GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Kiến thức Để giải toán cách lập hệ phương trình ta thực theo bước sau : - bước : lập hpt (bao gồm công việc sau) + chọn ẩn đặt điều kiện thích hợp cho ẩn) + biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết + lập hpt biểu thị tương quan đại lượng - bước : giải hpt vừa lập đc bước - bước : kết luận : so sánh nghiệm tìm đc với điều kiện đặt ban đầu B Bài tập áp dụng Dạng 1: Toán tìm số - Ta phải ý tới cấu tạo số có hai chữ số , ba chữ số …viết hệ thập phân Điều kiện chữ số Bài 1: Tìm hai số biết lần số thứ hai cộng với lần số thứ 18040, lần số thứ lần số thứ hai 2002 LG - gọi số thứ x, số thứ hai y ( x, y ∈ N ) 5 x + y = 18040 x = 2004 ⇔ 3 x − y = 2002 y = 2005 - theo ra, ta có : Bài Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết số gấp lần tổng chữ số Nếu viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại đc số lớn số ban đầu 36 đơn vị LG - gọi số tự nhiên cần tìm có dạng: ab ( a, b ∈ N ;0 < a, b ≤ ) ab = 4(a + b) a = ⇔ ⇔ ab = 48 b = ba − ab = 36 - theo ra, ta có: Bài Tìm số có hai chữ số Biết viết thêm số vào bên phải số số có ba chữ số số phải tìm 577 số phải tìm số viết theo thứ tự ngược lại 18 đơn vị LG - gọi số tự nhiên cần tìm có dạng: ab ( a, b ∈ N ;0 < a ≤ 9;0 ≤ b ≤ ) ab1 − ab = 577 - theo ra, ta có: ab − ba = 18 10a + b = 64 a = ⇔ ⇔ ⇔ ab = 64 a − b = b = Bài Tìm số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số nhỏ số lần thêm 25 vào tích hai chữ số số viết theo thứ tự ngược lại với số phải tìm LG - gọi số tự nhiên cần tìm có dạng: ab ( a, b ∈ N ;0 < a, b ≤ ) 25 a = loai ab = ( a + b ) 4a = 5b a = b ⇔ ⇔ ⇔ b = - theo ra, ta có: ab + 25 = ba ab + 25 = ba b − 9b + 20 = a = thoa man b = - số cần tìm : 54 Dạng 2: Toán làm chung, làm riêng - Ta coi toàn công việc đơn vị, gọi thời gian làm xong công việc x đơn vị thời gian làm công việc x * Ghi nhớ : Khi lập pt dạng toán làm chung, làm riêng không cộng cột thời gian, suất thờ i gian dòng số nghịch đảo Bài 1: Hai vòi nước chảy vào bể nước đầy bể Nếu vòi thứ chảy giờ, vòi thứ chảy bể Hỏi vòi chảy đầy bể? LG * lập bảng TGHTCV Năng suất 1h Năng suất 2h Năng suất 3h V1 x V2 y Cả V x x y y 1 1 x + y = x = 10 ⇔ * ta có hpt: y = 15 2 + = x y Bài 2: Hai tổ làm chung công việc 12 xong, hai tổ làm tổ (I) đc điều làm việc khác , tổ (II) làm nốt 10 xong công việc Hỏi tổ làm riêng xong việc * lập bảng Tổ Tổ Cả tổ TGHTCV x y 12 Năng suất 1h 1/x 1/y 1/12 Năng suất 4h 4/12 = 1/3 Năng suất 10h 10/y 1 1 x + y = 12 x = 60 ⇔ * ta có hpt: y = 15 + 10 = y Bài 3: Hai vòi nước chảy vào bồn nước Nếu vòi chảy 3h dừng lại, sau vòi chảy tiếp 8h đầy bồn Nếu cho vòi chảy vào bồn nước 1h, cho vòi chảy tiếp 4h số nước chảy vào 8/9 bồn Hỏi chảy vòi chảy đầy bồn? * lập bảng Vòi Vòi Cả vòi Thời gian chảy x y 1h 4h 3h 8h 1/x 4/x 3/x 8/9 4/y 8/y 3 x + y =1 x = ⇔ * ta có hpt: y = 12 1 + + = x x y bể Nếu vòi thứ chảy 10 giờ, vòi thứ hai chảy hai vòi chảy bể Tính thời gian vòi Bài 4: Hai vòi nước chảy vào bể cạn chảy đầy bể * lập bảng Vòi x 1/x TGHTCV Năng suất 1h Năng suất 2h Năng suất 3h Vòi y 1/y 2/y Cả vòi 3/10 4/5 3/x 1 x + y = 10 x = ⇔ * ta có hpt: y = 10 3 + = x y Dạng Toán chuyển động Bài Quãng đường AC qua B dài 270km, xe tải từ A đến B với vận tốc 60km/h từ B đến C với vận tốc 40km/h, tất hết 6giờ, Tính thời gian ô tô quãng đường AB BC * Lập bảng Thời gian Vận tốc Quãng đường x AB 60 60x y BC 40 40y x = x + y = ⇔ * Ta có hệ phương trình: 60 x + 40 y = 270 y = Bài Một ô tô xe đạp chuyển động từ hai đầu quãng đường sau gặp Nếu chiều xuất phát điểm, sau hai xe cách 28km Tính vận tốc xe đạp ô tô biết quãng đường dài 180km * Sơ đồ: A XM Gnhau XD XD XM B * Lập bảng: Xe đạp Xe máy V t (đi ngược chiều) x y 3 S (đi ngược chiều) 3x 3y t (đi chiều) 1 S (đi chiều) x y 3 x + y = 180 x + y = 60 x = 16 ⇔ ⇔ − x + y = 28 − x + y = 28 y = 44 * Ta có hệ phương trình: Bài 3: ô tô qđ AB với vận tốc 50km/h, tiếp qđ BC với vận tốc 45km/h Biết tổng chiều dài qđ AB BC 165km thời gian ô tô qđ AB thời gian ô tô qđ BC 30ph Tính thời gian ô tô qđ? Gọi thời gian ô tô AB, BC x, y 50 x + 45 y = 165 x = ⇔ Ta có hệ phương trình: x = y − y = Bài 4: ca nô xuôi dòng quãng sông dài 12km, ngược dòng quãng sông 2h30ph Nếu quãng sông ấy, ca nô xuôi dòng 4km ngược dòng 8km hết 1h20ph Tính vận tốc riêng ca nô vận tốc dòng nước? - gọi v ca nô x, v dòng nước y (km/h; x > y > 0) - v xuôi: x+y - v ngược: x-y 12 x+ y + - ta có hpt + x + y 12 = x− y giải hệ ta x = 10 ; y = (tmđk) = x− y Bài 5: Một ca nô chạy sông xuôi dòng 84 km ngược dòng 44 km Nếu ca nô xuôi dòng 112 km ngược dòng 110 km giờ.Tính vận tốc riêng ca nô vận tốc dòng nước - gọi x, y vận tốc riêng ca nô vận tốc dòng nước (km, < y < x) - vận tốc xuôi ca nô: x + y - thời gian xuôi dòng 84km là: 84/x+y - thời gian xuôi dòng 112km là: 112/x+y - vận tốc ngược ca nô: x - y - thời gian ngược dòng 44km là: 44/x-y - thời gian ngược dòng 110km là: 110/x-y - theo ta có hệ phương trình: 84 x+ y + 112 + x + y 44 =5 x− y 1 = a; =b đặt x+ y x− y 110 =9 x− y Dạng Toán liên quan tới yếu tố hình học - Ta phải nắm công thức tính chu vi; diện tích tam giác, hình thang, hình chữ nhật, hình vuông, định lý Pi-ta-go Bài 1: HCN có chu vi 80m Nếu tăng chiều dài thêm 3m, tăng chiều rộng thêm 5m diện tích mảnh đất tăng thêm 195m2 Tính chiều dài, chiều rộng mảnh đất Gọi chiều dài x, chiều rộng y ( x + y ) = 80 x = 30 ⇔ y = 10 ( x + 3) ( y + ) = xy + 195 Ta có hpt Bài 2: ruộng HCN, tăng chiều dài thêm 2m tăng chiều rộng thêm 3m diện tích tăng thêm 100m2 Nếu giảm chiều dài chiều rộng 2m diện tích giảm 68m Tính diện tích ruộng đó? Gọi chiều dài HCN x Gọi chiều rộng HCN y ( x + ) ( y + 3) = xy + 100 x = 22 ⇔ y = 14 ( x − ) ( y − ) = xy − 68 Ta có hpt Dạng Toán suất * Chú ý: - Năng suất (NS) số sản phẩm làm đơn vị thời gian (t) - (NS) x (t) = Tổng sản phẩm thu hoạch ... = x + y = ⇔ * Ta có hệ phương trình: 60 x + 40 y = 270 y = Bài Một ô tô xe đạp chuyển động từ hai đầu quãng đường sau gặp Nếu chiều xuất phát điểm, sau hai xe cách 28km Tính vận tốc... x + y = 180 x + y = 60 x = 16 ⇔ ⇔ − x + y = 28 − x + y = 28 y = 44 * Ta có hệ phương trình: Bài 3: ô tô qđ AB với vận tốc 50km/h, tiếp qđ BC với vận tốc 45km/h Biết tổng chiều dài... ô tô qđ? Gọi thời gian ô tô AB, BC x, y 50 x + 45 y = 165 x = ⇔ Ta có hệ phương trình: x = y − y = Bài 4: ca nô xuôi dòng quãng sông dài 12km, ngược dòng quãng sông 2h30ph Nếu