Mở rộng định lý thác triển picard đối với họ chuẩn tắc đều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––––––– TRẦN THỊ HUYỀN MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN PICARD ĐỐI VỚI HỌ CHUẨN TẮC ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––––––– TRẦN THỊ HUYỀN MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN PICARD ĐỐI VỚI HỌ CHUẨN TẮC ĐỀU Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHẠM VIỆT ĐỨC THÁI NGUYÊN - 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng tôi, hướng dẫn tận tình chu đáo PGS.TS Phạm Việt Đức Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả TRẦN THỊ HUYỀN ii LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư Phạm Thái Nguyên, nơi mà hoàn thành chương trình cao học giảng dạy nhiệt tình tâm huyết Thầy, Cô Đặc biệt, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Phạm Việt Đức, người Thầy trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để hoàn thành luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè người giúp đỡ chia sẻ với suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả TRẦN THỊ HUYỀN iii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii MỞ ĐẦU Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm chỉnh hình bị chặn 1.2 Hình học phi Euclide 1.3 Hàm chuẩn tắc họ chuẩn tắc 1.4 Hàm độ dài khoảng cách không gian phức .10 1.5 Ánh xạ chỉnh hình vào không gian hyperbolic 17 Chƣơng MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN PICARD ĐỐI VỚI HỌ CHUẨN TẮC ĐỀU 2.1 Họ chuẩn tắc số tính chất .23 2.2 Mở rộng định lý thác triển Picard họ chuẩn tắc .31 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 MỞ ĐẦU Theo định nghĩa Cima Krantz [10] ánh xạ chuẩn tắc, Jarvi [29] chứng tỏ ánh xạ chuẩn tắc f  H  D* , P1  thành ánh xạ chuẩn tắc f  H  M  A, P1   f  H  D, P1   ;  thác triển ánh xạ chuẩn tắc thác triển thành ánh xạ f  H  M, P1  M miền hyperbolic n   , A divisor M với giao chuẩn tắc Mục đích luận văn trình bày số kết M.Kwack việc mở rộng kết cách chứng tỏ tất ánh xạ họ chuẩn tắc F  H  M  A,Y  thỏa mãn định lý thác triển dạng Picard lớn Y không gian phức, M đa tạp phức A divisor M với giao chuẩn tắc Ngoài ra, luận văn chứng tỏ rằng: họ thác triển C  M ,Y  ; F  compact tương đối C  M ,Y   nữa, M  A   D*  Y compact họ H  M ,Y ; F  m họ chuẩn tắc Các kết trình bày luận văn mở rộng kết Kobayashi, Kwack, Kiernan, Joseph Kwack việc mở rộng định lý thác triển Picard lớn ánh xạ chỉnh hình Luận văn gồm chương: Chƣơng trình bày kiến thức chuẩn bị hàm chỉnh hình bị chặn, hình học phi Euclid, hàm chuẩn tắc họ chuẩn tắc đều, hàm độ dài khoảng cách sinh hàm độ dài không gian phức, ánh xạ chỉnh hình vào không gian hyperbolic Chƣơng nội dung luận văn, trình bày họ chuẩn tắc kết mở rộng định lý thác triển Picard lớn họ chuẩn tắc Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm chỉnh hình bị chặn 1.1.1 Định lý (Định lý thác triển Riemann) Một hàm chỉnh hình bị chặn f xác định đĩa thủng D*  z  :0  z  1 thác triển thành hàm chỉnh hình f xác định đĩa D   z  : z  1 1.1.2 Định lý (Định lý Liouville) Một hàm nguyên bị chặn hàm Với X , Y không gian phức, kí hiệu H  X ,Y   C  X ,Y   không gian ánh xạ chỉnh hình (liên tục) từ X vào Y Ta sử dụng H  X   C  X   thay cho H  X ,  C  X ,   Tất không gian hàm trang bị tôpô compact mở Hình cầu Riemann biểu thị P1   1.1.3 Định lý (Bổ đề Hurwitz) Cho U miền H U , P1    a f  H U , P1  cho mà hội tụ tới f  H U , P1  f  k  dãy Khi f   a Một họ hàm chỉnh hình F xác định miền U  gọi chuẩn tắc dãy F chứa dãy hội tụ H U  dần đến  Bổ đề Hurwitz chứng tỏ tính chuẩn tắc họ F  H U  tương đương với tính compact tương đối họ xem họ tập H U , P1   Cho X , Y không gian tô pô Một họ F  C  X ,Y  gọi liên tục đồng từ p  X tới q  Y tập mở U Y quanh q , tồn tập mở V ,W X , Y quanh p, q tương ứng cho:  f  F : f  p   W   f  F : f V   U  Nếu F liên tục đồng từ p  X tới q  Y ta nói F liên tục đồng (từ X tới Y ) Ta có định lý Ascoli-Arzelá sau: 1.1.4 Định lý Cho X không gian compact địa phương quy cho Y không gian quy Khi F  C  X ,Y  compact tương đối C  X ,Y  khi: a F liên tục đồng b F  x    f  x  : f  F  compact tương đối Y với x  X Cho  X ,   Y ,  không gian giả metric, cho f  C  X ,Y  cho c  Ta nói f Lipschitz bậc c ứng với     f  a  , f  b    c  a, b  với a, b  X họ F  C  X ,Y  Lipschitz bậc c ứng với   f  F Lipschitz bậc c ứng với   Trong trường hợp đặc biệt rút ngắn thuật ngữ nói F Lipschitz Nếu F  C  X ,Y  Lipschitz bậc ứng với   ta nói F giảm khoảng cách ứng với   Với Y không gian tô pô, Y  compact hóa điểm Y Y không compact, Y   Y Y compact Định lý sau đưa tính chất quan trọng họ giảm khoảng cách 1.1.5 Định lý Cho Y ,  không gian metric compact địa phương Cho X không gian tô pô  giả metric X mà liên tục X  X Nếu F  C  X ,Y  Lipschitz ứng với   , F compact tương đối C  X ,Y   1.1.6 Định lý (Định lý Montel) Một họ bị chặn địa phương F hàm chỉnh hình xác định miền U compact tương đối H U  1.2 Hình học phi Euclide Nhóm tự đẳng cấu A  D  đĩa D cho T  z   ei za , a  D  az Khoảng cách hyperbolic d D metric Poincaré dz  1 z bất biến A  D  thỏa mãn: d D  z,   inf      đường cong nối z  Tiếp theo bổ đề Schwarz-Pick sau chứng tỏ H  D, D  giảm khoảng cách khoảng cách hyperbolic 1.2.1 Định lý (Bổ đề Schwarz-Pick [34]) Với f  H  D, D  , ta có: f  z   f    f  z  f    z   z ; z,  D f '  z 1 f  z  1 z ; z D trừ tự đẳng cấu 1.2.2 Định lý (Định lý Montel [3]) Cho M miền Khi họ H  M ,  0,1 họ chuẩn tắc, tức compact tương đối H  M , P1   1.2.3 Định lý (Định lý Picard bé [3]) Mỗi hàm f  H  ,  0,1 hàm 1.2.4 Định lý (Định lý Picard lớn [3]) Mỗi ánh xạ f  H  D, P1  f  H  D* ,  0,1 thác triển thành  1.2.5 Định lý (Carathéodory [3])  Cho F  H  D* ,  0,1 Khi họ F  f : f  F F compact tương đối H  D, P1    1.2.6 Định lý (Định lý Schottky) Có số c  phụ thuộc vào r f   cho: sup f  z   c z r với f  H  D,  0,1 thác triển 28 H D, M n n giảm khoảng cách ứng với k D kM , ta thấy zn a điều mâu thuẫn với giả thiết Để chứng minh   tương đương với mệnh đề lại ta suy từ 1   3 bao hàm thức F A M F H M, M , mệnh đề 2.1.10, 2.1.11 Vậy định lý chứng minh 2.1.15 Hệ Cho M đa tạp hyperbolic nhất, Y không gian phức F H M ,Y họ bất biến (Tức F F A M ) Khi F chuẩn tắc F compact tương đối C M ,Y ; Nếu M D Y C , F chuẩn tắc F chuẩn tắc theo nghĩa Wu [9] Chứng minh Khẳng định suy từ mệnh đề 2.1.10 điều kiện định lý 2.1.14 Khẳng định suy từ bổ đề Hurwitz Hệ chứng minh Sau số ví dụ họ chuẩn tắc 2.1.16 Ví dụ Hahn [20] gọi f ,Y chuẩn tắc f H chuẩn tắc theo nghĩa Wu [9] miền bị chặn H D, n Y không gian phức compact tương đối đa tạp Hermitian 2.1.17 Ví dụ Cho X không gian phức compact tương đối không gian phức Y Zaidenberg gọi họ F F H D, compact H , Y H , X s chuẩn tắc đa tạp phức 29 2.1.18 Ví dụ Trong [11] không gian phức X không gian phức Y nhúng hyperbolic Y FX ,Y compact tương đối , và F X ,Y C D,Y 2.1.19 Ví dụ Cima Krantz [10] gọi f cK với c f* E hyperbolic n , P1 C chuẩn tắc miền Họ chứng tỏ f chuẩn tắc 2.1.20 Ví dụ Krantz [36] định nghĩa f cK với c f* E H E hàm độ dài cầu compact tương đối H F H D, H D,Y họ chuẩn tắc miền hyperbolic , P1 C H ánh xạ Bloch E hàm độ dài Euclide n 2.1.21 Định lý Cho M đa tạp phức, Y không gian phức, F H M ,Y Các mệnh đề sau tương đương: F chuẩn tắc F H D,M tập liên tục đồng H D,Y Có hàm độ dài E Y cho f * E K M , với f F Chứng minh Được suy từ mệnh đề 2.1.12 Đầu tiên chứng tỏ với hàm độ dài E Y tập compact Q f* E cK M f Q với f tương tự chứng minh Y , có số c cho F Chứng minh lập luận định lý 1.5.4, chương Nếu 30 Q Y compact không xảy hàm độ dài E , có dãy pn , f n , K M q Q cho pn 1, f n pn H D, M d fn n q, E df n thỏa mãn n pn pn E d f n n n n e r tập liên tục đồng cho f n Dr , mà ta gọi fn n n Dr V ; Dãy hạn chế , chuẩn tắc tập compact tương đối H Dr ,Y Một dãy hội tụ tới h H Dr ,Y Điều mâu thuẫn với điều kiện d f n Q, Cho V lân cận compact tương đối q, nhúng H D,Y , nên có số fn F , Tpn M , f n pn n Từ kéo theo dãy hyperbolic Y Từ F H D, M M , fn fn n n Từ ta có hàm khoảng cách d E Y cho F H D, M giảm khoảng cách từ k D tới d E suy từ định lý 1.1.5, chương mệnh đề 2.1.12 Định lý chứng minh Hệ 2.1.22 sau trường hợp tổng quát định lý Picard bé suy từ điều kiện tương đương định lý 2.1.19, k với p, q  2.1.22 Hệ Mọi ánh xạ chuẩn tắc xác định ánh xạ p, q 0, 31 2.2 Mở rộng định lý thác triển Picard họ chuẩn tắc Định lý sau thiết lập tính chất đặc trưng họ chuẩn tắc từ đa tạp phức M nhúng hyperbolic đa tạp phức N 2.2.1 Định lý Cho M đa tạp phức, nhúng hyperbolic đa tạp phức N cho Y không gian phức Các điều kiện sau tương đương với F  H  M ,Y  : 1  2 F chuẩn tắc Nếu p Y  g  , z  n n dãy tương ứng F H D* , M , D* thỏa mãn zn  0, gn  zn   p, với lân cận U p, có số  r  cho g n  Dr*   U  3 Có hàm độ dài E Y cho f *  E   K M ,N với f  F Chứng minh 1   2 Từ điều kiện tương đương   mệnh đề 2.1.11 điều kiện tương đương  3 định lý 2.1.19 ta có hàm độ dài E Y cho F H D* , M giảm khoảng cách từ k D tới d E Lập luận tương * tự chứng minh 1     3 định lý 1.5.2 , chương 1, ta suy   chứng minh  2   3 Ta chứng tỏ với tập compact   Q  Y hàm độ dài E Y , tồn c  cho cE  df  p  v   với f  F , f  p  Q, v  Tp  M  K M , N  v   Ta lập luận tương tự chứng minh 1   2 định lý 1.5.4, chương Giả sử Q  Y compact  3 không xảy với hàm độ dài E Khi tồn q  Q dãy  fn , pn,vn  32 cho f n  F ,   f n  pn   Q,  Tpn  M  , E  df n  p    n K M , N    n cho f n  pn   q Khi có dãy n   FM , N rn   1,2  thỏa mãn   n  0  pn ,  dn 0  rne   E  d  f n n  0  rne   n Giả sử có số  r  cho có dãy dãy hạn chế  f n n  Dr , kí hiệu  fn n , thỏa mãn f n n  F H  Dr , M  ; từ   ta có F H  Dr , M  liên tục đồng từ f n n    q ta nhận mâu thuẫn chứng minh     3 định lý 2.1.19 Mặt khác ta giả sử dãy  zn  D* thỏa mãn zn  n  zn   N  M Cho  n  dãy A  D  cho  n    zn hn  n  n cho D* Khi hn  H  D* , M  , f n hn  n1     q  n1    Đặt gn  f n hn lấy V lân cận compact tương đối q nhúng hyperbolic Y Có số  r  cho g n  Dr*   V g n thác triển tới g n  H  D,Y  ; có dãy       0  E  d  f g n , gọi g n , thỏa mãn g n  g  H  D,Y  , điều mâu thuẫn với d g n 1 n n   n  0  e   3  1 Dễ dàng có từ định lý 2.1.19 K M , N  K M M Định lý chứng minh 2.2.2 Định nghĩa Một divisor A đa tạp phức M gọi có giao chuẩn tắc điểm A tồn hệ tọa độ phức z1, , zm M cho mặt địa phương M  A   D*   D s với r  s  m r Bổ đề sau dùng để chứng minh định lý 2.2.4 33 2.2.3 Bổ đề Giả sử Y không gian phức cho F  H  D  * m  ,Y họ chuẩn tắc Nếu n  , f n  dãy  D*  F tương ứng m cho n  0  Dm f n n   p Y , với lân cận U p có  lân cận W 0 D m cho f n W   D*  m  U Chứng minh Ta chứng minh phương pháp quy nạp m Điều kiện tương đương   định lý 2.2.1 suy bổ đề với m  Giả sử bổ đề với số nguyên k không với số nguyên k  Cho F  H  D*  k 1  D  ,Y  chuẩn tắc đều, cho  ,  dãy * k 1 ' n cho n  0  Dk 1,n'  0 cho  fn n dãy F cho f n n   p, f n n'  không hội tụ tới p Gọi U ,V lân cận mở compact tương đối p cho V  U giả sử f n n'   Y  U Đặt n   sn , tn  , '   s ' , t '  ,0   s0 , t0  n n n sn , sn' , s0   D*  k tn , tn' , t0  D* Đặt   D  ,  D    F1  t  H * k * k 1  : t  D ,  s    s,t  * t F2   s  H D* ,  D*  Khi F F1  H   D  * k  ,Y k 1  F   : s   D*  , s  t    s, t  k F2  H  D* ,Y  họ chuẩn tắc f n tn dãy F F1, sn  s0 f n tn  sn   p 34   Theo giả thiết quy nạp, có lân cận N1 s0 cho f n tn N1   D*   V   f n tn s 'n V Có dãy f n t  s ' n n f n t  s ' n n , k ký hiệu , cho f t  s ' n n n   q V ;   f n tn s 'n  f n  s'  tn  n Ta có tn'  t0 có lân cận N t0 D cho f n  s'  N  D*   U n Điều kéo theo f n  s'  tn'  U , điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy suy n điều phải chứng minh 2.2.4 Định lý Cho M đa tạp phức, cho A divisor M với giao chuẩn tắc, cho Y không gian phức F  H  M  A,Y  chuẩn tắc Khi đó: 1 Mỗi f  F có thác triển tới f  C  M ,Y    2 C  M ,Y  ; F  tập compact tương đối C  M ,Y    3 C  M ,Y  ; F  tập compact C  M ,Y     Nếu  f n  dãy  5 F f n  f , f n  f Nếu M hyperbolic K M  A,M  K M , H  M ,Y ; F  chuẩn tắc Chứng minh 35 Để chứng minh f  F thác triển tới f  C  M ,Y   C  M ,Y  ; F  tập compact tương đối C  M ,Y   , ta giả thiết M  D m , F  H  D  * m  ,Y Do ta cần chứng tỏ f  F thác triển tới f  C  Dm ,Y   C  Dm ,Y  ; F  liên tục đồng từ D m tới Y  ; theo bổ đề 2.2.3 ta có điều cần chứng minh Để kết th úc chứng minh 1 , f  F có dãy fn  f Khi có dãy f  nk  fn F cho  fn cho f nk  g  C  M ,Y   ; g  f 1 chứng minh Để chứng minh  3 ta chứng tỏ C  M ,Y  ; F   C  M ,Y  ; F  áp dụng điều kiện   Nếu g  F có dãy 1  f n    ta có f nk  g với dãy F cho f n  g Từ f  nk  fn ta nhận bao hàm thức thứ Để chứng minh bao hàm thức ngược lại  fn dãy F f n  g f n  g M  A Từ  3 chứng minh Để chứng minh   , từ  3 ta có dãy  f  có dãy n   hội tụ; f nk dãy hội tụ f nk  f Cuối ta chứng minh   Từ định lý 2.2.1, có hàm độ dài E Y cho f *  E   K M  A,M với f  F Lấy f  H  M ,Y ; F  Có dãy  f n  F cho f n  f Từ suy f Định lý chứng minh *  E   K M  A, M  K M 36 Mệnh đề   định lý 2.2.4 mở rộng kết Jarvi (Định lý 1.3.3, chương 1) Trong trường hợp đặc biệt ta có: 2.2.5 Hệ Nếu F  H  D  ,Y  chuẩn tắc đều, H D ,Y ; F  * m m chuẩn tắc Chứng minh Từ   định lý 2.2.4 k D  * m , Dm  kDm Ta suy điều phải chứng minh Hệ đưa đặc trưng không gian nhúng hyperbolic theo ngôn ngữ ánh xạ giảm khoảng cách D* Đặc trưng làm sáng tỏ thêm vai trò tính nhúng hyperbolic việc tổng quát Kobayashi kết Kwack mở rộng định lý Picard lớn 2.2.6 Hệ Cho X không gian phức không gian phức Y Khi điều kiện sau tương đương: 1 X nhúng hyperbolic Y  2 H  D* , X  tập chuẩn tắc H  D* ,Y   3 Có hàm độ dài E Y cho f *  E   K D* với f  H  D* , X    Có hàm độ dài E Y cho f *  E   K D* ,D với f  H  D* , X  Chứng minh 1   2 Xem định lý 1.5.7, chương  2   3 Xem định lý 2.1.19  3   4 Xem định lý 2.2.1 37  4  1 Mỗi f  H  D, X giảm khoảng cách k D d E H  D, X  compact tương đối H  D,Y   Từ ta có điều phải chứng minh Tập hợp kết nói ta thu tính chất đặc trưng họ chuẩn tắc sau: 2.2.7 Định lý Các mệnh đề sau tương đương với X ,Y không gian phức F  H  X ,Y  : 1 F chuẩn tắc  2 F H  D* , X  chuẩn tắc  3 C  D,Y  ; F H  D* , X  tập compact C  D,Y      4 H  D,Y ; F H  D* , X  tập compact tương đối C  D,Y      5 C  D,Y  ; F H  D* , X  tập compact tương đối C  D,Y    6 H  D,Y ; F H  D* , X  tập compact tương đối C  D,Y   7 F thỏa mãn điều kiện sau đây: a F H  D* , X  tập compact tương đối C  D, Y   ,  b  Mỗi f  F H  D* , X  thác triển tới f  C  D,Y   ,  c  Nếu  f n  dãy F H  D* , X  cho f n  f , f n  f Chứng minh 1   2 Được suy từ   mệnh đề 2.1.11 38  2   3 Được suy từ  3 định lý 2.2.4  3   4 , 5 ,  6 Dễ dàng suy bao hàm thức H  D,Y ; F H  D* , X   C  D,Y  ; F H  D* , X   C  D,Y  ; F H  D* , X       4      1 Ta có F H  D, X  tập tập hợp thác triển  5 ,     nên suy 1  2    Điều kiện  a  suy từ mệnh đề 2.1.10, điều kiện  b   c  suy từ định lý 2.2.4     5 Cho  f n  dãy ta có dãy  f   f  cho nk n F H  D* , X  Do điều kiện  a  f nk  f  C  D* ,Y   ; f nk , f tồn với k suy từ điều kiện  b  f nk  f suy điều kiện  c  Định lý chứng minh 39 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kết mở rộng định lý Picard lớn họ chuẩn tắc Các kết luận văn bao gồm: Trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian phức hyperbolic số kết mở rộng định lý thác triển Picard ánh xạ chỉnh hình Trình bày số tính chất họ chuẩn tắc Trình bày mở rộng định lý thác triển Picard họ chuẩn tắc 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu lý thuyết không gian phức hyperbolic, Nhà xuất Đại học sư phạm Tiếng Anh [2] A J Lohwater and Ch Pommerenke (1973), On normal meromorphic functions, Ann Acad Sci Fenn Ser AI 550 [3] C Carathéodory (1954), Theory of Functions, vol II Chelsea, New York [4] E F Collingwood and A J Lohwater (1966), The Theory of Cluster Sets, Cambridge University Press, London [5] E Hille (1962), Analytic Function Theory, vol II Ginn, Lexington, MA [6] G Aladro (1987), Applications of the Kobayashi metric to normal functions of several complex variables, Utilitas Math 31, 13-24 [7] G Aladro and S G Krantz (1991), A criterion for normality in n , J Math Anal and Appl 161, 1-8 [8] H Royden (1971) Remarks on the Kobayashi metric, Proc Maryland Conference on Several Complex Variables Lecture Notes, Vol 185, Springer-Verlag, Berlin [9] H Wu (1967) Normal families of holomorphic mappings , Acta Math 119, 193 -233 [10] J A Cima and S.G Krantz (1983), The Lindelof principle and normal functions of several complex variables, Duke Math, Jour 50, 303-328 [11] J E Joseph and M H Kwack (1994), Hyperbolic imbedding and spaces of continuous extensions of holomorphic maps, Jour Geom Analysis 4, No.3, 361-378 [12] J E Joseph and M H Kwark (1996), Some classical theorems and families of normal maps in several complex variables, Complex Variables 29, 343 -362 41 [13] J L Kelley (1955), General Topology, Van Nostrand, Princeton, N J [14] J Noguchi (1985) Hyperbolic fiber spaces and Mordell’s conjecture over function fields, Publ Research Institute Math Sciences Kyoto University 21, no 1, 27 -46 [15] J Noguchi (1988) Moduli spaces of holomorphic mappings into hyperbolically imbedded complex spaces and locally symmetric spaces, Invent Math 93, 15-34 [16] J L Schiff (1993) Normal Families, Universitext, Springer-Verlag, New York [17] K Funahashi (1984), Normal holomorphic mappings and classical theorems of function theory, Nagoya Math J 94, 89-104 [18] K T Hahn (1986), Higher dimensional generalizations of some classical theorems on normal meromorphic functions, Complex Variables 6, 109-121 [19] K T Hahn (1988), Non – Tangential limit theorems for normal mappings, Pac J Math 135, 57-64 [20] K T Hahn (1987), Boundary behavior of normal and nonnormal holomorphic mappings, Proc KIT Math Workshop, Analysis and Geometry, KIT Math Research Center, Taejon, Korea [21] K T Hahn (1989), Hyperbolicity of the complement of closed subsets in a compact Hermitian manifold Complex Anal and Appl.’87, Sofia, pp, 211-218 [22] K Noshiro (1938) Contributions to the theory of meromorphic functions in the unit circle, J Fac Sci Hokkaido Univ 7, 149-159 [23] M Abate (1993), A characterization of hyperbolic manifolds, Proc AMS 117, 789-793 [24] M L Green (1977), The hyperbolicity of the complement of 2n+1 hyperplanes in general position in Pn , and related results, Proc AMS 66, 109-113 [25] M H Kwack (1996), Families of normal maps in several complex variables and classical theorems in complex analysis, Lecture Notes Ser, 33, Seoul National University, Seoul 42 [26] M G Zaidenberg (1992) Schottky- Landau growth estimates for s- normal families of holomorphic mappings Math Ann 293, 123-141 [27] M G Zaidenberg (1983) Picard’s theorem and hyperbolicity, Siberian Math J 24, 858-857 [28] O Lehto and K I Virtanen (1957), Boundary behaviour and normal meromorphic functions, Acta Math 97, 47-65 [29] P Jarvi (1988), An Extension theorem for normal functions in several variables, Proc AMS 103, 1171-1174 [30] P Kiernan (1972), Extentions of Holomorphic maps, Trans Amer Math Soc 172, 347-355 [31] P Kiernan (1973), Hyperbolically imbedded spaces and the big Picard theorem Math Ann 204, 203-209 [32] P Lappan (1974), A criterion for a meromorphic function to be normal, Comment Math Helvetici 49, 492-495 [33] R M Timoney (1978) A necessary and sufficient condition for Bloch functions, Proc AMS 71(2), 263-266 [34] S Kobayashi (1970), Hyperbolic Manifolds and Holomorphic Mappings Marcel Dekker, New York [35] S Kobayashi (1993), Relative intrinsic distance and hyperbolic imbedding, Symposia Mathematica, Proceedings of “Recent Advances in Differential Geometry” Pisa 36 (to appear) [36] S G Krantz (1993), Geometric Analysis and Function Spaces, CBMS, Amer Math Soc 81, Providence, RI [37] S Lang (1987), Introduction to Complex Hyperbolic Spaces, Springer – Verlag, N.Y [38] W K Hayman (1964), Meromorphic Functions, Oxford Univ, Press, Oxford [...]... quát của định lý Picard bé và được suy ra từ điều kiện tương đương 3 của định lý 2.1.19, do k với p, q  2.1.22 Hệ quả Mọi ánh xạ chuẩn tắc xác định trên đều là ánh xạ hằng p, q 0, 31 2.2 Mở rộng định lý thác triển Picard đối với họ chuẩn tắc đều Định lý sau thiết lập tính chất đặc trưng của các họ chuẩn tắc đều từ một đa tạp con phức M nhúng hyperbolic trong một đa tạp phức N 2.2.1 Định lý Cho M... Định nghĩa Cho X, Y là các không gian phức Một họ F chuẩn tắc đều trong H X ,Y nếu F H M , X f là compact tương đối trong với mỗi đa tạp phức M Ta nói rằng f là một ánh xạ chuẩn tắc nếu C M ,Y họ H X ,Y là là chuẩn tắc đều Rõ ràng rằng từ định nghĩa 2.1.8 mỗi phần tử của một họ chuẩn tắc đều là một ánh xạ chuẩn tắc Ví dụ 2.1.9 khẳng định rằng một họ các ánh xạ chuẩn tắc có thể không là chuẩn tắc đều. .. MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN PICARD ĐỐI VỚI HỌ CHUẨN TẮC ĐỀU 2.1 Họ chuẩn tắc đều và một số tính chất Trong phần này chúng tôi mở rộng khái niệm ánh xạ chuẩn tắc lên một họ các ánh xạ vào không gian phức nhúng hyperbolic Trước hết ta nhắc lại một số kết quả 2.1.1 Mệnh đề Nếu f H là một miền hyperbolic trong là chuẩn tắc khi và chỉ khi df , P1 2.1.2 Mệnh đề Một họ bất biến F sup df : f F F là chuẩn tắc. .. phức với một hàm độ dài E và F H X ,Y Nếu sup df : f F H D, X là compact tương đối trong C D,Y F , thì họ Ta sẽ chứng tỏ rằng định lý đảo của định lý 2.1.7 cũng vẫn đúng [Định lý 2.1.19(3)] Trong định nghĩa 2.1.8 dưới đây ta sẽ gọi một họ các ánh xạ là chuẩn tắc đều nếu nó thỏa mãn các kết luận của định lý 2.1.7 Định nghĩa này là mở rộng khái niệm ánh xạ chuẩn tắc của Lehto-Vertanen và họ chuẩn tắc đều. .. z2   Rõ ràng một họ chuẩn tắc đều là chuẩn tắc Nhưng điều ngược lại chưa hẳn đúng (Xem ví dụ 2.1.6, chương 2) Tuy nhiên, một họ chuẩn tắc bất biến là một họ chuẩn tắc đều 9 1.3.7 Định lý Cho F là một tập con bất biến của H  D  Khi đó F là chuẩn tắc đều khi và chỉ khi F là họ chuẩn tắc Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên Ta chỉ cần chứng minh điều kiện đủ Giả sử F là chuẩn tắc Có một hằng số... F là họ chuẩn tắc 1.3 Hàm chuẩn tắc và họ chuẩn tắc đều Nhóm các tự đẳng cấu của không gian M kí hiệu bởi A  M  , F G   f g : f  F , g  G 1.3.1 Định nghĩa Cho M  f  H  M , P1   là một miền đơn liên Một ánh xạ là chuẩn tắc nếu họ F A  M  là chuẩn tắc, tức là nó là tập compact tương đối trong H  M , P1    Nếu M là một miền đa liên, f được 7 gọi là chuẩn tắc nếu nó là chuẩn tắc trên... Họ F A  D  là chuẩn tắc đều, do đó F A  D  là chuẩn tắc  3   4  1 Họ F A  D  là bất biến và chuẩn tắc, theo định lý 1.3.7 F A  D  là chuẩn tắc đều Từ F  F A D  ta có F là chuẩn tắc đều Vậy định lý được chứng minh 1.4 Hàm độ dài và khoảng cách trên các không gian phức Cho X ,Y là các không gian phức Kí hiệu T  X  và Tp  X  là không gian tiếp xúc của X và không gian tiếp xúc với. .. compact tương đối trong C M ,Y ; 2 Nếu M D và Y C , F là chuẩn tắc đều khi và chỉ khi F là chuẩn tắc theo nghĩa của Wu [9] Chứng minh Khẳng định 1 được suy ra từ mệnh đề 2.1.10 và điều kiện 3 của định lý 2.1.14 Khẳng định 2 được suy ra từ 1 và bổ đề Hurwitz Hệ quả được chứng minh Sau đây là một số ví dụ về các họ chuẩn tắc đều 2.1.16 Ví dụ Hahn [20] đã gọi f ,Y là chuẩn tắc nếu f H chuẩn tắc theo nghĩa... compact tương đối trong C D, X được suy ra từ định lý 1.5.7 Định lý 1.5.10 sau là một mở rộng kết quả của Kobayashi-Kwack trong việc tổng quát định lý Picard lớn 1.5.10 Định lý Nếu X là một không gian con phức nhúng hyperbolic của một không gian phức Y khi đó mỗi f H D* , X thác triển tới f C D,Y Chứng minh Nếu fn là một dãy trong H D* , X và f n f tại f n bởi định lý 1.5.6, và theo định lý 1.5.7, có... chỉ khi H D, X là một tập con compact tương đối của C D,Y , tức là khi và chỉ khi H D, X là chuẩn tắc đều trong H D,Y Do đó, trong trường hợp này H M , X là chuẩn tắc đều trong H M ,Y với mọi không gian phức M Định lý 2.1.14 là một đặc trưng cho các họ chuẩn tắc đều trên các đa tạp hyperbolic thuần nhất 2.1.14 Định lý Các mệnh đề sau đây là tương đương với F M là đa tạp hyperbolic thuần nhất và Y ... hyperbolic 17 Chƣơng MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN PICARD ĐỐI VỚI HỌ CHUẨN TẮC ĐỀU 2.1 Họ chuẩn tắc số tính chất .23 2.2 Mở rộng định lý thác triển Picard họ chuẩn tắc .31 KẾT LUẬN ... thức chuẩn bị không gian phức hyperbolic số kết mở rộng định lý thác triển Picard ánh xạ chỉnh hình Trình bày số tính chất họ chuẩn tắc Trình bày mở rộng định lý thác triển Picard họ chuẩn tắc. .. luận văn, trình bày họ chuẩn tắc kết mở rộng định lý thác triển Picard lớn họ chuẩn tắc 2 Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm chỉnh hình bị chặn 1.1.1 Định lý (Định lý thác triển Riemann) Một