đề thi vào lớp 10 chuyên toán ĐH vinh vòng 2 năm 2011

rất hay và khó dành cho những người có ý định thi vào THPT chuyên toán. Có đủ các phần, rất tốt cho các bạn ôn luyện. chúc may mắn.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH THPT CHUYÊN NĂM 2011 Môn Toán – Vòng Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Cho phương trình x − 4x + m − 3m = (1) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Giả sử x1 , x hai nghiệm phương trình (1) Hãy tìm giá trị m cho x1 = x 22 − x Câu Tìm số nguyên không âm a, b cho a − b − 5a + 3b + số nguyên tố Câu Giả sử x, y, z số thực không âm thỏa mãn hệ thức x + y + z = Hãy tìm giá trị lớn biểu thức P = x y + y z + z x Câu Cho nửa đường tròn ( O; R ) đường kính AB M điểm nửa đường tròn Gọi H thuộc AB cho MH ⊥ AB Tia phân giác góc HMB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMH điểm thứ hai I cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BMH điểm thứ hai J Gọi E, F trung điểm MA, MB Chứng minh E , I , F thẳng hàng Gọi K trung điểm IJ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác KEF theo R Câu Bên hình lục giác có cạnh cho 81 điểm phân biệt Chứng minh tồn hình vuông có cạnh (kể biên) chứa điểm số điểm cho Ghi chú: Cán coi thi giải thích thêm! ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Nội dung Điểm Câu ( 3,5đ) 1.Phương trình (1) có nghiệm ∆ / = − m + 3m ≥ ⇔ m − 3m − ≤ 0,75 ⇔ (m + 1)(m − 4) ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ (2) 0,75 x + x = Theo hệ thức Viet ta có   x x = m − 3m Từ điều kiện toán ta có: − x = x 22 − 4x ⇔ x 22 − 3x − = ⇔ x = −1, x = 0,75 Với x = −1 ⇒ x = x = ⇒ x = Khi 0,5 - m − 3m = −5 ⇔ m − 3m + = ⇒ V N - m − 3m = ⇔ m = 0, m = ( Thỏa mãn ĐK(2)) Câu (1,5đ) 0,75 Đặt A = a − b − 5a + 3b + , dễ thấy A số chẵn Do A số nguyên tố A = , hay A = a − b − 5a + 3b + = , 0,5 suy (a + b − 4)(a − b − 1) = Ta xét trường hợp sau : a + b − = ⇔ a = 4, b = a − b − = - a + b − = ⇔ a = 4, b = a − b − = -  a + b − = −1 ⇔ a = 1, b =  a − b − = −2 - 0,5  a + b − = −2 ⇔ a = 1, b =  a − b − = −1 -  0,5 Câu (1,5đ) Đặt x = max { x, y, z} ⇒ y ≤ x ⇒ y 3z ≤ x2yz z ≤ x ⇒ z3x ≤ z2x2 ≤ zx3 0,5 Khi đó: 1 P ≤ x y + x yz + z x + z x 2 ≤ x y + x yz + 2 z zx + z x = x ( x + z )( y + ) 2 0,5 z x x x + z  2z   ⇒ P ≤ x2 ( x + z )  y + ÷ ≤ 27 y + ÷ 2 3  3  Áp dụng BĐT Cosi cho số không âm ta có: x + y + z P ≤ 27  ÷ = 432   Dấu xảy x = 6, y = 2, z = Vậy MaxP = 432 0,5 Câu ( 2,5đ) Gọi N giao điểm đường thẳng MI AB Ta có ∠AMN = ∠AMH + ∠HMN = ∠MBN + ∠BMN = ∠ANM Do tam giác AMN cân 0,5 (Hay ∠ANM = 90 − ∠HMN = 90 − ∠NMB = ∠AMN ⇒ tam giác AMN cân A , AI ⊥ MN ⇒ AI đường trung tuyến ⇒ I trung điểm MN ) Vì MJ tia phân giác ∠BMH nên J điểm cung BH ⇒ FJ ⊥ AB ⇒ ∠EFJ = 90 0,5 Trong tam giác vuông IFJ ⇒ KI = KJ = KF ⇒ ∠EFK = ∠KIF = ∠MIE = ∠EMK ⇒ EMFK tứ giác nội tiếp ⇒ K nằm đường tròn đường kính EF = AB = R Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác KEF R 0,5 0,5 0,5 Câu (1đ) Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp lục giác có cạnh 2, (O) có bán kính R = Gọi ABCD hình vuông ngoại tiếp (O) Cạnh hình vuông Chia hình vuông 0,5 thành 16 hình vuông nhỏ, có cạnh Rõ ràng 16 hình vuông chứa 81 điểm cho Vì 81 = 16 x +1 nên theo nguyên lý Dirichle tồn hình vuông cạnh chứa điểm số điểm cho 0,5