Báo cáo môn học Quá trình ngẫu nhiên ứng dụng Đề tài 9: Chuyển động Brownian Sinh viên thực hiện: Trần Mạnh Quân Đặng Xuân Mạnh Ngô Mạnh Tuấn 20092149 20091728 20093658 Mục lục Chuyển động Brownian I.Định nghĩa tính chất chuyển động Brownian (Brownian Motion) 1.1 Định nghĩa chuyển động Brownian Chuyển động Brownian Motion lấy theo tên nhà thực vật học Robert Brown Nó miêu tả trình chuyển động hạt di chuyển ngẫu nhiên chất lỏng không khí Trong toán học, dùng để biểu diễn trình dịch chuyển ngẫu nhiên Ngoài chuyển động Brownian có nhiều ứng dụng lĩnh vực kinh tế vật lí Một ứng dụng thực tế chuyển động Brownian biểu diễn biến động cổ phiếu thị trường chứng khoán Chuyển động Brownian trình ngẫu nhiên đơn giản nhất, liên quan chặt chẽ với luật phân phối chuẩn Một biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối chuẩn với kì vọng µ độ lệch chuẩn σ ta có: với Một trình ngẫu nhiên có giá trị thực gọi chuyển động Brownian có giá trị ta có: • tăng độc lập (independent increments), có nghĩa thời điểm t với tăng giá trị không phụ thuộc vào t Với , tăng giá trị tuân theo luật phân phối chuẩn với kì vọng phương sai h Hàm liên tục Ta nói chuyển động Brownian chuẩn x = Như định nghĩa chuyển động Brownian trình ngẫu nhiên với tập hợp biến ngẫu nhiên định nghĩa không gian xác suất ( Đồng thời, trình ngẫu nhiên hiểu hàm ngẫu nhiên với tính chất trình ngẫu nhiên tương ứng Hình 1.Đồ thị chuyển động Brownian Xác suất biên trình ngẫu nhiên hiểu luật phân bố tất vector ngẫu nhiên hữu hạn chiều với Giả sử U biến ngẫu nhiên có phân phối Khi trình { : t} với có luật phân phối biên với chuyển động Brownian, không liên tục nên chuyển động Brownian 1.2 Sự tồn chuyển động Brownian Đây vấn đề không đơn giản phụ thuộc vào phân phối biên định nghĩa chuyển động Brownian, tính liên tục trình giải mẫu thuẫn gặp phải Vào năm 1923 Norbert Wiener chứng tồn chuyển động Brownian Ta có định lí Wiener Định lí Wiener : Tồn chuyển động Brownian chuẩn 1.3 Tính chất chuyển động Brownian a.Tính bất biến Đây tính chất quan trọng chuyển động Brownian, cho phép xây dựng mở rộng chuyển động Brownian mà luật phân phối không thay đổi Từ tính bất biến ta xây dựng bổ đề Bổ đề 1: Giả sử chuyển động Brownian chuẩn, cho ta có với chuyển động Brownian chuẩn Chứng minh: Với ta có Theo định nghĩa chuyển động Brownian ta có có phương sai kì vọng nên chuyển động Brownian Từ bổ đề ta có bổ đề Bổ đề 2: Giả sử chuyển động Brownian chuẩn trình với chuyển động Brownian chuẩn *Xét trình khuyếch đại Ornstein-Uhlenbeck với với trình Markov, tuân theo luật phân phối chuẩn với t Không giống chuyển động Brownian, Ornstein-Uhlenbeck trình hồi phục (time reversible) Công thức đảo thời gian cho có quy luật giống nhau, có nghĩa Bổ đề 3: Luật số lớn (Law of large number) Chứng minh: Áp dụng bổ đề ta có b.Tính chất liên tục chuyển động Brownian Theo định nghĩa chuyển động Brownian, ta cần có hàm liên tục Có nghĩa khoảng (hoặc khoảng khác), hàm cần phải liên tục đều,tức tồn hàm với Hàm gọi Mô đun liên tục (modulus of continuity ) hàm như: Vậy câu hỏi đặt có tồn mô đun liên tục không ngẫu nhiên cho chuyển động Brownian Câu trả lời có, ta có định lí Định lí 1: Tồn số để với số đủ nhỏ với , ta có: Định lí 2: Với số tồn để: Định lí 3: Mô đun liên tục Levy c.Tính chất không khả vi (Non differentiability) chuyển động Brownian Phần trước ta nói chuyển động Brownian liên tục, phần ta tìm hiểu đồ thị chuyển động Brownian (hình 1) lại không ổn định Mệnh đề 1: Với a,b cho Chuyển động Brownian không đơn điệu Chứng minh: Xét chuyển động Brownian gọi đơn điệu tăng [a,b] với ta có Chia khoảng [a,b] làm n khoảng [] với ta có giá trị có dấu Theo định nghĩa chuyển động Brownian giá trị tăng độc lập nên có xác suất Cho ta có xác suất dần đến Từ ta có suy mệnh đề Chứng minh tương tự với B(t) đơn điệu giảm Từ mệnh đề ta suy mệnh đề Mệnh đề 2: Vấn đề đặt điểm t=0 có tồn khoảng để chuyển động Brownian đơn điệu hay không? Đây điểm mấu chốt để chứng không khả vi chuyển động Brownian Vào năm 1933 Paley, Wiener and Zygmund chứng không tồn khoảng chuyển động Brownian không khả vi Định lí 4: Paley, Wiener and Zygmund Chuyển động Brownian không tồn khoảng khả vi II Chuyển động Brownian bước ngẫu nhiên (random walk) 2.1.Khái niệm bước ngẫu nhiên Phần lớn lí thuyết xác suất dùng để mô tả đối tượng, tượng ngẫu nhiên Chuyển động Brownian (Brownian Motion) cho ta nhìn trực quan trình dịch chuyển hạt không gian d chiều Ở mức độ vi mô, chuyển động hạt ngẫu nhiên, giả sử vị trí hạt ban đầu (lúc t=0) , vị trí t=n cho Nếu độc lập có phân phối giống với giá trị trình gọi bước ngẫu nhiên Trong phần tìm hiểu số định lí sư liên quan chuyển động Brownian bước ngẫu nhiên Trong phần ta tìm hiểu quy luật định lí hàm logarit lặp, phần thứ hai điểm tăng chuyển động Brownian 2.2 Quy luật hàm logarit lặp Định lí 1: Quy tắc logarit lặp cho chuyển động Brownian Giả sử trình tuân theo chuyển động Brownian chuẩn Khi đó có: Theo tính chất đối xưng ta có: Do với , tồn để với , đồng thời tồn t lớn tùy ý để Hình Hình bên trái cho ta thấy tiệm cận đồ thị phân bố điển hình chuyển động Brownian ( phân bố gần tiệm cận thưa) Hình bên phải biểu diễn phân phân bố không điển chuyển động Brownian Định lí 2: Giả sử chuyển động Brownian chuẩn ta có: Định lí 3: Quy luật logarit lặp với bước ngẫu nhiên đơn giản Cho bước ngẫu nhiên đơn giản , ta có: Định lí 4: Nếu liên tục theo thời gian cho , ta có Mở rộng 2.3.Điểm tăng bước ngẫu nhiên chuyển động Brownian a.Định nghĩa điểm tăng Điểm gọi điểm tăng hàm cho ta có với với b.Một số định lí bổ đề Định lí 5: Bất đẳng thức Harris Giả sử biến ngẫu nhiên với giá trị thuộc có tọa độ độc lập Cho hàm đo không giảm Từ bất đẳng thức Harris ta có bổ đề Bổ đề 1: Cho số dương ta có : Định nghĩa 1: (a) Một tập hợp số thực có điểm tăng (b) Hàm có giá trị thực f có điểm tăng toàn cục (global point of increase) khoảng (a,b) có để với với Điểm t gọi điểm tăng cục (local point of increase) điểm tăng toàn cục nhiều khoảng Định lí 6: Cho bước ngẫu nhiên đơn giản Khi ta có: với n > C số Từ định nghĩa định lí ta có bổ đề 2: Bổ đề 2: Cho bước ngẫu nhiên ta có Định lí điểm tăng chuyển động Brownian Định lí 7: Không tồn điểm tăng cục chuyển động Brownian III Quá trình Wiener (Wiener Process) Quá trình Wiener trình liên tục theo thời gian, tên đặt theo tên nhà toán học Norbert Weiner Nó thường biết đến chuyển động Brownian chuẩn 3.1 Tính chất trình Weiner Vì trình Wiener chuyển động Brownian nên có tính chất giống chuyển động Brownian có tính chất : Hàm liên tục tăng độc lập Với tuân theo luật phân phối chuẩn với kì vọng phương sai t-h W(t) ~ Quá trình Wiener xây dựng độ co giới hạn (scaling limit) bước ngẫu nhiên Hoặc trình rời rạc khác có tính chất tăng độc lập a) Tính chất trình Wiener chiều - Hàm mật độ xác suất không điều kiện thời điểm t cố định -Kì vọng -Phương sai t -Hiệp phương sai (covariance): Chứng minh Giả sử ta có Vì nên ta có: Theo tính chất ta có độc lập nên: Từ suy ra: []= Tương tự ta có: -Hệ số tương quan (correlation): corr(= b) Một số tính chất khác -Tính co dãn chuyển động Brownian Với c>0 ta có trình Wiener -Tính chất phục hồi theo thời gian Quá trình có phân phối giống -Tính chất đảo ngược theo thời gian Quá trình trình Wiener c)Các tính chất suy từ tính chất (giống tính chất chuyển động Brownian) *Tính chất định tính (Qualitative properties) -Với , vừa có giá trị âm vừa có giá trị dương khoảng -Hàm luôn liên tục không khả vi trường hợp -Điểm cực đại w một tập điểm dày đặc đếm được, giá trị cực đại khác đôi một, khoảng cực đại tuân theo đặc điểm sau: w có khoảng cực đại t Tính chất tương tự với cực tiểu giá trị -Không tồn điểm tăng -Hàm W hàm biên với tất khoảng -Luôn tồn điểm W(t) *Tính chất định lượng (Quantitative properties) -Luật logarit lặp (Law of the iterated logarithm): -Mô đun liên tục cục (Local modulus of continuity): -Mô đun liên tục toàn cục (Global modulus of continuity) : 3.2 Một số trình ngẫu nhiên liên quan tới trình Wiener Một số trình khác suy từ trình Wiener -Quá trình ngẫu nhiên Lévy trình Wiener với độ rời phương sai -Chuyển động Brownian hình học (geometric Brownian motion) trường hợp B(t) nhận giá trị dương -Chuyển động Wiener phức Một trình Wiener phức định nghĩa sau: với hai trình Wiener độc lập với IV Minh họa chuyển động Brownian matlab 4.1 Sử dụng thư viện Matlab Hàm hỗ trợ chuyển động Brownian Matlab bm Cú pháp BM = bm(Mu, Sigma) Hàm có chức khởi tạo chuyển động Brownian (hoặc trình Wiener) Nó cho phép giả lập trình ngẫu nhiên theo mẫu sau: Với trình ngẫu nhiên tuyến tính trôi Với Mu : đại lượng , Sigma đại lượng V Với chuyển động Brownian ta khởi tạo μ = Ví dụ: Khởi tạo chuyển động Brownian đơn biến Code Matlab BM = bm(0, 0.3) Ta có kết : Class BM: Brownian Motion -Dimensions: State = 1, Brownian = -StartTime: StartState: Correlation: Drift: drift rate function F(t,X(t)) Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) Simulation: simulation method/function simByEuler Mu: Sigma: 0.3 4.2 Đồ thị chuyển động Brownian Motion a Chuyển động Brownian chiều Chuyển động Brownian chiều mô tả vị trí hạt chuyển động ngẫu nhiên Ta sử dụng hàm randn, hàm trả ma trận ngâu nhiên với phân phối chuẩn độ lệch chuẩn 1, tham số N kích thước ma trận 1xN Code Matlab N = 1100; displacement = randn(1,1100); plot(displacement); drawnow; pause(1) Ta có hình vẽ : b Chuyển động Brownian chiều Hàm cumsum trả tổng chập vector ngẫu nhiên particle = struct(); particle.x = cumsum( randn(N, 1) ); particle.y = cumsum( randn(N, 1) ); plot(particle.x, particle.y); ...Mục lục Chuyển động Brownian I.Định nghĩa tính chất chuyển động Brownian (Brownian Motion) 1.1 Định nghĩa chuyển động Brownian Chuyển động Brownian Motion lấy theo tên nhà... biên với chuyển động Brownian, không liên tục nên chuyển động Brownian 1.2 Sự tồn chuyển động Brownian Đây vấn đề không đơn giản phụ thuộc vào phân phối biên định nghĩa chuyển động Brownian, ... chứng tồn chuyển động Brownian Ta có định lí Wiener Định lí Wiener : Tồn chuyển động Brownian chuẩn 1.3 Tính chất chuyển động Brownian a.Tính bất biến Đây tính chất quan trọng chuyển động Brownian,