Đề thi thử ĐHCĐ khối a năm 2014 đề số 27

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2014 MÔN: TOÁN KHỐI A ĐỀ SỐ Thời gian: 180 phút Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y= −2 x + x −1 (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến đồ thị (C) điểm song song với nhau, đồng thời ba điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông O Câu II (2,0 điểm) 1) 2) Tìm nghiệm x ∈ ( 0; π ) Giải hệ phương trình phương trình π 5cos x + s inx − = sin(2 x + )  x − y − y + ( x − y ) = 14 ( x, y ∈ ¡   − x + y + = x + y − ) Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ (2 x − 1) ln( x + 1)dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = a, BC = a Hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBD) vuông góc với đáy Điểm I thuộc đoạn SC cho SC = 3IC Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng AI SB biết AI vuông góc với SC Câu V (1,0 điểm) Cho số thực a, b ∈ (0; 1) thỏa mãn (a + b3 )(a + b) − ab(a − 1)(b − 1) = Tìm giá trị lớn biểu thức sau: F= 1+ a + 1+ b + ab − (a + b) Câu VI (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho ∆ABC có đỉnh A ( −3; ) , đường phân giác góc A có phương trình x + y − = tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC I (1 ;7) Viết phương trình cạnh BC, biết diện tích ∆ABC gấp lần diện tích ∆IBC Câu VII (1,0 điểm) Cho khai triển (1 − x) 2014 = a0 + a1 x + a2 x + + a2014 x 2014 S = a0 + 2a1 + 3a2 + + 2015a2014 Câu VIII (1,0 điểm) Giải hệ phương trình log x + y = 3log8 ( x − y + 2)  x + x − y = 13  Tính tổng: ĐÁP ÁN Câu Ý I Nội dung Điểm Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y= ∑1, −2 x + x −1 a) Tập xác định : D = R \ { 1} 0,25 b) Sự biến thiên: * Tiệm cận : +) Vì xlim →1 − −2 x + −2 x + = −∞ , lim+ = +∞ x →1 x −1 x −1 nên đường thẳng x =1 tiệm cận đứng +) Vì y = −2 −2 x + −2 x + = −2 , lim = −2 x →−∞ x →+∞ x −1 x −1 lim nên đường thẳng tiệm cận ngang *Chiều biến thiên: 0,25 −2 +) Ta có : y′ = ( x − 1) < 0, ∀x ≠ +) Bảng biến thiên 0,25 -2 -2 + Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) ( 1; +∞ ) c) Đồ thị 0,25 *Vẽ đồ thị:Cắt Ox A(2;0) cắt Oy B(0;-4) * Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận điểm I ( 1; −2 ) làm tâm đối xứng I ∑1, Gọi  −2a +   −2b +  A  a; ÷ B  b; ÷ (Với a, b ≠ 1; a ≠ b ) a −1  b −1    0,25 thuộc đồ thị (C) Khi hệ số góc đường tiếp tuyến A B là: k1 = − ( a − 1) k2 = − ( b − 1) Do đường tiếp tuyến song song nên: − ( a − 1) =− ( b − 1) ⇔ a+b = uuu r  −2a +  uuur  −2b +  OA =  a; ÷; OB =  b; ÷ Do OAB a −1  b −1    uuu r uuu r (−2a + 4)(−2b + 4) OA OB = ⇔ ab + =0 O nên ( a − 1) ( b − 1) Mặt khác, ta có: tam giác vuông a+b =   Ta có hệ ab + 4ab − 8(a + b) + 16 =  ab − (a + b) +   a=3 b = −1  Giải hệ ta a =  b =  a = −1   b=3 a =  b = 0,25 0,25 Vậy hai điểm cần tìm có tọa độ ( −1;1) ( 3;3) (2;0) (0;-4) 0,25 Câu Tìm nghiệm x ∈ ( 0; π ) phương trình : II 5cosx + sinx - = π  sin  x +  4  5cosx + sinx - = π  sin  x +  ⇔ 5cosx 4  ∑= +sinx – = sin2x 0,25 + cos2x ⇔ 2cos2x – 5cosx + + sin2x – sinx = ⇔ (2cosx – )(cosx – 2) + sinx( 2cosx – 1) = ⇔ (2cosx 0,25 – 1) ( cosx + sinx – ) = +/ cosx + sinx = vô nghiệm +/ cosx = π ⇔ x = ± + kπ , k ∈ Z 0,25 Đối chiếu điều kiện x ∈ ( 0; π ) suy pt có nghiệm : π Giải hệ phương trình: Đkxđ x ≤ 3, y ≥ −4 Từ (1) ta có  x − y − y + ( x − y ) = 14 ( x, y ∈ R )   − x + y + = x + y − 0,25 ∑1, 0,25 x + x = ( y + ) + ( y + ) ⇔ ( x − y − )  x + x ( y + ) + ( y + ) + 3 =   ⇔ x = y + ⇔ y = x − ( 3) Thế (3) vào (2) ta x + + − x = x3 + x − x − ⇔ x3 + x − x − + − x + + − − x = x−2 x−2 ⇔ ( x − ) ( x + ) ( x + 1) − + =0 + x + 1+ − x 0,25 1   ⇔ ( x − )  ( x + ) ( x + 1) − + ÷= + x + 1+ − x   1  ⇔ ( x − )  ( x + ) ( x +1) + − + + x + 1+   x +1 ⇔ ( x − )  ( x + ) ( x + 1) +  2+ x+2 x + +1   ⇔ ( x − ) ( x + 1)  ( x + ) +  2+ x+2 x + +1  1 − ÷= 3− x 3  ÷= 1+ − x + − x ÷   ÷= + 1+ − x + − x ÷  + ( )( ) ( ( )( ) ( x +1 )( ) )( ) 0,25 ( x − ) ( x + 1) = ⇔ x = 2, x = −1; x = ⇒ y = 0, x = −1 ⇒ y = −3 Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ phương trình Vậy hệ phương trình cho có tập nghiệm S = { ( −1; − 3) ; ( 2;0 ) } Câu Tính tích phân I = ∫ (2 x − 1) ln( x + 1)dx 0,25 ∑1, 0 III Đặt  dx u = ln( x + 1) du = x −x ⇒ dx x + ⇒ I = ( x − x) ln( x + 1) − ∫  x +1  dv = x − v = x − x    I = −∫  x − + ÷dx x +1  0 0,25 0,25  x2  I =  − + x − ln( x + 1) ÷  0 I= 0,25 − ln 2 0,25 ∑1, IV S D A E I O H B M C 0,25 Ta có S = a.a = 3a Gọi O giao điểm hai đường chéo AC, BD, theo giả thiết ta có SO ⊥ ( ABCD) AC = AB + BC = a + 3a = 2a ⇒ OC = a Lại có AI ⊥ SC ⇒ ∆SOC & ∆AIC đồng dạng ABCD ⇒ CI CA = ⇔ CI CS = CO.CA ⇔ CO CS Từ 15 SO = SC − OC = a ⇒ VSABC = SO.S ABCD = a 3 0,25 Qua I kẻ đường thẳng song song với SB cắt BC M, suy SB//(AIM), d ( SB, AI ) = d ( SB,( AIM )) = d ( B,( AIM )) Mà CI CM = ⇒ BM = 2CM CS CB suy d ( B, ( AIM )) = 2d (C , ( AIM )) Hạ 0,25 IH ⊥ ( ABCD) , dễ thấy IH = S SO 15 , S AMC = ABCD ⇒ VIAMC = VSABCD = a 3 18 54 Ta có IM = SB SC = = a ; AM = AB + BM = a 3 3 AI = AC − CI = a 10 0,25 Suy cos ∠MAI = 70 154 55 ⇒ sin ∠MAI = ⇒ S AMI = AM AI sin ∠MAI = a 28 28 12 ⇒ d ( B,( AIM )) = 2d (C ,( AIM )) = 3VI AMC 4a = S ∆AMI 33 ∑1, Câu V 0,25 gt (a3 + b3 )(a + b) ⇔ = (1 − a)(1 − b) ab (a3 + b3 )( a + b)  a b  =  + ÷( a + b ) ≥ ab ab = ab ab  b a  (*) ( − a ) ( − b ) = − (a + b) + ab ≤ − ab ≤ − ab + ab , ta ab + ab , từ (*) suy đặt t = ab (đk t > 0)  0 < t ≤ ⇔0[...]...(1 − 3 x) 2014 − 6042 x(1 − 3 x) 2013 = a0 + 2a1 x + 3a2 x 2 + + 201 5a2 014 x 2014 Thay x =1 vào (*) ta được: 0,25 S = a0 + 2a1 + 3a2 + + 201 5a2 014 = ( −2) Tính toán ra được (*) 2014 − 6042( −2) 2013 S = 3022. 22014 0,25 Câu VII I Giải hệ phương trình: log 2 x + y = 3log8 ( x − y + 2)  2 x + x 2 − y 2 = 13... x+y>0, x-y ≥ 0  x + y = 2 + x − y ⇔ 2 2  2 x + x − y = 13 Đặt: u = x + y , u ≥ 0   v = x − y , v ≥ 0 0,25 ta có hệ: u = 2 + v  2 2 u + v + uv = 13 u = 2 + v u = 2 + v v = 1, u = 3 ⇔ ⇔   v = −3, u = −1 2 2 2  (2 + v) + v + (2 + v)v = 13 3v + 6v − 9 = 0 Kết hợp đk ta được 0,25 0,25 v = 1, u = 3 ⇒ x = 5, y = 4 0,25đ  ... A E I O H B M C 0,25 Ta có S = a. a = 3a Gọi O giao điểm hai đường chéo AC, BD, theo giả thi t ta có SO ⊥ ( ABCD) AC = AB + BC = a + 3a = 2a ⇒ OC = a Lại có AI ⊥ SC ⇒ ∆SOC & ∆AIC đồng dạng ABCD... a) (1 − b) ab (a3 + b3 )( a + b)  a b  =  + ÷( a + b ) ≥ ab ab = ab ab  b a  (*) ( − a ) ( − b ) = − (a + b) + ab ≤ − ab ≤ − ab + ab , ta ab + ab , từ (*) suy đặt t = ab (đk t > 0)  0 < t... ∠MAI = 70 154 55 ⇒ sin ∠MAI = ⇒ S AMI = AM AI sin ∠MAI = a 28 28 12 ⇒ d ( B,( AIM )) = 2d (C ,( AIM )) = 3VI AMC 4a = S ∆AMI 33 ∑1, Câu V 0,25 gt (a3 + b3 ) (a + b) ⇔ = (1 − a) (1 − b) ab (a3