suy ra x(x— y)” >0,x+ y>0 Do đĩ (x+y)°<4—>0<x+ y2 Tks soya te Oe gy x+y 2
Ap dung bat dang thie Cauchy voi hai số
khơng âm, ta 06: Ve SS 4 Jy $2(y+1)
Cộng theo về hai bất đẳng thức trên, ta được Vx+4g<5 +20+D _@/33)+4+ây _T+3y 2 8 Từ (3) và (4) suy ra: Js„ádyS—+ TT : E 2 x+y Kết hợp với (1) thì đẳng thức phải xảy ra, tức là x+y=2 aL & y=l z | Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhât | (4) x=1 y=l (thỏa mãn (*)) =1 > Nhận xét Đa số các bạn tham gia đều giải vận
dụng bất đẳng thức Cauchy hoặc Bunyakovsky và cho đáp sơ đúng Tuyên dương các bạn sau cĩ lời giải tốt: Hà Nội: Tạ Duy Phương, 9A, THCS Mỹ
Hưng, Thanh Oai, Lê Tuấn Tú, 8T, THPT Dân lập
Lương Thế Vinh; Vĩnh Phúc: "Bùi Thị Liễu Dương,
9A4, THCS Yên Lạc; Phạm Hồng Hạnh, 9A, THCS
Lập Thạch; Phú Thọ: Trần Quốc Lập, Trần Thị Thu
20 TOAN HOC ' €Tuổity — Số 464-2019)
Huyền, Nguyễn Thao Chi, 9A3, THCS Lâm Thao;
Nghệ An: Nguyễn Đình Tuấn, §C, Võ Hồi Nam,
9C, THCS Lý Nhật Quang, Đơ Lương, Trân Thị
Diễm Quỳnh, 9G, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh;
Kon Tum: Nguyên Ngọc Khánh Như, 9A, THPT
chuyên Nguyễn Tât Thành, TP Kon Tum
PHẠM THỊ BẠCH NGỌC
Bài T6/460 Chứng minh rằng Với mọi mì > Ì,
phương trình sau cĩ nghiệm duy nhát xì —33/3x+ 2m = 2m (1) ue sợ ae: x-3y=2m Lời giải Đặt Ÿ3x+2m=y, ta cĩ: ý ‘ —3x=2m Trừ từng về hai phương trình ta c: &-y@2+xw+;?+3)=0âx-y=âx=y (vỡ x2+xy+y?đ+3>0 Vx,y) Do đĩ (D©x+Ì-3x=2m_ (2) Đặt y= f(x) Khi đĩ: ƒ(+)=3x2-3=0©>x=#l, ta cĩ bảng biến thiên của /(x): =x -3x x |-o -l l1 +œ (a ee ee n f tae
Tir bang bién thién ta thay, với m > 1 thì 2m > 2
nên đường thắng y=2m cắt dé thi (C) cla f(x) tại đúng một điểm Do đĩ PT(2) cĩ nghiệm duy nhất, vậy PT(1) cĩ nghiệm duy nhất [ > Nhận xé 1) Cĩ thể chứng minh 33x+2m =x như sau: Viết (1) đưới dạng: x)+3x=3x+2m+383x+2m - (3) Xét hàm g()=?) +3/, cĩ g'0)= 3/2 +3 > 0 We, suy ra ø() đồng biến trên R Do đĩ (3) <> g(x) = z( 3x+2m) ©x=33x+2m 2) Cĩ thẻ chứng minh (2) cĩ nghiệm duy nhất bằng cách: Do (2) là PT bậc ba nên cĩ ít nhất l nghiệm Giả sử x, và x; đều là nghiệm của (2), ta được hai đẳng thức, trừ từng về hai đẳng thức này, ta cũng suy ra được xị = x;
3) Rất đơng các bạn tham gia giải bài này Cách giải ở trên được đa số các bạn chọn giải Các bạn sau cĩ
Trang 23
Quan, Phú Xuyên; Đố Minh Phương, 10A 14, THPT
Ngọc Tảo Nam Định: Lâm Vũ Tuấn, 12 Anh 1, THPT chuyên Lê Hồng Phong Vĩnh Phúc: Đổ Văn Quyết, 11A1, THPT chuyên Vĩnh Phúc Bắc Ninh:
Nghiêm Chỉ, 11A, THPT Yên Phong Số 2; Nguyễn Thanh Hiểu, ]I Tốn, THPT chuyên Bắc Ninh Lào Cai: Nguyễn Thu Huyền, 11 Tốn, THPT chuyên Lào Cai Pha Tho: V6 Tuấn Dững, Nguyễn
Đức Thuận, 11 Tốn, THPT chuyên Hùng Vương Hưng Yên: Triệu Ninh Ngân, l1A9, THPT Dương
Quảng Hàm, Văn Giang; 79 Minh Hiéu, 12AI,
THPT Trưng Vương, Văn Lâm; Phạm Tiến Duật,
11A1, THPT Trần Quang Khải, Khối Châu Hà
Nam: Nguyễn Bùi Nam Cường, Nguyễn Thành Uiệt,
10 Tốn, THPT chuyên Biên Hịa, TP Phủ Lý
Thanh Héa: Vii Hitu Timg, Nguyễn Văn Hưng, 11A1, THPT Hoằng Hĩa IV, Hoằng Hĩa Nghệ An:
Bui Van Bao, 11T1, THPT D6 Luong I, Đơ Lương
Ha Tinh: Nguyễn Quang Hùng, 10A1, THPT Cù
Huy Cận; Nguyễn Văn Dững, 10T1, THPT chuyên
Hà Tĩnh Quảng Bình: Hồng Nhật Tuần, 10 Tốn, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp Thừa Thiên- Huế: Tống Ngọc Chung, Phan Tran Huéng, 10 Toan 1,
THPT chuyén Quốc học Huế Quang Ngai: Luong
Hà Hồng Nguyên, 10 Tốn 2; Phạm Thiên Trang,
11 Todn 1, THPT chuyén Lé Khiét Dak Lak: Ha
Thi Huong Lan, 12A1, THPT EaSup Binh Phudée: Bui Cơng Minh, 12A; Lý Thành Trung, AKI3,
THPT chuyên Quang Trung Long An: Nguyễn Thị
My Ngoc, 10T1; Nguyén Phú Loc, 11T1, THPT chuyén Long An Bén Tre: Đã Thanh An, 12B1,
THPT Lac Long Quan, TP Bén Tre Đồng Tháp:
Huỳnh Xuân Nghĩa, IIT, THPT chuyên Nguyễn
Quang Diêu
TRÀN HỮU NAM
Bài T7/460 Tìm tát cả các giá trị của tham số
p và q sao cho với các giá trị đĩ hệ phương trình x'+yˆ+5=4ˆ°+2x—4) () ~2p)x+ y” =2py+l2p—2p°—2T (2) cĩ hai nghiệm (xị:Wị) và (xạ: y›) thỏa mãn điều kiện x? + VỀ = = x + MT
Lời giải (Theo đa số các bạn) Vì (x;y,) và
(+;:y;) là nghiệm của hệ thỏa mãn điều kiện
xƒ +yỷ =x; +y; nên thay vảo (1), ta thu được X¡ +yi t5 =4ˆ+2xị =4, (3) i +y; +5 =đ)+21;T—4y; (4) Trừ về theo về (3) và (4), ta thu được ể +2x, —4y, = —2x, +4y, = Tương ty, thay (x,;y,) va tae y;) vao (2), ta thu được x; +(12—-2p)x, +y; =2py,+12p—2p -27 (6 lệ +(12~2p)x +3; =2m,+12p~2p°)~27 fì Trừ về theo về (6) và (7), ta thu được Ta 3;) (8) lo ‘Jp << T= P Thay p=4 vào hệ đã cho, ta thu được eee =ử (9) 2.(5) Tir (5) va (8) suy ra = —cp=*% (x+2+(y-4) =9 (10) Nhận xét rằng (9) là phương trình đường trịn tâm /(1,-2) bán kính |z|, cịn (10) là phương trình đường trịn tâm J(—2,4) bán kính 3 Để hệ
(9) — (10) cĩ hai nghiệm thì hai đường trịn này
phải cắt nhau tại hai điêm hay
llgI=3l</<lzl+3© ll¿l—31I
<4(-2-1ÿ +(4+2)” <Ial+3 ©35—3<lal<3+35
Kết luận Các giá trị của tham số p và 4 sao
cho ứng với các giá trị đĩ, hệ phương trình
te +y °+5=4°`+2x-4y
x?+(12-2p)x+y? =2py+12p—2p?—27
cĩ hai nghiệm (x,.y,) và (x;,y;) thỏa mãn
điều kiện x;¿ +y; =1; +y;
là p=4 và lạle(3/5~—3,3/5 +3) F]
> Nhận xét Các bạn sau đây cĩ lời giải đúng: Bắc
Giang: Nghiêm Văn Nghĩa, IIAI, THPT Lạng Giang 3; Đồng Tháp: Nguyễn Lê Minh, 10T, THPT
chuyên Nguyễn Quang Diêu; Hà Nội: Đặng Thanh
Ting, 10A1, THPT Ung Hoa A, Nguyén Van Diing,
10A14, THPT Ngọc Tảo, Nguyễn Hải Yến, 12A1, THPT Đồng Quan, Phú Xuyên; Hà Tĩnh: Nguyễn
Văn Dững, 10T1, THPT chuyên Hà Tĩnh; Hưng
Yên: Nguyễn Mạnh Hiệp, Dương Hơng Sơn, Nguyễn
Phúc Hồng, LLA9, THPT Dương Quảng Hàm, Văn
Giang; Long An: Pham Dang Khoa, 11T2, THPT chuyên Nguyễn Binh Khiêm; Nam Dinh: Vi Quang
Định, 12A2, Lâm Vũ Tuấn, 12A1, THPT chuyên Lê
Hồng Phong; Nghệ An: Đài Văn Bảo, 11T1, THPT
Đơ Lương l; Phú Thọ: Nguyễn Đức Thuận, Lê Bảo
Anh, IIT, THPT chuyên Hùng Vương; Thái Nguyên: Nguyên Triểu Minh, 12T, THPT chuyên
TOAN HOC
Trang 24Thái Nguyên; Thanh Hĩa: Va Hữu Tùng, lIAI,
Nguyen Danh Thang, Neuyén Khai Hung, 10A5, THPT Hoang Héa
NGUYEN VAN MAU
Bai T8/460 Cho tam giac ABC co BC = a,
CA = 6, AB=c Goi R, r, p lân lượt là bán kính
đường trịn ngoại tiếp, ban kính đường tron noi
tiếp, nửa chu vỉ của tam giác đĩ Chứng mình 4b+he+ca _ 4 : cửu rang: ac Pl >— Đăng thức xáy ra khi nào? p+9Rr£ 3 Lời giải
Giả sử 7 là tâm đường trịn nội tiếp tam giác
ABC M, N là tiêp điểm của đường trịn (]) với các cạnh C4 và CB tương ứng Khi đĩ CM = CN = p—c Xét tam giác vuơng ICM © tin, ẤP =8)” _Up-cY oo ¡nh lý cé6 IC a co Sử dụng định lý cos" = 2 cơsin cho tam giác 45C ta cĩ: a?+b?—c? 4 2p(p-c) 2ab ab ` Do đĩ [C2 =(É—9)42 _aụ 42, P P Mặt khác abc =4RS,„e = 4Rpr,
suy ra !C? =ab—4Rr Tương tự ta cũng cĩ:
1B? =ae—4Rr; IA” = be—4Rr (1)
Ap dung dinh ly Leibniz cho AABC ta duge
1G = F(A? + IB? +IC°)~g (4` +b? +02) (2)
(với G la trong tam AABC) Từ (1) và (2) suy ra 1G? =F (ab+ be+ca)-4Rr-5 (a +B 402) =9Œ =3(ab+bc+ca)—36l#—(4p”—2ab—2bc—2ca) =5(ab+be+ca)—4(p? +9Rr) > 0 Từ đĩ 5(ab+be+ca)>4(p? +9Rr), dẫn đến ab+bc+ca 4 >=< (dpem) p°+9Rr n ) 1+cosC =1+ 22 Toes Sé 464 (2-2016)
Đăng thức xảy ra khi và chỉ chỉ /=Œ, hay AABC là tam giác đều F]
dụng BĐT Sciwr bậc ba hoặc sử dụng phương pháp chuẩn hĩa bất đẳng thức Những bạn sau cĩ lời giải gọn
hơn cả: Hà Nội: Phạm Ngọc Khánh, 11Tốn!, Trân Bá Khơi, 11 Tốn2, THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, Thần Nhật Quang, 11A2 Tốn, THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội; Vĩnh Phúc: Đỗ Văn Quyết, Hà Hữu Linh, 11A1,
THPT chuyên Vĩnh Phúc; Bắc Ninh: Mễ Đức Bình
Minh, 11A1, THPT Yén Phong Số 1; Phú Thọ: Dương
Gia Huy, 10 Tốn, Lê Bảo Anh, Nguyễn Đức Thuận, 11
Tốn, THPT chuyên Hùng Vương; Hưng Yên: Dương
Héng Son, Triéu Ninh Ngân, LLA9, THPT Dương Quảng
Ham, Văn Giang; Hà Nam: Phạm Quốc Thịnh, 10 Tốn,
THPT chuyên Biên Hịa; Nam Định: Trấn Minh Hiếu,
10T2, THPT chuyên Lê Hồng Phong; Nghé An: Neuwyén
Đức Bảo, Ngơ Sỹ Quân, IUAI, Nguyễn Hồng Quốc
Khanh, Neuyén Huy Himg Minh, 1LA1, THPT chuyên
Phan Bội Châu, Nguyễn Phùng Thái Cường, lIAI,
THPT Thái Hịa, Đậu Thị Khánh Linh, 11A1, THPT Đơ
Luong I; Quang Binh: Hoang Nhat Tuấn, 10 Tốn, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp; Thừa Thiên Huế: Phan
Thân Hướng, Nguyên Minh Hải, 10TI, THPT chuyên
Quốc học Huế; Đà Nẵng: Trần Đức Thanh, 11A1, Trấn
Nhân Trung, 11A2, THPT chuyên Lê Quý Đơn; Quảng Nam: ?rương Nhật Nguyên Bảo, 10/1, THPT chuyên
Nguyễn Binh Khiêm; Bình Định: Lam Bd Thịnh, 11T,
THPT chuyên Lê Quý Đơn; Phú Yên: Ngơ Lê Phương
Trinh, 11 Tốn], THPT chuyên Lương Văn Chánh; Vĩnh
Trang 25Bias pel cate _ be+l ca+l ab+l ab+bc+ca+3` tars (a+b+e))
Lại cĩ (a+b+c) > 3(ab+be+ca), dau ding
thức xảy ra khi va chi khi a= b=c
Mặt khác áp dụng bất dang thite Cauchy cho ba
ƒ >3, suy
ra: ab+bc+ca+3<S2(ab+be+ca), đăng thức
số dương, ta cĩ: ab+bc +ca > 33|(abe
xảy ra khi và chỉ khi ae Sasbac= 1 a=b=c Ta được (at+b+e) i 3(ab+be+ca) ing ab+bc+ea+3ˆ 2(ab+be+ca) 2°
Bất đẳng thức trong đầu bài được chứng minh
Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=e=1 f1
> Nhận xét 1) Từ bất đẳng thức hiển nhiên (a—by +(b-c) + +Íc - ay 20
dễ dàng suy ra (a+b+e)” >3(4b+ be+ca); đẳng
thức xảy ra khi và chỉ khi ø=b=c
2) Với x;y;z dương, áp dụng bất đăng thức Bunyakovsky cho hai dãy số thực Ripe eee, ta được bat dang thitc Schwarz 2 3 32 (lo b a P c a+b+e eee eer eye eZ S2 ae i HC E a) pe os
Các bạn sau đây cĩ bài giải tốt: Hà Tĩnh: Nguyễn Hồi Nam, 10A1, THPT Cù Huy Cận; Hưng Yên: kê Thùy Dương, 10A1, THPT Dương Quảng Hàm,
Văn Giang Quảng Nam: 7rương Nhật Nguyên Bảo, 10/1, THPT chuyên Nguyễn Binh Khiêm; Quảng Binh: Hodng Nhat Tudn, 10 Tốn, THPT chuyên V6 Nguyén Gidp; Thai Nguyén: Lé Hoang Thu Thảo, 10 Tốn, THPT chuyên Thái Nguyên, Nguyễn Thị Ngọc Lan, 10A1, THPT Lương Phú,
Phú Bình; Nam Định: Đặng Thiên Hùng, Vũ Tuấn
Trường, 10T2, THPT chuyên Lê Hồng Phong; Vĩnh
Long: Trương Ngơ Mình Bảo, 10/1, Châu Minh
Khánh, Trịnh Thể Chương, Lé Minh Quan, 10 T1,
THPT chuyén Nguyén Binh Khiém; Nghé An:
Nguyễn Việt Đức, 10A1, THPT chuyên Phan Bội Châu; Yên Bái: Hoang Ngọc Đng, 10 Tốn, THPT
chuyên Nguyễn Tất Thành: Phú Thọ: Nguyễn Sơn đăng thức xảy ra khi và chỉ khi Ý
Từng, 10 Tốn, THPT chuyên Hùng Vương: Quảng
Ngãi: Vũ Văn Tiến, 10 Tốn 1, THPT chuyên Lê
Khiết; Đồng Tháp: Nguyễn Lê Minh, 10T, THPT
Nguyễn Quang Diêu, TP Cao Lãnh
NGUYÊN ANH DŨNG
Bài T10/460 Tìm tất cả các số k nguyên chương
sao cho ton tại 2015 số nguyên dương phân biệt
thỏa mãn tơng của 2015 số này chia hết cho
tơng của k số phân biệt bất kỳ trong 2015 sĩ đĩ
Lời giải Ta thay ngay k< 2015
- Với k= 2015 thì hiển nhiên thỏa mãn
« Với È= 1 Ta chứng minh bằng quy nạp theo nrằng: Với mọi >3 luơn tồn tại z số nguyên
dương phân biệt sao cho tơng của chúng chia
hết cho bất kỳ số nào trong 7 số đĩ
Thật vậy với ø = 3 thì 3 số 1, 2, 3 thỏa mãn Giả
sử khăng định đúng với ø: tồn tại ø số n
đị,đ;, ,4, sao cho §= ai chia hét cho a; Vi=1,2,
tổng ø + 1 số này là 26 chia hết cho a,,4,, 4,
va S Vay khang dinh đúng với n + 1
„ Với 2<k<2014 Ta chứng minh khơng tồn
tại Giả sử tồn tại và giả sử ø, < @& < < đạp,
„n Xết n + Ì số: a,a,, d,,Ÿ thì
Đặt ¡ =min{đ; —á,, a, — 4.44914 ~Ayq,3} Va ip là chỉ số mà £=a, —a, j+l1 ip
Xét 2012 số a khác 2015,1,,i,.,
oe k-2 sé a; trong các số nay ching han vo, (luuy ring k<2014)
Đặt Ang, + it, + Tàn;
gst + apis
va M = BCNN(A,B) Theo giả thiét $!A,5:B nên $:M, suy ra S> (1) Lại cĩ
AB AB 5, ans +4, (đạn; +4, vị)
Sos es a aa tl T§
Chú ý rằng
đang 2 đang — đang — đang Ý đạnp‡ — đạn, +
Trang 26> đen; + †đn; +đ, >ứ tứ + +as =S — (4)
24 số
Điều này mâu thuẫn với (1)
Đáp số k= | hoặc k= 2015
> Nhận xét Chỉ cĩ 4 bạn tham gia giải bài tốn này
các bạn đêu cho đáp sơ đúng tuy nhiên lời giải chưa
chặt chẽ Lời giải ở trên là của tác giả bài tốn
DANG HUNG THANG
Bai T11/460 Tim hang so k lon nhat dé bat i aera —+—-+-+l+2#>(k+2Na+b+c+l g 5 + luon dung voi moi số thực dương a, b,c và abc = Ì đăng thức
Lời giải Giả sử k là số thực thỏa mãn bài tốn
Xét a=b=ne=-S voi neR* n Ta cĩ “tê +1+2k>(k+2) [Byes Suy n 2 yn? 41428 ra ƒ@)=“———— 2k +2 đúng với mọi |2n+-y+1 n neR* Mat khac lim f(n)=2 Do đĩ n—>0* 22k+2, suyraksO — Ta chứng minh & = 0 là sơ thỏa mãn bài tốn, tức là + 21221320 1P3em abe (a,b,c € R* ,abe =1) (1)
Khơng mắt tính tổng quát ta giả sử a>b>c
Ta cĩ: a° >abc >c) => a2) >1>cŸ
=a>1>c=(a-l)(c—1)<Ũ ©<a+c3ac+]l
=> ab+be2 abe+b=1+b
Do đĩ: Dg = teenaged a Bb «
=(ab+bc)+(ca+1)> 2.|(ab + be)(ca +1)
=2\a°be+ abc” +ab + be
=2Va+c+ab+be >2ja+c+Tl+b
Bất đẳng thức (1) đúng Vậy số & lớn nhất bằng 0
> Nhận xới Bài tốn bất đẳng thức trên hay, cĩ dùng
đên các kĩ thuật sâu sắc trong bât đăng thức Hoan nghênh các bạn học sinh lớp 10 sau tham gia và cĩ lời giải đúng: Vĩnh Phúc: Nguyễn Duy Khánh, Phùng Van
Nam, 10A1, THPT chuyên Vĩnh Phúc; Hà Nội: Nguyễn
Van Ding, 10A14, THPT Ngọc Tảo, Nguyễn Văn Cao, Đặng Thanh Tùng, 10A1, THPT Ứng Hịa A; Nam Định: Trấn Minh Hiệu, 10T2, THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP Nam Định; Thanh Hĩa: Nguyên Ba Th udn, 10A5, THPT Lương Đắc Bằng, Hoằng Thái, Hoằng
24 TỐN HỌC
! €luổi|rẻ — Số 4642-2016)
Hĩa; Nghệ An: Nguyễn Đức Báo, 10A1, THPT chuyên
Phan Bội Châu, TP Vĩnh; Quảng Ngãi: Vĩ Văn Tiên,
10T1, THPT chuyên Lê Khiết
NGUYÊN MINH ĐỨC
Bai T12/460 Cho AABC va diém D chạy trên
canh BC Goi (1,), (1,) theo thứ tự là đường
trịn nội tiệp cia cdc tam giac ABD, ACD;
(/,) theo thir tu tiép xúc với AB, BD tại E, X:
(I,) theo thứ tự tiếp xúc với AC, CD tại F, Y Al,, Al, theo thir tu cat EX, FY tai Z, T Ching
minh rang
1) X, Y, Z, T cùng thuộc một đường tron tam K
2) K chạy trên một đường thăng cơ định
Lời giải Trước hết xin phát biểu khơng chứng minh một bồ đề quen thuộc (h 1) A F N E B Cc Hinh |
Bé dé Đường trịn nội tiếp (1) của tam giác
ABC theo thứ tự tiệp xúc với 4C, 44 tại E, hK
là giao điêm của B7 và £F; N là trung điểm của
AC Khi đĩ 1) BKC=90° 2) NK =NE
Trở lại giải bài tốn T12/460 _
1) Trên tia đơi của tia BA lay diém G sao cho
Trang 27= (BX, BH)(modz) (vi(3))
=(Y, XZ)(mod nz) (vi(4))
Điêu đĩ cĩ nghĩa là X, Y, Z, 7 cùng thuộc một đường trịn Hình 2 2) Gọi M, N, P, O, R, S theo thir ty 14 trung điểm 1 của BD, CD, 1,D, ID, BI, Cl; V2 1a phép vị tự tâm Ð ti số 2 Vì J4Ð=I,2D=90°=],YD=ITD; PI,=PD;QI,=QD nén PX=PZ;QY =QT Do đĩ MX=MZ;NY=NT Theo bé đề trên, ta cĩ MX =MZ;NY=NT
Vậy, chú y ring KX =KZ;KY=KT va M,N, P, O,
R, S theo thứ tự là trung điểm của 8D, CD, I,D,
! +
1D, BỊ, CI, ta cĩ K=MPONOEV (BI) V2 (CỊ,)
1 1
=V2 (BI, OCI,)=V2 (1) ERS
Diéu đĩ cĩ nghĩa là K chạy trên một đường
thẳng cĩ định, đĩ là đường thing RS O
> Nhận xét 1) Bài tốn này khá khĩ, số bạn tham gia giải khơng nhiêu, một sơ bạn cho lời giải quá dài, chỉ cĩ bạn Phạm Ngoc Khanh, 11T1, THPT chuyén DHSP Ha
Nội khắc phục được tinh trạng phép chứng minh phụ
thuộc hình vẽ trong câu 1
2) Xin nêu tất cả các bạn: Phú Thọ: Nguyễn Tiến Long I0T, Nguyễi Đức Thuận 1IT, THPT chuyên Hùng
Vương; Vĩnh Phúc: Ha Hitu Linh, 11A1, THPT chuyén
Vĩnh Phúc; Hà Nội: Hồng Lê Nhật Tùng, 12T2, THPT
chuyên KHTH, ĐHQG Hà Nội; Thanh Hố: Vữ Đ„y
Mạnh, Đã Thu) Anh, IIT, THPT chuyên Lam Sơn;
Nghệ An: Nguyễn Đức Bảo, IUA1, Nguyễn Hồng Quốc Khanh, 11A1, THPT chuyên Phan | Boi Chau, Nguyễn Trọng Tete Bùi Văn Bảo, Nguyễn Xuân Cơng, Đậu
Thi Khanh Linh, 11T1,THPT Dé Luong I; Long An:
Pham Quốc Thăng, 11T1, THPT chuyên Long An; Da
Nẵng: Trần Nhân Trung, 11A2, THPTchuyên Lê Quý
Đơn; Cần Thơ: Nguyễn Tran Hitu Thinh; 11A1, THPT chuyên Lý Tự Trọng NGUYÊN MINH HÀ Bài L1/460 Cho mạch điện xoay chiều nhự hình vẽ Chứng mình rằng chỉ số ở ampe kế A khơng nhụ thuộc Cz, khi Z, = Z i, r—7WWWW`—¬ Haas) h op CQ : ois i G Lời giải + Khi Z4 = Z thil=0 => ung = was = - L i ZZ, - Khi Z, > Z, 1=h- b> Zyug= ee 3 Zo, ae, z Z -Z, f=h=E=.S-T=l |5 Sed 1 42 ba sở { 5; † Ou „ Khi Z4 < Z,, tương tự ta cĩ /; = S i
Vậy 1; khơng phụ thuộc C) 0
> Nhận xé Chúc mừng hai bạn cĩ lời giải đúng:
Hà Nội: Trân Hữu Hồng, IIAI Lý, THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội; Thái Bình: Ngơ Văn Khoa,
12A2, THPT Bắc Đơng Quan, H Đơng Hưng
ĐINH THỊ THÁI QUỲNH
Trang 28Bài L2/460 Mộ? gua bĩng được ném với vận
tốc vụ theo phương ngang, va chạm đàn hồi với
một mặt nghiêng gĩc œ so với phương ngang
Sau va chạm quả bĩng nảy lên, sau đĩ lại va
chạm với mặt nghiêng Tại thời điêm va chạm
lần thứ N + I,.vận tốc quả bĩng cĩ phương
vuơng gĩc với mặt nghiêng
a) Xác định gĩc œ theo N
b) Xác định khoảng cách từ điểm va chạm thứ Ì
đến điểm va chạm thứ N + 1,
Lời giải a) Phân tích ¥, theo 2 phương: v,
dọc theo mặt phẳng nghiêng: , vuơng gĩc mặt phẳng nghiéng Ta cé: vy, =v, cosy, v, =v, sing
- Doc theo mặt phẳng nghiêng vật chuyển động
với vận tốc đầu vị và gia tốc — gsinø —gsina-t
- Theo phương vuơng gĩc, vật chuyển động tuần hồn với gia tốc ø= g-cosz Thời gian
Mie EY
2v;
a
« Như vay, sau N+1 vachamthit=T-N giữa hai lần va chạm liên tiếp la: T=
Khi đĩ vận tốc bĩng vuơng gĩc với mặt phẳng nghiêng, chứng tỏ v,, = 0 hay v, = øg.sin ## : 2-vụ Sỉ => Vụ C05đ = g-Sing-N.^ 0 n4 gcosa => tana = ,|—— 2N qd) b) Khoảng cách giữa lần va chạm thứ nhất va thứ / +1 là § Ta cĩ: vỉ =2(g.sinz).S 2: 2 2 M VaCOS Œ suy ra § =—1 = 2 _ 2gsina 2gsina Từ (1) = cosz = | 2% 2N+1 2 =>S=~ cotga-cosa 2g _%, 2N wN g "2g J2N+1 gV2N+1
> Nhận xét Các bạn cĩ lời giải đúng: Nam Dinh:
Nguyễn Nam Khánh, 12 Lý, THPT chuyên Lê Hồng
Phong; Thái Bình: Ngĩ Văn Khoa, 12A2, THPT
Bắc Đơng Quan; Hà Nội: Trần Hữu Hồng, LIAI
Lý, THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội
NGUYÊN XUÂN QUANG
8Jlừng đtuân €hân
Năm Mùi đi khỏi, đến năm Thân
Làng Khi tưng bừng Hội đĩn Xuân
Khoe giỏi Khi Vàng ẩu vú! vút Dâu mơi, Mặt Đỏ ngĩ trân tran Đuơi Đài chỉ choé tranh lên ngọn Đuơi Lựn lam ngom quậy chưới sân Khi Mắc vậy tay như muốn gai Lời mừng Xuân đến bạn xa gán TOAN HOC 26 * Cluổitrẻ Số 464 (2-2016) Khi Đuơi Dài Xuân Bính Thân
LÝ VĂN TỐN (Hà Nội) Chủ giải: Trên thế giới cĩ rất nhiều lồi Khi, nhưng ở Việt Nam, Theo Trung tâm Giáo dục Thiên nhiên, cĩ Š lồi Khi: Khi Mặt đỏ, Khi —- Khi đuơi đài, Khi đuơi lợn và Khi Mốc
Trang 29aim
ĐA, rên mỗi sản phẩm (máy mĩc, thiết bị điện
hoặc điện tử, sách, thuốc chữa bệnh, thực phẩm ) hiện nay thường thay mã số và mã vạch
(viết tắt là MS&MV) như ở hình I
|ll([ll
Hình 1
Đặc tính của mã số, mã vạch
s Mỗi sản phẩm tương ứng với một và chỉ một mã số Mỗi mã số tương ứng với một và chỉ một mã vạch, như thế mỗi sản phẩm tương ứng với một và
chỉ một mã vạch
° Cĩ máy in và máy đọc dành cho các MS&MV,
Với các sản phẩm thơng thường ta thấy mã số kèm
theo mã vạch Cĩ thé đơn vị quản lí sản phẩm chi in mã vạch mà khơng in mã số, khi cho máy đọc mã
vạch sẽ hiện ra mã số
° Mét don vi quan lí sản phẩm (nhà máy, doanh nghiệp, nhả xuất bản sách, cơ sở chế biến thực phẩm, ) khi đưa sản phẩm ra thị trường muốn cĩ MS&MV thì phải đăng kí với cơ quan quản lí
MS&MV của từng quốc gia và của quốc tế
° MS&MV khong thẻ hiện chất lượng sản phẩm hay
giá cả sản phẩm, khơng thể hiện nơi sản xuất sản phẩm mà chỉ cho biết đơn vị quản lí sản phẩm đĩ
(doanh nghiệp cĩ thể cho phép sản xuất ở nước này hay nước khác cho rẻ hơn hoặc lắp ghép nhiều thiết bị được đặt hàng ở các nước khác nhau, nhà xuất bản cĩ thể in sách ở các nhà in tại các địa phương
khác nhau, )
*° Cĩ loại MS&MV với dãy số ngắn được cấp cho
từng doanh nghiệp, siêu thị để sử dụng trong một
quốc gia Cĩ thể dùng MS&MV loại này cho máy
bán hàng đọc, hiện ra khối lượng và giá cả của mặt
hàng đĩ để người bán hang thu tiền và lưu dữ liệu
tổng hợp hàng và tiền đã bán
MASS a
4 ''MẬNACH
(hán 2464 09 CÁC Sử mi
Sơ lược lịch sử xuất hiện mã số, mã vạch
Mỗi sản phẩm thường cĩ nhiều chi tiết được sản xuất ở nhiều nơi khác nhau và : rồi lắp _tap lại theo bản ve nên cần được gắn cho mỗi chỉ tiết một mã và
cho mỗi sản phẩm một mã (Code) gồm cả chữ và số
Từ năm 1948 hai người Mỹ là Norman Joseph Wooland và Bernard Silver đã cĩ ý tưởng về việc
chuyển mã số thành mã vạch để thu gọn thơng tin về sản phẩm và để máy cĩ thể đọc được chính xác loại
sản phẩm đĩ Mã vạch đầu tiên dựa theo ma Morse
gồm các vạch đài và vạch ngắn ghi trên giấy Tuy
nhiên máy đọc dùng đèn cơng suất lớn 500 wat nên
cháy giấy Đến năm 1960 viéc phat minh ra tia lazer cùng sự phát triển mạnh mẽ của mạch bán dẫn đã cho phép tạo ra máy quét và đọc được mã vạch,
Năm 1973 Wooland đã phát triển thành mã vạch
(Bar Code) tuyến tính gồm hai loại vạch: vạch đen
và vạch trắng cĩ cùng bé cao Cùng năm đĩ một tổ
chức quản lí mã vạch các hàng thực phẩm được thành lập tại Mỹ và Canada, đến năm 1984 đổi tên là Hội đồng mã thống nhất UCC (Uniform Code
Council) Hội đồng này quản lí nhiều sản phẩm
(trong đĩ cĩ thực phẩm) và dat ra MS&MV 1a UPC
(Universal Product Code) Nam 1974 siéu thi Marsh thuộc Troy, bang Ohio, nước Mỹ lần đầu tiên sử dụng sản phẩm co ma vach Nam 1992 Wooland được Tổng thống Mỹ trao tặng Huy chương Cơng
nghệ Quốc gia, tiếc răng Silver da mất từ năm 1963
Năm 1977 Hội mã sơ vật phẩm châu Âu #4W
(European Article Numbering Association) duoc thanh lập tại Châu Âu và năm 1984 tro thanh EAN Quốc té (EAN International) gồm hơn 100 thành
viên tại các quốc gia Hội này đặt ra MS&MV là EAN (European Article Number) Nam 2000 hai té chức mã vạch UCC và k4N đặt ra tiêu chuẩn chung
về mã số, mã vạch Năm 2005 tổ chức EAN-UCC
hợp nhất và đặt tên là Hệ thống tồn cầu GS1(One
Global System), hướng tới một giải pháp tồn câu
(One Global Solution) và một tiêu chuẩn tồn cầu (One Global Standard), sử dụng việc đánh số thương mại tồn cầu GTIN (Global Trade Item Numbering)
Từ năm 1995 Tổng cục Tiêu chuẩn Do lường Chất
lượng Việt Nam đã tham gia EZ4N Quốc tế Văn
phịng GS1 Việt Nam trực thuộc Viện Tiêu chuẩn
Trang 30Chất lượng Việt Nam, thuộc Tổng cục Tiêu chuẩn
Đo lường Chất lượng của Bộ Khoa học và Cơng nghệ là thành viên của G51 Quốc tế Tại Việt Nam,
GSI Việt Nam được phép cập mã số, mã vạch, tổ
chức tuyên truyền, triển khai việc sử dụng MS&MV, cung cấp các dịch vụ in, đọc, kiểm tra, lưu trữ
MS&MV, Năm 2004 Céng ty Nanosys Inc san
xuất được máy in nano cĩ thể in được vạch mảnh
véi bé day bing 10? m Nam 1992 Céng ty Denso
Wave , nay la Denso Corporation, trién khai ma hai
chiêu dạng bảng ơ vuơng, gọi là QR Code
Cơng dụng của mã số, mã vạch
° Mỗi MS&MV biểu thị một sản phẩm duy nhất và
thống nhất trên tồn thế giới (như cỡ giây, tên thực
phẩm, các loại thuốc, -) nên rất thuận tiện trong
việc trao đổi, vận chuyển hàng hĩa, kinh doanh,
tránh được sự nhằm lẫn khi mơ tả bằng chữ, số hoặc hình ảnh trên hĩa đơn
s Đánh số thương mại tồn cầu GTIN giúp cho việc
lưu trữ và tìm kiếm sản phẩm (hàng trong kho, lưu
trữ sách trong thư viện, danh mục các tranh tượng tại
Viện Bảo tàng, hiệu thuốc, .) thơng qua máy tính
được dễ dàng, nhanh chĩng
° Kết hợp máy đọc mã vạch với máy định giá cả
khiến việc bán hàng nhanh chĩng và chính xác
s Khi gặp một mặt hàng, quyền sách, tạp chí hoặc
một hộp thuốc, cần ghi nhớ, nêu cĩ một điện thoại đi động chụp được ảnh và nối mạng thì cĩ thể sử dụng phần mềm đọc mã vạch (như Đọc mã OR của
sp for you; OR Droid Code Scanner cia DroidLa ), dẫn đến đường link tra cứu trên mạng nên tìm ngay được thơng tin về xuất xứ, chất liệu, thậm chí
giá của sản phẩm đĩ
° Giúp phân biệt hàng thật với hàng giả Khi cho
máy đọc mã vạch sẽ biết là hàng giả nếu máy
chuyển mã vạch sang mã số mà khơng khớp với sơ kiểm tra trên mã vạch Nếu phát hiện hàng làm giả MS&MV thì đơn vị quản lí sản phẩm đĩ sẽ đưa ra
tịa án kiện nơi làm hàng giả vì hàng thật đã được đăng kí bản quyên Điều này cũng kích thích doanh
nghiệp sản xuất sản phẩm cĩ chất lượng hơn *® Doanh nghiệp và cá nhân cĩ thể tự tạo cho mình logo, danh thiệp với mã QR màu sắc đẹp (khi quét mã QR trên danh thiếp sẽ hiện lên đầy đủ họ tên,
điện thoại, chức vụ, nơi làm việc, ) Các loại mã số
Do hồn cảnh lịch sử nên cĩ nhiều loại mã số Mã số
EAN cĩ loại EAN-13 là dãy 13 chữ số hiện nay được hầu hết các nước sử dụng, loại E4N-§ là day 8 chit
số dành cho những sản phẩm nhỏ như bút, son
mơi, Mã số PC trước năm 2000 là dãy số cĩ 12
chữ số, sau khi #4N- UCC hợp nhất thì mã s6 UPC
được thêm chữ số 0 vào đầu bên trái và trở thành mã 28 TOAN HOC * Cjuéitre Số 464 (2-2016) số UPC-A cĩ 13 chữ số Ở Việt Nam, Z4A-VN từ năm 1995 đến tháng 2/1998 đã cấp mã số gồm 4 chữ số và từ tháng 3/1998 cấp mã SỐ gồm 5 chữ SỐ
¥ nghĩa của các mã số UPC-A gồm 13 chữ số Ay a
dz Ay Ay As Ag Az Ag Ag Aig Ay, Ay) Dh sau: đụ bằng 0
ae 1 1a danh cho nude My a; là số chỉ hệ thống;
= 2 chỉ sản phẩm bán theo khối lượng như thịt,
Bà a,=3 chi san pham y tế; m= 4 chỉ hàng bách hĩa (khơng phải lương thực, thực phẩm); ai = 5 là
các loại phiêu, vẻ; a; chỉ nhà đĩng gĩi; đãy a3 a, as
ag chi loai san pham; day ag dy ajo ai; chi gia tiền,
chẳng hạn Ag do Ayo Ay, = 1546 nghia la 15,46 $ Con
a¡; là số kiểm tra (xem giải thích cách kiểm tra hang thật ở mã E4N-13)
Ý nghĩa của các mã số EAN-13 gồm 13 chữ số au ai
đạ đa đạ đs đạ đ; đs đạ đọ đi a; như sau: ao ay đ; là
mã số được GS1 quy định cho từng nước với a từ 0
dén 8 (Xem trang web: Ma sé, ma vạch các
nước.Bảo hộ thương hiệu) VỚI ag = 9 thi ag ay az
bằng 978 chỉ ấn phẩm định kì, bảng 978 chỉ sách, bằng 979 chỉ âm nhạc, bằng 980 chỉ biên lai trả tiền, bằng 981 hoặc 982 chỉ các phiếu, vé tiền tệ, ay ay
bằng 99 chi coupon (phiéu c6 ghi gid tién)
M& s6 ao a; a2 cia mét sd nudc: 893 1a cha Viét Nam; 000 đến 009 và 139 là của Mỹ; 300 đến 379 là của Pháp; 450 đến 459 và 490 đến 499 là của Nhật;
500 đến 509 là của Anh; 690 đến 695 là của Trung
Quốc; 880 là của Hàn Quốc; 471 là của Đài Loan; 489 là của Hồng Kéng; 885 là của Thái Lan; 460 đến 469 là của LB Nga
Day 36 a3 a4 a5 a (hoặc a3 a4 as a6 a7) chi don vi
quan li san phim Day s6 ay ag dy ayo ø¡ (hoặc
g dy Gyo a; ) chi san phẩm Cịn chữ số an; là số
kiểm tra Chẳng hạn, dãy 6 số đầu trái đo đi đa đ; đ¿
as a¿ bằng 8934980 hoặc 8934994 cho biết sách của NXB Giáo dục Việt Nam; bằng 8935036 cho biết
sách của NXB Kim Đồng Việt Nam; bằng 8935018
cho biết sản phẩm của Cơng ty TNHH New Toyo
Pullpy sản xuất giấy lụa tại Việt Nam
Cách kiểm tra hàng thật của mã số EAN-13 dang ao
Qy Ay Az Ay As Ag Az Ag Ay Ay Ay) Ay Nie sau:
Gọi e= ag + đ + đa + qạ + đs + an và #=áai +4 † đ; + an + ao + at
Giải phương trình đồng dư e +3f +x =0 (mod 10) với 0 <x <9, nếu x = ai; thì đĩ là hang that, nêu khác là hàng giả Chẳng hạn xét mã số 8934602321473 Tính e=§+3+6+2+2+4=25; ƒ=9+4+0+3+1+7=24 Cĩ e +3ƒ+ x = 97 + x nên tìm duge x = 3 = ay , vậy hàng đĩ là hàng thật
Ý nghĩa của các mã số EAN-8 gồm 8 chữ số đọ đi đ¿
a3 A4 As Ag Az như sau: đọ ai đa là mã số quốc gia; a3
Trang 31Cách kiểm tra hàng thật của mã số EAN-§ như sau
Gọi € =ág† ø + a¿ + dc và ƒ= đi † đạ + đ;
Giải phương trình đồng dư 3e +ƒ+x =0 (mod 10)
với < x <9, nếu x = ø; thì đĩ là hàng thật, nếu khác là hàng giả
Cau tao ma vạch và cách chuyên mã số thành mã vạch Việc chuyển từ mã số sang mã vạch được tiến hành
theo hai bước
Bước thứ nhất là chuyển mỗi chữ số ở mã số thành
dãy các chit sb 0 va 1 Méi ma sé EAN-13 dang
đụ đị đy đa đạ As Og Ay Og Ay Ay Ay, 42 được viết thêm các chữ c¡, c;, c; thành dang c; a az a3 ay as ag C2
Ay ig Gy Myo M1 G12 C3 , trong d6 c, 1a chit dau trai, c;
là chữ đâu phải, e; là chữ ở giữa phân cach hai day 6
chữ số Mỗi chữ e¡, e; đều được biểu thị bởi dãy số
101, chữ c; được biểu thị bởi dãy số 01010 Mỗi chữ
số thập phân ø; với ¡ từ 1 đến 6 được biểu thị bởi
dãy 7 chữ số 0 và 1 theo hai loại mã hĩa L-eode và
G-code, cịn mỗi chữ số ø, với ÿ từ 7 đến 12 được biểu thị bởi day 7 chữ số 0 và I theo loại mã hĩa R- code như ở bảng 1 Chữ số øy khơng được chuyền
trực tiếp thành mã vạch, nhưng z¿ quyết định dạng
của dãy àøỳadsø¿ như thấy trong bang 1 i L-code G-code Mp yz Ay 44 Os tg R-code aL 0 0001101 0100111 LUULLLET 1110010 1 0011001 O110011 1 LLGLGG 1100110 2 0010011 60011011 2 LLGGLG 1101100 3 0111101 0100001 3 LLGGGL 1000010 4 0100011 0011101 4LGLLGG 1011100 5 0110001 0111001 3ä LGGLLG 1001110 6 0101111 0000101 6LGGGLL 1010000 7 0111011 0010001 7 LGLGLG 1000100 8 0110111 0001001 8 LGLGGL 1001000 9 0001011 0010111 9 LGGLGL 1110100 Bang | Nhận xét về các mã số trong bảng l:
* Dãy 7 chữ số của L-code và G-code đều bắt đầu từ
đầu trái bằng 0 và kết thúc ở đầu phải bằng 1, cịn
dãy 7 chữ số của R-code bắt đầu từ đầu trái bằng 1
và kết thúc ở đầu phải bằng 0
* Các mã số trong bảng 1 đều khác nhau (từ nhận
xét trên, chỉ cần kiểm tra 20 dãy 5 chữ số sắp thứ tự
mà khơng kẻ hai số nằm ở đầu trái và đầu phải của
L-code và G-code)
s Khi mã hĩa cùng một chữ số thập phân, nếu đổi
chữ số 0 và chữ số 1 cho nhau theo thứ tự từ trái sang phải trong dãy 7 chữ số của L-code thì được R-
code, các chữ sơ của G-code và R-code là đối xứng nhau, tức là khi lấy các chữ số theo thứ ty tr trai
sang phải của G-code thì được các chữ số theo thứ
tự từ phải sang trái của R-code
* Mỗi mã số 7 chữ số chứa khơng quá 4 chữ số
giống nhau mà kể nhau
Bước thứ hai là chuyền mỗi chữ số 0 và 1 đĩ thành
vạch cĩ cùng bé day (bề dày của một vạch gọi lè bề
day don vị), trong đĩ chữ số 1 biéu thị bảng một
vạch đen, chữ số 0 biểu thị bằng mộ: vạch trúng
(khơng in trên giấy) sao cho hai chữ số kẻ sau Biêu thị bởi hai vạch liền nhau khơng cĩ khoảng trùng ngăn cách Chẳng hạn, đãy 11 biểu thị bởi vạch đeo
cĩ bề dày hai đơn vị, hoặc đãy 000 biểu thị bởi vạch
trống cĩ bề đảy ba đơn vị) Từ nhận xét trên t2 t2
các vạch đen kể nhau hoặc các vạch trống kể nhau
khơng dày quá 4 lần bề dày đơn vị,
Các vạch của các chữ số thập phân đều cĩ cùng chiều cao, riêng mã vạch của c¡ , c„ c; dai hon vẻ phía dưới (xem hình 1) để biết c¡ là hai vạch den bat
đầu, œ; là hai vạch đen kết thúc của một mã vạch và ¢> la hai vạch đen và ba vạch trống phân cách hai
dãy 6 số thập phân
Thí dụ: Chuyển mã số 4003994155486 Sang dãy số
0 và 1 thành c¡003994 c;155486 c;, rơi chuyển
thành mã vạch theo quy ước ở bảng I, trong đĩ do
aạ = 4 nên dãy 003994 được mã hĩa theo L-code và G-code thành dạng L G L L G G như ở hình 2, cịn
mỗi chữ số trong dãy 155486 được mã hĩa theo R-
code Dải băng nằm ngang chỉ ra sự chuyển mỗi chữ số thập phân thành các vạch theo bang 1
010 0 3 9 9 401 5 5 4i 8 6ữ
aa TATA Hinh2
Khi máy quét để đọc mã vạch (khơng kèm mã sĩ),
trong thí dụ trên, từ dạng LGLLGG máy cho biết
ngay aạ = 4, dù øạ =4 khơng được mã hĩa thành vạch Mã hai chiều cĩ dạng bảng ơ vuơng như ở hình 3,
gọi là QR Code (Quiek Response Code, nghĩa là mã
đáp ứng nhanh) với diện tích nhỏ hơn, ghỉ được
nhiều thơng tin (cả chữ và chữ số), cĩ tốc độ giải mã
nhanh và cĩ khả năng phục hồi khi mã bị mờ một ít
Trang 32
TF rong dé thi THPT Quéc Gia, câu giải
phuong trinh, bat phuong trinh, hé phuong trình thường khĩ trong việc định hướng phương pháp giải Trước đây, khi giải tốn chung ta thường tránh việc đưa về phương trình bậc cao vì cách giải quá khĩ hoặc khơng cĩ phương pháp giải tơng quát Tuy nhiên với sự giúp đỡ của máy
tính cầm tay (MTCT) bằng việc tìm được các
nghiệm gân đúng của phương trình cĩ thé giúp chúng ta định hướng một cách dễ dàng khi giải
phương trình bậc cao, đặc biệt là bậc chin Phương pháp
Nhắc lại định lý Viète cho phương trình bậc 4
Cho phương trình: œÊ +hể +eÈ +ải+e=0(a#0)
Gọi x,,x;,x;.x, là các nghiệm của phương
trình trên, theo định lý Viète ta cĩ:
b
5, +8, =x, +", +x, +X, =
ớ h-B = xi1: ==:
Ding MTCT tim 2 nghiệm hoặc 3 nghiệm (bằng cách nhập biểu thức về trái của phương trình và dùng hai phím SHIFT SOLVE) Sau đĩ, ta tính tổng và tích 2 nghiệm trong sơ đĩ rồi dùng định lý Viète đảo đưa về tam thức bậc hai,
từ đĩ suy ra tam thức bậc hai cịn lại, và ta bs
kết quả như sau ax”+bx` +ex”+đv+e=0 a(x’ -S,x+P)\(x -S,x+B)=0 Thí dụ 1 Giai phwong trinh 21x* —43x° —45x7 +54x+8=0 Nháp: Nhập biểu thức và bắm SHIFT SOLVE ta dị được 3 nghiệm là 4=-0,135041612, B=-1,221404919, C =2,468374946 Kiểm tra bằng máy tính ta thấy: 1 1 PF = ANCE oz va S, =AtC=z Theo định lý Viète: TOAN HOC 30 ' €Tuổi|rc _ Số 464-2016)
GIAI PHUCNG TRINH BAC BON
Hcy re en BAT LNG TaN HEL TAN
TRONG Ki THI THPT QUOC GIA VŨ NGUYÊN DUY (GV THPT chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang) 43 4-7 2 nh HC Sag ng 8 a oe Egg | ray (3) 7
Lời giải Phương trình ban đầu tương đương
sie Syl gee ge h(t eet Sl
VỚI: 2l(z 37 ac tae J9
Từ đĩ, ta được tìm được bốn nghiệm của
phương trình là ¬ ae
Tuy nhiên, khơng phải lúc nào phương trình cũng cĩ nghiệm mà tơng và tích của chúng đêu
là số hữu tỷ, cĩ thể là số vơ tỷ nhưng MTCT
khơng hiên thị biêu thức chứa căn được khi
ding chire nang SHIFT SOLVE, luc nay ta phải dùng MTCT đị tìm các chữ sơ thập phân sau
dấu phẩy của các số J2, J3, V5 Thí dụ 2 Giải phương trình x*+4x`+3x”—l2x—l6 =0 Nháp: Dùng máy tính bỏ túi dị được 2 nghiệm là -1,458692994 và 1, 694760971 Nhận xét: $,=—1,458692994 + 1,694760971 ; =0,236067977
Kết quả trên khơng phải là số hữu tỷ, nên ta dị
Trang 33Lời giải Ta cĩ: x* + 4x° +3x? -12x-16=0 > (x?- (V5 -2)x+2-2N5) x(x? +(24+V5)x+2+2V5) Vậy phương trình ban đầu cĩ 2 nghiệm là v5—2+Al4N5 —I1 2 A
Trong kỳ thi Đại học năm 2013, dé khối D cĩ
bài giải phương trình lơgarit gây khơng ít khĩ khăn cho các thí sinh, thậm chí khơng giải
0
được vì nếu đặt ẩm phụ t=+x|x sẽ đưa về phương trình bậc bỗn khơng cĩ nghiệm hữu tỉ
Thí dụ 3 (Đại học khối D năm 2013) Giải
phương trình
2log, x+log,(I—vx)=—log „(x—2ýx +2)
mile
Lời giải Điều kiện xác định: 0<x<l
Phương trình ban đầu tương đương với x? =(1-Vx)(x-2Vx +2) Dat f= vx, 0<£<l], ta được phương trình: “+230 +41-2=0 (*) PT (*) tương đương với phương trình (?+2~2)(P =t+ 1) =0 ©r=-I+3 (0</<1) Vậy phương trình ban đầu cĩ một nghiệm là x=f =4-2)3, Lời bàn Tù phương trình (*) dị được 2 nghiệm là 0,7320508076 và -2,732050808 Ta cĩ: 0,7320508076 + (—2,732050808) = —2 0,7320508076 x (—2,732050808) = —2 +0 -3? +41-2=(P +21-2)(P -St+B) 8+8; =—1=8 =~—1—(-2)=1 PP G5 8 sĩ; Do dé z “+ ~3P+4i—2=(P +2~2)( +1)
Áp dụng vào giải bất phương trình
Thi du 4, (Dé minh hoa kỳ thị THPT Quốc gia)
Giải bắt phương trình sau:
ea LÊ > 2)
VX +X+Đ3^~¿2Vv34X T-2x—^
Trang 34Ap dụng trong giải hệ phương trình Thí dụ 5 (Dé thi thir cu lanh Hĩa) Giải hệ phương trình: = 31x (1) 2xv1—x “} 0_-4y =2x +ốy (2) ; 3 3 Lời giải Điều kiện xác định: x<Ï; To ays: 2 (1) @ 2y? + p=-2xV1-x4+3V1-x © 2y+y=2(1-x)Vl—-x+V1-x (3) Xéthàm f()=2° +4 /#)=6+I>0V/elR nén f(t) dong bién trên R Vi vậy, (3) œ /(œ)= /(VI—>x) 2 y=vil-x ce fas Thay vao (2) taduoe V4x+5 =2x° —6x-1 cies => V y =l-x x —6x° +82x7 +2x-1=0 2x? -6x-120 - lz-ae -4x+1)=0 x=1- 2 “ng Kết hợp với điều kiện ban đầu ta được x=l—2 Vậy hệ cĩ 2 nghiệm (x; y) là (1-V3;42), (1-V;-#2)
Thử với phương trình bậc cao hon
Thí dụ 6 (Ky thi THPT Quoc gia 2015) Giải phương trình x +2x-8 — “—>—~=(x+l)|*x+2—2]: x? —2x+3 Lời giải Điều kiện xác định: x > ae (x—2)(x +4) PTS — "= (+ 1) pug Ta _~ x=2 ¬ (%+2(dx+2+2}=@+l)@2~2x+3) () TỐN HỌC 32 “clusie Số4ø4@-zme q Trưởng THPT Trản ()©Œ&+4Ÿx+2=z°—x?—x—=5
Với điều kiện x>-2 thì x+4>0 Do đĩ phương trình này tương đương với x—x*-x-520 (aa ~—x'—9x7 +37 -22x-7=0 (2) x -x?-x-520 Pecan any +x°+3x? +x47)=0° Nhận xét: x'+x +x?>0 Vx, 2x ”+x+7>0Vx nén x7 +x°+3x7+x+7>0 Do dé x'—x?—x-5>0 ao ex-3+2 x°-3x-1=0 2
(thỏa điều kiện ban đầu)
Vậy phương trình ban đầu cĩ 2 nghiệm là 34+V13 x=2;x= Chú ý: Ta dị được 2 nghiệm của (2) là A=-0,3027756377, B =3,302775638 và A+B=3, AB=-1
Qua các thí dụ trên chúng ta thấy với cách giải đưa vé tìm nghiệm phương trình bậc bốn hoặc
bậc cao hơn fwy khơng phải là một phương
pháp hay, thậm chí cơng kênh nang vé tinh tốn, dễ sai nhưng nhờ vào MTCT, nĩ trở thành
Trang 35
[ Định lí Brocard, Cho we gide ABCD néi tiến
đường trịn (0O) cĩ M=ABDC, N=ADnBC,
E=ACnOBD Khi đĩ O là trực tâm AMNE
Chứng mỉnh (h.1)
Hình I
Cách 1 Gọi P, Q tương ứng là giao điểm của NE với AB va CD Theo tính chất của hình tứ giác tồn phần
ta cĩ: (MPAB)= (MODC)=~—1 Do đĩ M liên hợp
với P, O Suy ra PO là đường đối cực của điểm A7
đối với đường trịn (Ø), hay OM L NE
Tương tự ON L ME Vậy O là trực tâm tam giác A#NE
Cách 2 Gọi K là giao điểm thứ hai của đường trịn ngoại tiếp các tam giác ABE,CDE Ta thấy K,E,M thẳng hàng vì cùng nằm trên trục đẳng
phương của hai đường trịn (ABE),(CDE)
Do (KB,KC)=(KB,KE)+(KE,KC) =(AB,AE)+(DE,DC)
=(OB,OC) (mod) nên tứ giác OKBC nội tiếp
Tương tự, tứ giác OKAD cũng nội tiếp Suy ra K cũng chính là giao điểm thứ hai khác Ø của hai duong tron (OBC), (OAD) Do dé ba digém O,K,N thẳng hàng vì cùng nằm trên trục đẳng phương của
hai đường trịn (OBC),(OAD)
iIGUYEN TRUONG SON
'Lương Van Tuy, Ninh Binh)
Mặt khác (KM,KN)= (KM, KB)+(KB, KN)
=(AE, AB) +(CB,CO) = (DC, DB) +(CB,CO)=* (mod)
Do dé MELON Chimg minh tvong ty, ta cĩ NE 1OM hay E là trực tâm cua tam gidc OMN
va OE 1 MN (dpem)
II Một số thí dụ áp dụng
Thi dy 1 Cho tam giác khơng cản ABC, Rie, sy lăn lượt là hình chiêu của các điểm A, B, C trên các đường thăng BC, CA, 4B A B, ( ; lân lượt là giao diém cua các cặp đường thăng BC và BC, AC và A,C, 4B và A,B, D, E, F lần lượt là trung điểm cua các cạnh BC, CA, AB Chứng mình rằng các
đường vuơng gúc hạ từ D, E, F lần heot XHƠNG Các
đương thang AA,,BB,.CC, dong qu
Tài giải (h.2) Gọi Hƒ là trực tâm tam giác 4BC
4; BA, D
Hinh 2
Dễ thấy 7 chính là tâm của đường trịn ngoại tiếp tứ giác BCB,C, Theo định lí Brocard ta cĩ DH | AA,
Tương tự EHW.LBB,,FH LCC, Vậy các đường
vuơng gĩc hạ từ D, E, Ƒ lần lượt xuống các đường thăng A4,,BB,,CC, đồng quy
Trang 36Thí dụ 2 Cho (am giác 4BC 1M là trung điểm BC H là trực tâm tam giác ABC I la giao diém cua AM
với cung BC chứa H của đường trịn (HBC) Chứng AM minh rang HI Lời giải (h.3) Hình 3
Gọi 4D, BE, CF là ba đường cao của tam giác 45C
G là giao điểm của EF với BC GH cắt AM tại K
Theo định lí Brocard, Ä⁄ là trực tâm tam giác AHG,
Do đĩ GK L AM Khi đĩ K thuộc đường trịn ngoại
tiếp tứ giác 4FHE Từ đĩ GH.GK =GE.GF =GB.GC Vậy K thuộc đường tron ngoai tiép tam gide HBC Suy ra K = I Do dé HI L AM (dpem) Thi dụ 3 Cho /ứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (0) cĩ M=ABDC, N=ADn¬BC, E= AC ¬BD
Goi V là giao điểm thứ hai của hai đường trỏn ngoại
tiếp các tam giác DCN và BRCM Chứng mình răng O E, V thang hang Lời giải (h.4) Hình 4 Các tứ giác CDVN, CBVM nội tiếp nên (VM,VN)=(VM,VC)+(VC,VN) =(BM,BC)+(DC.DN)=0(modr), TOAN HOC 34 ' €Tuốilrc — Số 464-2016) suy ra ba điểm M, V, N thang hàng Lại cĩ: (VB,VD)=(VB,VN)+(VN,VM)+(VM,VD) =2(CB,CD) =(OB,OD)(mod 7)
Vậy tứ giác DOBV nội tiếp Suy ra
DVO = DBO =ODB = OVB= OV L MN
Theo định lí Brocard thì: OE 1 MN Từ đĩ ta thấy
ba điểm Ø, E, V thăng hàng (đpem)
Nhận xét
+ Nếu Ƒ là hình chiếu của O trén MN thi OV sé la
phân giác của BVD
+ Ƒ thuộc cả bến đường trịn ngoại tiếp các tam
giác (MAD), (MBC), (NAB), (NDC) Điểm V là một điểm Miquel của tứ giác tồn phan ABCDMN
Thi dy 4 Cho H la trực tâm tam giác ABC khơng
cân, gĩc Á nhọn Hình chiêu vuơng gĩc của H lên
các cạnh 4B,
điểm của BC P O là giao điểm của hai đường trịn £ 8
{C theo thứ tự là E, F D là trung đường kính AD, BC Ching minh rang H, P, Q
thang hang va BC, EF, PQ dong qu Lời giải (h.5)
Hình 5
Gọi S là chân đường vuơng gĩc hạ từ 4 xuống BC
Vì HA.HS=HB.HF nên H thuộc trục đăng phương
của hai đường trịn đường kính 4D và 8C Từ dé H,
PO thăng hàng, suy ra P@QLAD Gọi 7 là giao
điểm cia EF voi BC Theo định lí Brocard ta cĩ:
IH LAD =I, P, H, Q thing hang, hay BC, EF, PO
đồng quy (đpcm)
Thí dụ 5 Cho tam giác ABC khơng cân D là chân đường cao hạ từ A xuống BC E năm trên đoạn AD sao
cho EBA = ECA Ching mình E là trực tám A ABC
Trang 37
Hình 6
Gọi Ƒ là giao điểm của 8E với AC, M là giao điểm của CE với 4B, N là giao điểm của A⁄ với BC Vi
BA = ECA nên tứ giác BCFM nội tiếp đường trịn
tam O Theo định lí Brocard cĩ AE.LON=AD LON Lại cĩ AD.LBC—=OeBC Khi đĩ OB=OC= O là
trung điểm đoạn #C Từ đĩ E là trực tâm A ABC
Thí dụ 6 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tron (QO) cĩ M=ABDC N=ADnBC, E=ACABD
Từ N kẻ các tiếp tuyến NU, NỮ tới (O) (U, E là các
tiện điêm) Chứng mình răng M, E U, V thăng hàng
Lời giải (h.7)
Hình 7
Cách 1 Gọi ï là giao điểm thứ hai của hai đường tron (BMC) va (DNC), K là giao điểm của AE và ØN Theo định lí Brocard cĩ: ON L ME Khi đĩ OM? +ON? — MN? Se Lai cé OM? — R? + NO? = R? =Pyyo, + Prgo) = NC.NB + MC.MD = NI.NM + MI.MN = MN? OM? + ON? —-MN? 2 ON.OK = OM.ON = Sho =>ON.OK =R’
Gọi K’ 1a giao diém cia ON véi Ul Khi 46
ONOK'=0U?=R*—K=K' Điều này din đến
À4 E, U, V thắng hàng
Cách 2 Gọi T và T" là giao điểm của UƑ với 4C và
BD Dé thay các tứ giác AUDV, UCVB là các tử giác điều hịa Do đĩ (UVTM)=(UVTM)=-I—=T=T =E
Thí dụ 7 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn
M, N lan lwot là trung điêm của các đoạn CD, 4B P
PD BD
nằm trên đoạn thẳng CD sao cho BE“ Ela
giao điêm của AC vé BD H la hinh chiéu cua E trén
PN Chứng mình răng các đường trịn ngoại tiếp
tam giác [MP và EDC tiếp xúc với nhau
Lời giải (h.8)
Nhận xét Ì Cho tam giác 4BC khơng cân, 4Ƒ là
đường đối trung của tam giác 4BC E là trung điểm của đoạn 8C Khi đĩ đường trịn ngoại tiếp các tam giác ABC và AEƑ' tiếp xúc với nhau
Nhận xét 2 Cho tam giác 4BC cĩ đường đối trung AP Một đường trịn (Ø) qua B, € cắt 4B, AC lần
lượt tại D, E Khi đĩ 4P đi qua trung điểm của DE
Bạn đọc tự chứng minh hai nhận xét này
Hình §
Trở lại bài tốn trên Gọi Ĩ là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác 4C X là giao điểm của 4Ð và 8C; Y
là giao điểm của 4B và CD; Z là giao điểm thứ hai
của hai đường trịn ngoại tiếp các tam giác 4BE và CDE Dé thay ba điểm Z, Y, Z thắng hàng
Vì (ZA,ZD) =(ZA,ZE)+(ZE.ZD)
=(BA,BD)+ (CE,CD)=(OA,OD)(modr), nên tứ giác
ADOZ nội tiếp đường trịn Khi đĩ
(Z0,ZY)=(Z0.ZD)+(ZD.ZY) =(AO,AD)+(ZD,ZE)
=(AO,AD)+(CD,CE) =5 (mod R)
Trang 38Suy ra ĨO, M N, Y, Z cùng nằm trên đường trịn
đường kính ĨY, Theo định lí Brocard, ta cĩ: O la
trực tâm tam giác EXY Vì ØZŸ =90° nên ba điểm
Ĩ, X, Z thẳng hàng
PD _ BD? _ XD?
Ta cĩ PC “AC “AC: trung cua AXCD
Theo nhận xét 2, P nim trén đường thing NX
Vì E, H, X, Z nằm trên một đường trịn và #7 là trực
tâm tam giác OXY nên XHZ = XEZ=YOZ=YMZ
Suy ra Z thuộc đường trịn ngoại tiếp A HMP Vì Z là tâm của phép quay biến 4C thành 8D nên
PD _ BD? _ ZD?
PC AC? ZC?
trong AZCD
Từ nhận xét 1 ta thay đường trịn ngoại tiếp tứ giác
HMPZ tiếp xúc với đường trịn ngoại tiếp tứ giác
EDCZ tai Z Điều phải chứng minh
Thí dụ 8 (IMO Shortlist 2005) Cho tam gidc ABC
nhọn khơng cán nội tiêệp dang tron (O) co truc tam Do đĩ XP là đường đối Do đĩ ZP là đường đối trung H M là trung điêm của BC Gọi D, E năm trên AB {C sao cho AE iD và D, H F HM vuơng gĩc với dây cung thăng hàng Ching minh rdng
hung của hai đường trịn (O) và (ADE)
Loi giải (h.9) Gọi Ƒ là giao điểm thứ hai của đường
trịn (đ) và đường trịn đường kính 417
Hình 9
Gọi Œ=CH ¬AB,K =BH ¬AC Dễ thấy M F
thẳng hàng và #M L AF Do GDH =KEH (Do tam
giác 4DE cân), DGH = EKH =90° nên GHD = KHE
Suy ra HD là phân giác của gĩc GHB Khi đĩ: DG _ HG _ HK _ EK DG _ BD _ BG BD HB HC EC EK EC CK @) TOAN HOC 36 * chusifre _Sé 4642-2016) SS GS LS ee Lại cĩ FGA=FKA—=FGB=FKC và FBA = FCK BG _FG CKTFK @) DG _FG_.GD_KE nên AFGB œ AFKC (g.g)= Từ (1), (2) cĩ: EK FK GF KF’ Điều này dẫn téi AFGD AFKE —> FDA =FEA Khi đĩ tứ
giác FDEA nội tiếp Điều này suy ra F4 là dây cung
chung của hai đường trịn (Ĩ) và (4D#)
Thi du 9 Cho nr giac ABCD noi tiép đường trịn la giao diém cua AC voi BD P là diém bat kì nằm trong tứ giác ABCD, X, Y, Z, T lan lwot la đường tron (ABP), (BCP), (CDP), (DAP) Chứng mình rằng XZ, YT, OE đồng quy tam O E tâm các Lời giải (h.10)
Gọi Ƒ là giao điểm thứ hai của hai đường trịn (),
(7) G là giao điểm thứ hai của hai đường trịn (X) và
(2) Khi đĩ PF, PG lần lượt là trục đăng phương của
các cặp đường trịn ((Y), (7)) và ((V), (Z)) Ta cĩ
XZ, YT lần lượt là các đường trung trực của các đoạn PG,PF Goi H là giao điểm của XZ và Y7: Khi đĩ tam giác PƑG nội tiếp đường trịn (7)
Gọi R= ABCD; Q= AD BC
Theo định lí Brocard thì ỞØ là trực tâm tam giác
ERQ Khi đĩ OE L RO (@)
Vì RA.RB=RD.RC nên R thuộc trục đẳng phương
của hai đường tron (X), (Z) Suy ra R, P, G thing
hàng và RA.RB=RP.RG Vậy R thuộc trục đẳng
Trang 39PROBLEMS co (Tiép theo trang 17)
Problem T9/464 Find positive integers x, y
such that x° +y° =x +12xy+y? TOWARDS MATHEMATICAL OLYMPIAD 110/464 Given » real numbers ,,), ,4, (n> 3) satisfying Problem
at+a)+ ta,2n and a +a,+ ta@2n Prove that max(4,, đ;, , đ„) > 2
Problem Ti1/464 Consider the following
sequence of real numbers (a, ): a,20 ay, =10"a?, n>1 cP Tương tự Ø thuộc trục đẳng phương của hai đường trịn (Ĩ) và (H) Do đĩ OR chính là trục đăng phương của hai đường tron (QO) va (A) Vậy OH 1 RO (2)
Từ (1) va (2) suy ra O, H, E thang hang Tire là
XZ, YT, OE đồng quy (đpem)
IH Một sơ bài tập tự luyện
1 Cho tứ giác 48ŒD nội tiếp đường tron (0) E
là giao điểm của 4C và BD, Ƒ là giao điểm của
AB va CD Duong thing EF cat bén đường trịn (EBC), (EAD), (FBC), (FAD) lần lượt tai G, H, P, Q Chứng minh rằng ØW = Øữ, OP=O0
2 Cho A.4BC vuơng tại C, D là hình chiếu của C lên AB X là điểm trên đoạn CD K là điểm
trên đoạn AX sao cho BK = BC Tương tự, U là
điểm trên đoạn 8X sao cho AL= AC Đường
trịn (DKU) cắt đường thắng 4Z tại điểm thứ hai
T Chứng minh rằng ACT = BCT
3 Cho Ấ ABC Dựng phía ngồi A.4BSC các
AAPB, AACO can tai A sao cho BAP=CAQ
Find all possible values for a, so that lima =0
Problem T12/464 Given an acute triangle
ABC Let E and F respectively be the
perpendicular projections of B and C on AC and AB Let J and J respectively be the excenters of
the excircles relative to the vertices F and E of the triangles AFC and AEB Assume that BJ
intersects CI at K Choose Q on the
circumeircle of the triangle BKC such that
AOK =90° Prove that 4O, BI, and C7 are
concurrent
Translated by NGUYEN PHU HOANG LAN
(College of Science-Vietnam National University, Hanoi)
R la giao diém cia BO va CP O la tam duong tron (BRC) Chimg minh rang AO 1 PO
4 Cho đường trịn tâm Ø và một điểm E cố
định nằm trong đường trịn đĩ Qua E vẽ hai
dây cung thay đổi AC và BC Gọi P=ADOBC;Q=ABOCD Vẽ đường trịn
đường kính PØ cắt (Ơ) tại hai điểm M, N Chứng mỉnh rằng khi hai dây cung thay đổi
quanh £ thì tâm đường trịn ngoại tiép AOMN
luơn nằm trên một đường thăng cố định
5 (Trai hé Hing Vương lần XI - Khối 11 năm 2015) Cho A.4BC nhọn (4B < AC) nội
tiếp đường trịn (Ø) Các đường cao BE, CF cat
nhau tại # (E e AC,F e AB) Đường thắng EƑ
cắt BC tại Œ Lấy điểm 7 trên (Ø) sao cho
ATH =90° Đường trịn ngoại tiếp A G7O cắt
FF tai K (K khác Œ) Chứng minh rằng: a) Ba điểm G, 7, A thang hàng
b) OK LAT
Trang 40TIENG ANH QUA CAC BÀI TỐN
| Ấ£)w=#()>0
c-ä 2
This is a contradiction
For the case c=0 and the case c=1, we can
) 3 handle similarly but instead using the Solution Suppose that there exists a point neighborhood [c-8,c+8] we use the
ce[0,1] such that f(c)>0 First, we consider neighborhood [0,8] and the neighborhood
the case ce(0,1) By the continuity of the [1-8,1] respectively (q.e.d.)
function f(x), there exists a number TỪ VỰNG >0 such that
Problem Let f(x) be a non-negative continuous
function on the closed interval [0,1] such that [rear >
0
1
[fear =0 Prove that f(x)=0 Vx €[0,1]
continuous : liên tục (tính từ)
Lƒ(x)—ƒ@)k< FÁO) Vxe[e—ð,e+ð] continuity : liên tục (danh từ)
2 closed interval : khoang dong
Furthermore, we can make 6 smaller so that furthermore : hơn nữa
[c—ð,c+ð][0,1] In particular, we have contradiction : mâu thuẫn
handle : xử lý
; a ý
ƒ()> ƒ() = = oe >0 instead : thay vi
for every x 6 [e—8,c+8]<[0,1] Now from the os A im ` :
a tung NGUYÊN PHỤ HỒNG LÀN
non-negativity of f(x), we have (Trường ĐHKHTN, ĐHỌG Hà Nội)
Hạn gửi bài dịch: Muơn nhất là hai tháng sau khi đăng bài
Bài tốn Cho 2 số nguyên dương d và n Cĩ bao nhiêu cách cĩ thể viết d dưới dụng tơng của một dãy gồm n sơ tự nhiên?
Chủ ý Chứng ta dùng từ “dầy” nghĩa là thứ tự của các số hạng được tính đến
Lov giai Ching ta sẽ dùng lập luận mang tên z„gồi sao và vách ngăn, một lập luận đã được biết đến trong tổ hợp Gọi mỗi một cách việt Z dưới dạng tơng của một dãy gồm ø số tự nhiên là một ø-phân tích của đ Chúng ta hình dung mỗi một n-phân tích đ = i, + iy + + i, theo cách sau: Trong một hàng ngang gồm ¿ ngơi sao, ta chèn l vách ngăn vào giữa hai ngơi sao thir i), i¡+I; chèn 1 vách ngăn vào giữa hai ngơi sao thứ i¡+j›, lịtis+1; ; và chèn 1 vách ngăn vào giữa hai ngơi sao thir ij+ .+ i„, j¡ + + „¡+1 (tổng cộng cĩ ø-1 vách ngăn) VÍ dụ, với đ= 3,n = 3, 3 - phân tích 3 = 1 + 0 + 2 nương ứng với * | | * *, 3 - phân tích 3 = 2 + 0+ 1 tương ứng với * * | | *, và 3 - phân tích 3 = 0+ 0 +3 tương ứng với | | * * *, Nĩi một cách khác, việc xây dựng một z-phân tích của đ tương đương với việc chọn ø-1 vị trí trong đ + (w — 1) vị trí để đặt các vách ngăn Do
đĩ, số các ø-phân tích của đ bằng Ce i
Nhận xét Các bạn sau cĩ lời dịch tốt:
Vĩnh Phúc: Lê Đức Thái, 8A2, THCS Yên Lạc, Yên Lạc; Yên Bái: /ồng Ngọc Dãng, 10 Tốn, THPT
chuyên Nguyễn Tắt Thành, TP.Yên Bái; Hà Nội: Nguyễn Hải Yến, 12A1, THPT Đồng Quan, Phú Xuyên;
Hưng Yên: Nguyên Việt Đức, 11A9, THPT Duong Quang Ham, Van Giang; Da Ning: Tran Nhân Trung,
11A2, THPT chuyên Lê Quý Đơn, TP Đà Nẵng
LÊ MAI (Hà Nội)