TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2015-2016 Thời gian làm bài: 180 phút,không kể thời gian phát đề Câu (2,0 điểm) a ) Khảo sát hàm số vẽ đồ thị ( C ) hàm số y x3 x 2 b) Tìm tọa độ điểm M ( C ) cho tiếp tuyến ( C ) M song song với đường thẳng ( d ) : 6x y Câu (1,0 điểm) a) Cho hàm số y ex (x x 1) Tính y '(ln ) b) Giải bất phương trình sau 2log3 (4x 3) log (2x 3) Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I (2x 1)sin xdx Câu 4(1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho mp(P) mặt cầu (S) có phương trình (P ) : x 2y 2z (S ) : x y z – 4x 6y 6z 17 Chứng minh mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) Tìm tọa độ tâm bán kính đường tròn giao tuyến mặt cầu mặt phẳng Câu 5(1,0 điểm) 3sin 2cos a)Cho tan Tính A 5sin 4cos3 b)Cho đa giác 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác đó.Tính xác suất cho đỉnh chọn đỉnh hình chữ nhật Câu 6(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA AB a, AC 2a ASC ABC 900 Tính thể tích khối chóp S.ABC cosin góc hai mặt phẳng (SAB), (SBC) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD 1350 , trực tâm tam giác ABD H(-1;0).Đường thẳng qua D H có có BAD phương trình x y Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành biết điểm G( ; ) trọng tâm tam giác ADC Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau x3 y y x y y ( x 3 y 13) 3( x 1) Câu (1,0 điểm).Cho x, y, z 5( x2 y z ) 9( xy yz zx) Tìm giá trị lớn biểu thức P x y z ( x y z )3 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ NĂM HỌC 2015 – 2016 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN Nội dung Câu 1a 3 Hàm số y x x (1,0 2 điểm) TXĐ: D = R Sự biến thiên: 1,0 0,25 x - Chiều biến thiên: y ' 3x 3x , y ' x Hàm số đồng biến khoảng (;0) vµ (1;+) , nghịch biến khoảng (0;1) - Cực trị: Hàm số đạt cực đại x 0; yC § , đạt cực tiểu x 1, yCT - Giới hạn: lim y ; lim y x 0,25 x - Bảng biến thiên: x y’ y + – 0 + 0,25 Đồ thị: y 0,25 O 1b (1 đ) x + Đường thẳng 6x– y – 4=0 có hệ số góc +Gọi M0( x0; y0) điểm mà tiếp tuyến song song đường thẳng 6x - y- 4=0 f '( x0 ) 0,25 0,25 3x02 x0 x0 1 x0 +Với x0 =2 y0 = 5/2M0( 2; 5/2) x0 = -1y0 = -2 M0( -1 ; -2 ) + Kiểm tra lại M0( 2,5/2) tiếp tuyến M0 có pt y= 6(x – 2)+5/2 ( nhận) M0(-1;-2)tiếp tuyến M0 có pt y 6( x 1) =6x+4(nhận) Câu 2(1,0 điểm) 2a(0,5 TXĐ: D=R điểm) y (ex ) (x x 1) ex (x x 1) ex (x x 1) ex (2x 1) x 0,25 0,25 0,25 e (x 3x ) 2b(0, điểm) y '(ln ) 2( ln2 ln 2) Điều kiện x Bất phương trình tương đương (4x 3)2 log3 2 2x 16x 42x 18 0,25 0,25 3 x3 3 Kết hợp điều kiện ta tập nghiệm bất phương trình S= ;3 4 0,25 Câu 3(1) u 2x du 2.dx Đặt dv sin xdx v cos x I (2x 1)cos x (2 cos x )dx = (2 1) sin x = 2 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 4(1,0 đ) Mặt cầu (S) có tâm I(2;–3;–3), bán kính R 22 (3)2 (3)2 17 cách từ tâm I đến mp(P): 2(3) 2(3) d d(I ,(P )) 1R 2 (2) Vì d(I ,(P )) R nên (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) 0,25 Khoảng Gọi d đường thẳng qua tâm I mặt cầu vuông góc mp(P) d có vtcp x t u (1; 2;2) nên có PTTS d : y 3 2t (*) Thay (*) vào pt mặt phẳng (P) z 3 2t ta (2 t ) 2(3 2t ) 2(3 2t ) 9t t 11 Vậy, đường tròn (C) có tâm H ; ; 3 3 Bán kính r R2 d Câu a(0,5 điểm) A Câu 5b(0, 5đ) 3sin 2cos 3tan 3 5sin 4cos cos tan 0,25 0,25 0,25 3tan 70 tan tan 139 -Có 10 đường kính đường tròn nối đỉnh đa giác - Một hình chữ nhật có đỉnh đỉnh đa giác tạo đường kính nói 4845 -Số cách chọn đỉnh đa giác là: C 20 0,25 0,25 0,25 45 -Số cách chọn đỉnh đa giác tạo thành hình chữ nhật C10 -Xác suất cần tìm : P= 45 4845 323 0,25 Câu 6(1,0 đ) S M A C H B + Kẻ SH vuông góc AC (H AC) SH (ABC) a SC BC a 3, SH , a2 SABC a3 VS ABC SABC SH Gọi M trung điểm SB góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) 0,25 0,25 0,25 Ta có: SA = AB = a, SC BC a AM SB CM SB AMC cos cos a a SB 2 2 AS AB SB 10a a 10 AM trung tuyến SAB nên: AM AM 16 2 a 42 AM CM AC 105 Tương tự: CM cos AMC 2.AM.CM 35 105 Vậy: cos 35 1800 BHD 450 Ta có BAD BHD Gọi n(a; b) (a b2 0) VTPT đường thẳng HB + SAC = BAC SH BH Câu 7(1,0 đ) Do đường thẳng HB tạo với đường thẳng HD góc 450 nên a 3b a 2b 2a 3ab 2b2 cos 450 2 a b 10 b 2a 0,25 0,25 Nếu a=-2b Chọn a=2,b=-1 Phương trình đường thẳng HB: 2x-y+2=0 B(b;2b+2), D(3d-1;d) b Do G trọng tâm tam giác ADC nên BG=2GD GB 2GD B(1;4), d D(2;1) 0,25 Phương trình đường thẳng AB: 3x+y-7=0; phương trình đường thẳng AD:x+2y-4=0 Suy A(2;1)(loại) Nếu b=2a Phương trình HB: x+2y+1=0 b B(-2b-1;b), D(3d-1;d) GB 2GD B(-5;2), D(5;2) 0,25 d Phương trình AB: 3x+y+13=0; Phương trình AD:2x-y-8=0 Suy A(-1;-10) Do ABCD hình bình hành suy AD BC suy C(1;14) 0,25 Thử lại: cos ABD =cos ( AB; AD) = BAD 45 (LOẠI) Câu 8(1,0 đ) 3 Từ phương trình (1) ta có x3 3x ( y 1)3 3( y 1) Điều kiện x Xét hàm số 0,25 f (t ) t 3t f '(t ) 3t f '(t ) với t suy hàm số f(t) đồng biến R f ( x) f ( y 1) x y 0,25 Thế x=y+1 vào phương trình (2) ta được: ( x 1)( 2x 7x 6) 3( x 1) (3) Ta có x=1 không nghiệm phương trình.Từ 3( x 1) ( 2x 7x 6) x 1 3( x 1) Xét hàm số g ( x) ( 2x 7x 6) x 1 TXĐ: D ; \ 1 g '( x) 2 2x 3 (7x 6) ( x 1) 3 g '( x) 0x ; x , g '( ) không xác định 2 Hàm số đồng biến khoảng ( ;1) (1; ) Ta có g(-1)=0; g(3)=0 Từ phương trình g(x)=0 có hai nghiệm x=-1 x=3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (-1;-2) (3;2) 0,25 0,25 Câu t2 t2 Đặt y+z=t (t>0); y z ; yz 2 5( x y z ) 9( xy yz xz) 2 0,25 5x 5( y z ) 9x( y z ) 28 yz 5x 5t 9xt 7t (5x t )(x 2t ) x 2t 2x P t 27t t 27t Xét hàm số f (t ) với t>0 t 27t f '(t ) t 9t f '(t ) t t 0,25 0,25 1 Lập bảng biến thiên từ suy GTLN P 16 đạt x ; y z 12 0,25 ...TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ NĂM HỌC 2015 – 2016 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN Nội dung Câu 1a