Chuyên đề tô màu TRÊN ĐƯỜNG TRÒN

Tễ MU TRấN ếNG TRềN Nguyn M: Quang TO13 Tõn Trèng THPT Chuyờn Lo Cai Túm tt nẻi dung Trong bi bỏo v nh l Fermat nh trờn tĐp Kvant thỏng 1/2000, cú bi toỏn m sậ cỏch tụ mu cỏc ứnh ca mẻt a giỏc u cú p ứnh băng a mu Bit p l sậ nguyờn tậ v hai cỏch tụ mu ềc xem l nh nu chỳng l Ênh ca qua mẻt phộp quay quanh tõm ca a giỏc Cõu hi tá nhiờn t nu p khụng phÊi l sậ nguyờn tậ thỡ kt quÊ bi toỏn s thay i nh th no? Hẽn na cỏc bi toỏn v tụ mu cỏc ứnh ca mẻt a giỏc u, hay chớnh l cỏc im chia u mẻt èng trũn cng xuòt hiên cỏc kỡ thi VMO 1995, 2010, 2014 v Vietnam TST 2014 Vỡ vy bi vit ny phõn tớch phẽng phỏp giÊi, cỏch t v ng thèi cng tỡm lèi giÊi tng quỏt cho mẻt sậ bi toỏn giÊi cỏc bi toỏn ny, trểc ht ta khụng tụ mu trờn èng trũn m tụ mu trờn èng thỉng ri tớnh xem nhng cỏch tụ mu no trờn èng thỉng b ng nhòt trờn èng trũn Hai cỏch tụ mu trờn èng thỉng ềc coi l tẽng ẽng nu chỳng cựng l mẻt cỏch tụ mu trờn èng trũn, v quan ny ỳng l mẻt quan tẽng ẽng Vỡ vy tng ca cỏch m õy l chia mẻt hềp thnh cỏc lểp tẽng ẽng ri i m sậ lểp tẽng ẽng Tụ mu trờn èng trũn v nghch Êo Mobius ă Bi Cho n l mẻt sậ nguyờn dẽng, hi cú bao nhiờu cỏch sp xp n ngèi ngi quanh mẻt chic bn trũn Bit hai cỏch sp xp ềc coi l mẻt nu chỳng l Ênh ca qua mẻt phộp quay quanh tõm ca mt bn? Lèi giÊi GiÊ s n ngèi ngi quanh bn l a1 , a2 , , an Nu nhng ngèi ny ngi trờn mẻt chic gh bng thỡ mẩi cỏch sp xp ngèi vo gh l n! (sậ hoỏn v ca cỏc phản t) GiÊ s b1 b2 bn l mẻt hoỏn v ca n phản t a1 , a2 , , an T hoỏn v ny ta thác hiên phộp hoỏn v vũng quanh v thu ềc thờm n na, th hiên qua bÊng dểi õy b1 b2 b3 bn bn bn b2 b3 b4 bn bn b1 b3 b4 b5 bn b1 b2 bn bn b1 bn bn bn bn b1 b2 bn bn bn 1 NGUYụN QUANG TN Tụ mu trờn èng trũn V nu bĐn cậ tớnh thác hiên thờm phộp hoỏn v vũng quanh thỡ cng khụng thờm ềc hoỏn v mểi Nhng tòt cÊ n hoỏn v trờn ềc tớnh l mẻt xp quanh n! bn trũn Vỡ vy sậ sp xp quanh bn trũn l = (n 1)! n Vểi cỏch suy lun trờn ta giÊi ềc mẻt bi toỏn thỳ v hẽn Bi Cho p l mẻt sậ nguyờn tậ v a l mẻt sậ nguyờn dẽng lển hẽn Cú bao nhiờu cỏch tụ mu cỏc ứnh ca mẻt p - giỏc u băng a mu Bit răng, hai cỏch tụ mu ềc xem l nh nu chỳng l Ênh ca qua mẻt phộp quay quanh tõm ca a giỏc Lèi giÊi Ta t tờn a mu l m1 , m2 , , m a Nu ta khụng tụ mu cỏc p ứnh ca a giỏc m trểc ht ta xột cỏch tụ mu p im thuẻc mẻt èng thỉng thỡ sậ cỏch tụ mu s l a p Trong ú cú a cỏch tụ mu c biêt, tòt cÊ cỏc im ềc tụ cựng mẻt mu Xột mẻt cỏch tụ mu cỏc im (khụng phÊi l mẻt a trèng hềp c biêt trờn), tớnh t trỏi qua phÊi l mi1 mi2 mi3 mi p mi p mi p Trong ú i j a, 81 j p Thác hiên phộp hoỏn v vũng quang ta thu ềc thờm p bÊng dểi õy mi1 mi2 mi3 mi p mi p mi2 mi3 mi p mi p mi3 mi4 mi p mi p mi4 mi5 mi p mi1 mi p mi1 mi p mi1 mi2 mi p mi p mi p hoỏn v th hiên qua mi p mi1 mi2 mi p mi p Trong quỏ trỡnh thác hiên phộp hoỏn v vũng trũn trờn nu sau k lản thác hiên m ta thu lĐi hoỏn v ban ảu thỡ thỡ k | p nhng p nguyờn tậ nờn k = 1, iu ny l vụ l vỡ cỏc im trờn khụng ềc tụ cựng bi mẻt mu Khi tụ mu p ứnh ca a giỏc thỡ p cỏch tụ mu trờn ềc tớnh l mẻt Vy p ỏp sậ bi toỏn l a p a + a Chỳ bÊng trờn ca ta cú ỳng p dũng bi vỡ p nguyờn tậ Bõy giè ta s giÊi mẻt bi toỏn tẽng tá nhng khú hẽn Bi Cho p, q l hai sậ nguyờn tậ phõn biêt Cú bao nhiờu cỏch tụ mu ứnh ca mẻt a giỏc u cú pq ứnh, băng ỳng a mu Bit răng, hai cỏch tụ mu ềc xem l nh nu chỳng l Ênh ca qua mẻt phộp quay quanh tõm èng trũn ngoĐi tip a giỏc Lèi giÊi Chỳng ta vđn bt ảu lèi giÊi nh, tc l xột cỏch tụ mu pq im trờn mẻt èng thỉng NGUYụN QUANG TN Tụ mu trờn èng trũn Ta ỏnh th tá cỏc im ny t tểi pq Ta chia cỏc cỏch tụ mu pq im trờn èng thỉng thnh loĐi LoĐi Cỏc im ềc tụ cựng mẻt mu Cú a cỏch LoĐi (Tụ mu lp lĐi theo chu kỡ p) nghổa l nu i j mod p thỡ im th i v im th j ềc tụ cựng mẻt mu tụ mu kiu ny ta cản tụ mu mẻt chu k vểi ẻ di p l ềc Vỡ vy sậ cỏch tụ mu loĐi ny l a p a Cỏch tụ mu ny thác hiên phộp vũng quanh tểi lản th p thỡ s lp lĐi Vỡ ap a vy trin khai nờn èng trũn thỡ s cũn cỏch p LoĐi (Tụ mu lp lĐi theo chu kỡ q) Tẽng tá nh trờn s cú aq a cỏch aq a Khi trin khai nờn èng trũn cũn cỏch a LoĐi L cỏc trèng hềp cũn lĐi, cú a pq ( a p a) ( aq a) a = a pq a p q a + a cỏch Mẩi cỏch tụ mu loĐi ny thác hiên phộp hoỏn v vũng quanh thỡ s lp a pq a p aq + a lĐi sau pq lản Vỡ vy trin khai nờn èng trũn s cũn cỏch pq a pq a p aq + a aq a a p a ỏp sậ bi toỏn l + + + a pq a p Trèng hềp p = q ta cú bi toỏn sau: Bi Cho p l mẻt sậ nguyờn tậ Cú bao nhiờu cỏch tụ mu ứnh ca mẻt a giỏc u cú p2 ứnh, băng ỳng a mu Bit răng, hai cỏch tụ mu ềc xem l nh nu chỳng l Ênh ca qua mẻt phộp quay quanh tõm èng trũn ngoĐi tip a giỏc Lèi giÊi Vểi lp lun tẽng tá v ẽn giÊn hẽn trèng hềp trờn ta cú ỏp sậ bi toỏn ap ap ap a l: + + a p2 p T kt quÊ trờn ta cú mẻt lèi giÊi mểi cho bi VMO 2010 Bi (VMO 2010) Cho bÊng v n l mẻt sậ nguyờn dẽng cho trểc Tỡm sậ cỏc cỏch tụ mu khụng nh tụ mẩi ụ bi mẻt n mu (Hai cỏch tụ mu gi l nh nu mẻt cỏch nhn ềc t cỏch bi mẻt phộp quay quanh tõm hỡnh vuụng.) A1 A2 B1 D2 O B2 D1 C2 C1 A B D C Lèi giÊi Trểc ht ta thòy cú n cỏch tụ mu ụ trung tõm O Ta coi hai ụ A1 , A2 l mẻt ứnh A ca hỡnh vuụng NGUYụN QUANG TN Tụ mu trờn èng trũn Ta coi hai ụ B1 , B2 l mẻt ứnh B ca hỡnh vuụng Ta coi hai ụ C1 , C2 l mẻt ứnh C ca hỡnh vuụng Ta coi hai ụ D1 , D2 l mẻt ứnh D ca hỡnh vuụng Sậ cỏch tụ mu hai ụ A1 , A2 l a = n2 Nh vy bi toỏn ny tr thnh bi toỏn tụ mu ứnh A, B, C, D ca mẻt hỡnh vuụng (năm trờn mẻt èng trũn) ú mẩi ứnh ềc tụ bi mẻt a = n2 mu p dng bi toỏn trờn vểi a = n2 v p = 2, ta ềc sậ tụ mu ứnh A, B, C, D (n2 )4 (n2 )2 (n2 )2 n2 = n + n + 2n l + + n 22 n9 + n5 + 2n3 Nhõn vểi n cỏch tụ mu hỡnh vuụng nh O ta cú ỏp sậ bi toỏn l Vểi lèi giÊi trờn ta thòy cú th m rẻng bi toỏn trờn t hỡnh vuụng n hỡnh vuụng k k Bi (M rẻng bi VMO 2010) Cho bÊng k k v n l mẻt sậ nguyờn dẽng cho trểc Tỡm sậ cỏc cỏch tụ mu khụng nh tụ mẩi ụ bi mẻt n mu (Hai cỏch tụ mu gi l nh nu mẻt cỏch nhn ềc t cỏch bi mẻt phộp quay quanh tõm hỡnh vuụng.) Lèi giÊi Vđn vểi cỏch giÊi nh trờn Trèng hềp k l sậ lƠ, t a = n n a4 a2 + k2 a2 a V kt quÊ bi toỏn l ! +a = a4 + a2 + 2a n k2 Trèng hềp k l sậ chặn, t a = n Kt quÊ bi toỏn l a4 a2 + a2 a += a4 + a2 + 2a T cỏc bi toỏn trờn chỳng ta xuòt bi toỏn tụ mu tng quỏt Bi (Bi toỏn tụ mu tng quỏt) Cho n l mẻt sậ nguyờn dẽng Cú bao nhiờu cỏch tụ mu ứnh ca mẻt a giỏc u cú n ứnh, băng ỳng a mu Bit răng, hai cỏch tụ mu ềc xem l nh nu chỳng l Ênh ca qua mẻt phộp quay quanh tõm èng trũn ngoĐi tip a giỏc Trểc giÊi bi toỏn ny chỳng ta cản mẻt chỳt kin thc v sậ hc Hm Mobius Vểi mẩi sậ nguyờn dẽng n giỏ tr ca hm (n) thuẻc { 1, 0, 1} ă v ph thuẻc vo phõn tớch nguyờn tậ ca n nh sau: (1) = 1; (n) = nu n cú ểc p2 ú p nguyờn tậ; (n) = ( 1)k nu n = p1 pk ú p1 , , pk l cỏc sậ nguyờn tậ phõn biêt; NGUYụN QUANG TN Tụ mu trờn èng trũn Vớ d: (28) = 0, (30) = Cụng thc nghch Êo Mobius Nu f v g l hm sậ hc tha ă g(n) = X f (d) vểi mi sậ nguyờn n d|n thỡ f (n) = X vểi mi sậ nguyờn n (d) g(n/d) d|n ú l hm Mobius v cỏc tng trờn ềc lòy theo tòt cÊ cỏc ểc nguyờn ă dẽng d ca n Phi hm Euler '(n) l sậ cỏc sậ nguyờn dẽng khụng vềt quỏ n v nguyờn tậ vểi n P Tớnh chòt ca Gauss: '(d) = n d|n Cỏc chng minh cho cỏc kt quÊ trờn v sậ hc cú th xem tĐi ti liêu [1] p dng tớnh chòt Gauss v cụng thc nghc Êo Mobius ta cú: ă '(n) = X d|n Suy X (d) d d|n = (d) n d '(n) n (1) Lèi giÊi Ta t tờn a mu l m1 , m2 , , m a Nu ta khụng tụ mu cỏc n ứnh ca a giỏc m trểc ht ta xột cỏch tụ mu n im thuẻc mẻt èng thỉng thỡ sậ cỏch tụ mu s l an Xột mẻt cỏch tụ mu cỏc im, tớnh t trỏi qua phÊi l mi1 mi2 mi3 mi p mi p Trong ú i j a, 81 j n Khi thác hiên mẻt lản phộp hoỏn v vũng quanh ta thu ềc cỏch tụ mu sau: mi2 mi3 mi4 mi p mi1 Ta gi mẻt cỏch tụ mu l tuản hon chu k d, nu d l sậ nguyờn dẽng nh nhòt cho thác hiên d lản phộp hoỏn v vũng quanh thỡ thu ềc chớnh nú, rừ rng d | n P Gi sậ cỏch tụ mu tuản hon chu k d l g(d) thỡ ta cú: an = g(d) Khi ú sậ cỏch tụ mu cản tớnh l f (n) = P g(d) d|n d d|n Theo cụng thc nghch Êo Mobius ta cú: g(n) = ă P d|n n (d) a d NGUYụN QUANG TN Tụ mu trờn èng trũn Suy f (n) = = = P g(d) d|n = d P P (k) d k k d k a d|n k|d P ad n ọ d d' d n d|n = = d P 1P (k) a k d|n d k|d P ad P ( h) d h d|n h| nd ọ P d n a ' n d d|n Bõy giè ta ỏp dng cụng thc ny kim tra lĐi mẻt sậ kt quÊ ó Đt ềc trờn f ( p) = pọ P d a' d p d| p f ( p2 ) = = p2 P d a' p2 d| p2 ap( p p = p2 d ( a( p a pq ap a p + a ó 1) + a p ( p 1) + a p pq ọ P d a ' pq d = pq ( a ( p d| pq p q a p aq + a + a p a + a q a + a pq f ( pq) = = 1) + a p ) = = ap p2 1)(q ap + ap a p + a 1) + a p (q 1) + aq ( p 1) + a pq ) Tụ mu v truy hi Bõy giè ta thờm vo yờu cảu cỏc ứnh k phÊi tụ khỏc mu Trểc ht ta bt ảu vểi mẻt bi toỏn quen thuẻc, ềc giÊi băng phẽng phỏp truy hi Bi Cho mẻt a giỏc cú u n ứnh l A1 A2 An v a mu cho sặn Hi cú bao nhiờu cỏch tụ mẩi ứnh ca a giỏc bi mẻt a mu cho khụng cú ứnh no k ềc tụ cựng mu? Lèi giÊi GiÊ s sậ cỏch tụ mu l f n (ph thuẻc vo n) XÊy trèng hềp Trèng hềp A1 v An ềc tụ cựng mu Khi ú cỏch tụ mu n ứnh t A1 n An l f n v ứnh An cũn lĐi cú a cỏch tụ mu Vy trèng hềp ny cú a fn Trèng hềp A1 v An ềc tụ khỏc mu Khi ú sậ cỏch tụ mu t A1 n An chớnh l f n ứnh An cũn lĐi cú a cỏch tụ mu Ta cú quan truy hi f n = ( a 2) f n + ( a 1) f n Kt hềp vểi f = a( a 1), f = a( a 1)( a 2), dáa vo phẽng trỡnh c trng ta cú: f n = ( a 1)n + ( a 1)( 1)n Bõy giè ta kt hềp vểi sá ng nhòt qua phộp quay quanh tõm èng trũn v thay n = p nguyờn tậ ta ềc bi toỏn sau Bi Cho p l mẻt sậ nguyờn tậ lƠ, a > l mẻt sậ nguyờn v mẻt a giỏc cú u p ứnh Hi cú bao nhiờu cỏch tụ mẩi ứnh ca a giỏc bi mẻt a mu cho khụng cú ứnh no k ềc tụ cựng mu? Bit hai cỏch tụ ềc coi l mẻt nu chỳng l Ênh ca qua phộp quay quanh tõm èng trũn NGUYụN QUANG TN Tụ mu trờn èng trũn Lèi giÊi Nu ta t tờn cỏc ứnh ca a giỏc l A1 A2 A p thỡ sậ cỏch tụ mu l f p = ( a ) p ( a ) Vểi mẩi mẻt cỏch tụ ta thác hiên phộp hoỏn v vũng quanh thỡ thu ềc tòt cÊ p cỏch tụ v cỏc cỏch tụ ny ềc tớnh l mẻt theo bi ( a 1) p a + f Vy ỏp sậ bi toỏn l = pp = p Thay p bi pq l tớch ca sậ nguyờn tậ phõn biêt ta ềc bi toỏn mểi: Bi 10 Cho p, q l mẻt sậ nguyờn tậ phõn biêt, a > l mẻt sậ nguyờn v mẻt a giỏc cú u pq ứnh Hi cú bao nhiờu cỏch tụ mẩi ứnh ca a giỏc bi mẻt a mu cho khụng cú ứnh no k ềc tụ cựng mu? Bit hai cỏch tụ ềc coi l mẻt nu chỳng l Ênh ca qua phộp quay quanh tõm èng trũn Lèi giÊi Ta t tờn cỏc im A1 , A2 , , A pq Sậ cỏch ny theo yờu cảu ca bi toỏn l f pq Ta chia cỏc cỏch tụ ny thnh loĐi LoĐi Tuản hon chu kỡ p tc l nu i j mod p thỡ im Ai , A j ềc tụ cựng mẻt mu tụ mu theo cỏch tụ ny, ta cản tụ mu mẻt chu kỡ, ú sậ cỏch tụ mu l f p Mẩi cỏch tụ theo cỏch ny thác hiên phộp hoỏn v vũng quanh thỡ sau p lản hoỏn v s tr lĐi nh ban ảu Khi thác hiên ng nhòt qua phộp quay f tõm èng trũn thỡ trèng hềp ny cú pp LoĐi Tuản hon theo chu kỡ q, trèng hềp ny cú fq q cỏch tụ mu LoĐi Cỏc cỏch tụ cũn lĐi, tc l cú f pq f p f q cỏch tụ Trong ú nu mẩi cỏch tụ ny tr lĐi nh ban ảu sau thác hiên pq lản phộp hoỏn v vũng quanh Vỡ vy thác hiên ng nhòt qua phộp quay tõm èng trũn thỡ trèng hềp ny cú f pq f p f q pq Vy ỏp sậ bi toỏn l f pq f p f q f f + pp + qq = (a pq 1) pq ( a 1) p ( a 1)q + a pq + ( a 1) p a+1 p + ( a 1)q a+1 q Tẽng tá nh phản trờn ta cng i tng quỏt bi toỏn ny: Bi 11 Cho n l mẻt sậ nguyờn dẽng, a > l mẻt sậ nguyờn v mẻt a giỏc cú u n ứnh Hi cú bao nhiờu cỏch tụ mẩi ứnh ca a giỏc bi mẻt a mu cho khụng cú ứnh no k ềc tụ cựng mu? Bit hai cỏch tụ ềc coi l mẻt nu chỳng l Ênh ca qua phộp quay quanh tõm èng trũn ngoĐi tip a giỏc Lèi giÊi Xột n im trờn èng thỉng, sậ cỏch tụ mẩi im bi mẻt a mu cho khụng cú im no k ềc tụ cựng mu Sậ cỏch tụ nh ta ó bit f ( n ) = ( a ) n + ( ) n ( a ) Mẻt cỏch tụ mu gi l tuản hon chu kỡ d nu d l sậ nguyờn dẽng nh nhòt cho ta thác hiên phộp hoỏn v vũng quanh d thỡ thi thu ềc chớnh nú Rừ rng d | n P Gi sậ cỏch tụ mu tuản hon chu kỡ d l g(d) ta cú cụng thc f (n) = g ( d ) d|n NGUYụN QUANG TN Tụ mu trờn èng trũn Khi ú sậ cỏch tụ mu cản tớnh l h(n) = P g(d) d d|n Theo cụng thc nghch Êo Mobius ta cú: g(n) = ă Suy h(n) = = ọ P 1P (k) f d d|n d k k|d P f (d) P (k) d|n d k| nd k = P P (k) = d|n k|d P f (d) d d|n ' k ọ n d f d n P d|n (d) f ọ d k = ọ n d k d P n d|n f (d)' ọ n d Ta hóy th kt quÊ trờn vểi mẻt bi toỏn c th: Bi 12 Cho mẻt a giỏc u cú 12 ứnh Hi cú bao nhiờu cỏch tụ mẩi ứnh ca a giỏc bi mẻt mu xanh, , tớm, vng, cho khụng cú ứnh no k ềc tụ cựng mu? Bit hai cỏch tụ ềc coi l mẻt nu chỳng l Ênh ca qua phộp quay quanh tõm èng trũn ngoĐi tip a giỏc Lèi giÊi Kt quÊ bi toỏn l h(12) = P (3d 12 d|12 + ( 1)d 3)' 12 d ọ = 44368 Tụ mu v nguyờn lớ bao hm - loĐi tr Bi 13 (VMO 1995) Cho sậ nguyờn n v cho mẻt a giỏc u 2n ứnh Ngèi ta tụ tòt cÊ cỏc ứnh ca a giỏc u ú bi n mu cho cỏc iu kiên sau ềc ng thèi thoÊ 1) Mẩi ứnh ềc tụ bi mẻt mu; 2) Mẩi mu ềc dựng tụ cho ỳng hai ứnh khụng k Hai cỏch tụ mu, thoÊ cỏc iu kiên trờn, ềc gi l tẽng ẽng nu cỏch tụ mu ny cú th nhn ềc t cỏch tụ mu nhè mẻt phộp quay quanh tõm ca a giỏc u ó cho Hi cú tòt cÊ bao nhiờu cỏch tụ mu ụi mẻt khụng tẽng ẽng? Lèi giÊi Ta t tờn cỏc ứnh ca a giỏc l A1 , , A2n (2n)! C 2 Tng sậ cỏch tụ mu C2n 2(n 1) C2 = 2n t tờn cỏc mu dựng tụ l {c1 , , cn } Gi Tk l hềp cỏc cỏch tụ mu m cú ứnh k ca a giỏc ềc tụ cựng mu ck Sậ cỏch tụ mu phự hềp l: Fn = tr: Fn = (2n)! 2n + n P k=1 ( 1)k P (2n)! 2n 1i1