TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU TỔ TOÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không tính thời gian phát đề ) Câu (2 điểm) Cho hàm số y = x − x + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số, gọi đồ thị hàm sồ (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = x − 26 Câu (1 điểm) a) Cho tan x = Tính giá trị biểu thức: A = sin x + cos x cos x + sin x π sin x + xe x dx sin x + b) Tính tích phân: I = ∫ Câu (1 điểm) Giải bất phương trình: log ( x − x + 1) ≤ Câu (1 điểm) Cho 10 điểm phân biệt A1, A2,…,A10 có điểm A1, A2, A3, A4 thẳng hàng, điểm thẳng hàng Hỏi có tam giác có đỉnh lấy 10 điểm 6 xy + y + x − y + = x + y + x + x − y + 4 Câu (1 điểm) Giải hệ phương trình: 1 −x− + y +1 sin π x + cosπ y = 4 Câu (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, cạnh AC = 2a , góc BAC = 300 , SA vuông góc với đáy SA = a Tính thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách hai đường thẳng SB với AC Câu (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: 2 x + y + z + 2x + y + 4z + = a) Tìm tâm bán kính mặt cầu b) Lập phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(1;0;1); B(-1;1;2) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính lớn Câu (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B thuộc đường 2 tròn (C): x + y = 10 , đỉnh C thuộc đường thẳng có phương trình: x + y − = Gọi M hình −3 ; P(1;1) Tìm tọa 5 chiếu vuông góc B lên AC Trung điểm AM CD N độ đỉnh hình chữ nhật biết điểm B có hoành độ dương điểm C có tung độ âm 2x y Câu (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = + , biết x ≥ 0; y ≥ x + y = ĐÁP ÁN Câu Câu điểm Điể m Nội dung a 1) TXĐ: D=R 2) Sự biến thiên hàm số a) Giới hạn lim ( x3 − x + 1) = lim x3 (1 − + ) = +∞ x →+∞ x x 0,25 x →+∞ lim ( x3 − x + 1) = lim x3 (1 − + ) = −∞ x →−∞ x x x →−∞ Đồ thị hàm số đường tiệm cận b) Bảng biến thiên x = Ta có: y ' = x − x y ' = ⇔ x = BBT 0,25 x −∞ + y' - +∞ + +∞ y −∞ -3 Hàm số ĐB khoảng ( −∞;0 ) ( 2; +∞ ) Hàm số NB khoảng ( 0; ) Hàm số đạt cực tiểu xct = 2; yct = −3 Hàm số đạt cực đại xcd = 0; ycd = 3) Đồ thị Một số điểm thuộc đồ thị (1;-1); (3;1); (-1;-2) 0,25 0,25 b Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = x − 26 nên hệ số góc tiếp 0,25 tuyến k=9 x = −1 Ta có y ' = ⇔ x − x = ⇔ x − x − = ⇔ x=3 Với x = −1 ⇒ y = −3 ; tiếp tuyến có phương trình: y + = 9( x + 1) ⇔ y = x + Với x = ⇒ y = ; tiếp tuyến có phương trình: y − = 9( x − 3) ⇔ y = x − 26 (loại) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = x + Câu a 0,25 0,25 sin x + cos x điểm 0,25 A= sin x + cos x 2 tan x (1 + tan x ) + 4(1 + 4) + cos x = = =1 4 cos x + sin x + tan x + tan x + + 16 = cos x + sin x 0,5 cos x b π π π 2 sin x sin x x x + xe dx = ∫ dx + ∫ xe dx = J + K I = ∫ sin x + sin x + 0 π Tình J = ∫ π sin x dx = ∫ 2sin x cos x dx x + x + sin sin 0 Đặt t = sin x + ⇒ dt = cos xdx sinx = t − x = ⇒ t =1 x = J =∫ 2(t − 1) t π ⇒t =2 dx = ∫ (1 − ) dx = ( t − ln t ) = 2(1 − ln 2) t 0,25 π Tính K = ∫ xe dx x 0,25 Đặt u = x ⇒ du = dx dv = e x dx ⇒ v = e x π π π x x π π π π π K = x.e − ∫ e dx = e − e = e − e + 2 0 Vậy I = 2(1 − ln 2) + Câu π 2 x π π e − e +1 = + π π π e − e − ln x − 3x + ≤ x2 − 3x ≤ log ( x − x + 1) ≤ ⇔ ⇔ x x − + > x − 3x + > 0,25 điểm 0≤ x≤3 3− 0≤x< − x < ⇔ ⇔ 3 + < x≤3 + x > 2 0,25 3− 3+ ;3 ∪ 2 Vậy nghiệm bất phương trình là: S = 0; 0,5 Câu TH1 Chọn điểm điểm A4, A5,…A10 có C63 = 20 tam giác 0,25 điểm TH2 Chọn điểm điểm A4, A5,…A10 điểm điểm A1,…A4 0,25 có C62 C41 = 15.4 = 60 tam giác TH3 Chọn điểm điểm A4, A5,…A10 điểm điểm A1,…A4 có C C = 6.6 = 36 tam giác Vậy có 20+60+36=116 tam giác Câu điểm 6 xy + y + x − y + = x + y + x + x − y + (1) 4 1 sin π x + cosπ y = −x− + y + (2) 4 x≤ −1 Điều kiện: x − y ≥ −1 y≥ Biến đổi phương trình (1) ta có: 0,5 ( x − y )(3( x − y ) + ) + 2( x − y ) + − ( x − y ) + = x− y ⇔ ( x − y )(3( x − y ) + ) + =0 2( x − y ) + + ( x − y ) + ⇔ ( x − y ) 3( x − y ) + 0,25 =0 2( x − y ) + + ( x − y ) + + 0,5 TH1 Với x = y thay vào phương trình (2) ta có phương trình sin π x + cosπ x = −x− + x + (3) sin π x + Xét hàm số y1 = sin π x + cosπ x = Ta có: −1 ≤x≤ ⇔ −π ≤πx ≤ π 4 ⇔ 0≤πx+ π π ; y1 ' = π 2co s π x + 4 4 π ≤ π nên hàm số y1 ĐB −1 ; 4 Xét hàm số y2 = −x− + x + , dễ thấy hàm số NB −1 ; 4 Vậy phương trình (3) có nghiệm x = TH2 3( x − y ) + + = (4) 2( x − y ) + + ( x − y) + x≤1 Vì ⇒ x − y ≤ ⇒ 2( x − y ) + + ( x − y ) + ≤ + 2 y ≥ −1 Do đó: 2( x − y ) + + ≥ ( x − y) + 2+ Mặt khác x − y ≥ −1 ⇒ 3( x − y ) + ≥ −1 (6) Từ (5), (6) suy phương trình (4) vô nghiệm Vậy nghiệm hệ phương trình x = y = Câu điểm = 2+ > (5) 0,25 S H C A I K B 0,25 Tình thể tích khối chóp SABC Trong tam giác ABC ta có: AB = AC cos 300 = 2a = a 3, 0,25 BC = AC sin 30 = 2a = a Vậy thể tích khối chóp SABC a3 1 1 V = SA.S ABC = SA BA.BC = a.a.a = 3 6 Tình khoảng cách SB AC Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng Bx//AC Khi AC//(SBx), d ( AC ; SB ) = d ( A;( SBx )) Trong mặt phẳng (ABC) kẻ AK ⊥ Bx , AS ⊥ Bx ⇒ Bx ⊥ ( SAK ) ⇒ ( SBx ) ⊥ ( SAK ) Trong mặt phẳng (SAK) kẻ AH ⊥ SK ⇒ AH ⊥ ( SBx ) Vậy d ( A; ( SBx )) = AH 0,25 0,25 Trong tam giác ABK vuông K có BAK = 60 ta có AK = AB.cos60 = a = a 2 Trong tam giác SAK ta có: AH Vậy d ( AC ; SB ) = AH = = AS + AK = a + 3a = 3a ⇒ AH = a a Câu Mặt cầu có tâm I(-1;-1;-2) bán kính R = điểm Để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính lớn (P) 0,25 0,25 qua tâm I Ta có AB = (−2;1;1); AI = (−2; −1; −3) Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (ABI) 0,25 n = AB; AI = ( −2; −8; ) Phương trình mặt phẳng (P): −2( x − 1) − 8( y − 0) + 4( z − 1) = ⇔ − x − y + z − = Vậy (P): − x − y + z − = 0,25 Câu A D điểm N M P Q B C NQ / / AB Gọi Q trung điểm BM, suy PCQN hình bình hành NQ = AB Suy CQ//PN Trong tam giác BCN Q trực tâm nên CQ vuông góc với BN Vì PN vuông góc với BN Đường thẳng BN qua N vuông góc với PN nên có phương trình: 2x + y +1 = x = 1; y = −3 x + y = 10 B giao điểm đường tròn (C) BN ⇔ x = −9 ; y = 13 2 x + y + = 5 Vì B có hoành độ dương nên điểm B(1;-3) Gọi C(1-2c;c) CB = (2c; −3 − c); CP = (2c;1 − c) Do CP vuông góc với BC nên c = −1 CB CP = ⇔ 5c + 2c − = ⇔ c = Vì C có tung độ âm nên C(3;-1) x = xP − xc = −1 P trung điểm CD nên D D(-1;3) y D = y P − yc = x − = −4 x = −3 Ta có BA = CD ⇔ A ⇔ A yA + = yA = Vậy A(-3;1); B(1;-3); C(3;-1); D(-1;3) Câu điểm y Ta có P = + = 2x 0,25 0,25 1− x +5 Đặt t = x ≤ t ≤ Ta có P = t + 5 ; P ' = 2t − t t P' = ⇔ t = 5 P(1)=6, P(5)=26, P( ) = + 2 Ta có Pmax x =1 = 26 ⇔ y = 0,25 0,25 Từ giả thiết điều kiện x, y ta có : y = − x ≤ x ≤ 2x 0,25 Pmin x = log 5 = + ⇔ 2 y = − log 0,25 0,25 0,25 Chú ý: Nếu thí sinh có cách làm khác với đáp án logic kết cho điểm tối đa