1 Tìm các giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm thực phân biệt x1, x2.. 2 Chox1, x2 là nghiệm của phương trình trên.. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TUYÊN QUANG
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề này có 01 trang)
-Câu 1 (2 điểm) Cho phương trình : x2 −mx m− − =1 0 ( m là tham số)
1) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm thực phân biệt x1, x2 2) Chox1, x2 là nghiệm của phương trình trên Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2 2
+
= + +
S
x x
Câu 2 (2 điểm)
1) Giải phương trình: 3 x+ +2 3 7− =x 3
2) Giải hệ phương trình:
1 1 9
2
1 5 2
x y
x y xy
xy
+ + + =
+ =
Câu 3 (4 điểm). BC là một dây cung của đường tròn (O; R) (BC ≠ 2R) Điểm A di
động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC Các đường cao AD,
BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H
1) Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC
2) Kẻ đường kính AK của đường tròn (O; R) Chứng minh tứ giác BHKC là hình bình hành
3) Gọi A’ là trung điểm của BC Chứng minh AH = 2OA’
4) Gọi A1 là trung điểm của EF Chứng minh R.AA1 = AA’ OA’
Câu 4 (1 điểm) Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên
x
2
- ax +a + 2 = 0
Câu 5 (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 2 1
2 x+ x
− với 0 < x < 2
-Hết-Ghi chú:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2+ Thí sinh không được sử dụng tài liệu trong khi làm bài.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN
TOÁN CHUYÊN
(Có 04 trang)
Câu 1
(2 điểm) 1)
2
( )2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
( )2
2
m 2m m 2m m 2m S
x x 2 x x 2x x 2 m 2m 4
( )2
S
m
1 1
3
m= − ⇒ = −S Vậy, giá trị nhỏ nhất của S là: 1
3
Câu 2
(2 điểm)
⇔ x+2+7 - x +33 x+ 2 7 3 −x( 3 x+ + 2 3 7 −x) 27 = 0,25
⇒ 9 9 (+ 3 x+2)(7−x) 27=
⇔ (x+2)(7-x) = 8
⇔ 1
6
x x
= −
=
2) Giải hpt:
2
2
x y
x y xy
xy
+ + + =
+ =
đ/k: xy ≠ 0 1,0 điểm
Hệ đã cho 2[ (2 ) ( )] 9 (1)
2( ) 5 2 0 (2)
xy x y x y xy
xy xy
Giải (2) ta được:
2 (3) 1
(4) 2
xy xy
=
=
Từ (1) &(3) có: 3
2
x y xy
+ =
=
;
Trang 3Từ (1)&(4) có:
3 2 1 2
x y xy
+ =
=
⇔
; 2 1
1 2
x
x
=
0,25
Câu 3
(4 điểm)
Vẽ hình chính xác
0,25
1) Tứ giác BCEF nội tiếp => ·AFE ACB= · (cùng bù·BFE)
·AEF ABC= · (cùng bù·CEF)
=> ∆ AEF ∼∆ ABC
0,25
0,25 0,25 2) Vẽ đường kính AK =>
KB // CH ( cùng ⊥AB)
KC // BH (cùng ⊥AC)
=> BHKC là hình bình hành
0,25 0,25 0,25 0,25 3) Ta có BHKC là hình bình hành
=> A'H=A'K
=> OA' là đường trung bình của ∆AHK
=> AH = 2OA’
0,25 0,25 0,25 0,25
4) Áp dụng tính chất : nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số giữa hai
trung tuyến, tỉ số giữa hai bán kính các đường tròn ngoại tiếp bằng
tỉ số đồng dạng ta có :
∆ AEF ∼∆ ABC =>
1
' '
R AA
R = AA (1) ( R là bán kính đường tròn ngoại
tiếp ∆ABC, R’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ AEF)
Ta có: AA’ là trung tuyến của ∆ABC; AA1 là trung tuyến của ∆AEF
Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH nên đây cũng là
đường tròn ngoại tiếp ∆AEF
Từ (1) => R.AA1 = AA’ R’ = AA’
2
AH
= AA’ 2 '
2
A O
Vậy R AA1 = AA’ A’O (2)
0,25
0,25 0,25 0,25
Câu 4
(1,0 Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên
Trang 4x
2
- ax +a + 2 = 0 Đ/k để pt có nghiệm: ∆ ≥ 0 ⇔ a2 -4a - 8 ≥ 0 (*)
Gọi x 1 , x 2 là 2 nghiệm nguyên của pt đã cho (giả sử x 1 ≠x2 ) 0,25 Theo định lí Viet: 1 2 1 2 1 2
1 2
2 2
x x a
x x x x
x x a
+ =
⇔(x1 -1)(x 2 -1)=3
;
(do x1-1≠x2-1)
0,25
0,25
;
Câu 5
1,0 điểm Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 2 1
2 x+x
− với 0 < x < 2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski:
(a2 + b2 ) (x2 + y2 ) ≥ (ax +by )2
Ta có:
=> 2A ≥( 2 + 1)2 = 3 + 2 2
0,25
Suy ra: min 2A =
2
3 2 2
2
x x
x x
−
−
( )2 2
−
⇔ 2x2 =x2 − 4x+ 4
⇔x2 + 4x+ = 4 8
( )2
x
0,25
0,25
⇔ + =x 2 8 Vì 0 < x < 2
⇔ =x 2 2 2 −
Ghi chú: Thí sinh làm bài không giống đáp án (nếu đúng) vẫn được điểm tối đa theo quy
định.