HÀM DẠNG CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM 2.1 Lý thuyết 2.1.1 Đa thức Lagrange Phần lớn hàm dạng xây dựng từ đa thức Lagrange sau: x xm Lk x m 0 x x m k m k n Với: n số nút xm tọa độ nút thứ m CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM (2.1) 2.1.2 Tính chất hàm dạng - Tính chất Hàm dạng có giá trị nút tương ứng nút khác 1 i ( j ) 0 i j i j (2.2) j = 1,2,…, n (2.3) - Tính chất : Các hàm dạng thỏa biểu thức sau: n ( ) ( ) ( ), i 1 i j i j Với Pj (ζi ) đa thức sở hàm dạng CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Ghi chú: Khi P(ξ) =1 , tổng giá trị hàm dạng đơn vị, nghĩa là: n Ni i 1 Với n số nút CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM (2.4) 2.2 Bài tập giải sẵn Bài tập Tìm hàm dạng phần tử chiều hai không gian tham chiếu không gian thực hình sau: CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Giải Áp dụng đa thức Lagrange, hàm dạng phần tử tham chiếu sau: 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Tương tự, ta có hàm dạng phần tử thực: x x2 x x3 1 x x1 x2 x1 x3 x x1 x x3 2 x x2 x1 x2 x3 x x1 x x2 3 x x3 x1 x3 x2 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Bài tập Dùng đa thức Lagrange, tim hàm dạng phân tử tứ giác nút sau: CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Giải Áp dụng đa thức Lagrange cho hai phương ta tìm hàm dạng tương ứng với nút 1,2,3 sau: 1 1 1 , L1 L1 1 1 1 1 1 1 , L2 L2 1 1 1 1 1 1 , L3 L3 1 1 1 1 1 1 , L4 L4 1 1 1 1 1 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Bài tập Tìm hàm dạng phần tử tứ giác nút không gian thực sau: CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM 0 0 0 1 0 N4 0 0 0 0 0 nút tương ứng với L1 = 1, L2 = 0, L3 = nút tương ứng với L1 = 0, L2 = 1, L3 = nút tương ứng với L1 = 0, L2 = 0, L3 = nút tương ứng với L1 = 2/3, L2 = 1/3, L3 = nút tương ứng với L1 = 1/2, L2 = 2/3, L3 = nút tương ứng với L1 = 0, L2 = 2/3, L3 = 1/3 nút tương ứng với L1 = 0, L2 = 1/3 , L3 = 2/3 nút tương ứng với L1 = 1/3, L2 =0, L3 = 2/3 nút tương ứng với L1 = 2/3, L2 =0, L3 = 1/3 nút 10 tương ứng với L1 = 1/3 ,L2 = 1/3 , L3 = 1/3 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Ta có hệ phương trình sau: 0 14 0 0 2 14 24 44 74 1 3 27 2 14 24 44 74 0 3 27 2 24 34 54 84 0 3 27 2 4 84 3 27 0 3 27 0 14 34 64 94 3 27 1 1 1 0 14 24 34 44 54 64 3 9 1 1 74 84 94 10 27 27 27 27 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Nghiệm hệ phương trình trên: 27 4 0, 0, 0, , 0, 0, , 84 0, 2 4 0, 10 L1 L2 3L1 1 4 4 Tương tự cho hàm dạng tương ứng với nút nằm cạnh N5, N6, N7, N8, N9: 9 L1 L2 3L2 1, L2 L3 3L2 1 2 9 L2 L3 3L3 1, L3 L1 3L3 1 2 L1 L3 3L1 1 Với tính chất hàm dạng N10 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM 0 0 0 0 0 N10 0 0 0 0 1 nút tương ứng với L1 = 1, L2 = 0, L3 = nút tương ứng với L1 = 0, L2 = 1, L3 = nút tương ứng với L1 = 0, L2 = 0, L3 = nút tương ứng với L1 = 2/3, L2 = 1/3, L3 = nút tương ứng với L1 = 1/2, L2 = 2/3, L3 = nút tương ứng với L1 = 0, L2 = 2/3, L3 = 1/3 nút tương ứng với L1 = 0, L2 = 1/3 , L3 = 2/3 nút tương ứng với L1 = 1/3, L2 =0, L3 = 2/3 nút tương ứng với L1 = 2/3, L2 =0, L3 = 1/3 nút 10 tương ứng với L1 = 1/3 ,L2 = 1/3 , L3 = 1/3 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Ta có hệ phương trình sau: 0 110 10 0 10 0 10 1 210 410 710 0 3 27 10 10 410 710 1 3 27 10 310 510 810 0 3 27 10 10 10 810 3 27 0 10 10 10 10 3 27 0 110 310 610 910 3 27 1 1 1 1 110 210 310 410 510 610 3 9 1 1 10 710 810 910 10 27 27 27 27 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Nghiệm hệ phương trình trên: 110 0, 210 0, 310 0, 410 0, 510 0, 610 0, 710 0, 810 0, 910 0, 1010 27 10 27 L1 L2 L3 * Phương pháp Lm L1 , L2 , L3 Dùng biểu thức N k , ta có m 1 L L , L , L m n 1 2 L L L1 L1 1 1 L1 3L1 1 3L1 3L1 3L1 3 3 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM 1 2 3L2 3L2 L2 L2 L L 3 3 2 3 L2 3L2 1 3L2 1 2 L L L3 3 3 L3 3 L3 3L3 1 3L3 3L3 3L3 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM 1 L L1 L2 L2 4 3 L1 L2 3L1 1 3L1 3L1 L1 L2 L2 L1 L2 5 3 L1 L2 3L2 1 3L2 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM L2 L2 L3 L2 6 3 L2 L3 3L2 1 1 L2 L3 L3 L2 7 ` 3 L2 L3 3L3 1 L2 L 3 L L2 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM 1 L L1 L3 L 1 8 2 0 0 8 L3 L1 3L3 1 1 L L1 L3 L1 9 0 1 0 3 L1 L3 3L1 1 L1 L2 10 1 0 0 10 27 L1 L2 L3 L3 3L3 3L1 L3 L 0 3 L 3 L L 3 3 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Bài tập 15 Xét phần tử tứ diện hình sau: CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Tương tự tọa độ diện tích, tọa độ thể tích định nghĩa sau: Li Vj V , i, j 1, 2,3, j i Với Vj thể tích tứ diện tạo điểm P(x,y,z) đỉnh lại, V thể tích tứ diện (1-2-3-4) 1/ Kiểm nghiệm tính chất N i i 1 hàm dạng 2/ Tìm hàm dạng phần tử tứ diện nút theo tọa độ thể tích L1, L2, L3, L4 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Giải 1/ Kiểm nghiệm tính chất hàm dạng: Ta có: V3 V1 V2 V4 L1 , L2 , L3 , L4 , V V V V V1 V2 V3 V4 Li 1 V V V V i 1 Khi P nút 1: V1 = V Nghĩa là: Tại nút 1: L1 = 1, L2 = 0, L3 = 0, L4 = Tại nút 2: L2 = 1, L1 = 0, L3 = 0, L4 = Tại nút 3: L3 = 1, L1 = 0, L2 = 0, L4 = Tại nút 4: L4 = 1, L1 = 0, L2 = 0, L3 = CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM 2/ Biểu thức tổng quát hàm dạng: i L1 L2 L3 L4 i i i i i = 1,2,3,4 Với tính chất hàm dạng N1: 1 nút tương ứng với L1 = 1, L2 = 0, L3 = 0, L4 = 0 nút tương ứng với L1 = 0, L2 = 1, L3 = 0, L4 = N1 0 nút tương ứng với L1 = 0, L2 = 0, L3 = 1, L4 = 0 nút tương ứng với L1 = 0, L2 = 0, L3 = 0, L4 = Ta có hệ phương trình: 1 11 0 1 L Tương tự, ta có: N2 = L2, N3 = L3, N4 = L4 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Đình Huấn, Bài tập phương pháp phần tử hữu hạn tập 1, Nhà xuất Thành Phố Hồ Chí Minh, 2007 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM [...]... y2 y3 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Bài tập 8 Hãy kiểm nghiệm tính chất 1 và tính chất các hàm dạng phần tử tứ giác 4 nút sau: 4 , 1 i 1 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM i của Giải Kiểm nghiệm tính chất các hàm dạng: Với các hàm dạng của phần tử tứ giác 4 nút 1 1 , 1 1 , 2 , 4 1 3 , 1 1 , 4... các hàm dạng của phần tử tam giác 6 nút trong không gian tham chiếu: 1 , 1 2 2 1, 2 , 1, 3 , 2 1, 4 , 4 1 5 , 4 , 6 , 4 1 6 Hãy kiểm nghiệm tính chất 1 và tính chất i i 1 các hàm dạng CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM 1 của Giải Kiểm nghiệm6 tính chất các hàm dạng. .. 1 1 7 , , 8 , 2 2 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Bài tập 5 Dùng đa thức Lagrange để tìm các hàm dạng của phần tử tứ giác 9 nút sau: CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Giải Áp dụng đa thức Lagrange cho hai phương ξ và η ta tìm được các hàm dạng tương ứng với các nút 1, 2, 3, 4,5,6,7, 8 và 9 như sau: 0 1 0 1 ... 4 x, y x1 x 2 y y1 x x2 y y1 ab y 2 y1 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Bài tập 7 Trong không gian xOy, hãy tìm các hàm dạng của tam giác 3 nút sau: Biết hàm nội suy của đại lượng vật lý θ cần tìm có dạng: θ = C1 + C3 x + C3 y (1) CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Giải Gọi giá trị các biến nút liên tiếp với các nút 1,2,3 là... PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Bài tập 4 1/ Trong không gian tham chiếu, hãy dùng đa thức xấp xỉ u , a1 a2 a3 a4 2 a5 a6 2 a7 2 a8 2 a 1 2 2 2 2 để tìm các hàm dạng của phần tử tứ giác 8 nút sau: CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM 2/ Hãy minh họa đồ thị sự thay đổi giá trị của các hàm dạng trên phần tử CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH... PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM 2/ Hãy minh họa đồ thị sự thay đổi giá trị của các hàm dạng trên phần tử CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Giải Các hàm dạng Dùng phương pháp 1 ở bài tập 3, ta tìm được các hàm dạng tương ứng với các nút 1, 2, 3, 4,5,6,7 và 8 như sau: 1 1 1 1 1 1 1 , , 2 , 4 4 1 1 ... ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Bài tập 10 Biết các hàm nội suy của phân tử dầm 2 nút có chiều dài L = 1 2 x2 – x1 là 0 L 2 3 x 2 x x x x3 N1 ( x) 1 3 2 2 3 , N 2 ( x) x 2 2 L L L L x2 x3 x 2 x3 N 3 ( x) 3 2 2 3 , N 4 ( x) 2 L L L L Trong đó N1(x), N2(x) là hàm nội suy của bậc tự do độ võng v và góc xoay v’ tương ứng với nút 1 Các hàm N3 (x) , N4(x) là hàm nội suy của bậc tự do độ... 1 1 0 1 1 0 10 1 0 10 1 9 , 1 1 1 1 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Bài tập 6 Trên không gian thực, hãy tìm các hàm dạng của phần tử tứ giác 4 nút sau: Với x2- x1=a, y2- y1=b CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Giải Áp dụng đa thức Lagrange cho hai phương x và y, ta có: x x2 ... Như vậy các hàm dạng thỏa tính chất 1 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM * Tính chất 4 , 1 i 1 i 4 1 1 i , 1 1 1 1 4 4 i 1 1 1 1 1 1 1 4 4 1 1 1 1 4 4 1 1 1 1 4 4 4 i 1 i 1 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Bài tập 9...Giải - Phương pháp 1 Dùng hàm đa thức có dạng u = A + Bx + Cy + Dxy (1) Gọi u1, u2, u3, u4, lần lượt là các biến nút liên kết với các nút 1,2,3,4 ta có hệ phương trình: u1 a u2 a Cb Dab u 3 Cb u ... 2.2 Bài tập giải sẵn Bài tập Tìm hàm dạng phần tử chiều hai không gian tham chiếu không gian thực hình sau: CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Giải Áp dụng đa thức Lagrange, hàm dạng. .. Hãy minh họa đồ thị thay đổi giá trị hàm dạng phần tử CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM Giải Các hàm dạng Dùng phương pháp tập 3, ta tìm hàm dạng tương ứng với nút 1, 2, 3, 4,5,6,7... ĐHQGTPHCM Bài tập Hãy kiểm nghiệm tính chất tính chất hàm dạng phần tử tứ giác nút sau: , i 1 CBGD: PGS.TS PHAN ĐÌNH HUẤN - ĐHBK - ĐHQGTPHCM i Giải Kiểm nghiệm tính chất hàm dạng: Với hàm