Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại giao điểm của C với trục tung.. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.. Tính thể tích củ
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2011
Môn: TOÁN; Khối: D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 1 3 2 2 3
3
y = − x + x − x +1.
=
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình cos 4 x + 12sin2x − 1 0.
2 Giải bất phương trình 4x −3.2x+ x2−2x−3 −41+ x2−2x−3 > 0
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
2
1
( 1)
x
x x
+
=
+
∫
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB a = SA vuông ,
góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30o Gọi M là trung điểm của cạnh SC Tính thể tích của khối chóp S.ABM theo a
Câu V (1,0 điểm) Tìm các giá trị của tham số thực m để phương trình sau có nghiệm
6 + + x 2 (4 − x )(2 x − 2) = + m 4 4 − + x 2 x − 2 ( x ∈ \ ).
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng : 3 0 d x y + + = Viết phương trình đường
thẳng đi qua điểm A(2; − 4) và tạo với đường thẳng d một góc bằng 45o
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−1; 2; 3), B(1; 0; −5) và mặt phẳng
Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng
( ) : 2 P x y + − 3 z − = 4 0.
Câu VII.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (1 2 )+ i z2 + = −z 4i 20. Tính môđun của z
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình các cạnh là
AB x + y − = BC : 4 x + 5 y − = 7 0, CA x : 3 + 2 y − = Viết phương trình đường cao kẻ từ 7 0.
đỉnh A của tam giác ABC
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 1
d − = + = − 1
− Viết phương trình
mặt cầu có tâm I(1; 2; − 3) và cắt đường thẳng d tại hai điểm , A B sao cho AB = 26.
Câu VII.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn z2−2(1 )+i z+ =2i 0. Tìm phần thực và phần ảo của 1
z
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2011
Môn: TOÁN; Khối D
(Đáp án - thang điểm gồm 03 trang)
ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM
1 (1,0 điểm)
• Tập xác định: D= \
• ' 2 4 3; ' 0 1
3
x
x
=
⎡
= − + − = ⇔ ⎢ =
⎣
0,25
• Giới hạn: lim , lim
→−∞ = +∞ →+∞ = −∞
• Bảng biến thiên:
0,25
- Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3); nghịch biến trên mỗi khoảng (− ∞; 1) và (3; + ∞)
- Hàm số đạt cực đại tại x = 3, yCĐ = 1; đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = 1
3
• Đồ thị:
0,25
2 (1,0 điểm)
Tọa độ giao điểm của (C) với trục tung là (0; 1) 0,25
Hệ số góc của tiếp tuyến là k= y'(0)= − 3 0,25 Phương trình tiếp tuyến là y k x= ( − + 0) 1 0,25
I
(2,0 điểm)
3 1
1 (1,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với 2cos 22 x− +1 6(1 cos 2 ) 1 0− x − = 0,25
2 cos 2x 3cos 2x 2 0
II
(2,0 điểm)
y’ − 0 + 0 −
y
3
1
3
O
x
y
1 1 3
− −
Trang 3Câu Đáp án Điểm
2 (1,0 điểm)
Điều kiện: x≤ − hoặc 1 x≥ 3
Bất phương trình đã cho tương đương với 4x− x2− −2x 3−3.2x− x2− −2x 3− > 4 0 0,25 Đặt t=2x− x2− −2x 3> bất phương trình trên trở thành 0, t2− − > ⇔ > (do t > 0) 3t 4 0 t 4 0,25
2
x
Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là 3 7
2
x
≤ < ⋅ 0,25
Ta có
2
1
1 1
1
= ⎜ + ⎟
+
• 2
1
1
dx x
1
ln | |x ln 2
• 2
1
1
1dx
x+
1
l n |x 1| ln 3 ln 2
III
(1,0 điểm)
Ta có SA ⊥ BC, AB ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC
Do đó, góc giữa (SBC) và (ABC) bằng SBAn=30 o 0,25
S ABM S ABC
;
BC=AB a= tan 30o 3
3
a
IV
(1,0 điểm)
Vậy . 3 3
36
S ABM a
Điều kiện: 1≤ ≤ x 4
Xét ( )f x = 4− +x 2x−2, 1≤ ≤ x 4
f x
−
− − '( ) 0f x = ⇔ = x 3.
• Bảng biến thiên (hình bên)
0,25
Đặt t= 4− +x 2x− Phương trình đã cho trở thành 2 t2− + =4t 4 m (1) Dựa vào bảng biến
thiên, ta được phương trình đã cho có nghiệm ⇔ (1) có nghiệm t thỏa mãn 3≤ ≤ t 3 0,25 Xét g t( )=t2− +4t 4, 3≤ ≤ t 3
'( ) 2 4; '( ) 0 2
g t = t− g t = ⇔ = t
• Bảng biến thiên (hình bên)
0,25
V
(1,0 điểm)
Dựa vào bảng biến thiên, ta được giá trị m cần tìm là 0≤ ≤ m 1 0,25
1 (1,0 điểm)
Phương trình của đường thẳng ∆ qua A(2; − 4) và có vectơ pháp tuyếnJJGv =( ; )a b là
( 2) ( 4) 0,
Vectơ pháp tuyến của d làJJGu =(1; 1) Do đó
2 2
| | cos( , )
2
a b d
+
o
VI.a
(2,0 điểm)
Vớia= ta có phương trình :0, ∆ y+ = với 0,4 0; b= ta có phương trình :∆ x− = 2 0 0,25
x 1 3 4
f’(x) + 0 −
3
3
g(t)
0
M
S
A
B
C
Trang 4Câu Đáp án Điểm
2 (1,0 điểm)
Ta có JJJGAB=(2; 2; 8) 2(1; 1; 4);− − = − − ( 1M∈AB⇒M − +t; 2−t; 3 4 ).− t 0,25
( ) 2( 1 ) (2 ) 3(3 4 ) 4 0
1
t
Đặt ( ,z a bi a b= + ∈ \ Đẳng thức đã cho trở thành ( 3 4 )() − + i a bi+ ) (+ a bi− ) 4= −i 20 0,25
2 10 1
a b
+ =
⎧
⇔ ⎨ − =
4 3
a b
=
⎧
⇔ ⎨ =
VII.a
(1,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
Tọa độ của điểm A thỏa mãn hệ phương trình 3 7 0
3 2 7 0
+ − =
⎧
⎨ + − =
(1; 2)
A
Đường cao kẻ từ A có vectơ pháp tuyến là JJGn =(5; 4).− 0,25
Phương trình đường cao là 5(x− −1) 4(y−2) 0= ⇔5x−4y+ = 3 0 0,25
2 (1,0 điểm)
Mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với d có phương trình là 4( x− −1) 3(y− + + = 2) (z 3) 0
4x 3y z 5 0
Tọa độ giao điểm H của d và (P) thỏa mãn hệ
⎪
−
⎨
⎪ − + + =
⎩
1 1 1; ;
2 2
⇒ ⎜− ⎟
Bán kính mặt cầu là
2
2
AB
⎜ ⎟
VI.b
(2,0 điểm)
Phương trình mặt cầu là (x−1)2+(y−2)2+ +(z 3)2=25 0,25
Phương trình bậc hai theo z có ∆ =4(1+i)2− = 8i 0 0,25
1
1 2 2i
VII.b
(1,0 điểm)
Vậy phần thực của 1
z bằng
1 ,
2 phần ảo của
1
z bằng
1 2
- Hết -