Bất đẳng thức toán học

Tổng hợp tất cả các bài toán về bất đẳng thức cơ bản và nâng cao dành cho các bạn học sinh yêu môn toán và muốn học giỏi môn toán. Đây là tài liệu hữu ích cho những ai muốn học về bất đẳng thức, chuyên sâu về bất đẳng thức

GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan TÀI LIỆU BÀI GIẢNG KHÓA PEN – M – 2016 GV: Nguyễn Thanh Tùng BÀI SỬ DỤNG CHUỖI BẤT ĐẲNG THỨC I CHUỖI BẤT ĐẲNG THỨC I Cho a, b, c số thực dương ta có:  ( a  b) I.1) a  b   a b   2ab I.2) 1    a b ab  a b   2  ab a2  b2 Dấu “=” xảy a  b Chứng minh (Các bạn xem cuối tài liệu) CHÚ Ý:     (a  b)  2ab a, b   Đây bất đẳng thức quen thuộc với tần xuất có mặt đề thi Đại Học – THPTQG cao Khi sử dụng thi bạn phải chứng minh (“nhúng” đoạn chứng minh giảng thầy vào bài) Trong tài liệu để ghi lại nhiều lần cách chứng minh thầy bỏ qua (nghĩa bạn phải thêm đoạn vào ) Để vận dụng cách “linh hoạt” bất đẳng thức Các bạn cần hiểu rõ cách sử dụng, “ý nghĩa” hay bất đẳng thức Khi làm điều việc làm chủ chuỗi bất đẳng thức khó khăn (thầy phân tích kĩ giảng) Các chuỗi bất đẳng thức sử dụng nhiều hình thức khác ta gán hai biến a, b đại lượng khác nhau, ví I.1) I.2) viết dạng: Bất đẳng thức a  b   ab  a b   a4a   ab ; 1  4  a b ab 1  2    2 a b ab  a  b  a  b2 2 a  b4  a4b   2  a b ab … Các ví dụ minh họa Ví dụ Cho x, y, z số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức : P   2 2( x  y  z  xz )  x  y  yz x  y  z Phân tích hướng giải (Bài giảng) Tham gia khóa học HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Giải Áp dụng bất đẳng a  b  (a  b) hay 2( a  b )  a  b chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: 2( x  y  z  xz )   ( x  z )  y   x  z  y  2 2( x  y  z  xz )   x y z 3 Áp dụng bất đẳng thức a  b  ab hay ab  a  b chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: 3 3 yz  y.2 z  y  z   hay   2( x  y  z) x  y  yz x  y  y  z x  y  yz 8       với t  x  y  z  x  y  z  2( x  y  z ) x  y  z x  y  z  2( x  y  z ) t  2t Xét hàm số f (t )   với t  t  2t 3(t  1)(5t  3)  2 Ta có f '(t )   ; f '(t )   t  (do t  ) (t  3) 2t 2t (t  3)2 Bảng biến thiên: Khi P  Từ bảng biến thiên suy P  f (t )  f (1)  với t  x  z  y  2z 1 Dấu “=” xảy   x z  ;y x  y  z  t  1 Vậy P đạt giá trị lớn , x  z  ; y  Ví dụ (A,A1 – 2014) Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn điều kiện x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức P  x2 yz  yz   x  yz  x  x  y  z  Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: Áp dụng bất đẳng a  b  2ab chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: 2(1  yz )  x  y  z  yz  x  ( y  z )2  x( y  z )   yz  x( y  z ) x2 x2 x   Suy x  yz  x   x  x  x ( y  z )  x( x  y  z  1)  x  yz  x  x( x  y  z  1) x  y  z  Khi P  x y z  yz 1  yz   1  x  y  z 1 x  y  z 1 Tham gia khóa học HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan (a  b) chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: ( x  y  z )2 ( x  y  z) 2(1  yz )  x  y  z  yz  x  ( y  z )2    yz  x y z  yz ( x  y  z )2   1  Suy P  Đặt t  x  y  z  x  y  z 1 x  y  z 1 36 Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức a  b  Ta có t  ( x  y  z )  3( x  y  z )    t  Khi P   t2 t2   f (t ) Xét hàm số f (t )    với  t  t  36 t  36 t (t  2)(t  4t  9)   ; f '(t )   t  (t  1)2 18 18(t  1) Bảng biến thiên: Ta có f '(t )  Từ bảng biến thiên suy P  f (t )  f (2)  5 Khi x  y  z  P  Vậy giá trị lớn P 9 Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức a  b  (a  b) hay a  b  2(a  b ) chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: x  y  z   x  ( y  z )2   2(2  yz )   yz 1  yz t2 Suy P    Đặt t   yz  , đó: P     f (t ) 2t   yz  1 t2  với t  2t  2t 2(t  1)(4t  8t  9)    với t  , suy f (t ) nghịch biến với t  Ta có f '(t )  (2t  1)2 9(2t  1)2 Suy P  f (t )  f (1)  5 Khi x  y  z  P  Vậy giá trị lớn P 9 Xét hàm số f (t )   Ví dụ Cho hai số thực x, y thuộc khoảng (0;1) thỏa mãn ( x  y )( x  y )  xy ( x  1)( y  1)  12 x4  y4 Tìm giá trị lớn biểu thức sau P   3xy  xy 36  (1  x )(1  y ) Tham gia khóa học HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Phân tích hướng giải (Bài giảng) Giải 3 Ta có ( x  y )( x  y )  xy ( x  1)( y  1)   ( x3  y )( x  y )  xy ( x  1)( y  1) (*) Áp dụng bất đẳng thức a  b  ab chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: ( x  y )( x  y )  x y xy  x y    xy ( x  1)( y  1)  xy  xy  ( x  y )  1  xy xy  xy  Từ (*) (2*) , suy ra:    (2*)  x y  xy xy  xy   xy  xy  xy   xy  xy     xy  1   xy  Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức a  b  ab chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: (1  x )(1  y )  x 2 y  36 xy 12 x2 y 2  P   xy    xy  4 4 2 xy 36  36 xy  xy  x  y  x y  x y Đặt t   xy ,  xy  Xét hàm số f (t )  Ta có f '(t )    10  10 2    xy  hay t   1;  Khi P   t  t    10  2  t  với t   1;   t    10  2t   t   với t  1;  2 t t    10   10  1 Suy f (t ) đồng biến với t  1;  Dấu “=” xảy x  y      P  f (t )  f  10     1  , x  y  Vậy P đạt giá trị lớn 10 Ví dụ (B – 2013) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức : P  a  b  c  (a  b) (a  2c )(b  2c) Áp dụng bất đẳng thức Phân tích hướng giải (Bài giảng) Giải x y xy  2xy  x  y chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: a  b  4c a  b  2ab  4bc  4ca  2 2 2 2 a  b  a  b  2(b  c )  2(c  a )   2(a  b  c ) 9 Suy P  Đặt t  a  b2  c   , đó: P    2 t 2(t  4) a  b2  c  2(a  b  c ) (a  b) (a  2c)(b  2c )  (a  b) Tham gia khóa học HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng Xét hàm số f (t )   với t  t 2(t  4) Ta có f '(t )   HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan 9t (4  t )(4t  7t  4t  16)   t (t  4)2 t (t  4) Mà 4t  7t  4t  16  4(t  4)  t (7t  4)  với t  , suy f '(t )   t  Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy P  f (t )  Vậy P đạt giá trị nhỏ Dấu “=” xảy a  b  c  a  b  c  Ví dụ (B – 2014) Cho số thực a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện ( a  b)c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a b c   bc a  c 2(a  b) Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: x y Với a  , áp dụng bất đẳng thức x  y  xy hay xy  chuỗi bất đẳng I.1, ta được: a  bc a a 2a (1)   a (b  c) a  b  c a  b  c Với a  ta có Tương tự ta được: a 2a  (2) Từ (1) (2), suy bc a bc a 2a  bc a bc b 2b  ac abc Áp dụng bất đẳng thức x  y  xy chuỗi bất đẳng I.1, suy ra:  2(a  b) a  b  c  2( a  b) c 2( a  b) a  b  c     2    a  b  c 2(a  b)  a  b  c 2( a  b)  a  b  c 2( a  b ) 2 3 Khi a  0, b  c  P  Vậy giá trị nhỏ P 2 Chú ý: Ở toán ta dồn biến để dùng hàm số hàm số sau: c 2(a  b) c c 0 P      2t  f (t ) với t  a b a  b  c 2(a  b)  c 2(a  b)  t ab P Tham gia khóa học HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Ví dụ (Đề minh họa BGD – 2015) Xét số thực x Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: 3(2 x  x  1) 1 P   x  (3  3) x  x  (3  3) x  Phân tích hướng giải (xem giảng) Giải 1 2   chuỗi bất đẳng thức I.2) Khi đó: a b ab Áp dụng bất đẳng thức : 2 x  (3  3) x  Mặt khác, ta có:  2 x  (3  3) x  2  4x  x  3(2 x  x  1)  x  x   x  x  4x2  6x  2 Suy P   4x  6x  Cách trình bày 1: t 3 2  15 15  Đặt t  x  x    x     , đó: P    f (t ) 4 4 t  Xét hàm số f (t )  t 3 2 15  với t  t t t  2(t  3) (t  6)(t  6t  36) Ta có f '(t )     t 3 t t 6t t (t  3) 6t t (t  3) t t  2(t  3)  15  f '(t )   t    ;   , từ ta có bảng biến thiên: 4  Từ biến thiên ta có P  f (t )  f (6)  Dấu “=” xảy x  Vậy giá trị nhỏ P Cách trình bày 2: t2  2  15 15  Đặt t  x  x    x     , đó: P    f (t ) t 4  t2 3 2 15 t 2 t  2(t  3) Xét hàm số f (t )   với t  Ta có f '(t )    ; t t t2  3t t   15  f '(t )   t  2(t  3)   t  72(t  3)  (t  6)(t  6t  36)   t    ;      Từ ta có bảng biến thiên: Tham gia khóa học HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Từ biến thiên ta có P  f (t )  f ( 6)  Dấu “=” xảy x  Vậy giá trị nhỏ P 1   x y z x2  y 2z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  z x y Phân tích hướng giải (xem giảng) Giải 1 2 xy x  y Từ    xy  ( x  y ) z   , đó: x y z z z Ví dụ Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn: 2 x2  y2 2z ( x  y )  xy 2z 2z 2z  x  y  xy  x y x y            2 z x y z x y  z  z x y  z  z x y 1 x y 1  2 Áp dụng bất đẳng thức   chuỗi bất đẳng thức I.2), ta có:    a b ab z x y x y z x y Đặt t  , P  t  t   f (t ) với t  z t P 2t  t  (t  2)(2t  3t  6)  10 Ta có f '(t )  2t      với t  t t2 t2 Suy f (t ) đồng biến  2;   , f (t )  f (2)  hay P  x  y Dấu “=” xảy   x  y  z Vậy giá trị nhỏ P x  y  2z Ví dụ Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức: bc ca ab P   3a  bc 3b  ca 3c  ab Phân tích hướng giải (xem giảng) Giải Từ điều kiện a  b  c   3a  bc  ( a  b  c )a  bc  a (a  b)  c(a  b)  (a  b )(a  c ) Áp dụng bất đẳng thức 1   hay x y xy 11 1     chuỗi bất đẳng thức I.2), ta được: xy  x y  bc bc  1   bc     3a  bc (a  b)(a  c)  a  b a  c  Chứng minh tương tự ca ca  1      3b  ca  b  c b  a  ab ab  1      ca cb  3c  ab Tham gia khóa học HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN bc  1  ca  1  ab  1  Khi P            ab a c bc ba  ca cb facebook.com/ThayTungToan  bc  ca ab  ca ab  bc  a  b  c 3      hay P   2 ab bc ca  2 3 Với a  b  c  P  Vậy giá trị lớn P 2 Ví dụ Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P x  yz y  zx z  xy   y  zx z  xy x  yz Phân tích hướng giải (xem giảng) Giải 2 P x  yz y  zx z  xy   Ta có  3 y  3zx z  3xy x  yz Áp dụng bất đẳng thức a  b  2ab hay 2ab  a  b chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: y  zx  ( x  y  z ) y  zx  zx  ( x  y  z ) y  zx  z  x  x  y  z  xy  yz  zx Tương tự ta có: z  3xy  x  y  z  xy  yz  zx x  yz  x  y  z  xy  yz  zx P x  yz  y  zx  z  xy    P  Dấu “=” xảy x  y  z  x  y  z  xy  yz  zx Vậy P đạt giá trị nhỏ , x  y  z  Khi Ví dụ 10 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 32 P   2 2 x x y y  x y (1  z )3 Phân tích hướng giải (Bài giảng) Giải: Từ điều kiện ta có x, y , z  (0;1) Áp dụng bất đẳng thức 1   chuỗi bất đẳng thức I.2, ta được: x y x y 1 4     2 2 2 2 2 x x y y x y x x y y x y (x  y ) (1  z )2 32 32   f ( z ) Xét f ( z )   Suy P  với z  (0;1) 2 2 (1  z ) (1  z ) (1  z ) (1  z )3 Ta có f '( z)  16 z 96 16(6 z  17 z  19 z  6) 16(2 z  1)(3 z  z  6)    (1  z )3 (1  z )4 (1  z )3 (1  z )4 (1  z )3 (1  z )4 Tham gia khóa học HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN Suy f '( z )   z  z  (0;1) Bảng biến thiên: facebook.com/ThayTungToan x  y  x y   448     Từ bảng biến thiên ta có P  f ( z )  f    Dấu “=” xảy  z     27  z   x  y  z   Vậy P đạt giá trị nhỏ 448 , x  y  z  27 Ví dụ 11 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn điều kiện abc  b  2c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P    bca acb a bc Phân tích hướng giải (Bài giảng) Giải Từ điều kiện ta suy a   c b 1 Áp dụng bất đẳng thức   chuỗi bất đẳng thức I.2 x  y  xy chuỗi bất đẳng thức I.1, x y x y ta được: P   1 1 1       2     3  bc a a c b  bc a a b c   ac b a bc  4 3 1 3           a    2.2 a  hay P  2c 2b 2a a a c b a  Dấu “=” xảy a  b  c  Ví dụ 12 Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức: 3(b  c ) 4a  3c 12(b  c ) P   2a 3b 2a  3c Phân tích hướng giải (Bài giảng) Giải 3(b  c) 4a  3c 12(b  c) 4a  3b  3c 4a  3b  3c 4(4a  3b  3c) Ta có P  11   2 1 8   2a 3b 2a  3c 2a 3b 2a  3c    (4a  3b  3c)      2a 3b 2a  3c  Tham gia khóa học HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN 1 Áp dụng bất đẳng thức   chuỗi bất đẳng thức I.2, ta có: x y x y facebook.com/ThayTungToan 1  2a  3b  2a  3b 1 16        (4a  3b  3c)       16 16 2a 3b 2a  3c 4a  3b  3c  2a 3b 2a  3c      2a  3b 2a  3c 4a  3b  3c Hay P  11  16  P  Dấu “=” xảy 2a  3b  3c  Vậy P đạt giá trị nhỏ 2a  3b  3c  Ví dụ 13 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  Chứng minh rằng: 1 4      x y y z z x x 7 y 7 z 7 Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: 1 Áp dụng bất đẳng thức   chuỗi bất đẳng thức I.2, ta được: x y x y 1 4    x  y y  z x  y  y  z x  2y  z Áp dụng bất đẳng thức a  b  2ab chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: x2   2x  2 2  2( y  1)  2.2 y  y  2( x  y  z )  x  y  z   y   x  2y  z y  z2 1  2z  1 1 1       Tương tự ta có x y y z y 7 yz zx z 7 z x x y x 7 1 4      Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta được: x y y z z x x 7 y 7 z 7 Suy Dấu “=” xảy x  y  z  Ví dụ 14 (A – 2005) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn 1    Chứng minh : x y z 1   1 2x  y  z x  2y  z x  y  2z Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: 1 11 1 Áp dụng bất đẳng thức   hay     chuỗi bất đẳng thức I.2, ta được: a a ab a b 4 a b  1 1 1    1   1   1                   x  y  z ( x  y )  ( x  z )  x  y x  z    x y   x z   16  x y z  Tham gia khóa học HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN 1 1 1 1 1 2 Tương tự ta có:           x  y  z 16  x y z  x  y  z 16  x y z  Suy facebook.com/ThayTungToan 1 1 1 1         x  y  z x  y  z x  y  z 16  x y z  Dấu “=” xảy x  y  z  Ví dụ 15 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y   z Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  x y z2    x  yz y  zx z  xy Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: Ta có: z  xy  x  y   xy  ( x  1)( y  1) x  yz  x  y ( x  y  1)  x  y  y ( x  y )  ( x  y )( y  1) Tương tự ta có: y  zx  ( x  y )( x  1) x y z2  x2  y2  x  y z2      Khi P  ( x  y )( y  1) ( x  y )( x  1) ( x  1)( y  1) ( x  y )( x  1)( y  1) ( x  1)( y  1) Áp dụng bất đẳng thức a  b  x2  y  (a  b) ( a  b) ab  chuỗi bất đẳng thức I.1, ta có: ( x  y )2 ( x   y  1) ( x  y  2) ( x  1)( y  1)   4 ( x  y) x y z2  2 4( z  2) 4( z  2) Suy P        f ( z ) với z  ( x  y  2) ( x  y  2)2 x  y  ( x  y  2) z  ( z  1) ( x  y ) 4 2 4( z  2) 8( z  2) 6( z  3)    Xét hàm số f ( z )  với z  Ta có f '( z )   ; f '( z )   z  2 z  ( z  1) ( z  1) ( z  1)3 ( z  1)3 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, suy P  f ( z )  Vậy P đạt giá trị nhỏ  x  y; z   x  y  13 Dấu “=” xảy   x  y 1  z z  13 , x  y  z  Tham gia khóa học HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN Ví dụ 16 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức P  2( y  z  x )  xyz facebook.com/ThayTungToan Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: (a  b) a2  b2 Áp dụng bất đẳng thức a  b  hay a  b  2(a  b ) a  b  2ab hay ab  chuỗi 2 bất đẳng thức I.1, ta được: P  2( y  z  x)  xyz   y2  z2 2( y  z )  x  x 2 2  x.(1  x )  2(1  x )  x  x  f ( x) 2   2(1  x )  x  Xét hàm số f ( x)  2(1  x )  x  x với  x  2 Ta có f '( x)  2 x  x2  27 x  (27 x  5)  x x   2  x2 0  x  1  Khi f '( x)   x  (27 x  5)  x   27 x   x  2 (3 x  1)(9 x  1)(27 x  25)  2 Bảng biến thiên   10 Từ bảng biến thiên suy P  f ( x)  f     3 10 10 Khi x  ; y  z  P  Vậy giá trị lớn P 3 3 Ví dụ 17 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P x2 y2   ( x  y )2 2 ( y  z )  yz ( z  x )  zx Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: ( a  b) Áp dụng bất đẳng thức (a  b)2  4ab hay ab  chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: y2 y2 x2 x2 x2  (1) Tương tự ta có: (2)   ( y  z ) 9( y  z ) ( z  x)2  zx 9( z  x) ( y  z )  yz ( y  z )  Tham gia khóa học HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN Cộng (1) (2), kết hợp bất đẳng thức a  b  facebook.com/ThayTungToan (a  b) ( a  b) ab  chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: 2 x2 y2  x   y    x y            ( y  z )  yz ( z  x )2  zx  y  z   z  x    y  z z  x  2  ( x  y)2   (1  z )2  2  z ( x  y )  z (1  z ) 2      x  y  z ( x  y)  2  z 1  2             ( x  y)2  xy  z ( x  y )  z  9  (1  z )2  z 1   2  z ( x  y)  z  z (1  z )  z      z 1  Khi P     (1  z )  f ( z ) (*)  z 1   z 1  Xét f ( z )     (1  z ) với c  (0;1)  z 1  ( z  1)  43  (3 z  31)3  16 z   ( z  1)  Ta có f '( z )  ; f '( z )   z  (vì z  (0;1) ) z  ( z  1) 18( z  1) Dựa vào bảng biến thiên : f ( z )   với z  (0;1) (2*) 1 Dấu “=” xảy x  y  z  Vậy giá trị nhỏ P  Từ (*) (2*) suy P   Ví dụ 18 Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn x  y  z  26 Tìm giá trị lớn biểu thức: z z (9 x  y ) P  32 xy xy  13 Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: 2 Áp dụng bất đẳng thức a  b  2ab chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: 2( xy  13)  xy  x  y  z  ( x  y )  z  2( x  y ) z hay xy  13  ( x  y ) z Suy z  xy  13 Ta chứng minh z2 z2   xy  13 ( x  y) z z x y 9x  y  (xem cách phân tích giảng để biết ta có đánh giá này) 32 xy 2( x  y ) Tham gia khóa học HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN Thật vậy, bất đẳng thức tương đương: (9 x  y )( x  y )  16 xy  x  xy  y   (3 x  y )  (luôn đúng) Khi P  z z Đặt t   x  y 2( x  y ) Xét hàm số f (t )  t  facebook.com/ThayTungToan t2 z  , suy P  t   f (t ) x y t2 với t  Ta có f '(t )   t ; f '(t )   t  Bảng biến thiên: Từ suy P  f (t )  f (1)  Khi x  1; y  3; z  P  1 Vậy P có giá trị lớn 2 Chú ý: Có thể tìm giá trị lớn f (t ) cách biến đổi: f (t )  t  t2 1   (t  1)2   2 2 Ví dụ 19 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x   y  1  z  Tìm giá trị lớn biểu thức P  y  x  z   x  y  z2 1 2 Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: 2 a b ( a  b) Áp dụng bất đẳng thức ab   a  b chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: 2 2 2y   x  z a  b) 1   y2  x2  z2  (suy từ a  b   2ab ) : P  2 2 x  y  z 1 x  y  z2 1 2 Từ giải thiết ta có  x   y  1  z   x  y  z  1 , suy  x  y  z  2 Đặt t  x  y  z    t  2 1 Xét hàm số f  t   t   ; t  Ta có f '  t     với t  1;5 t t 21 Suy f (t ) đồng biến 1;5 , P  f (t )  f      5  x  z  21 Đẳng thức xảy  Vậy max P   y  Tham gia khóa học HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN Ví dụ 20 Cho x, y, z số thực thỏa mãn x  y  z  xyz  Tìm giá trị lớn biểu thức P  2( x  y  z )  xyz facebook.com/ThayTungToan Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: Không tính tổng quát, giả sử x   x; y; z , xyz   x  Mặt khác x  y  z   x   x   3;0 ( x  z )2 y2  z2 hay y  z  2( y  z ) yz  chuỗi bất đẳng I.1, ta 2 y2  z2  x x3 5x được: P  2( x  y  z )  xyz  x  2( y  z )  x  x  2(9  x )  x    2(9  x ) 2 2 x 5x Xét hàm số f ( x )    2(9  x ) với x   3;0 2 Áp dụng bất đẳng thức y  z    Ta có f '( x)    3x 2 x (3x  5)  x  2 x    2  x2  x2 3x   Khi f '( x)   (3 x  5)  x  2 x   2 2 (3x  5) (9  x )  x 2 3 x  2  x 3x       9 x  111x  327 x  225   x    x 5 1 25  x   x  1   3; 0  3 Ta có f ( 3)  6 ; f (1)  10 f (0)   f ( x)  f ( 1)  10  x  1; y  z   x  1 Dấu “=” xảy    2 y  z  x  y  z  Vậy P đạt giá trị nhỏ 10 , x  1 ; y  z  Chú ý: Ở toán không cần điều kiện xyz  Khi bạn tham khảo bước giải sau: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (sẽ tìm hiểu kĩ học sau), ta có: 2( x  y  z )  xyz  x (2  yz )  ( y  z ).2   ( x  ( y  z )2   (2  yz )2    (2 yz  9)( y z  yz  8) Đặt t  yz , suy ra: P  2( x  y  z )  xyz  (2t  9)(t  4t  8)  f (t ) Giả sử x  max  x , y , z   3x  x  y  z   x   y  z   yz  Ta dễ dàng chứng minh y2  z2  hay t  (2t  9)(t  4t  8)  10 với t  Khi ta suy đáp số toán Tham gia khóa học HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng  HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan BÀI LUYỆN THÊM Bài Cho số thực x, y thỏa mãn x  y  Chứng minh xy (4 x  y )  Bài Cho số thực x, y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức M  x3  y3  ( x  y ) ( x  1)( y  1) Bài Cho số thực dương a, b, c, d Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M (a  b)(a  b  c)(a  b  c  d )2 abcd Bài Cho a, b  c  Chứng minh rằng: c(a  c)  c (b  c )  ab Bài Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện x  16 y  2(2 xy  5)  41 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  xy  x  y2  Bài Cho x, y, z số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức : 4 P   x  y  z  ( x  y ) ( x  z )( y  z ) ( y  z ) ( y  x)( z  x ) 1 1 thỏa mãn:   2 a 1 b 1 c 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P    4a  4b  4c  Bài Cho a, b, c số thực lớn  Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  Chứng minh rằng: 1 1 1      x  y y  3z z  3x x  y  z  Bài Cho a, b, c số thực không âm đôi phân biệt thỏa mãn ab  bc  ca  1   Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  2 ( a  b ) (b  c ) (c  a ) Bài 10 Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x  y  z  xyz  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  xy  yz  zx  xyz Bài 11 Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn biểu thức: P  a  b  c   a  1 b  1 c  1 Bài 12 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  2b  c  a  b  c  ab  bc  ca  ac2 a  b 1  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  a (b  c)  a  b  (a  c )(a  2b  c ) Tham gia khóa học HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan CHUỖI BẤT ĐẲNG THỨC I Cho a, b, c số thực dương ta có: I.1) a  b  ( a  b) 2   a b   2ab 1    a b ab I.2)  a b   2  ab a2  b2 Dấu “=” xảy a  b Chứng minh (a  b) Để chứng minh chuỗi bất đẳng thức I.1) ta cần chứng minh bất đẳng thức a  b  ; 2     a b a b ( a  b)   2ab Song để tiện cho việc làm ví dụ tập, ta chứng 8 minh “đầy đủ” bất đẳng thức tạo từ chuỗi bất đẳng thức I.1) tương tự ta chứng minh 10 bất đẳng thức từ chuỗi bất đẳng thức I.2) Chuỗi bất đẳng thức I.1) ( a  b) a2  b2    a b   2ab (a  b) 2 1) Chứng minh: a  b  ( a  b) Ta có a  b   2(a  b )  (a  b)  (a  b)  a, b   (đpcm) 2 ( a  b) 2) Chứng minh:   a b   Với a, b  áp dụng 1) ta có a  b   3) Chứng minh: a b  Áp dụng AM – GM ta có: 4) Chứng minh: a  b  2  ( a  b)   a b  4 ( a  b)    a b  (đpcm)   a b  2ab a  b  ab  a b   a b    16ab  a b    Từ 1) 2) suy a  b a b   2ab (đpcm) ( a  b) 5) Chứng minh:  2ab ( a  b) Ta có:  2ab  (a  b)2  4ab   (a  b)2  (đpcm) 6) Chứng minh: a  b  2ab Ta có: a  b  a 2b  ab  2ab (hoặc chứng minh a  b  2ab  a  b  2ab   (a  b)  ) Tham gia khóa học HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN Chuỗi bất đẳng thức I.2) 1) Chứng minh: 1    a b ab  a b  ab 2) Chứng minh:  a b  2  ab a2  b2  a b    1   (đpcm) a b ab a  b  ab  Áp dụng bđt AM – GM ta có:  a b  a b   ab   ab  a b  (đpcm) ab Áp dụng bđt AM – GM ta có: a  b  ab  2(a  b)  4) Chứng minh:  1   a b ab Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có : 3) Chứng minh: facebook.com/ThayTungToan  a b    a b   (đpcm) ab 2 a2  b2 2 16 Ta có     2( a  b )  ( a  b)  ( a  b)  (đpcm) 2 2 a b ( a  b ) a  b a b 1 5) Chứng minh:   a b a b   1   a b ab Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có : Mặt khác: a  b  ab   a b   ab  ab   a b  , suy 1   a b  a b  (đpcm)  ab a  b 6) Chứng minh:  (đpcm) ab a  b Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có : a  b  ab  7) Chứng minh: 8  a b  2  a  b2 Ta có a  b  2ab  2(a  b )  (a  b)2  a  b   Áp dụng (*) ta có: a  b  Từ (*) (2*), suy a  b a b  2   ( a  b)   a b   ( a  b) (*) a b  (2*)  a b  2  a b    a b   2 a  b2 (đpcm) Tham gia khóa học HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan 1   a b ab 1 Ta có:    ( a  b)  4ab  (a  b)  (đpcm) a b a b 2 9) Chứng minh:  ab a2  b2 8) Chứng minh: Ta có  ab 2 2  a b 1 10) Chứng minh:   a b   a  b2  2ab  (a  b)  (đpcm) ab a  b 2 a  b2 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: Suy 1   a b 2 a  b2 1 2   a  b  2ab     a b ab a  b ab ab a  b2 (đpcm) CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU GV: Nguyễn Thanh Tùng Tham gia khóa học HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! [...]... 2 4 a b a b ( a  b) 2  và  2ab Song để tiện cho việc làm trong các ví dụ và bài tập, ta sẽ chứng 2 8 8 minh “đầy đủ” 6 bất đẳng thức được tạo ra từ chuỗi bất đẳng thức I.1) và tương tự ta cũng sẽ đi chứng minh 10 bất đẳng thức từ chuỗi bất đẳng thức I.2) Chuỗi bất đẳng thức I.1) ( a  b) 2 a2  b2   2  a b  4 8  2ab (a  b) 2 2 1) Chứng minh: a 2  b 2  ( a  b) 2 Ta có a  b   2(a 2... Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan CHUỖI BẤT ĐẲNG THỨC I Cho a, b, c là các số thực dương ta có: I.1) a 2  b 2  ( a  b) 2 2   a b  4  2ab 8 1 1 2    a b ab I.2) 8  a b  2  4 2 2  ab a2  b2 Dấu “=” xảy ra khi a  b Chứng minh (a  b) 2 Để chứng minh chuỗi bất đẳng thức I.1) ta chỉ cần chứng minh 3 bất đẳng thức a  b  ; 2 2   4   2 4 a b a b ( a  b) 2  và... nhỏ nhất của biểu thức : P x2 y2 3   ( x  y )2 2 2 ( y  z )  5 yz ( z  x )  5 zx 4 Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: ( a  b) 2 Áp dụng bất đẳng thức (a  b)2  4ab hay ab  trong chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: 4 y2 4 y2 x2 x2 4 x2  (1) Tương tự ta có: (2)   ( y  z ) 2 9( y  z ) 2 ( z  x)2  5 zx 9( z  x) 2 ( y  z ) 2  5 yz 2 ( y  z )  5 4 Tham gia các khóa học trên HOCMAI.VN... 9 Từ (*) và (2*) suy ra P   Ví dụ 18 Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x 2  y 2  z 2  26 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: z z (9 x  y ) P  32 xy xy  13 Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: 2 2 Áp dụng bất đẳng thức a  b  2ab trong chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: 2( xy  13)  2 xy  x 2  y 2  z 2  ( x  y ) 2  z 2  2( x  y ) z hay xy  13  ( x  y ) z Suy ra z  xy... 2 2 2 2 2 Ví dụ 19 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x 4   y 2  1  z 4  3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  2 y  x  z   1 x  y  z2 1 2 2 Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: 2 2 a b ( a  b) 2 Áp dụng bất đẳng thức ab  và  a 2  b 2 trong chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: 2 2 2 2 2y   x  z a  b) 2 1 1  2  y2  x2  z2  2 (suy ra từ a  b   2ab ) : P  2 2 2... x y z2  2 x2  y2  x  y z2  2     Khi đó P  ( x  y )( y  1) ( x  y )( x  1) ( x  1)( y  1) ( x  y )( x  1)( y  1) ( x  1)( y  1) Áp dụng bất đẳng thức a 2  b 2  x2  y 2  (a  b) 2 ( a  b) 2 và ab  trong chuỗi bất đẳng thức I.1, ta có: 2 4 ( x  y )2 ( x  1  y  1) 2 ( x  y  2) 2 và ( x  1)( y  1)   2 4 4 ( x  y) 2 x y z2  2 2 4( z 2  2) 2 4( z 2  2) 2 Suy ra... các khóa học trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN 2 Cộng (1) và (2), kết hợp bất đẳng thức a 2  b 2  facebook.com/ThayTungToan 2 (a  b) ( a  b) và ab  trong chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được: 2 4 2 2 2 x2 y2 4  x   y   4 1  x y            ( y  z ) 2  5 yz ( z  x )2  5 zx 9  y  z   z  x  ... Chứng minh:  2 1 1 2   a b ab Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có : 3) Chứng minh: 8 facebook.com/ThayTungToan  a b  8 2   a b  2  4 (đpcm) ab 2 2 a2  b2 4 2 2 16 8 Ta có    2  2( a 2  b 2 )  ( a  b) 2  ( a  b) 2  0 luôn đúng (đpcm) 2 2 2 2 a b ( a  b ) a  b a b 1 1 8 5) Chứng minh:   2 a b a b   1 1 2   a b ab Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có : Mặt khác: a  b ... 4 Tham gia các khóa học trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! GV: Nguyễn Thanh Tùng HOCMAI.VN Ví dụ 16 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  z 2  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  2( y  z  x )  9 xyz facebook.com/ThayTungToan Phân tích hướng giải: (Bài giảng) Giải: 2 (a  b) a2  b2 Áp dụng bất đẳng thức a 2  b 2  hay... 9  x   3;0 ( x  z )2 y2  z2 hay y  z  2( y 2  z 2 ) và yz  trong chuỗi bất đẳng I.1, ta 2 2 y2  z2 9  x 2 x3 5x được: P  2( x  y  z )  xyz  2 x  2( y 2  z 2 )  x  2 x  2(9  x 2 )  x    2 2(9  x 2 ) 2 2 2 2 3 x 5x Xét hàm số f ( x )    2 2(9  x 2 ) với x   3;0 2 2 Áp dụng bất đẳng thức y 2  z 2    Ta có f '( x)    3x 2 5 2 2 x (3x 2  5) 9  x 2  2 2 x  ... giảng) Giải: 1 Áp dụng bất đẳng thức   chuỗi bất đẳng thức I.2, ta được: x y x y 1 4    x  y y  z x  y  y  z x  2y  z Áp dụng bất đẳng thức a  b  2ab chuỗi bất đẳng thức I.1, ta được:... 8 minh “đầy đủ” bất đẳng thức tạo từ chuỗi bất đẳng thức I.1) tương tự ta chứng minh 10 bất đẳng thức từ chuỗi bất đẳng thức I.2) Chuỗi bất đẳng thức I.1) ( a  b) a2  b2    a b   2ab... chuỗi bất đẳng thức I.1) ta cần chứng minh bất đẳng thức a  b  ; 2     a b a b ( a  b)   2ab Song để tiện cho việc làm ví dụ tập, ta chứng 8 minh “đầy đủ” bất đẳng thức tạo từ chuỗi bất