Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ Số 456 (Tháng 62015) gồm khoảng 29 bài viết trong các chuyên mục: Dành cho Trung học cơ sở, tin tức toán học, giải trí toán học, chuẩn bị cho kì thi THPT quốc gia, diễn đàn phương pháp giải toán, diễn đàn dạy học toán,... Mời các bạn cùng đón đọc.
'i }:.ttt'r:.i| :,r:li.r.r :,-:,; Il;::::.:.r,i.:1,.,l:i.'i :.ill: i: ir:ira::rar' xunr BAil TU1964 2015 sd 456 a::r:itliii.:i:.i.r:i.ati.ii::.tr.ii:::,':,, ti.i rnp cxi RA HANG rmArue - ruAm rHtJ Sz oAruu cHo rRUNG Hoc pnd rnOruc vA rRuruc Hoc co s6 Tru s6: 187B GiSng Vo, Ha NOi DT Bi6n tap: (04) 35121607: DT - Fax Ph5t hdnh, Tri sLI: (04) 35121606 Email: toanhoctuoitrevietnam@gmail.com website: http://www.nxbgd.vn/toanhoctuoitre HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI BƯU CỤC HOẶC VỚI TOÀ SOẠN ! Vmo mq{ ry'x;,Y&wi w,u6g ffi{& mtr TrHuil Hsfr$ E0E& KX v,e{x c,{{ryN &d@o s,xNM NGUYEN KHAC MINH (Cuc Khdo thi vd Ki€m dinh CLGD - BO GDADT) (t(X i thi chqn hsc sinh vdo dQi tuy6n Qui5c gia thi blympic roin rrqt Q"6" t5 grrabl ll[ y dr.r lan thu 56 n[m 2015 (IMO 2015) dd tluoc t6 chriE-tqi - He NQi hai ngity 25 vd261312015 Cdn cu Quy ctr6 ttri chgn hgc sinh gioi cAp Qu6c gia hiQn hdnh, BQ GD&DT dd triQu tdp 49 hoc sinh tham dp ki thi tuy6n chgn n6i tr6n, g6m I hgc sinh dE tham dU IMO 2014vit 48 hgc sinh dat tu 21,50 tli6m trd 16n ki thi chgn hqc sinh gi6i Qu6c gia m6n To6n THPT nim 2015 Trong m6i ngdy thi, m6i thi sinh dugc dC nghi gi6i bdi to5n th 18oo -6ic c6c duong trdn ngopi ti6p c6c tam gi6c APB vir APC l6n luqt cit AC vd AB tai E vd F Ldy di6m Q b6n tam gi6c AEF cho AQE= AQF:a Gqi D ld di€m rl6i ximg v6i Q qua ducrng thing EF' Ducrng phdn giSc cira g6c EDF cdt PA tqi T a) Chimg mirljn DET: ABC, DFT: ACB b) Ducrng thing PA cfu Of , DF ldn lucrt.tai M, N Ggi I, 16n luot ld t6m c6c ducrng trdn nQi ti6p c6c tam giSc PEM, PFN v* (fl n ducrng tron ngopi ti€p tam giSc DIJ v6i tdm ld di6m K Duong thlng DT cdt (&J tai di6m 1L Chrmg minh HK di qua tAm ducmg trdn nQi tii5p tam J lttgdy thi thth nhiit,25l3l20l5 Bni (7 di€m) Cho a ld nghiQm duong cira phucrng trinl I * x=5 Gii sir n vd c0,c1, ,c, ld c5c s6 b) Cho Bni (7 di€m) Cho tam gi5c ABC nhon, kh6ng cAn vd 1/ ir a) Chrmg minh rdng 1/ ch4y tr6n m6t ducrng trdn,pii dinh b) Euong trdn di qua diiim ff vd tit5p xric vdi dulng thhng AK tai di6m ,,q, c1t,qS, AC l6,n lugt tai P., Q Gqi J ld.trung di6m cira doan P9 Chrmg minh r[ng ducrng gi6c DMll BAi (7 di6m) Tim s6 nguy6n duong r nh6 nh6t cho t6n tqi n s6 thgc th6a mdn d6ng thdi c6c diAu kiQn sau: i) T6ng cira chring ld m6t s6 ducrng; ii) T6ng cilclQp phucrng cira chfng ld mQt s6 6m; iii) T6ng c6c lfry thria bflc cta chring ld mQt sd duong KET QUA cf k6t qui ch6m thi vd Quy ctr6 ttri chgn hgc sinh gioi cap qu6c gia hiQn hdnh, B0 GD&DT d6 quy6t clinh chon hoc sinh c6 di6m thi cao ntr6t 1cO t6n du6i ilny) vio DQi tuy6n Qu6c gia ftr thi IMO 2015: Cdn ii l ltlguyin Tttin Hai Ddng, Ws 16p 12 Trudng THPT chuyOn KHTN, DHQG Hi NOi, 32.50 di6m; thdng AJ di qua mQt di6m c6 tlinh lVguydn Htrlt Hodng, h/s lcrp 12 Trudng PTNK, DHQG TP HO Chi Minh, 29.50 di6m; lr,tgul,dn lh) Hoan, Us lop 12 Truong TIIPT chuy€n Bni (7 diA$ KHTN, DHQG HA NO| 27.50 di6m; Sd nguyQn ducrng k duoc goi ld c6 tinh chiil T(m) n6u v6i mgi s6 nguydn a, tdn t4i s6 nguydn ducrng n cho lk + 2k + + t , tf = a (rwtn) BQi Chdu, NghQ An, 25.00,diiim; L a) Tim tat ce " c6c s6 nguyCn duong k c6 tinh ch6't T(20) b) Tim s6eg@6n duongtnh6 *6tco tinh ch6t T(20t\ ,\g,iy thi thft hai" 26l3l2t)15 nai + 1Z didm),.,::g6.1gO Jinh vien tham d1r mOt cu0c thi v6n d6p $.an gi6m,khao:961n 25 thefi vi6n Mdi sinh vi€n dugc h6i &jiboi mgt gi6m kh6o Bi6t rang.n6i sinh vi6n thich it nhetil0 gi6m khdo s6 cac thdnh vi6n tr6n a) Chimg minh Hodng Anh Titi,Ws lop 12 Tr,ucmg THPT chuy6n Phan rlng c6 th6 chqn ra7 gi6mkh6o cho m6i sinh vi6n thich it nh6t mQt trongT gi6m kh6o ndy b) Chrmg minh ring c6 th6 sip xi5p cuQc thi cho m6i sinh vi6n duo c h6i thi bdi gi6m k*r6o mlr minh thich vd m6i giam khao hoi thi kh6ng qu6 l0 sinh vi6n 5.lr{guyAn Thi Viil Lla;,hls lop 12 Truong T}IPT chuy6n Hi Tinh,24.50 di6q Vii Xudn Trtutg, h/s lcrp 1l Trucrng THPT chuy6n Thdi Binh, 24.50 rti6m B0 GD&DT dd triQu tfp hgc sinh cira tip hu6n chuy6n m6n "C chuAn bi cho IMO 2015 Trucrng EHSP He NOi duqc B0 GD&DT giao nhiQm vr; chri tri c6ng tdc tQ,p hu6n dQi Ngiry 161412015, DQi tuyi5n Ha NOi tham dg lcrp tuyiin, du6i sy gi6m s6t cua BQ ,:, IMO 2015 sE dugc t6 chr?e.'tu ngiry 4/7 di5n ngdy 1617l2O15 tai Chi6ng Mai, Ttrii Lan HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI BƯU CỤC HOẶC VỚI TOÀ SOẠN ! ,T&UNG c{, sd (/rong di thi vdo THPT lu6n xudt hi€n bdi Ldigidi.A'>0 o m- l>0 la>lthiPT ?, bdn hAn quan ddn viQc dp dung hQ thttc Vidte C6 nhirng bdi todn c6 thO dd ddng dua vi dqng dp dqng dagc hQ thuc Vidte, nhwng cfing cd nhirng bdi,todn phdi rh khdo leo mdi thqtc hiQn duqc di2u d6 vd no gdy kh6ng lt kh6 khdn diii vai cdc em hgc sinh Sau ddy lit mdt sd dqng togn nha vdy vd cach s* dryng h€ thac Vidte d€ gidi chung D4ng 1: Phuang trinh bflc hai c6 tham s6 Bii Cho phtrcrng trinh: 8-t: 8x+m2+1:0 '; Tim m de phtrcrng trinh (*) c6 hai nghi€m md xf (*) x1, x2 -"tl =.ri-"t:' NhQn xdt Ta thdy h€ thric dA bai dua c6 v6 phfrc tpp vd g6y kh6 khln dua vd xrt xz vd x1.x2 nhrmg ta c6 thrS bien dOi xy, x2 th6ng qua phucrng trinh (*) tl6 sir dlmg h6 thric Vidte : - 8m2 DC PT (*) c6 hai nghiQm thi A' >0c> -ljt.l,nt c6 hai nghiQm x1, x2,thi d6: x, phuong trinh * xz =2(m+l); xl =Z(m+l)xr-m2 -4 bii xl +2(m+l)x, 0, cosx > n6n chi nhQn dugc d5p s6 min/(x) =J4iJT Cdcbal sau d6y c6 loi gi6i clung Vinh Phrfic: Od fan Quy€t, 10A1, THPT chuyOn VInh Phric; Hung YGn: Vfi Minh Thdnh, llTl, THPT chuy6n Hrmg Ydn; Nam Dinh: Dodn Thi Nhdi, l0Tl, THPT chuy6n L€ H6ng Phong, Th6i Binh: Trdn Quang Minh,l0Al, THPT D6ng Tlrty Anh, Th6i Thuy; Hi frnh: LA Vdn Trudng NhQt, I lT1, THPT chuy6n Hd Tinh; Quing Binh: Hodng Thanh Vi€t, llT, THPT chuy6n Vd Nguy6n Gi5p; Binh D!nh: Trdn Vdn ThiAn, I I To6n, THPT chuy6n LC Quli D6n; S6c Tring: Vaong Hodi Thanh, 11T2, THPT chuy6n Nguy6n Thi Minh Khai; B6n Trez Trdn Thanh Ducrng, 10T, THPT Bii =-4,*(e-r)m-A m, _I \ -2*(2"D ' lm'-l rhc (2) vd (3) "t91452 TrOn ntat phang tQa dO Ox1t, a61 tap ho'p M c'ac di€rn c6 t()a d0 $; 1t) v6'i ,r )'e N'' r'd r ( 12,-v ( 12 Moi di€rn lll dvo'c: lo bo'i mot lrong ba mdu' ntdu dr), mdu ) fo T NGUYEN VAN MAU =J;-\a+b)+Jl@+b-t) al) =l t4 a=b= chuy6n B6n Tre Ap bing xby rakhi -: so cric bqn) Loi gioi (Theo da Di6u kiQn dd cdc bitfu thtc ciaflx) c6 nghia ld sinx, cosx kh5c vd ctng d6u Nh6n x6t ring sinx, cosx kh6c vd cirng d6u thi f (x) =fian x(1 + cos r) + Jcot.xtt + sinxl > D6u = g 121 t; a = O = lf trcing hoat' mdu ranh Chu'ng minh rdng tort ttti mot hinh c'hti' nhdt co cac' c'anh song ,song vo'i cdc lruc tr2o dQ mit tdt c'a cac' dinh c'tia n6 thuoc M vd dtrct'c 16 cilng mdu Ldi gidi M gdm 12 x 12: 144 dii5m vd tlugc ) t6 b6i ba miru nen tdn tpi it nhAt 48 di6m tluoc t6 ctng mdu, ching han mdu tl6 Chgn 48 di6m clla M dugc td boi mdu vd c6c di6m ndy ki hiQu a, U sO di€m t6 mdu il6 c6 hodnh dO M{t kh5c, 1< m< J, -(:J7+ t\m+a-Jz > -(:J2+t) ,[1+a-JT = -2-2J2 I (, : 12 1, ,12) Ta co n€n la =48 56 c[p i=1 (3) di,3m mdu d6 c6 hodnh dq a,(a, -l) , ie C; _ Chi€u c6c ili6m mdu tl6 l6n tryc tung thi m5i - diem -.; mdu tlo c6 hoinh d0 I sC thinh mQt c{p HQC -crua@ ^ ^ TORN ZZ HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI BƯU CỤC HOẶC VỚI TOÀ SOẠN ! thing [x, y] v6i ,r,ye N., x1l2,y +Z -2a.[4a +2 +2Ji.a +2a+ > o F = 2a(J4a +z -z - "D)+ 4J2o 4-5 < 'N6u a>5 thi JAiA -3-J-2>Jn-z-J2 vd 4J2a.+l > 4,s-3-1,5 =o *5> 4Jn -5 > Suy F > .N6u a =4, F = s(Jts-: -J1)++.{o -s =rco-17 >t6.1,4-17 >0 .N6u a =3, F =a(Ju -z-Jl)++J1 -s =zJ1(tJ1+z)-zz-60 =4"64671(mod 9)= (mod 9) Do d6 vbt t : l, 2, -l aa+76 - 16( 8)i u +16: Suy D(2: a(e,1r1)=6 f' ('Su t Ta c6 b4 + 16 > 8b2 Suy It=2 e6l0l +440,r-3320=05 n6n e e ll:'2;4\ Yoi e - 1, lAn luot xet i : 2, i : 4, i : Yoi e:2, lAn luCI xet i: l, i: 4, i:8 Yoi e:4, lAn luort xet i: l, i:2 Gi6i theo c6ch tuong t.u nhu tr6n, ta c6 th6m ba d6p sd c6c trudng hqp sau: Ybi b: 3, c: l, e:2, i: 4, chgn 3'3 l4 d:9,f : d:7,.f : * + 12.2-5 + 8',7 { t I l('= (6) z mot ddp s6 rnoi truong hqp b : 4, c: e : 2, i : 6, g : 8, h :3, d6 a - 5, d : 9, l'-'l "16 5, chgn vd c6: = 87: , vitco: 5+ 13'4 l, +9+12.2-7*ti=37 KET LI.AN L('= -Yoi b : 3, c : 1, kh6ng thd e >5 n6n e e{2;4} Vdi e:2,ldnlucrt xdt i: 4, i: I oh +*4 = 81-52=35 lb=A fn:z - V6i b 4, c: kh6ng thti e > n€n e e {2;3 } V6i e : Z,ldnlugt xdt i : 3, i : 6, i:9.Yoi e:3, xet i:2 - Vdi b:8, c:2 khdng th€ c6 e>4 n€n e eIt;3) V6i e - 1,b,nlugt x6t i : 3, i : 6, , : V6i e:3,1dn luqt xdt i: l, i: i C 6* a+d+lZe- f Gi6i theo ciich tucrng tu nhu tr€n, ta c6 th€m h \et " - -1 Khi ( l) tro thdnh 6, 5, Khi d6 (1) trO thdnh L('= 4:khdng c6 d6p s6, bpn dgc g:8, h:7,ta dugc a : g:9, h: 8, ta dugc a : == 7, C tU girii [('= ?- C6 haj truong hqp GiAi theo c6ch tu[...]... khdng Gi6 sir co 36* - 5v : t hay 36' - I : 5v thi v6 trdi chiahrit cho 36 - 1 : 35 : 5.7 n6n chia h6t cho 7, trong khi vti ph6i 5r kh6ng chia h6t cho 7, do d6 khdng t6n tai c6c s6 r, y nhu th6 Gi6 su c6 5/ - 3€:9 hay 3€ + 9 : 5Y thi v6 tr6i chia h6t cho 3, trong khi v6 phbi 5v kh6ng chia h5t cho 3, do d6 kh6ng tdn tai cic s6 x, y ret irqp (1) vd (2) ta c6 nhu th6 VQy giltri nh6 nh6t cira bi6u BitiT3l452... tuy nhi6n tl6y ld bdi to6n m6i trong kj, thi hqc sinh gi6i Qu6c gia ndm qua, gAy kh6ng it kh6 khln cho nhi6u hgc sinh Bdi to6n ndy c6 vdi c6ch gi6i tuy nhi6n d6u chimg minh bing phuong ph6p ph6n chimg ph6p phin chimg C6ch gi6i tr6n dAy dga vdo viQc khai th6c b6c cta da thfc, tinh ch6t ctng tinh ch6t cira s6 nguydn tii D6 luyQn tfp phin ndy c6c bpn hdy ldm mQt sd (Xem fiAp fiung 26\ bdi tpp sau: nghiQm... b6t Lh6 quy d5 n6u 5v thi 36' - 5/ c6 chft s6 tfln cirng bing 1, n6u 36' < 5v thi 5r - 36' c6 i ^ , J chir so tin cung bdng 9 Vdi x : I, ! : 2 thi A : 36 - 52: 11 Ta chi cdn xdt xem A c6 th6 6y... SOẠN ! n6n: 31 :31.1 : (-1).1.(-31) : (-1).(-31) : 31.(-1).(-1) Do d6 31 kh6ng thd phdn tich thdnh tich cin 4 s0 nguyOn kh6c nhau Di6u ndy chimg t6 ring phucrng trinhflx) :20 46 kh6ng th6 c6 nghiQm nguyOn Ldi binh C6c bdi toin 7, 8, 9 cirng m6t th6 loai Pfuong ph6p chung il6 gi6i o ddy ld chimg minh bdng phin chimg Sit dqng tinh chdt nghi6m, tinh ,t ; i i ^ to, ch6t s6 nguy6n s6 nguy6n, ph6i hqp v6i tlinh... Chi€u c6c ili6m mdu tl6 l6n tryc tung thi m5i - diem -.; mdu tlo c6 hoinh d0 I sC thinh mQt c{p HQC -crua@ ^ ^ TORN ZZ HÃY ĐẶT MUA TC TH&TT TẠI BƯU CỤC HOẶC VỚI TOÀ SOẠN ! thing [x, y] v6i ,r,ye N., x1l2,y ... ring: V6i mqi s6 nguy6n t6p > 5, c6c s6 nguy6n QQ), Q0), QQ), ,Q@ -1) kh6ng th6 c6 hcrn s6 chia hi5t chop X5c dinh c5c tla thfc P(r) c6 bpc nh6 nh6t v6i c6c hQ s6 nguy6n kh6ng 6m cho v6i m6i s6 nguy6n... mQt di6m cho tru6c vii tao voi rluOng thlng cho tnr6c m6t g6c c[, c6 th6 khai th6c d6 gi6i nhi6u bdi to6n chi cAn ta tinh rlugc g6c cr 1 16 ViQc tim toa dO m6t di6m du6i dpng ld giao rti6m cira... nhi6n tl6y ld bdi to6n m6i kj, thi hqc sinh gi6i Qu6c gia ndm qua, gAy kh6ng it kh6 khln cho nhi6u hgc sinh Bdi to6n ndy c6 vdi c6ch gi6i nhi6n d6u chimg minh bing phuong ph6p ph6n chimg ph6p