.ne t CHỨNG MINH BĐT DỰA VÀO BĐT CAUCHY Nguyễn Công Định - GV THPT Đầm Dơi - Cà Mau Trước hết ta nhắc lại hai phát biểu đơn giản Cauchy: (1): Cho A, B không âm: A + B ≥ AB (2): Cho A, B,C không âm: A + B +C ≥ ABC Từ (1), (2) ta thu BĐT thức không phần quan trọng sau: (4) : ABC ≤ nh oc A +B (3) : AB ≤ A + B +C 3 (5) : 1 + ≥ A B A +B (6) : 1 + + ≥ A B C A + B +C (7) : (A + B )2 ≤ A + B (8) : (A + B +C )2 ≤ A + B +C toa Học sinh chứng minh khẳng định tương đối đơn giản Điểm chung từ (1) đến (8) dấu “=” xảy A = B = C Bây ta giải số toán cụ thể Bài Cho a, b, c dương a + b + c = Chứng minh: Hướng dẫn: Ta có: a+ b+ c ≤3 an a +1+1 ≥ 3 a ⇒ 3V T ≤ a + b + c + = ⇒ V T ≤ b +1+1 ≥ b c +1+1 ≥ c Để tiện cho việc trình bày, từ tập sau thích thêm ta xem a, b, c dương nd Bài Cho a + b + c = Chứng minh: 1 + + >4 a +b b +c c +a Hướng dẫn: (Sử dụng (6)) 9 = > a +b +b +c +c +a Bài Cho a + b + c = Chứng minh: (a + b) (b + c) (c + a) ≤ die VT ≥ 27 Hướng dẫn: (Sử dụng (3)) diendantoanhoc.net VT ≤ a +b +b +c +c +a 3 = 3 = 27 1 1 + + = Chứng minh: 1+a 1+b 1+c abc ≥ Hướng dẫn: Với lưu ý: 1− ne t Bài Cho a b c = ; 1− = ; 1− = 1+a 1+a 1+b 1+b 1+c 1+c nên: a 1 = + ≥ 1+a 1+b 1+c (1 + b) (1 + c) b 1 = + ≥ 1+b 1+c 1+a nh oc (1 + c) (1 + a) c 1 = + ≥ 1+c 1+a 1+b Suy (1 + a) (1 + b) abc ≥ (1 + a) (1 + b) (1 + c) (1 + a) (1 + b) (1 + c) Từ đó, ta có đpcm Bài Cho 1 + + ≥ Chứng minh: 1+a 1+b 1+c Hướng dẫn: Với lưu ý: abc ≤ toa 1 b c ≥ 1− +1− = + 1+a 1+b 1+c 1+b 1+c nên: b c ≥ + ≥ 1+a 1+b 1+c (1 + c) (1 + a) ab ≥ 1+c an (1 + b) (1 + c) ca ≥ 1+b Từ bc (1 + a) (1 + b) 1 8abc ≥ + a + b + c (1 + a) (1 + b) (1 + c) Suy đpcm nd Bài Cho a + b + c ≤ Chứng minh: 1+ a 1+ b 1+ ≥ 64 c Hướng dẫn: Chú ý: Ta có: die VT diendantoanhoc.net = 1+ ≥ ≥ ≥ a + b + c ≥ abc ⇒ abc ≥ 1 1 1 + + + + + + a b c ab bc c a abc 1+ 3 abc 1+ + abc 3 abc + abc 3 ≥ (1 + 3)4 = 64 a + 2bc + b + 2c a + Hướng dẫn: (Sử dụng (6)) VT ≥ Bài Chứng minh: c + 2ab ≥ 9 = ≥ a + b + c + 2ab + 2bc + 2c a (a + b + c)2 a+ b + b+ c + c+ a ≥ 12 VT ≥ nh oc Hướng dẫn: (Sử dụng (8)) Bài Cho ne t Bài Cho a + b + c ≤ Chứng minh: 1 1 a + +b + +c + b c a 1 + + = Chứng minh: a b c ≥ 62 = 12 1 1 + + ≤ 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c Hướng dẫn: (Sử dụng (5) hai lần): 1 1 1 ≤ + ≤ + + + 2a + b + c a + b a + c a b a c 1 1 ≤ + + + a + 2b + c a b b c toa 1 1 ≤ + + + a + b + 2c a c b c 4V T ≤ Ta có đpcm Bài 10 Cho ≤ a, b, c ≤ Chứng minh: 4 =1 + + a b c b c a + + + (1 − a) (1 − b) (1 − c) ≤ b +c +1 a +c +1 a +b +1 an Hướng dẫn: Giả sử a ≤ b ≤ c (Sử dụng (4)) Ta có: (a + b + 1) (1 − a) (1 − b) ≤ Suy a +b +1+1−a +1−b Nên: nd ⇒ (1 − a) (1 − b) (1 − c) ≤ VT ≤ =1 1−c a +b +1 a b c 1−c + + + = b +a +1 a +b +1 a +b +1 a +b +1 Bài 11 Cho a + b + c = Chứng minh: a b c + + ≤ 1+a 1+b 1+c die Hướng dẫn: Ta có: 1− a b c 1 9 +1− +1− = + + ≥ = 1+a 1+b 1+c 1+a 1+b 1+c 3+a +b +c Suy ra: diendantoanhoc.net V T ≤ 3− = 4 Hướng dẫn: (Sử dụng (8)), suy ra: a +b +c ≤ ⇒ − (a + b + c) ≥ − (Sử dụng (6)), ta có: 1 9 + + ≥ ≥ = 3 a b c a +b +c die nd an toa nh oc Cộng hai BĐT chiều ta có điều phải chứng minh .ne t 1 + + − (a + b + c) ≥ a b c Bài 12 Cho a + b + c = Chứng minh: diendantoanhoc.net