Bộ sưu tập TC Toán học và Tuổi trẻ từ năm 1978 đến nay ... Các tuyển tập sẽ không được đưa lên vì nhiều website đã có. ... Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác
Trang 1hittps:/Avww.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO # HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM
TAP CHf RA NGAY 15 HANG THANG
Trang 2hittps:/Avww facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath
TOAN HOC VA TUOI TRE
MATHEMATICS AND YOUTH
Trang
ệ Dành cho các bạn Trung học cơ sở
For Lower Secondary Schoo] Level Friends Lê Quốc Hán - Giải phương trình nhờ
hệ phương trình 1 ẹ Trần Xuân Đáng - Dịnh lắ Trung Hoa về số dư 2
ẹ Gidi bài kì trước
Solution of Problems in Previous Issue
Các bài của số 205 3 Hoàng Ngọc Cảnh - Xung quanh một
bài toán quen thuộc 9
ệ Đề ra kì này
Problems in this issue
Các bài từ T1/209 đến T10/209, L1/209, L2/209 10
@ Nguyễn Hữu Théo
~ Đáp án đề thi quốc gia toán lớp 9 12
& Dành cho các bạn chuẩn bị thì vào đại học For College and University Entrance Exam Preparers
Trịnh Bang Giang ~ Di tim mot dang
định lắ hàm số sin cho tứ diện 16
ẹ Giải trắ toán học
Fun with Mathematics
Nguyễn Đức Tến - Giải đáp bài Chia bánh
Nguyễn Đăng Quang ~ Làm thế nào ? Bìa 4 Tổng biên tập : NGUYÊN CẢNH TỒN Phó tổng biên tập : NGƠ DẠT TỨ HOANG CHUNG
HOI DONG BIEN TAP :
Nguyễn Cảnh Tồn, Hồng
Chúng, Ngơ Đạt Tứ, Lê Khắc
Bảo, Nguyễn Huy Đoan,
Nguyễn Việt Hải, Đinh Quang
Hảo, Nguyễn Xuân Huy, Phan
Huy Khải, Vũ Thanh Khiết, Lê
Hải Khơi, Nguyễn Văn Mậu,
Hồng Lê Minh, Nguyễn Khác
Minh, Trẩn Văn Nhung, Nguyễn Đảng Phat, Phan
Thanh Quang Tạ Hồng Quang, Dang Hùng Thắng, Vũ Dương Thụy, Trần Thành ỔTrai, Lé Ba Khanh Trinh, Ngo
Viét Trung, Dang Quan Vién
Tru sé toa soan
45B Hang Chuéi, Ha Noi DT: 213786 231 Nguyén Văn Cừ TP Hồ Chắ Minh ĐT: 356111
Trang 3Attps:/Avww.facebook.com/letrungkienmath hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath
A =A, RAMS, #4) = 4, + A, = 45ồ
(vì MAN = 45ồ theo gia thiét) + AAME = AAMN
tưởng của phương pháp 'Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế" là sử dụng các phép biến đổi tương đương hay phép biến đổi
A nđỔI (cx> MN =ME=u+o.Trong CMN
hệ quả để đưa đến một phương trình chỉ còn ta có M2 = CMẺ +CNỷ <(u +UỆ = (a - u)? +
một ẩn số Trong bài báo này, tôi xin trao đổi Le (PEPyeRe AAT he BS Đ uy (3)
với các bạn con đường ngược lại : làm tăng số Nụ du Đ ae, ; tạ tiBDẢov3Ế ,
ẩn của phương trình a đặt w Ẩụ =7 thì từ (3) suy ra:
Thắ dụ 1 : Giải phương trình Wx + WOT 2 =5 = ặ8 Saumy = z (do đó việc tìm giá trị lớn nhất ĐC ae - at và từ (2) suy ra a
Nhận thấy ngay : nếu ta giải phương trình
này bằng phương pháp thông thường thì không
hi vong thành công Để ý rằng : tổng các biểu và nhỏ nhất của Sx ,yy được chuyển sang việc
tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của t)
thức đưới dấu căn là hàng số nên ta hãy dat N69 sa
Nx.= 4, VOT Ởx =v i88 chủ %é t uv = a* Ở at à ụ là hai nghiém ciia phuon
và đựh phương tình đã cho về hệ ina aura) mà bị ghie phương
ae ts X?-tX +a? -at =0 (4)
BH aes Điều kiện cần và đủ để (4) cơ nghiệm là A > 0
uv eo eet? + dat - 4a? 2 Oot > 2a(V2 - 1), vit > 0
> Danh cho các bạn Trung học cơ sở avs UU Be BROT Tân ft | | aig PE as eT nee ` | | GIAl PHUONG TRINH NHO HE PHUGONG TRINH | | it 4 Giải he nay bang cach dat u +v = S, wv =P và chú ý u* + uf = (SỢ - 2P)? - 3P? ta có uy = 2x 216 La = 35 2, = 81 Ta xét mot thắ dụ khó hơn ;
Thắ dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng ụ và hai điểm Af, AM ehuyển động trên 2 cạnh BC và CD sao cho MAN = 4đồ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tắch tam giác AMA
Giải : Ta đưa vào các ẩn mới : BM = u, CN =v (0 < u,v sa) (1) Khi đó SA uy = SABcD Ở ẾABM~ SADN ~ ẾCMN EV BUM o 12 ý v A 2 Z 1 Apt ca Ộ` ze@-w@-v) =5@-w) pete ằ i
Ta cẩn tìm thêm su lién hé gitta u va v
Muốn vậy, kéo dài MB một đoạn BE = ụ Khi đó ABE = ADN (c.gc) = AE = AN va
LE QUOC HAN Ở
Khi Ư = 2ụ(V2 - 1) thì (4) có nghiệm kép
t=t;=a(2-1)=u= a(2 - 1) thỏa
mãn điều kiện (1), nên /,ẤẤ = 2a(V2 - 1)
= min Sy iyy = ụ2((2 - 1), đạt được khi và chỉ khi Ủ a(V2 - 1)
laicd : at = a? ~uv < aỖ, viu,v 2 0=t <a,
Khiằ = a thì (4) có hai nghiệm ằ, = a, t,=0
u,=a, v, = 0
=[ a =0, g théa man diéu kién (1)
a
VAY tay = > MAXS yyy = | dat được
khi và chỉ khi M = 8, N = C hay M = C,N =D Xin mời bạn hãy dùng phương pháp nêu trên để giải các bài tập sau :
Bài tập 1: Đơn giàn biểu thức Ở Ở A= 120 + 142 + 320 ỘT45 Bai tap 2: Giải phương trình Noe ặTÍ - Wax + Bài tập 3 : Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn ử bán kắnh bằng 1 và một đường thẳng quay quanh ử cát hai cạnh AB và AC tại M và N Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của điện tắch tam giác AMA Đáp số :_~ bài tập 1 : A = 2 ~ bai tap 2:x = 2 Hướng dẫn bài tập 3 : Đặt AM = u, AN =v
(0 <u, u < V8), dùng công thức tắnh đường
Trang 4https://Awww.facebook.com/letrungkienmath
Dinh tắ Trung Hoa về số dư được phái biểu như sau : Nếu mạ, mạy mạ lờ n số nguyên dương nguyên tố cùng nhau từng đôi một va a), ay ., a, lan sd
nguyên bắt kì thì hệ phương trình đồng đư x = a, (mod m,), x = a, (mod m
x = a, (mod mụ) có nghiệm Ngoài ra nếu x = e là một nghiệm của nó thì x = xụ,
là một nghiệm của hệ khi uờ chỉ khi tồn tai t Ạ Z sao cho x, = c+ (mym, m, Jt mị dam, Với mỗi ¡ Ạ {1, 9, n), đặt n, a hi ds, ẠN và (mạn) = 1 ¡ (Kắ hiệu (m,, ụ,) là ƯSCLN của zn; và n,) Vì vậy tồn tại bị Z sao cho " vis" i: 1M sab, a,.1 = a, (mod m,) véi mọi Ư = In Vậy x = M là một nghiệm của hệ GiteỖ " xẤ~e1 mị Vắ Dat m bn, 1 (mod m,) Dat M =D abjn,, Voij # ithlabn,? m, VÌ vậy =1 một nghiệm của hệ Nếu x = zẤ là một nghiệm của hệ thì TY
im, My , m.] (m là bội số chung nhỏ nhất của mạ, mạ, , mạ) VÌ ỈẤ nguyên tổ cùng nhau từng đôi một nên m = m Ưn; min:
De? Tại VỈ= TP nêng, =c? m,
Vậy tồn tại Ư Ạ Z sao chox,Ấ nắ, Suy rax,, = c +mứ Ngược lại nếu x,, Ạ Z thỏa
man x, = c + mf thi r6 rang = x, 1A mdt nghiém cia hé
Ap dung lịnh lý Trung Hoa về số dư ta cơ thể giải được các bài toán sau : Bồi toán 1: Chứng mình rồng uói mỗi số tự nhiên Ấ lồn tại n số tu nhiên Hiến tiếp mù mỗi số trong n số đó đều là hợp số
Giải : Giả sử p¡, pạ, pạ ln số nguyên tố khác nhau từng đôi một Xét hệ phương trình đồng dư + = =È (mod pỆ) Ể = T;7) Theo định lắ Trung Hoa về số dư, tồn tại x, Ạ N* sao cho x, = -k (mod p}) voi moi k = Ty Khi ds cae số
x, +1,%, +2, ,xẤ +n đều là hợp số (với 1 < & < ụ thÌx,+kẬ pệ)
Bài toán 3: Chứng mình rằng uới mọi số tự nhiên n, tồn tại n số tự nhiên liên tiếp sao cho bất ki số nào trong các số đồ cũng đều không phải là lũy thừa (uới số
mũi nguyên) của một số nguyên tố N ce ae pee
Giải : Céch 1: Voi mdi s6 tu nhién a, xét.n s6 nguyén t6 khac nhau ting doi mot PpPy Py Theo dinh lý Trung Hoa về số dư tồn tại a ẹ N* sao cho a = (p,,~ k) (mod pp) Vk = Tn Khi do, dé dang thay rằng các số ụ + 1, ụ +, , ụ +Ừ đều không phải là lũy thừa (với số mũ nguyên) của một sổ nguyên tố Cách 3: Giást n là một số tự nhiên bất kỉ vàp,, "
tố khác nhau từng đôi một Theo định lắ Trung HR eB dy hé phương trình đồng
1 (mod (p,q,)), x = -2 (mod (pqy)), ềx = -n (mod @,g,)) có nghiệm ý rằng các Số Đ¡q\, P24)Ừ Pry nuyen t6 cling nhau tithe doi mộ, Hiển nhiên rằng có thể chọn Ọ = c là một tghiệm của hệ này sao cho c Ạ Ả'" Khi do cáp số c+ Ìc +2, Ấ e + là số tự nhiên liên tiếp và bất kỳ số nào trong cấc sở đó
cũng chia hết cho Ít nhất 2 số nguyên tố khác nhau (+1Ậ (b,g\),e+2Ậ (Ấq;), etni (Puợn) Vì vậy không có số nào trong các số đớ là lũy thửa (với số mũ ngúyên)
của một số hguyên tố Bài toán 3 : Chứng minh rằng uối mỗi số tự nhiên n, tồn tại một cấp số cộng gồm n số hạng sao cho mọi số hạng của nó đều lit lay thừa của một số tự nhiên uỏi số mũ nguyên lớn hơn 1 Giải : Giả sử p, là số nguyên tố thứ ¡ (i = Tw va datp =p,p> p, Kihieu 4 =F Khids (p,q) = 1 (1 <i <n) Voi méii Ạ {1, 2, n), hệ phương trình đồng
aux = 0 (mod g), x = ~1 (mod p,) có nghiệm x = a, Ạ N* Xét cấp số cộng gồm n s6 hạng với công said = 14 24 n4, va s6 hạng đầu cũng bằng d Nếu 1 < # < n thì
hd = 17, 2%, kẾtỢ nh, be a, atl sa 2 y&
Khi dé kd = (17 2Pe eae eke nh)
nyse ao a FL Gh ae
S61 Pe RPE ne EN* via? py voli ehvaat1i py
Vay moi số hạng của cấp số công trên đều là lũy thừa của một số tự nhiên với số
mũ nguyên lớn hơn 1
Bồi toán 4: Chứng mình rằng có uô số số tự nhiên k sao cho cóc số R.2" +
Trang 5https://Awww.facebook.com/letrungkienmath
Bài T1/205 :
Tìm năm số khác nhau trong dãy tắnh sau đây:
(as tee tee) tee = ae
Biết rằng : h
a) Trong ba số hạng trong ngoặc thì có một
số hạng là BSCNN của hai số hạng kia
b) Số chia là số nguyên tố uà là ƯSCLN của
hai số nói trên :
Lời giải : (tóm tat) Đặt số chia là p (p là số nguyên tố, 11 <p < 100) Suy ra ba số hạng trong ngoặc sẽ là pmn, pm, ph (với (m, n) = 1) Mạt khác do các số phải tìm là khác nhau 100 nén mn > 6 Từ đố ta cóp < ỘỦỞ < 17> p = 11 hoặc 18 Ta có thương của phép tắnh đã cho luôn là im +n + mn Xét hai trường hợp : 1)p = 11 Ta có 6 < mu < 10 mn = 6 và đo đó m +n +ran = 11 Không thỏa mãn dop # m +n +mn, 2)p = 18 Ta có 6 < mn < 8= mn = 6 và m +n +mm = 11
'Vậy năm số phải tìm là : 78, 39, 26, 18, 11 Ta được dãy tắnh như sau :
(78 + 89 +26) : 18 = 11 Nhận xét : `
1 Các bạn đã giải tốt bài này : Phạm Văn Dũng, 9T NK Nga Sơn, Thanh Hóa, Cao Trần Kiên, Nguyễn Anh Hoàn, 8H Trưng Vương, Hà Nội, Vũ Bách Khoa 8M Mari Quyri, Ha Nội ; Nguyễn Thanh Bình 9CT Chuyên Thanh Son, Vinh Phu ; Vi Thi Hong tổ 12A khu I Vàng Danh, Uông Bắ, Quảng Ninh ; Nguyễn Dang Minh 9NK Thuận Thành, Hà Bác ; Lé Quang Nắm 8T Chuyên Đức Phổ, Ta Quang Vuong 9T Chuyên Nghĩa Hành, Quảng Ngãi
2 Một số bạn đã nêu nhận xét đúng là : hoán vị 3 số hạng trong ngoặc ta sẽ có 6 dãy
tắnh phải tìm
3 Vài bạn kết luận không tìm được năm số
như đầu bài yêu cầu ( !) x VO KIM THUY Bài T2/205 : Chứng minh rằng, nếu a?b,b #c,c # quờ a(1Ậbe)~b~e _ ụ(1 +ea)~c~ụ đ =6 Ộ"ế=Ể (Mmgi a(1+ab) -a -b a thi 362 -a2+1=0 Lời giải : Từ giả thiết của bài ra ta có : 8 hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath (ac -1 Ởf)b = e(1 ~B) ~@ (1) a( +1) Ởụ = (aa -1 +f) (2) a(1 +ac) Ở (a +e) = (ằ Ởa)f (3) Từ (1) và (3) suy ra : [a(B +1) - al(ac - 1 - ử)b = - = [e(1 - ) - al(aa - 1 + Bb (4) Xét hai trường hợp sau : i) b = 0, Khi do : a, c # 0 Mặt khác, từ (1) va (2) ta cd @ = c(1 ~ f) = a(1 +) Suy ra + # 0,8 # +1, và do đó ụ = TT (5), & (6) Thé (5) và (6) vào (3) ta được : se oe a a a a (tsp) (eet) - (pasa)? eel -P +02 -2 = 2 a9 - 02 + ii) b # 0 Khi đó, từ (4) ta có : {a(1 +f) - Ủ](Ủe - 1~ ử) = = [e(1 - A) - aaa - 1 +8) ẹs3ửla(1 + ae) = (a +e)] + +(ụ~ e)\(Ủ2 - ử? - 1) =0 = 2/Ê( ~ a) + (a = e)(Ủ2 = ử8 ~ 1) = 0 (do (3)) (e - a)(8/2 - a2 + 1) = 0 36? - a? +1 = 0 (dpem)
Nhận xét : 1 Tòa soạn chỉ nhận được lời giải của ba bạn Trong số đó chỉ cơ lời giải của bạn Bùi Qưang Minh (PTCS Giảng Võ, Hà Nội) là đúng, tuy rườm rà và thiếu sáng sủa
2 Do khuôn khổ của Tạp chắ có hạn và do cơ cấu về nội dung của số Tạp chắ này, nên thác mắc, kiến nghị của bạn Phạm Tuấn Anh (9T, Phan Bội Châu, Nghệ An) về bài toán này chúng tôi sẽ giải đáp sau
NGUYEN KHAC MINH Bai 13/205 : Gidi phương trình
WT ầ2 - NWT == + 1)=2
Trang 6https:/Avww.facebook.com/letrungkienmath
a)~1=0=u = 1 thỏa mãn w > 0 Khi do x = 0 Thay vào ta thấy x = 0 là nghiệm
của phương trình đã cho b)V2 Ởu7 +1 = 2 +1)= 2 Ở7 = 2+1 (vì w > 0 nên 2u +1 > 0) ta có 2~u? = (2u +1)2 hay Ở 5u2+4z-1=0 1 -1u,== Giải phương trình này ta được ⁄¡ = a
Do u > 0 nén ta loai nghiém uy Ta cox = u3- 1 = (1/5)? - 1 = 24/25 ỔThi lai, ta thay x = ~24/2 là nghiệm của
phuong trinh da cho,
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
24
x, 20,x, = +55 25
Nhận xét : Có rất nhiều bạn gủi lời giải Tiầu hết các bạn đều giải đúng Đa số có cách
giải như trên
TỔ NGUYÊN Bài T4/205 : Tam giác ABC uuông ở Á có AB = 6em, AC = Sem Goi I là giao diểm các dường phân giác, M là trung điểm của BC Tinh số do góc BÌM Lời giải a Theo định lắ ; Pitago tinh duge BC = 10em Suy ằ| oe ra MC = Bem Ấp dụng tắnh chất đường phân giác 4 ta có : Mặt khác AB' + B'C = 8em
Nên AB' = 8em, CB" = em Do đó AIMC = AIB'C (eg.c)= B'C = IMC
Tir dé ABỖB = IMB (1) Lại có ABBỖ = TBM la Từ (U và (2) suy ra BIM = BAB' = 90 Vậy BIM = 909 Nhận xét : Bài này được nhiều bạn giải với nhiều cách khác nhau
Các bạn cớ lời giải tốt là : Nguyễn Minh Tâm, tổ 5 phường Hữu Nghị, Hòa Bình ; guyến Ngọc Đông, 9ứK Thuận Thành, Hà Bác ; Vũ Thùy Duong, 8T PTNK Hài Hưng; Nguyễn Phú Bình 9A, PTCS Bế Văn Đàn, Hoàng Kỳ Sơn, Phạm Gia Anh, Trần Bằng, Nguyễn Long, Cao Trần Kién, 8H Trung Vuong Ha Noi ; Bui Anh Tuấn,
4
https://sites.google.com/site/letrungkienmath Nguyễn Tiến Trung, Hoàng Mạnh Quang ST, Trần Trung Nghĩa, 9T, Trần Đăng Ninh, Nam Định, Nam Hà ; Dương Đình Hùng, 9 Nga Liên, Nga Sơn, Lê Xuân Hùng 9T, Lam Son, Thanh Hoa ; Kiều Thu Hiền 9T NK Quynh Lưu, Nghệ An; Lê Huy, Lê Mậu Tùng 9ứK Đông Hà, Quảng Trị ; Lê Minh Trường 91 Nguyễn Minh Phương, Thừa Thiên - Huế, Nguyễn Hồng Nhân, 9 Lê Hồng Phong, Quảng Nam - Đà Nẵng ; Lê Quang Nắm 8T Chuyên Đức Phổ, Quang Ngai ; Vo Thi Ly, PTCS Luong Van Chánh, Phú Yên ; Nguyễn L# Lực, 8A1 Đầm Doi, Minh Hai
VO KIM THUY
Bai 75/205 Cho đường tròn (O ; R) dụng dường tròn (O'; R') sao cho lâm O nằm trên dường tròn (O'; R` Dây AB của dường tròn (O ; R) di dong va tiếp xúc uới dường tròn (O'; R`) tại điểm C, Xác dịnh uị tri cia day AB dé AC? + BC? đạt giá trị lớn nhất
Lai gidi : Goi H, K
lần lượt là trung điểm o
ctia AB va chan dutng ớ^ vuông góc hạ từ Ó xuống ỚC, ta có OH 1 AB va hình chữ nhật OHCK, Do dé: AC? + BC? = =( Banc) 2 ( Bae 2 a + 2HC* = 2(R? - OH?) + +(00% = OồK?) = 2(R? ~~ OH*) + +2(R? - (RỖ- OH)*) = 2R? - 40H? +4R.OH = = 2R?4+R?-(RỖ- 20H)? < 2R? + Rệ, Vay gid trị lớn nhất của AC?+BCỂ? là 2R?+R'^, đạt được khi va chi khi(RỖ- 20H)? = Ohay OH == Suy
ra có 2 vị trắ cẩn tìm của AB là khi nơ là tiếp tuyến chung ngoài của các đường tròn (ÓỢ; /ÈỢ)
va (0; >)
Nhận xét 1) Có 21 bài giải trong số đơ có 16 bài giải đúng Lời giải tốt gồm cơ : Trần Bang (8H = Trưng Vương - Hà Nội), Khién Viet Ding (9CT, Thái Bình), Trần Minh Đông (9A Lương
Văn Chánh)
2) Nhiều bạn không để ý điều kiện đường tròn (O, R) đưng đường tròn (OỢ; f') nên nêu thừa việc biện luận,
Trang 7hittps:/Avww.facebook.com/letrungkienmath Bài T6/205 Cho 10 số nguyên dương đụ, cố địp Chứng mình rằng tồn tại các số cị Ạ{~1, 0, 1} tỉ = 1, , 10), không đồng thời 10 bang 0 sao cho 86S) ca; =1
Lời giải : (theo Nguyễn Thanh Thiện, 10CT, Lê Hồng Phong, TP Hồ Chắ Minh) 10 Xéttấtcả cácsốA,= 3) b,a¡ trongđó6,Ạ (0,1), chia hết cho 1023 Ư = 1, 10 Cơ tất cả là 2! = 1024 các số A,, j = 1 , 1024 khác nhau như thế, Khi chia Ay
(j = 1 1024) cho 1023 cơ thể được các số dư là 0, 1, , 1022 (1028 số dư) Vậy theo nguyên lắ Diriehlê át phải cơ hai số A, z A,, khi chia cho 10 1023 có cùng số dư Giả sử đơ là Ay = DY bya; i=] lô và Ai = 3) bua, Ta có lo lô Ay = Dba) - 2 by) = 1 =3 Gy ~ B,)m,t 1098 Dat cị= by = Địi, Vib yb), Ạ (0, 1] nên suy ra c¡ Ạ (1,0, 1} Và vÌ A, z A, nên khong Dpem
Nhận xét Các bạn sau đây cũng cớ lời giải
tốt Lê Minh Hiếu, Hoàng Sao Đỏ, 10T, Lam Son, Thanh loa, Lé Huy Khanh, 12T, Phan Bội Châu, Vinh, Nghệ An ; Lê Trường Giang, 12CT, DHSP 1; Ha Khénh Linh 9A, Chu Van An, Hà Noi icc, khong déng thoi bang TO NGUYEN Bai T7/205 : Cho P(x) = +a,cos2x + +a,cosnx nhan gid tri duong Wx Ạ R Ching minh: a, > 0 a, + aycosx +
Lời giải : Cách 1 (của Bùi Quang Minh, PTCS Giảng Võ, Hà Nội) : Xét nguyên hàm a, + Ởsinnx " Fax) = ae + trên R Có : Fi) = Pa) > OW ER https://sites.google.com/site/letrungkienmath = ham F(x) đồng biến trên R= Flr) > F(O) a, > Oeea, > 0(Dpem) (1
Cách 2 (của Phan Hoàng Việt, Quốc học Quy Nhơn, Bình Định) : Với mỗi # = 1, 9, n đật : hex se) Ag = sin ken + 3x kn Bk tensa Ae Ae Sane he T0 he + n+1 S2 TERE Qala ht Ởsin EI =sin nh _ (đn+ljbm kn +sinỘỞỞỞỞỞ= tain ( 2#: fo ane USPS Vn SU, 2% ay Hân nel 0, vk = Tn Dods : 2Ix _ k2lIx Lies ia avin ete? 1, Qh sy 0506 k=U I=0U n+l =(n+La,t+> a,.A,=+Da, k= Vì Pắx) > 0 x Ạ R nên 7 > 0, hay (n+1)a, > 0ụ, > 0 (Đpem)
Nhận xét : 1 Cùng giải theo cách 1 và cho lời giải đúng còn cơ các bạn : Vứ Thành Long, Vũ Huy Phuong (11CT PTNK Hai Hung) ; Dé Le Tén (12K PTTH Thang Long, Ha Noi), Lé Truong Giang (12 CT DHSPI Ha Nội), Nguyễn Minh Tri (11CT DHTH Ha Noi), Dinh Trung Hàng (11M Marie Curie, Ha Noi), Nguyễn Van Hiếu (12 A DHSP Vinh), Lê Huy Khanh (12T, PTTH Phan Boi Chau, Nghé An) ; Nguyén Van Hoàng (L1A, Quốc học Qui Nhơn, Bình Định) va Vo Hoàng Trung (11A PTTH, chuyên Tra Vinh)
2 Rất nhiều bạn đã giải bài toán theo phương
pháp của cách 2 Một số bạn cho lời giải sai do mac phải các sai lầm cơ bản trong biến đổi lượng giác
Trang 8
Attps://Avww.facebook.com/letrungkienmath
3 Bằng phương pháp của Cách 2, bạn
Nguyễn Vũ Hưng (10C PT Chuyên ngoại ngữ DHSPNN Hà Nội) đã giải đúng Bài toán khái
quat sau : "Cho P(x) =a, +a,cosx +b,sinx + +
a,cosnx +b, sinnx nhan gid trị dương Vx Ạ R Chứng mình : aẤ >0" Tuy nhiên, Bài toán vừa
nêu còn có thể giải một cách ngắn gọn theo
phương pháp của cách 1
4 Ngoài các bạn đã nêu tên ở trên, các bạn
sau đây cũng cớ lời giải tốt : Vương Vũ Thắng (9A, PTCS Giang Võ II Hà Nội), Phạm Huy Từng (8A PTCS Bế Văn Đàn Hà Nội) ; Trần Văn Bình (11TK4, Bắc Thái) ; Nguyễn Trọng Nghĩa (11A;, PTTH Việt Trì, Vĩnh Phú) ; Ngô Đức Duy, Vũ Hoa Mai (10CT, Trấn Phú, Hải Phòng) ; Phạm Mạnh Cường (11A;, Chu Văn An, Hà Nội, Nguyễn Quang Nghia (10 CT ĐHTH Hà Nội), Vũ Chắ Cường, Trịnh Thế Huynh (10A, Lê Hồng Phong, Nam Hà) ; Thanh Huong (11, Luong Van Tuy, Ninh Binh) ; Naw Qui Thơ, Lẻ Minh Hiếu (10T, Lam Sơn, Thanh Hoa) ; Kiều Văn Ty (IICT ĐHSP Vinh) ; Nguyễn Trì Phương (11T PTNK Ha Tinh) ; HO Sỉ Hiền (PTNK Vĩnh Linh, Quảng Trị) ; Lê Anh Vữ (L1CT Quốc học Huế) ; Bùi Quang Hùng (10T, Lê Quắ Đôn, Khánh Hòa) ; Cao Đàng Khang (11A, PT'TH Dĩ An, Sông Bé) và Trương Thuận (11A, Phan Ngọc Hiển, Minh Hải)
NGUYÊN KHẮC MINH
Bài T8/20õ : Cho Ưam giác ABC có các cạnh a, b, c Chứng minh rằng trên dường tròn Ớ-le của tam giác có tồn tại dúng hai điểm P đề :
PA*(62 ~ c3) + PBY(c? - a2) + PCa? - b2) = 0
Lời giải Kẻ hệ trục tọa độ vuông góc Oxy với A6, yị), BỂƯ, y;), C(Ư, vị) và Pắx, y) Từ giả thiết ta có : (& =x) + @ ~z)?] (bẾ = 02) + +[& =x;} + Ữ -y2))1 (2 - a) + (@ Ởx,)* + (y Ởy3)? (a? -b2) = 0(1), Sau khi rút gọn ta có các hệ số của x2, y2 đều bằng 0 nên (1) là phương trình bậc nhất và là
phương trình đường thẳng, gọi là Z Gọi Ó, H theo
thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm tam
gidc ABC Do OA = OB = OC = RnénO théaman
phương trình đã cho và ử Ạ d ; hơn nữa HA? +a? = HB? +b? = HC? +c? = 4R2
6
hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath (R-ban kinh duéng tron (O ; OA) nén H cing
thỏa mãn phương trình đã cho va ta cd H Ed
Nếu AABC khong déu thi H# O va tap hop diém
P là đường thẳng d Do P nằm trên đường tròn Ole nén la giao của đường tròn đó với đường thẳng ở và có đúng hai vị trắ của P Nếu AABC
đều thì mọi mọi điểm trên đường tròn Ơle đều thỏa mãn điều kiện đã cho
Nhận xét Có 20 bạn giải bài này và đều giải đúng Lời giải tốt gồm có các bạn : Trần Tất Khiôn: (10T Lam Sơn, Thanh Hơa), Nguyễn Thi Quinh Hoa (11T PTTH Năng khiếu Hà Tỉnh), Pham Lé
Hing (10 CT DHTH Ha Noi), Ho Si Thai (CT,
PTTH, Dong Ha, Quang Tri)
DANG VIEN Bai T9/205 : Cho điểm M bất ki trong tam
giác ABC Nối AM, BM, CM cắt các cạnh dối diện tương ứng tại Ay, B,, C, Ching minh ring
r=) EY ee ee sag = V ma, MB, MC,
Lời giải Đề nghị bạn đọc xem lời giải bài 'TT3/199 trong tạp chắ TH và TT số 203 (tháng
5/1994)
Nhận xét Rất đông các bạn tham gia giải bài này, có tới 138 bạn, cả PTTH và PTCS Nhiều bạn thường xuyên giải toán trên báo đã
có nhận xét rằng bài toán T9/20đ này chỉ là một
hệ quả hiển nhiên của bài T3/199 đã có lời giải
trong số 203, ở đó đã chỉ ra : T > 3V2
Rất hoan nghênh các bạn sau đây đã đề xuất
việc khai thác bài toán T3/199 cũng như bài 'T9/20õ ở trên theo hướng khái quát hơớa (thay
căn bậc hai bằng căn bậc n) hay đặt bài toán
tương tự trong không gian : thay tam giác ABC bởi tứ điện ABCD thì bất đẳng thức cẩn chứng minh sẽ thay đổi ra sao : Lé Quang Nắm, 8T
chuyên, Đức Phổ, Quảng Ngãi, Nguyễn Vũ
Hưng 10C PT Chuyên ngữ ĐHSPNN Hà Nội,
Phạm Thy Hùng 11A PTTH Chuyên Thái Bình,
1ê Xuân Hùng, 9T Lam Son, Thanh Héa ; Nguyễn Thị Hải Yến 10CT, Quốc học Huế, Lé Quang Minh, Toán 11Kõ, PTTH Năng khiếu,
Bác Thái
NGUYEN DANG PHAT
Bai T10/205 Mặt cầu nội tiếp tứ diện
Trang 9hittps://Avww.facebook.com/letrungkienmath
tại Bị, Gọi d, là đường thằng qua trọng tâm
mặt đối diện đỉnh B của tứ diện BỊB,B;B, uà
vudng góc uới mặt dối diện đỉnh A, của tứ diện
AIA;A3A, Ể = T,3) Chứng mình rằng các
dường thẳng d đồng quy
Lời giải (của nhiều bạn) Gọi 1, đ và BỢ; ( = 1, 2, 3, 4) lần lượt là tâm mặt cầu (, r) nội tiếp tứ điện A,A;Ax4,, trọng tâm tứ diện 8,B;B,B,
và trọng tâm mặt đối diện với đỉnh B, của tứ diện B,B,B;B, Thế thì J cing la tam mat cau (e)
ngoai tiép td dién B,B,B,B, va, theo tắnh chất a a= trong tam cia ttt dién, ta cs : GBỖ; = ~ 3 GB, Do dé B', là ảnh của B, trong phép vị tự : 1 V_ 1 tam G, tis6k = -Ở3 G-5 3 3 Lai vi d, #/ IB, (vi cùng vuông gớc với mật A,A,A, đối diện với đỉnh A, của tứ diện A,A,A,A,) vad, di qua
B7, nên, từ đơ suy ra đ,
là ảnh của đường
thang A, = (IB) trong
phép vị tự V ¡ nơi trên Các đường thẳng A, G-5 3
đồng quy tai tam J mat cầu Ạ(B,B;B;B,) ; suy ra các đường thẳng đ đồng quy tại một điểm 7ồ
Điểm đồng quy 7Ợ này là ảnh của ỉ trong phép vị tự
nơi trên, và JỖ cũng chắnh là tâm mặt cẩu
1 Ạồ(B" B',B'sB' ) có bán kắnh rỖ = 5 r
Nhận xét Đáng tiếc có một số bạn vi không
biết sử dụng véetơ (hoặc độ dài đại số) nên lời giải thiếu chắnh xác khi kết luận 7 là một điểm cố định (chỉ từ tắnh chất I' Ạ (GD va GIỖ =
1
= GI) Nhiéu bạn chưa chỉ rõ được tinh chất
hình học của điểm đồng quy /Ỗ do thiếu nhận xét
từ đầu 7 là tâm mặt cầu Ạ(B,B;B;B,) hoặc lời giải không sử dụng véctơ và biến hình Các bạn sau đây cơ lời giải tốt hơn cả hoặc vì lời giải ngắn gọn chật chế hoặc vì đã đề xuất và giải bài toán tổng quát hơn : Nguyễn Thi Hai Yến, 10CT Quốc học Huế, Ló Minh Hiếu, 1017; PTTH Lam
https://sites.google.com/site/letrungkienmath Sơn, Thanh Héa ; Phan Hoang Viét, Quéc hoc Quy Nhơn, Binh Dinh ; Vo Hoang Trung, 11A,
PTTH Chuyén Tra Vinh, Lé Quang Minh, 11K; PTTH Nang khiéu Bac Thai ; Pham Huy Tung,
8A Bế Văn Đàn, Đống Đa, Hà Nội
Lời giải trên hoàn tồn đáp ứng được bài tốn
sau đây, một dạng tổng quát hóa của bài toán 'T10/205 ở trên ; "Gọi B, là hình chiếu (vuông
góc) của một điểm M cho trước trong không gian
trên mặt phẳng chứa mật AAAp đối diện với
đỉnh A; Ể = 1, 2, 3, 4) của một tứ diện
AA;A+AƯ, Chứng minh rằng các đường thẳng d đi qua trọng tâm B', của mặt B,B,Bị, đối diện với
đỉnh B của tứ diện B,B;B;B và vuông góc với
mặt phang AA,A;, đồng quy ở một điểm"
NGUYEN DANG PHAT Bài L1/205 Trên hinh vé dưới, xy là trục chắnh của một thấu kắnh ; S là một diểm sáng
thật, năm trên xy ; S' là ảnh thật của S qua thấu kắnh ; F là tiêu điểm uật của thấu hắnh
5; Sid
Bang phép vé hinh hoc, hay tim vj tri quang
tâm O của thấu kắnh
Hướng dắn giải Dựa vào công thức thấu
kắnh cớ thể chứng minh công thức (hầu hết các
bài gửi đến đều làm được) : SƠ? = Sĩ" SSỢ Với
3 điểm 6, J; SỢ có vị trắ đã cho, dùng phép vẽ hình
học để dựng điểm O Cơ nhiều cách vẽ khác
nhau, nhưng cách vẽ của em Nguyễn Trung ỔThanh là đơn giản hơn cả Dựng đường thẳng
x'sy' vuông góc với xy tại 8, rồi lấy 2 điểm M và
Nò hai bên điểm S trên đường thẳng này sao cho SM = SF và SN = SS' Sau đó vẽ đường tròn cơ đường kắnh MN, đường tròn này cất xy tại Ó
Nhận xét Có 18 em gửi bài, trong đó cơ 6 lời giải tốt : Nguyễn Trung Thành 12A, PTTHNK Bac Giang, Ha Bac) ; Lé Van Tuy, 9C Tốn-LÍ,
PT cấp 2 Uy Nõ, Hà Nội ; Hong Linh, PTTH
Lam Sơn, Thanh Hớa ; Nguyễn Xưân Thẳng 10T Đông Hà, Quảng Trị ; Trần Văn Bình, Toán K4, PTTH Năng khiếu Bác Thái ; Đổ 7rung Tuyến, 12T PTNK Hải Hung
z
Trang 10
https://www facebook.com/letrungkienmath
Bai L2/205 Cho mạch diện như hình uẽ Ry = 2R, = 6R; R, = 2R, = BR Hai den D, uà Đ, giống nhau, có hiệu diện thế dịnh mức là 24V Bỏ qua giá trị diện trỏ của dây nối,
chỉ
1 Hãy sóc dịnh số chỉ cả A)) (a) va (aa phi Kmd
3 Khi K mỏ, hai đèn Dị, uù thường
Hay tinh : a) Hiệu điện thế nguồn U ;
b) Công suất diện tiêu thự định mức của các bóng đèn
Hướng dẫn giải Khi K đóng, vẽ lại mạch điện, ta có mạch cần cân bằng, suy ra U = 16 Khi mở vẽ lại mạch điện, vẽ lại mạch điện, tÌm điện trở toàn mạch Ji = Si 4t Suy ra dòng
điện qua (G1) a 7
8
1ạ= a+ Vì đèn sáng bình thường nên
= 48V, suy ra R = 15,59 và từ đơ U = 248V Công suất định mức Pp, = U,1; ~ 6,2W
Nhận xét Có 41 em gửi bài giải, trong đó có 12 bài giải tốt của các em : Ló Bó Hoàng 911, Trường NK Đức Thọ (Hà Tinh) ; Lé Quang Thành 9 NKTN Đông Hà (Quảng Trị) ; Trương Công Duẩn 10Cl, PTTH Lam Son (Thanh Hớa) ; Hứa Quang Huy, 11/1 PTTH Phan Chau Trinh (QN = Da Nang) ; Luu Béo Linh 10/1 PTTH Trương Dịnh, Gị Cơng (Tiền Giang) ; Hồng Dũng Sỉ, PTTH Dong Hà (Quảng Trị) ; Bùi Quang Hùng, 10T Lê Quý Đôn, Nha Trang (Khánh Hòa) ; Nguyễn Lẻ Sa 11A.ĐHSP Vinh ; Phạm Đức Vĩnh 10A Thanh Chương (Nghệ An) ; Phan Hoàng Việt, Quốc học Quy Nhơn (Binh Dinh) ; Dao Li 12A PTTH chuyên (Thái Bình) ; Đờo Ngọc Luân 10A PTTH Nguyễn Đức Cảnh, TX Thái Bình ; sáng bình un i 7A; Dong dien qua MT hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath ĐỊNH LÍ TRUNG HOA
(Tiếp theo trang 2)
Giải : Với mỗi số tự nhiên mm, dat F = 22" +1 thì mới m = 0, 1, 2, 3, 4 ta có F là sỞ nguyên tố
còn Ƒ,= 22Ợ + 1 = 232+1 = 641p vớip là số nguyễn tố p > 25+ ] = Fy, Do p, 27-1) = 1 nên theo định lý Trung Hoa về số dự có vô số số tự nhiên È thỏa mãn & = 1 (mod (232 ~ 1)641) và k = ~ 1 (mod p) Ta sé ching minh véi k > p thi/k.2" +1 (n = 1, 3, ) đều là hợp số Thật
vậy số n viết được dưới dạng n = 2"2Ư + 1)
với m, t > 0 Néu m = 0, 1, 2, 8, 4 thi vi RM +1 = 22+) +1 (mod (332 - ])), 2⁄2~Ở1: EẤ và229*1)+ 1; ƑẤ nên k2"+ +1? 7P VIb2+1>p >4 (ok >p) nên &.2" + Ì là hợp số Với m = 5 thÌ k2" +1 = 2" + 1 (mod 641) Mặt khác 2"+1¡ Ƒ,=k.2"+1? 641, mà k.2n +1 > ƑƯ > 641 = k.2" + 1 là hợp số Với m > 6 thÌn = 25, với JỈ là một số tự nhiên ỘTừ đây ta có k2" +1 = 22% +1 (mod p) hay k2"+1; pwi2*-1: 22-1: Kyi p Vậy k.2" + 1 là hợp số (k.2"+ 1>k >p) "Tóm lại có vô số số tự nhiên h để Z2! + 1 là hợp số
Dạng tổng quát của định lắ Trung Hoa về
số dư như sau :
Cho n số nguyên dương nguyên tố cùng
nhau từng đôi một m,, my, ., m, va các số
"Uyên dị, đạo địy ĐỊ, Đạc oy By $40 cho (A, m,) = (ay, my) = (a,, m,) = 1 Khi đó hệ phương trình dồng dư dự (mod my), Ấ đụ = 6, (mod m.,) c6 nghiém Ngoai ra nếu + = ẹ là một nghiệm của hệ thi x = x, là một nghiệm của hệ khi uà chỉ khi tồn tại t G Z sao cho x, = ằ + (mymy my)
Chứng mình : Xét các phương trình đồng
du ay = 1 (mod m) (1 <i <n), NI,
thi hệ này cớ nghiệm y, Khi đó (yị, mị) = Vi vậy phương trình đồng dư ụx = 6, (mod m, 5]
tương đương với phương trinh yja;t = yb, (mod m,)
Nhưng phương trình này lại tương đương với
phương trình x = y,b, (mod m,) ee vay ta được hệ phương trình đồng dư x = y,b, (mod m,)
Yq, (mod m,) Ap dung dinh ly Trung
Hoa ve Ulsan 2d aieu phat chitng sinh,
Cuối cùng là một số bài tập dành cho bạn đọc Bài 1 : Xét một cấp số cộng tăng cơ các số hạng là các số tự nhiên Chứng minh ràng có
thể chọn từ cấp số cộng này một số tùy ý các số
Trang 11hittps://Awww.facebook.com/letrungkienmath
SGK lớp 9 có bài toán : Cho AABC đều
nội tiếp trong đường tròn tâm O M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC, ta có :
MA = MB+MC @)
Mọi người giải bài toán này một cách dễ
dàng Song sau khi giải bài toán này các bạn đã cơ suy nghỉ để phát triển bài toán Sau đây
tôi nêu ra một số suy nghĩ để khai thác bài
toán Gọi ụ cạnh của AABC, D là giao của AM và BC (Ha) Ấpdunghệthức(1)vàchứngminhAMBD AMAC 1 a i) Tacs ket qua 5 = 575 +e (2) Hệ thức (2) có ở một số sách toán
Dixa hon tý nữa, chúng ta hãy nhớ đến bài toán :
"Cho AABC có các góc nhỏ hơn 120ồ Dung
xa phắa ngoài trên các cạnh của AABƠ các tam giác déu BCA,, ACB,, ABC, ; Thé thi ta co
AA,, BB,, CC, déng quy tai mot diém I nim
trong AABC ; các tứ giác AIBC,, AICB ,, BICA, nội tiếp được trong một dudng tron" (xem Hb) Ấp dụng hệ thức (1) và kết quả của bài toán trên ta đễ đàng chứng minh các hệ thức : 1 1A +IB+IC = 5 IA, +1B, +IC)) (3) 1 1 ene Shee Tatiptig 7g 42tB,tic) @) (Ay, By, C, la giao diém cia AA), BB), CC, voi BC, AC, AB) Hon nita nghiên cứu bài toán trên ta con cd két qua JA +B +IC dat gia trị nhỏ nhất trong các téng /ỖA +B +1ỖC, IỖ nam trong AABC Vay ta c6 két qua véi diém 1Ỗ bất ki trong AABC thì :
TA +I'B+I'C > 3IAA" +BB,+CC)) Vẫn sử dụng hệ thức (1), ở (H.a) nếu ta đặt
BỖ trén MA sao cho MBỖ = MB ; Ap dung hé thiic trong tam gific ABBỖ ta cd a? = BỖB +
BỖA?+ BBỖ x B'A, hay : 2a? = 2(MB? + MC? + +MB x MC}), Mạt khác bình phương 2 vế của (1) ta có : MB? + MC? + 2MB x MC = MA? (**) Cộng hai vế của (*) và Ể*) ta có hệ thức hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath XUNG QUANH MOT BAI TOAN QUEN THUOC HOÀNG NGỌC CẢNH MA? + MB? + MC? = 2a* (5) Lại bình phương 2 vế của (*), mũ bậc bốn hai vế của (1), áp dụng như cách trên ta lại cớ
hệ thức
MAỔ + MBỔ + MC# = 2a4 (6)
(Các hệ thức (5), (6) ap dung cho điểm M bat
kì trên (ử), hai hệ thức này cũng có trong một số
sách chọn lọc, song cách chứng minh còn dai) Quay lại bài toán ở (H.b) ta có các hệ thức sau :
1A*IBÈ+1CS+2 (JAẨ+IBỮ+ICỆ) a2+b2+e2(1) A!3JB*.ICt+2 (AẨ+IBẨ+IC}) =aẨ+b1+e1(8)
(Trong ds a, 6, e cạnh của tam giác ABC)
Các bạn có thể tiếp tục khai thác và phát
triển bài toán đổ có nhiều hệ thức và bài toán khác Sau đây tôi nêu ra một số bài toán
Bài 1 : Vẫn bài toán trên (H.a) a) Chứng minh hệ thức MA? , MB? + MB? * MC? + MC?xMA? = 2a* b) Tìm giá trị lớn nhất của tắch MA x MB x MC, của tổng MA+ MB+ MC Bài 9 : Cho AABC đều nội tiếp một đường tròn tâm ử Một đường tròn tả
ban kắnh không đổi r luôn luôn t
tròn (ử/ Goi x, y, z lần lượt là độ dài các tiếp tuyến kẻ từ A, B, Ở đến đường tròn (Ƒ ; r) Tìm giá trị lớn nhất tắch xyz, tổng x + y + z
Bài 3 Cho A ABC có AB + AC = È không
đổi Dựng ABCD đều (ử khác phắa với A đối với canh BƠ) Tìm giá trị lớn nhát của A))
Trang 12Attps://Awww.facebook.com/letrungkienmath ĐỀ RA KI NAY CÁC LÓP THCS Bài T1/209 Chứng minh rằng, phương trình +Ì+yồ+z2Ở3xyz=18' có nghiệm nguyên x, y, z ẹ Z cho mọi số tự nhiên n ĐẦM VĂN NHỈ Bai T2/209 Giải phương trình y4+4y2yỞ11yồ+4xy~8y+8x?Ở40+52 = 0 ỘTRẤN XUÂN DÁNG Bài T3/209 : Tìm nghiệm nguyên (x, y) của phương trình :
@ +y) @ +2) = & Ty)?
DANG HUNG THANG
Bai 14/20! 10 tam giác ABC vuông ở A Đường tròn (7) nội tiếp tam giác tiếp xúc với AB và BC ở P và Q Đường thẳng đi qua trung
điểm # của AC và tâm 7 cất cạnh AB ở E
Đường thẳng di qua P và @ cát dung cao AH
tại M Chứng minh : AE = AM
DAO TRUONG GIANG
Bài T5/209 : Cho dung tron (O ; #) đường
kắnh AB Gọi một trong hai cung nửa đường tron la AmB Dung đường tròn (7, r) tiếp xúc với cung R 3 DANG VIEN AmB va tiép xúc với AB sao cho CÁC LỚP THCB Bài T6/209 Tìm tất cả c sao cho nl + (n +1)" chia hét cho 5
TRAN DUY HINH
Bài T7/209 : Xét dãy số (x,} ẤẤ ¡ xác định bởi x) = 4/3, (Qn + Lx, = 2" + 2n x Chứng tỏ rằng : số tự nhiên ụẤ noi (h >8) x, = > CK/(2k +1) véi moin > 1 Ko NGUYÊN LÊ DŨNG Bài T8/209 : Ở mỗi một ô vuông của một bảng kẻ ô vuông hình chữ nhật kắch thước 1964 x 1994 được ghi một số cớ giá trị tuyệt đối không quá 1 Biết rằng tổng các số ở tất cả các ô vuông trong
một hình vuông kắch thước 3 x 3 bất kì đều bằng O Chứng minh tổng các số ở tất cả các ô vuông của bằng không vượt quá 3334 LẺ THỐNG NHẤT 10 hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath Bai T9/209 : Dudng tron (1,7) ndi tiép tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt ở các điểm M, W, P Dựng các đường tròn nội tiếp các tam gide cong lom ANP, BPM
và CMN, và gọi các tiếp điểm trên các cạnh
AP, BM và CN lần lượt là H, I, K Dat AH =x, BI = y, CK = z Chứng minh x +y +z > 2r hi nào thì xảy ra đẳng thức? `
LẺ QUỐC HÁN _ Bài T10/2089 : Kắ hiệu goi BC, CA, AB,
DA, DB va DC lan lust 1a số đo các góc nhị diện cạnh BC, CA, AB, DA, DB, DC của một
tứ diện ABCD Hãy xác định hình tắnh của tứ
diện này nếu biết : BC DA -_CA OB sin DAỖ sin CA sin DB AB DC sin AB sin DC TRINH BANG GIANG CAC DE VAT Li
Bài LI/209 : Một hạt khối lượng m = 10-3 kg,
tắch điện đương q = 3 10-5C, được treo bằng
đây mảnh / = 10cm tao thanh con lac, Con lac
này được treo trong một tụ điện, khi tu điện chưa tắch điện thì dây treo con lác vuông g các bản tụ Khi điện trường trong lòng tụ điện sin BC Ỳ
đạt cường độ # = 103 4 thì sức cảng của dây
treo (lúc con Ife đứng yên) và chu kì dao động của con lắc là bao nhiều ? Giải bài toán 'chỏ 2 trường hợp :
= Bản dương tu điện ở trên ~ Bản dương tụ điện ở dưới
PHAM HUNG QUYẾT
Bài L2/209 : Cho mạch điện như hình vẽ U = 80V, r = 99, Rị = 69
.MN là một thanh điện trở đồng
ện đều cơ chiều dài 20cm, và tổng lên trở là 100, Dèn D; 15V ~ 37,5 Bỏ qua điện trở của dây nối và ampe kế N Con chạy C có thể chạy từ ý đến M
1 C chạy từ W đến AM, xác định số chỉ của A theo độ dai x = WƠ Độ sáng của đèn thay đổi thế nào ?
3 Ủ vi trắ nào của Ở thì đèn sáng bình thường ? 3 Giả sử công suất tiêu thụ thực của den vượt 20 so với công suất định mức thì đèn
sẽ bị cháy Hỏi con chạy Ạ có thể chạy trên
toàn bộ thanh M mà đèn vẫn an tồn khơng ?
Trang 13Attps://Awww.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath PROBLEMS IN THI For Lower Secondary schools SSUE
71/209 Prove that for every natural
number n, the equation
x3 +3 +29 Ở Bryz = 18"
has integral solution (x, y, z Ạ Z) DAM VAN Nil
T2/209 Resolve the equation ytt đệ ~ 1ly?.+ 4xy - 8y +
+ 8x? - 40x +52 = 0 TRAN XUAN DANG 3/209 Find integral solutions (x, y) of the equation
(2 +y)( + y2) =&Ủ-Ừ* DANG HUNG THANG 74/209 Let be given a right triangle ABC, right at A The inscribed circle (I) of ABC touches AB and BC respectively at P and Q The line passing through the midpoint F of AC and through the center of (I) cuts AB at E The line passing through P and @ cuts the altitude AH at M Prove that AE = AM
DAO TRUONG GIANG T5/209 Let be given a circle (O ; R) with a diameter AB and denote by AmB asemi-circle defined by AB Construct the circle (J, r) which is tangent to the are AmB and to AB so that r = R/3,
DANG VIEN
For Upper Secondary Schools
76/209, Find all natural numbers n so that
nỎ1 + (n +1)" is divisible by 5,
TRAN DUY HINH 7/209 Consider the sequence { x,} net 4 defined by x, = 3 (Qn + Lx, = 29+ 2nx,_, (n> 2) Prove that for every n > 1, " ph + NGUYEN LE DUNG tie k=t
'T8/209 In each 1 x 1 ~ square ofa rectangle
of size 1964 x 1994 is written a number the absolute value of which is not greater than 1 Suppose that the sum of the numbers written
in every 3 x 3 Ở square is equal to 0 Prove
that the sum of the numbers written in the rectangle is not greater than 3334
LE THONG NHAI T9/209 The inscribed circle (I, r) of a triangle ABC touches the sides BC, CA, AB
respectively at M, N, P Construct the
inscribed circles of the curved, concave triangles ANP, BMP and CMN and let H, J, K be respectively the tangent points on the sides AP, BM, CN Put AH = x, BI = y, CK = z Prove that x+y +z > 2r, When does equality occur ?
LE QUOC HAN
T10/109 Let BC, CA, AB, DA, DB
and DC be respectively the measures of dihedral angles with sides BC, CA, AB, DA, DB, DC of a tetrahedron ABCD Suppose that DB BC sin BC DA CA sin DAỖ sin AB sin AB Determine the form in DC of tetrahedron
TRINH BANG GIANG
Trang 14https://Avww.facebook.com/letrungkienmath hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath
DAP AN DE THI QUOC GIA CHON HOC SINH GIOI
TOAN LOP 9 NAM HOC 1993 - 1994 Ngay thi 3-3-1994 (thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề) I- DE THI BANG A Bai 1; a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 7x? + 18y? = 1820
b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho
tổng của tất cả các ước số tự nhiên của số p* là một số chắnh phương Bai 2: a) Cho biéu thite S = a? +b? +c? + +d*+ac+bd, trong dé ad - be = 1 1) Chứng minh S > V8 2) Tắnh giá trị của tổng (a +c)? + (b + d)?, khi cho biết S = V8
b) Giải hệ phương trình với các ẩn số x, y, z sau đây :
Egy"0 401422) 2x x+y? +22 aytox bztey cxtaz a+hete
(trong đó a, b, ằ là các số cho trước) Bài 3 : Cho tam giác ABC với độ dài các cạnh là a, đ, e thỏa mãn bất đẳng thức ụ >b >c và O là một điểm bất kÌ nằm trong
tam giác đó Các đường thẳng AO, BO và CO
thứ tự cát các cạnh của tam giác ABC tại các
điểm P, Q và R
Chứng minh rằng : OP + O@ +ửR < a ^_ Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở C và có
4 <8 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và
1 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Cho biết tam giác B1O là tam giác vuông Tìm
tỉ số giữa các cạnh của tam giác ABC
II - ĐỀ THỊ BẨNG B
Bai 1: (xem bai 1 Bang A)
Bai 2; a) Choa 2 O,b 2 O,c > OỢ ching
minh ring :
at +b4 te4 > abe (a+b +0),
b) Giải hệ phương trình với các ẩn số x, y, z sau đây : xy aytbx extaz~ a2 +52 42 (trong đó ụ, b, e là các số cho trước) Bài 3 : Cho tam giác ba góc nhọn ABC Lấy
điểm P ở trong tam giác ABC và trên các cạnh
AC, BC ta lấy các điểm M và L tương ứng, sao cho : ĐAO = PBC và PMC = PLC = 909
12
a) Chứng minh rằng đường trung trực của
ML đi qua trung điểm D của cạnh AB b) Hỏi với điều kiện nào của tam giác ABC thì trung trực của MU cũng là trung trực của cạnh AB ? Chứng minh điều do
~_ Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở Ạ và có Â <8 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và ỉ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Cho biết tam giác BIO là tam giác vuông
a) Chứmg minh tam giác BIO vuông ở ỳ
b) Tìm tỉ số giữa các cạnh của tam giác ABC ĐÁP ÁN BANG A Bài 1: a) Vì 1820: 13 và 13y?: 13 nên 7x?: 13 Vì (7, 13) = 1, nên x?: 13, từ đó ta có thể
dat x = 13.u, với z nguyên và cũng từ
1820: 7, 7xỢ 7, lÍ luận tương tự có thé dat y = 7V (với 0 là số nguyên)
Thay z = 131 ; y = 70 vào phương trình và giản ước ta được : 18u2 + 7u2 = 20 (2) 20 20 ỔTi do suy ra: u? < jg 0? $7 va do do: ful <1, bi <1 "Thử lại chỈ có // = 1, /ụ /= 1 thỏa mãn phương trình (2) Vậy phương trình (2) có 4 nghiệm là : 8= ,2=1 w= Ấạ=ỞH (=1 (2= {oma [o=
Trang 15hittps:/Avww facebook.com/letrungkienmath ỔTheo két qua 4 trén (2n)? = 4n? = = 4p! + 4p3 + 4p? + 4p +4 (2) Từ (1) và (2) suy ra : p? Ở 2p Ở 8 = 0, Tit day tinh duge : p, = Ở1,p, Với p
là số nguyên tố nên chỉ lấy giá trị p = 3 Rõ
ràng p = 3 thỏa mãn điều kiện của bài toán
1+3+8?+82+84= 121 = 112,
Bai 2: a) 1) Vi (ad - be)? + (ac + bd)? =
=a? d? +b2c? - 2abed + +a7c? + 62d? + 2abed
q2d2+ b2e2+ a2c2+ 62d? = (a? + b2)(e2+ d2)
Với giả thiết ục ~ be = 1, thay vào biểu thức trên ta có : 1+ (ae +bđ)? = (a2 + đ2)(c? + đ2) (1) Với S = a? +62 +02 +d* + a0 +bd, ap dung bất đẳng thức Côsi ta có : (a? + 62) + (c2 +d?) > > 2((@?+B2(7+đ7, do đó: 8 >ac+bd +2 [{(@7Tb2j(c7+đ7 (3) Từ (1) và (2) suy ra : S 2 (ac tod) +2 V1 + (ac +bdy Dé thay S > O, vi rang QT + (ac Fbd)* >| ac + ba!
Để cho đơn giản biểu thức, ta dat x = ac +od
Thay vào trên ta được :
S>x~+2Wỉ+x7 Vì vế phải dương nên bình phương 2 vế được S92>(x+2VT*z??= = x? +4(1 4x2) + dx VI +27 = (1 +x2) +4x Jỳ +xỢ +49 +3-= = (VI Fx? + 2x)? +3 Vay S? > (VI +27 +22)? +3 > 3 Từ đơ S > V3 (dpem) : 2) Theo chứng me trên, ta biết rằng Tu +, ja? ặ62 = c24 d2 (a)
S = V8 xdy ra chi khi : NTEE +ae= 0e) ỔTu Vi +2x7+ 2x = 0, suy ra ngay x < 0, Chuyén vé VI 4x2 = 2x Bình phương được : 2 1 1 | xi = #Ể > Bi =1 >x2= px = dong VÌ x < 0 nên chỉ lấy giá trị x = ~ me Kết hợp với giả thiết bài toán suy ra dẦ+b2=e2+ed2 6 (#) S = V3 chi khi: x ad Ởbe=1 Từ (**) và (***) có : ae+bd =~ ist) (+e) cole are? + 62d? + 2abed ad? + bc? Ở 2abed ụ https://sites.google.com/site/letrungkienmath Cộng từng vế biến đổi được 4 (g2 +62) (@2+d9 =2 Từ (Ể* : a2+đ2=c2+d? nên suy ra (q2 +b22 = (c2 +đ) Tu do tinh được : a2+b2=c2+d? = 3 Cans thud = Hệ? tờiy c7 xa và Vs 2 Str be LO 2k 2ae +2bd = ~ểTg Cộng từ vế, biến đổi được : 4 2 2) Ws yee ea 5 (a+e)? + (b+d)? 2 Vậy S=V8 thì (a+e)? + (b+d)? = ~ 3 (dpem) b) Trước hết ta chứng minh một ẩn số bất kì không thể nhận giá trị ử
ỔThat vậy, nếu x = O thi tw phương trình
đã cho ta có ngay yz = 0 và xồ +y2 +z2 = 0,
từ đố suy ra :+ = Ú, y = 0,z = 0 điều này làm cho các biểu thức của phương trình vô nghĩa Với
y = 0 hoac z = 0 cũng chứng mỉnh tương tự
như trên Vậy + # 0, y #0, 2 = 0,
'Theo chứng minh trên ta có +yz # 0 Nghịch đào các phân thức của phương trình đã cho được :
q2 +b2 +c? i
Z.* x+y2+z
Ta cũng chúng minh được các số ụ, ỏ, e đều
phải khác Ó, vÌ nếu một số bằng 0, giả sử ụ = 0 & ce ae trángthận ta 43040012960 5 4E 06) tạ 3 He Bee a e đa He Foe
đây suy rab = 0, e = 0
Điều này cũng làm cho các biểu thức ở từng
vế của phương trình vô nghĩa
Trang 16hittps://Avww.facebook.com/letrungkienmath 1 Từ đây tắnh được ặ = 0, / = 2 Vì/z 0 nên 1 chỉ lấy giá trị ặ = ?
Voi t= tinh được x= 5 ,y ể
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất với giả thiết aỏc # 0 Bai 3 Goi BC = a, CA = 6, AB Gia thiéta >b > Ké OX // AB (vai X Ạ BC) OY |! AC (vai y ẹ BC) Ke XK // OK (với K Ạ AB) YL // OQ (v6i L Ạ AC) Bi oer Y a Dễ thấy : APOX ~ APAB va AOXY ~ AABC XY ồOxồ" OP nên: = 2 =2 hay OP er ype
Trong hai góc APB, APC phải có một góc tù, nếu hai góc không cùng bàng 90ồ, Tit do
dễ thấy AP ắt nhất phải nhỏ hơn một trong hai cạnh AB, AC Từ giả thiết ụ > 6 > c, suy ra AP <a Tied suy ma 32 = = = 1 nén XY > OP (1) Tuong tự chứng minh được CR < BC, BQ < BC, và Từ ABXK ề ABCR, suy ra : Ve = Gp = an > 0, nên BX > XK = OF (2) từ ACYL sể ACBQ, suy ra : YC ĐC ỲE Ộ Bọ Ộ ựg > nên YC > Y1, = O@ (8) Từ (1), (2) và (3) suy ra :
a= BX+XY+YC > OP+0Q+OR (dpem)
Bai 4 a) Gọi d0-dai ca cic canh AB = e,
AC =b, BC = a Vì A4 <B <CẠC nên a << b <e
Goi M, L, N là chân các đường vuông góc hạ từ
I xuống các canh tương ứng AC, BC và AB Xét
AOIB có : IBO < CBO < 90ồ,
Giả sử AIOB vuông ở O, hay ÍOB = 90% thé thi tir AO = BO và ử = N 14 hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath Suy ra: AIAO = 4 =AIBO, th ds o6 Điều này trái với # giả thiết 4 <8 L2 Vậy IOB z 909
Vậy nếu AIOB Tưng
vuông thi chi co thé vudng 6 I (dpem) @ b) Vì ỳ là tâm đường tròn nội tiếp nên dé thay b+c~(CM+BN) _ b+e~(CL+LB) 2 ` 2 b+c-a Fete mth) AM=AN = hay AM = AN = Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có b Ở (3) và 1M = IL = (3)
* Theo giả thiết 4 < B nénb > a, hay _btce-a_ằ xe b~a >0, do đó C TTỢ > 2 cho nên N phải nằm giữa ử và B Do đơ : b+c e NO = AN - AO ==> b ẹ Trong A vuông OỉN, có OP=IN?+0N* = atbqey2, /b=ay2 2a?+2b?-+c2Ở2acỞ2be , (Frac) eae) p4 @ ệ Trong A vuông BIL co : BP = BL? +L? ate-b2 a+b 2 Sirah aategayt OE Ss) 2a? + 292 + 2e2 Ở 4bc si Ta lại có : BO? = 5 (6) ẹ Trong A vuông OIB ( ÔTB = 90ồ theo gt và chứng minh trên), có : OP + BP = BO? nén tit (3), (4) va (5) ta Có: 2a? + 26? + c2 Ở 2ae Ở 2be ( 4 bầu a ae os) Cy 2 4
Riit gon duge ; 2a? + 2b? +c? - ae - Bbe = 0 Ể*)
ẹ Mặt khác AABC vuông ở (giả thiết), nên
2+2 = cÈ Thay vào đẳng thức trên ta có 8e? = ae+ 8òe hay 3e = a+ 36
Trang 17
https://+www.facebook.com/letrungkienmath
Ta có hệ phương trình đối vai a, 6, ằ
Nat mila aly |a? + b2 = @
: a b
ẹ Datx = Ộvay = % dude hệ phương
trinh vdi cde dna, y 4 0 x + By = 3 (1) ix? ty = 1 (2)
& Thay giá trị của x tắnh theo y ở phương
trình (1) vào pt (2) và rút gọn được pt bậc hai
đối với y : 5y* - $y +4 = 0 4 Tinh duge ngay y, = 1,9) = 5 3 Thay vào tắnh x : x, = O23 = Ƒ ee 3 ae Chỉ có nghiệm x = =, y = Ấ thỏa mãn điều kiện bài toán a b 4 Vayix =o er Vayx =< ầ i tg ik de sthabigtuge, ừ đó Ưtắnh được 5 = 3 ehcp b : a m lai ta có kết quả sau : yay BANG B
Bai 1 : (Xem dap sn bai 1 bang A)
Bai 2: a) Ap dụng bất đẳng thức Côsi với các số không âm, ta có 4 4 atabttet = Be ee hề ng > Va'6T + ýb$eT + VefaT Ấ bề e2
>a{BồcỢ + b?{c7aỢ + c2ÝaỢb = abc +b*ca + cab = abe (a +b +c)
b) Xem đáp án bài 2 phần b) của bảng A Bài 3 a) Gọi E, F là các trung điểm của
các đoạn ÁP và BP D là trung điểm của AB Khi đó ử#, DF là các đường trung bình của AAPB do đó tứ giác DFPE là hình bình hành,
và từ các tam giác vuông APM va BLP ta có a hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath đ) 42) Mặt khác ta có -
PEM = 2BAM = 3FBL = PEL va
DEP = BFP (2 góc đối hình bình hành) Vì vậy
tacéa = DEP+ PEM = DEP + PBL (3) Tit (1), (2) va (3) suy ra : ADEM = ADFL, tit dé cé DM = DL
ADML cân đ D nên trung truc eda ML phai qua D (dpem)
Ểệ) Ghỉ chứ : Có thể chứng minh tắa ÉP nằm giữa 3 tỉa ED và EM như sau ;
Vi P trong AABC nên ÁP nam gitia 2 tia AB va AC do đó : AB, PC nam trên 2 nửa mp
có bờ chung ÁP, từ đó D và M cũng nằm trên
2 nửa mp cơ bờ chung ÁP, từ đó #D, EM nằm trên 2 nửa mp cơ bờ chung AP, do đó EP phải là tia nằm giữa 2 tia ED và EM
* Tương tự CA cho FP nam giita 2 tia FD
va FL
b) DH la trang trực của ME, cũng là trung trực của AB khi ADM = BDL (vi đã có Dị = Dạ) Muốn vậy cần có AADM = ABDL, 2 tam giác này đã cơ 2 cập cạnh bằng nhau, muốn bằng nhau thì cẩn có AM = BL AM = BL
khi AAPM = ABPL, 2 tam giác xuông này
muốn bằng nhau khi đã có 4, + ỷ; (gt) cẩn
có PM = PL
PM = PL khi 2 tam giác vuông PMƠ và PLC bằng nhau Hai tam giác này đã có canh huyền PC chung, muốn bằng nhau cẩn có CM = CL ỘTam giác CMỹ, cân ở C, do đơ trung trực ỷH phải qua C Tam giác ABC phải cân ở Ể
Vậy muốn DH là trung trực của AB thi
AABC phải cân ở Ể
Chứng mình Ta có thể đi ngược lại với
điều phân tắch ở trên Thật vá:
AABC,can 4.0, A = 8 Từ giả thiết của
bài toán 8¡ = 4¡ suy ra PA = PB = = APAM = APBL = PM = PL và AM = BL Với DA = DB, DM = DL (theo chứng minh trên) suy ra ADAM = ADBL(cec ^ CA Suy ra ADM = BDL Voi D, =D, (theo chứng minh trên) Ở Ở suy ra ADH = BDH Voi ADH + BDH = = 180%, suy ra ADH = BDH = 90ồ
Vậy DH cũng là đường trung trực của AB Bai 4 (xem dap an Bai 4 bang A)
Trang 18Attps://Awww.facebook.com/letrungkienmath hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath 16 z H LÍ H&M SỐ SINCH OT DANGD DITIMMOTD O Tứ DIỆN TRỊNH BẰNG GIANG
ỘTtong đề thắ toán tuyển sinh vào đại học Y Dược các tỉnh phắa Nam năm 1993 cơ bài toán : Chitng minh một tứ diện là gần déu nếu diện tắch các mặt của nó là bằng nhau
Lời giải dưới đây rất quen thuộc :
Gọi C, D' là hình chiếu vuông góc của C, D xuống đường thẳng AB, Chon M, N, E lần lượt là điểm giữa của CỢ, D', CD, CỖD
Dé thấy mp MNE // DD' và mp MNE J CC'= mp MNE 1 AB = MN + AB, mà AMDD' = AMCC'
=MD =MC=MN + DC Vậy đoạn vuông góc chung MA của AB và CD đi qua điểm giữa N cia DC Bang cách chiếu A, B xuống đường thang DC ta cũng có MAY phải đi qua điểm giữa của AB Tóm lại, đoạn nối các trung điểm của AB và CD cũng là đoạn vuông góc chung của chúng = CA = DB và CB = DA Làm
tương tự thì có thêm BA = DC,
Nhận
của ta:
dtABC = dtBCD = dtCDA = dtDAB = S (1) la mot dang thite dai so (lượng giác) Vậy liệu có thể tìm được một lời giải đại số cho bài toán này hay không ? Để giảm nhẹ khó khan ta trở vé quá khứ và thấy rằng trong
tam giác đã có 2 định lắ lượng giác quan trọng : định lắ hàm cosin và định
lÍ hàm sin thiết lập mối liên hệ chát chẽ giữa góc và cạnh Quay lại tứ diện ; từ giả thiết (1) dùng định lắ hình chiếu thì có :
S = Scos(AB) + Scos(BC) + Scos(CA) = Seos(BC) + Scos(CD) + Scos(DB) = Scos (DC) + Scos(DA) + Scos/AC) = Scos(DA) + Seos(AB) + Scos(DB) > cos(AB) = cos/CD) ; cos(AC) = cos(BD) ; eos(AD) = cos(BC) (quy ude : cos(AB) : doc 1a cosin cia gée nhi dién cạnh AB của tứ điện ABCD)
=> sin(AB) = sin(CD) ; sin(AC) = sin(BD) ; sin(AD) = sin(BC) Vay là sỉn các góc nhị diện đối thì bằng nhau trong khi ta lại cần độ dài các
cạnh đối bàng nhau = có sự bằng nhau giữa các tỉ số : "độ dài một cạnh
chia cho sin của góc nhị điện tương ứng" Thế là xuất hiện nghỉ vấn : có phải trong tứ diện đang xét chúng ta có dãy đẳng thức kiểu như đẳng thức sin trong tam giác, mà cụ thể là :
SA a5 CD) ES ag, BD
sin(AB) Ở sin(CD)* sin(AC) Ở sin(BD)
Lai quay về quá khứ, ta thấy : khi chứng minh dinh Ii sin cho tam
giác ngồi phương pháp thơng thường, người ta còn có thể sử dụng công thức tắnh điện tắch : : ạ trên là lời giải thuần túy hình học trong khi giả thiết 1 1 1
dtAABC = 220sinC =o besinA = 2 aainB
Vì thế ta cũng tìm cách biểu diễn thể tắch tứ diện theo điện tắch 2 mat
bên và sin của góc nhị diện tạo bởi 2 mặt đó, nghĩa là : VAscp.= ÀỈửApc Ságc -sIhtG)3
Kiểm tra lại thì thấy vế trái có đơn vị là lập phương của đơn vị dài
Trang 19Attps://Avww.facebook.com/letrungkienmath dài một cạnh nào đơ ; linh cảm toán học sẽ mách bảo rằng đó chắnh là cạnh BC Vậy ta dự đoán : sin(BC) Bc (86 YAncp = È - 54gc - Spgc k tìm sau) Chứng minh dự đoán : 1 Vanco = 3 BC dtDHAỖ = 1 1 3 BC 5 DH.HAỖ sin(BC) = ÂN sin(BC) = (BC DH) (KA.BC) ỘFo = Ổ sin(BC) = Spc BC 2 - sin(BC) Ấ YAncp = ậ5bsc : Sapc : ge) Từ (3) kết hợp với (1) không những có (2) mà lại còn cớ dãy đẳng thức "mạnh hơn" (2) : AB _ BC sin(AB) Ở ~ sin(AC) Ở _ BD BC AD ~ sin(BD) ~ sin(BC) ~ sin(AD) Không ngừng lại ở đó, mà chú ý rằng từ (3) @òn cố : Visco = 9 Sasc - Seep - Scpa- Spap sin(BC) sin(AD) aỖ AD
'Từ đó ta được các hệ thức sau đây, gọi là định Ii hàm số sin cho tứ điện bất kì (dạng thứ nhất) AB cD AC BD _ sin(AB) ` sin(CĐ) Ở sin(AO) ` sin(BD) Ở BC AD Ở sin(BC) * sin(AD) *
Néu chon D nam trén trục của vòng tròn
ngoại tiếp AABC > DA = DB = DC > hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath AB b AC 7 sin(AB) sin(CD) ~ sin(AC) sin(BD) ~ BC ~ sin(BC) sin(AD)
Lay gidi han khi D tién ra vo cyte véi chi y : (lim sin(AB) = lim sin(BC) = lim sin(CA) = 1
Dow Deve Doe lim sin(DA) = sinA Doe lim sin(DB) = sinB Dae lim sin(DC) = sinC Do
m 200% Sin ~ sind ~ sinB AB _ BC Ấ CA
đó chắnh là công thức sin cho tam giác mà chúng ta đều đã biết Giờ đây ta có thể khẳng
định rằng : công thức sin cho tam giác ABC chỉ
là trường hợp riêng của công thức sin trong tứ
diện DABC, trong đó D chạy trên trục của đường tròn ngoại tiếp AABC và tiến ra xa vô tận
Tời bình : Mạc dù lời giải ban đầu cho bài
tốn khơng dễ của ta đã là một lời giải đẹp,
xnặc dù ý định ban đầu : định lượng đẳng thức (1) (tìm lời giải đại số) gấp phải khó khăn lớn,
vì trong khơng gian Ít có những đẳng thức biểu diễn mối liên hệ giữa các cạnh và các góc với
nhau, song với một vài suy luận có lÍ, khơng
những chúng ta chỉ đạt được mục đắch đã đề xa : "Tìm thêm lời giải nữa cho một bài toán" mà còn gặt hái được những kết quả đẹp đến bất ngờ Đó cũng là một cách học mà tôi cho
cẩn lưu ý Trên đây chỉ là
hàm số sin đối với tứ diện,
ràng các bạn trẻ một dạng định lắ
tương tự định lắ hàm số sin trong tam giác có thể còn một vài dạng khác nữa của định lắ hàm số sia đối với tứ diện Tác giả bài này xin nhường lại để các bạn tìm hiểu thêm Chúc các bạn thành công
Nhân xét thêm (của tòa soạn) : Trên đây cũng chỉ là một phương pháp chứng minh định
lắ hàm sé sin trong tứ diện (sử dụng thể tắch)
Trang 20Attps://Awww.facebook.com/letrungkienmath hittps://sites.google.com/site/letrungkienmath (HA BÁNH C6 4 cách chia chiếc bánh thỏa man yêu cầu như sau : a
NGUYEN DUC TAN,
Lam thé nao? (ạm eó biếc Ở GIGI THIEU CÁC KY THI TOAN C6 QUOC TE
Bete taog: gi LE HAI CHAU
một cửa sổ hình Kỹ thi vO dich toán quốc lế IMO ional Mat jeal Olympiad
_ biết đến nhiều nhát kỷ thắ mà nước ta lắn đáu tiên tham dự vào tháng
vuông, cao 1m tiếp tục dự thị cho tới nay Nhưng ngoài kỳ thị toán quốc té IMO nay can quốc tế sau đây
Thần SP DI nee, 1 Thắ loán quốc lế vúng Banfi Kỳ th này tổ chức lần đầu ie
cửa sổ lại sao cho đội dự thì gồm 5 hoc sinh và phải giải 20 bài toán trong 5 giờ ở những phòng
điện tắch còn một nu, | quốc tế (AMU) Kỳ thì tổ chức cho các nước Châu Pri lần đầu ten ném 1987 6 + = I-Marơc
mm" 3, Ti lốn quốc lý Ôntdylla - Nam Thái Bình Dương Tổ chúc lần đầu lên tụ Carbera ngang vẫn 1m và Ơstâyia năm 1978,
ì ơ 4, Thi toán quốc tế vùng Bancăng (BMO) Tỏ chúc vào thang ậ hàng năm lần đầu en nam vẫn a vuông ! 1985 6 Aten-HiLap va luan Mãn dự n6 vùng Bancăng
NGUYÊN ĐĂNG QUANG 5 Thi oán quốclế vùng Myla tinh T chic in ấu tên năn 1685k font ba gốn các
nước vùng Mỹ la tịnh và bán đảo lbêni
6 Thi tốn quốc tế khơng Biên giới Do Strasbus một tỉnh: nước Pháp tô chức học sinh các
nước tự nguyện tham gia với độ tuổi 15 - 1ô
1 Thị toán quốc tế Lalvia mở rộng (LOMO) Tỏ chức cho hoc sinh lứa tuổi 10 - 17 của cá, và cáo 3 (ừ lớp 5 đến lớp 12) Các nước Liuuani, Nga, Ukraina tham gia và một số nước khác đ mời, khoảng 1000 thắ sình,
8, Thi toán quốc tế vùng châu A - Thái Binh Dương Hện nay có 12 nước tham gia nòng cốt là nước Ôsâyla học sinh ở lửa tuổi !5 - 18
9 Thị toán quốc tế giữa các thành phố T5 chức t năm 1980 và đến năm 1988 Viện hàn lâm
Kio học Nha uyế ph 1ó Ảngh H1 rắc nuôs bên hồ gi Hạc dich yn hm kế 18 â vã số lượng 5000, mà nòng cốt là rước Nga
10 Thỉ toán quốc tế vùng Bắc Âu (NMC) Nàng cốt là Thụy Điên với số lượng thắ sinh khoảng 70
im 11 Thi toán quốc tế vùng Nam Mỹ Học sinh rtngaee 16tudi, Nang cétla nude Achertina
12 Thắ toén quốc lế tinh độ lẩu học (MOPS), Kiy thắ đặc biệt này tổ chức cho học sinh tiểu
học ở lửa tuổi 8 - {2 mà nòn vây ia và Niu-Ziân Số lượng học sinh dự thị rất đông 18500,
nhưng được tổ chức thành 5 kỳ, mỗi tháng một kỳ từ tháng 5 đến thang 9 mỗi kỳ gồm 5 bài toán
Như vậy chứng tổ toán học được các nước chú trọng, thanh riên học sinh được động viên, khuyến
\ khiich hoe giới toán, 1m ISSN : 0866 - 8035 Chỉ số : 12884 Giá : 1500đ Mã số : 8BT11M4 Sắp chữ và In tại Trung tâm vắ tắnh Mật nghìn và Xưởng Chế bản in Nhà xuất bản Giáo dục In xong và gửi lưu chiểu tháng 11.1994 năm trầm đồng