Bài 1: Một hộp có 5 bi trắng, 3 bi xanh. Lấy từ hộp ra 2 bi có 3 cách lấy: a Lấy ngẫu nhiên 2 bi: i. Có bao nhiêu cách lấy được 2 bi? ii. Có bao nhiêu cách lấy được 2 bi trắng? iii. Có bao nhiêu cách lấy được 1 bi trắng, 1 bi xanh? b Lấy lần lượt 2 bi. Hỏi: i. Có bao nhiêu cách lấy được 2 bi? ii. Có bao nhiêu cách lấy được 2 bi trắng? iii. Có bao nhiêu cách lấy được 1 bi trắng, 1 bi xanh? c Lấy có hoàn lại. Hỏi: i. Có bao nhiêu cách lấy được 2 bi? ii. Có bao nhiêu cách lấy được 2 bi trắng? iii. Có bao nhiêu cách lấy được 1 bi trắng, 1 bi xanh?
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC ĐỀ THI ĐỀ SỐ Câu 60 sản phẩm : 47 phẩm , 13 phế phẩm , Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại đến phẩm lấy đủ sản phẩm dừng Tinh xác suất dừng lại lần thứ biết lấy sản phẩm dừng ? Hướng dẫn: 47 Xác suất lấy phẩm p = 60 13 Xác suất lấy phế phẩm q = 60 Gọi B biến cố dừng lại lần thứ A biến cố lấy sản phẩm Ta có: q5p P (AB) = ≈ 0, 1697 P (A) q p + q5p + q6p + q7p + q8 P (B/A) = Câu Hàng kho có 20 % phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 35 sản phẩm Tính xác suất 35 sản phẩm có phế phẩm ? Hướng dẫn: Áp dụng công thức Becnuli ta có: P = C35 0, 23 (1 − 0, 2)32 ≈ 0, 0415 Câu 37 kiện hàng , kiện 150 sản phẩm , Trong :25 kiện loại : kiện có phế phẩm kiện loại : kiện có phế phẩm kiện loại : kiện có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên kiện từ kiện từ kiện lấy sản phẩm Xác suất lấy thuộc kiện loại biết sản phẩm phế phẩm ? Hướng dẫn: Gọi A biến cố phế phẩm thuộc kiện lại B biến cố lấy phế phẩm Hi biến cố lấy kiện thứ i Ta có: P (H2 ).P (B/H2 ) P (AB) = P (A/B) = P (B) P (H1 ).P (B/H1 ) + P (H2 ).P (B/H2 ) + P (H3 ).P (B/H3 ) 37 150 = ≈ 0, 1438 25 5 + + 37 150 37 150 37 150 Câu Cho X đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ f (x) = 6x5 ; 0; x ∈ [0; 1] x∈ / (0; 1) Tính D(X) ? Hướng dẫn: 2 Ta có: D(X) = E(X ) − (E(X)) Trang Với E(X) = E(X ) = 01 6x7 dx = Suy D(X) = − = 6x6 dx = ≈ 0, 0153 196 Câu Đoàn tàu có toa đỗ sân ga Có hành khách từ sân ga lên tàu , người độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất có toa người , toa người toa lại không người ? Hướng dẫn: Ta có: C41 C64 C31 P = ≈ 0, 0439 46 Câu Khi gọi điện thoại khách hàng quên chữ số cuối mà nhớ có chữ số khác nên đành chọn ngẫu nhien số Tìm xác suất người thực liên lạc ? Hướng dẫn: Ta có: P = ≈ 0, 0014 A10 Câu 15 cầu trắng cầu đen người A B người rút cầu theo thứ tự ( rút không trả lại ) Trò chơi kết thúc có người rút cầu đen Người xem thua , tính xác suất người rút trước thắng ? Hướng dẫn: Giả sử người rút 2n cầu (số cầu rút chẵn người rút trước thắng ) có 2n-1 cầu trắng rút cầu thứ 2n cầu đen A2n−1 Do ta có: P (2n) = 15 2n A22 ⇒P = n=1 2n−1 A15 ≈ 0, 4075 2n A22 BÀI TOÁN TỔNG QUÁT VÀ CÁCH BẤM MÁY Câu 7* x cầu trắng y cầu đen người A B người rút cầu theo thứ tự ( rút không trả lại ) Trò chơi kết thúc có người rút cầu đen Người xem thua cuộc, tính xác suất người rút trước thắng ? Hướng dẫn: Xác suất cần tính là: [ x+1 ] y.A2n−1 x P = 2n Ax+y Với x+1 x+1 phần nguyên 2 Câu Chiều dài thép đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn có kì vọng = 2m, phương sai 0,0004 m2 Một thép coi đạt tiêu chuẩn độ dài sai lệch so với độ dài quy định không 0.003m.Tính tỉ lệ thép đạt tiêu chuẩn ? Hướng dẫn: Ta có: ε 0, 003 = 0, 119234 P (|X − a| ≤ ε) = 2Φ = 2Φ σ 0, 02 Trang Câu A Và B thi đấu cờ Xac suất thắng A 0,35 Trận đấu kết thúc A giành đx điểm trước B giành 12 điểm trước Tinh xác suất thắng trận đấu A ? Hướng dẫn: giả sử A B đấu n+1 ván n ván A thắng ván B thắng n−7 ván (0 ≤ n − ≤ 11) Ván thứ n+1 A thắng Do áp dụng công thức Becnulli ta có: P (n + 1) = Cn7 (0, 35)7 (1 − 0, 35)n−7 0, 35 18 Cn7 (0, 35)8 (1 − 0, 35)n−7 ≈ 0, 3344 ⇒ n=7 Câu 10 Xa thủ A bắn viên đạn vào mục tiêu , xạ thụ B bắn viên Xác suất bắn trúng A lần bắn ( viên ) 0,3 B 0,4 Tính xác suất để mục tiêu bị trúng viên đạn ? Hướng dẫn: Gọi A biến cố mục tiêu bị trúng đạn A¯ biến cố mục tiêu không bị bắn trúng Ta có: ¯ = 0, 72 0, 63 = 0, 10584 P (A) ¯ = 0, 89416 ⇒ P (A) = − P (A) Câu 11 Ở vùng 10 người có người hút thuốc Biết tỉ lệ người viêm họng số người hút thuốc 60 % , số nguoi không hút thuốc 10 % Khám ngẫu nhiên người Nếu người không bị viêm họng xác suất người hút thuốc ? Hướng dẫn: Gọi A biến có người hút thuốc B không bị viêm họng Ta có: 0, P (AB) 10 P (A/B) = = = 0, 16 P (B) 0, + 0, 10 10 Câu 12 Một lô hàng gồm 150 sản phẩm , có sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ lô hàng sản phẩm Tính phương sai số sản phẩm xấu sản phẩm lấy ? Hướng dẫn: C X C 7−X Ta có xác suất lấy X sản phẩm xấu sản phẩm lấy là: P (X) = 141 C150 Ta nhận thấy phân phối siêu bội nên: D(X) = 9 1− 150 150 150 − ≈ 0, 3789 150 − Câu 13 Nhóm học sinh có học sinh giỏi , 20 hoc sinh , 10 học sinh trung bình Khi làm kiểm tra , học sinh giỏi đạt điểm giỏi , học sinh đat điểm giỏi với xac suat , hoc sinh trung bình co the đat kết , trung bình ,yếu với xác suất Sau phát xong chọn nn học sinh Tìm xác suất để chọn hoc sinh có điểm hay giỏi ? Hướng dẫn: Ta có: Tỉ lệ HS giỏi đạt điểm gỏi = Tỉ lệ HS đạt điểm gỏi =1 Tỉ lệ HS trung bình đạt điểm = Trang Do đó: P = 20 10 + + ≈ 0, 8095 35 35 35 Câu 14 đấu thủ A B đấu ván cờ , xác suất A thắng ván 0.4 Tìm xác suất A thắng nhiều ván B ? Hướng dẫn: Để A thắng nhiều ván B ván A thắng ván Áp dụng công thức Becnulli ta có: C7n (0, 4)n (0, 6)7−n ≈ 0, 28979 P = n=4 Câu 15 Trong buồng tàu hỏa có dãy ghế , dãy ghế , ngồi đối diện ,Trong 10 hành khách có người muốn nhìn theo hướng tàu chạy người muốn nhìn theo huong nguoc lai tàu chạy Hỏi có cách ngồi thỏa mãn ? Hướng dẫn: Số cách xếp người thõa mãn yêu cầu toán: N = C52 2!.C53 3!.5! = 144000 Câu 16 Tại trạm kiểm sóat giao thông trung bình phút có ô tô qua Tính xác suất có ô tô qua phút ? Hướng dẫn: Trung bình phút có ô tô qua suy rung bình phút có 15 ô tô qua ⇒ λ = 15 Áp dụng công thức Poisson ta có: P (9) = e−15 159 ≈ 0, 0324 9! Câu 17 Đoạn thẳng AB dài 28 cm bi gãy ngẫu nhiên điểm P Q đoạn AP PQ BQ dùng làm canh hinh hộp chữ nhật Tính thể tich trung binh cua hinh chữ nhật ? Hướng dẫn: Gọi AP=x, PQ=y, QP= 28-x-y x>0 y>0 Do Suy miền D ∆OAB Với A(0;28) B(28;0) 28 − x − y > = 2; x, y ∈ D Ta có hàm mật độ f (x) = S∆OAB 28 0; x, y ∈ /D V = xy(28 − x − y) = 28xy − x2 y − xy ⇒ E(V ) = 28E(XY ) − E(X Y ) − E(XY ) ⇔ E(V ) = D 56xy dxdy − 282 D 2x2 y dxdy − 282 D 2xy dxdy ≈ 365, 8667 282 BÀI TOÁNG TỔNG QUÁT VÀ CÁCH BẤM MÁY Câu 17* Đoạn thẳng AB dài a cm bi gãy ngẫu nhiên điểm P Q đoạn AP PQ BQ dùng làm canh hinh hộp chữ nhật Tính thể tich trung binh cua hinh chữ nhật ? Hướng dẫn: a3 Thể tích trung bình tính công thức sau: E(V ) = 60 Trang Câu 17** Đoạn thẳng AB dài a cm bi gãy ngẫu nhiên điểm C Hai cạch AC CB dùng làm canh hinh chữ nhật Tính diện tich trung binh cua hinh chữ nhật ? Hướng dẫn: a2 Khi ta có công thức: E(S) = Câu 18 60 hành khách tham gia rút thăm may mắn , người rút phiếu Có 20 khách hàng nhận phiếu loại A , 20 khách hàng nhận phiếu loại B, khách hành nhận phiếu loại C 11 khách hàng nhận phiếu loại D Tính xác suất người nhận phiếu loại C người không nhận phiếu loại B ? Hướng dẫn: Gọi A biến cố người nhận phiếu loại C B biến có người không nhận phiếu loại B Ta có: P (AB) = 60 = 0, 225 P (A/B) = 20 P (B) 1− 60 Câu 19 Một chiệc hộp đựng 27 cầu trắng, 15 cầu đỏ, cầu đen Chọn ngẫu nhiên không hoàn trả lại lấy cầu đen dừng lại Tính xác suất lấy trắng đỏ ? Hướng dẫn: Ta có: C95 C C15 ≈ 0, 001 P = 27 18 C51 33 Câu 20 Một lô sản phẩm gồm lọai máy sản xuất, sản phẩm máy gấp lần sản phẩm máy sản xuất Tỉ lệ phế phẩm máy 0,6 , máy 0,7 Lấy ngẫu nhiên sản phẩm, tính xác suất để lấy sản phẩm tốt ? Hướng dẫn: Gọi Hi biến cố lấy sản phẩm máy thứ i A biến cố lấy sản phẩm tốt Ta có: P (A) = P (H1 ).P (A/H1 ) + P (H2 ).P (A/H2 ) = 0, 75.0, + 0, 25.0, = 0, 375 ĐỀ SỐ Câu Một người bắn viên đạn vào bia với xác suất trúng viên p = 0, Người bắn trúng viên dừng lại Tính xác suất để người bắn viên ? Hướng dẫn: Để người dừng lại lần bắn thứ tức lần trước có viện bắn trúng, lần bắn thứ phải trúng bia Suy xác suất để người bắn dừng lại lần bắn thứ là: P = C42 (0, 4)2 (0, 6)2 0, = 0, 13824 Câu Một máy bay có phận A, B, C có tầm quan trọng khác nahu Máy bay rơi có viên đạn trúng vào A, viên đạn trúng vào B, viên đạn trúng vào C Giả sử phận A, B, C chiếm 15%, 30% 55% diện tích máy bay Tính xác suất để máy bay rơi trúng viên đạn ? Hướng dẫn: Gọi X biến có máy bay rơi trúng viện đạn Trang ¯ biến có máy bay không rơi bị trúng viện đạn ⇒X ¯ xảy có viên trúng B viên trúng C (BCC; CBC; CCB) Biến cố X ¯ = 3.0, 3.0, 552 = 0, 27225 ⇒ P (X) ¯ = 0, 72775 Nên P (X) = − P (X) Câu Qua kinh nghiệm, người quản lý cửa hàng bán giày thể thao biết xác suất để có đôi đế cao su hãng có hoặc bị hỏng tương ứng p1 = 0, 93; p2 = 0, 06 p3 = 0, 01 Anh ta lấy ngẫu nhiên đôi giày laoij từ tủ trưng bày sau lấy ngẫu nhiên thấy bị hỏng hỏi xác suất để bị hỏng ? Hướng dẫn: Gọi A biến cố lấy giày lấy bị hỏng B biến cố lại đôi giày lấy bị hỏng Ta có: p3 P (BA) = p2 = P (A) + p3 x < câu Cho ĐLNN liên tục X có hàm phân phối F (X) = k(7x − 5x ) ≥ x < x ≥ Tính E(X) Hướng dẫn: 35k(x − x ) x ∈ [0; 1] Hàm mật độ xác suất: f (x) = x ∈ / [0; 1] Ta có: +∞ 1 f (x)dx = ⇔ f (x)dx = F (1) − F (0) = ⇔ k = −∞ p = P (B/A) = Suy ra: +∞ xf (x)dx = E(x) = −∞ 35x 35 x − x6 dx = 48 Câu Trong kho rượu số lượng chai rượu loại A loại B người ta lấy ngẫu nhiên chai rượu kho đưa cho người sành rượu nếm thử xác định xem loại Giả sử người có khả đoán p = 70% có người kết luận chai rượu thuộc loại A có ngườ cho rược thuộc loại B Vậy chai rượu chọn thuộc loại A với xác suất ? Hướng dẫn: Gọi X biến cố chai rượu thuộc loại A B biến cố chai rượu xác định ta có: P (X) = C43 (0, 7)3 (0, 3) P (B) = C4 (0, 7)3 (0, 3) + C43 (0, 3)3 (0, 7) 2 Suy ra: P (X/B) = P (XB) P (X) 49 = = P (B) P (B) 50 Câu Hai người bắn vào mục tiêu, khả có người bắn trúng la 0,38 Tìm xác suất bắn trúng p người thứ nhất, biết khả bắn trúng người thứ hai 0,8 Hướng dẫn: Trang Theo kiện toán suy ra: 0, 2.p + (1 − p).0, = 0, 38 ⇔ p = 0, k(1 + x)−4 x ≥ Tìm E(X) x < Câu Cho ĐLNN X có hàm mật độ xác suất: f (x) = Hướng dẫn: Ta có: +∞ f (x)dx = ⇔ −∞ ⇒ E(X) = = = −k (1 + x)−3 +∞ =1⇔k=3 +∞ +∞ xf (x)dx = 3x(1 + x)−4 dx −∞ +∞ +∞ 3(1 + x)−3 dx − 3(1 + x)−4 dx −1= 2 BÀI TOÁN TỔNG QUÁT VÀ CÁCH BẤM MÁY Câu 7* Cho ĐLNN X có hàm mật độ xác suất: f (x) = k(1 + x)−a x ≥ Tìm E(X) x < Với số a cho trước Hướng dẫn: Khi ta có: k = a − E(X) = a−2 Câu Trong binh có cầu trắng cầu đen Hai người lấy cầu theo phương thức có hoàn trả lại Tính xác suất p để người thứ lấy cầu trắng trước Hướng dẫn: Gọi a = xác suất lấy cầu trắng b = xác suất lấy cầu đen Giải sử người lấy 2n lần (n ≥ 1) 2n-1 lần lấy trước lấy bị đen lần lấy thứ 2n lấy bi trắng +∞ ⇒p= +∞ b 2n−1 b2n−2 a = ab = ab = 1−b 11 Chú ý: Công thức cuối công thức tổng quát cho dạng Câu bạn học thuộc công thức để tiết kiệm thời gian làm Câu Có hai lô sản phẩm: Lô gồm toàn phẩm Lô có tỉ lệ phế phẩm tỉ lệ phẩm 1/4 Chọn ngẫu nhiên lô, từ lấy sản phẩm, thấy phẩm, trả sản phẩm vào lô vừa lấy Nếu lẫy ngẫu nhiên từ lô lại sản phẩm xác suất sản phẩm phế phẩm ? Hướng dẫn: Gọi A biến cố lấy lần phẩm B biến cố lấy lần thứ hai lô lại phế phẩm Ta có: 1 P (A) = + 0, = 2 10 1 P (AB) = 0, + 0, 8.0 = 2 10 P (BA) ⇒ P (B/A) = = P (A) Trang Câu 10 Cho ĐLNN X có phân bố đoạn [1; 2] Tính P {2 < X < 5} Hướng dẫn: x ∈ [1; 2] Ta có hàm mật độ xác suất: f (x) = x ∈ / [1; 2] √ √ − ⇒ P (2 < X < 5) = √ − f (x)dx + √ f (x)dx = √ 1dx = − √ Câu 11 Cho ĐLNN X có phân bố đoạn [−1; 3] Tính P {X < 8} Hướng dẫn: Ta có hàm mật độ xác suất: x ∈ [−1; 3] f (x) = 0 x ∈ / [−1; 3] √ 2 ⇒ P X2 < = Câu 12 √ −2 √ 2 f (x)dx = −1 √ 2+1 dx = 4 Giả sử có 64 người thi lấy lái xe, người có xác suất thi đỗ p = thi Có khoảng người phải thi lần ? Hướng dẫn: Để thi lần người phải rớt lần Suy số người phải thi lần là: N = 64.(1 − p)3 = 64 = 27 Câu 13 Một lô hàng gồm 14 sản phẩm có phế phẩm, lấy ngẫu nhiên sản phẩm gặp đủ phế phẩm dừng lại Tính xác suất p, lần kiểm tra thứ hai gặp phế phẩm biết kiểm tra dừng lại lần thứ Hướng dẫn: Gọi A biến cố kiểm tra lần thứ phế phẩm B biến dừng lại lần kiểm tra thứ Ta có: C C 1 P (B) = 6 = C1 1001 C C C C 1 P (AB) = 66 + 26 4 = 14 C13 C14 C12 3003 ⇒ P (A/B) = P (AB) = P (B) Câu 14 Hai đấu thủ A B đấu với ván cờ Xác suất thắng A ván p = 0, 25 Tìm xác suất để A thắng nhiều ván B Hướng dẫn: Để A thắng nhiều ván B suy A phải thắng từ đến ván Áp dụng công thức becnuli suy ra: Ci5 (0, 25)i (0, 75)5−i = P = i=3 Trang 53 512 Câu 15 Trong hòm đựng bóng đèn có bóng tốt, bóng hỏng Ta chon ngẫu nhiên bóng đem thử(thử xong không hoàn trả lại) thu bóng tốt Gọi X số lần thử cần thiết Tìm xác suất để X=5 Hướng dẫn: Với số lần thử lần thử phải có bóng tốt bóng hỏng Lần thử thứ chắn bóng tốt C63 C31 ⇒ P {X = 5} = = C9 21 Câu 16 Một đoạn thẳng AB dài 12cm bị gãy ngẫu nhiên điểm P Hai đoạn AP BP dùng làm cạnh hình chữ nhật Tính diện tích trung bình hình chữ nhật Hướng dẫn: Gọi đoạn AP = x ⇒ BP = 12 − x Ta có hàm mật độ: 1 x ∈ [0; 12] f (x) = 12 0 x ∈ / [0; 12] S = x(12 − x) = 12x − x2 12 ⇒ E(S) = 12E(X) − E(X ) = 12 x dx − 12 12 x2 dx = 24 12 câu 17 Người ta biết cặp sinh đôi cặp sinh đôi thật trứng sinh ra(E1 ), P (E1 ) = 0, 4, trường hợp chúng giới tính Nếu chúng trứng khác sinh ra(E2 ) xác suất giới tính 1/2 Bây cặp sinh đôi giới tính xác suất để chúng cặp sinh đôi thật phần trăm Hướng dẫn: Gọi F biến cố cặp sinh đôi giới tính P (E1 /F ) = P (E1 )P (F/E1 ) 0, 4.1 = = P (E1 )P (F/E1 ) + P (E2 )P (F/E2 ) 0, 4.1 + 0, 6.0, Câu 18 Chi tiết gia công qua công đoạn nối tiếp chất lượng chi tiết kiểm tra chi tiết gia công xong Xác suất gây khuyết tật cho chi tiết công đoạn P1 = 0, 3; P2 = 0, 4; P3 = 0, Tìm xác suất P để sau gia công xong chi tiết có khuyết tật Hướng dẫn: Gọi A biến cố chi tiết sau gia công có khuyết tât A¯ biến cố chi tiết sau gia công khuyết tật P (A) = (1 − P1 )(1 − ¯P2 )(1 − P3 ) = 0, 21 ¯ = 0, 79 ⇒ P (A) = − P (A) câu 19 Một người bắn viên đạn vào bia với xác suất trúng đích viên p = 0, trúng hai viên liên tiếp dừng lại Tính xác suất người bắn viên đạn dừng Hướng dẫn: Kí hiệu O người bắn trúng bia p(O) = 0, X người bắn không trúng bia p(X) = 0, Ta có trường hợp sau: TH1: OXOXOO ⇒ p1 = 0, 021609 TH2: OXXXOO ⇒ p2 = 9, 261.10−3 TH3: XOXXOO ⇒ p3 = 9, 261.10−3 Trang TH4: XXOXOO ⇒ p4 = 9, 261.10−3 TH5: XXXXOO ⇒ p5 = 3, 969.10−3 ⇒ p = p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 0, 053361 Câu 20 Gieo hai xúc xắc cân đối đồng chất Gọi A biến cố xuất tổng số chấm thu lẻ, B biến cố mặt chấm Tính P(B/A) Hướng dẫn: Ta có: 1 P (A) = P (BA) = ⇒ P (B/A) = Trang 10