chuyên đề giới thiệu và hướng dẫn maplev6

M u Maple l phn mm ton din gii quyt cỏc bi toỏn cao cp Bao gm nhng cụng c x lý, tớnh toỏn cỏc lónh vc toỏn hc nh : i s tuyn tớnh: Ma trn, nh thc, H phng trỡnh tuyn tớnh, Khụng gian vộct Gii tớch: Hm s, gii hn, Liờn tc , o hm, Tớch phõn, Phng trỡnh vi phõn, Chui ha, Toỏn ri rc, Thng Kờ, v nhiu lónh vc khỏc ca toỏn hc Vi trờn 3000 hm s Maple l mt tr lý toỏn hc tuyt vi giỳp gii quyt phn tớnh toỏn hc v nghiờn cu Maple lm vic theo cõu lnh nhp t bn phớm v cú th lu thnh tin s dng li cn Mt s iu qui nh nhp lnh: Kt thỳc cõu lnh : Mi cõu lnh c kt thỳc bi du ; ( thỡ in kt qu mn hỡnh) hoc du : (khụng in kt qu) Thi hnh cõu lnh : Sau kt thỳc lnh thỡ n phớm Enter thc hin lnh Cỏc cõu lnh cú th c ỏnh du, chộp theo cỏch thc nh h iu hnh Windows Mt s iu cn chỳ ý: Cú phõn bit ch hoa v ch thng Vớ d: Int v int l hai lnh khỏc to mt chỳ thớch cho cõu lnh, ta dựng du # trc on ghi chỳ Vớ d: # Tớnh tớch phõn Dựng lnh restart to mi cỏc bin, hm ó s dng trc ú Cn tra cu cỳ phỏp cõu lnh ta dựng mc Help trờn thc n ca Maple Mun tra cu nhanh thỡ dựng du ? v tờn mc cn tra cu Vớ d: ?plot ?ifactor Maple V6 ( ATADA-HNL 30/10/2009 ) D liu Maple Cỏc phộp toỏn: a S hc : +, - , * , / , ^ hay ** , ! Trong Toỏn a+b a-b a.b a/b An An A! 22 + 2( + 1) > A=(2^2+5)/(2*(2^(1/2)+1)); b So sỏnh: < , , >= , = , Trong Maple x=2 x4 1=3 THS Trong Toỏn x=2 x4 1x 3a t3 NE T Vớ d : Tớnh biu thc A= Trong Maple a+b a-b a*b a/b A^n A**n A! VIE TM A c Logic : and , or , not Vớ d : Trong Toỏn Trong Maple 0x3 (0 -> 72 2) Khai trin: Lnh expand(Bthc) s khai trin biu thc i s theo cỏc qui tc ly tha,hm m, hm logarit, lng giỏc Vớ d: a expand((x^2+1)*(x+a)/x); -> x2 + x a + + x expand((x^2+1)^3); -> x + x + x + expand(sin(x+y)); -> sin( x ) cos ( y ) + cos ( x ) sin( y ) Maple V6 ( ATADA-HNL 30/10/2009 ) expand(exp(x-y)); -> ex ey 3) Rỳt gn biu thc s: Lnh combine(Bthc, name) vi name : power,exp, trig Kt hp cỏc s hng ca biu thc i s theo cỏc cụng thc ly tha, hm m, hm logarit, lng giỏc ngc li lnh expand Vớ d : (2 x + y) combine(exp(x)^2*exp(y),exp); -> e -> x combine((x^a)^2,power); (2 a) combine(2*sin(x)*cos(x),trig); -> sin( x ) Lnh simplify(Bthc) n gin rỳt gn biu thc i s theo cỏc qui tc ly tha, m, logarit, lng giỏc Vớ d: simplify(4^(1/2)+3); -> Vớ d: Rỳt gn cos x + sin x sin(2 x) simplify(2*cos(x)^3+sin(x)*sin(2*x)); -> cos ( x ) Ta cú th dựng simplify(bthuc,dk) tớnh giỏ tr biu thc vi h iu kin rng buc ca cỏc bin bthuc Vớ d : Gi a, b l hai nghim ca phng trỡnh: x2 x = Tớnh giỏ tr biu thc B= a2 + b2 Theo nh lý viột a v b cú rng buc : a+b =1 , ab = -3 nờn : B=simplify(a^2+b^2,{a+b=1,a*b=-3}); -> B = Vớ d: Cho a, b, c l s thc tha : a+b+c = , a2+b2+c2 = , a3+b3+c3 = 24 Tớnh A = a4+ b4 +c4 dk:={a+b+c=3,a^2+b^2+c^2=9,a^3+b^3+c^3=24}; dk := { a + b + c = 3, a + b + c2 = 9, a + b + c3 = 24 } A=simplify(a^4+b^4+c^4,dk); A = 69 Lnh collect nhúm cỏc s hng theo cỏc bin hoc hm Vớ d: nhúm x(x+1) + y(x+1) theo x collect(x*(x+1)+y*(x+1),x); -> x + ( + y ) x + y Vớ d: nhúm alnx-xlnx-x theo hm lnx collect(a*ln(x)-ln(x)*x-x,ln(x)); ( a - x ) ln( x ) - x Vớ d: Cho f= a3x x +a3 + a 3 f := a^3*x-x+a^3+a; -> f := a x - x + a + a 3 nhúm theo x : collect(f,x); -> ( a - ) x + a + a nhúm theo x v tha s h s ca x: collect(f,x,factor); 2 -> ( a - ) ( a + a + ) x + a ( a + ) Maple V6 ( ATADA-HNL 30/10/2009 ) Vớ d: Cho g = xy + axy + yx2 ayx2 + x + ax g :=x*y+a*x*y+y*x^2-a*y*x^2+x+a*x; 2 -> g := x y + a x y + y x - a y x + x + a x Nhúm g theo x: collect(g,x); -> ( y - a y ) x + ( y + a y + + a ) x Nhúm g theo x v h s theo y : > collect(g,[x,y]); -> y ( - a ) x + ( ( + a ) y + + a ) x 4) Tớnh giỏ tr: dựng lnh evalf(Bthc, n) , n s ch s Vớ d: cos(1) + sin(1); -> cos ( ) + sin( ) evalf(cos(1) + sin(1)); -> 1.381773291 evalf(cos(1) + sin(1),7);-> 1.381773 NE T 5) i dng s : Lnh convert(bthc , kiu) vi kiu l : int, float, binary, hex, fraction convert(1215,'hex'); -> 4BF convert(1215,'binary'); -> 10010111111 3858 convert( 1.23456, fraction ); -> 3125 VIE TM A THS II A THC 1) Phộp toỏn a thc : +, -, *, /, ^ Vớ d : f:=(x-2)*(x+1)^2; -> f := ( x - ) ( x + ) g:=x-1; -> g := x - ( x - ) ( x + )2 f/g; -> x-1 Thng s phộp chia a thc f/g bin x l : quo(f,g,x); quo(f,g,x); -> x + x - D s phộp chia a thc f/g bin x l : rem(f,g,x); rem(f,g,x); -> -4 rem((x-2)*(x+1)^2,x-1,x); -> -4 H s a thc : coeffs(2*x^3-3*x+1,x); -> 1,-3,2 Bc a thc degree((2*x^3+1)*(1-x^2),x); -> c s chung ln nht: gcd(f,g); gcd(x^2-3*x+2,x^2-4); -> x-2 2) Nghim a thc: Lnh roots(f) cho nghim hu t dng: [ [x1,n1] [xk, nk]] vi kớ hiu [x1,n1] ngha l nghim x1, bi n1 : ( x - x1 ) n1 Vớ d : roots(x^3-3*x^2+4); -> [ [ 2, ], [ -1, ] ] roots(x^4-4); -> [] ( khụng cú nghim hu t) Lnh solve(f , x) cho nghim thc hoc nghim phc: solve(x^4-4,x); -> I , -I , , - Maple V6 ( ATADA-HNL 30/10/2009 ) 3) Phõn tớch a thc thnh tớch s: Lnh factor(f); 2 factor(x^4-4); -> ( x - ) ( x + ) Lnh factor(f,real); hoc factor(f,complex); factor(x^4-4,real); -> ( x + 1.414213562) ( x - 1.414213562) ( x + 1.999999999) factor(x^4-4,sqrt(2)); -> ( x + ) ( x - ) ( x + ) III HM HU T Phộp tớnh : Tờn lnh numer(f) denom(f) normal(f) ý ngha T s ca biu thc hu t f Mu s ca biu thc hu t f Ti gin biu thc hu t f Vớ d : f:=(((x-2)^3)/(x^2-4))+x/(x-1); ( x - )3 x f := + x-1 x -4 numer(f); x4 - x3 + 18 x2 - 24 x + denom(f); ( x2 - ) ( x - ) normal(f); x3 - x2 + 10 x - (x - 1) (x + 2) Khai trin phõn thc thnh tng phõn thc n gin: Lnh: convert(f ,parfrac , x); (parfrac = partial fraction form) Vớ d: f:=(((x-2)^3)/(x^2-4))+x/(x-1); ( x - )3 x f := + x-1 x -4 convert(f,parfrac,x); 16 x-5+ + x+2 x-1 Maple V6 ( ATADA-HNL 30/10/2009 ) IV GII PHNG TRèNH H PHNG TRèNH 1) Gii phng trỡnh, bt phng trỡnh: Dựng lnh: solve(eqn, var) ú eqn l phng trỡnh hoc bt phng trỡnh n x Vớ du : Gii phng trỡnh : x4-5x2 + 6x = solve(x^4-5*x^2+6*x=2,x); -> 1, 1, -1 + , -1 - Vớ d 2: Gii phng trỡnh x2 -2ax =1 epn:=x^2-2*a*x=1; -> epn := x - a x = 2 solve(epn,x); -> a + a + , a - a + Vớ d 3: Gii bt phng trỡnh : x2 + 2x -4 > solve( x^2+2*x-4 >0, x ); RealRange( -Ơ, Open( -1 - ) ), RealRange( Open( -1 + ), Ơ ) NE T Vớ d 4: Gii bt phng trỡnh : x - + - x Ê eqn:=sqrt(x-2)+sqrt(4-x) RealRange( 2, ) Chỳ ý : Ta cú th gỏn nghim vo bin, ỏnh giỏ gn ỳng cỏc nghim nh sau : THS Vớ d 5: Gii phng trỡnh: x4 - 5x2 + 6x = sols := [solve(x^4-5*x^2+6*x=2,x)]; sols := [ 1, 1, -1 + , -1 - ] evalf(sols);-> [ 1., 1., 732050808, -2.732050808] TM A Vớ d 6: Gii phng trỡnh: x4 + x + = solve(x^4+x+1,x); RootOf( _Z4 + _Z + 1, index= ), RootOf( _Z4 + _Z + 1, index= ), RootOf( _Z4 + _Z + 1, index= ), RootOf( _Z4 + _Z + 1, index= ) cú nghim phc tớnh gn ỳng bi lnh : VIE evalf({%}); { { -.7271360845 + 4300142883 I, -.7271360845 - 4300142883 I, 7271360845 - 9340992895 I, 7271360845 + 9340992895 I } } gii phng trỡnh qui ta dựng lnh rsolve nh vớ d sau : Vớ d: Cho dóy s Fibonacci f(0) = 0, f(1) = , f(n+1) = f(n+1) + f(n) Tỡm f(n) rsolve({f(n+2)=f(n+1)+f(n),f(0)=0,f(1)=1},f(n)); n n 1 ổ1 - ổ2 ổ - - ổ -2 ỗỗ ữữ ỗỗ ữ ỗỗ ữữ ỗỗ ữ + ữứ ố ứ ố -1 + ữứ ố ứố + -1 + 1+ 2) Gii h phng trỡnh, h bt phng trỡnh: ùỡ x + y = 25 Vớ d 1: Gii h phng trỡnh: ùợ x - y = solve({x^2+y^2=25, x-y=7}); { x = 3, y = -4 }, { x = 4, y = -3 } Maple V6 ( ATADA-HNL 30/10/2009 ) ỡ mx + y + z = ù Vớ d 2: Gii v bin lun h phng trỡnh : x + my + z = ù x + y + mz = ợ hpt:={m*x+y+z=1,x+m*y+z=1,x+y+m*z=1}; hpt := { m x + y + z = 1, x + m y + z = 1, x + y + m z = } solve(hpt); {m =1, z = z, x =-z +1 - y, y = y}, {y = z, m = - -1 + 2z , z = z, x =z} z ỡ u + v + w =1 ù Vớ d 3: Gii h phng trỡnh : 3u + v =3 ù u - 2v - w = ợ hpt := {u+v+w=1, 3*u+v=3, u-2*v-w=0}; hpt := { u - v - w = 0, u + v = 3, u + v + w = } solve(hpt); -> { w = -2 ,v= ,u= } 5 ỡù x - x + Vớ d 4: Gii h bt phng trỡnh : ùợ - x bpt:={x^2-3*x+2>=0,4-x^2>=0}; bpt := { Ê - x2, Ê x2 - x + } solve(bpt); -> { -2 Ê x, x Ê }, { x = } 3) Gii gn ỳng : phng trỡnh hoc bt phng trỡnh ta dựng lnh: fsolve( eqns, vars, options ); eqns l phng trỡnh hoc h phng trỡnh vars l hp n options l tham s iu khin li gii nh: complex, a b, Vớ d 1: Gii phng trỡnh : tg(sinx)=1 arcsinổỗỗ p ửữữ ố4 ứ 9033391108 fsolve( tan(sin(x))=1, x ); -> solve(tan(sin(x))=1,x); -> Vớ d 2: Tỡm nghim phng trỡnh : 23x5 +105x4 -10x2 +17x = tha xẻ[-1,1] poly := 23*x^5 + 105*x^4 - 10*x^2 + 17*x: fsolve( poly, x, -1 ); -.6371813185, Vớ d 3: Gii h phng trỡnh : ỡùsin( x + y ) - e x y = tha xẻ[-1,1] , yẻ[-2,0] ùợ x - y = f := sin(x+y) - exp(x)*y = 0: g := x^2 - y = 2: fsolve({f,g},{x,y},{x=-1 1,y=-2 0}); { x = -.6687012050, y = -1.552838698} Maple V6 ( ATADA-HNL 30/10/2009 ) Thc hnh Tỡm c s chung ln nht ca 1242 v 1024 Phõn tớch tha s nguyờn t ca N v suy s c s ca N N= 9876543210123456789 Tớnh giỏ tr biu thc vi chớn s l 19549 + 286 + 28 - ep baống 19549 + 286 Chng minh rng : 113 + 173 Rỳt gn cỏc biu thc : b) 13 + 30 + + 2+ + 2+ + NE T a) 2- - 2- Cho biu thc : A=(x2+xy+x+y)(x+y) Hóy bin i biu thc A v dng: a) x3+2x2y +xy2+x2+2xy+y2 THS b) (x+1)(x+y)2 c) y2+(2y+y2)x +(1+2y)x2+x3 TM A d) x3+x2 +(2x2+2x)y +(x+1)y2 x + x3 - 4x - 4x Cho phõn thc f = , bin i f v dng : x4 + x3 - x2 - x x2 - a) x2 -1 ( x - 2)( x + 2) b) x2 -1 Tỡm xỏc nh ca hm s : a) f(x) = lg( x - + - x ) VIE ổ x2 - x ữữ b) g(x) = arcsinỗỗ ố x -1 ứ Tỡm a thc bc i qua im: (-2;36) , (1;120) , (-3;48) 10 Tỡm F(n) tha : F(n) = F(n -1) + n2 , F(1) = 11 Tỡm p , q , r , s , t phn ng sau cõn bng pCO + qCO2 + rH đ sCH + tH O 12 Gii phng trỡnh : 48x5 + 8x4 - 6x3 + 114x2 -37x + 18 = Maple V6 10 ( ATADA-HNL 30/10/2009 ) map(factor,%); 2 ộa ( a + b ) ờb ( a + b ) b ( a + b )ự ỳ a ( a + b )ỳỷ ỏnh giỏ y (full evaluation) : R:=matrix(2,2,[cos(alpha), -sin(alpha),sin(alpha),cos(alpha)]); cos ( a ) -sin( a )ự R := ộờờ ỳỳ sin( a ) cos ( a ) ỷ ta gỏn giỏ tr alpha=1 alpha:=1: lnh evalm khụng ỏnh giỏ y giỏ tr ma trn R evalm(R); ộcos ( a ) -sin( a )ự ờờ ỳỳ sin( a ) cos ( a ) ỷ nhng lnh map ỏnh giỏ y theo cỏc phộp gỏn map(eval,R); ộcos ( ) -sin( )ự ờờ ỳỳ sin( ) cos ( ) ỷ o hm cỏc phn t ma trn: R:=matrix(2,2,[cos(x^2),-sin(x),sin(x),cos(x^2)]); ộcos ( x ) R := ờ sin( x ) -sin( x ) ự ỳ cos ( x )ỳỷ map(diff,R,x); ộ-2 sin( x ) x ờ cos ( x ) -cos ( x ) ự ỳ -2 sin( x ) xỳỷ RT GN MA TRN Cõu lnh: gaussjord(A) gaussjord(A, 'r') gaussjord(A, 'r', 'd') A - ma trn ch nht 'r' - (tựy chn) cho hng ma trn A gỏn vo r 'd' - (tựy chn) cho nh thc A gỏn vo d, nu A vuụng Vớ d: A:=array([[4,-6,1,0],[-6,12,0,1],[-2,6,1,1]]); ộ4 A := ờờ-6 ờờ-2 gaussjord(A,'r'); 'rank'(A)=r; Maple V6 -6 12 1 0ự ỳ 1ỳỳ 1ỳỳỷ ộ ờ ờ ờ ờ ờờ rank( A ) = 53 1 2 ự ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳỳ ỷ ( ATADA-HNL 30/10/2009 ) NH THC Cõu lnh: det(M); Vớ d: A := array( [[4,-6,m],[-6,m,1],[-m,6,1]] ); ộ -6 m ự ỳ A := ờờ -6 m ỳỳ ờờ-m ỳỳ ỷ 26 m 60 + m det(A); HNG MA TRN Cõu lnh: rank(M); Vớ d: A := matrix(3,3, [x,1,0,0,0,1,x*y,y,1]); gaussjord(A); ộ ờ ờ ờ 0ựỳ ỳ ỳ 1ỳỳ ỳ 0ỳỷ x 0 NE T rank(A); 1ự ỳ 1ỳỳ 1ỳỳỷ 10 10 ự ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỷ -6 35 -1 35 10 10 ự ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỷ VIE evalm(1/A); -6 -6 35 -1 35 TM A inverse(A); ộ1 A := ờờ-6 ờờ-1 ộ ờ 14 ờ -1 ờ 14 ờ ờ ộ ờ 14 ờ -1 ờ 14 ờ ờ THS MA TRN NGHCH O Tớnh bng phộp tớnh A-1: Dựng lnh inverse(A); hoc evalm(1/A); A := matrix( [[1,-6,1],[-6,1,1],[-1,6,1]] ); Tớnh bng phộp rỳt gn ma trn: ni ma trn A v I bi lnh blockmatrix hoc augment(A,I) A := matrix( [[1,-6,1],[-6,1,1],[-1,6,1]] ); ộ1 A := ờờ-6 ờờ-1 -6 1ự ỳ 1ỳỳ 1ỳỳỷ AI:=blockmatrix(1,2,[A,diag(1,1,1)]); ộ1 AI := ờờ-6 ờờ-1 Maple V6 -6 1 54 0 0ự ỳ 0ỳỳ 1ỳỳỷ ( ATADA-HNL 30/10/2009 ) gaussjord(AI); ộ ờ ờ ờ ờ ờ ờ 0 0 1 14 -1 14 -6 35 -1 35 10 10 ự ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỷ PA , Tớnh PA bi lnh adjoint(A); hoc adj(A); det( A) [[1,-6,1],[-6,1,1],[-1,6,1]] ); -6 1ự ỳ 1ỳỳ 1ỳỳỷ -7ự ộ -5 12 ỳ PA := ờờ -7ỳỳ ờờ-35 -35ỳỳỷ Tớnh bng cụng thc: A-1= A := matrix( ộ1 A := ờờ-6 ờờ-1 PA:=adj(A); ộ ờ evalm(PA/det(A)); ờờờ ờ ờ ờ 14 -1 14 -6 35 -1 35 10 10 ự ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỷ II H PHNG TRèNH TUYN TNH Cõu lnh: linsolve(A, B, 'r', v) ú: A l ma trn h s B l ma trn hoc vộct v phi r (tựy chn) l hng ca A v (tựy chn) tờn bin t do, ngm nh l _t1 , _t2 , ỡx + y = Vớ d 1: Gii h phng trỡnh : ợx + y = - A:= matrix( [[1,2],[1,3]] ); 2ự A := ộờờ ỳỳ 3ỷ B:=vector([1,-2]); B := [ 1, -2 ] X:=linsolve(A, B); X := ộờờ ựỳỳ -3ỷ H cú nghim nht : x= , y=-3 ỡx - x + x - x = ùx - 2x + x + 3x = ù Vớ d2: Gii h phng trỡnh : ù2x1 + x - x - 2x = ùợ2x1 + 2x - x - 6x = A:= matrix([[1,-1,1,-1],[1,-2,1,3], [2,1,-1,-2],[2,2,-1,-6]]): B:= vector([1,2,5,4]): Maple V6 55 ( ATADA-HNL 30/10/2009 ) X:=linsolve(A,B); X := [ + _t 1, -1 + _t1, -2 + _t1, _t1 ] H cú vụ s nghim : x1= + t , x2= -1+4t , x3= -2 +4t , x4= t , ( vi t tựy ý ) ỡ2x - y + z = -2 ù Vớ d 3: Gii h phng trỡnh ớx + 2y + 3z = -1 ùx - 3y - 2z = ợ A := matrix( [[2,-1,1],[1,2,3],[1,-3,-2]] ): B:= vector([-2,-1,3]); X:=linsolve(A,B); X := H vụ nghim B := [ -2, -1, ] NE T ỡmx + y + z = ù Vớ d 4: Gii v bin lun theo m h phng trỡnh : ớx + my + z = m ù ợx + y + mz = m THS A:= matrix( [[m,1,1],[1,m,1],[1,1,m]] ): B:= vector([1,m,m^2]): m ( -2, 1, ) msolve(det(A)=0,m); ( m + )2 ự ộ m+1 X:=linsolve(A,B); X := ờờ - m + , m + , m + ỳỳ ỷ m:=1: A1:=map(eval,A):B1:=map(eval,B): X:=linsolve(A1,B1); X := [ - _t - _t2, _t1, _t2 ] VIE III KHễNG GIAN VẫCT To mt vộct Dựng mt cỏc lnh : vector([x1, , xn]) vector(n) vector(n, f) ú : TM A m:=-2: A2:=map(eval,A):B2:=map(eval,B): X:=linsolve(A2,B2); X := x1, , xn - thnh phn ca vector cú kiu s n - s chiu ca vector f - hm s f c dựng to cỏc thnh phn ca vector Do ú vector(n,f) tng ng vi vector(1 n , [f(1),f(2) , , f(n)]) Vớ d : vector( [5,4,6,3] ); vector(4); vector(4, 0); Maple V6 [ 5, 4, 6, ] [ ? 1, ? 2, ? 3, ? ] [ 0, 0, 0, ] 56 ( ATADA-HNL 30/10/2009 ) Vớ d: To vector cú chiu bi hm s f(x) = x2 f := x -> x^2: v := [ 1, 4, 9, 16 ] v := vector(4, f); * To vect ct cú cỏc thnh phn theo cụng thc x j-1 Vớ d : f:= (j) -> x^(j-1): Vector(3,f) Mt s cõu lnh liờn quan n vector ộ ự ỳ x ỳ ỳ ờờ ỳỳ ởx ỷ Tờn lnh norm(v,2) normalize(v) scalarmul(v,k) dotprod(u,v) crossprod(u,v) GramSchmidt([v1,v2,,vn]) GramSchmidt([v1,v2,,vn],normalized) basis({v1,v2,,vn}) intbasis(V1,V2,,Vn) sumbasis(V1,V2,,Vn) rowspace(A) colspace(A) kernel(A) , nullspace(A) í ngha Mụun ca v Chun húa v Nhõn vector v vi s k Tớch vụ hng uv Tớch cú hng u^v Trc giao húa GramSchmidt cỏc vector c lp tuyn tớnh v1,v2,,vn Trc chun húa GramSchmidt cỏc vector c lp tuyn tớnh v1,v2,,vn xỏc nh c s ca khụng gian sinh bi v1,v2,,vn xỏc nh c s khụng gian giao ca cỏc khụng gian sinh bi h vector V1, V2,,Vn xỏc nh c s khụng gian tng ca cỏc khụng gian sinh bi h vector V1, V2,,Vn xỏc nh c s khụng gian sinh bi cỏc hng ca ma trn A xỏc nh c s khụng gian sinh bi cỏc ct ca ma trn A xỏc nh c s khụng gian nghim h phng trỡnh thun nht AX=0 Cỏc vớ d Tớnh mụun v chun húa vector v =(2,2,-1) with(linalg): v:=vector([2,2,-1]); v := [ 2, 2, -1 ] norm(v,2); 2 -1 normalize(v); ộờờ , , ựỳỳ ở3 3 ỷ Tớnh tớch vụ hng v tớch hu hng ca u=(2,2,-1), v=(1,2,3) v:=vector([2,2,-1]): u:=vector([1,2,3]): dotprod(u,v); crossprod(u,v); [ -8, 7, -2 ] Xột tớnh c lp tuyn tớnh ca h vector v1:=vector([1,2,-1,0]): v2:=vector([2,1,2,3]) : v3:=vector([-1,4,-7,-6]): basis({v1,v2,v3}); { v2, v1 } ị H ph thuc tuyn tớnh Maple V6 57 ( ATADA-HNL 30/10/2009 ) .NE T u1 := vector([2,2,2]): u2 := vector([0,2,2]): u3 := vector([0,0,2]): basis({u1,u2,u3}); { u1 , u2 , u3 } ị H c lp tuyn tớnh Trc giao húa v trc chun húa h vector u1 := vector([2,2,2]): u2 := vector([0,2,2]): u3 := vector([0,0,2]): GramSchmidt([u1,u2,u3]); ộ [ 2, 2, ], ộ -4, 2, ự, [ 0, -1, ] ự ờờ ờờ ỳỳ ỳỳ ở 3 3ỷ ỷ GramSchmidt([u1,u2,u3],normalized); ộ ộ 3, 3, ự, ộ - 3, 3, ự, ộ 0, - 2, ự ự ờờ ờờ ỳờ ỳỳ ờờ ỳỳ 3 ỳỷ ờở 12 12 2 ỳỷ ỳỷ ởở3 ỷở THS Cho khụng gian sinh bi : U = < (1,2,1) ; (1,0,2) > v W= Tỡm c s ca U, W, UầW v U+W U:={vector([1,2,1]),vector([1,0,2])}; U := { [ 1, 2, ], [ 1, 0, ] } W:={vector([2,-1,2]),vector([2,1,1])}; W := { [ 2, -1, ], [ 2, 1, ] } { [ 1, 2, ], [ 1, 0, ] } basis(U); basis(W); { [ 2, -1, ], [ 2, 1, ] } intbasis(U,W); { [ 0, 2, -1 ] } sumbasis(U,W); { [ 2, -1, ], [ 1, 0, ], [ 1, 2, ] } VIE TM A Tỡm c s ca khụng gian U={(x1,x2,x3) / x1+x2+x3= , x1+2x2 x3= 0} A l ma trn h s ca h phng trỡnh : x1+x2+x3=0 , x1+2x2 x3= A:=matrix([[1,1,1],[1,2,-1]]); 1 1ự A := ộờờ ỳỳ ở1 -1ỷ -3 kernel(A); { ộờờ , 1, ựỳỳ } 2ỷ ở2 Ta vect Chuyn c s : Ta vect : tớnh ta vect v c s B={e1,e2,,en} ta gii h phng trỡnh tuyn tớnh : v vi BT ma trn chuyn v ca ma trn B m cỏc hng l cỏc vect c s e1,e2,,en BTX= Vớ d 1: Tỡm ta ca v=(6,9,14) c s B={(1,1,1) , (1,1,2) , (1,2,3)} with(linalg): Bt:=transpose(matrix([[1,1,1],[1,1,2],[1,2,3]])); Maple V6 58 ( ATADA-HNL 30/10/2009 ) ộ1 Bt := ờờ ờờ 1 1ự ỳ 2ỳỳ 3ỳỳỷ v := [ 6, 9, 14 ] [ 1, 2, ] Vớ d 2: Hóy biu din p= x c s B={1, (x-1) , (x-1)2 } ca P2[x] Ta tỡm ta ca p B: bng cỏch biu din theo c s chớnh tc { 1, x , x2 } v:=vector([6,9,14]); linsolve(Bt,v); B:=transpose(matrix([[1,0,0],[-1,1,0],[1,-2,1]])); ộ1 B := ờờ0 ờờ0 -1 1ự ỳ -2ỳỳ 1ỳỳỷ v:=vector([0,0,1]); v := [ 0, 0, ] linsolve(B,v); [ 1, 2, ] Suy : p = x2 = + 2(x-1) + 1(x-1)2 * Trng hp, ta tỡm ta ca nhiu vect v1, v2 , , cựng c s B, ta gii h BTX= V ú V l ma trn ct cỏc vect v1, v2 , , v kt qu X l ma trn ct: Vớ d : Tỡm ta ca v1=(6,9,14) , v2=(1,2,3) c s B={(1,1,1) , (1,1,2) , (1,2,3)} Bt:=transpose(matrix([[1,1,1],[1,1,2],[1,2,3]])); ộ1 Bt := ờờ ờờ 1ự ỳ 2ỳỳ 3ỳỳỷ 1 V:=transpose(matrix([[6,9,14],[1,2,3]])); ộ V := ờờ ờờ 14 1ự ỳ 2ỳỳ 3ỳỳỷ linsolve(Bt,V); ộ1 ờ2 ờờ 0ự ỳ 0ỳỳ 1ỳỳỷ Ma trn chuyn c s : Ma trn chuyn c s t B -> B1 l ma trn S l nghim : BTS = B1T Vớ d : B={(1,1,0 ) , (0,1,1) , (1,0,1) } v B1={(0,0,1) , (1,-1,0) , (1,1,1) } B:=transpose(matrix([[1,1,0],[0,1,1],[1,0,1]])); ộ1 B := ờờ ờờ 1 1ự ỳ 0ỳỳ 1ỳỳỷ B1:=transpose(matrix([[0,0,1],[1,-1,0],[1,1,1]])); ộ0 B1 := ờờ0 ờờ1 Maple V6 59 -1 1ự ỳ 1ỳỳ 1ỳỳỷ ( ATADA-HNL 30/10/2009 ) S=linsolve(B,B1); S1=linsolve(B1,B); ộ ờ ờ S=ờ ờ ờ ờ ộ ờ ờ S1 = ờ ờ ờ -1 2 -1 1 -1 2 -1 ự ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỷ 2 2 2 ự ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỳ ỷ NE T IV NH X TUYN TNH NHN , NH CA NH X TUYN TNH i vi cỏc ỏnh x tuyn tớnh f trờn Rn, ta tỡm nh (Imf) , nhõn (kerf) bng cỏch dựng ma trn biu din Af c s chớnh tc : Tỡm ma trn h s A v Af = AT Tỡm nh f bng lnh: rowspace( Af ) Tỡm nhõn f bng lnh: kernel( A ) VIE TM A THS Vớ d : Cho ỏnh x tuyn tớnh f :|R3 đ |R3 xỏc nh bi : f(x,y,z) = (x+2y-z , y+z , x+y-2z) Tỡm nhõn v nh ca f with(linalg): A:=matrix([[1,2,-1],[0,1,1],[1,1,-2]]); ộ1 -1ự ỳ A := ờờ0 1ỳỳ ờờ1 -2ỳỳ ỷ Nhõn ca f l nghim ca AX= , nờn: { [ -3, 1, -1 ] } kernel(A); Anh ca f l khụng gian sinh bi cỏc hng ca Af, nờn : ộ 1ự ỳ Af:=transpose(A); Af := ờờ 1ỳỳ ờờ-1 -2ỳỳ ỷ rowspace(Af); { [ 0, 1, -1 ], [ 1, 0, ] } TèM CễNG THC CA NH X TUYN TNH KHI BIT NH CA C S Vớ d : Cho ỏnh x tuyn tớnh f: |R2 đ |R2 tha: f(3,1)=(2,-4) ; f(1,1) = (0,2) Xỏc nh f(x,y) with(linalg): Ma trn chuyn v cỏc vect c s { (3,1) , (1,1) } B:=transpose(matrix([[3,1],[1,1]])); 1ự B := ộờờ ỳỳ 1ỷ Ma trn chuyn v ca nh B ImB:=transpose(matrix([[2,-4],[0,2]])); 0ự ImB := ộờờ ỳỳ -4 2ỷ Ma trn ct ca vect bt k v=(x,y) Maple V6 60 ( ATADA-HNL 30/10/2009 ) x v:=matrix(2,1,[x,y]); v := ộờờ ựỳỳ y ỷ Ma trn ta ca v B ộ 1x-1y ự ỳ ờ2 ỳ ỳ X:=linsolve(B,v); X := ỳỳ ờờ- x + yỳỳ ỷ x-y ự f(x,y)=multiply(ImB,X); f( x, y ) = ộờờ ỳỳ ở-3 x + yỷ ị f(x,y) = (x-y , -3x+5y ) TèM MA TRN BIU DIN CA NH X TUYN TNH Vớ d : Cho ỏnh x tuyn tớnh f: |R3 đ |R2 xỏc nh bi : f(x,y,z) = (3x+2y-4z , x-5y+3z ) Tỡm ma trn ca f c s B={(1,1,1) , (1,1,0) , (1,0,0) } i vi B={(1,3) , (2,5) } with(linalg): Ma trn h s ca f : f = AX A:=matrix([[3,2,-4],[1,-5,3]]); -4ự A := ộờờ ỳỳ ở1 -5 3ỷ Ma trn ct cỏc vect c s B B:=transpose(matrix([[1,1,1],[1,1,0],[1,0,0]])); ộ1 B := ờờ 1 ờờ Ma trn nh ca cỏc vect 1ự ỳ 0ỳỳ 0ỳỳỷ c s B l fB = AB 3ự fB:=multiply(A,B); fB := ộờờ ỳỳ ở-1 -4 1ỷ Ma trn ct cỏc vect c s B BB:=transpose(matrix([[1,3],[2,5]])); 2ự BB := ộờờ ỳỳ 5ỷ Ma trn ca f B,B, gii h : (BB)Af = fB -7 -33 -13ự f(B,BB)=linsolve(BB,fB); f( B , BB ) = ộờờ ỳ 8ỳỷ 19 Vớ d : Cho ỏnh x tuyn tớnh f: |R3 đ |R3 xỏc nh bi : f(x,y,z) = (2y+z , x-4y , 3x ) Tỡm ma trn ca f : a) c s chớnh tc ca |R3 b) c s E={(1,1,1) , (1,1,0) , (1,0,0) } c) Chng t hai ma trn ca f hai c s trờn ng dng A:=matrix([[0,2,1],[1,-4,0],[3,0,0]]): Ma trn hai c s : Eo:=transpose(matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]])); E:=transpose(matrix([[1,1,1],[1,1,0],[1,0,0]])); Maple V6 61 ( ATADA-HNL 30/10/2009 ) ộ1 Eo := ờờ ờờ 0ự ộ1 ỳ 0ỳỳ E := ờờ ờờ 1ỳỳỷ 1ự ỳ 0ỳỳ 0ỳỳỷ 1 Ma trn nh ca hai c s : fEo:=multiply(A,Eo); fE:=multiply(A,E); -4 1ự ộ3 ỳ 0ỳỳ fE := ờờ-3 ờờ 0ỳỳỷ Ma trn ca f hai c s: f(Eo)=linsolve(Eo,fEo); f(E)=linsolve(E,fE); ộ0 1ự ộ3 ỳ f( Eo ) = ờờ1 -4 0ỳỳ f( E ) = ờờ-6 ờờ3 0ỳỳ ờờ ỷ -6 -3 0ự ỳ 1ỳỳ 3ỳỳỷ NE T ộ0 fEo := ờờ1 ờờ3 3ự ỳ -2ỳỳ -1ỳỳỷ TM A THS c) Ma trn chuyn c s S t Eo đ E ộ 1 1ự ỳ S:=linsolve(Eo,E); S := ờờ 1 0ỳỳ ờờ 0ỳỳ ỷ Tớnh S-1(fEo)S ộ 3 3ự ỳ multiply(1/S,fEo,S); ờờ-6 -6 -2ỳỳ ờờ -1ỳỳ ỷ ị fE = S-1(fEo)S , nờn hai ma trn ny ng dng Tờn lnh charpoly(A,x) eigenvalues(A) eigenvectors(A) charmat(A,l) issimilar(A,B,P) Maple V6 VIE V CHẫO HểA MA TRN TR RIấNG,VẫCT RIấNG a thc c trng ca ma trn vuụng A : f(x) = det(x*I -A) , I l ma trn n v Tr riờng : nghim ca a thc c trng f(x)=det(x*I-A) = Vect riờng ng vi tr riờng l : mt nghim XạO ca h thun nht [lI-A]X= O Khụng gian riờng ng vi tr riờng l : Khụng gian nghim ca h [lI-A]X= O í ngha a thc c trng ca A Tr riờng ca A Tr riờng v Vect riờng ca A c cho dng danh sỏch: [l, m, {v[1,i], v[ni,i]}] tr riờng l , bi m , vect riờng c s Ma trn c trng ng vi tr l : lI A Kim tra xem A B ng dng hay khụng? v A=P-1 BP 62 ( ATADA-HNL 30/10/2009 ) Vớ d : A := matrix(3,3, [1,-3,3,3,-5,3,6,-6,4]): charpoly(A,x); x - 12 x - 16 eigenvalues(A); 4, -2, -2 ộ 3 -3ự ỳ charmat(A,4); ờờ-3 -3ỳỳ ờờ-6 0ỳỳ ỷ lst:=eigenvectors(A); lst := [ 4, 1, { [ 1, 1, ] } ], [ -2, 2, { [ 0, 1, ], [ 1, 1, ] } ] [ 4, 1, { [ 1, 1, ] } ] : tr riờng l1= (bi 1) , vect c s ca khụng riờng (1,1,2) [ -2, 2, { [ 0, 1, ], [ 1, 0, -1 ] } ] : tr riờng l2= -2 (bi 2), vect c s ca khụng riờng (0,1,1) (1,0,-1) Ly danh sỏch vect riờng t lst: vr:=[lst[1,3,1],lst[2,3,1],lst[2,3,2]]; vr := [ [ 1, 1, ], [ 1, 1, ], [ 0, 1, ] ] P:=transpose(matrix(vr)); ộ 1 0ự ỳ P := ờờ 1 1ỳỳ ờờ 1ỳỳ ỷ multiply(1/P,A,P); ộ4 0ự ỳ ờ0 -2 0ỳ ỳ ờờ0 -2ỳỳ ỷ Vớ d: A:=matrix(3,3, [1,-3,3,3,-5,3,6,-6,4]): B:=diag(eigenvalues(A)); ộ4 0ự ỳ B := ờờ0 -2 0ỳỳ ờờ0 -2ỳỳ ỷ issimilar(B,A,'P'); true ộ1 -1 2ự ỳ print(P); ờờ1 -3 7ỳỳ ờờ2 -2 5ỳỳ ỷ CHẫO HểA MA TRN VUễNG Dng Jordan jordan(A) jordan(A, 'P') ú : A l ma trn vuụng , P l ma trn chuyn i : P-1AP = J ( ma tn chộo) Vớ d: with(linalg): A:=matrix(3,3,[3,-2,0,-2,3,0,0,0,5]); ộ -2 0ự ỳ A := ờờ-2 0ỳỳ ờờ 0 5ỳỳ ỷ Maple V6 63 ( ATADA-HNL 30/10/2009 ) ộ1 ờ0 jordan(A,P); ờờ ộ ờ ờ print(P); ờ ờ ờờ Chộo húa trc giao 0ự ỳ 0ỳỳ 5ỳỳỷ -1 0ựỳ ỳ ỳ ỳ ỳ 0ỳ ỳ ỳ ỳ 1ỳỷ TM A THS NE T with(linalg): A:=matrix(3,3, [4,2,2,2,4,2,2,2,4]); ộ 2ự ỳ A := ờờ 2ỳỳ ờờ 2 4ỳỳ ỷ lst:=eigenvectors(A); lst := [ 8, 1, { [ 1, 1, ] } ], [ 2, 2, { [ 1, 0, -1 ], [ 0, 1, -1 ] } ] v:=[lst[1,3,1],lst[2,3,1],lst[2,3,2]]; v := [ [ 1, 1, ], [ 1, 0, -1 ], [ 0, 1, -1 ] ] V:=GramSchmidt(v); -1 -1 V := ộờờ [ 1, 1, ], [ 1, 0, -1 ], ộờờ , 1, ựỳỳ ựỳỳ ỷỷ ở2 vt:=[normalize(V[1]),normalize(V[2]), normalize(V[3])]; 1 1 1 1 vt :=ộờờộờờ 3, 3, ựỳỳ, ộờờ 2, 0, - ựỳỳ, ộờờ- 2, 2, - ựỳỳựỳỳ 3 ỷ ở2 ỷở 6 ởở3 ỷỷ VIE P:=transpose(matrix(vt)); 1 ộ1 3 ựỳ ờ3 ỳ ỳ ờ1 ỳ ỳ P := 3 ỳ ờ3 ỳ ỳ ỳ ờ1 1 ỳ 3 ỳỳ ờ3 ỷ orthog(P); true ộ 0ự ỳ multiply(transpose(P),A,P); ờờ 0ỳỳ ờờ 0 2ỳỳ ỷ VI DNG TON PHNG kim tra mt ma trn A xỏc nh dng hoc õm, ta dựng lnh : definite(A, kind) ú: A l mt ma trn vuụng i xng kind l 'positive_def', 'positive_semidef', 'negative_def', 'negative_semidef' Nu cỏc phn t A l s thỡ cho kt qu true, false Nu cỏc phn t A khụng l s thỡ cho kt qu l cỏc iu kin true Maple V6 64 ( ATADA-HNL 30/10/2009 ) Vớ d 1: A := matrix(2,2, [2,1,1,3]); 1ự A := ộờờ ỳỳ 3ỷ definite(A, 'positive_def'); true Vớ d 2: A := matrix(2,2, [a,b,b,d]); a bự A := ộờờ ỳỳ ởb d ỷ definite(A, 'positive_def'); -a < and -a d + b < Thc hnh ộ1 ự ộ - 2ự ỳ Cho A= ờ2 - 3ỳ , B= ờờ 1ỳỳ Tớnh ờở4 8ỳỷ ờở 4ỳỷ -1 T T A ; AA ; B AB ; (2A+BBT)AT Tớnh: 3A2 - 2A + 5I vi ộ1 - ự ộ1 0ự ỳ A = ờ2 - 1ỳ , I = ờờ0 0ỳỳ ờở3 - 2ỳỷ ờở 0 1ỳỷ Bng phng phỏp bin i s cp, tỡm ma trn nghch o ca cỏc ma trn sau: ộ1 1 ự 2ự ộ7 ự ộ1 ờ1 - - 1ỳ ỳ a) ờờ9 3ỳỳ b) ờờ2 - ỳỳ c) ờ1 - 1 - 1ỳ ờở5 ỳỷ ờở2 - ỳỷ ỳ ở1 - - 1ỷ Tớnh nh thc ca ma trn : ộx + x 0 ự ỳ x x +1 x ỳ a) A= ờ x x2 +1 x ỳ ỳ x x + 1ỷỳ ởờ ộx + x 0 ự ỳ x2 +1 x 0 ỳ x b) x x2 +1 x ỳ ỳ x x2 +1 x ỳ ờ 0 x x + 1ỳỷ c) Qui np nh thc cp n Maple V6 65 ( ATADA-HNL 30/10/2009 ) Gii cỏc phng trỡnh x a) x +1 x+2 x +1 x + x + = x + x + x + 14 b) x x2 x3 27 16 64 =0 Gii cỏc h phng trỡnh sau : ỡ2x + 7x + 3x + x = ỡ2x + x + x - x = ù ù a) ớ3x + 5x + 2x + 2x = b) ớ3x - x + 4x + 3x = ù9x + 4x + x + 7x = ù7x + x + 6x + x = 4 ợ ợ Tỡm ma trn X cho : 1ự -3 ự ộ1 ộ ỳ b) ờ2 - 4ỳ X = 47 - 20ỳỳ ờở - 4ỳỷ ờở455 - 21ỳỷ THS Gii v bin lun cỏc h sau: ỡx1 + 2x + 3x + mx = m + ùx + x + x + mx = m + ù a) ù2x1 + 3x + 4x + 2mx = 2m + ùx + x + 2x + 2mx = m + m + ợ NE T ộ1 2ự ộ 9ự a) X=ờ ỳ ỳ ở1 ỷ ở4 12ỷ TM A ỡmx + y + z = m ù b) ớ2x + (m + 1)y + (m + 1)z = m - ùx + y + mz = ợ Tỡm c s v s chiu ca khụng gian sinh bi M mi trng hp sau : a) M={(1,2,3) , (1,0,1) , (2,2,4) , (2,4,6) } khụng gian |R3 b) M={v1, v2, v3, v4 , v5} vi v1=(1,0,0,0), v2=(1,1,1,1), v3=(1,1,0,0) , v4=(3,2,1,1), v5=(3,3,2,2) VIE ỡ x1 + x + x3 = 10 Cho U l khụng gian nghim ca h phng trỡnh : v W l khụng gian ợ2 x1 + 3x + x3 = nghim ca phng trỡnh x1+x2+x3 = Tỡm c s ca cỏc khụng gian U, W, UầW, U+W khụng gian |R3 11 Cho U=< (1,2,1) , (2,3,0) > , W= Tỡm c s v s chiu ca cỏc khụng gian UầW v U+W khụng gian |R3 12 Tỡm nhõn v nh ca ỏnh x tuyn tớnh : a) f :|R2 đ |R2 xỏc nh f(x,y) = (2x-y,x-2y) b) f :|R3đ |R3 xỏc nh f(x,y,z)=(x+2y+2z ,2x-y-z ,-4x-3y-3z) 13 Cho ỏnh x tuyn tớnh f :|R2 đ |R2 xỏc nh bi : f(x,y) = (2x-3y,x+4y) Tỡm ma trn ca f c s B={(1,0) , (0,1)} i vi B={(1,3) , (2,5) } Maple V6 66 ( ATADA-HNL 30/10/2009 ) 14 Cho ỏnh x tuyn tớnh f :|R3 đ |R3 xỏc nh bi : f(1,0,0)=(1,1,1) ; f(-1,1,0)=(-2,-1,0) ; f(0,-1,-1)=(2,1,0) a) Xỏc nh f(x,y,z) b) Tỡm c s , s chiu ca Imf v kerf c) Cho W={(x,y,z) | x+y+z=0} Tỡm c s, s chiu ca f(W) 15 Ma trn ca ỏnh x tuyn tớnh f c s ộ - 18 15 ự {(8,-6,7) , (-16,7,-13) , (9,-3,7)} l ờờ- - 22 20ỳỳ ờở - 25 22ỳỷ Tỡm ma trn f c s {(1,-2,1) , (3,-1,2) , (2,1,2)} 16 Tỡm a thc c trng, tr riờng, vect riờng ca ma trn: ộ2 a ) A = ờờ ờở ộ b) B = ờ -1 -1 1ự ỳỳ 2 ỳỷ - -1 - ự - ỳỳ -2 ỳ ỳ -1 ỷ ỡ i = j 17 Cho ma trn Anxn nh ngha : aij = ợ i j a) Tớnh det(A) b) Tớnh a thc c trng ca A c) Xỏc nh mi tr ring v vect c s ca khụng gian riờng tng ng 18 Chộo húa cỏc ma trn sau (nu c) ộ1 0 ự a) ờờ2 0ỳỳ ờở3 3ỳỷ ộ1 - 3ự b) ờờ3 - 3ỳỳ ờở6 - 4ỳỷ 19 Chộo húa trc giao cỏc ma trn (nu c) ộ - 2ự ộ -3 1ự ỳ a) ờ- 0ỳ b) ờờ- - 1ỳỳ ờở 7ỳỷ ờở - ỳỷ 20 Dựng phộp bin i trc giao a dng ton phng v dng chớnh tc : a) f(x,y) = 2x2 +8xy +8y2 b) f(x,y,z) = 3x2 +2y2 +z2 +4xy +4yz 21 Phõn loi ng cong bc hai : a) 3x2 +10xy +3y2 -2x -14y -13 = b) 25x2 -14xy +25y2 + 64x -64y -224 = Maple V6 67 ( ATADA-HNL 30/10/2009 ) [...]... LIÊN TỤC I GIỚI HẠN 1) Giới hạn hàm một biến Câu lệnh : limit(f, x=a); limit(f, x=a, dir); f - một biểu thức đại số (an algebraic expression ) x - một tên (a name) a - một biểu thức đại số ( điểm giới hạn , có thể infinity, -infinity) dir – (tùy chọn) hướng lấy giới hạn là : left, right, real, complex Ví dụ 1: Tính 1 lim cos( x) x x ®0 limit(cos(x)^(1/x),x=0); ® 1 Vì Maple phân biệt chữ hoa và chữ thường,... -1 và Ln(x) = ( x.L n-1 ( x) - L n-2 ( x) ) + L n-1 ( x) khi n>1 n a) Tính L7(x) b) Vẽ đồ thị L2(x) , L3(x) trên cùng một hệ trục tọa độ x 6 Cho f(x) = 2 Tính f2(x) , f3(x) và vẽ đồ thị của chúng x +1 Vẽ vật thể giới hạn bởi các mặt: 7 y= x2 , z = y , z +y =2 8 x2 + y2 = 4 , z = -2 , y + z = 2 9 x2 + y2 + z2 = 4 , x2 + y2 = 1 10 x2 + y2 - 4z2 + 4 =0 , z = 2 Maple V6 23 ( ĐATADA-ĐHNL 30/10/2009 ) GIỚI... miền D : -10≤ x ≤10 và -10≤ y ≤10 plot3d(x^2+y^2,x=-10 10,y=-10 10, orientation=[30,90],axes=normal); VIE plot3d(x^2+y^2,x=-10 10,y=- 10 10, orientation=[30,90],style=wireframe,axes=normal); plot3d(x^2+y^2,x=-10 10,y=- 10 10, orientation=[30,90],style=patchnogrid); Chú ý: * Để xoay đồ thị , ta click chuột vào đồ thị, ấn giữ và di chuyển chuột * Để thay đổi các lựa chọn, ta đưa chuột vào đồ thị , ấn nút... -15x -12y x + x +1 c) u = xyz thỏa điều kiện : x + y + z = 5 và xy + yz + zx = 8 8) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : VIE a) y = 3 ( x 2 - 2 x) 2 trên [0,3] b) z= x2 + y2 –xy +x +y trong miền x≤ 0 ; y≤0 và x+y + 3 ≥ 0 9) Tìm khoảng cách ngắn nhất từ mặt x2 + y2 –z2 = 1 đến gốc O 10) Tìm trên ellip x2 + 9y2 = 9 các điểm gần nhất và xa nhất đối với đường thẳng 4x + 9y = 16 Maple V6 34 ( ĐATADA-ĐHNL... ) assume(a>0): limit(exp(a*x)*cos(b*x),x=-infinity); Maple V6 24 ® 0 ( ĐATADA-ĐHNL 30/10/2009 ) 2) Giới hạn hàm nhiều biến Câu lệnh : limit(f, points) limit(f, points, dir) trong đó : f – một biểu thức đại số chứa x , y … points – tập hợp các đẳng thức dạng { x=a , y=b … } dir – (tùy chọn) hướng lấy giới hạn Ví dụ 1: Tính lim x ®0 y ®0 x2 - y2 x2 + y2 limit((x^2-y^2)/(x^2+y^2), {x=0,y=0}); undefined... THS Trong trường hợp giới hạn hai phía khơng xác định, ta xét giới hạn bên phải, bên trái : Limit(exp(1/x),x=0): %= value(%); lim e x®0 ỉç 1 ư÷ çè x ÷ø = undefined TM A Limit(exp(1/x),x=0,right): %= value(%); lim e ỉç 1 ư÷ çè x ÷ø x ® 0+ =¥ Limit(exp(1/x),x=0,left): %= value(%); lim e =0 VIE x ® 0- ỉç 1 ư÷ çè x ÷ø Trong trường hợp có tham số, ta cần xác định tham số mới tính được giới hạn : limit(exp(a*x)*cos(b*x),x=-infinity);... Ghép hai phần giao này ta được vật thể giới hạn bởi hai hình trụ trên K:= plot3d({sqrt(1-y^2),-sqrt(1-y^2)}, y=-sqrt(1-x^2) sqrt(1-x^2),x=-1 1, orientation=[45,45],axes=NORMAL,color=gold): J:=plot3d({[x,sqrt(1-x^2),z],[x,-sqrt(1-x^2),z]}, x=-1 1,z=-sqrt(1-x^2) sqrt(1-x^2), color=yellow): display({K,J}); Maple V6 21 ( ĐATADA-ĐHNL 30/10/2009 ) Ví dụ : Dựng vật thể giới hạn bởi các mặt : y = x ;y = 2 x... CơngThức2 else CơngThức3 fi; trong đó các từ in đậm là từ khóa bắt buộc phải có Ví dụ 4 : Định nghĩa dãy số Lucas Ln bởi cơng thức : Maple V6 12 ( ĐATADA-ĐHNL 30/10/2009 ) L1=1, L2=3 và Ln = Ln-1 + Ln-2 Nhập lệnh như dưới đây và dùng Shift+Enter để xuống dòng: L:=n-> if not type(n,'nonnegint') then ERROR("n la so nguyen duong ") elif n=1 then 1 elif n=2 then 3 else L(n-1)+L(n-2) fi; L(3); L(4); -> 4 ->...  option gồm : o tilte =” Tiêu đề đồ thị “ o titlefont= [family, style, size] o color=n o style = point , line, patch … o numpoints : số điểm vẽ (độ mịn) o axes = none, normal, boxed, framed o legend=[danh sách chú thích] x Ví dụ : Vẽ đồ thị hàm số y= 2 x +1 TM A THS plot(x/(x^2+1),x=-10 10,title="Do thi ham so"); Ví dụ 2 : Vẽ đồ thị hàm số y=sinx (màu đỏ, từng điểm) và y= x - x3 ( màu xanh, kiểu line)... ẩn: F(x,y) = 0 Trước khi ra lệnh vẽ phải gọi thủ tục vẽ đồ thị hàm ẩn bởi lệnh: with(plots,implicitplot); và vẽ bằng lệnh : implicitplot(F(x,y),x=a b,y=c d); Ví dụ1: Vẽ đồ thị hàm ẩn : x3 +y3 -3xy = 0 with(plots,implicitplot); implicitplot(x^3+y^3-3*x*y,x=-2 2, y=-2 2); Ví dụ 2: Vẽ đồ thị x2 – y2 =1 và x2+y2 =4 with(plots): k:=implicitplot(x^2 - y^2 = 1,x=-2 2, y=-2 2,color=red): g:=implicitplot(x^2+y^2=4,x=-2 ... thể giới hạn mặt: y= x2 , z = y , z +y =2 x2 + y2 = , z = -2 , y + z = x2 + y2 + z2 = , x2 + y2 = 10 x2 + y2 - 4z2 + =0 , z = Maple V6 23 ( ĐATADA-ĐHNL 30/10/2009 ) GIỚI HẠN – LIÊN TỤC I GIỚI... orientation=[30,90],style=patchnogrid); Chú ý: * Để xoay đồ thị , ta click chuột vào đồ thị, ấn giữ di chuyển chuột * Để thay đổi lựa chọn, ta đưa chuột vào đồ thị , ấn nút phải chuột Maple V6 18 ( ĐATADA-ĐHNL 30/10/2009... TỤC I GIỚI HẠN 1) Giới hạn hàm biến Câu lệnh : limit(f, x=a); limit(f, x=a, dir); f - biểu thức đại số (an algebraic expression ) x - tên (a name) a - biểu thức đại số ( điểm giới hạn , infinity,