TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 240 THÁNG 6 NĂM 1997

Bộ sưu tập TC Toán học và Tuổi trẻ từ năm 1978 đến nay ... Các tuyển tập sẽ không được đưa lên vì nhiều website đã có. ... Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác

Trang 1

https://www facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath BO GIAO DỤC VÀ ĐÀO TẠO # HỘI TỐN HỌC VIỆT NAM 6 (240) 1997 IAM THỨ34 TẠP CHÍ RA HÀNG THÁNG

* ĐA THỨC ĐỐI XỨNG VA UNG DUNG

* GIẢI THƯỞNG @0RA RATIO DÀNH GHO NỮ SINH GIỎI TỐN

* ĐỀ THỊ TUYỂN SINH Đđi HỌC Đại CƠNG ĐHQG TP HCM

* ĐỀ THỊ TUYỂN SINH CHUYÊN TỐN - TIN ĐHSP

* TỪ MỘT BÀI TỐN THI VƠ ĐỊCH QUỐC TẾ

Trang 2

hittps://www facebook.com/letrungkienmath https://sites google.com/site/letrungkienmath

TOAN HQC VA TUOI TRE

MATHEMATICS AND YOUTH

MUC LUC

Trang e Dành cho các bạn Trung học cơ sở

For Lower Secondary School Level Friends Tổng biên tập : Lê Quang Trung - Đa thức đối xứng và NGUYÊN CẢNH TỒN

ứng dụng 1 Phĩ tổng biên tập :

e Giải bài kÌ trước NGƠ ĐẠT TỨ

Sulutions of Problems in Previous Issue 3 So CaN Các bài của số 286

e Giải thưởng Cora Ratto dành cho các bạn

nữ sinh giỏi tốn 10 HOI DONG BIEN TAP :

T1/240, , T10/240, L1/240, L2/240 11 Bảo, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Việt Hải, Đinh Quang e Thơng báo chuyển trụ sở 1 Hảo, Nguyễn Xuân Huy, Phan n ain c3 Huy Khải, Vũ Thanh Khiết, Lê & Nguyễn Văn Minh = Đề thì tuyển sinh Hài Khơi Nguyễn Văn Mậu,

Đại học đại cương, ĐHQG TP HCM 13 Hồng Lê Minh, Nguyễn Khác

chuyên tốn - tin DHSP 15 TrauiVỆ Qthe FT” HỆng

Fun with Mathematics Binh Phương - Giai dap bai

Anh đẩy tớ và ơng chủ Bìa 4

Nguyễn Huy Doan - Nhận được

bao nhiêu quà Bìa 4

Trụ sở tịa soạn : Biên tập uờ trị sự : VŨ KIM THỦY

81 Trần Hưng Đạo, Hà Nội DT : 8220073 LÊ THỐNG NHẤT

Trang 3

các

hittps:/Awww.facebook.com/letrungkienmath hittps:/Isites.google.com/site/letrungkienmath

Š Trong chương trình tốn ở THCS, khái niệm đa thức đã được trình bày song cịn rất sơ lược, chưa được vận dụng nhiều vào giải quyết các bài tốn Trong bài này tơi xin giới thiệu vài nét về đa thức đối xứng và các ứng dụng cua no, chủ yếu là các đa thức 2 ẩn và 3 ẩn

1~ Tưm lược lí thuyết

1 Định nghĩa : Một đa thức 3 ẩn x, y, z được gọi là đa thức đối xứng nếu nĩ _ khơng thay đổi giá trị khi ta thay thế một cách tùy ý các ẩn x, y, z cho nhau Ví dụ 1: - Các đa thức sau là các đa thức đối xứng :

rty, xy, Py tay, x+y, Oty}, x2 +y2 +z2, x3 + yề +z3 — 8yyz ~ Các đa thức sau khơng phải là đa thức đối xứng : X—y, x" —y?, x? = By? + Dy,

2 Da thite d6i xứng cĩ bản

a) Đa thức 2 ẩn cĩ 2 da thiie d6i xing ca ban :5, = x+y, 5, = xy b) Đa thức 8 ẩn cĩ 3 đa thức đối xứng cơ bản ':

ơi =x+y+2,ð, =xy +12 +yz, 5, = xyz 3 Biéu dién da thite dối xứng gita cdc da thite dé? xing co ban

a) Đối với đa thức 2 ẩn việc biểu diễn khơng khĩ khăn lắm chẳng hạn : xy tay? = aye ty) = ðjổạ x? +yŸ = (x ty)? - Day = 62 — 26

xì +y) = (ety) - Bxy(e ty) = đị— Gối,

b) Đối với đa thức 3 ẩn việc biểu diễn khĩ khăn hơn, nhưng ta cĩ thể

dùng phương pháp hệ số bất định như sau :

~ Trước hết ta coi một đa thức 3 ẩn viết dưới dạng đẩy đủ là :

Í&Œ& y, 2) = tư VĐuên + La”: + + an nm

Hạng từ ¿x°y°z“: cĩ bộ số mũ là (4, ð,, e;)

Ví dụ 1:/(x, y, 2) = x3 + yÌ +z3 — 8ryz = x3y9z9 + x9y3z9 + xOy9z3 ~ đyyz

~ Phương pháp biểu diễn :

+ Chọn hạng tử cao nhất giả sử là ¿zy°z° cĩ bộ số mũ là (a,b, ¢,)

+ Viet tat cả cdc bd s6 ma (d,, m,, n,) théa man d, +m, +n, = a, +0, +e, vad, > m, > n, :

+ GIÁ sit flix, y, = RSL OMIM MI + kuổ: Huấn;

+ htm amon

Cho x, y, z những giá trị tùy ý ta tìm được R\, k2, k,

Ví dụ 2 Biểu diễn đa thức /ứx, y, z) = z3 + yŸ + z2 qua các đa thức đối

xứng cơ bản

~ Hang tử cao nhất là z3 cớ bộ số mũ (3, 0, 0)

~ Viết tất cả các bộ số mũ : (3, 0, 0), (2, 1, 0), (1, 1, 1)

~ Gia st: x,y, 2) = Ä¡ð) 960489 + š,ưŸ lội "0ã + g,g]~ lợi ~lI = = kiố] + hy8 55 + hyd,

2,2 = 1 taduge 5, = 0,5, = -3, 5, = -2suy taduged, = 2,5, = 1,5, = Ú sủy ra : 8k, +24) = 2 rak, = 3 3,6, = Isuy ra: 27, +98, +3 =3 e CÐSP LE QUANG TRUNG z ty et + BOL KUNG VA UNG DUNG x=ly x=l,y=l, từ đĩ suy ra k} = 1, k, Vay : fix, y, z) = ð — 8ð II- Ứng dụng

1 Phân tích đa thức thành nhân tử :

Trang 4

hittps:/Awww.facebook.com/letrungkienmath ie Vay ta cĩ hệ i: 7 ae cĩ các nghiệm là 1+2 x¿=1—VZ 1~ v2 POM |„ =1 + VZ 3 Giải phương lrình căn thức 'Vídụõ Giải phương trình: Wx=Z+ Ÿ8—: Dat Vx-2=u, V8-x =v, tacdu,v 20 Khi đớ ta cĩ hệ i ốp =1 5,5 2 (83 ~ 26,)? - 288 =1 ~* |f6, = g`=s (e8) ` i op lim u =0

{i cotor [pa nt Apel

Nếu _ me thì phương v= trình cố nghiệm x = 3,

Néu | Ẵ thì phương trình cĩ nghiệm x = 2 4 Lập phương trình bậc 2 Vi dụ 6 Lập phương trình bậc 2 : x? + px + +q = 0 cĩ 2 nghiệm : x; = y†+ 2y3x;= lu =“3j+ 2j trong dé y,, y, 1a nghiệm của phương trình : y2 + 8y +1 = 0 6, =, +92 = Pa Spa Ị Ta 06 : x, +2, = Of + y$) + 207 +9) = (6 - 26,)? — 283 + 2(6} - 5,) = 68 xiz; = vb$ + 4yb3 + 209 + y9) = = ð‡+ 4ð1+ 2(ðƒ— 6ð|ð„+ 9ð]51— 2ð3)= 649 Vậy phương trình bậc 2 cẩn tìm là : x? - 68x + 649 = 0 5 Chitng minh các hàng dằng thúc, Ví dụ 7 Cho x +y = 1,32 +YƯ = @ x5 ty =6 Ching minh ring : 6a(a + 1) = 9 + 1

Ta cĩ x2 +y? = œ + y)” - y6 +y) =

= 83 — 95,5, suy ra ð; =

Theo Viết :

8

Mặt khác b = xŠ +yŠ = xẾ + yŸ +x2y2 +

x3y? - xƯy2 - xây?

#2(x3 + y3) + y2(x3 + y3) - x2y2(œ + y) =

=2 + y3) œ3 + y3) - zyœ + y)

= (ð† ~ 2ð,)\(ð) — 8ð¡ð;) — ð¡ð2 = (1 = 26,)(1 - 35,) — 83 =

2+ 5a-1

= 1+ 582-55, = ——==

Vay 9 = 5a* + 5a ~ 1 hay % +1 = ða(ø + 1) 6 Tim nghiệm nguyên của các phương trình dối xứng 2 hittps:/Isites.google.com/site/letrungkienmath Vi dụ 8 Tìm các số nguyện dương thỏa 5% mãn phương trình : x° + y? + 1 = 3xy Dat 3jESifisii tivi = xy tạ GỐ : 5 - 35,5, +1 = 35, - (ð¡+ D(đ?— ð,+ 1— 8ð;)= 0 VÌ z, y > 0 nên 6, =x+y > Odo ds 5, +1 # 0 vay 5j-5, + 1 +1-36,=0 suy ra 6, = 34-4 +) Nhu way ta phai tim x, y nguyên dương sao xty=6, cho xy = 5 Of - 5, +) 1 phuong trinh bac 2 : 2-524 5 (8-5 +1)=0 1 Cĩ A = —g(ð¡ — 2)” A < 0 néu d, # 2 Vay ta phải cĩ ð, =+ + y = 2 Khi đĩ x = 7 Chứng mình các bất đồng thức Ta luon cĩ (x - y) + (y - z2}? + £ - z)? > 0 ©Ằ>32 + y2 + z2) - 2(xy + xz +yz) > 0 2(ð?—23,)~2ð,> 0 ði > 8ố, từ bất đẳng thức này ta chứng minh được các bất đẳng thức khác Ví dụ 9 Chứng minh các bất đẳng thức :

a) (ab +ac + be)? > Sabela +b +c) Va, b,c ER

b) (a +b +c)(ab + ac + bc) > abe Va, 6,

céR

a) Tit 5? > 35, hay (x + y + z)? > 8(xy + xz + yz) dat x = ab, y = ac, z = be ta duge :

Trang 5

hittps:/Awww.facebook.com/letrungkienmath

Bài T1/236 Tìm ước số chung lớn nhất

của Đ 93 TT gặ 2 Đơ C j cf

Lời giải (Dựa theo Doan Hải Giang, 74 Nang Khiếu Quỳnh Lưu, Nghệ An) Trước

hết, ta xét bài tốn sau đây :

"Véi a, m, n © Nt thì at - ] chia hết cho a” ~ 1; a" ~ 1" (*) (Vi phép chia da thite am" - 1 cho các đa thức a™-1;a"- 11a khơng cĩ dư) Bây giờ ta phát biểu và chứng minh bài tốn tổng quát sau đây : "Vola, mụn CN và ø > 1 thì am -

~ 1) = aẲ MP - 19, That vay, dat d, = = (a= 15 a" — 1) yd, = (m; n), ta phải

ching minh d, = ø%° Từ (*), ta cổ g2 - Ị

là ước của am ~ | ; a" ~ 1, suy ước của đị (**) Đảo lại, do ở, > 0 và là ước ra g2 - ] là số của m, n nên dé dàng tim dugc hai số nguyên dương +, y théa man : mx - ny = đ,„

lật khác, do đ là ước của am - ] ; an ~ 3

nên từ (*), ta cĩ d, là ước Do đĩ ở, là ước của (a™ = 1) - a") — 1) = = aM™ — QUY = qlV(qM™ny — |) = giW(gd2 - |) của g" ~ ] ; q'Y - ],

Ma (d, ; a) = 1 nén d, la ước của 4 %2 - 1 (#**)

Kết hợp (***) vai ("*), ta cd d, = al? - j

Và, bài tốn tổng quát đã được điải xong Ấp

dụng vào bài tốn đang giải, ta cớ số cẩn tìm fa 24 - 1 (= 1ð), vÌ (1964 ; 1996) = 4 Nhận xét Cĩ 175 bài giải, tất cÀ đều

fia ding, trong do co mot s6 ban cũng dùng ¡ giải tổng quát như trên Ngồi bạn Doan Hải Giang ra, cịn cĩ các bạn sau đây cĩ lời lài tốt : Thanh Hĩa : Lê Kim Phượng (8C HCS Năng Khiếu Tp Thanh Hĩa), Lẻ Trọng Sơn (TA, N Hồng Hơa) Hà Nội : Nguyén Thanh Trung (8M, Marie Curie), Trần Luu Van (9C THCS Ngoc Lam), Tran Minh Quén (8H PTCS Trung Vuong) Vinh

Phúc : Kiều Việ: Cường (9B PTCS Chuyên

Yên lạc) Phú Thọ ; Nguyễn Kim Sé (11A PTTH Thanh Ba) Hải Phong : Lé Minh Anh (8AI Hồng Bang) Nam Định : Phùng Văn Huân (8 Nang Khiếu, huyện Giao Thủy) Bạc Liêu : Lương Thế Nhân (8A PTTH Chuyên) DANG VIEN Bai T2/236 : Gidi hệ phương trình x4 + yt + 24 = B(x + y +2) (1) aye = 8 (2) ¡ giải : (của nhiều bạn) Ta cd (a - 6)? + (b - e)2 +(c- ø)?2 >0 Va, b, ¢ = a? +62 4+? > ab + bc +a Va, b, c Bất đẳng thức trở thành đẳng thức <= a=b=c Ấp dụng vào bài tốn này ta cĩ Ta t+ yt t zi a xty? + ye? + z2x2 > > (xy)(yz) + (yz)(zx) + (ex)(xy) = xy2(t +y +2) Xết hợp với (2) thixt +y4+24 > 2 Bx +y +z) hittps:/Isites.google.com/site/letrungkienmath

Theo (1) thi bat ding thite tré thanh dan,

thúc Do đĩ hệ đã cho tương đương với =z 4ÿ=yz=zz o> x=y=z=2

xyz = 8 Nhân xét :

1) Trong 267 bài giải gửi về cĩ hai bạn giải sai tÌm ra 4 nghiệm và một số bạn lí

luận sai : "x4 + y' +z° > 3 ÏJxiy2T =4g = 8Œ +y+z2) >48=x+y 4z >6 Dấu đẳng thức ` ra (tại sao lại xảy ra ?) ©

x=y=z=Ð%

2) Nhiều bạn sử dụng bất đẳng thức theo những hướng khác phức tạp hơn (tuy vẫn đúng ))

3) Hai bạn Phan Việt Bác, 9T Phan Bội

Châu, Nghệ An và Lại Thành Nam, 8A

Chuyên Quảnh Phụ, Thái Bình cĩ nhận xét đúng : "thay 8 bởi ø z 0 thì hệ vẫn cớ

nghiệm duy nhất x = y =z = Ya" (yeu cầu

a # 0 để đỡ tầm thường ?)

4) Các bạn cĩ lời giải tốt hơn là : Thanh hĩa : Lê TT Sơn, 7A, NK Hoằng Hĩa ;

Mai Văn Ha, 7 TN,, NK Bim Son, Nam Dinh 2 Nau in Trung Quan, 9T, NR Ỷ Yên ; Nguyễn Tiển Dũng, TT, Trần Dang

Ninh’

uảng Ngái : Nguyễn Tiến Khải, Hà

lang Đạt, TT, Chuyên Lê Khiết ; gion

hị Phương Uyên, 7 Chuyên Nghĩa lành

Da Nang : Hoang Thé Lon, , Lê Lợi

Ha Tinh’: Phan Cơng Đức, Chuyên Hà

Tinh Daclac : 7ụ Quốc Heng, Duong

Thanh An, 8T Chuyên Nguyễn Du Nghệ

An: Nguyén Hoang Sao, 8 Toan Tin, NK

Vinh ; Chu Viet Tudn, 9, Phan Boi Chau Hà Nội : Phạm Mỹ Dung, SA, Chu Văn An;

Trần Minh Quân, 8H, Trưng eS Khúc

Quang Ngoc, BÀ, Giảng luế ? Nguyễn Quang ũ, Lê Trung Kiên, Võ Thừa hiện -

91, Nguyễn Trị hương ‘TP Hồ Chỉ Minh :

Khúc Ngoc Vinh, 8) Hong, Bang Bac

Ninh : Viết Khoa, 9T, Tiên Sơn,

Khánh Hịa : Trần Tuấn Anh` 9T, Lê Quý

Don Pha Tho : Nin Tudn, 9A2, Chuyén

Viet Tri, Ha Quang Chién, 9A,, trường dân tộc và nội trú, Hà Tây : Chu Phy tong, 9 Thường Tín ; Nguyễn Hỏi THị, 9B, Chuyên Ủng Hịa Bạc Liêu : ương Tri

Nhân, Trương Yến Nhỉ 8A, Chuyên Bạc Liêu Hải Dương : Đĩ Cơn, lùng Lê

ương, “Thái

ut

Trung Ding, 81, NK Hai

Binh : Le Thank Cong, 8T, Dong ing Ca Tran Ngoc Ditc, 9A, Thới Bình

ham

Mau : Đức, „

uảng Ninh : đà Tiến Sỉ, 8A; Trọng điểm

ong Bi Vinh Phu: Tran Thi Thy Huong,

9A, Chuyên Vinh Tường Ninh Bình : £é

Hồng Linh, 9T, Chuyên thị xã Hà Nam :

Le Thanh’ Nam, 9h NK’ Duy Tiên An

Trang 6

hittps://www.facebook.com/letrungkienmath

M(a,b,) + a,b, + +.4,b,) >

> FO +b, + +b,

Lời giải : cla Phan Thanh Tung, 9TA, Phan Bội Châu, Nghệ An, Diéu kién:a, > 0

Vi néu a, < 0 thi khi cho a, =a,=0;0,=1,6,= 35 20) 4£ ee eS re TA cd : M(ab,' +7a,6,°+ + ab.) 2 > FG, +6, + +6,)? ted thanh a, > > (vo li via, < 0)

véi.a, > (| ta suy ra m > 0 TM lai cd a, > m;a,-a, > ma, > 2m

va tii do suy'ra a, > 2 ;d, > nm > Mimb, + 2m8,'+ #rimb,) Vay cd Mia,b) + a,b, 4 + a,b.) > mIM(b, + by + + mM(b, + Đỗ, + + +

+ +b) Fo + MON & > m[b,(b, 6, + + 7) + Bb, + 8 + + 4b.) + ) wu = sI@†+ b3+ + 2)+(b,+ b„+ + b„)2] m 5 > FO, +0; + +0,)? (đpem)

Dau "=" xay ra khi 6 =b,=0 hoac khi a, = a, = « Nhan wét 1? Dé tiéng Viet của bài này a, "= 0, in thiếu Thành thật xin lỗi bạn đọc và tác giả dé ra 2 Các bạn sau đây cĩ lời giải tốt : Phú Tho : Ha Quang Chién, 9A, Dân tốc nội trú huyện Sơng Thao Hịa BÌnh : Đồ Thư Hà, 9À, THCŠ Hữu Nghị Hà Thy : Lưu Tiển Đức ; 8B, Chuyên V-T Ứng Hịa Nghệ

Án : Phan Việt Bắc, 9A, Phan Bội Châu

Khánh Hịa : Tran Tuấn Anh 9T, Lê Quy Dơn, Nha Trang Bài T4/236 Cho tam giác ABC uúi điểm D ở bêp trọng sao cho z AC; BAC = 80° ; DBC = 20° ; DCB = 405 Gọi F la giao điểm của đường vudng géc vdi AC kẻ ua D va E la diém đối xứng uĩi F qua BD m giác ADE là (am giác gi, tai sao ? Lời giai (Dua theo Lé Anh Vinh 8A, THCS Giang Vo Ha Noi) Lấy các điểm M và N ở bên trong AABC sao cho các tam giác MAB, NAC cần đỉnh M, N với các gĩc đáy đều bằng 109 Suy ra AMAB = ANAC (g.cg.), va-tacé BM = MA = = AN = NC Hon nita, MAN = 80° - 10° - 60° nén AAMN déu, va ta co MN = = MA = MB Ké phan gidc Ax ciia géc BAC,

ta cĩ Ax cũng là phân giác gĩc MAN (vÌ ° = CAN) Mà các tam giác ABC, AMN cân đỉnh Á nên các day BC, MN cing vuơng gĩc với Áx và song song với nhau D0 MN_= MB nên AMBN cả MBN =_MNB Hạn nữa, MNB = NBC (so M xà-ta cĩ le trong) nén NBM =' NBC = (ABC - = ABM) : 2 = (50° - 10°) : 2 = 20° Suy ra tia BÀI trùng xới tia BD (1) Ta lại cĩ BƠN = = BCA - NCA = 50° ~ 10° = 40° nén tia CN trùng với tia CD (2) Kết hợp (2) với (1), ta cĩ Ä trùng với Ð (3) 4 TỐ NGUYÊN hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath A 8 a e

Kéo dai BM cho tới cắt-ÁC tại H, ta cĩ AHB = 1809- MBA - BAH = 180° - 10° ~ 800 = 909, suy ra 8M // DF (vì cùng vuơng gĩc với AC), và kết hợp với MM /! BẼ, ta cĩ MDF là hình bình hành Mà BM MD nên BADF là hình thoi, suy ra M đối xứng với F qua BD va tring voi E Kết hợp với (3) ta cĩ AADE trùng với AAMN và là tam giác đều Nhận xét Co 60 bai giải trong đĩ cĩ 1 bài trả lời là tam giác thường, 3 bài trả lờ là tam giác cân, cịn lại đều trả lời đúng Lời

giải tốt gồm cĩ

Hà Nội : Lé Anh Vinh (8A, PTCS Giảng Vo) Nam Dinh : Chu Thế Sởn (Li 9 Nang khiếu Hải Hậu), V Tiét Tar (9 Tốn Năng khiếu Hải Hậu), Trần Đức Hiéu (8 ton Han Thuyên) Tp Hồ Chí Minh : Chung Nhân

Phú (9T1 Nợ An Khương Hốc Mơn)

Bắc Ninh : Hồng Tùng (9 Chuyên Tốn Nang khiếu Tiên Sơn) Nghệ An : Phơn Thanh Trung (9 Tốn A PTTH Phan Bội Châu Tp Vinh), Hd Nghia Chat (7A Nang Khiếu Quỳnh Lưu) Vĩnh Phúc : Vũ Văn Phong (9a THCS Chuyên Vĩnh Tường), Nguyễn Trung Lập (9B Chuyên Yên lac) Ha Tây : Phan Lạc Linh (8A Chuyên Thạch Thất) Khánh Hịa : Trin Tudn Anh (9 Tốn Lê Quý Đơn, Nha Trang)

ĐĂNG VIỄN

Bài Tð/236 Cho AABC Kẻ AD ồ AE là hai phân giác trong uà ngồi tại đỉnh A Đường trịn ngoại tiếp AABC cĩ bán kính bàng 1 Biết rằng AD = AE Tính AD khi

AABC cĩ diện tích lớn nhất

Trang 7

hittps:/Awww.facebook.com/letrungkienmath Goi Ƒ là giaa cia AD với (O) Ta cĩ sd BF = sd CF va OF 1 BC tai I (2) Mat khác sẻ ADB = zed AB + sd FC) sete Š 3st AP AF = 90° Vay AOF = 90° (3) Tu (1), (2), (3) ta cd : AOZH Ia hinh chit nhật Từ đĩ AH = OI CS) Ta cơ S =OI.CI= {RẺ~CT Ic V0 = 101 Ma 1 ~ IC? + 1c? = 1 khơng đổi nên (ABC Sau„c đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khỉ 1 Í TC = Ct IC = = BC = = V2 = VI+T =sAOBC vuơng cân tại 0 <> O1 = 5 BC =— : v2 Tu (*), (**) và (***) ta cĩ AD = 1 khi AABC cĩ diện tích lớn nhất Nhận xét : 1 Nhiều bạn giải khơng đúng bài này 2 Các bạn cĩ lời giải tốt :

Thai Nguyen ; Vũ Thái Hịa, 9T THCS nâng khiếu, Phú The + Ha Quang Chién 9A, Lé Trung Doan 9A I THCS chuyên và

DTNT Song Thao ; Vinh Phuc : Nguyén Thanh Tú, 9B Chuyên Yên Lạc, Tran Phương Anh 8A, Chuyên cấp II Mẻ Linh, Phuc Yen, Tran Thi Thu Huong, 9A Chuyen Vĩnh Tưởng ; Bắc Ninh : Hồng ‘Tung,

Nguyễn Xuân Cường, 9NK, Tien Son ; Tây: Nguyến Hỏi Hà, ÿB Chuyên Ứng Hịa ; 7 Ngoc Phan, 9K Lê Lợi, Hà Dong ;

(ety

Hai Phong : Tran Van Ha, 9D2 cap 2 Lac

Vién ; Ha Đồn Thanh Tung 8A2,

Nguyễn Truong TS, Bui Lé Na, 8C Hà Nội

yAmsterdam, ran Mink Quan, SH Trưng Vương, Thái Binh : 7răn Thể Hồng 9 Dong Hung ; Nam Định : Đồ Minh Tiến, 81, Tran Dang Ninh, Hoang Tién, Li 9, Vid Việt Tài 9 Tốn, năng khiểu Hải Hậu, Vũ

Xuân Dũng, 9 THCS Giao Tiến, Giao Thủy ;

Thanh Hĩa : 7ø Kim Phuong, 8C THCS Nàng khiếu Tp, Nghệ An : Pham Cong

Phiết, Xĩm 19 hi Trung, Nghi Lộc, Phan Việt Bác, 9TA PTTH Phan Bội Châu, Hà

Tinh : Tran Nguyen Tho 9T1 NK Ha Tinh,

Quang Nam : Ba Du: Bin, 9A Chuyen

Neuyén Hién, Điện Phương, Điện Bàn ; Khanh Hoa : Tran Tuấn Anh, 9T Lé Quy

Don, Nha Trang ; HCM: Chung Nhén

Phi, 9T1, Nguyễn An Khương, Hoc Mơn,

Trà Vinh : Bủi Minh Khoa, 9, Lý Tì Trọng ; An Giang : Hồng Thanh) Lâm, 9'

Chuyên Thoại Ngọc Hầu, Long Xuyên VŨ KIM THỦY Bài T6/236 : Cho day {a,} thỏa man : 2a} — 2a? — 2 =ẽ 66 c2 2 — 382 4a, —1

Ching minh rang, néu [a] > 2 thi day {a,} hoi tu Tính giới han của dây trong trường hợp dĩ hittps:/Isites.google.com/site/letrungkienmath Lời giải : Th cĩ ; a3 — 2a2 — 2 2— 3a? — 4a, n+1 — % Cetin 2a,(a, — 2)? = 3a? ~ 4a, — 1 vn € N* 2a3 — 2a? — 2 4,4, + 1=————_+1= 3a? — 4a, — 1 (a, + 1)°(2a,, - 3) “————w:ehN' 3a; — 4a, Dựa vào các đẳng thức trên, với sẽ 4 rằng 3a — 4g, — 1= (g„ — 9)? + 2 (na), bằng phương pháp quy nạp theo ø đễ dàn,

chug, {inh duce ing mn +Néua, =a 2 Zthia, => 2vn EN’ ce

va a,,; <4 Wn EN’ Néba, =a < -2 thi d’< -1Un > 2vaa, 54 vn EN"

Từ đồ : + Nếu ø > 2 thi'day {2} la day

khong tang va bi chan dưới bởi 3.1) + Néu a < -2 thi da {an la te! khong

giậm và bị chân trên đồi “1, (2) Suy re oi lai > 2 thi day {a_} la day hội tụ Dat

œ = lima„ Từ cơng thửe xác định dãy {an} me

2z3 ~ 2z2 - 2

va (1), (3) tạ cĩ: g T2 œ> 2 nếu a2 — 4a g >9 — 1 2,

@ <-Inéua < -2 Ti do suy + Nếu ø > 2 thì lima, ra : = 2

+ Nếu ø < -2 thi lima, =

ie

n¬»

Nhận xét : 1) Do sơ suất nên cơng thứ xác định dãy {a } trong de pai da bi

nhẩm Tuy nhiên Rầu hết các bạn gửi lời giải tới Tịa soạn đã giải bài tốn được in dung

ở phần đề bài bằng tiếng Anh Các bạn giải

dùng bài tốn dã được in ỏ phần đề bài bị ng tiếng Việt uẫn dược điểm tốt đa của bài tốn

5 Các bạn sau đây cơ lời giải hồn chỉnh :

Đaklak : /é Thế Tan (11 Tốn Trườn;

Ghuyên Nguyễn Du - Buơn Ma Thuột) ¿ Tr Vinh : Tran Huynh Thé Khanh (124,

PTTH Pham Thai Đi ; une Ngi

Nguyễn, Xuân Hà (19H PHỶHCB số 1 - Đức Pho} ; Thừa Thiên - Huế : Đinh tung Hoang (11CT DHTH Hué) ; Quang Binh : Trần Đức Thuận (1ICT PTNK Quang Bình) ; Nghệ An : Ngơ Anh Tuấn, Nguyen

Trung Thanh, Hồ Sỹ Ngọc (Khối CT

DHSP Vinh) ; Trin Nam Dũng, Đồng Đức

Hạnh, Nguyễn Thịnh (PTTH Phan Bội Châu - Vinh) ; Thanh Hĩa : Hoang Trung

Trang 8

Tuyén (12A PTTH Ha Trung), Lé Duy Diễn (IÍT PTTH Lam Son) ; Ha Noi: Nguyén Đức Mạnh (11A PTTH Cổ Loa - Đơng Anh), Van Sỹ Thủy (11A, PTTH Yên Hịa) ; Bắc

Giang : Nguyễn Tiến Mạnh (PTTHNRK Ngơ

Sy Liên) ; ĐHQG Hà Nội : Phạm Hỏi Trung (khối PTCT - Tin ĐHKHTN)

3) Nhiều bạn cho lời giải sai do đã vội

vàng làm phép tương tự khi xét dãy {a,}

trong trường hợp ø < -2

NGUYEN KHAC MINH

Bai 17/236 a) Giải phương trình —

b) Ấp dụng kết quả của câu trên dể tính

các tổng sau nh :

„

S, = cose + = cosy + cos-— + cosy eee

geste By Tae lơng ae = costeos-g-+ cose cosa + cos 5 “Cosy Am = Cos COS g COs 5

Loi giai (cua da s6 ca cs ban)

a) Viet phương trình dưới dang

cosax = cosy (*)

x, 2kn

Từ đĩ, ta được 2Ị eZ

b) Sử dụng hệ thức

cos8/ = cos3# — đcos: „

viết phương trình (*) dưới dạng :

4coslx — 8eost = cosn ©

3 1

costs — Fcom — 5 =0

'Từ đớ, theo a) ta được phương trình bậc

3 theo cosx cơ các nghiệm : mm cosg 5 esl 3°93 ie cosy i c8) con Vậy Œ*) © toc co \ (Cier 6052 } (pa=r~cos S=) =0 ( 9) (° Te Seos =scos'r ~ §, cos’x + S,cos - S, = 0 3 1 Hay : $,=0;8,=-7i5,=5

Nhận xét : Tịa soạn nhận được rất

nhiều lời giải của các bạn, đa số các lời ải

gui dén déu dung Mot s0 ban con cho cach 1

tổng quát hĩa bài tốn bằng cách thay 5 bởi cosa (a - tity ¥) Sau đây là danh sách các bạn đã gửi lời giải : Lâm Đồng : Trương Anh Tuấn, Trần Hỏi Yến Trà Vinh : Phạm Thế Nhật Trường, Tran Huynh Thế Khánh Khánh Hịa : Nguyên Hồng Kham, Tran Tuấn Anh Lào CAI: Nguyễn Đức Thọ, AI uyén Hong

Quang Phú Yên : Nguyễn Jong Khánh, Nguyễn Quốc Dan Ha Duy, Nguyén Trung Phuong Quang Binh : Tay : Nguyễn Hà Trin Thanh Bình, Nguyễn Thành Trung, Trần Mai Sơn Hà, Lê Mạnh Hà, Dương Lẻ Nam, Trần Đức Thuận, Nguyễn Quảng Trị : Nguyễn Việt Tiến, Phạm Đức Trine Kien

6

hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath

Phong Vĩnh Phúc : Tụ Nguyễn Hồng Phương, Phạn Huy Đơng Trên Thị Bích Phương, Bùi Minh Đức, Lé Hong Phuong, Trần Nhật Tân, Trần Minh Phương Bắc Giang : Phạm Văn Thịnh, Phạm Anh Thư, Đặng Hồng Việt Hà, Phạm Việt Ngoc, Nguyén Tiến Mạnh, Nguyễn, Ngọc Son, Nguyện Minh Hồng, TP HCM : Đgyễn Lẻ Luc, Nguyễn Tuấn Ảnh, Lê Quang Nằm, Bi Minh Huy Thái Nguyên : Lé Quang Huy, Dang Van Thành, Đình Đức Hồng, Vũ Tuấn Anh Yên Bái : Trần Quang Sén, Dinh Quang Mạnh, Trần Mạnh Tuần, Vũ Ngữ Bình Hà Nội : Đăng Minh Tháng, Lê Cường, Bùi Mạnh Hùng, Lê Tuấn Anh, Trương Thiện Đại, Nguyễn Quang Lộc, Văn Sỹ Thủy, Nguyễn Mạnh Hà, Đào Phương Lân, Dương Việt Hùng, Nguyễn Đức Mạnh, Pham Cong Dinh, Pham Thanh Long Hai Dương : Iguyén Hong Phong, Hoang Xuan Quý, Le Van Hai, Dinh Phi Minh, Va Van Tum, Ngo Dile Tudn Da Nắng : Hồ Văn Ngọc, Nguyễn Quốc Việt, Lê Thị Duy Phong, gà Nhự Phong, Nguyễn Tấn Phong, Huyền Trần Quốc, Nguyễn Ngọc Hải, Ngơ Phong, Hồng Kim Tuyển, Nguyễn Anh Tuần, Trình Huy Long Nghệ Ân : Vii Xuan Quỳnh, Đậu Thủy Mãi, Hồng Danh Tuấn, Trần Nam Dung, Dang Đức Hạnh, Lẻ Hồng Ha, Nguyễn Thính, Nguyễn Van Tùng, Hà Sỹ Ngọc, Ngơ Anh Tuấn, Phạm Cơng Phiết, lồng Minh Phúc, Nguyễn Trung Hịa Thái BÌnh : Pham Van Minh ; Nguyén Nam Hà, Hà Đức Trịnh, Phạm Thành Luật, Nguyễn Thị Thoa, Phan Khanh Tốn, Nguyễn Ngọc Phú, Nguyễn Ngọc Minh, Vương Anh Tuấn Thanh Hĩa : Hán Văn Thắng, Le Quang Tuấn, Nguyễn Văn Minh, Phạm Văn Du, Nguyễn Mạnh Hùng, Nguyễn Đức Khiêm, Trinh Quang Hịa, lê Thanh Tưyế, Hồng Trung Tụ đốn, Nguyễn Văn Quang, Lê Duy Diễn, Phạm Hùng Vương, Tran Văn Tùng, Lé Ngoc Thai, Mai Van Hing, Ngo Quang Tuan, Le Die Thịnh, Lê Van Phương, Lê Yến Vĩnh, Lê Cát Vượng Bến Tre : Huỳnh Trác Siêu Đắc Lác : Lê Trọng Vinh, Lê Thế Tủn Phú Thọ : Mai Minh Tuân, Trần Anh Tuổn, Nguyễn Kim So, Nguyễn Minh Phương, Triệu Văn Sơn, Quảng lgái : Phĩ Quốc Hỏ, Huỳnh Trung Nghia, Vo Qué Son, Phung Minh Tuấn, Nguyễn Xuân a, Pham Bdo Chiến, Trầm Quang Nguyện, Le Hoang Dic Khánh Đồng Tháp + Nguyễn Đăng Triểm, Hồ Lộc Thuận, Võ Thị Thảo, Lê Cơng Danh Nam Định : PHạm Hồng

Tuần Minh, Vũ Việt Tùi, Nguyễn Trọng Kiên,

Lê Mai, Hồng Tiến Quàng Ninh : Nguyễn Mạnh Hùng Hịa BÌnh : Tran Minh Dit

Đồng Nai : Lẻ Khác Huỳnh Bình Định : Lẻ Hồng Dung Đắc Lắc : Mai Thị tuyết Anh Hung Yén : Dao Hồng Tùng Long An : Thi Hong Hanh Vĩnh Long : Cao Minh

uang Phú Yên : Lê Xuân Gupte Tuyén uang : Cao Mink Dic Hai Phong : Dong Thạch Tùng, Doan Manh Ha Thita Thién - Hué : Động Nguyễn Nhật Nam, Phạm Tiến Dat, Dink Trung Hoang

NGUYEN VAN MAU

Trang 9

hittps:/Awww.facebook.com/letrungkienmath hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath

_ Bai T8/236 : Cho a > 0 va f la ham số

lien tục trén [a, (re) Gid sw rang : SP@dx<fxdxvdimoit>a (1) a a b b Chứng tỏ rằng : f fix) dx < f xdx vdi moi a a b>a Lời giải : Với t bất kì > ø ta cĩ : t t JS (mx - fe)? dx = m? f x2 dx - ‘ ' ~ 3m ƒ xƒ@œ) dx + [ Ê @) dx > 0 Vm 6 R c a Do f x%dx > 0 Vt > a nén, khi coi vé trai a

của bất đẳng thức trên là tam thức bậc hai

đối với m, tả được : t

(Jefe de)?< fare f Pear Vt>a

Kế: hợp với (1) suy

(Í⁄@a)?< (fax)? ve >a

Din toi : rit S xf) dx < fx2dx Vet >a 2 2 : hay : ƒ xlz — ƒ@&)] dxz >0 V £ > ø Với mỗi @ ' t > a, dat F(t)= [xIx— ƒ@)]dx Ta cĩ Fí) > 0 Vi >avà Fey = t[t - f(t)] Do 46, với b>atacĩ: ƒ(+—ƒ@))dx= a ra 1 = Jz te fala = = Fa |? + b 1 F0) „ rFŒ@) ° KỤ =2) aay iran ok b Với b =a thi f (x -f(x))dx=0 Vay: a b S @-f@)dx2>0V 6 2a, 2 b b hay =f fx) dx< fxdxVb >a

Nhận xét : 1- Ổơ rất ít bạn gửi lời giải

cho bài tốn và hầu hết các bản cho lời Bí

sai vi đã mắc phải những sai lầm Chẳng hạn một số bạn đã cho rằng : b » "tie Sfedx< See) dx a suy ra f(x) < g(x) Vx £ fa,b]" (? Ð, hay cĩ a Mae=

Vb >2” (70 và “neu fla) > 0 Wx € [a,b]

thi (Ss) de)? = J vie) de * (2D, vv

GIÁ PHẾ Cổ oa borg Anh = ia Noh iai đúng bài tốn, tuy nhiên cách giải của sạn hơi dài

bạn lại cho rằng

NGUYÊN KHẮC MINH Bài T9/286 Cho đam giác ABC nội tiếp dường trịn (0) Gọi (O\, Rị), (O;, R2), (0y, Rị) lần lượt là tâm uà bán kính các đường trịn tiếp xúc ngồi uới (O), đồng thời tiếp xúc uới cĩc cấp tia AB, AC ; BC, BA; Ca, CB va r là bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Chứng mình rang : Ry +R, +R, > 12r Lời giải 1 (Dựa theo Nguyên Thịnh và Trần Nam Dũng, 11CT, PTTH Phan Bội Châu, Nghệ An) Giả sử đường trịn (0,,R,) tiếp xúc ngồi với đường trịn (O,R) ở D và tiếp xúc với hai tia ;ÁC ở M và N Kéo đài AD, cắt (Ĩ,) 6 E, thé thi ta co : 00, = OD + DO, = =R+Rị, OAllO,E va: AM? = AN? = AD.AE Do đĩ ta được : AD? _AD_ OD jaf 7 AE 00," hay là ADD Meee am R+R, Chứng minh tương tự, ta được : BD? cp? Từ đơ suy ra : ÁD _ BD _ CD _ ae AM ~ BM — CN ° Mặt khác, tử giác lới ABC nội tiếp (,R) nên ta cĩ (định lý Ptolémé) : AB CD +CA BD = BC AD ˆ (2) Từ (2) và (1) ta thu được hệ thức :

Trang 10

hittps:/Awww.facebook.com/letrungkienmath hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath

Gọi L, là tiếp điểm của AB với đường trịn {I, r) nội tiếp tam giác ABC, ta được

CƠ “AM Ai Tà gi, AM TE ÂU oi AT

Thay AL=p-a „ớ*+e=a) và AM bởi (4), ta được ; Hi 4be Ta) He gi Chứng minh tương tự, ta được : 2 4ca 3 4ab Te (@to— va P (eta-by r (5) Từ các hế thức (5) nay, va theo B.D.TCơsi, ta được : R, +R) +R, Hà \ 1) (er a- bat b

Via, b, ¢ dé dai cac canh của một tam giác, nên ta cơ B.Đ.T

(b+e—a)(e+a~—b)(e+a— b) < abe

(7) (Đây là một B.D.T quen thuộc, bạn nào chưa biết hãy tự chứng minh) Từ (6) và (7) ta thu được B.Đ.T cần chứng minh ; R, +R, +R, > 12r Dau đẳng thức Xây ra khi và chỉ khi đồng thời cơ các đẳng thức

Rị=R, =Ry và b+ c-a= =c+a-b= =ø +b — c và do đĩ, khi và chỉ khi tam giác ABC là đều

Nhộn xét : 19) Bài tốn này cĩ rất nhiều cách giải khác nhau, nhưng tựu trung lại, là cần biểu thị Đ, theo a, 6, e và r hoặc theo r và các gĩc A, B, của tam giác Sau đây là hai lời giải khác của bài tốn 20) Lời giải 2 (của Đồn Mạnh Hà, 11CT, PTTH Trần Phú, Hải Phịng) Ha OK 1 AM va OP 1 O\M , rồi dat AM = t, ta được : OP =KM=t-5 ì O,P = OM - OK = Rị ~ ReosC OM A v IL và #85 “AM “AT, › hay là : R AR or `

y= |= pag (tong ds 2 =a +b +e) xi)

Lại từ tam giác OOP vudng ở P, ta được (+ Rg)Ê= (n2) — ReosC)?, hay là: | © 2RR, (1 + cosC) = t(t — c) 1 (ii) Tit (ii) va (), ta duge : aR + cosC) = (t —¢), hay Ia : 2a 270-9 ; ii) bi Mặt khác, lại cĩ S = pr = “=, nên từ a -e Tin ta được : => và hai hệ thức nữa ÁP (b+c-a) tương tự.(v)

T8 được kết quả như lời giải 1

39) Lời giải 3 Đại đa số các bạn cho lời giải lượng giác của bài tốn, nhưng cách giải này thường dài và tính tốn sống kênh ơn hai lời giải hình học như đã trình bày ở trên Bỏ qua các phép tốn trung gian, sau đây chỉ nêu kết quả cuối cùng, biểu thị được R,

theo p và các gĩc của tam giác : A Ad eee eet : Rị =P1#s ( 1+ 185) và hai hệ thức tương tự Pẩn cuối, cĩ sử dụng B.Đ.T.Cơsi và các B.D.T sau day : c tgp tao +g 213 ,p>9V3r thì được B.Ð.T cần tìm Seis:

4°) Cần lưu ý thêm ràng hầu hết lời giải đều bỏ qua việc chứng mỉnh chặt chẽ i nào và chỉ khi nào xảy ra đẳng thức, hoặc khơng kiểm tra đã: tất cà các điều kiện

sey eee lT ic, ké cd các bạn Nguyễn

Thinh, Tran Nam Dung va Doan Manh Ha

đã cho hai lời giải hình học như đã trình bày ở trên VÌ khuơn khổ cĩ hạn, bài viết này khơng chứng minh đầy đủ phần cuối của lời giải Ï và 2 ¡ để nghị các ban hay tự chúng

minh : R, = R= ạ =®a=b=c

NGUYEN DANG PHAT Bai T10/ 236 Gid siz O la motdiémaam

t tứ diện ABCD-sao che-: BOC= DOA,

cOA= DOB va AOB= DOC Chứng

mình Hư E uới mọi điểm M trong khơng

tan ta co:

[A+ MB+ MC+ MD 2 OA+ OB+ OC+ OD

Lời giải : (Dựa theo Trăn Huỳnh Thế Khanh, 12A, PTTH Phạm Thái Bườn Vinh, Đáng Đức Hạnh, 11 Tốn, PTTH

Phan Bội Châu, Nghệ Ản và một số bạn

khác) - Trên các tia OA, OB, OC va OD ta

lấy lấn lượt các vectơ don vị

OA’, OB’, OC’ va OD' Khi đĩ với gi: đã cho ta được : B'C!=D'A',CA'=DB', A'B' = DC' và do đĩ, A'B'C”D' là một tứ diện

gần đều nhận Ĩ làm tâm mặt cầu ngoại tiếp,

đồng thời O cũng là trọng tâm của tứ diện

gần đều AB'C'D này „ _„

OA’ + OB + OC’ + OB’ = 0 Buy rapa =>_0A 0B rae tna ot OC os OD_=

vụ on lin a Eon ng Pan, ao

~ Với mọi điểm ng gian, :

Trang 11

Mi et hittps://www.facebook.com/letrungkienmath _„Dấu đẳng thức đạt được khi và chỉ khi .MÃ 1 Ộ , cũng tức là ; MA = OA + MƠ S©=M € tỉa [AO) Chứng mỉnh tương tự, ta được : MA + MB + MC +MD >_,_, > OA + OB+ 0C + 0D + MƠ.P= = 0A +OB + OC + OD

Dấu đẳng thức đạt được khi và chỉ khi, đồng thời M € cả bốn tia [AO), [BO), (¢0) và [DO) , nghia la M tring O

in _xet : 1°) 114u hết các bạn khơng chỉ rõ khi nào: MA ĨA 2 ypĨ4

DA 2 x0

và chỉ khi nào thì xây ra MA =

(như trên đã chỉ ra)

Và do đỏ, khơng cĩ chứng minh chật chẽ khi kết luận MA+MB+MC+MD đạt giá trị nhỏ nhất bằng O3 O + ĨC + ØD khi và chỉ khi M= 0

2) Các bạn sau đây cĩ lới giải tốt hơn cả + Dang Dat Hea (Nghệ An), Ngaễn Trung Thành, 11A, CT, DHSP Vinh, Hoang Trung Twyén, 22 PYTH Ha Trung, Thanh Héa,

Nguyen Kim Sd, 114, PTH Thanh Ba Phi Tho, 3°) Tuy nhiên, khơng cĩ bạn nào chỉ rõ (một cách chỉnh

xác) MA.OA = MA OAe» MA//OAe2 MEtia[AO) mà

thưởng chỉ noi chung chung: M thudc OA hay M, O, A thẳng hàng, đành rằng kết quả cuối cùng vẫn đúng (do M thuộc O4, ØB, ĨC và ØD nên M = 0)

4”) Diễm Ø thỏa mãn điều kiên của bài tốn (nhìn hai cạnh đối diện của tứ diên ⁄#CJ) dưỡi cùng một gĩc) cũng là điểm nhin các mặt của tứ diện 4#CD dưới những gĩc tam diện bằng nhau và cùng hướng,

O(BCD) = OADC) = = O(DAB) = O(CBA) 5°) Bai toan trên dây chỉ ra điều kiếm đủ để một điểm © nằm trong một tứ diện ABCD là "điểm cực tiểuˆ (điểm mà tổng khoảng cách từ đỏ đến các đỉnh của tứ diện 4BCI2 nhất), Diễm này con dược gọi là điểm To-vi-te-i" hay "điểm Phécma” (của hệ 4 điểm khơng đồng phẳng) 6°) Co thé chứng mình rằng : Điểm Phécma (Í'ermat) P' cửa một hệ bein diém 4, 8, G J2 khơng đồng phẳng là tồn tại và duy nhất Diễm nảy khơng thuộc một cạnh nào, cũng như một mặt nào của tứ diện nhưng cĩ thé trùng vỏi một trong các đỉnh của tứ diện ABCD Nếu P.21, #'B # C # D thì P là một diém nằm trong tứ diện ABCD va dge trúng bởi - tổng các véctở đơn vị hướng từ ° đến các đình của tứ diện bằng vectd khơng « P nhìn các mặt của tứ diện 1CI2 dưới những gĩc tam diện bằng nhau va cing hudng ¢ P nhìn các cặp cạnh đi diện của tứ diện ABCP dưới những cặp gĩc (tưởng (ng) bằng nhau

6 cũng chính là những tứnh chất đặc trưng (cĩ ý nghĩa định tính) (điều kiện cần và đủ) của "điểm Phécma" P của một hệ 4 điểm khơng đồng phẳng, 7°) Ban Nguyén Van Tang, LACT, DHSP Vinh dé xuất bài tốn tổng quát hơn : Tìm "điểm Phécma" P của hệ bốn điểm {⁄4,.C,D} khơng đồng phẳng sao cho :

«PA +OB + yPC + ðPD <

< MA + 8 MB + yMC + ð MD, (VM) trong đĩ ø, , y và ổ là 4 số dương cho trước Mong ban Tăng và các bạn hãy quan tâm tìm lời giải cho bài tốn khái quát này, cũng như hồn chỉnh lời giải của bài tốn trên (chứng minh diều kiện cần),

NGUYEN DANG PHAT

Bài L1/236 Một uật A cĩ khối lượng

= L00kg va mot vat B cĩ khối lượng

2 = 4,10kg duge ndi uới nhau bằng lị xo cĩ khối lượng khơng dáng kể Vật A thực hittps://sites google.com/site/letrungkienmath hiện dao dong diều hịa theo phương thẳng dứng vdi biển độ a = 1,6m va tới tầm số gĩc œ = 25rad/s Hãy tìm giá trị lớn nhất va nhỏ nhất của áp lực của hệ này lên mặt sàn (hình uẽ, Lấy g = 9,8mis?

Hướng dẫn giải Chọn trục toa độ hướng

thẳng đứng xuống dưới ; chọn gốc tọa độ tại

vị trí cân bằng của vật A

Khi vat A dao động điều hịa ta cĩ Fyy= Pt Fy, = — hx= — m;ø°Asin(0£+ ø)

ADN) ae

"hile

trong dé Fy, 1a lực của lị xo tác dụng lên

vật A, lực này thay đổi cả về độ lớn lẫn chiều Ty = — mịg — mì @Š A sin(øt + p) (1) A j | worm,

Ấp lực N của hệ lên gàn được thực hiện

bởi vật B, tacé N=Py+ Fy, (2)

trong ds F',, la luc cua 1d x0 tc dug lén vat B,

cũng Be Iẩ tác dụng lên sàn theo (1) ta cơ

TựyE — Fị= mịg + mw 2 Asin(wtt yp) (3) Thay vao (2) ta được

N= (m,+ m,)g+ m, wasin@ot +p) (4)

Tit do, ta thấy ‘

Ngày = (, + m3) g + mị wa = GON va Nmịa = (mị+ m,)g — m, wa = 40N

Nhận xét Các em cĩ lời giải gon Ai đúng : Lê Thanh

Minh, 12C1, Quốc học Huế T Tiêu Thién - Hué ; Hoang

Trường Sơn 11A2 PTTH Lê Quý Đơn, Đà Nẵng , Nguyễn Kan Boon 11A3, THCB Nguyén, Duy Liu, Dien Ban, Quang Nam: Newén Vier Tien LAs, PUTT Vinh Tinh,

Quảng Trị ; Nguyễn Quang Tường 12CL, chuyên Phan Hội

Chau, Vinh, Nghệ An - "ti" đền Tuấn lần PT

Năng khiếu, Ngơ Sĩ Liên, Bắc Giang , Aguến 72 Kửm

Trang 12

Bai L2/236 Cho mach dién nhu hinh v6, trong dé diện dung C va diện trỏ R cĩ thể

1

thay đổi ; độ tự cảm L = gH i uơn kế nhiệt vao AB hiệu diện Z sinl00nt (v) c6 dién tré rat lon, Di

thé xoay chiéu u = 22

1) Với R= 10089, chọn C bàng bao nhiêu

để uơn hế cĩ số chỉ lớn nhất, Tìm số chỉ này 3) Với giá trị nào của Ở thì số chỉ của von kế khơng đổi khi R biến đổi

Hướng dẫn giải 1) Vẽ hai giản đồ véc

tơ cho đoạn mạch \ và AB Ap dụng định

lÍ hàm số sin ở giản đổi 5 Pas awe ‘Sin ~ Sina At gt Tr 2up với sin = cosp, = = , x sinổ = cop, = 5 > , = 5 và, từ (1) U, = 2Usina Suy ra“ Ung =2U = 440V, ung với @ =3 (2), khi dé LỆ=U? tƯỢp — Z=Z+Z2, (8), trong đĩ hittps:/Isites.google.com/site/letrungkienmath Z?2=Z2+2,„— 2Z 7, sing, (4) Từ (2), (8) và (4j rút ra 2 Ơ MU T1 : 10-4 Z,=Z„„ÿg =1009 và Ơ=“T—F ~ = 81,8, a) Ấp dụng định lí cay ở giản đồ (2) c

Ue Chee (Mee? 7a) (6) VÌ U cố định, nên muốn cho U, khơng đổi khi R biến

tải thÌ trong © khơng được shear U, MB” c , mu6n vay 1-277 =0, rit ra Z, => hay 21142-10,5 SG HE ca TT CRS Nhận xét Các em cĩ lời giải đúng và

on : Lé Hoai Ấn, 11L Trường Lương hánh, Phú Yên ; Trin Hoang Quan, 11A,, Trường Lê Quý Đỏn, Đà Nang j Pham Vi

Nền Hệ Hạn tần ŠPu hạnh He, hương 111, Trường Nguyễn Du, Buơn Mẽ tỳnh Phục Heat Bink: Nguyệt Thi Kirt tuyển Hiệp Đồn, , luỳnh Thọ,

Thuat, Dac Lac ; Nguyén Trung Phuon,

12A,, PTTH Hoai Duc A, Ha Tây ; Ngụy n chuyên Lê Khiết,

Mau Phú Liêm 12T,

Quản Ngãi ; Nguyễn Vận Thuấn, 12B,

'TH Năng khiếu fo Si Lién, Bac Giang ;

Neuyén Xuân đời TẤN, THCB s6 1, Duc

Phổ, oo a ¡ Trần Thái Binh, 11A

TH Quảng ương 2 Thanh Hĩa ; Ngoện uang Tường, 12C2 chuyên Phan BOi Chau, Vinh, 117, PTT Nghé An ; Lé Duy Diễn

Lam Sơn, Thanh Hĩa ; Pham

Anh Tiểm 12A6, PTTH Huynh Thúc Kháng, Vịnh, Nghệ ĐINH chuyền bạo Số TM, HÀ Tae? Ae An ; Nguyên Thị Thủy, 130,

Mại Sơn TH Binh ; Pham đợc Trưởng, số ồ Ngõ là, I1CL Năng khiếu judg đường Thống Nhất, Thị xã Hải Dương ; Hồng Trường Sơn IIÁ Don, Da Nang ; Lé Anh Yong, 12A, PT trườn, Lê dụ Duong Minh Chau, Tay Ninh

MAI ANH

GIAI THUGNG

DANH CHO CAC BAN Ba Cora Ratto (1912 — 1981) la Pho gido su khoa Tốn anne DHTH Buenos Aires Achentina

Ba là người tích cực tham gia các hoạt động xã

hội : sáng lập "Hội Chiến thắng" của phụ nữ

Chau Mỹ La tỉnh chống chủ Tp lát xÍt, "Quy Albert Einstein" giup đỡ tài chính cho các

sinh viên cĩ tài năng về Tbán và khoa học tự nhiên, tạp chí "Columbia 10, qua tạp chỉ này làm cho cơng luận Ảchentina hiểu rõ hơn sự

thật cuộc chiến tranh ở Việt Nam trước đây

Nguyên vọng từ lâu của bà là : trao giải thưởng hàng năm cho các nữ sinh giỏi tốn của Việt Nam Đến nay nguyện vọng ấy của

bà đã được thực hiện

Chiếu 17 - ư - 1997, Bộ Giáo duc va Dao

tạo đã tổ chức lễ trao giải thưởng CORA RATTO cho 4 học sinh nữ đạt giải cáo trong ‘a thi hoc sinh giỏi tốn Quốc gia nam nay ¡ giải gồm mi chứng nhận, một hủ)

chương và tiến mật từ 10U đến 160 USD Y

10

CORA RATTO i

NŨ SINH CIỎI TỐN

ả = ben nữ được nhận giải thưởng vinh

lự nỉ :

"1 Trinh Thi Kim Chủ, học sinh lớp 11 trườn/

Nang khiếu Hà Tinh giải Đhì Quốc in 33,5 điểm)

Ha Minh Lam, học sinh lớp 13, khối phổ

He hinh HE ơn dịp 3 Dad Thi Thu fa, hoc sinhelop 11, Khoi ju nội, giải Ba Qui ‘m) hổ thơng chuyén todn - tin Lớn HKHTNHN thuộc Đại học Quéc gia Hi

Nội, giải Ba ee fia (24,5 diém)

- Ve Thị Như unk học sinh lớp 12,

trường chuyên Phan Bội Châu, Nghệ Án, giải

Ba Quốc gia (L0 điểm), Giải thưởng CORA RATTO sẽ trao thưởng

hàng năm và chỉ dành cho các bạn nữ Tốn học và Tuổi trẻ xin chúc mừng bốn bạn đầu tiên

được nhận phần thưởng và mong nhiều bạn nữ

sinh cĩ ước mơ, phấn đấu hoe giồi tốn để, sẽ

Trang 13

DE RA KI NAY CÁC LĨP THCS

Bài T1/240 : Cho ba 86 a, 6, c thuộc doạn

In-1;n+1] sao choa+b+c = 3n Chitng

minh rang ; a? + 6? +c? < 8n? +2 Khi nao

thì xảy ra dấu bằng ?

PHAM VAN HUNG (Nam Định)

Bài T2/240 : Giải phương trình nghiệm nguyên : x2? — x2 — ey 7 YEN DUC TAN’ (TP Hồ Chí Minh) Bài T3/240 : Chứng mình bất đẳng thức : (1+ 214 27)(14 2?) (14 2) < 5.28" Voi moi n li số nguyên dương TRẤN VĂN HẠNH (Quảng Ngãi)

Bai T4/240 : Cho tam giác ABC vudng gĩc tại A, cĩ.B-= 20 Kẻ phân giác trong BI

va vé goe ACH = 30° pee trong-tam

giác (1 thuộc AC, H thuéc AB) Tinh CHI DOAN VĂN TRÚC

h (Quảng Ngãi)

Bài Tư/240 : Cho tam gidc ABC cĩ BC là cạnh lớn nhất, Một dưỡng trịn (0) tigp xúc uới AB, AC tại các điểm tương tứng M, ÁN uà tâm Ị nằm giữa B, C Hạ đường cao AH, Ching minh rang: frong các tạm giác cĩ hai dịnh là M, N va dink thit 3 thudc BC thi tam gidc HMN cé chu vi bé nhdt VŨ NHẬT KIỂU (Thái Bình) CÁC LĨP THPT Bài T6/240 : Cho số nguyên n Chứng minh rang : 1 1 + 2 1 + +*————<+anš 1 1 1 Gi794Gi5852 pacia ane 1995 DAM VAN NHi (Thái Bình) Bai 17/240 : Day 36 thuc {a,} théa man a, 4 ,=9a2-2Vn > 1 Tìm tất cả các số hữu tỉ a, mà tồn tại m # n sao cho a, in NGUYEN MINH DUC (Hà Nội) Bài T8/240 : Cho hèm số Si „ foy= |e OSHS 1 uới x= Chứng mình bất đẳng thức : 1 17 1708 T8 J7) dz < 7509

NGUYÊN LÊ DŨNG (TP Hồ Chí Minh)

„i Đài T940 ính các uịng trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam Gọi 1, D lâm lượt là bán

Giáo ADOIuaiifGi ='e,TGÀ T2 6 AB =e

: //sites google com/site/letrungkienmath

Chitng minh rang :

a? +62 +c? < 8RP + 42 PHAM HIEN BANG

(Thái Nguyên)

Bài T10/240 : Trong mat phẳng tọa dộ

Oxy cho elip cĩ phương trình : x y Bogue) Một-dây cung MN cia elip thay déi sao cho MON ~ 90° 1) Tìm các giá trị lớn nhất uà nhỏ nhất của diện tích lam giác OMN 2) lâm quỹ lịch hình chiết uơng gĩc H của điểm Ơ lrên dây cung MN,

LÊ QUỐC HÁN (Nghệ An) CAC DE VAT LI

Bài L1/240 : Vat AB dat trudc mot hệ ba thiiu kinh méng O,, 0,0, dong truc (xem hình

ve) SO phong dai K ciia ảnh của AB qua hệ khơng phụ thuộc uị trí AB ở trước kính O\

Kê: 8

4 oO Oz 3

Cho biết tiêu cự của các kính O),O, vi O, lan lượt là f,= 80cm ; f, = 20cm uà ƒ; = 4Ư cm, khoảng cách O,O;= 60cm Hãy xác dịnh khoảng cách O\O, và giá trị của K

PHAN TUẤN KHANH (Hà Nội) , Bài L2/240 : Xét một mạch diện như hình uẽ lẽ 2 100 2 Thong dé C= C,= 2C,= (uF), L= Z(H), Rị =R, = 2R; Bỏ qua diện trỏ của ampe kế,

dây nối uà cuộn day Dat vao hai đầu một Kiệt diện thế TU 2Ú, sìn|0Ux/ ( Thì

ampe ké chi 0,5 (A) va dé léch pha giữa U va dong dién qua tu C la 4 Viết biểu thức

của cường dộ dong didn qua tu C va hiệu

dién thé hai dau theo thoi gian NGUYEN DUC PHI

(Quang Ngai)

THONG BAO

Td thang 6 - 1997 t Số tịa soạn tạp

dees 8 vấn Hưng o- Hà Nội

Trang 14

Attps://www facebook.com/letrungkienmath +

Problem tị! Ít øu

m

FOR LOWER SECONDARY SCHOOLS T1/240 Let be given three numbers a, 6, in

the segment [n - 1,n + 1] so thata+b+c

= 3n Prove that a? +6? +c? <3n?+2

When does equality occur ? "T2/240 Find all integer solutions of the equation

x2y2 — x2 — By? = Dry,

‘T8240 Prove tha for every pastve integer n, (14 22 (1+ 2722\(14 22” (14 22) < 52

T4/24Q Let be given a triangle ABC with A= 90, B= 20°, Consider the angled- bisector BI (I on the segment AC) of ABC

and th nt H on the segment AB such that A 30° Calculate CHI

‘TS! Let be given a triangle ABC, the

side BC of which is the longest A circle, with center O on the segment BC, touches AB and AC respectively at M and'N AH is the altitude of ABC issued from A Prove that among all triangles with vertices M, N and the third vertex of which is an arbitrary point on the segment BC, the triangle 1M as the least perimeter

FOR UPPER SECONDARY SCHOOLS pp T6/240 Let be given a positive integer n rove that :

1

` ốc ead

lay Ciao 7/240 ‘The ‘sequence of real numbers Cldlv 1988

satisfies the relation

a, 4, = 9a? -2, Vn > 1

Find all rational numbers a, so that there exist m # n such that a,, =a,

8/240 Consider the function : {a, sin, fle) = a Ona <1 1 if x=0 Prove the inequalities We 1703 ies JS fedx< 1800

9/240 Let r and R be respectively the

radii of the incircle and circumcircle of a triangle ABC with BC = a, CA = 6, AB = c

Prove that : a? + 62 + e2 < 8R2 + 4r?

10240 Consider the ellipse with equation

®

số

in the coordinate plane Oxy~A chord MN of the ellipse varies so that MON = 90° 1) Find the greatest value and the least value of the areas of triangles OMN, 2) Find the locus of the orthogonal projections H of O on the chords MN

12

TỪ MỘT BÀI TỐN - triếp theo bìa 3)

Và Vị 3> y) > > vạ Chứng mình rằng nếu z Bất kỉ của các số y,,

một ` hốn vị

Dew < de

"(D6 thi Tain’ Quoc tế lần thứ 17)

Giải - Theo bất đằng thức (5) ta cĩ Yxy, > D xe, „ấp là lún 2, «2 #a): 1) Hai đây điều kin sau dude t x28 89); 29, Wis © (1, en md

3) Hải dây số tiên được gọi là cĩ thứ tự ngược nhau nếu

điều kiên sau được thỏa mãn vẫn

x PE ey Sy, VLE (1, lan MD

Tit bd dé suy'ra ring 1) Nổi (ị Xạ s.1,) Và Ơi, 2, Ýy) là hai đây cĩ cùng thứ tư thì Šxờy Day, (7) vn

trong đồ ( iy, „ í) là một hốn vị bất kì của (1, 2 Nếu (ry = qd Va Vy Yn ngược nhai thi 3< a ® trong do (i ‘Bat 58a74"7 Ch 10 {a,) là một đấy xố ngu$ễn dương tạ) Ì một hốn vị bt ki cla (1, 2 ) phân biệt (k = 1, 2, 3.) ys art

{Bf thi ten Quo t€ lin thi 20) Giải : Giả sử (tị, fy fy) là một hốn vị của (1, 2, m) S40 cho a, <a, < ca, „) 2) shy) là hai dây, cổ thể tý Vuứng minh rằng với mọi n> 1 nên theo (8) tạ cĩ ((1,3 n) là một Pie khác, bi phÏng pháp quy nạp tốn học, dễ đàng id), : và chứng mình dưệc d) 3 K VY = ĐI ng * Đẳng thức xÃy Tả khi Và Chỉ khi ay = kV = Len

Sau đây là mội lõi giải khác của bài tốn 1 : Các đãy số (Bé,

ac, ah va (a+ Be BO đo Của độ) cổ thứ tự ngược nhau (bạn đọc tự chúfg min

Ken do VI the) aegis ac) + chy ah) « bebe ac) > aepel + adhe abtat + bey

Từ đỏ suy ra bất ding thic (1°),

Cuối cù eee cho ban doc

Trang 15

hittps:/Awww.facebook.com/letrungkienmath hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath 8ŠTyf'f 3t Mlơ0l792Tltttốl4/Ið0M TRUONG DAIHOC ĐẠI CUONNG -DAIHOC QUOC CIA TP.HO CHi MINH (Thời gian : 180 phút) A PHAN BAT BUOC Cau I 1 Khảo sát sự biến thiên ồ nẽ dồ thị (C) cua ham số : y = x) — 6x? + 9 - 2 Tìm tốt cả các dường thẳng di qua diém A(4,4) va cat (C) tai ba diém phân biệt, Cau II 3 Cho phương trình x” — 2v + mỸ -lÌ—m ()

1 Giải phương trình (1) uĩi m = 2 3, Giải tà biện luận phương trình (1) theo m Câu II

Cho hàm số y, =

inx + 2

1 Tìm các giá trị nhỏ nhất uà lớn nhất

của hàm 86 y, ung vdi k = 1,

2 Xác đinh tham số k sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y, là nhỏ nhất Câu IV f 2 Đạt J0) = f (= x) đưưới t> 1 1 Tinh Jit) theo t, từ đĩ eu ra rang Jit) <2, Mt > B PHAN TU N (Thí sinh chon một trong hai câu V:A hoặc V.B) Câu V.A Cho Parabol (P) : y =x?— 3 + 3 va (D) là đường thẳng cùng lượng uới dường thẳng y = 2x sao cho (D) ede (P) tai diém A va B 1 Viết phương trình éa (D) khi hai tiếp tuyển với (P) tại A uà B uuơng gĩc uới nhau

1 Viết phương trình của (D) khi độ dài

của doạn AB = 10, Câu V.B

Cho tứ diện ABCD cĩ AB = CD = 3x uà 4 cạnh cịn lại đều cĩ độ dai bằng 1

1 Tính diện tích tồn phần tổng diên tích của 4 mát) của tứ diện theo x

2 Xác dinh x để diện tích tồn phần dat giá trị lớn nhất,

DAP AN

(Đáp án này tịa soạn đã sắp xếp và trình bày lại trên cơ sở lời giải của bạn Nguyễn Van Minh, Khối 4 - Thi tran Dic Bho — Quảng Ngãi gửi tới Tịa soạn) Cau I: 1 Tập xác định : # x te? — 124+ 9 nen 9" = 0.2 : a Ta cĩ bảng biến thiên |—« +0 Hàm số dat cực dai tai x = 1 va đạt cực tiểu tại x = 3 Vi y’ nên đổ thị cĩ điểm uốn (2 ; 2) Đồ thị tiếp xúc với Ox tai (3; 0) và cất Ox tai O 2 Đường thẳng x = 4 đi qua A (4 ; 4) chỉ cất đổ thị

tại 1 điểm chính là A nên khơng thỏa mãn Xét các đường thẳng cịn lại đi qua A là các

đường thẳng cĩ phương trình y=k(x = 4) +4

Đường thẳng này cắt (C) tại 3 điểm phân biét <> phuong trinh xÌ—-6@x2+9x= œ4) +4 cổ 3 nghiệm phan biet <= (Œ=4)(@°—=2v+1—#)=0 cĩ 3 nghiệm phân biệt © /x)=x”—2t+]-—b cĩ 2 nghiệm phân biệt khác 4 <> eo xã Je>0 oreo <k a9 Các đường thẳng thỏa mãn bài tốn cơ phương trình : jT*Œ~9+4vĩi0 < k #9 Câu :

1 Với m = 2 thi (1) tro thamh : Yx2= 2x4 4 =

= |x- 1] = 2 Ta thấy với mọi x thì : x? Ox +4 = 7+3>Va—1 = =lx—1| >lxz— nên phương trình vơ nghiệm i 2 Dat ¢=|x—-1| 20 thi phuong trinh trở thành (2) Y2+m2-1=t-m tầm tầm + m2— 1= (t— m)2 *° |2m# = 1 (3) * Nếu m = Ù thì (3) vớ nghiệm = (2) vơ nghiệm = (1) vơ nghiệm

Trang 16

hittps:/Awww.facebook.com/letrungkienmath V2 Khi do : (Ie ~ 11) = ei es Bee am Tom lại : Với m < 0 hoặc m > -> thi (1) yz vơ nghiệm Với 0<m € 2 thì () cĩ 2 : 2m +1 nghiệm x = Rae

Câu III : Trước hết ta tim tap giá trị của y„ tức là tìm y„ để phương trình

2k com +k +1

3 E cose + sinx +2

eĩ nghiệm đối véi an x

lận xét cosx + sinx + 2 =

woe V2sin(x + 7) > 0 véi moi x nén :

(*) <3 (, — 2k) cose + y, sine = k + 1 — 2y, Do đĩ (*) cĩ nghiệm đối với ẩn z © 0 - 2k)” + yỆ > (k + 1~ 2y,)° Syệ — Ayy — 8É2 + 9B +1 <0 =i - 2 {ãZ=ZE+T < <»,<1+ 2 j8f= 5B + Vay y„ lớn nhất = 1+ 2 RFA +„ nhỏ nhất = 1— ƠN 2k+1 1 ©0<m< oe v2 cy 1 V6i & = 1 thi y, l6n nhất = 2 va y, nhỏ nhất = 0 2 Gọi y„ lớn nhất là #(%) thì -+Ý2 12,3 J5 F(k)= 1+ °F 3(k 3) +g ltog ve

Ding thite xay ra oh = ? vậy F(k) nhỏ

nhất = 1+ son khi và chỉ khi k = - Cau IV: 1 Dat u = Inx > du= 1 ve-s hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath +2 t hile 1 t Suy ra : J(t) = ag — tt Bint +2 voit > 1 Câu V.A : 1, Phương trình của (D) là y = 2v + # (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Á, B ©ephương trình x2 — 2x + 8 = 2x + È cĩ 2 nghiệm phân biệt phương trình x - dx +3-k=0 “ cĩ 2 nghiệm phân biệt sA' > 0k > -1 Ta cĩ các hồnh độ z„ +; của A, B là các nghiệm của (**) Theo định lí Viet thi Z¿ +xp = 4 Và x„.3p = 8 — h

Xét y=xz?— 2x+ 3 cĩ y'=2x— 2, nên

các tiếp tuyến của (P) tại 4, B cĩ hệ số gĩc lần lượt là 2x, — 2, 2x, — 2 Hai tiếp tuyến này vuơng gĩc với nhau = (2x, = 5), ~ 2) = ee 4x xp— 4¿ + xp) + 4= —1 243 — kh) - 16+ 4= -1 ©œ~4k = —1 <2 =k=z>I đ Khi đơ phương trình của (2) la y= 2x+ > 2 AB = 10 ©=ÝŒ,—*g)”+ WAT—yp)“= fo Vì yạ=2x¿+k;yp =2xp+k nên điều kiện trên trở thành : {ð(„— xg)” = 10 =È=4>-l Khi đĩ, phương trình v=2zx+4 Câu V.B 1 Gọi 1ï là trung điểm của DC thi AH 1 CD 2 8a uxcp=CD.AH =x[T— xế Nhưng các y mặt của tứ diện là các tam giác bằng của (D) là x n 2 nhau nên Do đĩ ¡7= ƒ du = tớ |Ì— ƒ bầu = đ ác ^s”: H 0

1 2 ola i fan Baines SU

SBEINE SD hire S, euaeee ne eo Lense nên :

=> Vit fxPax= ee I a NHƯ y/ Inx dx lx a De ae 3 ides al? dung, at ee ng thức Cơ-si “u= x TA cĩ: với £ > 1 thì aoe Ề C +1-z2 1 {#q 2< ——”“g = S,, <2 (đơn vị diện (Ích) ‘

Es Dang thite xay ra ox?=1-x?=5

Trang 17

DE THI TUYEN SINH CHUYEN TOAN - TIN DHSP

(ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI)

NGÀY THÚ NHẤT

Cau 1 : Xét phuong trinh x3 + ax? + + bx +1 = 0 trong dé a vi b là hai số hữu tỉ

1 Chứng minh rằng a = -õ, b = 8 lị cặp

số hữu ti duy nhất làm cho phương trình đã

cho cĩ ba nghiệm trong đĩ cĩ một nghiệp là

x= 2+ Võ Kí hiệu ụ %„ xạ lờ ba nghiệm do

2 Với mỗi số “t nhiên n đặt S,=x} txt Tính SỊ, S„, S„ Chứng mình rằng S, luơn luơn là số nguyên,

3, Tim 86 du trong phép chia S15), cho 4

Cau 2: Cho ba số nguyên x, ý, z thỏa mãn điều kiện x + y + z chia hết cho 6 Chứng mình rằng biểu thức M = Œ + yJg + 2)(2 +x) ~ Qxyz cing chia hết cho 6

Cau 3 : Tìm giá trị của tham 86 a dé hệ sau cĩ nghiệm duy nhất

x2 + |ø + 1|xz <x” — Tx? + x +2 x' + x3 + (g2 — 8x2 — 4x — 4 — 4a2 = 0

âu 4: Cho tam giác uuơng cân ABC (ouơng ở A) AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là một điểm thay đổi trén doan AD Gọi N uà P theo thứ tự là hình chiếu Uuơng

gĩc của M xuống AB va AC H là hình chiếu 0Uuơng gĩc của ĐI xuống đường thẳng PD, Tf Sac dinh vi trí của M để tam giác AHB cĩ diện tích lớn nhất 2) Ching mình rằng khi M thay đổi, dường thằng HN luơn di qua một diểm cố dịnh

âu õ : l/ Trên một mảnh giấy cĩ ghỉ 1996 câu khẳng định như sau :

+ Câu thứ Ï : "Trên mảnh giấy này cĩ đúng 1 câu khẳng định sai", + Câu thứ 2 ; "Trên mảnh giấy này cĩ đúng 2 câu khẳng dịnh sai", + Câu thứ 3 : "Trên mảnh giấy này cĩ đúng 3 câu khẳng dịnh sai", + Câu thứ 1996 : "Trên mảnh giấy này cĩ đúng 1996 câu khẳng dịnh sai",

Tỏi trong số 1996 câu khẳng định đĩ cĩ câu

nào dúng hay khơng Hãy trình bày rõ lập luận uà chỉ ra tất cả các câu đúng nếu cĩ

3J Cũng câu hỏi trên nhưng trong các câu khẳng dịnh đã cho chữ "đúng" dược thay bằng "khơng quá" Ví dụ : Câu thứ 1 : "Trên mảnh giấy này cĩ khơng quá 1 câu khẳng dịnh sai" NGÀY THÚ HAI Câu 6 : Cho biểu thức 3 + 8x2 + (2 ` vz PQ) = a x3 — 8#? + @? - 4x27 -1 +4

vdix 21 1) Rut gon P(x) _

2) Gidi phuong trinh P(x) = 1)

Câu 7; 1/ Phan fich đa thức ra thừa số (a - 6)° + (6 = c)* + (¢ 2I Với n là một số tự nhiên đã cho, xét - a)

xem khẳng định sau đúng hay sai : đa thức (g= b)" + (b — e)" + (c = a)" chỉa hết cho da thức n(a — b)(b ~ ec - a)

Câu 8 : Cho ba số nguyên dương x, y, z thỏa mứn diều kiện

2r—1=

x>1

Chứng mình rằng z = 1

Câu Ở: Gọi M uờ Đ lần lượt là trung diém các cạnh BC uà CD của tứ giác lồi ABCD,

1 '

Chứng mình rằng SpepS g(AM+ AN)Š, (Kí hiệu S.nepy chỉ diện tích miền tứ giác ABCD)

Câu TƠ : Trên bờ một biển hồ hình trịn cĩ 2n thờnh phố (n > 9) Giữa hai thành phố tùy ý cĩ thể cĩ hoặc khơng cĩ đường

thủy nối trực tiếp uĩi nhau Người ta nhận

thấy ràng dối uới hai thành phố A uà B bất

hì thì giữa chúng cĩ đường thùy nối trực

tiếp uới nhau khi uà chỉ khi giữa các thành phố A' uà B' khơng cĩ dường thùy nối trực tip vdi nhau, trong dé A’ va B’ theo thit tu là hai thanh phé gan vdi A va B nhất nếu di ti A dén A’ va'B dén B° tren bờ hồ dọc theo cùng một chiều (cùng chiều kim dong hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ) Ching tỏ rằng từ mỗi thành phố đều cĩ thể đi bằng đường thủy đến một thành phố tùy ý khác

theo một lộ trình qua khơng quá haÌ thành phố trung gian ÁN Vậy S„ =xj +x7 + 1 Ta đễ tính được S, = 5, S, = 19, 8, = T7 Dat S,=S, zj +x2, ta đễ chứng minh được S;„.— 4,,¡— S; =0 (1) với mọi n > 1 Từ đĩ, bằng phép quy nạp, suy

ra SEZ, Vn EN, do dé S, € Z, WN EN

Trang 18

3/ ge tir (1) suy ra S,, , = 8, (mod 4) = Soy = Sig9q= ~ = 8; (mod 4)

Mat khac S,=18=2 (mod 4) Sioa = 1 + S99 = 3 (mod 4) Cau 2 Dé ching minh răng (x + yy + 208,4 x) È xyz = fa * y + aly 4 ye + Be Ti dé cd M = (x +y + 2)lxy + yz + 2x) - 3xyz (2) Từ điều kiện x + y + z ? trong 3 số z cĩ Ít nhất một & Bxyz 3 6 Sử dụng kết quả nà:

x Nak zi 6 vao (2), ta co

lâu 3 Phượng trình thứ hai tone hy phân tích thanh ti" = 4yixe +x + 1

60 dung 2 nghiem 1A x, Bai ng phe thử true! tiếp Tào hất phương aS 42

trình thứ nhất, ta thấy luổn thỏa man Ne Vậy hệ cĩ nghiện duy nhất khi và

chi khi x, = im khơng thỏa man bất phương

nh nghĩa là : Hel > 6+2eela+1| >2—

a <3 hose a> 1 Cau 4 1) Dun nộ BE LAB, cat PD ai & De > NEI vay ta suy ra chin Vay \,giả thiết 5 thé 0, À HÀ là 22 iác của Mie Suy ự C jan BH < a ABvBH;

Dăng thúc xã IH, tức là khi TT

By Nụ Xây 2) Vi ta phân giác th 8 uy lớn nhất AHBVIÊh 4M luơn

ua, điểm lừa của đường tron _

h AB, Hiển nhiên điểm này cố định 51) Neu 1 câu là dung thi cde cau i Vay e6 khơng quá 1 câu đúng, nếu at cả đếU sai thì câu thứ uy lí XÂY P phải cĩ câu đúng và ng, Điều đĩ cùng cĩ nghĩa là câu thứ 1995 là cầu duy nhật dun Nếu cĩ k câu là sai (0 < # < 1996) thi các cầu k, E + Tug 1996 déu dung Suy ra

chỉ cĩ các cau 1) 9 k - 1 là sai trái, giả

thiết cĩ # cầu nh Vay’ khong cĩ câu nào sai, a AH TH D di kin nghĩa lac 1996 cau déu dung Câu 6 1) Phan tích tử Và mẫu thành nhân tử, ee (xt 2x t= TIVe= 1(x+ 2)+ @ 2vx+ 1] DWF 1I[x* 1œ= 2)+ + 2)Ýx— T] Suy tiếu Hi fe 8⁄8! = Với các điều ae 3 ren = Pø)= P@“Q~2Nz+T 2

3) Giải Pf) = 1 ta duoc x= ty Ca

hai đều khơng, ng mãn điều kiện Vậy hượng trình Vơ nghị

Peng = 3(a = b\(b - e)(e - a) Ti ù Ge SP — c2 + (c - a)? = 2) Sử dụng nhị thức Newton, cĩ thể chứng mình khơng định dang va moi 7 | ic số nguyễn tổ lệ Chẳng hạn vot p= orey Bis A PE da 5) + 10 eis) hale + yy es aa -(e+y) 61601 y +x) g Thex =a-b,y =~ c ta duge: hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath

(a - b)5 + (6 5 6) + (e = a)Š = Bía = b)(b = cì eo eye +xy)i B(ø ~ b)(b ~ e)( =a)

Dé thay Khang dinh sai khi n chan Cau 8 ‘Tnen 2? 4 Từ đẳng thức đầu ig ei ye +1 ai 4 Va le! Xết 2 trường hợp : vệ

a) z chan Dat z = 2t (¢ > 1), Khi đĩ

ý =(y2ƒ = 1 (mod 4) Suy ray +12 4, v6 i

7 ZOOL med 4.3 LEGS, Khi đĩ #+1=@+@2-y?!+ -y +1) M là tổn đại số của Ä/ + 1 số lẻ = AM lẻ = 48 yee te cia 2* Vayy+l=y+ = Tố nh (dpem) Câu 9 GIÁ sử MA cat BD tai I Tit giả thiết M, N là trung điểm của BC và CD, ta cĩ : AM = 2s, AMCN = ch DI ++Siun) % AMN + Samn) = D ‘Sn <Ạ-gAM.AN <2 (“TT”) = AM + AN (ẨM + AM? = đpem

CB YO Vor 3 than phố liên tiếp X, Y,

Z, kể theo 1 chiều nào đĩ ta cĩ Y = XỶ và Z= Y Do để theo gia thiết : % W=1=(X,Y) =(Y.Z) =0 % y=0=(XjY)=0,Z =1 trong đĩ ki hie (X, a =_1 (hay 0) chỉ rị 4

giữa 2 thanh phố X và cĩ (khơng cổ) đường 4⁄7 '

thủy nối ae tiếp {

đĩ Suy ra ràng cĩ thể Ị

biểu điên, 2n thành phố đã cho bởi so dé sau : |

(hinh 1) : trong dé mui : tên chỉ rõ cập thành + hỗ kế nhau cổ dường 8 hủy nổi trực tiếp Hình 1 (high vé v6in = Xét 2 thanh p Bl BY Nếu (4, BỊ int thi,ta co dpem Neu (A, Bt NG ed rườn| Pea ba thình 1), Lúc này ì = cổ đường , B) = 0 (hình 2) Nếu B=B, thì 3 thành phố Bị, B, B° liên tiếp, ma (B B’) = 0 n6 nà „B) =1 Nên (A, BỊ) = thi ew hi a }

a Nee thi (a, By By và đường i DA 25057701 ta cc gi A, và B= Bị “Tương tự trên ta phải cĩ (A, Á,) = (8, BỊ) =1 VI (À, B) = 0 nên (A,, Bị) =1 Hình 2 Hinh 3 địàA >A, => BỊ > B

đồn đại rong mọi krườnh hợp đều cĩ đường đi tứ Á đến và qua khơng quá 2 thành hố

Trang 19

i s:/mww facebook com/letrungkienmath hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath

TỪ MỘT BÀI TỐN THỊ VƠ DICH QUỐC TẾ

Trong kì thi Olympic tốn Quốc tế lần thứ 24 (năm 1983) được tổ chức tại Pháp cĩ bài tốn sau do Mỹ đề nghị :

Bài tốn 1 : Giả sử ø, 6, c là độ dài các cạnh của một fam giác bất ki Chứng minh rồng :

a°b(a — b) + b2c(b ~ e) + ctate -a) 20 Dang thite xdy ra khi nao ? Để giải bài tốn 1, trước hết ta xét (1)

BG dé 1 : Giả sử x, > x, va y, > y„ Khi đĩ Đảng thức ở 39) xây ta khể bà chỉ khỉ ay, + xy b xy txly, 7 (2)

xị = #; hoặc y, = y„ Bổ đề này được chứng minh mot cách để đàng Định nghĩa 1 : Các cập số (x,, +.) và (, y,) được gọi là cĩ cùng thứ tự nếu điểu kiện sau được thỏa mãn x¡ > x, khi và chi khi y, > yạ Từ bổ đề 1 suy ra ?

ˆ Bồ đề 2 : Cho các cấp số (), x;) và (y, y,)

cĩ cùng thứ tự Khi đĩ XY, tr xy, 2x 2 a

+ x,y, (8) Dang thite 6 (3) t4y rd Rhi vd đhỉ khổ) = x, hoặc VỊ = y, ẳ Ì ta ổð thể giải được bài Sử dụnổ bổ để tốn sau : Bài tốu 2 : Giả sử a, b, c, là ba số dương Chứng mình rằng ab +c ~ a) + b%(c + a- b) + c(œ + b ~ e)

< 3abc (4) (Thi v6 địch Ao)

Giải : Vai trị của a, 6, c như nhau nên khơng

mất tính tổng quát cĩ thể giả sit a > b > c (4) <a> + 63 +03 + Babe > 0% + ab? + + bỆc + bc? + c2a + ca? 4) Tạ cĩ q3 + bỀ + cŠ + 8abe = a(g2 + be) + b(b2 + ca) + c(c? + ab) Sử dụng bổ đề 1 (để ý rằng a? + be > bỲ + ca) ta cĩ

a(a? + be) + b(b2 + ca) > a(b + ca) + b(a2

+ be) vac? +ab = ab +cc Bac + bc Từ đĩ suy ra bất đẳng thức (4°) Dấu =" ở (4) xẩy ra khi và chỉ khi a=b=c Bay giờ ta chuyển sang giải bài tốn 1 Bất ding thc dỗ =aớ la +bíc? +e2g2 (1°)

VÌ bất đẳng thức (1') khơng thay đổi qua phép

hốn vị vịng quanh (a, b, e) nên khơng mất tính

tổng quát cĩ thể giả sử ø = max{ø, ở, c} Xét biểu thức # = be(be + ø?) + ea(ca +) +

+ ab(ab + e2) Vì các cặp số (ae, ab) và (ab + e2, ae + ð?) cĩ cùng thứ tự (bạn đọc hãy thử

lại ) nên theo bổ đề (2) ta cĩ

E < belbc + a”) + ab(ca + b2) + ae(ab + e°) Lại vì các cập số (be, dở) và (qe + b2, be + a?)

cĩ cùng thứ tự nên E < ab (be +a) + be(ca + ð2) + ae(qb + c2)

Từ đơ suy ra bất đẳng thức (1) Vay bất đẳng thức (1) đã được chứng mỉnh

Đẳng thức ở (1) xẩy ra khi và chỉ khi

a = 6 =c (tam giác đã cho là đều) TRẤN XUÂN DÁNG (Nam Định) Bổ đề 3: Cho n € N (n > 2) Xét các dãy hữu hạn gồm n số hạng (6ị, x„ X,) từ (Vì, Jays Jy) théa man x, > x, > > Si ®y ẤP 7: > ec 3y | > yạc Khí đĩ De? Dai, > Dees k=l k=l kel trong đĩ (0, (., lạ) lề một hốn vi của (1, 3, n) Trước hết ta chứng mỉnh ¿ A De? Dwi, k=1 k=l Thật vay v6i mi k = 1, 2, n dat ¥, =% (8) 2x, - 21) + 2,0) -2) tat k (5) +59(7y ~ 29) 2 0 *ị "x, vay, > z, nénx,(y, - 2,) > (8) 2,0) - 2) © 3,07) 7 2,) Hx,0 z2) > [Ơi ) ứi +22] + : Vay 2,0), - 2) +340, - 2) +o $x, =z,) > > x0, +y,) - @ #2] +243 - 2) F +2 Zz) > SB l0,"+ yy +95) - 2, +2) +25) +24, ~ 24) † +ưyƯn — 2n) > Ch + + 1) - @, +2, + ax, Yo tut yy) — (2, +2, + +2 Day cu) gi TỦ 1 2 xu[Ớy T72 + + yạ) = Œ¡ +Z, + + z„)] = Ư (vì x Š gi ( < j) và Vị + V, + + >2 +2 + 4z) VÉ = Ln) Vậy bất đằng thứ (B') đúng Nếu x, z x Vij € (1, 2,., n} thì đẳng thứ ở (ð) xẩy rh khi và chỉ khi as Ii, = Wh = ln n Tiếp theo ta ching minh xy, > k=l k a >3 xd„ ¡—¿ (6) Thật vậy, đặt y.= —y„,¡¿ Wk = In thÌyp>y> >y, Theo (5) ta cĩ n n Re Thì.» ` sa =1 k=1 km1 =D, > Di, DWnti-k kel k=1 kel Neu x, # x, Vij € (1, 9, n} ( # j) thÌ dang thức ởÌ(6) xẩy ra khi và chỉ khi Đụ =?nxi—k VỀ = 1n

Bài tốn 3: Giả sử x, y, (¡ = su BỘ)

là các số thuc sao cho x, > zu BX,

hem nếp trang 12)

Trang 20

Sau 3 lần lấy, mỗi lần 4 chai, anh đầy tớ đã sắp xếp lại các chai rượu trong thùng như saa J2z|5]12| To] [a | > 5 | 5| = - 2|ø|2 Sa psa) {eel 813]

Lấy lần đầu Lấy lần hai

32 chai cịn 28 chải „ cịn 24 chai „ _ cŠn 20 chai — ,°Ế#Í —` _ Ta thấy anh đẩy tĩ Khơng thể lấy lần bổn một chai nào nữa mà ơng chủ kiểm tra vẫn thấy dim

a|b bảo yêu cấu Thật vậy Giả sử anh đầy tổ sắp xếp các chai rượu như —— :

— Thế thì ta phải cĩ:g+b+c =/+g+h = 9, đ = e = 1 Như vậy tổng sổ chai cĩ trong thùng

d | ít nhất phải bằng 9 + 9 + 2 = 20

on +— Vì vậy ta dự đốn câu nĩi của ơng chủ cĩ thể như sau : "Ta khen ngươi rất thơng mình và xứng

f hh | đáng được thưởng 12 chĩi rượu qui, nhung người khơng thể lấy thêm của ta được chai nào nữa ?" — ———) Nhận xét 1, C6 $5 ban da dua ra cách sắp xếp các chai rượu như trên

2 Bạn Lý Quốc Vinh, 6, trường Chuyên Hồng Bàng đã đưa ra 7 cách sắp xếp cho 28 chai rượu, 15 cách cho 24 chai và 4 cách cho 20 chai Ban Phan Thanh Minh, 8T, NK Vinh, Nghệ An đưa ra 8 cách sắp xếp cho 28 chai rượu, 17 cách cho 24 chai và 4 cách cho 20 chai Bạn ⁄.# /iðng Việt, 7Ta, NK Vinh, Nghệ An đưa ra 11 cách sắp xếp cho 28 chai rượu, 8 cách cho 24 chai và 4 cách cho 20 chi

3 Tất cả các giải đáp gửi đến đều đúng

BÌNH PHƯƠNG

NHAN DUOC BAO NEIEU QUA ?

“Trường Lan cĩ 12 lớp Trong một buổi liên hoan, mỗi lớp cử hai đại biểu Lớp Lan đã cử Lan và Mai di dự Sau buổi

liên hoan, một sổ đại biểu đã trao đổi quà kỉ niệm cho nhau (nếu A tng quà cho B thi B cũng tặng qua cho A), nhung

khơng cĩ hai bạn nào cùng lớp tặng quà cho nhau Lan tị mị hỏi tất cả các đại biểu về số quà mà họ nhận được Tất cả các câu trả lời đều khác nhau, Bạn cĩ thể biết bạn Mai lớp Lan nhận được bao nhiêu quà khơng ? À quên ! Bạn hãy

gọi lớp Lan là lớp chuyên tốn nhé ! NGUYEN HUY DOAN

QUẢNG CÁO : Để chuẩn bị tốt cho các kì thị tốt nghiệp PTTH và tuyển sinh Dại

học các bạn hãy tìm đọc bộ sách "Tuyển chọn các bài tốn PTTH " ở các cửa hàng sách

Tổng phát hành : 8A Đình Tiên Hồng Quận 1, TP Hồ Chí Minh ĐT: 8242685 ah Tang reo fin MONG on - hoc giac

ISSN : 0866 - 8035 Sắp chữ tại TTVT Nhà xuất bản Giáo dục

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	9,39 MB