Bộ sưu tập TC Toán học và Tuổi trẻ từ năm 1978 đến nay ... Các tuyển tập sẽ không được đưa lên vì nhiều website đã có. ... Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác
Trang 2hittps:/Avww.facebook.com/letrungkienmath hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath
TỐN HOC VA TUOI TRE
MATHEMATICS AND YOUTH MUC LUC Trang
& Dành cho các bạn Trung học Cơ sở Tổng biên tập : For lower Secondary School Level Friends i
Pham Thanh Luan ~ Tit mot bai toan etree caer nota
đơn giản về hình vuơng, 1 Phĩ tổng biên tập : © Gidi bai kì trước NGƠ DẠT TỨ
Solution of Problems in Previous issue HOANG CHUNG Các bài của số 208 3
© Dé ra ki nay :
Problem in this Issue 10 HOI DONG BIEN TAP :
Dé thi hoc sinh giỏi lớp 9 của Hải Phịn, ul 2
© đc Di nại hà, 2b CC ø Nguyễn Cảnh Tồn, Hồng & Phạm Bảo ~ Phương pháp véctơ 12 Chúng, Ngơ Đạt Tứ, Lê Khác & Tìm hiểu sâu thêm tốn học phổ thơng Bao, Nguyễn Huy Đoan, To help Young Friends Gain Better Nguyén Viet Hai, Dinh Understanding in Secondary School Maths Quang Hảo, Nguyễn Xuân
Ngõ Thành Long = Từ một bất đẳng thức Huy, Phan Huy Khải, Vũ
tích phân 2 ‘Thanh Khiét, Le Hai Khoi,
© Nguyén Canh Toan ~ Déng quy va Nguyễn Văn Mậu, Hồng Lê
khơng đồng quy Bia 3 Minh, Nguyễn Khác Minh,
® Giải trí tốn học Ƒ Ps Bìa 4 Trấn Văn Nhung, Nguyễn Dang Phat, Phan Thanh Tran Viet Hing răn Việt Hùng ~ Thay chit bang ay mn Bie 86 Quang, Tạ Hồng Quảng, , Đăng Hùng Tháng, Vũ Dương Thụy, Trần Thành Trai, Lê Bá Khánh Trình, Ngơ Việt Trung, Đặng Quan Viễn Anh bia Hoc sinh trưởng 7WCS Jrấn 2ú - Hải Phong trong gi Tinhoc
Tru sd toa soan :
Trang 3hittps://Awww.facebook.com/letrungkienmath hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath Dành cho các bạn Trung học cơ sở
TỪ MỘT BÀI TỐN ĐƠN GIẢN
VỀ HÌNH VUƠNG
cách suy nghỉ thì từ một bài tốn đơn giản, chúng ta cơ thể đạt ra nhiều bài tốn
khá phong phú Xin lấy thí dụ từ bài tốn khá đơn giản sau đây
PHAM THANH LUAN TP Hồ Chí Minh Cach 2 - Dựng CC, // HF (C, trén AD) va DD, // EG (D, tren AB), A AD,D = ADC,C (hinh 2) Hinh 1
Bài tốn 1 ~ Cho hinh vudng ABCD Lay
một điểm M bat ki trong hinh vuéng dé, Duong
thằng d, qua M cát AB tại E, cắt CD tại G, dường thẳng d, qua M vudng gĩc uới d, cắt BC tại E, cát AD tai H Chitng minh rang EG = FH Bài tốn cĩ nhiều cách giải Sau đậy là ý chÍnh của 2 cách Cách 1 - Ha ES 1 CD vA FT 1 AD AESG = AFTH (cge) (hinh 1) ` Hình 3 Hình 3 Xét bài tốn với một số nị /rí đạc biệt của điểm M
1) Khi M = O (tâm hình vuơng), ta cĩ :
Trang 4hittps:/Avww facebook.com/letrungkienmath
2) Néu M =I, trung điểm của BC, và đường thang d, qua A thi F = I va H = A Ta dat được bài tốn 8
Bài tốn 3~ Dựng hình uuơng ABCD biết đỉnh A uờ trung diểm M của BC
Gợi ý giải : Qua M dung d, L AM Trên d, dựng ME = MG = AM/2 Hạ MB 4 AE (hinh 4)
3) Nếu M là một điểm bất kì J trên cạnh BC và đường thang d, qua A thi F = J và H E Ta dat được các bài tốn 4 và õ
Bài tốn 4 - Cho hình suơng ABCD uà điểm M bất Rì thuộc cạnh BC (khác B 0à C) Gọi N là giao của hai đường thẳng AM uờ CD Chứng mình rằng :
Gợi ý giải ~ Qua A dung d, 1 AN, cat CD
tai G Ap dụng hệ thức trong tam giác vuơng
AGN (hình 5)
Bài tốn 5 - Cho hình suơng ABCD cĩ cạnh bằng a Qua A ding hai tia Ax, By sao cho xAy = 45°, hai tia Ax va Ay cét BC va AD lần lượt tại N uà E
a) Chứng mình rằng tam giác AHE cĩ dộ đài dường cao xuất phút từ A khơng dồi
0) Xác dịnh uị trí của N uà E để S(ANE)
là cục tiểu :
Gợi ý giải - Coi Ax la d,, dung d, 1 Ax, cat CD tai P Suy ra AP = AN va AAPE = AANE (hinh 6)
Sau đây là một số bài tốn tương tự, được
đạt ra từ bài tốn 1
Bài tốn 6 ~ Dựng hình uuơng ABCD biết 4 điểm nằm trên 4 cạnh của hình 0uơng
Gợi ý giải = Qua Ï dựng Ix // LJ, trên Ix lấy doan IK’ = LJ Quad dung JC 1 KK’ (hinh 7)
https://sites.google.com/site/letrungkienmath
Bài tốn 7 ~ Dựng hình ouơng ABCD biết đỉnh A uà hai điểm M, N trên BC uà CD
Bài tốn 8 Cho hình ouơng ABCD, trên
cạnh BA uà CB dạt BP = BQ Ha BH 1 CP Chứng mình rang DH 1 HQ
Gợi ý giải — Kéo dài BH cát AD tại I, suy ra được IB = CP tit do ed AI = BQ và IQCD
la hinh chit nhat Nam dinh I, H, Q, C, D cùng
nằm trên một đường trịn (hình 8)
Bai toan 9 - Cho hình vudng ABCD Lấy
M bất ki trên CD Đường trịn đường kính AM
va dung tron dường kính CD cắt nhau ở điểm thit hai N DN kéo dài cát BC tại P Chứng mình rằng : PM + AC
Gợi ý giải = Gọi Q là giao điểm của AB và đường trịn đường kính AM Suy ra được Q N, C thẳng hàng, từ đĩ chứng minh được QB = PC = MC (hình 9)
Bai toan 10 - Cho hinh vudng ABCD I
là một diểm bất kì thuộc BC Hạ BM + AI
BM cat CD tai G Dung CC, | AI (C, tren AD), DD, |} BG (D, trén AB) Xéc dinh vj tri cia I dé MNPQ la hinh vudng
Bài tốn 11 - Cho ABCD là hình uuơng cạnh a, tia Ax bất kÌ nằm trong gĩc nơng BAD Duong phân giác Èùa gĩc BAx cát BC
tại M, dường phân giác của gĩc DAx cắt CD
tại N Gọi E là giao điểm của Ax uà MN Tìm quỹ tích của diểm E,
Bài tốn 13 - Cho hình puơng ABCD cĩ cạnh bàng a Trên AB, AD lấy hai điểm M, N'
sao cho tam giác AMN cĩ chu vi bang 2a
Chứng mình rang CMN = 45°
Trang 5hittps:/Avww.facebook.com/letrungkienmath
Bai,T1/208 : Cho các số nguyễn 4, b, thỏa
man a? = b +1 Xét day số | u„) „~ ạ được xác
định bồi : u„ = 0, uy = quạ + WBun + c? Vn G N Chứng minh rang day {u,} la day
cdc sé nguyén
Lời giải : Cách 1 (của Phạm Huy Từng, 9A THCS Bế Văn Đàn, Hà Nội ; Nguyễn Ba Hùng, Nguyễn Ngọc Tân, Ngơ Đức Thành - 10CT DHTH Ha Nội ; Lê Viết Hải, Trịnh Văn Khơi, Dương Thanh Liêm = 10T Lam Sơn, ` Thanh Hớa ; Hồng Xuân Bách, CT ĐHSP Vinh và Phan Anh Dũng, LIT Phan Bội Châu,
Nghệ An) :
Từ wạ = aư„ +Vbuz_, + 7 vn E NY =
u2 -2au, ju, taruz_, = buz_, +e? Vn N°
= (a?-b)u2 — Đau, quy + Hệ nt cn EN*
(via? = 6 +1) = (au, -u,,))? = buz +e?
Vn € N* Do do, Vn EN’ tacd :u,,, = aw
+ au, -u,| ()
Viu, = 0€Z,u, = au, + Vouz +c? = |e]
€Z, nên từ (1) suy ra ứạ € Z Vn € N (Dpem)
Jách 2 (của Trăn Thị Ngọc Hải, 9T Lê Khiét Quảng Ngãi ; Phạm Anh Tuấn, 9T Lam Sơn, Thanh Hĩa ; Lẻ Thái Nhân, 11T Nguyễn
Binh Khiêm Vĩnh Long ; Trần Thiên Ánh,
10GT ĐHTH TPHCM ; Nguyễn Văn Hồng, 12A Quốc học Quy Nhơn Binh Dinh ; Lẻ Anh Vai, 11ỢT Quốc học Huế ; Lê Anh Khoa, 11A, Le Quy Don, Da Nang ; Nguyễn Hồng Cơng,
11T Lê Khiết, Quảng Ngãi ; Hồ Văn Thảo,
Nguyễn Xuân Thắng ~ PTTH Đơng Ha, Quang Trị ; Nguyễn Anh Dũng, Nguyễn Xuân Tương - CT ĐHSP Vinh ; Phạm Mạnh Quang, Trình Hữu Trung — Lam Sơn, Thanh Hơa) ; Vũ Đức
Son, Dinh Van Tam - PT Luong Van Tuy,
Ninh Binh ; Nguyễn Vữ Hưng, 11D ĐHSPNN Hà Noi ; Vương Vũ Tháng, 10T ĐHTH Hà Nội ; Vũ Huy Phương, 11T PTNK Hải Hưng ; Nguyễn Việt Linh, 11CT Trấn Phú Hải Phịng ; và một số bạn khác) : “Từ các giả thiết của bài tốn dễ thấy : UP py ~ Ladty 9 Uy ay + 822) — 6° = OWN EN (2) -c?=0Wn EN (3) tuệ và u2 — 2gu, inten ei Lấy (2) trừ (3), vế theo vế, ta được : tnya — (v2 + Uy — 20.6p,)) = 0 Vẽ €N y ta, Wn € Đ ta cĩ : nếu ứa € Z và tạ, ¡ € Z thì rạ, 2 € Z Œ) tu https://sites.google.com/site/letrungkienmath Viu, =0€Zvau, = |e| € Znén tit (*) suy ra u,, € Zn € N (Dpem)
Nhận xét : 1 Tịa soạn nhận được lời giải của 105 bạn, trong đĩ cĩ 40 bạn cho lời giải sai Nhiều bạn đã cho lời giải sai vỉ mác phải một trong hai suy luận sai lầm sau :
an= 0Vn
bạ = 0Vn
ii) Từ (9) và (3) = u, vaw,,> là hai nghiệm
của phương trình (ẩn x) :x2~ 2aw,# + w2 — c
= 0(4) > u,,) +u, = 2au,,, (theo dinh li Viet) (5) (Xim lưu ý các bạn : Chỉ cĩ (B) khi u,„ và ! } 0Yn= [
u„ là tất cả hai nghiệm của phương trình (4) Nối khác đi : chi co (5) khi tap hop {u,,,>5 ty,
là tập nghiệm của pt (4) !)
2 Co thể chứng mỉnh được rằng : Nếu
a < Othiu,,, =u, Wn EN; con néua > 0 thiu,, tu, = 2au,,, Wn EN
NGUYEN KHAC MINH
Bài T2/208 : Cho ba số dương x, y, z thỏa man xtytz = xyz Chứng mình rằng Œ+z2q +.) Vite Vee yz va +20 +22) Vite? - VTE | = z3) -VT*# - Ve xy =0 Lời giải :
Trang 6https:/Avww.facebook.com/letrungkienmath
Y +z2Π+37) =, +y, NT +92
Cộng lại ta cĩ điều phải chứng minh Cách 3 (của đa số các bạn) :
Dat x = tga, y = te ; z= tgy trong đĩ œ,
Bye (0, 5) Từ điều kién tga + tgp + tey
tge tg tgy suy ra œ +/j +ÿ = + Từ đĩ thay
vào và sử dụng biến đổi lượng giác đơn giản ta dẫn dén vé trai la [(sina + sing + siny) - sin(a +B) ~ sin(Ø + y) ~ sin( + œ)]/sine sinØ siny = Ú do điều kiên a +h +y =x
Nhận xét :
Hoan nghênh nhiều bạn lớp 9 như các bạn Bùi Thị Phương Nga (Lớp 9 Lê Khiết, Quảng Ngãi), Giáp Đăng Khoa (9A Tan Yên, Hà Bác), Nguyễn Ảnh Tuấn (9T Phan Bội Châu), Nguyễn Thanh Hà (9A Hịa Bình), đã giải dung bai nay mà khơng dùng phép đạt lượng
giác như ý đồ của tác giả bài tốn Lời giải của
bạn Cường ở trên là rất hay, vừa sơ cấp vừa ngắn gọn
3) Một vài bạn mắc sai lầm trong suy luận
khi cho rang : "Vi tgA + tgB + tgC = tgA tgB
tựC nếu A, B, € là ba gĩc của tam giác nên phai cd x = tgA, y = tgB, z = te DANG HUNG THANG
Bài T3/208, Chứng mình rằng tam giác ABC đều khi uà chỉ khi : 1
sin A si BH 2sin 5 sin 2 sỈn 2 Ha
Lời giải (dựa theo Vũ Minh Giang = 11B,
- PPTH Bim Sơn - Thanh Hơa) Nhân cả hai vẽ với sinA sinB sinC, được siwHsinC_ sinChinA - sinAsinB _
sinA sinB ane
Shee tn a Bae Ce = eos 5 cos > cos 5
Xi 0c A2 là 4cos S 0s 6082 = À 4co8 5 cos 5 C082 20G)
A+B ASB oC
( cos aE ad, ) cosy =
2 Ope ee = 2sin 5 cosy + 2eos—5— cos'9 =
inC + sinA + sinB (2)
ậy, vẽ trái của (1) bằng vế phải của (2)
Ấp dụng định lí hàm số sỉn, ta cĩ đẳng thức tương đương :
be —+—+—=atbte a,b, ca ab ve
©>9(b2e2+c?a2+a?b?) = 2a°be + 9b°oa + 2e°ab (4b ~ be)2 + (be ~ ca)? + (ca ~ ab)? = 0
=c©AABC đều Và, ta cĩ đpem
https://sites.google.com/site/letrungkienmath
Nhan xét Co 129 bai giải gửi về tịa soạn, tất cả đều giải đúng Lời giải tốt gồm cĩ : Vir
Minh Giang (11B, - PTTH Bỉm Sơn - Thanh
Hoa), Dink Trung Hang (11M Marie ~ Curie Ha Noi), Pham Dinh Truong (11CT PTTHNK Tran Phi - Hai Phong), Thanh Huong (IIPTTH Lương Van Tuy - Ninh Binh), Nguyễn Phú Quảng (10GT ĐHTH - Hà Nội), Tit Minh Hai (ACT PTTH Ban Mé Thuột, Dae Lac) ĐĂNG VIỄN Bài T4/208 Cho năm điểm phân biệt A, B, C, D, E 0à một dường thẳng d cùng nằm trạng một mú‡ phẳng Goj O là điểm sao cho OA + OB + OC + OD + OF = 0 (tite O la trong
tam ctia hé diém { A, B, C, D, E} va A’, B’,
Ơ? D, E), O' lần lượt là hình chiếu tnuơng gĩc) trên d của các diểm A, B, C, D, E va O
Ching minh rang :
Ey i lgdes bee ne ee
00 = § (AA' +BH' +CC +DD' +EE')
Lời giải (Dựa theo Vương Vũ Tháng, 10A
chuyên tốn ĐHTH Hà Nội và một số bạn
khác)
Ta giải bài tốn tổng quát cho trường hợp m điểm phân biệt {A, A,} cĩ trọng tâm la O, nghia la
Qua O dung dudng thang A vudng géc với
d (6 0’) va goi A} la hinh chiéu vudng goc trén d cua A, i = 1,2, s„ n) s= DOA, Baryon fetter ; aaiey ai # = DOA vas =D 04):
1 OA, = O'A; + OA) Gi = 1, 9, n) nên
$8 +” trong đĩ s” cĩ phương của ở, cịn
8, Cĩ ương của A, 1 ở Do dé
Trang 7hittps://Avww.facebook.com/letrungkienmath a eo Lai vi OA, = 00° + 0’A) +44, = = 0'A, +00’ ~A,A,, nén : OA, = 3.04) + (đỗ - AA) = 1 Í = =I = n00'- DAA; a wats Từ (1) và (3) ta được : 200° - > AA; = 0, i=l https://sites.google.com/site/letrungkienmath hay là : Raa ie 00' = DAA; 5 (3) a Đơ là đ.p.e.m
Nhận xé ~ Cĩ 108 bạn tham gia giải
bài tốn nay
2 - Bạn Tháng và nhiều bạn khác cịn cớ
nhận xét sau đây : Kết quả của bài tốn khơng
thay đổi khi ta thay hÌnh chiếu vuơng gĩc bởi
hình chiếu song song hoặc thay hệ điểm (A,,
4», An} trong mật phẳng bởi hệ điểm
khong gian, đồng thời đường thẳng d th:
mặt phẳng ở
trong
tay bởi
3 - Cĩ một số bạn giải bài tốn trên bằng phương pháp tọa độ ; tuy nhiên, thực chất tcũng
là phương pháp chiếu véctơ như đã nêu ở trên Nhiều bạn sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp, nhưng trình bày khơng sáng sủa
4 - Ý tưởng cơ bản trong chứng minh hệ thức (3) là thiết lập hệ thức (2) Cĩ nhiều cách chứng minh (2) Đgồi cách nêu trên, để chứng minh (2) cĩ một số bạn sử dụng đến tích vơ hướng : chứng minh rằng 0 () Ø" pe titds suy ra = SOA} 0 (wor 0 Hai ban Nguyén i
Ngọc Tân, 10T ĐHTH Hà Nội và Lẻ Anh Tuấn 10A CT ĐHSP Vinh đã sử dụng phép đối xứng qua đường thẳng ở để chứng minh
(3) cũng khá gọn
NGUYEN DANG PHAT
Bai 15/208 Goi R là bán kính mặt cầu
ngoại tip, my, My Mm, mụ là độ dời các tuyến xuất phát lần lượt từ các đỉnh A, trọng Bic
D của một tứ diện ABCD Chứng mình bất đẳng thức :
3
R > FG lm, +m, +m, +m)
khi nào thì xẩy ra đẳng thức ?
Lời giải Gọi O, Œ lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm tứ diện ABCD, ta cĩ : AR? = Ố2 LON +, QC + 0D = (0G.+ GÀ)? + (0G + GB)Ỷ + (0G +GĨ)? + _, +(OG+ GD)? = 40G+ 20G(GA+ GB+ GC+ GD) + GA? + GB? + GC? +GD? 9 = 40G? + 1g (mỶ + mộ + mộ + mi) Mà 1 mộ + mỹ + mộ + mà > Z(Mq tmp +m, + my)? (Bu-nhia-k6p-xki) Do do : 9 4R? > Ba Ma tm, +m, +m? 3 hay R > 7g (m, +m, +m, +m4) Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi G =
Goi I, J là các trung điểm tương ứng của AB, CD, ta cĩ Œ là trung điểm của LJ Néu G thi tir cdc A can GAB, GCD, ta cé GI 1 AB ; GJ 1 CD, nên các A vung GIA, GIB, GIC, GID bang nhau, suy ra AB = CD Tương tự, ta cũng cĩ BƠ = DA ; CA = BD Vay, tit diện ABCD gần đều Đào lại, nếu tứ diện A BCD gần đều thì Œ = 0 Và, đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi tứ diện ABCD gần đều
Nhận xét Trừ một vài bạn thu hẹp phạm vi xẩy ra đẳng thức với tứ diện đều, cịn thì các bạn đều giải đúng Lời giải tốt gồm cơ : Vữ Đức Sơn (LIT ~ Lương Văn Tuy, Ninh Binh), Pham Dinh Trường (11A, PTNK Trần Phú Hai Phong), Phan Duy Hing (11CT Dao Duy Từ - Déng Héi - Quang Binh)
DANG VIEN
Bai 16/208 Tìm số cĩ 3 chữ số chia hết cho 9 sao cho thương số trong phép chia số ấy cho 9 bằng tổng bình phương các chữ số của Số ấy
Lời giải : theo Nguyễn Dang Thang, 9NK, Thuan Thanh, Ha Bac
Gợi số phải tim là abe (0 < a <.9, 0 <b, c <9)
'Theo đầu bài ta od abe = 9(a2 +64 +02) (1)
Trang 8Attps://Awww.facebook.com/letrungkienmath Viabe? 9nénsuyraa+b+ci 9 Vaya +b te = 9, 18, 27 1 Nếu ø+ b+ e = 27suyraa=b=c=9 Ta thấy ngay (1) khơng được thỏa mãn 9 Nếu ø+b +e = 18 ta cĩ :e = 18~ (ø +ð) (2) > 11a +b +2 = a2+ b2 + c? (3) “Thay e vào (8) ta cớ (3) =ø+b = 9(42+b2 + ab ~ 23a — 18b + 161) (4) Vậy a + b là số chẵn từ đĩ suy ra e cũng là số chẵn Đặt e = 2n, n EN, thay gid trị này của e và ð = 18 - (ø + c) vào (4) ta cĩ
phương trình bậc hai đối với a a? — (23 - 2n)a + (4n? - 8ỗn + 152) = 0 suy ra A = - 12? = 4n +4) - 81 < 0 Phương trình vơ nghiệm Nghĩa là khơng tổn tai abe 8.Nếua+b+c=9=ec=9-(a+ð) (9) => 11ø+b +1 = a2+b?+c2 (5) Thay e vào (B) ta cĩ
(5) >a +b = 2(a+ b? + ab ~ 14a ~ 96) (6) Vay a +6 la s6 chan, suy rac la s6 1é Dat
mm +1,m EN, suyraatb = 8-2n>
“Thay các giá trị của e và ư vào (ð) ta cĩ phương trình bậc 2 đối với ø : a2 + (2m ~ 18)a + (4m? = 13m +28) = 0 (7) => A = (2m - 18)? - 4(4m? - 13m + 28) = 57 = 12m? Phương trình (7) cĩ nghiệm khi va chỉ khi A>0 : ð7 - 12m2 > 05 > m?=m = 0, 1,2
Mặt khác vì phương trình (7) địi hỏi cĩ nghiệm nguyên nên cần là A phải là số chính phương Ta thấy chỉ cĩ giá trị m = 2 mới cho ta A = õð7 - 48 = 9 là số chính phương 9x3 Néu m = 2thia = 2 Néu a = 6 thì do e = 5= b = -2 (loại) Néua = 3thidoc=5=>6=1 _ Vậy trong trường hợp này số phải tìm là abe = 315 Vay s6 phai tim thỏa mãn yêu cầu của đầu =a=6 hoặc a = 3 bài tốn là 315 Thử lại ta thấy 315 = 9(3? + : 1? +52)
Nhận xét : Rất nhiều bạn giải được bài này Các bạn sau đây cĩ lời giải tốt : Nguyễn
Ngọc Đơng, Nguyễn Dang Minh, 9NK, Thuan
‘Thanh, Ha Bac ; Pham Huy Tùng, 9A, Bế Văn Đàn, Hà Nội ; Đồn Minh Đức, 8D, chuyên Quỳnh Phu, Thai Binh ; Vien Ngoc Quang,
Pham Anh Tuấn, 9T, Lam Son, Thanh Hea ; Nguyễn Trung Thành, 9T, Nang khiếu, HA
6
hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath
“Tỉnh ; Lê Quang Nắm, 9CT, Đức Phổ ; Lương Lê Tú, Nguyễn Hữu Hội A, Trần Thị Ngọc Hải, 9T, chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi
16 NGUYEN
Bai T7/208 Cho a,, a», ., a, la cdc 36
dương lẻ, tất cả đều khơng cĩ ước nguyên tố
lớn hơn õ Chứng minh rang 1 1 1 15
—+—+u.+—<=
a, S8
Lời giải : Đề ra thiếu điều kiện : "Các số œ¡, , œ, là phân biệt" Nếu thiếu điều kiện
nay dé thay bai toan khơng đúng chẳng hạn lay a, = a, = 1 Tuy nhién da 86 cac ban giti
lời giải đã phát hiện ra điều thiếu sĩt này Rất
hoan nghênh các bạn
Sau đây là lời giải của các ban Tran Thi
Ngọc Hải (9T Quảng Ngãi) Bùi Thị Phương
Uyên (9 Quảng Ngãi), Lá Vinh Quang (9 NK
Ninh Binh), Phan Hồng Việt (12A Quốc học
Quy Nhơn), Nguyễn Bich Hang (10 DHSP Ha Noi), Ngo Ngoc Dong (9 Thuan Thanh, Ha Bắc), Vũ Đức Sơn (11 Lương Văn Tụy, Ninh
Bình), Theo giả thiết với mỗi ¡ ta cĩ a, = 85 Bổ trong dé «, € N, B, € N va cap (e, đj) # (a, A) néui + j Goi m = max { a, Bj}, thi (vìl+a+ +am= 0<a<1) Nhận xét : Cĩ một số bạn cĩ lời giải sai khi cho rằng a; là những số cĩ dạng 3È, õt
DANG HUNG THANG
Bai T8/208 : Chitng minh rang, néu r va s là hai số thực cho trước thỏa mán diều biện s2 +rỶ >0 thì phương trình xÌ + 3rx — 2s = 0 cĩ nghiệm số thực duy nhất là : 3 3 ge VNTR VE @œ Hãy áp dụng kết quả đĩ để giải các phương trình x3 +x +1 = 0 va 203 — 1x2 — 1 = 0
Trang 9hittps:/Avww.facebook.com/letrungkienmath Lời giải (của nhiều bạn) : 3 e Dặtz= W+Ýs?+r? và
b= Wea Vet #75 , tacda? +63 = 20 vaad =—7 Viết lại phương trình da cho duéi dang : — 8abx — (g3 +63) = 0 Ơ — (ø +b)3 — 8ab[x — (ø +ð)] = 0 — (a +ð)][x2 + (ø +b)w +a2 —ab +b?] = 0 =atb | x2 + (a +b)x +a? —ab +62 = 0 (1) hương trình (1) cớ
A=(a +6)? —4(a? —ab +6?) = -3(a — b)? < 0
(œ # b do s? +r3 > 0) nên nĩ vơ nghiệm
Từ đơ suy ra phương trình đã cho cơ duy nhất nghiệm : 3 3 xsatb= VetVetr + Va-s+tr eo Co: txt1=0 (2) 3 +3 gx~? (-ÿ)=0.Vi 143 (§) 1 31 2
+ ( - 3) = ioe theo trên,
phương trình (2) cớ đuy nhất nghiệm : TP Si 2 108 sài 108 © Vix = 0 khong phai la nghiém của phương trình ch 15x? —1 = 0 (3) nên (3) = (33+ 5 T8: 10= 0 (4) Đặt £ = 4, từ (4) cĩ phương NET # 8+8.5./—2.10=0(8) Vì 102 + 53 = 225 = 15? > 0 nén pt (5), theo trên, cơ duy nhất nghiệm : t= Äïð+T5 + ïð=T6 = 25 - Ÿ5 Từ đơ suy ra, pÈ (3) cĩ duy nhất nghiệm : wd 548 Ÿ§ + 5 *=5-ế 20
Nhận xét : 1 Cơ rât Ít các bạn học sinh bậc THCS gửi lời giải cho bài tốn
2 Phần lớn các bạn gửi lời giải đã dùng phương pháp khảo sát hàm số để chứng minh
tính duy nhất nghiệm của phương trình
+3 + 3rx — 2s = 0 (6)
3, Một số bạn cho lời giải khơng hồn chỉnh do khơng chứng minh hoặc chứng minh sai tính duy nhất nghiệm của pt (6) Một số bạn khác "quên" khơng giải phần hai của bài tốn
4 Các bạn cơ lời giải tốt (chỉ tính trong số
các bạn là học sinh bậc THCS) : Nguyễn Lê
>0 nên,
hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath
Luc, 9A1 Đầm Dơi - Minh Hải ; Lê Quang
Năm, 9CT Đức Phổ - Quảng Ngãi ; Pham Huy Tùng, 9A Bế Văn Đàn, Hà Nội và Nguyễn Ngọc Đơng, 9ĐK Thuận Thành, Hà Bác
NGUYEN KHAC MINH
Bài T9/208 : Cho tam giác ABC, uẽ các
phân giác trong AA,, BB,, CC,, Giả sử AA, cét B,C, tai K, BB, cét C,A, tai E, CC, cdt
A,B, tại FL Chứng minh rang néu AK = BE
= CF thi ABC la tam gide đều 1 ote Dig tính đường phân giác B 2aceos 5 =p suy ra 280, BAY 6oa = pate La Sede 2a B “BC, +BA, Ta+2p+c 2 2be A Twong te AK = 5 > C052 2ác 2be NG acolo ee ea eae aha B A
và d > B tite cos 2 > cos 2 Vay BE > AK
Tuong tu néu b > a thi AK > BE
Mà AK = BE nên b = a Tương tự EB = CF nên a = c Suy ra AABC đều
Nhận xét : Giải tốt bài này gồm cĩ các bạn :
Lê Cơng Sơn 12A,, PTTH Việt Đức, Lê
Tuấn Anh 108, ĐHTH, Nguyễn Vũ Hưng 11D
PTTH chuyên DHSPNN, Phan Linh 9A PTONN, Pham Huy Tung, 9A THCS Bé Van Dan (Ha Noi), Pham Quang Minh 127 PTTH Ha Long (Quảng Ninh), Lé Van Manh 11CT Chuyên Hồng Văn Thụ (Hịa Bình), Nguyên
Chí Dãng 8B Chuyên Việt Tri (Vinh Phu), Ha
Thu Théo 10CT PTNK (Hai Hung), Dao Ly,
Trang 10
hittps://Avww.facebook.com/letrungkienmath
12A PTTH Chuyén, Doan Minh Đức 8D Chuyên - Quynh Phu (Thai Binh), Trinh Thé Huynh 11A, PTTH (Nam Ha), Nguyén Viet Kiên 12A ~ PTTH Nga Lê Hồng Phong, Nam Định
Sơn II, Phạm Mạnh Quang, 11T, Phạm Anh
Tuấn 9T PTTH Lam Sơn (Thanh Hĩa), Phạm
Hồng Linh 10T Phan Bội Châu (Nghệ An), Dương Thu Phương, Trần Tiên Giang, Mai Từng Long 9T NK (Hà Tỉnh), Phan Duy Hùng, 11CT Dao Duy Từ, Đồng Hới (Quảng Binh), Nguyễn Quỳnh 12T Chuyên (Quảng Tr, Nguyễn Hồng Cơng 1IT, Hồ Từ Vũ 8T Chuyên Lê Khiết (Quảng Ngãi), Nguyễn Minh Thọ, Phan Hồng Việt 12A Quốc học Quy Nhơn (Bình Định), Nguyễn Kỳ Quốc 12A3 PTTH Nguyễn Trai, Phan Rang - Tháp Chàm (Ninh Thuan), Ngo Dang Ha An 12A PTTH Lé Quy Don (Long An), Lê Thái Nhan 11T Chuyén Nguyén Binh Khiém (Vinh Long)
VKT
Bài T10/208 Cho tam giác ABC khơng uơng cĩ độ dài các cạnh BC = a, CA = b va
AB = c Tìm trong mặt phẳng của tưm giác
một điểm \M sao cho các khoảng cach x, y va z từ M lần lượt đến các dường thẳng chứa các cạnh BC, CA ó AB tỉ lệ uới độ dài các cạnh đĩ:x:y:z=a:b:e
Hay chỉ rõ uị trí hình học của những diểm
tim duoc va tính khoảng cách từ những điểm
đĩ đến các cạnh của tam giác dã cho
Lời giải a) Trước hết, bằng cách sử dụng định lí Ta-lét, chúng ta dễ dàng thiết lập (chứng minh) được các mệnh đề sau đây :
(1) Quỹ tích những điểm mà tỈ số khoảng
cách đến hai cạnh của một gĩc xĨy bằng È cho
trước là một tia Oz nam trong gĩc đổ (Oz sẽ là tia phân giác khi & = 1)
(2) Quỹ tích những điểm mà tỉ số khoảng
cách đến hai đường thẳng cat nhau x’Ox, y’Oy (hoặc song song) bằng k cho trước là hai đường
thang đi qua O (hoặc hai đường thẳng song
song với hai đường thẳng song song đã cho) 0 Bảy giờ áp dụng mệnh đề thứ hai ở trên vào
bài tốn của ta, ta chứng minh được rằng (Phân tích) :
~ Quỹ tích những điểm mà tỉ số khoảng
cách đến hai đường thẳng AB và AC bằng
kị= : (AB = c, CA = b) là hai đường thẳng
di qua A; AX va AX’ ; trong dé AX nm trong gĩc BẢO và gĩc đối đỉnh với nĩ, cịn AX” là tiếp tuyến tại Á của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
~ Cũng vậy, qui tích những điểm mà tỈ số khoảng cách đến hai đường thẳng BC và BA bằng ky : là hai đường thẳng đi qua B ; BY 8 https://sites.google.com/site/letrungkienmath
va BY’ ; trong dé BY nam trong gĩc CBA va
gĩc đối đỉnh với nơ, cịn BY' là tiếp tuyến tại B cia đường trịn ABC
~ Quỹ tích những điểm mà tỉ số khoảng cách đến hai đường thẳng CA và CB bằng
b
hy = 5 la hai dudng thang di qua C : CZ va
CZ', trong đĩ CZ nằm trong gĩc ACB và gĩc
đối đỉnh với nĩ, cịn CZ” là tiếp tuyến tại C cha đường trịn ABC (xem hình vẽ)
Từ đĩ suy ra : Điểm phải tìm là giao điểm của một trong hai đường thang AX, AX' vớ
một trong hai đường thẳng BY, BY' (hoặc với
một trong hai đường thẳng CZ, ƠZ') (Qui tích đường giao)
~ Để ý rằng các bộ ba đường thẳng AX, BY, CZ ; AX, BY’, CZ’ ; BY, CZ’, AX’ va CZ, AX’, BY' là những bộ ba đường thẳng đồng quy ; gọi tên các điểm đồng quy đĩ lần lượt là M, = (AX) 0 (BY) & (CZ), M, = (BY) n (C2), Mẹ = (CZ) n (AX) và Mạ = (AX) n (BY)
Két qua (vì tam giác ABC khơng vuơng) ta tìm
được tất cả 4 điểm : M,„,„ Mụ „Mẹ uờ M: như đã
chỉ ra ở trên thỏa mãn điều kiện địi hỏi của
bài tốn
Ngồi ra, ta cĩ các nhận xĩt thêm sau đây 19) Các điểm AM, „ M,,„ M, là giao điểm của các tiếp tuyến tại các đỉnh A, 8, Ở với đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC và điểm ẤM, là điểm đồng quy của ba đường đối trung của AABC
2°) Goi A, , B, va C,là hình chiếu của M, trên các đường thẳng BC, CA và AB thì M,B,A¡C, là một hình bình hành với ¿ = 1, 2, 3 con M, là trọng tâm cla tam gide A,B,C, (i = 0)
©) Cuối cùng, dễ dàng tính được các khoảng cách từ các điểm M,, M), M; oờ M; đến các cạnh của tam giác ABC
Với điểm M,, ta co:
fe
“
Trang 11hittps://Awww.facebook.com/letrungkienmath aU a2 met by hee 0° chee wat +b24c2 a2 Hoge o2 2aS n 2bS Do đĩ, v6i diém M, : }) = 3534 2 2cS a2 +62 +c2 (trong do 8 là diện tích tam giác ABC) Với điểm ẤM, ta cĩ : eS z_£(bytez-ax) _ F11576 +@?2+e-a3) 7 28 Suet (62 +c? —a2) ss 2aS x +e +c2 —a2) =M = 1 "
Dau + hay - tùy theo gĩc  nhọ hay tù :
“Tương tự, ta được các điểm M2 va M3
02+c?+a2z0, c2+a2—b2z0, a2?p2=c2z0
vì AABC khơng vuơng
Nhận xét : 1 Bài tốn này tuy đơn giản nhưng ít bạn cơ lời giải hồn chỉnh Khơng
cớ bạn nào chỉ ra được chính xác vị trí hình
học của những điểm phải tìm bằng phương pháp dựng hình học như đã chỉ ra, trừ bạn Lê Huy Khanh
2 Trong việc tính các khoảng cách từ các điểm M, đến các cạnh của tam giác ABC một số bạn đã tính khá gọn nhờ nhận xét :
s(ABC) = | s(M,CA) + s(M,AB) - s(MBC)/
NGUYEN DANG PHAT
Bai L1/208 Mot vat chuyển động cham dan déu ; xét 3 đoạn dường liên tiếp bằng nhau
trước khi dừng lại thì đoạn ở giữa nĩ di trong
1, Tìm thời gian uật di 3 đoạn đường bằng nhau kể trên
Hướng dấn Ấp dụng với cơng thức về
chuyển động chậm dẩn đều Gọi vị, v„, vạ là vận tốc của vật ở đầu đoạn đường thứ nhất, đầu đoạn đường thứ hai và đầu đoạn đường tht ba : -v? = 6as ; — v3 = 4as; — v3 = 2as va ¥3 7% i = = 1 Tit dé suy ra tạ = (2+ và tị =(V8 - 2)(V2 + 1) https://sites.google.com/site/letrungkienmath vat=t,+t,+t; = (V3 +V6) Cũng cĩ thé dựa vào đồ thị vận tốc ~ thời gian để giải
Nhận xét Các em sau đây cĩ lời giải tốt : Nguyễn Vũ Quang, 11L, PTTH Đào Duy Từ, Quảng Bình ; Nguyễn Hồng Nhân, 10A4, PTTH Lê Quý Đơn, Quảng Nam - Đà Nẵng ; Đồn Dinh Trung, 10L, PTTH Amsterdam — Hanoi ; Tơ Huy Cuong, 11A1, PTTH Chuyên Thai Binh ; Nguyén Thai, 10T, Phan Boi Chau, Vinh (Nghé An) ; Nguyén Đức Tuấn Vinh, 10CL, PT'TH Ban Mé Thuột, Đắc Lác ;
Hà Huy Hùng 10ACT, ĐHSP Vinh, Nghệ An ; Nguyễn Thanh Hồng, 11A3, PTTH Lê Hồng
Phong, Nam Định (Nam Hà) ; Nguyễn Hồng Minh, B,10ACL Đại học Tổng hợp Hà Nội ;
Võ Thanh Tùng, 10CT, PTTH Quốc Học Huế,
OK
Bài L2/208 Trên uỏ của một quạt điện cĩ các kí hiệu x¬110V.60W.50Hz Khi nối hai đầu đây của quạt uào 3 eụe của chiếc pin cĩ suất diện động 1,õV uà diện trỏ trong nhỏ khơng
dáng kể thì cường dộ dịng diện chạy qua ở
quạt là (0,095A
1, Tim dién trd R, va hệ số cơng suất dịnh
mute cia quạt diện
3 Muốn dùng quạt diện trên ở ổ diện xoay chiều 990V = 50Hz người ta mắc nối tiếp cho
nĩ một tụ diện Tìm diện dung thích hợp của tự diện Hướng dẫn giải 1) R„ = 2 = 602 ; (pee) Ul” Ceosp ` VPR; _ 6 —~cosp = “TP = TT R, 2Z=——=110—> coap +2, = \Z~RE = 10V85 (2) Pam
I= >—— =1(A); Tam COsP
|U,, - Uc| = VOZ=UR = 80V7 > | = 80V7 (Q) 10V85 < 80V7 (Q) 1 ~ 2, = 87 C= = = 10,48uF
Nhận xét Các em sau đây cĩ lời giải đúng
và tốt : Đạo Lý, 12A, PTTH Chuyên Thái Binh ; Phan Hồng Việt, 12A, Quốc học Quy Nhơn, Bình Định ; Vũ Ngọc Tháng, 13 Hĩa, PTTH Hà Noi - Amsterdam
Trang 12hittps:/Avww.facebook.com/letrungkienmath Các lớp THCS Bài T1/212 : Tìm số xyz biết rằng Äliỹz = œ +y +2)? (với n 6N) NGUYEN DUC TAN ‘TP HO CHi MINH Bai T2/212 : Tìm tất cả số thực a, ư, c để lax +by +ez| + |bx +ey +az| + |ex +ay + bz| | +lờy| +|z| là đẳng thức đúng V +, y, z € R
DANG VĂN HANG, HAI HUNG
Bai T8/219 : Giải và biện luận phương
trình sau theo tham số ø :
x3 — 8x2 +8(ø + 19 — (œ + 1)? = 0
DANG HUNG THANG, HA NOL
Bài T4/212 : Hình vuơng ABCD cĩ cạnh đơn vị Trên cạnh AB va AD chon hai diém M va N sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2 Chứng minh rằng hai tia CM và ƠN chia đường chéo 8D thành ba đoạn thẳng mà độ dài ba đoạn này lập nên tam giác vuơng cĩ diện tích
khơng lớn hơn 1/(2 +Ý2)2
NGUYÊN LÊ DŨNG, TP, HO CHI MINH Bài Tð/212 : Trong mặt phẳng cho hai
hình bình hành ABCD và A'B'C'D cĩ đỉnh D
chung Chứng minh rang : Hai tam giác AB'C va A’BC’ co trong tâm trùng nhau ;
NGUYEN DANG PHAT, HA NOI
Các lớp THCB
Bài T6/212 : Chứng minh rằng, tồn tại các số nguyên dương +, y, z thỏa mãn đẳng thức
2a* +)! = 2 trong đĩ p là một số nguyên tố lẻ TẠ HỒNG QUẢNG, HÀ NỘI Bài T7/212 : Chứng mình hệ phương trình : x2=y3+y2 +y+à y2=z3+z2+z+a(a 6 R) 22=x2+zx?+tx+a cĩ một nghiệm duy nhất
NGUYEN DUC HUY, LONG AN
Bai T8/212 : Cho day s6 a,, duge xc dinh 1+ CHỊ ˆ} với mi bởi ai = 1 và đ, = 1+m{ n>2 Chứng minh rằng :
ơ„ = 1+2(p —2[8:5]) với mọi n > 1 () (ở
đây [a] la phan nguyén cia a va {a} = a - [a]
là phần phân của a.)
TRAN VAN VUONG, HA NOT
10
DE RA KI NAY
Bai T9/212 : Cac diém A, ,B, ,C, , D, tuong ứng là trọng tâm của céc mat BCD, CDA, DAB, ABC của tứ diện ABCD Goi A,,B, ,C,,D,
tương ứng là các điểm đối xứng của các đỉnh
A, B, C, D cha tit diện qua một điểm O cho
trude trong khong gian, Chứng minh ning ee duang thang A, A, ,B, B, ,C, CD, D, dong quy
LUU XUAN TINH, THANH HOA
Bai T10/212 : Cho tam giác ABC cân ở A
Trên AB lấy 1 điểm D và trên BC ta lấy một
diém E sao cho hình chiếu của DE lén BC bang
1 3 BC Chiing minh rang : duting vuơng gĩc với
DE tai E luơn đi qua một điểm cố định, HỒ QUANG VINH, NGHỆ AN Các đề Vật lí Bài LI1/212 : Một bảng chuyến nghiêng một gúc so với phương ngang, đang chuyển động 0„ xuống dưới Một hịn gạch nằm trên (`) bảng chuyển và Oye
được giữ yên bằng ==1+
một sợi dầy buộc cổ
định ở đầu trên Người ta cát đứt dây Tính
cơng của lực ma sát tác dụng lên hịn gạch cho đến thời điểm hịn gạch đạt được vận tốc V„,
của băng chuyền
Cho hệ số ma sát giữa viên gạch và băng chuyền là ¿, khối lượng của viên gạch là m
TƠ GIANG)! HÀ NỘI Bài L2/212 : Với mạch điện vẽ bên, số | : chỉ của Vơn kế là ——®—— 30V khi ngất K, mở, _ /⁄¿ % là 27V khi chỉ đĩng ngất Kị, là 24V khi Ke Re chỉ đĩng 2 ngất —L K,K, , la 18V khi j4, đồng cả K,K, | Ê
Biết khi dong K, K, Ky, bién tré Ry = 4/80 và
nguồn điện phát cơng suất 270W
1) Tinh E, r va gid tri moi điện trở ngồi
2) Nhich con chay C 6 R, sang phai hay sang trái để cơng suất mạch ngồi giảm ?
Trang 13hittps://Awww.facebook.com/letrungkienmath
PROBLEMS IN THIS ISSUE For lower secondary schools
'T1/212 Find the number xyz such that Vayz = (x +y +2)"
(nis a natural number)
2/212 Find all real numbers a, b, c so that lax +by +ez| + |bx +ey +az| + | ex + ay + bz|
= lx| +ly| +lz|
holds for every x, y,z € R
T3/212 Solve the equation
x3 - 8x2 +.8(a + 1)x ~ (a+.1)? = 0,
where a is a parameter
4/212 The square ABCD has unit sides
M and N are two points respectively on the
sides AB and AD so that the perimeter of triangle AMN is equal to 2 Prove that the lengths of the three segments obtained by
cutting the diagonal BD by the semi lines
CM and CN are those of a right triangle with 1
area not greater than arm
5/212 In the plane let be given two parallelograms ABCD, A’B’C’D having a common vertex D Prove that the two triangles AB' and A'BC' have common center of gravity
https://sites.google.com/site/letrungkienmath
For upper secondary schools
T6/212 Prove that there exist positive integers x, y, z satisfying
x +y¥ = 2P
where p is an odd prime
‘'T'7/212 Prove that the system of equations
x?=y2+y2+y+a y)=z2+z2+z+a
z2=x2+x2+x+a
has unique solution
ees The sequence a, is defined by at 1+ a, a,=lt+a{ Prove that a, = 1 + 2(n — 2l9%”)) for every n > 1 (where [a] is the integral part of a, and {a} = a} for every n > 1 a- fal)
T9/212 A., B,, C,, D, are respectively the ©
centers of gravity’of the sides BCD, CDA, DAB,
ABC of a tetrahedron ABCD Let A Gy
D, be respectively the points symmetric of A B,C, D through a given point O in space Prove
that tho lines AJA, B,B,, C,C,, D,D, are
concurrent
110/212 Let be given an isosceles triangle
with base BC Take a point D on AB and a
point E on BC so that the projection of DE on 1 BC is equal to > BC Prove that the line perpendicular to DE at E passes through a fixed point
ĐỀ THỊ HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LĨP 9 CUA HAI PHONG Vong 1 : 28/12/1993 (Thời gian lam bai ; 150 phút, khơng kể chép đề) Bài 1 Cho số M = ab Hãy tìm số n lớn nhất để cĩ đẳng thức Š M= (a+n) b+n) Bài 2 Giải hệ phương trình & - DỶy + @ - DỨ = 3y xWy—1 + yx#-—T = xy Bài 3 Cho |x| < 1 và |y| < 1 Chứng minh rằng iL 1 2 drat a _y 1-2
Bai 4 Cho hinh thang ABCD (BC // AD va BC < AD) Kéo dai AC (vé phia C) va trén
phan kéo dai do lay diém P tùy ý Gọi K và 1,
là trung điểm của các cạnh tương ứng BC và
AD PK cát AB tại M, cịn PL cắt CD tại N Chứng minh MN // AD
Vịng 2 : 28/12/1998
(Thời gian làm bài : 150 phút, khơng kể chép đề)
Bài 1 Chứng minh rằng phương trình
xỶ - y = 1993 khơng cĩ nghiệm số nguyên
Bài 2 Giải bất phương trình
xl2 — 49 + xf ~x+3 >0
Bài 3 Cho hai đường trịn ở ngồi nhau, chúng ni tiếp xúc với hai cạnh của gĩc vuơng cĩ đình la A Mot tiếp tuyến chung
trong của hai đường trịn cất hai cạnh của
gĩc vuơng A tại B va C Tính diện tích tam
Trang 14fps:/Avv.facebook.com/Ïetrungkiermath hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath
PHUONG PHAP VEC TO
Trong tốn học khi mở rộng một khái niệm
nào đĩ thì đồng thời với sự m4 rong do ta cĩ
một phương pháp mới, một cơng cụ mới để giải các bài tốn
'Trong hình học thì ueefơ là một ví dụ Khi
mở rộng khái niệm "đoạn thẳng" (vơ hướng)
sang vectơ - đoạn thẳng cĩ hướng - ta cĩ một
phương pháp mới : Phương pháp uectơ Nhờ cĩ phương pháp này các bài tốn như song
song, vuơng gĩc, thẳng hàng, đồng quy v.v
nơi chung được giải một cách dé dàng hơn “Tư tưởng chủ đạo của phương pháp vectơ
là : Hãy xem xét các đoạn thẳng khơng chỉ với
sự khác nhau về độ đài (mơ đun) mà cả về sự khác nhau giữa phương (hoặc hướng) của
chúng tức là gĩc làm thành bởi các đoạn thẳng
đơ Một hình nào đớ trong khơng gian hai chiều
sẽ a xác định bởi một hệ gồm hai vectơ
z 0 "khơng cùng phương, cùng phát xuất
từ Tình điểm Ĩ nào đĩ gọi là gốc, Tạ gọi hệ
nay là hệ cơ sở và kí hiệu là (0,7, vj Trong
khơng gian ba chiều thÌ bệ cơ sở gồm ba vectơ u,v W # 0 khơng đồng phẳng cùng phát xuất từ gốc O và kí hiệu la (0,10 = ‘Truong
hợp đặc biệt của các hệ trên chính là các hệ trực chuẩn thơng thường Để làm rõ các ý
tưởng này ta hãy xét các ví dụ
Vi'du 1 : Ching minh rang trong mọi tam giác ABC ta cĩ : cosA +cosB +cosC < 2 @ Giải : Quan sát bất đẳng 4 thức (1) ta thấy nĩ khơng phụ thuộc độ dài mà chỉ phụ thuộc gốc tức phương của các cạnh Do đĩ trên AB, BC, CA lần lượtlấy _„ _„ _„
các vectơ đơn vị ¢; 2), ¢, (xem hi hình 1) Goce
làm thành bởi (e;, e2) = + ~B (62,61) = ~C@x,s) = x—A và |sr| =ls¿l =ls;Ì= 4 8 we Từ bất đẳng thức (e, +e, +e)? > 0 khai triển ra ta cĩ : 12 PHẠM BẢO Ha Noi P+ 2412 +2@.0 +62 c6 +ey6) >0
thay ¢ €) = cos(r — B) = =cosB;
(63.63) = —cosC; (6y e)) = —cosA 3 Ta cơ cos +cosB + cosC < 5
Dau "=" xay ra khi (@, +e, +,) = 0 khi do
tam giác ABC đồng dạng với tam giác cĩ các
cạnh là các vectơ đơn vị nên nĩ là tam giác đều
VÍ dụ 2 : Cho tam giác ABC từ một điểm
P trên cảnh BC kẻ PN // AB cắt AC tại N ; PM / AC cat AB tai M Xéc dinh vi trí của P sao cho MN cĩ độ dài ngái án nhất
Giải : Lấy (A, AB, AĨ) làm hệ vectơ cơ sở |BP| Dat Tact =* |Pcl ; IBố[ “1 *với0<z<1 ay LBPL _ lAN| _ Nel SiLBChsa _,JAcl = * [Bel ta cĩ ÂN =x AC AM MN = AN -AM =x AG ~(1 =) AB = (AC + AB) + BA thay AC +AB = AD (dung chéo cig hinh bình hành ,ÁCDBR) và xAD=AQ thì MN = BÀ +AQ =AQ tứ giác MBQN lại là hình bình hành (xem hình 2) Để MN ngắn nhất thi BQ A phải ngắn nhất YD” te BQ LAD C2 Từ đĩ suy ra cách — dựng EZ He điểm P Dễ 4
thấy được nếu
tam giác ABŒ
Trang 15hittps://www.facebook.com/letrungkienmath Dat |B] =|CB| =a |CC,| =6 Dé thay BD, = (~a,a,b) Mat phang BC,D la mat phẳng chấn trên ba trục tọa độ nên cơ phương trình là vetơ pháp của mặt phẳng là +eo ÿIUftLSêI n Camas) Gọi œ là gĩc làm bởi BD, va a’a’b mat phẳng BC, D thi sinz = cos(BƯ,,n) = — ;>? nên sinz lớn nhất khi 1 2 tức a = b và sina = 3 khi đĩ hình ộp là hình lập phương và gĩc œ xác định như ở hình 8
Qua các ví dụ trên ta đã thấy cách vận dụng
"phương và độ dài" trong phương pháp vectơ
Tuy nhiên để thấy được phương hướng vận
dụng và lời giải được ngắn gọn cần chú ý đến những bài tốn cơ bản sau đây (vì khuơn khổ bài báo cĩ hạn kì này chỉ xin nêu bài tốn thứ
nhất)
Bài tốn I : "Phân tích một vectơ theo các vectd co sd"
1 Trong khơng gian hai chiều cho hệ cơ sở (0, OA, OB) Ching minh ràng với mọi điểm € thuộc đường thang AB ta cĩ
OC =a.0A+p.0B
với z+j8 = 1 và a, Ø €R @®
2_ Trong khơng gian ba chiếu cho hệ (0, 0A, OB, OC) Chứng minh rằng với mọi
điểm D thuộc mặt phẳng ABC ta cĩ : OD =«.0A+B.0B+y.0C với ø + +y =1 và, Ø,y 6đ an https://sites.google.com/site/letrungkienmath AC Chứng minh : 1 Đại AQ =xAB OCz OA+AC = OA +xAB = OA +x(0B ~ 0A) , OC =(1-x) OA +x OB Cho # = ø 1= + = / ta cĩ điều cần chứng minh xem hình x(a © R) taco A Cc 2 8 Cần chú ý rằng với mỗi điểm Œ nhất định trên AB thì cĩ một số x duy nhất do đĩ cặp (œ, Ø) là duy nhất
->2 Tương tự_phư trường hợp : biểu diễn
OE theo OB, OC va OD theo OA, OF (xem hình 4b) ta co điều cẩn chứng minh
Chú ý : Một hệ quả rất thường gặp của (1)
la: Trong khơng gian cho 2 đoạn thẳng AB và
CD nếu 2 điểm : M trên AB N trên CD cùng C!
chia AB va CD theo ti s6 aM AB =
MN = (1 -x) AC av) Dé chting minh (I’) chi can Jay một điểm O tùy ý làm géc ; phan tich MN = ON -OM rồi vận dung như trường hợp 1
Sau đây là một số ví dụ áp dụng
_„VÍ_dụ 4,: Trong mặt phẳng chọ „3 veetơ ØA,OB,OC cĩ Ố+OB+OC=0 Một
đường thẳng đ cắt ĨA, ØB và ĨC kéo dài tại
A’, B’, C’, Chiing minh he thttc : UA , UB ƠC om tor toe = Giá :Dật m a oc p (m,n, p G R) Ta cĩ
OA’ = m OA; OF =n OB OC’ =p OC
Trang 16https://Awww.facebook.com/letrungkienmath Vi du 5: Cho hinh chép SABCD Day ABCD là hình bình hành Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SƠ, SD theo thứ tự tại K; L, M, : SA | SC _ SB | SD ÁN Chứng mình rằng : cĩc + SM ~ SL *SN
(Dé tuyén sinh vao dai học số 57 câu Vb) Giải : Lấy hệ cơ sở là (S :54, SB,SD) Dat SA=a SB=6 SD=c SK SL SM SN ay SAiare! SBeny (SCsy SSD: SK=xa SL=yb _„ SM =zSC SN=t.c ADS 8 _, Theo (If) ta cĩ : SM = «SK +p SL + SN voiatp+y = 1 hay zSỞ =zœ8 +Íẩy b +yte nhưng SƠ Tene nen z(b +e =a) = xa +y b +ytc z z ox =a; fy =aytszeea = TT BE ÿÌ7S† aa) Se mào +8 +7 min hạ +g 4© 1 ví, dị vết 5i 3/01 _ SA S§C _SB _SD vay Sx * sm ~ SL * SN
Vi du 6 : Cho hinh lap phương ABCDA'B'C'D' cạnh a M thuộc đoạn AD’; N thuộc đoạn BD với AM = DN = + (0<x<av2): 14 https://sites.google.com/site/letrungkienmath 1) Chứng minh rằng với x = MN ngắn nhất 2) Khi MN ngắn nhất hãy ching minh : MN là đường vuơng _ gĩc chung của AD" và DB Đồng thời MN // A'C 3) Chứng 4 minh rằng khỉ
Trang 17https:/Avww.facebook.com/letrungkienmath
Tìm hiểu sâu thêm tốn phổ thơng
hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath
TỪ MỘT BAT DANG THUC TICH PHAN
'Tích phân và nguyên hàm là một phần mới của chương trình CĨGD Vì thế để giúp thêm các bạn phần nào khi học vấn đề này, tơi xin trình bày những tìm tịi của tơi khi cịn hoc
phổ thơng từ một bài tốn tuyển sinh
Trước hết tơi nêu lại một số kiến thức cẩn sử dụng 1, Dinh nghĩa tích phân (sách giải tích 12) 2 Nếu ƒ và ø là 2 hàm liên tục, xác định trên ° Tá, ° Số] » b a ray Pe i) J fi) dx < J p(x) dx () a a
3, Nếu ƒ là hàm liên tục, xác định trên
[a, b] và m s fix) <Mthi: m(b —a) < f fix) dx < M(b —a) (9)
(Bạn đọc tự chứng minh 2 tính chất này) Ta xét bài tốn sau :
Bài tốn : Chứng mỉnh rằng nếu ƒ và ø là
2 hàm liên tục, xác định trên [a, 6] thi :
b b b
JS Pe dx fy? (x) dx > (f flax) pla) dx)” (3)
(Cau IVa ~ Dé 106 = Đề thi tuyển sinh) Việc chứng mỉnh bất dang th ay khơng
khĩ, cái xuất phát của bất đẳng thức này là một bất đẳng thức đại số : Bunhiacơpxki Cho 2n số a b, (¡ = 1,n), ta cĩ : { (a‡ + a3 + + a2)(b‡ nh +62) 2 (bi +a2b;+ + a,bạ)2 (4 Dấu bằng xây ra khi 1b, =a, 26,
Ty đoạn [a, b] chia làm œ đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm chia G=1„<x|< <x,.¡ <Sx,„=b và chọn §;€lx, px] (= 1,n), ta cĩ b-a (với ¡ = 1,n) Khi đĩ : Đ/c Tin dre.” ) fe (x) dx = lim Spe) ïn =1 NGO THANH LONG Ha Noi va Irene dx = tim fj Gi) n>e=1 Vi thế (3) trở thành tim SAE ` ae ni ice Srey sứ) ~xi=I 2)? (5) ‘Tit (4) néu thay a, = /(É,), 6; = ø(&,) ta cĩ : yA (&) Š vg) > 3: AEE, | 6) <1 m1 ‘Tit (G) ta dé dang 6 ngay (5) Dau bang xây ra khi AE): PE) = fÈ;) :p&; hay f(x) = ep(x) (c = hằng số) Vậy bài tốn được chứng minh
Bây giờ từ bài tốn ban đầu, nếu thêm giả
thiết : ƒ, ø : [a, b] +[0, Ne P(x) ifs) va = f(Êu) : Ey) p(x) < p(x), nén ta cd: f P(x) dx < f fix) dx a a b b va J p(x) dx < f p(x) dx Vi thé ta co ngay :
Bài tốn 1 : Chứng minh rằng nếu ƒ và ø là 2 hàm liên tục trên [a, 6] và ƒ: ø,ð]—|0, 1] uà ø : [a,ð]—[0, 1] thì > b b ; S fle) de f p(x) dx > (Sfeeyece) ax) * 7) va: Bài tốn 2 : Cho ƒ và ø là 2 hàm liên tục trên [0, 1] và :/ƒ: [0, 1] —>[0, 1], ø : [0, 1]— [0, 1] Chứng minh rằng : ‡ 1 : S fla dx ƒ pœ) dx > | Ƒfœ)p@) 0 0 0 dx| (8)
(Cau Va Dé 102 - Dé thi tuyén sinh) Tit bat đẳng thức Bunhiacơpxki mở rộng :
Trang 18_hffps:/Anew.facebook.com/Tletrungkiernmathi Cho m dãy số âm, ta cĩ ; { (G7? +0 + +aim)(BTP + BẾP + ) Of FPR ARM) > (ad, fy Had +ab„ /,)" (9) ta cũng cĩ bất ứng mở rộng Bài tốn 8: Cho /, ø, tục trên [ø, 6] va ƒf:la,b]—R*, p:[a,b]T>R*„h Chứng minh rằng b » 6 J ee dx f g(x) dx f x) dx > m (10) a,b), yf; @= Tym) khong ảng thức tích phân tương „® làm hầm số liên : [a,b] >R* » [ f&) px) hạ) dx Bài tốn 4 : Cho ƒ, ø, , tục trên [0, 1] và : {7: 10, 1]—[0, 1], ø : [0, 1]—>[0, 1) , h:[0, 1] (0, 1] Chứng minh ràng : h làm hàm số liên 1 \ 1 J fe) dx f p(x) de f hee) dx > 0 0 0 1 σ@p@) h@) dx| 1) 0
Những bài tốn trên đều cĩ nguồn gốc từ
bất đẳng thức Bunhiacơpxki, bây giờ từ một đẳng thức khác như Chêbưsep ta sẽ tìm các bài tốn tương tự Bất đẳng thức Chêbưsep phát biểu a,<a,< 6, <b) < (đơn điệu cùng chiềh) ai ta, + +a, bị +b, + +b, CHỈ =1 " ng na 9n n a,b, +ayby + +4,b, ie Ge Cho 2n diy 36: ay (12) n Nếu ta thay : — ta cĩ: a; = f(E)) va 6; = pl) (voi LS ) 1n) <2 3/8): g) 13) hay Srey: oS 9) < ~ 6 < (6-0) Df) - 9) a 16 https://sites.google.com/site/letrungkienmath Lay gidi han khin + ta cĩ : b pl i S fice) dx S p(x) dx < (b-a) § fix) p(x) dx (13) Vay ta cĩ :
Bai todn 5 : Cho f vay la 2 ham lién tue, xdc dinh, cing tinh don diéu trén [a, ø] Chứng
minh rang
ai b
Seas Fear « <6 a) f fix) p(x) dx
Hội bài tốn 5 va (2) ta cố nếu
b
m, < flr) > mb -a) < f fix) de
Nên ta cĩ
Bài tốn 6 : Cho ƒ và ø là 2 hàm liên tục, xác định và cùng tính đơn điệu trên [a, 6], thỏa man : m, < f(x) cử m„ < p(x) Chứng minh rằng °b °b a) my J p(x) dx < J fle) p(x) dx 14) a a b b b) my J flax) dx < f flee) pla) dx 15) a a Tuong tu tit bai toan 5 sau :
Bài tốn 7 : Cho ƒ và ø là 2 hàm số liên tục, xác định, cùng tính đơn điệu trên [0 ,1]
ta cĩ bài tốn như
Chứng mỉnh ràng
Ị 1 1
S fx) dx f p(x) dx < f flxyp(x) dx 16)
0 0 0
Neu fig : 10,11 — (0,11 thi
[noars [eo va fortes fe (x)
0 0
nên ta cĩ :
Bài tốn 8 : Cho ƒ và ø là 2 hàm số liên tục, cùng tính đơn điệu trên [0, 1] và ƒ: [0, 1]
—[0, 1], ø : [0, 1]—>[0, 1] Chứng minh ràng : Ị 1 1
S Pex) dx f g(x) dx < f fx) p(x) dx 17)
0 0 0
G bai toan 5 va 8 néu f va p 1A 2 ham trai
tính đơn điệu thì dấu bất đẳng thức đổi chiều Bàng phương pháp đơ ta cĩ thể tìm được
nhiều bất đẳng thức tích phân khác từ bất đẳng thức đại số Rất mong các bạn tiếp tục
Trang 19hittps://Awww.facebook.com/letrungkienmath hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath
Đồng quy và khơng đồng quy
Bạn cơ nhận thấy rằng tốn học tiến lên theo con đường mở rộng từ những trường hợp đặc biệt ra thành những trường hợp tổng quát : từ cơng thức lượng giác trong tam giác vuơng đến các cơng thức lượng giác trong tam giác
thường, từ số hữu tỉ đến số thực, từ hình học Ĩclit đến hình học phi Ĩclit (mà hình học Oclit chỉ là một trường hợp đặc biệt) Và bạn cĩ chú
ý rằng giữa cái "chung" và cái "riêng" vừa cĩ mat trái ngược nhau (tam giác vuơng khác tam giác thường) vừa cớ mặt thống nhất với nhau (tam giác vuơng cũng là một tam giác, chỉ đạc biệt ở chỗ cớ một gĩc bằng 90°) Những sự chú ý như vậy cĩ thể dẫn bạn đến phát minh ra cái "mới" đấy Trong bài này, ta hãy thử mở rộng tính chất "đồng quy" của ba đường
thẳng nào đĩ xuất phát từ ba đỉnh của một tam giác Mở rộng như thế nào nhỉ ? Cĩ lẽ các
bạn đã quá quen với cách nghỉ ràng "đồng quy"
và "khơng đồng quy" là trái ngược nhau, nên cảm thấy khĩ khan chang ? Nào, bây giờ ban
hãy thử nghỉ về phía "thống nhất" xem sao
Cũng khơng khĩ gì lắm mà khơng thấy rằng
ba đường đồng quy tạo nên một tam giác cĩ
một điện tích § Thế thi thấy ngay rằng "đồng
quy" là trường hợp đặc biệt của "khơng đồng
quy" khi 9 = 0 (6 = œ khi hai trong ba đường song song với nhau và đường thứ ba cát chúng) Nhưng cách xem xét trên đây khơng phải là
cách duy nhất Chẳng hạn, trên hình 1, ta hãy
xét ba đường AD, BE, CF khong cat nhau va
tạo nên tam giác LMN Trường hợp "đồng quy" sẽ là trường hợp đạc biệt của trường hợp trên khi TTD = p (1), tức là M trùng voi N Để đặc trưng trường hợp "đồng quy" bằng một số, ta cơ thể viết MD‘ Np =) Như vậy, số "` | MD’ ND chỉ cho ta biết ba đường AD, BE, CF cĩ đồng quy (k = 1) hay khong (k # 1) Đến đây, yêu cầu chặt chẽ về mật tốn học buộc ta phải đất câu hỏi : "Nếu ta xét những tỈ số kép NGUYEN CẢNH TOAN Ha Noi
(gọi là kép vì đĩ là tỉ số của hai ti số) tương tự trên BE, CF thỉ ta cĩ cịn được cùng một
số È đơ hay lại là những số ¿, m khác # nhưng
khi # = 1 thì cũng cĩ / ij
tính & theo các tỈ số xác
DB EC FA
Fs Sq =P peg = % R=" rối hốn vị vịng quanh các cụm chủ ABC, DEF, LMN, par để =a TE “Từ A, C, và D, ta hạ các đường 1 CC' và DD' xuống đường thẳng cĩ các tỈ số kếp và =(1-p)r NA
Vay agp Hp = “Pa” VE sau khong thay
đổi Khi thực hiện hốn vị vịng quanh p, q, r
Vay qua la k = 1 = m = -pqr
Ta sé goi sé nay 1A k va cĩ thể phát biểu Định nghĩa Ba duong thang AD, BE, CF xudt phat tic ba dinh A, B, C ctia mot tam gide sẽ gọi là k ~ ct nhau khi chiing cat các cạnh đối diên ở các diém D, E, F sao cho
DB EC FA DC EA FB
Nhu vay "đồng quy" chỉ là trường hợp đặc biệt của KÝ ~ cắt nhau khi & = 1 Khi này, theo định nghĩa trên, ta cố ngay định lí Xeva (Céva) Nếu áp dụng định lí Mêlênauyt (Ménélaus) thì ta lại gĩi luơn được cả vào trong khái niệm "
~ cất nhau" trường hợp D, E, # thẳng hàng
(lúc dé k = -1)
Cĩ khái niệm "k - cat nhau" mé rong khai
niệm "đồng quy", ta hãy mở rộng định li quen
biết sau đây :
Dinh lí 1 Trong một tam giác, nếu ba đường thang lần lượt xuất phát từ ba dỉnh mà dồng quy thì ba đường đối phân của chúng thai đường dối phân là hai đường dối xứng uới nhau qua phan giác của gĩc tạo bởi hai cạnh
đồng quy tới chúng tại cùng một đỉnh) cũng
Trang 20Attps:/Avww.facebook.com/letrungkienmath (Bạn nào chứa biết dịnh lí 1 thì cứ chấp nhận và tốt hơn nữa, tự chứng mình lấy) Để mở rộng định li này, ta hãy xét đường đổi phan AD’ của 4D (h 2) Gọi / là chân đường phân giác, a ta cĩ các gĩc (định & a F1 ø—e£
hướng) ơ, ổ như ở h.2
vì A1 là phân giác chung của các gĩc BÁC và DAD' Ta cĩ 1 pp 748 -ADsin(-2) P“m= TOA AC ADsin8 DU LAI py 748:4DSNTP) 45 sing Dern SAD.ACsim 2 Vay pp’ = [22] Hoan vị vịng quanh, ta cĩ Bey" at = liq cay? m edo do : Pane’ hay &k' =`1 nếu đặt k'= ~ p7: “Ta cĩ dịnh lÍ
Định lí 3 Trong một tam giác, nếu ba đường thằng lần lượi xuất phát từ ba đỉnh mà k ~ cất nhau thì các đối phân của chúng sẽ &' = cất nhau với ` =
hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath
Dinh Ii 1 la truding hop die biet cia dinh li 2 khi k = 1 Nếu k = —1 thì k' = —1, nên ta cĩ thêm định lí
Định lí 3 Trong một tam giác, nếu ba đường thẳng lần lượt xuất phát từ ba đỉnh, mà cĩ các chân (tức là giao điểm với đường thẳng chứa cạnh đối diện) thẳng hàng thì các đối phân của chứng cũng cĩ các chân thẳng hàng
Rõ ràng là ta đã cĩ những phát minh nhỏ với vốn kiến thức phổ thơng Cĩ được phát minh này là nhờ ta đã biết nhìn hai khái niệm "đồng quy" và "khơng đồng quy" vốn dược coi như mâu thuần (trái ngược) với nhau theo một cách mới giúp thống nhất chúng lại với nhau (cả hai đều trổ thành "k = cất nhau”), Cách suy nghĩ kiểu như vậy nằm trong cái mà người ta gọi là "tự duy biên chứng", Như vậy, cơng dầu ở đây thuộc Về "tự duy biện chứng” Nĩ giúp chúng ta nghỉ vấn rằng cĩ một định lí mở rồng định lí 1, mổ đường cho chúng ta tìm tơi, Dễ tìm tồi, chúng ta đã dùng suy diễn logic va cud cing tìm được định lí 2 Vậy đây, tự duy lơgic đĩng vai trị "thừa
hành" để giải quyết nghỉ vấn khoa học nĩi trên Trong khi
giải quyết, ta đã dùng một thủ thuật là thay thế việc so sánh _ MA WA i it eee hai ỉsổ 5 Vi pps Nem chúng cĩ bằng nhau hay khơng bằng
việc nghiên cứu tỉ số K của chúng Kiểu tư duy dùng thủ thuật
này cĩ thể gọi là "tư duy kĩ thuật vì nĩ giống với tư duy của người chế tạo ra cơng tơ để chỉ việc nhìn vào số ghí trên cơng,
tØ là biết lượng điện tiêu thụ Như vậy, trong bài báo này, tu
duy sáng tạo tốn học là một sự tổng hợp hài hịa của ba loại
tư duy : biên chứng (giúp phát hiên vấn để), lơgic (giúp giải quyết vấn để), kĩ thuật (làm dễ dàng việc giải quyết vần đề), Một dịp khác ta sẽ thấy thêm vai trù của các tư duy thuật tốn, tư duy quản lí, tự duy kinh tế trong sáng tạo tốn học Va cả tư duy hình tượng cũng rất cẩn Nếu chỉ vùi đầu làm
những bài tốn khĩ thì chưa đủ để rèn luyện tư duy gắng tạo
tốn học vì làm xong một bài tốn khĩ rồi, nếu khơng cĩ ai (thay hay sich) ra thêm cho chúng ta những bài tốn khác thỉ ta "thất nghiệp" Trong Đài này, ta tự ra lấy bài tồn xét mối ‘quan hệ giữa k va k’ va sau khí làm xong bài tốn đĩ, ta phát mình ra định lí 3 Nồi "phát minh" cũng khơng cĩ gì quá dáng vi ban cũng khĩ tìm ở đâu ra định lí đĩ
Giải đáp bài LÀM THỂ NÀO
Giả sử của sổ hình vuơng trên tường là ABCD
Goi M_N, P, Q lần lướt là các trung điểm của AB, BC,
©D, DA Ta thẩy của sổ hình vuơng thu hẹp MNPQ thỏa mãn yêu cầu của để ra (xem hình vẽ)
Suwe = 2 §asco ¡ cao MP = †m, ngang NQ = tr BÌNH PHƯƠNG ISSN : 0866 - 8035 Sắp chữ tại Trung tâm Vi tinh va Chỉ số 12884 Tạ ol tg ba i Nik bn Ce Se Ma s6 : SBT14M5 Thay chữ bằng số