Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ Số 449 (Tháng 112014) ra đời nhân dịp chào mừng ngày Nhà giáo Việt Nam 2011 gồm 29 bài viết ở các mục: Dành cho Trung học Cơ sở, Chuẩn bị thi vào đại học, Bạn đọc tìm tòi, Đề ra kì này, Giải bài kì trước. Mời các bạn cùng tham khảo bổ sung các kiến thức toán học hay và bổ ích
Trang 15 `
® la
Ni i a
XUAT BAN TU 1964 = TAP CHi RA HANG THANG - NAM THU 51
DANH CHO TRUNG HOC PHO THONG VA TRUNG HOC CO SO 20 1 4 Trụ sở: 187B Giảng Võ, Hà Nội
E111) 27 7C 1 00 DI [2 10áthánh IJs/ (04) E9 I0
Trang 2PHUOGNG TRINH CHUA 13 Ả2 246110424 VU HONG PHONG (GV THPT Tién Du 1, Bac Ninh) A Một số tính chất của phần nguyên
Trước tiên xin nhắc lại một vài tính chất (TC)
của phần nguyên: Với x, y,@ 1a các số thực, ơn, n là số nguyên, Z2 là tập hợp số nguyên, ta kí
hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá +, đọc là phần nguyên của x, phần lẻ của x là {x} =x—[x] Khi đó ta có các tính chất sau Tính chất -1 x-l<[x]<x Hệ quả: 0< {x} <1 -2.[x]=nm<n<Sx<n+]1 "` 0| |-0< 0<x<i -3.[x+m]=[x]+n 4 Với xe Z thì [—x]= -[x] - Với x €Z thi [—x]=-[x]-1 Š Với >1 ta có
Khi gặp một phương trình có chứa phẩn nguyên chúng ta không chỉ thấy cái hay trong thuật toán giải phương trình rà còn thấy ở đó những tính chất thú vị của phân nguyên được sử dụng Hi vọng bài
viết này sẽ đem lại những điêu mới lạ và bổ ích cho các bạn Đẳng thức xảy ra ở BĐT vế trái, vế phải lần lượt là: [{x,}+{x;¿}+ +{x„}]=0;
[fx}+}+ +fxz}]=n~1:
e Hệ quả (của tính chất 8, 9, 10): Biểu thức
Pale ti, ta tek yD Đji
-[x]-[x;]—- —[X„]+[]+[;]+ +[7›] nhận các giá trị nguyên —⁄;— Ø + Ï; ; z— Ì
11.a) Nếu x>0,y>0 thì [xy]>[xlLy] b) Néu x <0,y <0 thi [xy] <[x][y]
c) Néu x <0< y thi [xy]=[x][y]+[-]
12.s Nếu z>0 và a{x] = [y] thì 1 < øx— y< ø 2 Nếu z<0 và afz] = [y] th z— 1< œx—y<0
Tổng quát: Với a;; Ø,;ð e]R;ø, > 0; /đ, > 0 Nếu øi[xi]+ [xy] + + #„[x„ Ì
= Øy¡]+ Ø[y› ]+ -+ Ø;[y„]+ ổ thì ØjXị + 12x; + + OXm— By, — Byr— — By,
Trang 3Giả sử [x]<[y] suy ra [x]+1<[y] =x<[x]+l<[y]Sy >x*<7 mâu thuẫn với giả thiết x 3 y 7 Do 0<{x} <1 nên 0< n{x} <n =0<[m{x}]<n-] § Do z[x]e Z nên theo TC3 có [nx] =[n([x]+ {x})] =n[x]+[n{x}] Ma theo TC7 cé6 0 <[n{x}]<n—1, suy ra n[x]<[nx]<n[x]+n—l n[x]=[me] e>[nb)]=0>0<nb)<1©0<B)<”, [nx] = n[x]+n-1 [n{x}]=n-1 eo n-1Sn{x} <ne "<9 <1 9 [mx + ny] =[m[x] + m{x} + nly] +nty}] = m[x]+n[y]+[m{x}+nty5] [mx — ny] =[m[x] + m{x}—nly]—nty}] = m[x]—n[y]+[m{x}—nty}] Do 0< {x*};{y} <1 nên 0<m{x}+n{y}<m+n; =n<m{x}—n{y) <m Suy ra: 0<[zm{x} + n{y}]<m+n~]; —n <[m{x}~ n{y}]<m~] Do vậy m[x]+ n[y] <[mx + ny] < m[x]+n[y]+m+nm~] m|x]—n[y]~n[mx~ny] < m[x]~n|y]+m=Ì 10 [xị +x; + +x„] =[x]+fxJ}+[xs]+{x;}+ +[x„]+ tx„} ] Ta co: —n < {x} + {%2} + {Xai ty} - Wala Oe <m nén D = b) +) 4£ Mái ta (2): <m-]l as, Từ (1) và (2) suy ra P nhận các g14 tr nguyên 11 Do [x][yÌs Z2 nên [xz]=[đdz]+f)@yl? {y})] =[zIy]+[IIx]0}+D] {x} + {x} {V3
sf] iy} Ly] 3 + 05 {y}]
=[xlfzI+[Ixlty)+ }đy1? {y})]
=[xIy]+[Izlfty+t2]:
a) Với x,y>0 thì [x]>0 mà {x}; {y} 20 nén [x]{y} 20, {x}y 2 0, suy ra
[x] {y} + fx}y 20 => [D1 9} + dy] 0
do vay [xy] 2[x]Ly]
b) Voi x,y <0 thi [x]<9 ma {x};{y}20
nén [x]{y} <0, {x}y <0, suy ra
[x] fy} + Oty <0 > [Lx] {y} + thy] 0 do vay [xy] <[x]Ly]
c) Véix<0<y thi [x] <0<yma0< {x}; {y} <1,
suy ra [x]{y} >[x] va {x}y 20, suy ra [x] {y}+ {x}y > Lx] = [Lx] {y} + {x} y] 2 [Lx] =[x] (theo TC6) do vậy [xy]>[x][y]+[x] 12 Với z[x]=[y] thì œx~y=ø([x]+{x})~([y]+ 2)) = øtx)~ ty} - khi z>0 có
VON} = Wy} <a = al OX Va
Trang 4= 5+ @{%} +O t2} +, 0 (XI) Mà VT(*) là số figliyêïI chia hết che 3 nên (mì 01-3700) (07 ,TUYU Ti, Đo 0<{x,};{»,} <1 nên Mla fie „1= „2
2+ait4}+aje]+s+auay)= i04) 7 TT set) "yeti aa
=Ø;†{y;}~ — Ø„{w„} thuộc khoảng 3 alt Si
(=f, = Ba = += By +050) + Op + + Gm +6) (2) 26 9 3 l4
Từ (1) và (2) ta có đpem Mới T l4 âđ f8 Pii
Trang 5Lời giải Áp dụng TC9 ta có at ” VTđ)s fa sg a x+3 -Ö10x+3_„_ 10x+33 (2) 6 6 Ma (5x -14)? >0 10x+33 25x” -130x +229 = < 6 6
nên từ (2) và (3) suy ra VT(1) < VP(1) Vậy
VT(1) = VP(1) <> dấu “=” xảy ra tại (2) và (3)
4| 9*+1]_ ri |
© 3 6 6 (5x-14)* =0
Vay PTI(1) có nghiệm x = 2,8
Trang 6Hudng diễn giá: ĐỀ THỊ TUYỂN SINH VAO LOP 10 CHUYEN TOAN,
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ TĨNH NĂM HỌC 2014-2015
(Đề thi đăng trên TH&TT' Số 448, tháng 10 năm 2014)
Cau 1 Vi ac = -l < 0 nên PT luôn có hai
nghiệm phân biệt xị,x; Ta có xe =#:~l#0 > x, +1=x) Suy ra Ne evel 33x, +25 = 9(x, +1) +242, +16 = (3x, +4) => P(x) = 3x, — (33x; +25 =3x, —(3x, +4) =—4 (Do 3x,+4>0 voi x, >-1) Tương tự P(;)=~4 Vậy P(x)= PQ) (đpem) lee 3 Cau 2 a) Dap SỐ: x= 5 b) Điều kiện: xy >0 Để hệ PT có nghiệm thì x+ y >0 Từ PT thứ nhất của hệ ta có X +y =-xy+6Jxy49 (1) Từ PT thứ hai của hệ suy ra 64=(Vx7 4747 +7) $2072 +74 +7)
Kết hợp (1) taco (/xy —3)? <0 Jxy =3
Tr d6 x+ y=6.Ddp so: x= y=3
Câu 3 a) Từ hệ đã cho ta có
(x+y)“ =z”+2(x+y-2)
Z=x+ÿy ©(x+y-z\(x+y+z—2)=0 | ees Thay vào PT ban đầu ta có kết quả:
x=3,y=4,z=-5 hoặc x=4,y=3,z =-5
b) Giá /rị lớn nhất
F? =(a+b+xb+e+vle+a)?<6(a+b+e)=6
5 : 1
=> F < V6 Dang thite c6 khi GG HET
Gia tri nho nhat
F? =(Va+b+ b+e+e+a) =2(a+b+ec)+ 2( (@+Ð(B+e)+[(+o(e+4)+j(@a+a+Ð) Ta có (a+b)\(b+e)=b2+ab+be + ca > b” Đăng thức xảy ra khi ab + be +ca =0 Tương tự cho 2 BĐT khác ta có: ““>4=>Ƒ>2 Đăng thức xảy ra khi có một số bằng 1, hai số bang 0 „ Cau 4 No Qe
a) e Tam gidc ACE cAn tai C nén CAE =90° —— = BAE == = AE là phân giác của 84/7
Tuong tu AF là phân giác của CAH Suy ra A, I), E thắng hàng (đpcm)
s Do C7 phân giác của ACE , AACE can tai E nên C7 là trung trực của 4E, do đó I4 = 1E,
Tương tu JA = IF Vay IE = IF
b) Ki hi€u (C) la dudng tron dong kinh EF Từ câu a) ta có 7 là tâm đường tròn ngoại tiếp
AAEF suy ra EIF =2EAF =90°, do đó 7 e (C)
Do C7 là trung trực của 4E nên tam giac AE Can stainl>) a> 1, AE = AEI, = 45° suy ra
Ei,F'= 90° hay l› e (C) Tường tự If e (C)
Do d6 (C) la duong tron ngoai tiép AI
(Xem tiép trang 13) TOAN H
Trang 7220005)0)0)/0120)0)0)400)324011091Th NĂM HỌC 2014-2015 VÒNG I (120 phú?) Cau 1 a) Giai phương trình (3—x)\jG+x)(9+x?) =4./5@- x) b) Tính — biết x > 1, y< 0 và y, (x+ y)(x? =) (1-V4x-1) (1—V4x=1)(x?y? na +]
Câu 2 a) Giải hệ phương trình
les -y+2)( Vor? +9Jy+7)~15]=0
NPI Oo ye 7 = `
b) Hình thoi 4BCD có diện tích là 18V3 (mét vuông), tam giác 4B đều Tính chu vi hình thoi
và bán kính đường tròn ngoại tiép tam gidc ABC mm” +(m—3)x+2m—] =0 (1) x+3 a) Giải phương trình khi = —1 =-6 Cau 3 Cho phuong trinh eer Câu 1 Cho phương trình +5)" — 2mx — 6m = 0 (1) (m la tham s6)
a) Tim m sao cho phuong trình (1) có hai nghiệm
phân biệt Chứng minh răng khi đó tông của hai nghiệm không thê là số nguyên
b) Tìm 7z sao cho phương trình (1) có hai nghiệm
xị, xa thoả mãn điều kiện (xx, = Vữi +2 Ỷ =16 Câu 2
2(I+xVy} =9yx
2
2(I+»xx) = 9x
2) Cho tam giác 4BC vuông tại 4 với các đường phân giác trong 8M và CN Chứng minh bât đăng ¢ (MC+ M4(VB+NA) ` ¡2 5 MA, Ae Câu 3 Cho các số nguyên duong a, b, c sao cho I2 keo 1 —+ 1) Giải hệ phương trình a Biot a) Chứng minh rằng a + b không thể là số nguyên tó „ TOÁN HỌC 6 ' ud Số 449 (11-2014) _ VONG 2 (150 phiit)
b) Tìm để phương trình (1) có 2 nghiệm phân
biét x), x» sao cho 21x, +7m(2 +x, +x7) = 58
a+? -Íap lần lượt là
Câu 4 a) Gọi x=
trung bình cộng và trung bình nhân của 2 số dương a va 2 Biết trung bình cộng của x và y
bằng 100 Tính 9= Va+2
b) Giả sử hai đại lượng x, y tỉ lệ nghịch (x, y luôn
dương) Nếu x tăng a% thì y giảm 7% Tính zm theo a : Câu 5 Hình vuông 4BŒ?D có 4B = 2a, AC cat BD tại 7 Gọi (Œ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác
CID, BE tip xỳc vi (đâ) ti E (E khác C), DE cắt 4B tại F
a) Chứng minh A4B# cân Tính 4 theo a
b) BE cắt 4D tại P Chứng minh đường tròn ngoại
tiếp tam giác 4BP tiếp xúc với CD Tính s
c) EA cat (C) tai M(Mkhac E) Tinh AM theo a DARA
b) Chứng minh rằng nêu C= | thia+cwa be không thể đồng thời là số nguyên tỐ
Câu 4 Cho điểm C thay đôi trên nửa đường tròn đường kính 4 = 2 (C z 4, C # B) Goi Hla hình
chiều vuông góc của C lên 4; 7 và /J lần lượt là
tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ACH va BCH Cac duong thang CI, CJ cắt 4B lần luot tai M, N a) Chimg minh rang AN = AC, BM= BC
b) Chứng minh 4 điểm M, N, J, I cing nam trên
một đường tròn va các duong thang MJ, NI, CH dong quy
c) Tìm giá trị lớn nhất của Ä⁄N và giá trị lớn nhất của diện tích tam giác CN theo R,
Câu 5 Cho 5 số tự nhiên phân biệt sao cho tổng của ba số bất kì trong chúng lớn hơn tổng của hai số còn lại
a) Chứng minh rằng tất cả 5 số đã cho đều khơng
nhỏ hơn §
b) Tất cả các bộ gồm 5 số thoả mãn đề bài mà tông của chúng nhỏ hơn 40
Trang 8Chuan bi Cho ki thi tot nghiép THPT va thi vao Đại học
MOT SO BAI TOAN LIEN QUAN TOI TRUC TAM TAM GIAC
NGUYEN TRUONG SON
(GV THPT Chuyén Luong Van Tuy, Ninh Binh)
Dé thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đăng hiện nay, theo cđu trúc của Bộ GD&ĐT, các bài
toán về tọa độ trong mặt phẳng thường xuyên xuất hiện ĐỀ giải quyết các bài toán này các
thi sinh can nam vững một tính chất hình học
phẳng nào đó, điều đó làm cho các thí sinh cảm thay hing ting Bai viét này mong muôn giúp
một chút kiến thức nhỏ cho các thí sinh sap bước vào ki thi tuyén sinh Dai hoc, Cao dang
I KIEN THUC CAN NHO
Cho tam giác 4BC nội tiếp đường tròn (7), # là
trực tâm của tam giác Gọi #, Ƒ lần lượt là
chân đường cao hạ từ B, C M 1a trung diém cua canh BC (h.1)
Nhận xét 1 AH =2IM =2AJ (trong do J la
trung điểm của đoạn 477) Hình l1 Nhận xét 2 1A L EF Có nhiều cách chứng minh nhận xét này, có thé sử dụng nhận xét l Sau đây là một cách khác:
Ta có CF8=CEB=90° nên tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn, do đó 4CB = AFE
Dựng 4ứ là tiếp tuyến của đường tròn (7) Khi đó
ACB = BAt Tit dé AFE = BAt nên At // EF
Suyra JAL EF
Nhận xét 3 Gọi P là giao điểm thứ hai của
đường thắng 8H với đường tròn (7) Khi đó, P
là điểm đối xứng của #7 qua đường thắng 4C
Nhận xét 4 Gọi Q là chân đường cao hạ từ
đỉnh 4 của A.4BC Khi đó #7 là tâm nội tiếp
cua AEFQ
Chứng minh các nhận xét 1, 3, 4 là khá dé dàng II THÍ DỤ ÁP DỤNG
@Thứ dụ 1 Trong mặt phăng với hệ trục tọa
độ Oxy, cho đường tròn (C):x +y =2 ngoại tiếp tam giác nhọn ABC có chán các
đường cao hạ từ B, C lần lượt là M(—I; 3), NÓ: #3): Tim toa độ các đỉnh của tam giác
Trang 9Ta thấy 4M =(-1;2),.4N = (2;2) lần lượt là
vectơ chỉ phương của đường thang AC, AB Phương trình đường thẳng 4C: 2x+ y+5 =0 Phương trình đường thăng 4B: x— y—5 =0 Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình: 2x+y+5=0 x=0ry =—5 i : =| Hi yy 2 x=-4y=3 Toa d6 diém B la nghiệm của hệ phương trình: x—y-5=0 x=0;y=-5 4 & x ty 2 cosy =O Do AB.AC>0,BC.BA>0,CB.CA>0, nén tam giac ABC nhon Vay A(0;-5), B(5;0), C(-4;3).0 — B(6;0)
Cách 2 Gia sit H(a;b) 1a truc tam A ABC Gọi P, QO lan luot 1a giao diém thit hai cua đường thắng CH, BH với đường tròn (C) Theo han xét 3, P, Q lần lượt là điểm đối
RUNG CỦA J7, qua, sabe AC | Vay P(4—a;-6—b), O(—2 — a;-6—b) Ta cé hé: oo ae eet (2+a)+(6+b) =25 |a=1,b=-10 Với H(1;-2) thi HM =(-2;-1), HN = (1;-1) > HM.HN =-1<0 V6i H(1;-10) thi HM =(-2;7), HN =(1;7) => HM.HN =47>0 Suy ra BAC la géc ti (mau thudn), Do đó H(1:-2)
Taco AC: 2x+y+5=0; AB: x- y—5=0,
Goi / la trung diém cia BC Tr AH =20/ 1
suy ra (533) PT BC la: x+3y—-5=0 Từ đó suy ra các điểm 4(0;-5), B(5:0),
C(-4;3) thỏa mãn yêu cầu bài toán F7
Lời bình: Rõ ràng khi làm theo cách 2 thì điều
kiện tung độ điểm 4 âm là không cần thiết TOAN HOC
8 + crus Số 449 (11-2014)
Thi du 2 Trong mat phang voi hé truc toa
độ Oxy, cho tam gide ABC cé A(—2; —1), true
tâm H(:1), BC =245 Gọi E, F lan lượt là
chân đường cao kẻ từ B, C của tam giác ABC Lập phương trình đường thắng BC, biết trung
điểm M của BC nằm trên đường thẳng
d-x—2y— 1 =0 và M có tung độ dương
Lời giải Do AM thuộc đường thắng đ nên
M(2a+1;a)(a >0) Gọi 7 là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác 48C Ta có 4H =(4;2),AH =2AJ5 và AH =21M, suy ra /(2a—l;a—1),IM = v5 Vì M là trung diém BC nén IM | BC Do do: 2 IA’ -(%) 4+ JM? =10 > (2a+1)? +a =10
<©>5aˆ+4a—9=0 ©a=] hoặc a=——
Do za> 0 nên z= 1 = M⁄:1) Đường thắng
BC đi qua M@:1), nhận AH =(4;2) làm
vectơ pháp tuyến có PT: 2x +y—7=0
© Thi du 3 Trong mat phang voi hé truc toa d6 Oxy, cho tam giac ABC can tai A, truc tam H(-3:2) Gọi D, E lần lượt là chân đường cao kẻ we B,C của tam giác ABC Biêt điểm A năm trên
đường thăng d:x—3y—3=0, điểm F(_2:3)
thuộc đường thắng DE và HD=2 Tìm tọa độ
điểm A
Trang 10QThí dụ 4 Trong mặt phẳng VỚi hệ trục toa dé Oxy, cho tam giác ABC can tai A, hai đường cao BE, CF cắt nhau tai H(2;2),
biét HE=3 Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC biết đỉnh A thuộc đường thăng
d:x+y+l2=0Uvà khoảng cách từ A đến
đường thăng EF nhỏ nhất
Lời giải Ta thấy rằng H không thuộc đường thing d Do A nam trên đường thang d:x+y+12=0 nên A(;-/-12) với /elR
HA =(—2;—t—14)
Vì tam giac ABC can tai A nén AH | FE Xét tam giac vung HAE ta co: AH AM = HE S(t Dyes tidy 9 = 217 +24¢+191 2) 2 tế d(A EF) = 4E 2t +24t+191 A 427? +24 +200 — 427 POAT 00 SE =S AS NOT 24721 200 =./2(¢+ 6) +128 GIP a Soe J2(t +6)? +128 „128~9 _ 119/2 yw ioe Đắng thức xảy ra khi và chỉ khi / = ~6 Khoảng cách từ 4 đến EF nhỏ nhất bằng 1H khi 4(—6;—6) F
ree du 5 Trong mat phang voi hé trục toa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A Goi N là trung điễm của đoạn thắng AB Gọi E(Œ:1), F(a 2) lân lượt là chân đường cao
hạ từ các đỉnh B, C của tam giác ABC Tìm
tọa độ của đỉnh A biết răng phương trình
đường thẳng CN là 2x+ y—13=0
Lời giải Gọi G 1a trong tim AABC Do
A ABC cân tại 4 nên AG chính là đường trung
trực của đoạn thăng EF PT AG la =3x+y+12=0 Tọa độ điểm Ø là nghiệm của hệ PT: 2x+y-13=0 =2 0664) -3x+y+12=0 y=3 Ae AG > A(a;3a~12),C e CN > C(Œ;13~ 2°) Do G là trọng tâm tam giác 44C nên suy ra Bq5-a-c;8—3a+2c); CB(5—a~2c;~5—3a+ 4c) EB(8—a—c:7—3a + 2c), EC(c— 7,12 — 2c) Tacé AG L BC; EB 1 EC nén 15—a—2c+3(—5—3a+Á4c) = 0 Ki ee Sa cc Khi đó 4(7;9),(;1),CŒ:—1) H
©Thi du 6 Trong mat phang với hệ trục tọa
độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn
tâm (1:2), bán kính R =5 Chân đường cao
hạ tic B, C cua tam giác 4BC lần lượt là
HQ:3), K(0;—L) Viết phương trình đường tròn
ngoại tiếp tứ giác BCHK, biết rằng tung độ điểm A dương Lời giải Ta có KH = (3;4) Theo nhận xét 2, ta có I4 L HK Do đó đường thắng JA có phương trình là: i 1+4t n2 ae A thuộc đường thắng 74 nên 4(I+4/;2—3/), với Lễ: =| Tacéd 14=5 © 16/? +9/? “255, : f=— Vậy Á(-3;5) Duong thắng 4B có phương - trình: 2x+y+l1=0 Đường thăng 4C có phương trình: x+3y—12=0 Đường thắng BH có phương trình: 3x— y—6 =0 Đường thắng CK có phương trình: x—2y— 2 =0 Khi đó dễ dàng suy ra B(1;—3),C(6;2)
Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK
thì 7 là trung điểm của ĐC Khi đó 1 -;]:
Trang 11Phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác
2
mà: a 25
PLAY x—— + ) gia =——
BCHK a [» 5 Ys +
Lời bình: Có rất nhiều cách xác định tọa độ
tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK Ta có thể xác định tọa độ tâm V đường tròn ngoại
tiếp tam giác 4/⁄K Sau đó suy ra toạ độ tâm Ù
băng cách sử dụng nhận xét Ï
@Thí dụ 7 Viết phương trình ba cạnh của
tam giác ABC biết E(-1:-2), F2.2), OC-1,2) lan lượt là chân ba đường cao hạ từ A, B, C cua tam giác ABC
Lời giải Theo nhận xéi 4, trực tâm HÏ của tam
giác 48C chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác EFO Do đó, ta tìm tọa độ điểm 77 như sau: Goi Ú là giao điểm của 4E với ÓF Khi đó ta CÓ: eee =s=UÐ=~2UF = U|S:2) HP Tim 5 3 ở có Bá a has eR LS oy) EUS 3 3
Phương trình đường thắng 4ð là -x + y— 3 = 0 Phương trình đường thắng 4C là 2x + y— 6 =0 Phương trình đường thắng ĐC là x + 3y + 7= 0 II BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1 Trong mặt phắng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác 4BC với C(-3;0), đường thắng đi qua chân đường cao hạ từ 4, Ø có phương trình là 7xzty+5=0 Việt phương trình đường tròn ngoại tiệp tam giác 45C biệt răng A⁄4;1) thuộc đường tròn đó
2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa dé Oxy, cho tam giac ABC can tai A, goi Mva K (22) lan luot la chan duong cao ha tir A va B ctia tam gidc ABC Diém E(-3;0) là điểm đối xung cua M qua trung điểm X của cạnh 4ð Xác định tọa độ các đỉnh của A 48C biết M nằm trên đường thắng đ:4x + y—2 =0
3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giac ABC cân tại 4, duong thang BC cé phương trình 2x†y-2=0, E, Ƒ lần lượt là chân
TOAN HOC
10 Số 449 (11-2014) -
đường cao kẻ từ B, C cua tam giác 48C BE có
phương trình x†yFÏ= =0, điểm M(1;1) thuộc
đường thắng CF’ Tim toa độ các đỉnh cua tam
giác 45C
4 Trong mặt phẳng với hệ trục toa dG Oxy, cho
tam giác 4ØC nội tiếp đường tròn có bán kính
R=A0, ale 3) là trọng tâm tam giác ABC
Các điểm K(4;4),MG;1) lần lượt là chân đường
cao hạ từ 4, 8 của tam giác 45C Tìm toạ độ các dinh cua tam giac ABC
5 Trong mat phẳng với hệ tọa độ Óxy cho tam giác 4BC có chân đường cao ha tr B, C xuống cạnh đối diện lần lượt làX(-2;2), ZŒ:2) Điểm (Sz) là hình chiếu vuông góc
của # xuống ĐC Tìm tọa độ các đỉnh của A ABC
6 Cho tam giác nhọn 4BC với 4K, CD là hai đường cao và # là trực tâm A 48C Biết PT đường tròn ngoại tiếp tam giác DHK:
(x—-2)?+ y? =5, trung điểm của 4C là P(7;5) Tìm toạ độ các điểm 4, Ö, C biét rang BC di qua
diém Q(1;4) va hoành độ điêm 7) lớn hơn 3 7 Trong mat phang toa d6 Oxy, cho AABC co
A(2 ;3), chan hai đường cao kẻ từ 4 và Ö lân lượt là (ee) ; «(= si =) Goi J la tam
l1 10°10
đường tron ngoai tiép AABC, E là một điểm thudc cung nho AB Ke EMLBC, ENLAC Tìm
toạ độ điểm Z để MN có độ dài lớn nhất
8 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giac ABC Gor E(7: 1),F s: 2) lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh B, C của tam giác
ABC Tìm tọa độ của đỉnh 4 biết rằng phương
trình đường thắng ĐC là 2x+ y—13=0và điểm ð có tung độ dương
9, Cho tam giác 4BC có trực tâm 7ƒ, đường tròn ngoại tIẾp tam giác HC có phương trình:
x°+y°-x-5y+4=0 H thuộc đường thắng
A:3x-y-4=0, M(2;3) là trung điểm 4B
Trang 12THƯ SỨC TRƯỚC KÌ THI ĐỀ SỐ 2
(Thời gian làm bài: 180 phú?) Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số p=x)~6x2+9x+m
(m là tham số) có đồ thị (C„)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm
số (C) khi m =0
b) Tim m để tồn tại tiếp tuyến với đồ thị
(C„) đi qua điểm 4(3;0) và cắt đường tròn
(Š) có phuong trinh (x+1)? +(y—2)? =25
theo một dây cung Ä⁄W có độ dài nhỏ nhất Câu 2 (1 điểm) Giải phương trình
cos 4x —J/3sin2x +2 nea sin 4x — 43 cos2x CAu 3 (1 diém) Tính tích phân a oe DAS a! “c0 12.1) Câu 4 (1 điểm) a) Giải phương trình 2 1 4 log,p,;|x” -4] =logsgis +2) te 2l082ns(X 3) b) Cho số phức z thỏa mãn z+(I—2i)z =2(1-2 Tìm phần thực và phần ảo của số phức 0) = z? —3z
Câu 5 (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa
dé Oxyz, cho mat phang (P):2x+y-z=0 : 3 x-4 yp 2 và hai đường thăng A): aca rơi x—=6 y z+2 ` oA A ~ Ne =—= - Tìm điêm M⁄ trên mặt "AC 9`:
2 phẳng (P), điểm N trén đường thẳng A¡ sao
_ cho M va N đối xứng với nhau qua đường
thăng A> Viết phương đường thắng A đi qua ÄM, vuông góc với A¡ và tạo với mặt phẳng (P) một góc 307
Câu 6 (1 điởn) Cho hinh chép S.ABCD có day ABCD 1a hinh vudng, SA 1 (ABCD),
SA=a Dién tich tam gidc SBC bang
4742
: 2
theo a Goi J, J lần lượt là trung điểm các canh SB va SD Tinh khoảng cách giữa hai đường thắng 47 và C7
- Tính thể tích khối chóp S.4BCD
Câu 7 (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Óxy, cho hình thoi 48ŒC7D có tâm 7(2; ])
va AC =2BD Diém M{03) thuộc đường
thắng 4B, N(0; 7) thuộc đường thắng CD
Tìm tọa độ điểm P biét rang BP=5BI va diém B có tung độ đương
Câu 8 (1 điểm) Giải hệ phương trình
Vxt+34+¥Vx-2-Jy*+5=y
ie +2x(y-2)+yŸ —=8y+4=0
Câu 9 (1 điểm) Cho a, b, e là các số thực
dương thỏa mãn abc == Tim gia tri nho
Trang 13HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 1 Câu 1 b) Ta có đ: y = —x + m (m #2) và I(—1; 1) PT hoành độ giao diém cia (H) va d la x= ——=-x+m«>x”+(2-m)x—(m+l)=0() x+l
(do x= —1 khơng thỏa man)
Taco A=m*+8>0;Vm nén (H) và đ luôn cat nhau tai 2 diém A,B voi A(x,;—x, +m);
B(x;-xX, +m) trong do x,,x, la 2 nghiém
cua PT (1) thoa man x, +x, =m—2, xx, =—n-1
Tit Si4p =2V3 => d(1;d).AB = 43 = “2œ =x) = 44/3 © m (m? +8)=48 © m=-2 (do m#2) Cau 2 DK: C053.C052 z 0 PT đã cho tương cos2x + sinx duong voi =2sinx+1 COS X COS X & cos2x —sIn 2x = co0sx — sinx Tt 7L <> cos| 2x+— |=cos| x+— | | 1 [ “| Đáp số: x= k21;x = -EtÉ k EZ ‘ ea =— — Câu 3 Ta có L=h Wl+3x (2) patil Wllio 2) cae Kx —x-3 = lim bn +(I+xÄl+3x+(+x)”) Ị =| +——————|=— | 2
Câu 4 a) Gọi số cap vo chéng la n(n > 2) Ta
có số lượng cái bắt tay 1a C3, - = 2n(n-1)
(do mỗi cách chọn 2 người trong 2ø người thì
4a TOñNHỌC _ Í2 'CTuổige Số44eai-soia
có 1 cap bat tay va mỗi người không bắt tay vợ/chồng mình) Ta cé 2n(n—-1) =40 ®n=5 5n—11k n Vag k an b) Ta có P(z) = s CÚ 25 1n k=0 bài ra 2C(-D”1+4Cz(D” =2 Do 2” >0 và 4C2 2G nén n chan Khi d6 n=2k * XÁW ¬L) 120 (keN) Thay vao duoc <5 eee Suy ra k=2<9n=4 Hé số của số hạng thứ 4 cần tìm là -32 Câu 5: Ta "Gói C(00G) VỚI C2U Be BC=CA=AB nen c +9 =18—c- 3, Gu G là tam AABC ta cd G(1;1;1) PT dudng
thắng A đi qua G và vuông góc voi (ABC) la —: Vi S e A nén S(s;5;s)
ieee A
Ta có 35G:5(4BC)=9< §G=2x3 s=3
hoặc s =-—I1 Do vậy S(3;3;3);,S(—1;—1;—1)
Câu 6 Ta có 0<$Bˆ—%⁄ = HB? — HA? < AB’
nên tam gidc SAB vuông tai S Đặt
HA=HO=x ta cd OB=2x Theo dinh li côsin ta có BH =xV7 ,BC=2xN3 Ta có
S4 + SB” = AB? © a2 +a2—x2 + 7x2 =12x7
cà i dd =
v3 Tang 3
Goi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC thi 7 là trung điểm của 4C Do #/// ÓC
nen Ayxscp) =đ(qœy=HL trong đó K,L lần
lượt là hình chiếu của #7 trên các đường thắng
CO va SK Tacé HK =2.N3._ 4
Xã, disco iệt bó cóc WHR? 4 HS? 2 a
Trang 14Câu 7 Do tam giác 4C vuông tại 4 có H € (C) \ NGA (x-1)(x3+x+1) =0 a (doz> A ® A > & iy? “ va CA é tiệp no của (C) nên B si? Ta có W1 121] a fe? ea) 25 4BC BA _ Ẫ Tp x3 et cee Đáp số: (x;y) =(0;1);(x;y) = (52) BỊ =1 a’ El OE G sẽ (20) (030) Kh đ | " CAN 418802 nhi in) v1 tr Tô) 2(x, 38.1 Hữ Lá 0080 0 2 ti bàn >2 20 Jm V3 Vậy 425) —>a? +3c2+28=3aˆ +2” +5” >2(a+b)(a+©) (a—2) +b" =3 209N 2 2: 2 mt 8a , Mat khac oa 2
Câu 8 ĐK: y>l1;x'—x2+1>0.PTthứnhất ` 42+be+7 2a7+a +(b+c)
của hệ tương đương với đo 4 2
= <
(x+#x} +Œy-1Uˆ =2œ+Ÿx)»2Íy—1 h 2a*+2a(b+c) atb+e Ja(b+c)
3
©x+x =4(y-1) +jy-1 dhs Vio Bhi Wel eee 086
x20 Geb (aby japxo) 4+9 Six = ASD ae ety: 1 i tof 3] 38 PT thứ hai của hệ trở thành 5 a+b 5Š 3 a(b+c) 3 15 xX +Xx =x tl=x 41 TC ca ốc |0412 x4 LÍ AcÚ Oo ME 8 Khiza=37h= 2:¢— lai boas Vay HA Bị nến TBẦN QUỐC LUẬT 1 A ` & (x4 Boats v2 ĐI =0 (GV THPT chuyên Ha Tinh) Oe et _—_-s G5 10s" | 5 eee) 6 oem (0 aus (0 em |e woe, 0 comin Se 0 coe Ÿ HHEÌY mm Ÿ am 6 mene cam 0 um oie b mm opel oem -0/femeiopem 6 mm 6 mm oom Se) date ' C60 i Ơ=ƠơƠở+¬ =
Nêu khơng sử dụng sô 1 để viết thì số mới có
Ho ONG DAN GIẢI ĐÈ dang (3k + 2)(3m + 2) + (3k + 2) + (3m + 2)
: (Tiếp theo trang 5) Cha 3 dư 2
Ta có ABAM =ABFM (c.g.c) Ta thay 201572" = (3.672 21)2"" chia 3'dur |
nên không thê viết được số 20157014 “Doze +x+ynênz+ 1 =ứ + D@+ 1)() Nếu cộng thêm | vào các số được viết trên bảng thì được dãy các số 2, 6, 12, 24, 48, 72 a nén BFM = BAM =90° suy ra EF FM (dpcm) _ Câu 5 Các số được viết trên bảng 1a 1, 5, 11, oo Be TAG 3
_ e Nhan xét ring các số được viết trên bảng (trừ
tụ si » về tính chất l3 3 dư 2 Các số đầu tiên có dạng 2”.3” nên từ đề suy ra các số được viết thêm cộng với l cũng có dạng đó |
Mặt khác 2015 + 1 = 2016 = 256 63= at 7 ni
nén khong thé viết được SỐ 2015 " ‘an
6à UU HỮU SƠN (Sở GD-ĐT Hà Tĩnh), giới thiệu
TOÁN HỌC „
_ "Su
Trang 15
7= < BẠN ĐỌC : ư `2 TÌM |: PHÉP C VU, | 7 TOI aan Ce eee `.“
B ài toán Tổ hợp ngày càng xuất hiện nhiều hơn trong các đề thi HSG Quốc gia cũng như Quốc tế, nhằm giúp các em học sinh tiếp cận bài toán này một cách bài bản và chuyên sâu hơn, tôi
xin giới thiệu đến các em một số vấn đề liên
quan Mở đầu là một kĩ năng gốc của bài toán đếm: cộng hay nhân?
Thí dụ I Xác định số lớn nhất thu được khi xóa đi 100 chữ số trong số sau:
12345678910111213 99100,
với số trên được tạo thành từ các số nguyên tir |
đến 100 xếp theo thứ tự từ trái sang phải
Lời giải Ta bắt đầu với một vài phép đếm Có 9
số có 1 chữ số Từ 10 đến 99, có 99 — 10 + 1 =90 số có hai chữ số Do đó, con số trên có 9 + 2,90 + 3 = 192 chữ số Sau khi xóa đi 100 chữ số, ta có
được số gồm 92 chữ số Với bất cứ hai số có cùng số chữ só, số có chữ số đầu lớn hơn sẽ lớn
hơn Do đó, số chúng ta cần tìm phải bắt đầu
bằng càng nhiều số 9 càng tốt Vì vậy, đầu tiên ta
xóa 8 chữ số ngoài cùng bên trái Sau đó, ta xóa chuỗi 101112 181 gồm tổng cộng 9 x 2 + ] = 19 chữ số Tương tự, ta xóa chuỗi 202122 282, 303132 363, 404142 484 Vậy ta đã xóa § + 19 x4= 84 chữ só, hiện ta thu được số sau: 9999950515253 99100 () Ta cần xóa 16 chữ số nữa Không cần nghĩ
nhiều, chỉ cần xóa chuỗi 505152 57 gồm 16
chữ số đề thu được số:
9999958596061 99100
Dung qua nhanh, ban a Néu chúng ta để 5 chữ
số 9 đứng đâu, giá trị lớn nhất có thể có của chữ
số tiếp theo là 7, thu được khi xóa chuỗi 505152 565 gồm 15 chữ số Chữ số cuối cùng
cân xóa là 5 trong 58 Do đó, câu trả lời là: 9999978596061 99100 FT
Thí dụ 2 Giáo sự 4, B, C và D đang cho sinh viên E thi vẫn đáp vẻ toán tổ hợp Bốn giáo sư
đang ngôi thành hàng Vì là đồng chủ tịch của
uy bạn kỳ thì, giáo sư 4 và D phải ngôi cạnh nhau Vì là cô vấn cho sinh viên E, gido sw C can
TA
Nguyén Dinh Huy (GV THPT chuyên Nguyễn Quang
ÔNG HAY PHÉP NHÂN
Diêu, Đồng Tháp)
ngôi cạnh đồng chủ tịch của ds Cac giao su có thé ngoi theo bao nhieu cách: x0
Lời giải Số vị trí mà giáo sư C co ya Sẽ
thay đổi khi vị trí ngồi của giáo sự ⁄ thay đôi
Điều này có thể làm chúng ta bơi TƠI va đêm
khơng có phương pháp Mẹo của bài này không phải là xếp vị trí ngồi cụ thê cho TH HN bật
kỳ trước tiên, mà ta phải xêp bôn giáo sư vào các vị trí ngồi có tương quan với nhau rôi sau đó mới
xếp chỗ cho họ Theo điêu kiện đê bải, giáo sư A D và C có thé ngồi theo một trong các cách sau:
(A, D, ©), (CG, 4, D), O49, Ce De) Voi mỗi cách xếp chỗ trên, giáo sư B có thê ngôi ở
ghế đầu hoặc cuối Do đó, câu trả lời là
212121 2 0 |8
Quy tắc cộng Nếu sự kiện 4 có thé xay ra theo a cach và sự kiện B có thé xay ra theo b cách thì sự kiện hoặc A hoặc B có thể xảy ra theo a + b cách
Có thể dễ dàng áp dụng ý tưởng trên cho nhiều sự kiện Ta có thể diễn đạt quy tặc cộng bằng
ngôn ngữ tập hợp Cho S là một tập hợp Nếu
A,4 A, là một phân hoạch của ®$ thì
|S|= 4 A, | trong d6|X| la ky hiéu
số lượng phần tử của tập hợp X
Thí dụ 3 Xác định số lượng hình vuông vẽ được sao cho mọi đỉnh của hình vuông đêu nằm trong
mang 10 x 10 tao thanh từ các day diém nhu
hinh 1 (Cac diém cach déy nhau)
4+ Bis wets
Hinh |
Lời giải Ta gọi 4 điểm bát
nêu chúng là các đỉnh cúa một hình vuông mà
các cạnh hình Vuông song song VỚI mép của
mảng Ta cũng gọi một hình vuông với các đỉnh
Trang 16hợp thành một bộ tứ là hình vuông bộ tứ Có 9?=81 bộ tử 1 x 1 red .—-——-b —————.—_——a 9 9 ® ® âđ eâ $ & â â< f.-ttt>o eeee đ đ e® eœ ® 9$ 6 6 s â$ ees ââ đ {4 e oe ©@ Ầ~ 9 9 đ đ âđ e@ e@ 9 6° 9 eeeseeeneeeee e eeeeeeepes @ 6-—-2-—_9-._ 9 @ 6-9-8 9-—_-@ eeeeevse8eee @—0—-0—-2—_ 0 —_0—_9—_ 0 —_2—_0 Hinh 2 Dễ thấy rằng có § bộ tứ 2 x 2 trong mảng 3 x 10 như hình 2 Không khó thay rằng có 8 mảng 3 x 10
như vậy trong mảng 10 x 10 ở đề bài Do đó, có
§” bộ tứ 2 x 2 Suy luận tương tự, ta có 77 bộ tứ
3 x 3 va cứ như thé Voi 1 <k <9, có (10—k}
bộ tứ k x & Nhưng điểm khó của bài này là có các
hình vuông mà cạnh của chúng không song song với mép của mảng Tuy nhiên, môi hình vuông như vậy đều nội tiếp với một hình vuông bộ tứ Hình 3 ` Do đó, để đếm đủ thì phải đếm tắt cả hình vuông bộ tứ và mọi hình vuông nội tiếp Không khó thay rang trong một hình vuông bộ tứ & x k, có & hình vuông nội tiếp, bao gôm chính hình vuông bộ tứ Ví dụ, với k= 4, ta có hình 4 A 6 à Ô Hình 4 pe Tổng ue lại, ta có được đáp án bài tốn: Xú0- ky k= ¥ (1008 - 20k? +k) = 1009 - 2034 rye 2 19 (9.10 sido espe (29) 2 6 2 = 4500 —5700 + 2025 = 825 Thí dụ 4 [Tài liệu Toán PEA, Richard Parris] Đổ có thể mở t đựng đồ của mình tại phòng tập
Thẻ hình, An phải nhớ mã só Day ma so gom 3 số và hai rong số đổ là 17 và 24, nhưng anh lại
quên mắt số thứ ba và không biết thứ tự của các số này SỐ thứ ba nhận mot trong các giá trị từ Ì đến 40 Nếu mơi lan thứ nhập mát 10 giáy thì nhiều nhất mất bao lâu để An thử hết tất cả các khả năng? Lời giải Ta xem xét 6 tập hợp con Đặt: Á.=Í(x17,24)/1<x<20) 4, =(x,24,17)/1<x<40) 4={(7.x,24)/1<x<40} A, ={(24,x,17)/1< x < 40} A, ={(17,24,x)/15 x $40} Ag THỦ ĐỀ” x)/1<x<40}
Không khó dé thay rang mỗi tập con có 40 phần
tử Do đó, theo quy tắc cộng, có 40.6 = 240 dãy sỐ để thử và cần nhiều nhất là 40 phút Vội quá
rồi, bạn ạ! Một điều quan trọng nhưng dễ bị bỏ
qua khi áp dụng quy tác cộng là các tập hợp Ai
phải là một phân hoạch thì quy tắc này mới đúng, tite la Ai Aj = O voiriF/j Nhung trong bai nay, day sỐ (17, 1421) thuộc về cả 4 và 44 Tương tự, mỗi dãy s6, {17,.24, 17s (24 Je ta (17, 245-205) he 24}, {24, 24, 17} cing thuộc về hai tập hợp nên chúng được đếm hai lần Do đó, chỉ có 240 - 6 = 234 dãy dé thử, và câu trả lời đúng là 39 phút F
Phép cộng và phép nhân có liên quan mật thiết với nhau Phép nhân là cách viết ngắn gọn cho phép cộng lặp nhiều lần Ví dụ, 3.5 =3 +3 +3 + 3+3=5+ 5+ 5 Dùng phép nhân một cách hiệu quả có thể giúp hiểu thâu đáo đề giải các “bài toán đếm Có người sẽ dễ dàng bỏ qua dãy số bị đếm hai lần trong bước cuôi cùng khi giai Thi du 4
Có thê có người sẽ tự hỏi liệu còn dãy số nào bị
đêm nhiều lân không Nghĩ sâu hơn một chút, ta thây răng những dãy số bị đếm nhiều lần chỉ có thé là dãy gom {a, a, D} với {a, b} = {17, 24} a và b có thể nhận hai giá trị la (a, b) = (17, 24) va (a, b) = (24,17) Có 3 cách sắp xếp các số a, a, b la (a, a, 5), (a, b, a) và (b, a, a) Do đó, có chính xác 6 dãy sô bị đêm 2 lân
Ta cũng có thê giải Thí đụ 2 bằng phép nhân
Đầu tiên, ta sắp XÊp VỊ trí tương đối cho giáo sư
A va D Có hai cách xếp la (A, D) và (D, 4) Giáo sư C có hai cách để ngồi cạnh giáo sư 4 và D, đó là ngồi ở bên phải hoặc bên trái
Trang 17
CÁC LỚP THCS
Bai T1/449 (Lép 6) Cho 5 số nguyên phân biệt sao cho tổng của 3 số bât kỳ trong chúng lớn hơn tổng của hai số còn lại Tìm giá trị nhỏ nhất của tích 5 số nguyên đó
NGUYÊN ĐỨC TÂN
(TP Hồ Chí Minh)
Bài T2/449 (Lớp 7) Cho tam giác 45C với AB > AC, AB > BC Trên cạnh 4B của tam
giác 4BC lấy các điểm D và E sao cho BC = BD va AC = AE Qua D va E ké DK
song song voi BC va EJ song song voi CA
(K €CA,/ € CB ) Chimg minh rang CK = Cl : VU HUU CHIN
(GV THCS Hong Bang, O Hong Bang, TP Hai Phong)
Bai T3/449 Giai phương trình 1 1 2 + = : NB Và nh: Di 0Y NGUYÊN TÁT THU
(GV THPT chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hòa, Đông Nai)
Bài 14/449 Cho tam giác nhọn 4B8C với H 1a
trực tâm Ä⁄ là một điểm nằm trong tam giác
sao cho MBA = MCA Goi E, F lần lượt là
hinh chiéu vuông góc của M trén các canh AB,
AC va I, J twong img 1a trung diém cua BC, MA Ching minh rang cac duong thang MH, EF va LJ dong quy
LE VIET AN
(SW lớp Toán 4B, ĐH Sư phạm Huê) Bài T5/449 Tìm tắt cả các cặp số nguyên (x; y)
thỏa mãn phương trình xŸ + y? = pane I
TRAN VAN HANH (GV DH Pham Van Dong, Quang Nedi)
CAC LOP THPT
Bài T6/449 Giải phương trình 8! ~9|⁄|=2~3”
CAO MINH QUANG
(GV THPT chuyên Nguyễn Binh Khiêm, Vĩnh Long)
Bài T7/449 Cho tam giác 48C với ba cạnh là
AB = c, BC =a, CA = b, ban kính đường tròn
ngoại tiếp là #, bán kính đường tròn nội tiệp là
r„3(ab+bc+ca) ỷ š M 1S <
Cray aE eich eas
ĐINH VAN TAM (GV THPT Binh Minh, Kim Son, Ninh Binh)
Bai T8/449 Cho ba số thực dương x, y, Z thỏa
mãn x >z Tìm giá trị nhỏ nhật của biêu thức
2 +2Z
Fe DU ye c = :
Vat Vines Va eae
DUONG VAN SON
(GV THPT Ha Huy Tap, Nghé An)
TIEN TOI OLYMPIC TOAN
Bài T9/449 Tìm phần nguyên của biểu thức 8
is Fos NY 2013 NO tle leg eo leet
32 ae Trị 2015
NGO QUANG HUNG
(SV K54, lớp KTD, ĐH Nông Nghiệp Hà Nội)
Bài T10/449 Tìm tất cả các đa thức ƒ{x) với hệ sô nguyên sao cho với mọi sô nguyên dương n, ƒ) là ước của 3” —1
NGUYÊN TUẦN NGỌC
(GW THPT chuyên Tiên Giang)
Bài T11/449 Cho dãy số (x„) thỏa mãn điều Hệ i" = 4,x, =34 kién: ý : Hox, = Xe GP PLSM OO BV MEN 26 Đặt $,„= x„,,meNÑ`.Chứng minh rần k=0
với mọi sô tự nhiên lẻ ø, ta luôn có S00), NGUYEN VAN THANH (GV THPT Chau Thanh A, Bén Tre)
Trang 18Cho tam giác 4ðC cế định Các điểm E, # lân lượt di chuyên trên các đoạn Œ4,
AB sao cho BF = CE BE cat CF tai D Goi H,
K thir ty la trực tâm tam giác D#Ƒ, DBC,
Chứng minh rang đường thắng 7K luôn di qua
một điểm có định khi E, Ƒ di chuyền
TRAN QUANG HÙNG (GV THỊPT chuyên, ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội)
Một viên đạn khối lượng Ä⁄ được
băn lên với vận tốc vụ hợp với phương ngang
góc œ Đên điêm cao nhất thì nó nổ, vỡ thành
hai mảnh Mảnh nhỏ có khi lượng với vận
Find the
minimum value of the products of 5 different
integers among which the sum of any 3 arbitrary numbers is always greater than the
sum of the remains
Let ABC be a aiingie ith AB > AC and AB > BC On the
side AB choose D and E such that BC = BD and AC = AE Choose K on CA and J on CB such that DK is parallel to BC and EI is
parallel to CA Prove that CK = CI
Problem T3/449 Solve the following
ans 1 ie lee
| Dae Roehl
2 roblem 14/449 Given an acute triangle ABC
ith the spiceatl H Let Mbe a point inside
pate
the triangle such that MBA = MCA Let E and
: ely be thế TU ei n of
tốc có môđun 9, bật ra sau theo phương ngang
so với mảnh lớn Hỏi tầm xa của mảnh lớn
tăng thêm bao nhiêu so với trường hợp đạn
không nô?
VŨ THANH KHIẾT
(Hà Nội)
Để đo chu kì T của một chất
phóng xạ người ta dùng máy đếm xung Biết răng trong /¡ = 45 giờ đầu tiên máy đếm đợc ¡ xung ; trong /2 = 2í gid tiếp theo máy đếm được ø2 = an xung Xac dinh chu ki ban ra T ĐINH THỊ THÁI QUỲNH (Hà Nội) Find all pairs of integers (x;y) satisfying x* + y = xy +1, Solve the following equation 8° —9|x|=2-3*
Given a triangle ABC with the sides AB = c, BC = a, CA = b Assume that the radius of the circumscribed circle is R and the radius of the inscribed circle is r Show
ieee
R11 '2(2-0 0)-
Pre ‘49 Let x, y, z be 3 positive real
Trang 19` a sty & ape gs ( yy GJ XI ft là Beat TS ff ‘KY TRƯỚC | Va hà Pa “ \ uy: ca22 1 \ | = sy Lames hb : ’ : y Bai T1/445 (Lép 6) Chung minh rang: PEP PN 290.099 Se = 333 1333 Noelia besa 2014 chitsé 1 2014 chit s6 2 ee 2014 chữ số 3 là một sô chính phương
Lời giải Đặt a = 1 1 11 là số viết trong hệ thập phân có 2014 chữ số 1 Lúc đó số được viết bởi 2014 chữ số b là ö bb = b.11 11 = b.a và 10? — = 99 90 =Ó9a Ta có b l0 1122) 222- 333 333 =1Ì 111102 2222222 - 333.333 =a.10”°!' + 2a~— 3a = a.1020_ aạ = a (10° — 1) = a 9a = (3a)? = (33 33 )ˆ Vậy số C là số chính phương F]
> Nhận xé Một số bạn biến đồi dài Các bạn có lời
giải đúng, gon la: Phu Tho: Pham Thu Thuy, 6A,
THCS Thi Tran II, Yên Lập; Vĩnh Phúc: Nguyễ;
Nhật Loan, Đào Ngọc Hải Đăng,Trần Minh Huy,
Trân Đan Tì rường, lạ Thị Thu Hoài, Bùi Thu Hiền,
Nguyễn Lệ Hoa, 6A, THCS Lý Tự Trọng, Bình
Xuyên; 7q Kim Thanh Hiển, 6A,, Nguyên Diệu
Lình,Lê Đức Thái, Nguyên Thị Hương, Bùi Tuấn
Anh, Nguyễn Ảnh Linh, 6A; ; Bắc Ninh: Tạ Việt
Hoàn, 6C, THCS Nguyễn Cao, Quế Võ; Hải Phòng:
Mai Quang Vinh, 6A, , THCS Hong Bang: Ha Nam: Nhữ Thị Thương, 6B, THCS Dinh Công Tráng,
Thanh Liêm; Nghệ An: Trdn Ngoc Khánh, 6B, THCS Hỗ Xuân Hương, Quỳnh Lưu; Nguyễn Đình
Tuan, Thái Bá Bảo, 6C, THCS Lý Nhật Quang, Đô
Luong; Tang Trung Nghia, 6A, THCS Hoa Hiểu II, TX Thái Hòa; Quảng Ngãi: Lô Tuy Kiệt, 5B, TH sô 1, Hành Phước, Nguyên Đức Han, 5B, TH Hanh
Trung, Nghia Hanh
VIET HAI
TOAN HOC
18: quới S6 449 (11-2014)
Bài T2/445 (Lớp 7) Cho tam giác ABC có
BAC > 90° va độ dai ba cạnh là ba số chan
liên tiếp Tỉnh độ dai ba canh cua tam giác đó
Lời giải ff
Về BH L AC tại A H Vi BAC >90°
nén BC la canh , C
lon nhat cua tam
giác 48C và 4 năm giữa H va C Tam giác 7⁄4 vuông tại H a S ae = a (dinh li Pythagore) Tam giác BC vuông tại 7 =— BC” = BH” + CHỈ (định lí Pythagore) 2 Ta có BC = BỊ + CHỈ = BH” + (AH + AC) 2
> BH + AH + AC hay BC > AB: +AC (*)
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là n — 2, n, n+ 2 (n chan, n > 2) Vi BC là cạnh lớn nhât nén BC =n + 2 2 2 Từ (*) ta có (n + 2)” > (n—2) +n’? > Bn>n =n<S8 Mà (n— 2) + n > n + 2 (BĐT tam giác) nên ø > 4 Từ 4 < ø < 8, ø chăn — ø = Ó Vậy độ dài ba cạnh của tam giác là 4; 6; 8 f7
> Nhận xét
1) Bài toán tuy đơn giản nhưng khá hay Tất cả các
bài gửi đều cho đáp sô đúng Nhiều bạn sử dụng kết qua BC’ > AB? + AC nhưng không chứng minh
2) Nêu ta thay giả thiết “ba cạnh là ba số chẵn liên
tiệp” bằng giả thiết “ba cạnh là ba số tự nhiên liên
tiêp” hoặc “ba cạnh là ba sô lẻ liên tiếp” ta cũng
được những kết quả thú vị!
3) Cae pa sau có lời giải tốt: Vĩnh Phúc: Hoàng
Minh Ditc, 7A3, THCS Lam Thao; Ta Kim Thanh
‘tién, 6A1, THCS Yên Lạc; Thanh Hoá: Phùng Hà Nguyên, TAD): Mees Tran Mai Ninh, TP Thanh Hoa;
Nghệ An: Nguyấy Thy Giang, Trần Lê Hiệp Nguyên Thị Nhự Quỳnh we ee Sura A, Nguyên Như Quỳnh B, x : :
THCS Lý Nhat QC, 1D: Nguyễn Thái Hiệp, TB,
Bà ÿ Nhật Quang, Đô Lương; Nguyễn Trọng
ae a THCS TT Quán Hành Nghi Lộc;
fo hae Tương Quoc Binh, 7C, THES Huynh
Thúc Kháng, Đỗ 7 1ø A > ; ae 2
1 My Lan, Truong Thi Mai T; ram, én, Vo eo
THCS Pham Vin Dong Nee ee ne
Trang 20
| pai 13/445 Cho hai số thực đương a, b thỏa
man a+ b va ab là các SỐ Hguyên đương và
la” + ab| + Lø7 +ab] là sổ chính phương, ở
đó kí hiệu |x| la sỐ nguyen lớn nhất không vượt quả x Chứng mình rằng a, b là các số
nguyên đương
Lời giải s Do x— T < [x] S x nên
[a + ab] + [b° + ab] <a@ + ab+ b? + ab=(a+ bŸ
va [a’ + ab] + [b” + ab] > (a+ by —2 Ta có:
(a+ by —2<[a° + ab] +[b* + ab] < (a+ by „ Nếu a+ b= 1 thì 0< <1 và 0< b< 1, suy ra ab < | trai voi gia thiét
- Néu a + b > 2 thi gitta hai sé (a + by va (a + b} - 2 không tồn tại một số chính phương nào Do đó
(a + ab] + [b+ ab] =(a+ by =a + bˆ + 2ab
Mat khac, do ab nguyén duong nén
[a + ab] + [bŸ + ab] = [a?] + [ð?] + 2a Suy ra [a”] + [b”]= a” + ý
Ta co |a’| <a’; |b |< b —>l|a]+|b ]<a +%., đăng thức xảy ra khi va chi khi [a°] = a; [b°] = 0° => ad va b’ la cdc s6 nguyén duong (*) e Mat khac, a + b nguyén duong va 2 ae ib ng hữu tỉ, suy ra a, hữu tỉ (**) a+b Tir (*) va (**) suy ra a, b nguyén duong 0 > NhG@n xét
1) Ta có thể dễ dàng chứng minh các tinh chat sau:
Nếu a + b va a— b hữu tỉ thì a, b hữu tỉ; Nêu z hữu tỉ
dương và a” nguyên dương thì a cũng nguyên dương 2) Các bạn có lời giải đúng là: Bình Định: Nguyễn Bảo Trân, 7A, THCS Tây Ninh, Tây Sơn; Vĩnh
Phúc: Nguyễn Minh Hiếu, Nguyễn Hữu Tùng, Nguyễn Kim Đức, 8A5, Nguyễn Hồng Anh, 8A1,
THCS Yên Lạc; Nghệ An: Nguyên Hong Quoc
Khánh, 9C, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nguyễn
Trọng Bằng, 1A2, THCS Thị Trân Quán Hành, Nghỉ
Lộc, Tăng Văn Minh Hùng, Nguyên Văn Mạnh, 7A,
Hoàng Trân Đức, 7D, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương: Quảng Ngãi: Nguyên Đại Dương, 8B, THCS Nguyễn Kim Vang, Nghĩa Hành; Hà Nội: Đặng h Tùng, 8B, Nguyên Thành Long, 9B, THCS Thượng Hiền, Ứng Hòa, Lê Duy Anh, 9A,
yến ¡y Tưởng, Đông Anh
Xu, NGUYÊN ANH QUẦN
Bài T4/445 Cho tam giác nhọn ABC với các
đường cao AD, BE, CF Trên tia đôi của các
tìa DA EB FC lân lượt lay các điêm M, N, P
sao cho BMC = CNA = APB = 90°
Ching minh rang cac duong thang chứa các cạnh của lục giác APBMCN cùng tiép xuc VỚI mot đường tròn Lời giải
Vì BE, CF là các đường cao trong tam giác
ABC nên ta có 4E.AC = 4F.AB (1) Áp dụng hệ thức trong các tam giác vuông AWC
và APB ta có AE.AC= AN”; AF.AB=AP” (2)
Tu (1) va (2) suy ra AN = 4P Tương tự ta nhan duoc BP = BM va CM= CN
Goi O 1a giao diém của các đường trung trực cua MN, NP, PM Do cac tam giac PAN,
PBM, MCN can nén AO, BO, CO tuong img
là các đường phân giác của các góc PAN,
PBM, MCN Mặt khác, theo tính chất đối
xứng ta có
OPA=ONA: ONC=OMC: OPB=OMB (3)
Lại có, OPA=ONA => OPB=ONC
Kết hợp véi (3), suy ra OMB=OMC
Tương tự ta có OPB=OPA; ONA=ONC
Vậy các đường phân giác của các góc BMC :
MCN , CNA, NAP, APB, PBM đồng quy
tai O Do đó các cạnh của lục giác 4PBAMCN
cùng tiệp xúc với một đường tròn F
Trang 21> Nhận xé Các bạn dưới đây có lời giải tốt: Hà Nội: Lê Duy Anh, 9A, THCS Nguyễn Huy Tưởng, Đông
Anh; Phú Thọ: 7rân Quốc Lập, Trần Mạnh Cuong,
8A3, Dao Thanh Phiic, 9A3, THCS Lâm Thao,
NGUYEN THANH HONG
Bai 15/445 Tim số nguyên m để phương trình rage (m+ 1x — (2m — ])x— (2m? +m+4)=0 có nghiệm nguyên Lời giải Cách 1 Biễn đổi PT (1) như sau x' +(n+])x”~(2m—1)x~(m+1)(2m—1) = 5 = xf(x+m+1)—(2m—1)(x+m+1) =) > (x+m+1)\(x? -2m41)=5 (2) Do ø và x là các số nguyên nên x + ø + 1 và x" — 2m + 1 là các số nguyên và là ước của 5 Ta co 5 = 1.5 = (-1).(-5) Nhan thay x +m +1 và x“ — 2m + 1 là số lẻ nén x va m 1a s6 chin
Suy ra x” ~ 27w + 1 chia 4 đư 1 Do đó
x — 2m + I bằng 1 hoặc 5 Xảy ra hai khả năng Xn lel m=—x ) | 2 por Qari =5 ` x +2x-4=0 2 (*) PT (*) co nghiém x = —1 +5 không nguyên nên loại x+m+)=5 m=-x+4 | eure Ot GI PT (**) có nghiệm x = 2 và x = -4 đều là số nguyên Suy ra 7 = 2 va m= 8 Cách 2 Biến đổi PT (1) thành 2m —(x” ~2x-1)m-(x +x +x-4)=0@) Coi (3) 1a PT bac hai 4n m v6i el), Sn sa n2 = (x? +2x+3)* —40
Để PT (1) có nghiệm nguyên thì PT (3) phai có nghiệm nguyên, suy ra A phải là sô chính phương Đặt @ˆ + 2x + 3)”~40=4ˆ( ) ©(@ +2y+3+#)@“+2x+3-~#) =40 Dox eZkeN, (x7 + 2x +3 +#)~(@ +2x+3—#)=2k x +2x+3+>0 nên TOñN HỌC 2 :Cluổitre Số 4491-2012 x Im 0ï Í (Ob RB Oa Hoe 2)8 0h x2+2x+3 + và xˆ + 2x + 3 — k cùng là số tự
nhiên chin Ta co 40 = 20 2= 10 4 Xay ra hai
kha nang sau: k=9 oD x° +2x-8=0 x+2x+3+k=20 00101002 Tìm được m = 2, m = 8 9 x 2s St Đi 02/28 th 2 2+2xt3-k=4 l2 ee © = 3 i ox k oS , không thỏa mãn x nguyên ( =—|+ \5 Vậy khi m = 2 hoặc m = 8 thi PT (1) có nghiệm nguyên FT
> Nhận xé Có nhiều bạn tham gia giải bài này và làm theo hai cách trên Một số bạn làm cách 1 do
không đưa ra nhận xét về các nhân tử ở về trái của PT
(2) nên phải xét đến bốn khả năng: một số bạn làm cách 2 cho ke Z nên phải xét nhiều khả năng hơn dẫn
đến bài giải dài dòng Tuyên đương các bạn sau đây có lời giải tốt: Phú Thọ: Nguyễn Thảo Chi, Tran Mạnh Cường, Trần Quốc Lập, 8A3, THCS Lâm Thao; Nghệ An: Nguyễn Xuân Toàn, 7A, THCS Lý
Nhật Quang, Đô Lương: Quang Binh: Phan Tran
Hướng, 9A, THCS Quách Xuân Kỳ, Bố Trạch;
Quảng Ngãi: Nguyễy Đại Dương, 9B, THCS
Nguyên Kim Vang, Nghia Hanh; Kon Tum: Lé Viét
Luu Thanh, 94, THPT chuyén Nguyén Tat Thành
PHAM THI BACH NGOC
Bai 16/445 Ching minh rang véi moi sé
thực a, Ð, c lớn hơn 1 ta luôn có:
(log, a+log,a—1)x (log b+log, b—1)x
x (log, c+log, c—1) <1
Loi gidi (Theo số đông các bạn gửi bài vé toa soan)
Do log, b.log, c.log,a=1 va a, b, clén hon 1
Trang 22Be n62)-e)s xyz (1)
Nếu có hai trong ba thừa số tr me VỀ trái của (1) âm, chăng hạn y+z~ x< 0, x-y<0
= em er a <0 Diéu nay
khong xay ravi z>0
Nếu có một trong ba thừa số số ao yy,
x†+y—-zZ âm và hai thừa số còn lại dương
(hoặc bằng 0), thì bat đăng thức (1) đúng
Nếu cả ba thừa số y + z — WZ+X-y,xty—z dương (hoặc bằng 0), áp dụng bất đẳng thức
Cauchy, ta có: (y+z-x)(z+x-y) oy
(x+y—z)(y+z—x) <y; (z+x-y)(x+y~z) <x
Nhân theo về ba bắt đẳng thức trên, ta được (1) Bất đắng thức trong đầu bài được chứng minh Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi x = Vee 2
=> 22
Sa) c0]
> Nhận xét Đây là bài toán khá cơ bản nên có nhiều
XS 52/4 ose
lệ, b=x;log, c= sige, aX Vee > Uke — | việc trình bày lời giải phức tạp hơn Z ;log,a=—, ta Xx Trong cach dat log, b= * slog, ere Z có thê chọn x là số thực dương bat kì; Z y=<xlog, a;z= ylog, b= log,a= a
Các bạn sau đây có bài giải tốt: Bắc Ninh: Lê Hy Cường, 11 Toán, THPT chuyên Bắc Ninh; Nghệ An: Hồ Xuân Hing, 10T1, THPT Do Luong I, Da Son, Đơ Lương; Hà Nội: Vđ Bá Sang, 10 Toán 1, Tran Mạnh Hùng, 11 Toán A, THPT chuyên Nguyễn Huệ,
Kim Van Hing, 12A1, THPT Mỹ Đức B, Ti ran Phương Nam, 12A3, THPT Ngọc Tảo, Phúc Thọ;
Tiền Giang: Nguyễn Minh Thông, l1 Toán, Tes chuyén Tién Giang, My Tho; Long An: Châu Hòa Nhân, 1212, THPT chuyên Long An; Vũng Tàu: Lê
Hoàng Tuấn, 12A2, THPT Định Tiên Hoàng, TP
Vũng Tàu
NGUYEN ANH DUNG
Bai 17/445 Cho tam giác nhọn ABC (1B < 4C)
nội tiếp đường tron (O) Cac đường cao 4Ù,
BE, CF cắt nhau tại, H Gọi K là trung điểm
của BC Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tai B va C cat nhau oe if Chứng minh rằng HK, JD, EF đồng quy ˆ log b.log, a=— Lời giải 4 Ba E R LI hie O FAS Z 2° és K ( oh Gia st EF A BC=G; HK ¬ EF =1, GA A (O)=R(R# 4A); OA A EF = M Ta co GB.GC =GR.GA=GF GE, suy ra R nam trén đường tròn đường kính 471, hay HR AG
Áp dụng định lí Brocard cho tứ giác nội tiếp BFEC với BF = CE = 4; EF Ầ BC = G và
chú ý rằng K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ
giác BFEC ta được HK | AG Từ đó ba điểm
H, K, R thắng hàng Xét cực và đối cực đối
với đường tròn (O) Dé thay (GDBC) = -1, nên đường đối cực của D2 đi qua G “Đđ Mặt khác, ta thấy đường đối cực của D đi qua 7 (do đường đối cực của J là 8C đi qua điểm D) (theo dinh li La Hire) (2)
Từ (1) và (2) suy ra GJ là đường đối cực của D đối với đường tròn (Ó@) Theo tính chất của cực — đối cực ta thay OD L GJ Kết hợp với GK 1 Ø7 suy ra D là trực tâm tam gidc GOJ,
do đó JD L GO (3)
Tiếp theo ta sẽ ching minh DJ | GO That vay, goi N = DI A GO, dé thay OA EF tai
Trang 23Suy ra tứ giác /MKD nội tiếp =BDN=IMK,
mà tứ giác GA⁄OK nội tiếp nên, /MK =NOK
Vi vay BDN=NOK, suy ra tứ giác DNOK
néi tiép Do dd DNO = 90°, hay DI 1 GO (4)
Từ @) và (4) suy ra ba điểm D, 1, J thang hang, hay ba duong thang HK, JD, EF đồng
quy tại 7 (đpem) 0
> Nhận xét Tất cả các lời giải gửi về Toà soạn đều đúng theo các hướng: Sử dụng tính chất của Tứ giác điều hoà, Hàng điểm — chim điều hoà, Cực - đối
cực, Phương tích của một điểm đối với một đường
tròn Các bạn sau có lời giải tốt: Hà Nội: Hoàng Lê
Nhật Tùng, 12A2 Toán, THPT chuyên KHTN,
ĐHQG Hà Nội, Lê Dy Anh, 9A, THCS Nguyễn Huy Tưởng, Đông Anh, Nguyễn Việt Anh, Trân Mạnh
Hùng, 11Toán!, THPT chuyên Nguyễn Huệ; Yên Bái: Vữ Hồng Quân, 11Toán, THPT chuyên Nguyễn
Tất Thành; Hà Nam: //oàng Đức Mạnh, 11Toán,
THPT chuyên Biên Hồ; Nghệ An: Hơ Xuân Hùng, 11T1, THPT D6 Luong I, Tran Quang Huy, 10A1,
THPT chuyên ĐH Vinh, Phan Van Khai, \0A1,
THPT Cửa Lò, TX Cửa Lò; Hà Tĩnh: Nguyễn Văn Thế, Lê Văn Trường Nhật, Nguyên Như Hoàng, 11Toanl, THPT chuyên Ha Tinh; Binh Định: Neuyén Trong Khiém, 10A1, THPT Quang Trung, Tay Son
HO QUANG VINH
Bai 18/445 Tim ham so f: R > R bi chan
trên một khoảng chứa diém 0 va thoa man 2fl2x) =x + f(x), voi moi x € R Loi gidi Gia str fx) là hàm số thoả mãn bài toán Chú ý x = 2i Do đó 2ƒ(2x) = x + f(x) =2|/09-^] =f ay Dat zœ)= ƒ0)~ Ta suy ra
gael [3)*z Gò), 10.1 vllet 25 2 225 22 tiến Atte 07 0?
Từ giả thiết ta có 3a e IR”, 3M e RỶ sao cho lAx)| < Mx eR, |x| <a Boi vay Vx € R, 22 "Sa: Số 449 (11-2014) xét n e€ N ma Hs, ta nhận được “e(3 x =| <1{ms$} +0 khi n > +oo, n oe 3 j nh TH Từ đó suy ra g(x) =0 Vx € JR, tức là {Chas g(x) = 2"
Các biến đổi trên là tương đương, do đó ta không phải thử lại Vậy có ae nhất một hàm số thoả mãn bài toán là f(x) = 5 VxeR.O
> Nhận xét Đây là bài toán tìm hàm số giải bằng phương pháp dãy số, loại bài toán đã xuất hiện nhiều
trong các kì thi học sinh giỏi toán quốc gia, thi học
sinh giỏi toán của các nước khác, thi IMO Các bạn
học sinh sau có lời giải tốt: Ha Noi: Va Ba Sang,
10T1 ; Nguyén Viét Anh, Tran Manh Hing, \1T1,
THPT chuyén Nguyén Hué ; Hoang Lé Nhat Ting,
11T-A2, THPT chuyén KHTN ĐHQG Hà Nội;
Nam Dinh: Ong Ting Duong, 11T1, THPT chuyén 156 Hong Phong; Hà Tĩnh : V6 Duy Khanh, Nguyễn
Văn Thế, 11T1, Trân Hậu Mạnh Cường, 12TI1,
THPT chuyên Hà Tĩnh
NGUYEN MINH DUC Bai T9/445 Cho da thức:
fx) = x? — 3x° + 9x + 1964
Chứng mình rằng tôn tại số nguyên a sao cho
fia) chia hét cho 37°"*
Lời giải (Theo bạn Trần Hậu Mạnh Cường, 12T1, THPT chuyên Hà Tĩnh) Ta c6 fx) = (x— 1) + 6-1) +1971 => f(9x + 1) = (9x)? + 6.9x + 1971 = 27(27x? + 2x +73), Xét da thite g(x) = 27° + 2x + 73 va tập ={e()} Ta chứng minh 4 là một hệ đầy
đủ mod 3” Thật vậy, giả sử trái lại 4 không là
hệ đầy đủ mod 3” Khi đó tồn tại 1 <¡<7 <3”
Trang 24_ Vậy 4 là hệ đầy đủ (mod 3”) Do đó tồn tại
1 <k, <3" sao cho SCs
: Hat a, = 9k, + 1 ta cd Te) = 27g(„) ‘ m3
Vớin=2011tacó f(a) 23.0
> Nhận xét Có không nhiều bạn tham gia giải bài toán này với các cách giải khác nhau Các bạn sau - đây có lời giải tốt: Hà Nội: Tran Manh Hing, 11
a Toan A, THPT chuyén Nguyén Huệ; Đà Nẵng:
Nguyén Hitu Hoang Hai, 11A1, THPT chuyén Lé
Quý Đôn; Quảng Trị: 7rẩn Trọng Tiến, 12Toán,
THPT chuyên Lê Quý Đôn; Bình Định: Mai Tién
Luật, 12Toán, THPT chuyên Lê Q Đơn; Nam Định: Ơng Tùng Duong, 11Toan, THPT chuyén Lê Héng Phong
DANG HUNG THANG
Bài T10/445 7ôn rại hay không hàm số liên tục
ƒ:R —>R sao cho với mọi x ]®, trong các số
Kx), Ax + 1), Äx + 2) luôn có hai số hữu tỉ và một sô vô tỉ
Lời giải Nhận xét: Không thể tôn tại hàm
lién tuc f :1R—R sao cho voi moi x, trong hai số ƒ(%),ƒ(x+1), có một số vô tỷ và một so hitu ty Chứng minh nhận xét: Giả sử tôn tại hàm 7 thỏa mãn nhận xét Xét các hàm số J(+) = ƒ@œ)+ ƒœ+)),øg@) = ƒ@œ)~ ƒœ+D) Néu A(x) va g(x) đều là hàm hằng thì = BOS) cũng là hàm hằng Trường ee tồn tại số hữu tỷ He) la pan lien tuc VẲ di tị ` rr sey =2013{ Se Se nl a _ đụ 2 a đụ 3 Điều này trái với giả thiết Nhận xét được chứng minh
Quay lại bài toán đã cho, vì trong các sỐ
Tei S(x +I), ƒ#(x+2) luôn có hai số hữu tỷ
và một số vô tỷ nên có 3 trường hợp xảy ra: e /(x) là số hữu tỷ, ƒ(x+l),ƒ/(x+2) là hai SỐ VÔ tỷ e /(x+J) là sé hitu ty, f(x) va f(x+2) la hai số vô tỷ e /(x+2) là số hữu tỷ, ƒ(z) và /(x+l) là hai số vô tỷ
Từ nhận xét trên ta thây trong cả 3 trường
hợp đều không tôn tại hàm ƒ: E] > Nhận xét
1) Bằng chứng minh phản chứng và sử dụng định lý giá trị trung gian có thê chứng minh nhận xét sau (từ đó giải được bài toán đã cho)
Nếu ƒ :IR —>IR là hàm liên tục và chỉ nhận các giá trị vô tỷ trên R thì ƒ(x) =C, với C là hằng số vô tý nao do
2) Các bạn tham gia đều giải đúng bài này, tên của các bạn la: Yén Bai: Vii Hong Quân, 10 Toán,
THPT chuyên Nguyễn Tat Thanh Binh Dinh: Mai
Tiến Luật, 12T, THPT chuyên Lê Quý Đôn, TP Quy
Nhơn Long An: Cháu Hỏa Nhân, 12T2, THPT
Trang 25= = 2013{ 5 a Suy ra fel * n+Ì na, 2013a Ana? = 2013S fra = tat fer 22 33% 2013 Vậy nên a,¡ =2018-” +a, “a= vir n j gue et ee a, n > L ng } hy (2013+1)2013+2) (2013+n—1) „ q„—= N= : (n—l)! Suy ra abe Pes aA a, GF ft 2 (k-1)! +——+)° 2014 (2013 +1)(2013+2) (2013+k— 1 2! Se lim 2012 | 2014 Ù a ` (k-1)! 2012 | (2013 +1)(2013+2) (2013+k—2) k} Sa pase il nÌ Dé ý rang nÌ “ - 2012 2012x2014x2015x(2013+n-1) lim =() no 2012 x 2014x 2015x(2013+n-1) re Ễ 1 2 2013 nên lim| —+—+ +— |= n>0\ G, đ› a, 2002" Cach 2 Dé dang chimg minh a, = C2°!3,,,, đó suy ra eRe I a, 2012 (n+ 2011)(7 n + 2010) (n + 1)n 1 (n+ 2012)(n + 2011) (n +1) Từ đó ta có đpcm fT từ } 4c ban sau đây có Oy ee : VÕ hảnh, Nguyễn TỔN 2M; ăn
Tưởng Nhật Ngwen Binh Nhi T0: D Hau Mạnh Cường 1201, THET, CMS nàn)
Tiền Giang: Nguyễn Minh Thông Ti
chuyên Tiên Giang; Hưng TA Bie ; 4 oe
I2A1, THPT chuyển HữHg 70/1
yến: LŨ, TH U chuyên NTT; Ha Noi: Nguyén
Viét Anh, 11T1; Tran Manh Hùng, pe re
chuyên Nguyễn Huệ; Quảng Nett 2, Pik
Nga, Bach Thi Thién Ngan, ae 0) f oa nee
Nghệ An: Phan Như Trịnh, HAI, THPT Dien Chau
3: Binh Dinh: Mai Tién Ludt, 12 THPT chuyên
Lê Quý Đôn; Vĩnh Long: Ti ran Cao Nhiém, 11T1, THPT chuyén Nguyen Binh Khiém : :
NGUYEN VAN MAU
Bai 112/445 Cho fứ giac ABCD ngoại tiép
duong tron (1) Cac canh AB, BC tiép xúc với
(D lần lượi tại M, N Gọi E là giao điểm của
AC va MN: F la giao diém cua BC va DE
DM cắt (I) tại điểm T khác M Chứng minh
rằng FT là tiếp tuyén cua (I)
Lời giải (Theo bạn Phùng Đắc Vũ Anh, I2TI,
THPT chuyên Amsterdam, Hà Nội)
F
»> Nhận xét C
Gọi P, Ở theo thứ tự là tiếp điểm của CD, DA
va (I); Š là giao điểm của 7N và PO (hình về)
Các kết quả sau là quen thuộc: \
PSOE thang hàng
Trang 26+ AC, BD, MP, NO đồng quy (tại K)
Vậy, áp dụng dinh li Pascal cho sáu điểm
PT , chu y rang QO MT = D;
OP ANT =S;MPONQ=K, suy ra D, S, K
thang hang
Xét cực và đối cực đối với (7) Ta c6 B 1a cuc
cua MN, D là cực của PO Do đó E là cực của _BD (vi E=MN OPQ) Suy ta E, S lién hop
(vi $eDK =BD) Điều đó có nghĩa là S 1a
cực của DE (vì D, 8 liên hop) Vay S, Ƒ liên
_ _hợp (vì eDE) Do đó Ƒ là cực của SN (vì TAND Ƒ liên hợp) Suy ra Ƒ, 7 liên hợp (vì
-T e8N) Nói cách khác F7 tiếp xúc với (7) FT
' Nhận xét
Ngoài ban Vii Anh, co 8 ban tham gia giải Tuy
thiên vì không “biệt sử dụng cực và đối cực nên lời
_ giải của 8 bạn đêu dài
¡n nêu tên cả 8 bạn: Kon Tum: Nguyễn Hoàng
1A], THPT Nguyên Tât Thành, TP Kon Tum;
Ệ An: SỐ Xuân ee 1011, THPT Đô ee i NGUYEN MINH HA
5 Một thanh cứng dong chat, tiét
hiéu dai L dugc treo nam ngang
aay mảnh, không giãn cùng chiéu
h vé Kich thich cho thanh cứng woe mat ine hai day
divi hi khỏi phương mà cao @ÓG lệch A * Như vậy thanh dao động điêu hòa với chu kỳ: Te 2m _ 2m 6ƒ = re es
Dé chu ky dao động nhỏ nhất ta có ae su dung đạo hàm hoặc bất đăng thức Cauchy ta sẽ tim
được: /= 5 và chu kỳ nhỏ nhất khi ấy bằng:
¡2n
HD (Q2 Dài
»> Nhận xét Các bạn có lời giải đúng: Nam Dinh: Phạm Ngọc Nam, 10 Lý, THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nghệ An: Pham Quốc Vương, T2ÀI IHETL
Diễn Châu 3; Bình Phước: Nguyên Văn Hùng, 11B,
THPT chuyên Quang Trung
NGUYÊN XUÂN QUANG
Bài L2/445 Mạch điện vô hạn là mạch điện tạo thành tử vô số mắt mạch giống nhau, nồi liên tiếp theo một quy luật nhất định, sao cho
Trang 27Lời giải Trong số các bài giải, bạn Chu Minh
Thông có lời giải câu b) hay, sáng tạo Xin giới thiệu lời giải của bạn Chu Minh Thông a) Gọi điện trở của đoạn mạch la R Vi mach vô hạn nên khi thêm hay bớt một mắt mạch thì điện trở của cả đoạn mạch không thay đổi nên ta có sơ đồ đoạn mạch như sau: F B Điện trở của cả đoạn mạch: 2rR R+2r
Giải phương trinh ta thu duoc: R = 27(1+ V3)
b) Do tinh đối xứng nên những điểm có cùng điện thê có thê chập lại với nhau Ta có mạch điện tương đương như sau:
R= +4r © Rˆ—4rR —§r? =0
A 2
Từ hình vẽ trên ta có thê vẽ lại mạch điện
tương đương như sau: A r/2 Al Te là Th r⁄4 r⁄4 r⁄4 r⁄4 $tv B' Tương tự mach a) ta co phương trình: Ta Rhp =rRg =r7 =0 (2+0, Nghiệm của phương trình: ® „.„ = 5 (V2 210), 7 Từ đó tính được: R®„; ope oe 7 5:0 = TOAN HOC 2 6 ï Cluốï& Số 449 (11-2014)
> Nhận xét, Các bạn sau có lời giải đúng: "Nam
Dinh: Pham Ngoc Nam, 10 Ly, THPT chuyén Lé Hồng Phong; Nghệ An: Chu Minh Thông, A3-K4I, THPT chuyên Phan Bội Châu
DANG THANH HAI PROBLEMS (Tiép theo trang \7) TOWARDS MATHEMATICAL OLYMPIAD Problem 19/449 Find the integral part of the Sex 9 2013
expression Bea DỊ 7 aia MT
Problem 110/449 Find all polynomials f(x) with integral coefficients such that f(7) is a divisor of 3” —1 for every positive integer n
Problem 111/449 Let (x„) be a sequence Xp = 4,x, =34 satisfying: s i ne a, Ce Rl Oe : Let S, = iin ,neN Prove that, for k=0
every odd natural number n, S,,:66
Problem 112/449 Given a triangle ABC The points £ and F respectively vary on the sides
CA and AB such that BF = CE Let D be the intersection of BE and CF Let H and K respectively be the orthocenters of DEF and
DBC Prove that, when E and F change, #€
line HK always ee through a fied fon
ào
DOC LAI CHO DUNG
Trên Tạp chí số 446, trang 16, xin duoc doc lại đề bài T5/448 như sau:
Trang 28
PHEP CONG (Tiép theo trang 15)
Cuối cùng, giáo sư B cd hai cach ngồi, đó là ngồi ở bên phải hoặc bên trái Do đó, đáp án là 2.2.2 = 8
Những suy luận này dẫn ta đến một quy tắc đếm
quan trọng khác
Quy tac nhân Nếu sự kiện A\ có thê vay ra theo a; cách Khác nhau và sự kiện A› có thé vay ra theo a, cach khac nhau, va su kién A, có thê xảy ra theo a, cach khác nhau thì tông sô cách dé su kién A, xay ra roi dén su kién A> xay ra, roi dén su kién A,, xảy ra là AAD Ay
Ta cũng có thê điền ta quy tac nhân bằng ngôn ngữ tập hợp, tức là nêu
S a aha và s
thi (Sie pls,
Thi du 3 Mot ee số xe có 3 ký tự đâu là dãy gom 3 chit cai trong bang chữ cái và 3 ký tự sau là dãy gôm 3 con số Có thể làm ra bao nhiều biên số xe khác nhau nếu khong duoc ding so 0 và chữ O trong cùng một biên sô?
Lời giải Gọi S, là tập hợp các biển số xe không có số 0 và S, la tập hợp các biển số xe không có chữ O Nếu afy — ogy là một biển số xe thuộc S, thi 0, ý, ự #0 Tiêp theo, không có yêu câu gì
đối với a, Ø, y nên mỗi ø, Ø, y có thể nhận 26 giá
trị, trong khi môi đ, ý, nhận được 9 giá trị Do đó, |S| =26.9°, Suy luận tương tự,
|S,|=25Ẻ.10” (vì vai trò của chữ và số được đổi
với nhau) Dường như đáp án của bài toán là
|S,|+|S,|=26°.9° + 25°.10° Tuy nhiên, đây
không phải là đáp án chính xác Nhưng mỗi
bước làm dường như rất hợp lý Vậy sai ở đâu?
Câu hỏi mấu chốt hơn là: Lam sao ta biết có sai hay khong?
Ta trả lời câu hỏi thứ hai trước Gọi S la tap hop
moi biển số xe tạo được theo như yêu cầu đề bai
Mỗi chữ trong dãy 3 chữ cái có 26 lựa chọn và mỗi con số trong dãy 3 con số có 10 lựa chọn Theo quy
tắc nhân, |$|=26`.10” Không khó để kiểm tra được: |Š,|+|S;|= 26).9° +25”.10° > 261.10” =|s|
_ Rõ ràng |S,|+|S, | không phải là câu trả lời ta muốn Giờ ta oe sửa lỗi sai Luu y rang có vài
c8 17 lA 4)
cất SỐ 0 hoặc chữ O Gọi S, la tap
biển số như vậy Suy 1a
pees chữ cái in một biển số
viện *
š II tư
thuộc Š,, có 25 lựa chọn và với mỗi con số, có 9
lựa chọn Do đó |5;|=25.9° Vi mỗi biên số
trong 53 được đếm 2 lần trong $, và»; nên câu
trả lời cuối cùng của bài toán là:
l2 20 7 Tan
=17047279
Kỹ thuật bao hàm những tập hợp chồng chéo lên
nhau và loại trừ những phân được đêm hai lần
gọi là Quy tắc Bao hàm — Loại trừ
Thi du 6 [AIME_ 1996] Trong mot giai dau cb 5 doi tham gia, môi đội đâu một trận với từng đội còn lại Môi đội có 50% cơ hội chiến thắng bát kỳ trận nào mà nó tham gia (không có trận hòa) Tĩnh xác suất giải đấu không có hoặc một đội không thua trận nào hoặc một đội không thắng trận nào Lời giải Mỗi đội phải chơi 4 trận Do đó, có 5.4 trận nêu mỗi trận được đếm hai lần Vậy 5 đội sẽ — 29.0 2 5.4 i Re Rae
chơi tông cộng ct = 10 trận Vì môi trận co thê có hai kết quả nên có 2'° kết quả cho giải đấu Có 5 cách để chọn một đội không thua trận nào Giả sử đội 4 thắng tất cả 4 trận mà nó tham gia Vậy mỗi trận trong 6 trận còn lại có thể có 2 kết
quả trong tổng số 2'”* =2ƒ kết quả Vì chỉ có
nhiều nhât một đội không thua trận nào nên có 5.2 giải đấu cho ra một đội không thua trận nào Suy luận tương tự cho ta 5 ?' trong 2'° giải đầu cho ra một đội không thắng tran nao
Tuy nhién, hai xac suat nay không loại trừ lẫn nhau Có thể có chính xác một đội không thua trận nào và chính xác một đội không thắng trận nào trong cùng một giải đâu Có 4£ =20 hoán vị hai đội như vậy Giả sử đội 4 không thua trận nào và đội 8 không thắng trận nào Có bảy (chứ không phải tám, vì 4 và 8 đấu với nhau!) trận trong đó hoặc đội 44 hoặc đội B hoặc cả hai đội tham gia Kết quả của 7 trận này đã được xác định Mỗi trận trong 3 trận còn lại có hai kết quả
trong tổng số 2!%7 =2? giải đầu Nói cách khác,
70 20027 trong 2'° giải đầu có cả đội không
thua trận nào và đội không thắng trận nào Do đó, theo quy tắc Bao hàm — Loại trừ, có:
2.72 192 2353
giải dau khong cho kết quả hoặc một đội không
thang trận nào hoặc một đội không thua trận nào
Mọi kết quả có xác suất giông nhau nên xác suất
thun c2 d7 oo a0
: TOAN :
Trang 29Thí dụ 7 Hoa có các hộp sơn gồm § màu khác
nhau Cơ muốn sơn một bộ bốn hình vuông của mot tam bảng 2 x 2 sao cho các hình vuông cạnh
nhau được son màu khác nhau Tìm số phương
dn son mau khác nhau mà Hoa có thể tao ra
Hai phương án sơn màu được xem là giống nhau
nếu có thể thu được phương án này bằng cách
xoay phương án kia
Lời giải Hoa cần ít nhất 2 và nhiều nhất 4 màu Có 3 trường hợp như Hình 5 A|D AIC WB BỊC BỊA BIA
Hinh 5 (i) (ii) (iii)
Trong trường hợp (1), có 4; cach dé chon mau A,
B, C va D khác nhau Mỗi cách sơn màu trong
trường hợp này có thể được xoay 90 độ ngược
chiều kim đồng hồ 3 lần để có 3 cách sơn màu
khác nhau như trong hình 6 Nói cách khác, mỗi cách sơn màu trong trường hợp này bị đếm 4 lần, tính đên cả trường hợp xoay tròn Vậy có 4 = = 420 cach son mau khac nhau 21/0) D\C CiB B\A Bic A\B DỊA CAD Hinh 6 Trong trường hop (ii), có 4, cach chon mau
khác nhau Mỗi cách sơn mau trong trường hợp
này có thé được xoay 90 độ ngược chiều kim
đồng hồ 3 lần để có 3 cách sơn màu khác nhau
như trong hình 7 Nói cách khác, mỗi cách sơn
màu trong trường hợp này bị đếm 4 lần, tính đến
8
cả trường hợp xoay tròn Vậy có ~ =84 cách sơn màu khác nhau
Ane C\A A\B BỊA
BỊA A\B C\A 4C
Hình 7
Trong trường hợp (ii), có 4¿ cách chọn màu
khác nhau 4 và Ø Mỗi cách sơn màu trong
trường hợp này có thê được xoay 90 độ ngược
chiều kim đồng hồ 1 lần để thu được một cách
sơn màu khác như trong hình § Mỗi cách sơn
màu trong trường hợp này bị đêm 2 lần, tính đến 2 cả trường hợp xoay tròn Vậy có = =28 cach son mau khac nhau TOANHOC _ * CTudilt;e_Sé 449 (11-2014) AB BÌA BIA} 141? 7” "Minh 8 Cuối cùng, ta có 420 + 84 + 28 = 532 cách sơn màu khác nhau là
Ta đã xong chưa? Chưa đâu bạn ạ! Người đọc có thể đã tìm ra một câu trả lời khác Nhưng trước
khi chỉ ra lỗi sai của mình, chúng tôi muôn hoi xem làm cách nào phát hiện ra lỗi sai có thê có trong khi đếm Vâng, một cách hiệu quả là áp dụng phương pháp tuong tu cho các giá trị ban
đầu khác nhau Trong thí dụ này, sô lượng màu
đã cho không đóng vai trò quan trọng trong bài giải của chúng tôi Nếu ban đâu chúng tôi được cho 7 màu thì sao? Vâng, vậy ta sẽ có
3
vn, = a cách sơn màu khác nhau trong trường 4
hop (ii) That ra chung ta không có 4 cách sơn màu khác nhau trong hình 9 Cách sơn thứ ba tính từ trái sang giống với cách sơn đâu tiên vì các cách phân b6 mau B và Œ được đêm khi
chọn màu có thứ tự (4 ) Tương tự, cách sơn
màu thứ ba và tư cũng giống nhau khi chọn màu
3
có thứ tự Vậy, có = =168 cach son mau khac
nhau trong trường hợp (1) Vậy đáp án chính xác cho Thi du 7 la 420 + 168 + 28 = 616
BAI TAP
1 Tim số lượng số nguyên dương có 2 chữ số chia
het cho ca hai chữ sô của nó
2 [AIME 2000] Có 2 hộp, mỗi hộp chứa cả bi den
và trăng, và tông sô bị trong hai hộp là 25 Lấy
ngau nhiên một bi từ mỗi hộp Xác suất dé cả hai bi
Re ED] lat nhất: : déu 1a bi den 1a Sự Xac suat dé ca hai bi déu 1a bi trắng là bao nhiêu?
3 Có 10 nữ và 4 nam trong lớp tổ hợp của thầy
Diing Co bao nhiêu cách để xếp những học sinh
nảy ngôi quanh một bàn tròn sao cho không có học
sinh nam nào ngôi cạnh nhau?
4 Cho ø là một số nguyên lớn hơn 4, và cho Đ.P, P,
là các đa giác lôi m cạnh Bờ» muốn vẽ ø — 3 đường chéo phân vùng không gian bên trong đa giác thành ø —2 tam giác và các đường chéo chỉ giao nhau tại
đỉnh của đa giác Ngoài ra, anh muốn mỗi tam giác
có ít nhất 1 cạnh chung với đa giác Bình có thẻ
Trang 30: # Đã Nguyễn Vinh Huy, 10 Toán, PTNK - ĐHQG TP Hồ Chí Minh 2.Neuyén Ti rung Hiếu, 12 Toán 1, THPT chuyên aia Yén ~A Am ye Tế Phước Định, 9/1, THCS Kim Đồng, Hội An, Quảng Nam
: (quyên Đức Thuận, 9A3, THƠS Lâm Thao, Phú Thọ
3.0 gwen Van n The 10 Toán 1, THPT chuyên Hà Tĩnh NĂM học 2012-2014
12 Trán Bá Trung, 1l Toán 1, THPT chuyên Hưng Yên
13 Lê Anh Tuần, 11 Toán, THPT chuyên Biên Hoà,
TP Hà Nam, Hà Nam
14 Vñ Tuần Anh, 12 Toán 2, THPT chuyên Lê Hồng
Phong, Nam Định
15 Chu Thị Thu Hiên, 12T THPT chuyên Long An
16 Lé Minh Phuong, 12 Toán, THPT chuyên Phan
Ngọc Hiền, Cà Mau
17 Lê Thế Sơn, 12A8, THPT Bim Sơn, Thanh Hóa 18 Trấn Nguyên Try, 12C3A, THPT chuyên Hùng
Vương, TP Pleiku, Gia Lai
19 Lê Đức Việt, 12 Tốn, THPT chun Hồng Văn
Thụ, Hòa Bình
Ly a0 Dinh Tuan, 6C, THCS Ly Nhat Quang, Đô Luong, Nghé An
2 Dang Quang Anh, 7A, THCS Nguyén Chich, Đông Sơn, Thanh Hóa
Trang 319 Nguyễn Thị Hằng, 8B, THCS Lý Nhật Quang, Đô
Lương, Nghệ An
10 Nguyễn Hữu Hoàn, 9B, THCS Trần Phú, TT Nông Cống, Thanh Hóa
11 Nguyễn Thị Thêm, 9A1, THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc
12 Lê Văn Trường Nhật, 10T1, THPT chuyên Hà Tĩnh
13 Lẻ Hùng Cường, 11A7, THPT Lương Đắc Bằng,
Hoằng Hóa, Thanh Hóa 14 Vð Thế Duy, LLA1, THPT Số | TT Phù Mỹ, Bình Định 15 Bạch Xuân Đạo, 11 Toán, THPT chuyên Biên Hòa, Hà Nam 16 Trần Mạnh Hùng, 11TA, THPT chuyên Nguyễn Huệ, Hà Nội 17 Đặng Quang Huy, 11 Toán, THPT chuyên Biên Hòa, Hà Nam 18 Mai Tiến Luật, 11T, THPT chuyên Lê Quý Đôn, TP Quy Nhơn, Bình Định 19 Trần Duy Quân, 11T1, THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long
20 Đoàn Phú Thiện, 11A1, THPT Lê Hồng Phong,
Tây Hòa, Phú Yên
21 Nguyễn Minh Trí, 11T1, THPT chuyên Long An
22 Trịnh Ngọc Tú, l1 Toán, THPT chuyên Biên Hòa, Hà Nam
23 Vũ Văn Quý, 12A1, THPT Nguyễn Chí Thanh, TP Pleiku, Gia Lai
# Giái Khuyến khích (65 giải)
1 Ngô Ngọc Huấn, 6A, THCS Phạm Văn Đồng,
Nghĩa Hành, Quảng Ngãi
2 Nguyễn Thị Quỳnh Trang, 6A, THCS Hồ Xuân
Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An
3 Ngô Thị Ngọc Ảnh, 7A, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An
4 Nguyễn Cao Bách, 7B1, THCS Nguyễn Nghiêm,
TP Quảng Ngãi, Quảng Ngãi
5 Kiều Xuân Bách, 7A, THCS Lê Hữu Lập, Hậu Lộc, Thanh Hóa 6 Trần Cả Bảo, 7A1, THCS Phước Lộc, Tuy Phước, Bình Định 7 Nguyễn Thùy Dung, 7B, THCS my Nhat ao oe Lương, Nghệ An 8 Tran Minh Hiếu, 7C, THCS Văn TH HE: Một Trì, Phú Thọ eae
9, Nguyễn Khải Hưng, 7D, THCS ee ie Hong
Hóa, Thanh Hóa hội pon ‘Ninh Senn
12 Neuyén Van Manh, 7A, THCS Lý Nhật Quang,
Đô Lương, Nghệ An
13 Võ Phương Tâm, Tổ, THCS Hồ Xuân Hương,
Quỳnh Lưu, Nghệ An
14 Nguyễn Văn Toàn, 7A,TH
Lương, Nghệ An :
15 Nguyễn Thành Vinh, 7A1, THCS va THPT Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc
16 Nguyễn Dai Duong, 8B, THCS Nguyễn Kim
Vang, Nghĩa Hành, Quảng Ngãi
L7 Nguyễn Tiến Long, 8A], THCS Lâm Thao, Phú Thọ 18 Dương Xuân Long, 8B, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An
19 Chu Mai Anh, 9A1, THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc 20 Hoàng Thị Minh Anh, 9A1, THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc 21 Lê Phúc Anh, 9A, THCS Nguyễn Huy Tướng, Đông Anh, Hà Nội
22 Cao Hữu Đạt, 9C, THCS Đặng Thai Mai, TP
Vinh, Nghệ An
23 Nguyên Thị Thanh Hương, 9A, THCS Yên Phong
Bắc Ninh
24 Vũ Thư) Linh, 9A3, THCS Lâm Thao, Phú Thọ 25 Ngô Nhật Long, 9A2, THCS Trần Phú, Phủ =
Ha Nam
26 Hoàng Đức Mạnh, 9A, THCS Dinh Céng Tráng, Thanh Liêm, Hà Nam
21 Tô Minh Ngọc, 9A1, THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc
28 Nguyễn Thuý Quỳnh, 9A2, THCS Giấy Phong
Châu, Phù Ninh, Phú Thọ
29 Hoàng Huy Thông, 9G, THCS Phan Chu ‘Trinh,
TP Buôn Ma Thuột, Đăk Lặk
30 Tran Thanh Binh, 10 Toán, THIẾT, on én Quang
Binh, Quang Binh y :
31 Nguyễn Hồng Dang, 10 Toán 1, THPT dl * Hong Phong, TP Nam Dinh, Nam Dinh
32 Nguyễn Doãn Hiểu, 10T1, par DO Lươn
Lương, Nghệ An
33 Lâm Bửu Hưng 10AIT, THPT chủ > uM én LN}
Thị Minh Khai, Sóc Trăng, về 34 - Nguyễn Ti uan 1 Hung, 10 Toán { 1 PI
Héng Phong, TP Nam Dinh, Nam chui 35, Nguyễn Tran ee 10 “- Shik CS Lý Nhật Quang, Đô
Trang 3239 Vai Hong Quân, 10 Toán, THPT chuyên Nguyễn Tất Thành, Yên Bái
40 Vương Hoài Thanh, 10A2T, THPT chuyên
Nguyễn Thị Minh Khai, Sóc Trăng
41 Nguyễn Tì thị Trang, 10 Toán, THPT chuyên Bắc
Giang, TP Bắc Giang, Bắc Giang
42 Nguyễn Văn Án, 11 Toán, THPT chuyên Bắc
Ninh, TP Bắc Ninh, Bắc Ninh
43 Nguyễn Văn Cao, 11A1, THPT Sáng Sơn, Sông Lô, Vĩnh Phúc
44 Truong Hoang Duy, 11T, THPT chuyén Nguyén
Đình Chiêu, Đồng Tháp
45 Phạm Trung Dũng, 11A1, THPT chuyên ĐH
Vinh, TP Vinh, Nghé An
46 Nguyén Tién Dat, 11T, THPT chuyén Lam Son,
Thanh Hóa
47 Nguyễn Thị Việt Hà, 11 Toán 1, THPT chuyên Hà Tĩnh, Hà Tĩnh
48 Lé Van Hai, 11A7, THPT Lương Đắc Bằng,
Hoằng Hóa, Thanh Hóa
49 Nguyễn Văn Hải, 11B, THPT Tay Son, Binh Dinh 50 Pham Minh Hau, 11 Toan 1, THPT chuyén Long An, TP Long An, Long An
51 Tang Trung Hiéu, 11A1, THPT Thai Hoa, TX Thai Hoa, Nghé An
52 Nguyễn Thị Phương Hoài,
chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị 11 Toan, THPT
53, Nguyễn Hữu Khoẻ, l1 Toán 2, THPT chuyên
Nguyễn Huệ, Quận Hà Đông, Hà Nội
54 Nguyễn Duy Linh, 11 Toán, THPT chuyên Bến
Ire, Bén Tre
55 Dinh Chung Ming, 11 Tốn, THPT chun
Hồng Văn Thụ, TP.Hòa Bình, Hòa Bình
56 Từ Nhật Quang, 11 Toán, THPT chuyên Bến Tre,
Bến Tre
57 Ngơ Hồng Thanh Quang, l1 Toán, THPT chuyên Quảng Bình, Quảng Bình
5§ Đậu Hồng Quân, 11A1, THPT chuyên Phan Bội Châu, TP Vinh, Nghệ/An
59 Nguyễn Minh Thành, 11 Toán, THPT chuyên Tiền Giang, TP Mỹ Tho, Tiền Giang
60 Tran Ti rong Ti ién, 11 Toan, THPT chuyén Lé Quy Đôn, Quảng Trị 61 Trần Đức Anh, 12 Toán, THPT chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị 62 Phạm Tuần Huy, 12 Toán, PTNK - ĐHQG TP Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh
63 Lưu Giang Nam, 12 Toán 1, THPT chuyên Phan Ngọc Hiên, TP Cà Mau, Cà Mau
64 Nguyễn Như Thiệp, 12A1, THPT Trần Quốc
Toản, Eakar, Đăk Lăk
65 Nguyễn Văn Tuyến, 12A11K25, THPT Đồng Hỷ,
TP Thái Nguyên, Thái Nguyên # Giải Nhất (1 giải) Nguyễn Mạnh Dân, 10 A3 Lý, THPT chuyên Vĩnh Phúc # Giải Nhì (6 giải) 1 Nguyễn Mạnh Dũng, 10 A3 Lý, THPT chuyên Vĩnh Phúc 2 Phan ae Vương, 11A1, THPT Diễn Châu 3, _ 9 Phạm Thanh Bình, 12A1, THPT Lương Phú, P Mà Bình, Thái Nguyên
2 Nguyên Viết Sang, 10 Lý, THPT chuyên Nguyễn
Du, Dak Lak
3 Tang Trung Hiéu, 11A1, THPT Thai Hoa, TX
Thai Hoa, Nghé An
4 Chu Minh Thông, 11A3, THPT chuyên Phan Bội
Châu, TP Vinh, Nghệ An
5 Nguyễn Thị Oanh, 11C1, THPT Hoằng Hóa IV, Thanh Hóa
6 Nguyễn Viết Tuần, 12A5, THPT chuyén-DH oe
Nghé An
1 Phạm Ngọc Bách, 12A4, THPT Tĩnh Gia 2, Thanh Hóa § Nguyễn Hồi Nam, 12A1, THPT Dương sàn
Hàm, Văn Giang, Hưng Yên A
Trang 33XUẤT BẢN TU 1964 Số 449 (11.2014)
Top chi TOAN HOG va TUỂITRỆ — ~—22::25 pT - Fax Phát hành, TrỊ Sự : 04.35121606
Mathematics and Youth Magazine Em: ranhaclulISleMA
CHỊU TRÁCH NHIỆM XUẤT BẢN
BAN CỔ VẤN KHOA HỌC
Chủ tịch Hội đông Thành viên
GS TSKH NGUYEN CANH TOAN NXB Gido due Viet Nam
GS TSKH oN VAN NHUNG NGUT NGO TRAN Al
i Bi hi VAN VONG Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập
GS DOAN QUỲNH NXB Giáo dục Việt Nam
PGS.TS TRẦN VAN HAO GS.TS VO VAN HUNG
HOI DONG BIEN TAP
Tổng biên tập : TS TRẦN HỮU NAM Thư kí Tòa soạn : Ths HỒ QUANG VINH TS TRAN DINH CHAU, TAS NGUYEN ANH DUNG, TS TRAN NAM DUNG, TS NGUYEN MINH DUC, TS NGUYEN MINH HA, TS NGUYEN VIET HAI, PGS TS LE QUOC HAN, ThS PHAM VAN HUNG, PGS TS VŨ THANH KHIẾT, GS TSKH NGUYEN VAN MAU, Ong NGUYEN KHAC MINH, TS PHAM THI BACH NGOC, PGS TS NGUYEN DANG PHAT, PGS TS TA DUY PHUONG, ThS NGUYEN THE THACH, GS TSKH DANG HUNG THANG, PGS TS PHAN DOAN THOAI, ThS VU KIM THUY, PGS TS VU DUONG THUY, GS TSKH NGO VIET TRUNG
TRONG SO NAY
@ Danh cho Trung hoc Co sở @) Ban doc tim tòi
For Lower Secondary School Reader’s Contributions
Vũ Hồng Phong — Phương trình chứa phần Nguyễn Đình Huy — Phép cộng hay phép
nguyên nhân
ấ3 Hướng dẫn giải Đề thi tuyển sinh vào lớp ® Đề ra kì này
10 chuyên Toán trường THPT chuyên Hà Problems in This Issue
Tĩnh, năm học 2014-2015 T1/449, anes T12/449, L 1/449, L2/449
(Ổ) bẻ thị tuyển sinh vào lớp 10 trường PTNK, Ð Giải bài kì trước
ĐHQG TP Hồ Chí Minh năm học 2014- Solutions to Previous Problems
9015 Giải các bài của Số 445
@ Chuẩn bị thi vào đại học Ö) kết quả cuộc thị giải Toán và Vật lí triển
University Entrance Preparation Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ năm học Nguyễn Trường Sơn — Một số bài toán liên : eee
quan tới trực tâm tam giác Anh Bìa 1 Thây giáo Nguyễn Văn Tin — Gi n—Gido @ Tứ các trước kì thị - Đó s2 Hai Bà Trưng, Hà Nội _ Hho Baan tring THCS Luong Yen, Quận
: ie nhiều năm lién la
@® Hướng dẫn giải Đề số 1 giáo uiên dạy giỏi ps aes a
Trang 347 ề XI V a EK EM SOs
yang | Toà Biên Phủ có địa chỉ tại đội
Í 19 xã Thanh Hưng, Huyện Điện Biên, tỉnh
lện Biên được khởi công xây dựng từ ngày zi1.2008 và hoàn thành vào ngày 2.9.2009 Hiện làng SOS có 14 gia đình có khả năng chăm sóc và
nuôi dưỡng 140 trẻ em mồ côi, không nơi nương tựa Đến tháng 6.2014, tổng số trẻ trong làng đang được
nuôi dưỡng là 134 trẻ Ngày 2.10.2014, ơng Hồng Lê Bách, Phó Tổng Giám đốc NXBGD Việt Nam kiêm Giám đốc NXBGD tại Hà Nội; ông Đính Khắc Cao, giám
đốc Cong ye CP Sach va Thiết bị miền Bắc và lãnh đạo
Ơng Hồng Lê Bách — Phó Tổng giám đốc NXBŒD Việt Nam
kiêm Giám đốc NXBGD tại Hà Nội ee biéu tai ¡nh thăm
Tặng quà cho các cháu TANGOUN nm ——_ Y P2] [| PM \ >NÑ;¡) j DEEN yo
Công ty CP Sách và Thiết bị Trường
học Điện Biên, đã đến thăm và tặng
sách tham khảo, sách kỹ năng sống,
vở viết, đồ dùng học tập cho các
cháu làng trẻ SOS Điện Biên Phú
Trị giá quà tặng mỗi đơn vị là 10
triệu đồng Đây là một trong những truyền thống tốt đẹp của NXBGD tại
Hà Nội và các đơn vị thành viên của NXBGD Việt Nam Những món quả
tuy chưa lớn về vật chất nhưng rất
có ý nghĩa, thê hiện sự quan tâm tới
các cháu mồ côi, giúp các cháu có thêm tài liệu học tập Trong chuyến
thăm, ơng Hồng Lê Bách và lãnh
đạo hai đơn vị đã chia sẻ những
khó khăn với tập thể cán bộ, nhâi viên cùng các cháu làng trẻ SO£
mong muốn các cháu đoàn kết, y
thương, giúp đỡ nhau, và học
để xứng đáng là cháu ngoan Hồ, những chủ nhân tương lai
đât nước