Giáo Trình Hàm Phức Biến LTD2
Mục lục Chương Hàm số biến phức 1.1 Số phức 1.1.1 Định nghĩa phép toán 1.1.2 Dạng lượng giác số phức – Căn bậc n số phức 1.2 Hàm số phức đạo hàm 1.3 Tính giải tích – Hàm điều hòa 1.4 Các hàm phức sơ cấp 1.4.1 Hàm mũ 1.4.2 Hàm lượng giác 10 1.4.3 Hàm hyperbolic 11 1.4.4 Hàm logarithm 11 1.4.5 Hàm lũy thừa 14 Chương Lý thuyết tích phân mặt phẳng phức 15 2.1 Tích phân chu tuyến 15 2.1.1 Đường cong trơn 15 2.1.2 Tích phân phức dọc theo chu tuyến 15 2.1.3 Các chận tích phân – Bất đẳng thức “ML” 17 2.1.4 Công thức Green số định lý tích phân chu tuyến 17 2.1.5 Tích phân không xác định 19 2.2 Công thức tích phân Cauchy dạng mở rộng 20 2.3 Một số ứng dụng công thức tích phân Cauchy 23 2.4 Bài toán Dirichlet 24 2.4.1 Công thức Poisson cho trường hợp hình tròn 24 2.4.2 Công thức Poisson cho trường hợp nửa mặt phẳng 27 Chương Chuỗi hàm phức 29 3.1 Các khái niệm kết 29 3.2 Sự hội tụ 31 3.3 Chuỗi lũy thừa chuỗi Taylor 33 3.4 Một số kỹ thuật để nhận khai triển Taylor 36 3.4.1 Lấy tích phân hay vi phân số hạng 36 Mục lục 3.4.2 Khai triển theo nhánh hàm đa trị 37 3.4.3 Nhân chia chuỗi 38 3.4.4 Đưa hàm hữu tỉ phân thức đơn giản 40 3.5 Chuỗi Laurent 41 3.6 Một số tính chất hàm giải tích liên quan đến chuỗi Taylor 46 3.6.1 Tính cô lập không điểm 46 3.6.2 Sự mở rộng liên tục tính giải tích 48 Chương Thặng dư ứng dụng phép tính tích phân 51 4.1 Khái niệm thặng dư 51 4.2 Điểm kỳ dị cô lập 54 4.2.1 Phân loại 54 4.2.2 Tiêu chuẩn nhận biết 55 4.3 Tính thặng dư 57 4.4 Tính tích phân thực loại I 61 4.5 Tính tích phân thực loại II 63 4.6 Tính tích phân thực loại III 66 4.7 Tính tích phân bao gồm chu tuyến “tránh” điểm kỳ dị 69 4.8 Tính tích phân thực tích phân phức quanh điểm vô hạn 72 Chương HÀM SỐ MỘT BIẾN PHỨC 1.1 1.1.1 Số phức Định nghĩa phép toán Định nghĩa 1.1 Số phức z biểu thức viết dạng z = a + bi hay z = a + ib, đó, a, b ∈ R, i ký hiệu qui ước thỏa mãn i · i = i2 = −1 (1.1) Các số a, b gọi phần thực phần ảo số phức z viết a = Re(z), b = Im(z) Khi b = 0, số phức z = a + bi xem số thực a thông thường Tập hợp số phức thường ký hiệu C Hai số phức z = a + bi w = c + di gọi “bằng nhau”, viết z = w, a = c b = d Các phép toán đại số cộng, trừ, nhân chia số phức tính theo quy tắc thông thường, miễn áp dụng (1.1) Cụ thể với z = a + bi, w = c + di, ta có z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i z − w = (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i zw = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i z a + bi (a + bi)(c − di) ac + bd bc − ad = = = + i (w = 0) w c + di (c + di)(c − di) c + d2 c + d2 Định nghĩa 1.2 Hai số phức gọi liên hợp với chúng có phần thực, phần ảo đối Vậy, z = a + bi số phức liên hợp với z ký hiệu z ta có z = a − bi Nếu z1 z2 số phức z1 + z2 = z1 + z2 z1 − z2 = z1 − z2 z1 z2 = z1 z2 z1 z1 = z2 z2 Chương Hàm số biến phức Đối với phép nhân số phức, ta có ý quan trọng sau: với z, w ∈ C, ta có zw = ⇔ z = w = (1.2) Độ lớn số phức z = a + bi, ký hiệu |z|, xác định giá trị |z| = |a + bi| = a2 + b2 Dễ dàng chứng minh tính chất sau: zz = |z|2 |z1 z2 | = |z1 ||z2 | |z1 | z1 = z2 |z2 | |z1 ± z2 | ≤ |z1 | + |z2 | |z1 | − |z2 | ≤ |z1 + z2 | Kết (1.2) áp dụng để giải phương trình az + bz + c = (a = 0), (1.3) theo trường hợp xét sau (a) a, b, c ∈ R ∆ = b2 − 4ac ≥ 0: √ −b ± ∆ (1.3) ⇔ z = 2a (b) a, b, c ∈ R ∆ = b2 − 4ac < 0: √ −∆ b2 − 4ac (1.3) ⇔ = = i 4a2 2a √ √ b + i −∆ b − i −∆ ⇔ z+ z+ =0 2a 2a √ −b ± i −∆ ⇔z= 2a b z+ 2a Ta giải phương trình (1.3) trường hợp a, b, c ∈ C Vấn đề xét trường hợp tổng quát 1.1.2 Dạng lượng giác số phức – Căn bậc n số phức −−→ Số phức z = x + iy biểu diễn vector OM mặt phẳng Oxy (với M điểm (x, y)) Ngoài ra, z = x + iy biểu diễn tọa độ cực (r, ϕ) điểm M Vậy, z = x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ), r = x2 + y = |z|, ϕ ký hiệu arg z tan ϕ = y/x (1.4) 1.2 Hàm số phức đạo hàm Vế phải (1.4) gọi dạng cực hay dạng lượng giác số phức z ý arg z xác định sai khác k2π (k ∈ Z) Vậy, z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) z1 = z2 r1 = r2 , ϕ1 = ϕ2 + k2π (k ∈ Z) Cho z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) Khi đó, z1 z2 = r1 r2 cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 ) z1 r1 = cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 ) z2 r2 Từ đó, với n số nguyên dương, z = r(cos ϕ + i sin ϕ), ta có z n = rn cos(nϕ) + i sin(nϕ) Định nghĩa 1.3 Cho số phức z0 số nguyên dương n Căn bậc n z0 số phức z thỏa: z n = z0 Căn bậc n z0 ký hiệu √ n z Giả sử z0 = r0 (cos ϕ0 + i sin ϕ0 ) z = r(cos ϕ + i sin ϕ) Khi z n = z0 ⇔ rn cos(nϕ) + i sin(nϕ) = r0 (cos ϕ0 + i sin ϕ0 ) √ ⇔ r = n r0 , nϕ = ϕ0 + 2kπ (k ∈ Z) √ ϕ0 2kπ ⇔ r = n r0 , ϕ = + (k = 0, 1, , n − 1) n n Vậy, ta có n bậc n z0 chúng cho công thức: z= √ ϕ0 + 2kπ ϕ0 + 2kπ n r0 cos + i sin n n (k = 0, 1, , n − 1) Chú ý ta chứng minh công thức sau trường hợp n ∈ Z: r(cos ϕ + i sin ϕ) 1.2 n = rn cos(nϕ) + i sin(nϕ) Hàm số phức đạo hàm Nếu với giá trị biến (độc lập) z D ⊂ C, có tương ứng giá trị biến (phụ thuyộc) w theo quy luật f ta nói: f hàm biến phức xác định D viết w = f (z) Thông thường D miền mặt phẳng phức Ta có ví dụ sau: (a) w = 5z, (b) w = e|z| , (c) w = 4i|z|, (d) w = (z − 2)(z + 4) Chương Hàm số biến phức Trong trường hợp (a), (b), (c) z nhận giá trị phức, với trường hợp (d) z = ±2i Mặt khác, w = f (z) viết dạng phụ thuộc phần thực x phần ảo y z: w(z) = w(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) Chẳng hạn với hàm số w(z) = 3x − iy + ta có u = 3x + x2 x , + y2 x + iy , x2 + y v = −y + x2 (1.5) y + y2 Ngoài ra, ta biểu diễn trực tiếp hàm số theo z dùng đồng thức: x= z+z , y= z−z 2i Theo đó, hàm (1.5) viết dạng w(z) = z + 2z + z Định nghĩa 1.4 Cho hàm số phức f (z) số phức f0 Nếu với số thực ε > 0, tồn số thực δ(ε) > cho |f (z) − f0 | < ε, z thỏa < |z − z0 | < δ, ta nói f (z) có giới hạn f0 z dần đến z0 ký hiệu lim f (z) = f0 z→z0 Từ định nghĩa trên, ta có nhận xét sau: (a) f phải xác định lân cận “thủng” z0 (b) Giới hạn f0 , tồn tại, không phụ thuộc vào đường mà dọc theo đó, z → z0 Theo nhận xét trên, dễ dàng đến kết luận: (i) Hàm f (z) = arg z (giá trị chính) giới hạn điểm trục thực âm (ii) Hàm f (z) = f (x + iy) = x2 + x + i(y + y) x+y giới hạn z → Trong trường hợp lim f (z) = f (z0 ) ta nói f (z) liên tục z = z0 Nếu f (z) liên tục z→z0 điểm miền D ta nói f (z) liên tục D Định lý 1.1 Cho f (z) = u(x, y) + iv(x, y) Khi đó: f (z) liên tục z0 = x0 + iy0 ⇔ u, v liên tục (x0 , y0 ) Định lý 1.2 Nếu f (z) liên tục miền đóng bị chận D tồn z0 ∈ D cho |f (z)| ≤ |f (z0 )| với z ∈ D 1.2 Hàm số phức đạo hàm Ta có tính chất giới hạn khác tương tự tính chất giới hạn hàm biến Cho hàm số phức f (z) Đạo hàm f (z) điểm z0 , viết f (z0 ) hay (df /dz)z=z0 , cho f (z0 + ∆z) − f (z0 ) ∆z→0 ∆z f (z0 ) = lim Nếu f (z) có đạo hàm z0 ta nói f (z) khả vi z = z0 Trong trường hợp f (z) khả vi điểm miền D, ta nói f khả vi D đạo hàm f (z) f điểm z ∈ D thường viết chung df /dz Với n số nguyên không âm, dễ dàng chứng minh d n (z ) = nz n−1 dz Mặt khác, ta kiểm chứng công thức n âm z = Bây với hàm số phức f (z) cho dạng f (z) = u(x, y) + iv(x, y), ta thử xác định biểu thức đạo hàm f (z0 ) điểm z0 = x0 + iy0 tồn Do f (z0 ) không phụ thuộc vào cách mà ∆z → nên ta xét trường hợp ∆z = ∆x (∆y = 0) ta có f (z0 + ∆x) − f (z0 ) ∆x→0 ∆x v(x0 + ∆x, y0 ) − v(x0 , y0 ) u(x0 + ∆x, y0 ) − u(x0 , y0 ) +i = lim ∆x→0 ∆x ∆x f (z0 ) = lim Từ suy u, v phải có đạo hàm riêng theo x (x0 , y0 ) ta có f (z0 ) = ∂u ∂v (x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ) = ∂x ∂x ∂u ∂v +i ∂x ∂x x0 ,y0 Lập luận tương tự (khi chọn ∆z = i∆y), ta suy u, v phải có đạo hàm riêng theo y (x0 , y0 ) ∂u ∂v ∂u ∂v (x0 , y0 ) − i (x0 , y0 ) = −i f (z0 ) = ∂y ∂y ∂y ∂y x0 ,y0 Từ kết trên, ta có kết luận sau: f = u + iv có đạo hàm điểm z đó, điểm u, v có đạo hàm riêng thỏa hệ thức ∂u ∂v = ∂x ∂y ∂u ∂v =− ∂y ∂x (1.6) (1.7) Các hệ thức gọi phương trình Cauchy-Riemann Định lý 1.3 Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y), u, v liên tục có đạo hàm riêng liên tục lân cận điểm z0 = x0 + iy0 Khi đó, f khả vi z0 phương trình Cauchy-Riemann thỏa (x0 , y0 ) Ví dụ 1.1 Khảo sát tính khả vi f (z) = zz = |z|2 Chương Hàm số biến phức Vì phép toán tính đạo hàm có dạng hàm biến nên ta có quy tắc tương tự đạo hàm hàm biến phức Trong trường hợp f (z) = u + iv xét tọa độ cực (r, θ) f (z) = u(r, θ) + iv(r, θ) Khi đó, kiểm chứng phương trình Cauchy-Riemann (1.6), (1.7) trở thành: ∂v ∂u = ∂r r ∂θ ∂v ∂u =− ∂r r ∂θ (1.8) (1.9) Các phương trình điều kiện cần đủ để f khả vi điểm mà tọa độ cực chúng (r, θ), với r = Tương tự vấn đề khảo sát, f (z) tồn tính biểu thức sau: f (z) = f (z) = 1.3 ∂u ∂v +i (cos θ − i sin θ), ∂r ∂r ∂u ∂v −i +i (cos θ − i sin θ) ∂θ ∂θ r (1.10) (1.11) Tính giải tích – Hàm điều hòa Định nghĩa 1.5 Hàm f (z) gọi giải tích z0 khả vi lân cận z0 Nếu f (z) giải tích điểm miền D ta nói f (z) giải tích D Nếu f (z) giải tích toàn mặt phẳng phức gọi hàm nguyên Ví dụ 1.2 Hàm f (z) = x2 + iy giải tích giá trị z? Định nghĩa 1.6 Nếu f (z) không giải tích z0 giải tích điểm lân cận z0 , z0 gọi điểm kỳ dị f Ví dụ 1.3 Tìm điểm z mà f (z) = (z + 2)/(z + 1) không giải tích Ví dụ 1.4 Trong tọa độ cực, khảo sát tính giải tích f (z) = r2 cos2 θ + ir2 sin2 θ, với z = Bây giờ, ta xét vấn đề sau: với hàm φ(x, y) cho trước, ta xác định hàm giải tích f (z) có dạng f (z) = φ + iv hay f (z) = u + iφ hay không? Nói cách khác, hàm hàm φ(x, y) cho trước xem phần thực hay phần ảo hàm giải tích không? Để trả lời cho câu hỏi này, trước tiên ta xét hàm giải tích f (z) = u + iv Khi đó, theo phương trình Cauchy-Riemann, ta có: ∂u ∂v = ∂x ∂y ∂u ∂v =− ∂y ∂x (1.12) (1.13) 1.4 Các hàm phức sơ cấp Ta giả sử lấy vi phân phương trình (1.12) theo x phương trình (1.13) theo y: ∂2u ∂ ∂v = ∂x2 ∂x ∂y ∂2u ∂ ∂v =− ∂y ∂y ∂x (1.14) (1.15) Bây giả sử v có đạo hàm riêng cấp hai liên tục ta có ∂ v/∂x∂y = ∂ v/∂y∂x Khi đó, từ (1.14), (1.15), ta có ∂2u ∂2u + = (1.16) ∂x2 ∂y Lập luận tương tự, ta có ∂2v ∂2v + = ∂x2 ∂y (1.17) Vậy, phần thực phần ảo hàm giải tích phải thỏa phương trình Laplace sau đây: ∂2φ ∂2φ + = ∂x2 ∂y (1.18) Định nghĩa 1.7 Hàm thỏa phương trình Laplace miền gọi hàm điều hòa miền Từ kết xét, ta có định lý sau: Định lý 1.4 Nếu f (z) = u + iv giải tích miền D u, v hàm điều hòa D Các phần thực ảo hàm giải tích gọi hàm liên hợp điều hòa Định lý 1.5 Giả sử φ(x, y) hàm điều hòa miền đơn liên D Khi đó, tồn hàm giải tích D có dạng: f (z) = φ + iv g(z) = u + iφ Ví dụ 1.5 Chứng tỏ φ = x3 − 3xy + 2y phần thực hàm giải tích Tìm phần ảo hàm giải tích Định lý sau cho ta tính chất hình học thú vị hàm liên hợp điều hòa Định lý 1.6 Cho hàm giải tích f (z) = u(x, y) + iv(x, y) số C1 , C2 , D1 , D2 , Khi đó, họ đường cong u(x, y) = C1 , u(x, y) = C2 , v(x, y) = D1 , v(x, y) = D2 , trực giao với nhau; nghĩa giao đường cong họ thứ với đường cong họ thứ hai xảy góc 900 , trừ điểm z thỏa f (z) = 1.4 Các hàm phức sơ cấp 1.4.1 Hàm mũ Ta định nghĩa hàm số ez (hay exp z), với z = x + iy, cho (a) ez trở thành hàm số thực ex z nhận giá trị thực (b) ez hàm giải tích z 10 Chương Hàm số biến phức Hàm ex cos y + iex sin y định nghĩa cho hàm ez Vậy: ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y) Ta kiểm chứng định nghĩa thỏa (a), (b) ez hàm nguyên z Ngoài tính chất hoàn toàn tương tự hàm số mũ thông thường, ta có mối quan hệ quan trọng sau: (a) |ez | = ex , với z = x + iy (b) arg(ez ) = y + 2kπ, k ∈ Z (c) eiπ + = 1.4.2 Hàm lượng giác Từ công thức Euler eiθ = cos θ + i sin θ (1.19) ta có eiθ − e−iθ 2i eiθ + e−iθ cos θ = sin θ = Theo đó, cách tự nhiên, ta định nghĩa hàm cos z, sin z sau: eiz − e−iz 2i eiz + e−iz cos z = (1.20) sin z = (1.21) Ta dễ dàng kiểm tra kết sau (a) Do eiz e−iz hàm nguyên nên cos z sin z hàm nguyên (b) d sin z/dz = cos z, d cos z/dz = − sin z, sin2 z + cos2 z = ta có công thức cộng trường hợp hàm lượng giác thực, chẳng hạn: sin(z1 ± z2 ) = sin z1 cos z2 ± cos z1 sin z2 , cos(z1 ± z2 ) = cos z1 cos z2 ∓ sin z1 sin z2 Để thuận tiện tính giá trị hàm (1.20), (1.21), z = x + iy, ta có e−y (cos x + i sin x) e−y (cos x − i sin x) e−y eix − ey e−ix = − 2i 2i 2i ey + e−y ey − e−y = sin x + i cos x = sin x cosh y + i cos x sinh y 2 sin z = Tương tự, ta có cos z = cos x cosh y − i sin x sinh y Các hàm lượng giác phức lại định nghĩa sau: tan z = sin z = , cos z cot z sec z = , cos z csc z = , sin z 4.5 Tính tích phân thực loại II 4.5 63 Tính tích phân thực loại II Thỉnh thoảng toán ứng dụng Toán hay Vật lý, ta gặp tích phân sau: +∞ b +∞ f (x)dx, f (x)dx, a −∞ f (x)dx, −∞ đó, f (x) hàm thực biến thực x, a, b số Các tích phân định nghĩa +∞ R f (x)dx = lim f (x)dx, R→+∞ a a b b f (x)dx = lim f (x)dx, f (x)dx = lim f (x)dx (giá trị Cauchy) R→+∞ −R R −∞ +∞ R→+∞ −R −∞ Đối với tích phân thứ ba, cách tính theo định nghĩa giá trị Cauchy, ta có cách khác để định nghĩa nó, gọi định nghĩa chuẩn hay định nghĩa thông thường Đó +∞ c f (x)dx = −∞ +∞ f (x)dx + −∞ f (x)dx c Tuy nhiên, từ sau ta xét tích phân thứ ba theo nghĩa giá trị Cauchy Ví dụ 4.16 Tính +∞ I= −∞ x2 dx x4 + cách dùng thặng dư Giải Trước tiên, ta xét tích phân (C) z dz z4 + lấy dọc theo chu tuyến (C) bao gồm đoạn thẳng y = (−R ≤ x ≤ R) nửa đường tròn |z| = R (0 ≤ arg z ≤ π) Rõ ràng, chọn R > (C) chứa cực điểm f (z) = z /(z + 1) nửa mặt phẳng (gọi tắt n.m.t.) Vậy (C) z dz = 2πi z4 + Res f (z), zk , cực điểm zk n.m.t k Tích phân vế trái tách thành hai phần: phần lấy dọc theo đoạn thẳng (z = x), phần lại lấy dọc theo cung nửa tròn (C1 ) nửa mặt phẳng trên: +R −R x2 dx + x4 + (C1 ) z dz = 2πi z4 + Res f (z), zk , cực điểm zk n.m.t k Khi cho R → +∞, tích phân thứ vế trái trở thành giá trị Cauchy tích phân cần tính ta chứng minh tích phân thứ hai dần đến R → +∞ 64 Chương Thặng dư ứng dụng phép tính tích phân Theo bất đẳng thức M L, ta có (C1 ) z dz ≤ M L = M πR, z4 + (4.12) đó, L = πR độ dài nửa đường tròn (C1 ), M số yêu cầu thỏa |z /(z +1)| ≤ M (C1 ) Do (C1 ), |z| = R, nên điều kiện yêu cầu trở thành R2 /|z + 1| ≤ M Mặt khác, ta có bất đẳng thức: |z + 1| ≥ |z | − = R4 − 1; từ đó, suy R2 /|z + 1| ≤ R2 /(R4 − 1) Vậy ta chọn M = R2 /(R4 − 1) (4.12) trở thành (C1 ) z dz πR3 ≤ z4 + R4 − Khi R → +∞, vế phải dần đến nên suy vế trái dần đến theo nhận xét nêu, ta có +∞ −∞ x2 dx = 2πi x4 + Res f (z), zk , cực điểm zk n.m.t k Mặt khác, phương trình z + = có nghiệm z = eiπ/4 , z = ei3π/4 , z = e−iπ/4 , z = e−i3π/4 có hai nghiệm đầu số thuộc n.m.t cực điểm đơn f (z) Dễ thấy: e−iπ/4 −i3π/4 e = Res f (z), eiπ/4 = Res f (z), ei3π/4 Vậy, +∞ −∞ Ngoài ra, x2 /(x4 x2 dx 2πi −iπ/4 π = e + e−i3π/4 = √ x +1 + 1) hàm số chẵn nên ta có +∞ x2 dx π = √ x4 + 2 Chú ý ta tính tích phân cách dùng đường lấy tích phân bao gồm nửa đường tròn nửa mặt phẳng |z| = R (−π ≤ arg z ≤ 0) đoạn thẳng y = (−R ≤ x ≤ R) Bây giờ, ta chứng minh định lý làm sở cho việc khẳng định tích phân lấy cung có tính chất đặc biệt, dần đến R → +∞ Định lý 4.3 Giả sử hàm số f (z) tồn số k > 1, R0 µ cho: |f (z)| ≤ µ , |z|k ∀|z| ≥ R0 nửa mặt phẳng Im(z) ≥ Khi đó, (C1 ) nửa đường tròn Reiθ , ≤ θ ≤ π R > R0 , ta có lim R→+∞ (C1 ) f (z)dz = (4.13) 4.5 Tính tích phân thực loại II 65 Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức M L, với R > R0 , ta có f (z)dz ≤ M L = M πR (C1 ) Bây giờ, ta yêu cầu |f (z)| ≤ M (C1 ) Theo giả thiết, |f (z)| ≤ µ/|z|k = µ/Rk (C1 ), nên ta chọn M = µ/Rk Từ f (z)dz ≤ (C1 ) µπR µπ = k−1 , Rk R k > Vậy, R → +∞ vế phải bất đẳng thức dần đến nên ta có kết cần chứng minh Xét hàm hữu tỉ P (z) an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 , = Q(z) bm z m + bm−1 z m−1 + · · · + b1 z + b0 m > n Khi |z| tăng vô hạn, ta xấp xỉ P (z) an z n an ≈ = , m Q(z) bm z bm z d d = m − n Từ suy tồn số µ, R0 cho µ P (z) ≤ d, Q(z) |z| ∀|z| ≥ R0 Vậy, d ≥ f (z) = P (z)/Q(z) thỏa Định lý 4.3 ta kết luận lim R→+∞ (C1 ) P (z)dz = 0, Q(z) với P , Q đa thức deg(Q) − deg(P ) ≥ Bây giờ, cách lấy tích phân P/Q dọc theo chu tuyến (C) bao gồm đoạn thẳng y = (−R ≤ x ≤ R) nửa đường tròn |z| = R (0 ≤ arg z ≤ π), với R đủ lớn, ta có +R −R P (x)dx + Q(x) (C1 ) P (z)dz = 2πi Q(z) Res k P (z) , zk , Q(z) cực điểm zk n.m.t Vậy, cho R → +∞, theo kết trên, ta chứng minh định lý sau: Định lý 4.4 Cho P , Q đa thức theo x, deg(Q) − deg(P ) ≥ Q(x) = 0, với x ∈ R Khi đó, +∞ P (x) P (z) dx = 2πi Res , zk , cực điểm zk n.m.t Q(z) −∞ Q(x) k Yêu cầu Q(x) = để khẳng định hàm dấu tích phân hữu hạn x 66 Chương Thặng dư ứng dụng phép tính tích phân Ví dụ 4.17 Tính tích phân +∞ −∞ x2 dx x4 + x2 + Giải Do bậc mẫu lớn bậc tử đơn vị nên theo Định lý 4.4, ta có +∞ −∞ x2 dx = 2πi x4 + x2 + z2 , zk , z4 + z2 + Res k cực điểm zk n.m.t Để ý phương trình z + z + = có nghiệm eiπ/3 , ei2π/3 , e−iπ/3 e−i2π/3 , suy hàm z /(z + z + 1) có cực điểm đơn n.m.t eiπ/3 , ei2π/3 Theo tính thặng dư cho tiêu chuẩn IV thặng dư, ta có 2πi Res k 4.6 z2 π , zk = √ z +z +1 Tính tích phân thực loại III Với f (x) hàm hữu tỉ theo x p số thực, tích phân sau +∞ +∞ f (x) cos px dx, −∞ f (x) sin px dx, −∞ loại thường gặp phép biến đổi Fourier Ở ta khảo sát giá trị Cauchy chúng Trước tiên, ta thử tính tích phân +∞ −∞ cos 3x dx (x − 1)2 + phương pháp xét Theo đó, ta tính tích phân hàm phức cos 3z/ (z − 1)2 + dọc theo chu tuyến (C) gồm nửa đường tròn (C1 ) n.m.t đoạn thẳng y = xét nhận được: +R −R cos 3x dx + (x − 1)2 + (C1 ) cos 3z dz = 2πi (z − 1)2 + Res k cos 3z , zk , (z − 1)2 + n.m.t Mặc dù phương trình có giá trị R đủ lớn, ta dùng cho mục đích Thật vậy, ta muốn chứng tỏ tích phân lấy dọc theo (C1 ) dần đến 0, R → +∞, cos 3z = e3iz + e−3iz ei3x−3y + e−i3x+3y = 2 (z = x + iy) nên R → +∞ tung độ y điểm (C1 ) dần đến vô hạn vậy, độ lớn e−i3x+3y trở nên không bị chận Như vậy, tích phân (C1 ) không triệt tiêu cho R → +∞ Ta cần chọn cách tiếp cận khác để giải vấn đề 4.6 Tính tích phân thực loại III 67 Để ý e3ix = cos 3x + i sin 3x xét tích phân +∞ −∞ e3ix dx (x − 1)2 + Tích phân có thểtính kỹ thuật xét Theo đó, ta có phân tích +R −R e3ix dx + (x − 1)2 + (C1 ) e3iz dz = 2πi (z − 1)2 + e3iz , zk , (z − 1)2 + Res k n.m.t Giả sử ta chứng tỏ tích phân (C1 ) dần đến R → +∞, vậy, ta có +∞ −∞ e3ix dx = 2πi (x − 1)2 + Res k e3iz , zk , (z − 1)2 + n.m.t hay +∞ −∞ cos 3x dx +i (x − 1)2 + +∞ −∞ sin 3x dx = 2πi (x − 1)2 + Res k e3iz , zk , (z − 1)2 + n.m.t Bằng cách đồng phần thực ảo phương trình trên, ta có +∞ −∞ +∞ −∞ cos 3x dx = Re 2πi (x − 1)2 + sin 3x dx = Im 2πi (x − 1)2 + Res e3iz , zk (z − 1)2 + , cực điểm n.m.t Res e3iz , zk (z − 1)2 + , cực điểm n.m.t k k Mặt khác, phương trình (z − 1)2 + = có nghiệm z = ± i, có nghiệm z = + i cực điểm (đơn) e3iz / (z − 1)2 + n.m.t 2πiRes e3iz , 1+i (z − 1)2 + = 2πi e3iz 2(z − 1) = πe−3 (cos + i sin 3) z=1+i Từ suy ra: +∞ −∞ +∞ −∞ cos 3x dx = πe−3 cos 3, (x − 1)2 + sin 3x dx = πe−3 sin (x − 1)2 + Tất nhiên, ta phải chứng tỏ tích phân lấy (C1 ) e3iz / (z − 1)2 + dần đến R → +∞ Tuy nhiên, kết tổng quát cho chứng minh định lý sau Định lý 4.5 Giả sử nửa mặt phẳng Im(z) ≥ 0, hàm f (z) có tính chất sau: tồn số k > 0, R0 µ cho µ |f (z)| ≤ k , ∀ |z| ≥ R0 n.m.t |z| Khi đó, (C1 ) nửa đường tròn Reiθ , ≤ θ ≤ π, R > R0 ta có lim R→+∞ (C1 ) f (z)eiνz dz = 0, ν > (4.14) 68 Chương Thặng dư ứng dụng phép tính tích phân Chứng minh Ta gọi tích phân (4.14) I để ước lượng giá trị nó, ta chuyển sang tọa độ cực: z = Reiθ , dz = Reiθ idθ có π f (z)eiνz dz = I= iθ f (Reiθ )eiνRe iReiθ dθ (C1 ) Do |eiθ | = eiνRe iθ = eiνR(cos θ+i sin θ) = e−νR sin θ eiνR cos θ = e−νR sin θ nên π |I| ≤ R |f (Reiθ )|e−νR sin θ dθ Ngoài ra, giả thiết |f (z)| = |f (Reiθ )| ≤ µ/Rk sin θ đối xứng quanh θ = π/2 nên ta có π |I| ≤ R µ −νR sin θ 2µ e dθ = k−1 k R R π/2 e−νR sin θ dθ (4.15) Mặt khác, dễ thấy, khoảng ≤ θ ≤ π/2, ta có sin θ ≥ 2θ/π; từ đó, e−νR sin θ ≤ e−νRθ2/π , với ≤ θ ≤ π/2 (ν ≥ 0) Vậy, từ (4.15), ta có |I| ≤ 2µ Rk−1 π/2 e−νRθ2/π dθ = πµ − e−νR νRk Khi R → +∞, vế phải bất đẳng thức dần đến nên suy I → 0, nghĩa lim R→+∞ (C1 ) f (z)eiνz dz = Chú ý Khi ν < 0, ta có định lý tương ứng áp dụng cho trường hợp nửa mặt phẳng Xét hàm hữu tỉ f (z) = P (z)/Q(z), đó, bậc đa thức mẫu Q(z) lớn bậc đa thức tử P (z) Khi đó, f (z) thỏa Định lý 4.5 từ đó, ta có bổ đề sau Bổ đề 4.1 (Jordan) Nếu ν > deg(Q) − deg(P ) ≥ lim R→+∞ (C1 ) P (z) iνz e dz = Q(z) (4.16) Theo bổ đề trên, ta tính tích phân hàm (P (z)/Q(z))eiνz dọc theo chu tuyến kín thặng dư Bây giờ, ta giả sử không điểm Q(z) nửa mặt phẳng bao quanh chu tuyến (C) bao gồm nửa đường tròn (C1 ) nằm n.m.t đoạn thẳng y = 0; ra, ta có giả thiết Q(x) = 0, với giá trị x ∈ R Bởi vậy, cực điểm zk n.m.t., +∞ P (x) iνx P (z) iνz P (z) ivz e dx + e dz = 2πi Res e , zk Q(z) −∞ Q(x) (C1 ) Q(z) k 4.7 Tính tích phân bao gồm chu tuyến “tránh” điểm kỳ dị 69 Vậy, cho R → +∞ ta có +∞ −∞ P (x) iνx e dx = 2πi Q(x) Res k P (z) iνz e , zk , Q(z) cực điểm zk n.m.t., với ν > 0, Q(x) = 0, ∀x ∈ R deg(Q) − deg(P ) ≥ Từ đó, ta có kết luận sau: +∞ −∞ +∞ −∞ P (x) cos νxdx = Re 2πi Q(x) P (x) sin νxdx = Im 2πi Q(x) Res P (z) iνz e , zk Q(z) , cực điểm n.m.t., Res P (z) iνz e , zk Q(z) , cực điểm n.m.t., k k Q(x) = 0, −∞ < x < +∞, deg(Q) − deg(P ) ≥ 1, ν > 4.7 Tính tích phân bao gồm chu tuyến “tránh” điểm kỳ dị Trong đoạn trước, điểm kỳ dị nằm bên miền giới hạn chu tuyến tính tích phân Trong trường hợp điểm kỳ dị nằm chu tuyến mà ta định lấy tích phân trình tính giới hạn xác định thích hợp, ta tính tích phân Trước tiên ta xét hàm f (z) có cực điểm đơn z0 gọi (C) đường tròn tâm z0 , bán kính r Nếu f (z) điểm kỳ dị khác bên hay bên (C) ta biết (C) f (z)dz = 2πic−1 , đó, c−1 thặng dư f (z) z0 tích phân lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ dọc theo (C) Từ kết trên, ta đoán nhận đường lấy tích phân phân nửa (C) giá trị tích phân có 2πic−1 /2 hay lấy 1/4 chiều dài (C) tích phân nhận 2πic−1 /4? Thật ra, tích phân lấy dọc theo tỉ lệ (C) tích phân tính giới hạn bán kính (C) dần đến tỉ lệ tương ứng thặng dư f (z) z0 Cụ thể hơn, ta có định lý sau Định lý 4.6 Cho hàm f (z) có cực điểm đơn z0 Xét cung (C0 ) bán kính r, chắn góc tâm z0 α Khi α lim f (z)dz = 2πi Res[f (z), z0 ] (4.17) r→0 (C ) 2π Chứng minh Do f (z) có cực điểm đơn z0 nên khai triển Laurent f (z) quanh z0 có dạng: f (z) = c−1 + g(z), z − z0 ∞ n đó, g(z) = n=0 cn (z − z0 ) tổng chuỗi Taylor, giải tích z0 c−1 = Res f (z), z0 Bằng cách lấy tích phân dọc theo (C0 ), ta có f (z)dz = (C0 ) (C0 ) c−1 dz + z − z0 g(z)dz (C0 ) (4.18) 70 Chương Thặng dư ứng dụng phép tính tích phân Do g(z) liên tục z0 nên bị chận lân cận điểm này, nghĩa có số M cho |g(z)| ≤ M lân cận ta chọn r đủ nhỏ để (C0 ) nằm hoàn toàn lân cận Áp dụng bất đẳng thức M L, ta được: g(z)dz ≤ M L = M rα, (C0 ) suy lim r→0 (C ) g(z)dz = (4.19) Với z = z0 + reiθ , dz = ireiθ dθ điểm z ∈ (C0 ), ta có (C0 ) θ1 +α c−1 dz = z − z0 θ1 c−1 ireiθ dθ α = c−1 αi = 2πi c−1 2π reiθ (4.20) Từ (4.18), theo (4.19) (4.20), ta có (4.17) Bây ta xét tích phân mà hàm dấu tích phân trở nên vô hạn điểm đường lấy tích phân trường hợp này, ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 4.6 Khi f (x) trở thành vô hạn p, a < p < b, tích phân f (x) [a, b] nhận giá trị sau đây, gọi giá trị Cauchy: b p−ε f (x)dx = lim ε→0+ a b f (x)dx + a f (x)dx , (4.21) p+ε đó, f (x) liên tục a ≤ x < p p < x ≤ b Như vậy, tích phân “suy rộng” không có điểm gián đoạn hàm dấu tích phân mà tồn cận vô hạn, hai định nghĩa xét giá trị Cauchy +∞ áp dụng Chẳng hạn tích phân −∞ sin x dx/(x − 3) xác định theo giá trị Cauchy sau: +∞ 3−ε R sin x sin x sin x dx = lim dx + dx + ε→0 −∞ x − −R x − 3+ε x − R→+∞ Ví dụ 4.18 Tính +∞ −∞ cos 3x dx x−1 Giải Trước tiên, ta xét việc tính tích phân hàm ei3z /(z − 1) dọc theo chu tuyến kín giống toán xét với chu tuyến có thay đổi Do ei3z /(z − 1) có cực điểm z = nên điểm nên tránh cách “dịch ra” nửa đường tròn bán kính ε, tâm z = chu tuyến Khi đó, ý hàm ei3z /(z − 1) giải tích chu tuyến Lấy tích phân hàm theo chu tuyến chỉ, ta có (C) ei3z dz = z−1 đặt z = x chỗ thích hợp, ta suy 1−ε −R Trong (4.22): ei3x dx + x−1 I |z−1|=ε ei3z dz + z−1 R 1+ε ei3x dx + x−1 II |z−1|=R ei3z dz = z−1 (4.22) 4.7 Tính tích phân bao gồm chu tuyến “tránh” điểm kỳ dị 71 (a) R → +∞: II → theo Bổ đề Jordan (b) ε → 0+ : dùng (4.17) với α = π Res ei3z /(z − 1), = ei3 nên I → −iπei3 Vậy, cho ε → 0+ R → +∞, vế trái (4.22) trở thành 1−ε ε→0+ R→+∞ R ei3x dx + x−1 lim −R nghĩa +∞ −∞ 1+ε ei3x dx = iπei3 , x−1 ei3x dx = iπei3 x−1 Từ ta có: +∞ −∞ cos 3x dx + i x−1 +∞ −∞ sin 3x dx = iπ[cos + i sin 3] = −π sin + iπ cos x−1 Vậy, ta nhận hai kết sau: +∞ −∞ +∞ cos 3x dx = −π sin 3, x−1 Ví dụ 4.19 Tính tích phân +∞ Giải Trước tiên, để ý +∞ −∞ sin 3x dx = π cos x−1 sin x dx x sin x dx = x +∞ −∞ sin x dx x eiz /z Do có cực điểm z = nên điểm tránh cách “dịch ra” nửa đường tròn |z| = ε (ε > 0) xét chu tuyến tính tích phân (C) tương tự ví dụ Khi đó, (C) nên suy −ε −R eix dx + x |z|=ε sin z dz = z eiz dz + z R ε eix dx + x |z|=R eiz dz = 0, z đó, tích phân thứ hai thứ tư vế trái tính theo hướng âm hướng dương, dần đến giá trị tương ứng −iπ (ε → 0+ ) (R → +∞) Từ đó, ta có +∞ −∞ hay +∞ −∞ eix dx = iπ, x cos x dx + i x Theo +∞ +∞ −∞ sin x dx = iπ x sin x π dx = x 72 Chương Thặng dư ứng dụng phép tính tích phân 4.8 Tính tích phân thực tích phân phức quanh điểm vô hạn Trong số thực, ta thường liên hệ đến số vô hạn −∞, +∞ với số phức, ta bàn đến số “phức vô hạn”, ký hiệu ∞, có “độ lớn” xem lớn số thực cho trước Số ∞ biểu diễn mặt phẳng số phức z (mà ta thường gọi mặt phẳng số phức hữu hạn hay gọi tắt mặt phẳng hữu hạn) Điểm xem dần đến cho số phức z dọc theo đường mặt phẳng hữu hạn mà theo đó, |z| không bị chận Tuy nhiên, để dễ hình dung khái niệm số ∞ hay “điểm vô cùng”, ta xét mặt cầu đặc biệt, xây dựng sau Xét trục ζ vuông góc với mặt phẳng phức z = x + iy hay mặt phẳng xOy O Mặt cầu bán kính 1/2, tâm x = 0, y = 0, ζ = 1/2 gọi mặt cầu số phức Riemann, với điểm cực Bắc N nằm x = 0, y = 0, ζ = 1; điểm cực Nam S nằm x = 0, y = 0, ζ = Ta vẽ đường thẳng từ N đến điểm mặt phẳng xOy tương ứng với số phức z Đường thẳng cắt mặt cầu điểm, gọi z ta gọi hình chiếu z mặt cầu Theo cách số phức z có tương ứng hình chiếu mặt cầu Chú ý điểm xa gốc mặt phẳng xOy có hình chiếu tương ứng mặt cầu gần điểm cực N Vậy, ta kết luận N hình chiếu mặt cầu ∞ hay điểm vô hạn, dù ta vẽ ∞ mặt phẳng hữu hạn z Nếu mặt phẳng z xem chứa điểm ∞ ta gọi mặt phẳng số phức mở rộng Khi qui ước khác, ta không xem ∞ số phức bình thường Tuy nhiên, mặt phẳng số phức mở rộng ∞ xem số thỏa mãn phép toán quy ước sau: (a) Khi z = ∞: (b) Khi z = 0: z = 0, ∞ z ± ∞ = ∞, z = ∞, ∞ = ∞ z z · ∞ = ∞ Chú ý ta không định nghĩa cho trường hợp: ∞ + ∞, ∞ − ∞, ∞/∞ Một số tích phân xác định thực tính dựa vào tích phân phức dọc theo chu tuyến “bao quanh” điểm ∞ Trước tiên, mặt phẳng số phức mở rộng, ta xác định chất tính kỳ dị hàm f (z) z = ∞ Định nghĩa 4.7 Hàm f (z) gọi có điểm kỳ dị z = ∞ hàm F (w) = f (1/w) có điểm kỳ dị w = Nếu F (w) giải tích w = f (z) gọi giải tích z = ∞ Loại điểm kỳ dị f (z) z = ∞ xác định trùng với loại điểm kỳ dị F (w) w = Chẳng hạn (a) f (z) = ez có điểm kỳ dị cốt yếu z = ∞ F (w) = e1/w có có loại điểm kỳ dị w = (b) f (z) = 1/z giải tích z = ∞ Thật vậy, với F (w) = f (1/w), ta có F (w) = w w = 0, F (0) = f (∞) = 1/∞ = nên F (w) = w với w mặt phẳng số phức mở rộng Vậy F (w) giải tích w = (c) f (z) = z sin(1/z) F (w) = f (1/w) = (1/w) sin w hiển nhiên có điểm kỳ dị bỏ w = (ta chọn F (0) = 1) Vậy f (z) có điểm kỳ dị bỏ z = ∞ 4.8 Tính tích phân thực tích phân phức quanh điểm vô hạn 73 Giả sử f (z) hàm giải tích, trừ điểm z = ∞ điểm bên miền bị chận Theo nguyên lý biến dạng chu tuyến, tích phân f (z) lấy theo hướng quanh chu tuyến có phần bên mà giới hạn chứa điểm kỳ dị f (z) mặt phẳng phức hữu hạn có giá trị giống Vậy, ta có định nghĩa sau Định nghĩa 4.8 Thặng dư f (z) ∞ xác định Res f (z), ∞ = 2πi f (z)dz, (4.23) (C) đó, (C) chu tuyến kín đơn giản cho điểm kỳ dị f (z) mặt phẳng hữu hạn nằm miền bên (C) Thêm nữa, f (z) giả thiết giải tích bên (C), f (z) có điểm kỳ dị z = ∞ Chú ý Hướng (C) hướng chiều kim đồng hồ theo hướng miền “chứa” điểm ∞ nằm bên trái ta xem ta bao quanh miền chứa ∞ theo hướng dương Ví dụ 4.20 Dùng (4.23) để tìm thặng dư hàm sau z = ∞ Hãy khảo sát loại điểm kỳ dị ∞ (a) f (z) = k (hằng số) (b) f (z) = z (c) f (z) = 1/z (d) f (z) = 1/(z + 1) Giải (a) Mọi số có đạo hàm giải tích suốt mặt phẳng phức mở rộng (chú ý: f (∞) = k, suy F (w) = k, với w, hàm giải tích w = 0) Khi Res f (z), ∞ = 2πi f (z)dz = (C) 2πi kdz = 0, (C) chu tuyến kín đơn giản (C) (theo Định lý Cauchy-Goursat) (b) Vì f (z) = z nên F (w) = 1/w Do F (w) có cực điểm đơn w = nên f (z) có cực điểm đơn z = ∞ Theo (4.23), ta có Res z, ∞ = (1/2πi) (C) zdz, với (C) chu tuyến kín f (z) điểm kỳ dị mặt phẳng hữu hạn Vậy giá trị tích phân theo Định lý Cauchy-Goursat Ta có nhận xét rằng: “Một hàm với cực điểm vô hạn có thặng dư vô hạn” Chú ý hàm có cực điểm đơn điểm khác điểm vô hạn có thặng dư cực điểm (xem lại dạng khai triển Laurent quanh cực điểm này) (c) Rõ ràng f (z) = 1/z giải tích ∞ Khi đó, theo (4.23): Res 1/z, ∞ = 2πi |z|=r dz = −1 (do tích phân lấy theo chiều âm) z Vậy, hàm giải tích ∞ có thặng dư khác 74 Chương Thặng dư ứng dụng phép tính tích phân (d) Với f (z) = z +1 F (w) = 1/w2 +1 Nếu w = F (w) = w2 w2 +1 Do F (0) = nên F (w) giải tích w = f (z) giải tích ∞ Mặt khác, từ (4.23), ta có 1 Res ,∞ = z +1 2πi |z|=r z2 dz, +1 đó, r > để chu tuyến bao quanh điểm kỳ dị f (z) mặt phẳng hữu hạn Vế phải với − tổng thặng dư z 21+1 ±i dễ thấy Ta thấy tồn mối quan hệ trực tiếp thặng dư hàm ∞ hệ số khai triển Laurent Giả sử điểm kỳ dị f (z) mặt phẳng phức hữu hạn nằm bên đĩa |z| ≤ r f (z) giải tích phần lại mặt phẳng phức hữu hạn Như vậy, tồn khai triển Laurent f (z) có dạng: f (z) = · · · + c−2 z −2 + c−1 z −1 + c0 + c1 z + c2 z + · · · (|z| > r) (4.24) Nhưng z = ∞, ta tính số hạng chuỗi có lũy thừa dương Vậy, ta nói rằng: chuỗi có giá trị lân cận thủng điểm vô hạn Bây giờ, ta đặt (4.24) vào (4.23) lấy tích phân số hạng dọc theo chu tuyến (C) : |z| = r, ta nhận được: • Tiêu chuẩn I thặng dư ∞: Res f (z), ∞ = −c−1 , (4.25) c−1 hệ số z −1 khai triển Laurent f (z) có giá trị miền |z| > r, với r số thực dương Từ (4.25), ta dễ dàng nhận tiêu chuẩn sau • Tiêu chuẩn II thặng dư ∞: Nếu f (z) giải tích ∞ hay có điểm kỳ dị bỏ ∞ lim f (z) = z→∞ Res f (z), ∞ = lim −zf (z) z→∞ Chẳng hạn, f (z) = 1/(1 + z) thỏa tiêu chuẩn II nên Res f (z), ∞ = lim −zf (z) = lim z→∞ z→∞ −z = −1 1+z Đặt w = 1/z (4.24) ta nhận khai triển Laurent sau: F (w) = f (1/w) = · · · + c−2 w2 + c−1 w + c0 + c1 w−1 + c2 w−2 + · · · (|1/w| > r) (4.26) Từ điều kiện khai triển, ta kết luận: (4.26) có giá trị < |w| < 1/r Bằng cách chia vế (4.26) cho w2 ta nhận F (w) = · · · + c−2 + c−1 w−1 + c0 w−2 + c1 w−3 + c2 w−4 + · · · w2 Kết khai triển Laurent F (w)/w2 lân cận thủng w = Như vậy, theo định nghĩa thặng dư, ta có Res (1/w2 )F (w), = c−1 theo (4.25), c−1 = −Res f (z), ∞ Từ đó, suy tiêu chuẩn sau: 4.8 Tính tích phân thực tích phân phức quanh điểm vô hạn 75 • Tiêu chuẩn III thặng dư ∞: Res f (z), ∞ = −Res w−2 F (w), , F (w) = f (1/w) (4.27) Tiêu chuẩn cho phép tính thặng dư điểm vô hạn dựa vào tiêu chuẩn biết để tính thặng dư mặt phẳng hữu hạn Chú ý Tiêu chuẩn II yêu cầu limz→∞ f (z) = 0, tiêu chuẩn I III không yêu cầu điều Ví dụ 4.21 Cho f (z) = z−1 z+1 Tính Res f (z), ∞ tiêu chuẩn I III thặng dư ∞ Giải Với z = 0, ta có 1 = z + (1/z) 2 = − + − ··· z z f (z) = 1− 1− z 1− 1 + − + ··· z z z Khai triển Laurent f (z) có giá trị với |z| > ta có c−1 = −2 Vậy, theo tiêu chuẩn I thặng dư ∞ Res f (z), ∞ = −c−1 = −(−2) = Mặt khác, F (w) = f (1/w) = 1/w − 1−w = 1/w + 1+w Theo tiêu chuẩn III thặng dư ∞, ta có Res f (z), ∞ = Res − w2 1−w ,0 1+w Do F (w) có cực điểm bậc hai w = nên Res F (w), cho lim − w→0 d 1−w dw + w = lim w→0 = (1 + w)2 Giữa thặng dư f (z) điểm kỳ dị cô lập mặt phẳng hữu hạn thặng dư ∞ có mối quan hệ cho định lý sau Định lý 4.7 Giả sử f (z) hàm giải tích mặt phẳng phức trừ số hữu hạn điểm kỳ dị cô lập Khi đó, tổng thặng dư điểm kỳ dị cộng với thặng dư ∞ Chứng minh Với R đủ lớn đường tròn |z| = R chứa điểm kỳ dị cô lập bên Khi f (z)dz = 2πi Res f (z), zk , |z|=R zk điểm kỳ dị cô lập k Do f (z) giải tích bên |z| = R, trừ z = ∞ nên theo (4.23), ta có 2πi f (z)dz = Res f (z), ∞ |z|=R Từ hai kết trên, suy kết luận định lý: Res f (z), zk + Res f (z), ∞ = k 76 Chương Thặng dư ứng dụng phép tính tích phân Ta áp dụng định lý trường hợp f (z) hàm hữu tỉ f (z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a0 bm z m + bm−1 z m−1 + · · · + b0 Các điểm kỳ dị mặt phẳng hữu hạn f (z) xảy m nghiệm mẫu Ngoài ra, f (z) có điểm kỳ dị cô lập z = ∞ Bây giờ, ta xét thêm tiêu chuẩn thặng dư ∞ số hàm hữu tỉ • Tiêu chuẩn IV thặng dư ∞: Cho hàm hữu tỉ f (z) = P (z)/Q(z) Khi đó, Res f (z), ∞ = 0, Ví dụ 4.22 Xác định deg(Q) − deg(P ) ≥ I= |z|=3 z5 + z + dz z6 + cách dùng thặng dư ∞ Giải Theo cách tính thông thường giá trị I 2πi lần tổng thặng dư không điểm cô lập mẫu z + Phép tính không dễ thực Bây giờ, theo Định lý 4.7 tổng thặng dư điểm bên |z| = ngược dấu thặng dư ∞ Vậy, ta có I = −2πiRes z5 + z + ,∞ z6 + Bằng cách áp dụng tiêu chuẩn III thặng dư ∞, ta có 1 w2 w5 + w + = 2πi Res + w + w , = 2πi I = 2πi Res , w(1 + w6 ) +1 w Nếu thay cho toán trên, ta xét toán “Xác định |z|=3 (z + z + 1)/(z + 1)dz” ta kết luận: tích phân Thật vậy, theo cách lập luận giống ví dụ, ta nhận kết −2πiRes (z + z + 1)/(z + 1), ∞ , theo tiêu chuẩn IV thặng dư vô hạn, kết Trong trường hợp tích phân lấy cung chắn góc α ta có định lý tương tự Định lý 4.6: Định lý 4.8 Cho hàm f (z) giải tích ∞ (C) cung |z| = r, θ0 ≤ arg z ≤ θ0 + α Khi đó, lim r→∞ (C) f (z)dz = α 2πi Res f (z), ∞ = αi Res f (z), ∞ , 2π đó, tích phân lấy theo chiều chiều kim đồng hồ (C) 4.8 Tính tích phân thực tích phân phức quanh điểm vô hạn 77 Ví dụ 4.23 Hãy tính giá trị Cauchy tích phân +∞ −∞ x2 x dx +x+1 cách dùng thặng dư điểm vô hạn Giải Do bậc mẫu lớn bậc tử một đơn vị nên ta áp dụng Định lý 4.3 Để tính tích phân cho, ta xét tích phân zdz/(z + z + 1) lấy dọc theo chu tuyến kín (C) bao gồm nửa đường tròn (C1√) nằm n.m.t, tâm O, bán kính R Ta chọn R đủ lớn để (C) chứa bên nghiệm −1/2 + i 3/2 phương trình z + z + = Theo cách lập luận tương tự xét, ta đến √ +R x z z dx + dz = 2πiRes ,− + i 2+x+1 2+z+1 x z z + z + 2 (C1 ) −R Chú ý tích phân lấy (C1 ) dần đến theo cách lập luận cũ Ở ta cho R → ∞, dùng Định lý 4.8 để chứng tỏ rằng, dọc theo (C1 ): lim R→∞ (C1 ) z z dz = −πi Res ,∞ z2 + z + z +z+1 Dấu “−” vế phải tích phân lấy (C1 ) theo hướng ngược chiều kim đồng hồ Thay kết lên kết trên, ta nhận được: √ +∞ x z z dx = 2πi Res ,− + i + πi Res ,∞ z +z+1 2 z +z+1 −∞ x + x + Theo tiêu chuẩn IV thặng dư (tại điểm hữu hạn), tích phân thứ vế phải √ −1 + i √ , 2i tích phân thứ hai tính theo tiêu chuẩn II thặng dư ∞ bằng: −z −1 = lim = −1 z→∞ + 1/z + 1/z z→∞ z + z + lim Vậy: +∞ −∞ √ x −1 + i −π √ dx = 2πi − πi = √ x +x+1 2i 3 [...]... un (z) + · · · = uj (z) (3.1) j=1 được gọi là một chuỗi hàm biến phức Các hàm uj (z) (j = 1, 2, ) được gọi là các số hạng của chuỗi (3.1) Tổng n Sn (z) = uj (z) (3.2) j=1 được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (3.1) Để khảo sát các chuỗi hàm biến phức, trước tiên ta xét khái niệm giới hạn của một dãy hàm biến phức sau đây Định nghĩa 3.1 Dãy hàm S1 (z), S2 (z), , Sn (z), được gọi là có giới... (z)dz (z − z0 )n+1 (2.15) Nếu hàm giải tích f (z) trong miền D được viết dưới dạng f (z) = u(x, y) + iv(x, y) thì các đạo hàm của f sẽ được biểu diễn tương ứng theo các đạo hàm riêng của các hàm u, v Vì vậy, suy ra rằng u, v phải có đạo hàm riêng mọi cấp Mặt khác, theo Định lý 1.5, một hàm điều hòa trong một miền D có thể được xem là phần thực (hay phần ảo) của một hàm giải tích trong D nên ta suy... 2.7 Nếu f (w) là hàm giải tích trong một miền đơn liên D thì F (z) = giải tích trong D và ta có z d f (w)dw = f (z) dz a z a f (w)dw là hàm (2.8) z Nếu dF/dz = f (z) thì F (z) được gọi là một nguyên hàm của f (z) và từ (2.8), a f (w)dw là một nguyên hàm của f (z) Tất nhiên, nếu dF/dz = f (z) thì G(z) = F (z) + C (C là hằng số phức) cũng có đạo hàm là f (z) Từ đó, f (z) có vô số nguyên hàm Ký hiệu f (z)dz... nghĩa như sau: tanh z = 1.4.4 sinh z , cosh z coth z = 1 tanh z Hàm logarithm Ta sẽ định nghĩa hàm logarithm của z, ký hiệu là ln z, là hàm thỏa eln z = z (1.24) Chú ý rằng nếu z là số thực dương thì (1.24) đương nhiên được thỏa Bây giờ, ta định nghĩa ln z bởi công thức sau: ln z = ln |z| + i arg z (z = 0) (1.25) 12 Chương 1 Hàm số một biến phức và kiểm tra hệ thức (1.24) Nếu z được viết là z = reiθ thì... trong phần trong của (C) nên suy ra bản thân f (z0 ) là hàm giải tích của z0 trong phần trong của (C) Cứ tiếp tục lý luận như vậy, ta nhận được định lý công thức tích phân Cauchy mở rộng như sau Định lý 2.9 Nếu f (z) là hàm giải tích trong một miền D thì nó có đạo hàm mọi cấp trong D Bản thân các đạo hàm là các hàm giải tích trong D Nếu f (z) là hàm giải tích trên và trong phần trong của một chu tuyến... iθ = ∂r ∂r r re z Hàm đơn trị w(z) = Ln z, với z chỉ giới hạn trong D, được gọi là nhánh của hàm đa trị ln z Một cách chính xác, ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.8 Nhánh của một hàm đa trị là một hàm đơn trị giải tích trong một miền D nào đó Tại mỗi điểm trong D, nhánh chỉ nhận đúng một trong các giá trị có thể thay đổi mà hàm đa trị có thể nhận Vậy, để xác định một nhánh của một hàm đa trị, ta phải... toàn bộ mặt phẳng phức thì nó phải là hàm hằng 2.4 Bài toán Dirichlet Một bài toán quan trọng, có nhiều ứng dụng trong vật lý là bài toán Dirichlet: “Tìm hàm điều hòa u trong một miền D, thỏa u trên ∂D).” ∂D = ϕ (ϕ là hàm liên tục cho trước Với các trường hợp ∂D có dạng hình học đơn giản, ta thường dùng phương pháp tách biến để giải; còn đối với các trường hợp ∂D có dạng hình học phức tạp hơn, phương... tìm được Trong kết quả trên, φ(u, v) là phần thực của một hàm giải tích f (u, v) đối với v ≥ 0 Điều này dẫn đến φ(u, 0) phải liên tục trong −∞ < u < ∞ Do dạng tích phân nhận được mà yêu cầu này có thể giảm nhẹ để cho phép φ(u, 0) có một số hữu hạn các bước nhảy hữu hạn Chương 3 CHUỖI HÀM PHỨC 3.1 Các khái niệm và kết quả cơ bản Cho dãy hàm biến phức u1 (z), u2 (z), , un (z), Ký hiệu có dạng “tổng... y(t)j (a ≤ t ≤ b) Khi đó, các điểm z(t) trên (C) có thể được viết bởi z(t) = x(t) + iy(t) ≡ ψ(t) + iφ(t) và được xem là một hàm phức một biến thực, với đạo hàm: dz dψ dφ = +i dt dt dt Khi đó tích phân dọc theo (C) từ A (t = a) đến B (t = b) được cho bởi một tích phân của hàm một biến t: b b dz dψ dφ f (z)dz = f z(t) dt = f z(t) +i dt dt dt dt (C) a a 2.1 Tích phân trên chu tuyến 2.1.3 17 Các chận đối... phân kỳ nếu dãy tổng riêng không hội tụ tại bất kỳ z nào Trong trường hợp mọi số hạng của chuỗi (3.1) đều là hàm hằng uj (z) = cj (j = 1, 2, ) thì ta có chuỗi số phức ∞ cj j=1 29 30 Chương 3 Chuỗi hàm phức Tổng riêng, sự hội tụ hay phân kỳ cũng hoàn toàn giống như như đã xét đối với chuỗi hàm phức, nhưng các khái niệm đó độc lập đối với z Nếu uj (z) được viết dưới dạng uj (z) = Rj (x, y) + iIj (x,