PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP HUYỆN SƠN DƯƠNG NĂM HỌC 2013-2014 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Câu1 (4 điểm) 2 1 − 0,25 + 0,4 − + 11 − : 2013 a Thực phép tính: A = 1,4 − + 1 − 0,875 + 0,7 2014 11 9 9 + + + + b Tính B = + 19 19.29 29.39 39.49 1999.2009 Câu (4 điểm) a Tìm các góc của một tam giác Biết rằng số đo của chúng tỷ lệ với 2, 3, a c a 2014 + b 2014 a − b = b Chứng minh rằng: Nếu = thì 2014 b d c + d 2014 c − d 2014 c Cho hàm số y = f(x) = kx (k là hằng số, k ≠ 0) Chứng minh rằng f(x1 – x2) = f(x1) – f(x2) Câu (4 điểm) a Tìm x biết x − = x + b Tìm x, y ∈ Z thỏa mãn x + xy + y = Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông góc tại A Phân giác của B cắt cạnh AC tại điểm D Từ D kẻ DE vuông góc với BC (E ∈ BC) Tia ED và tia BA cắt tại F a So sánh DA và DC b Chứng minh BD ⊥ FC c Chứng minh AE // FC Câu (2 điểm) Cho M = a b c + + với a, b, c > a+b b+c c+a Chứng tỏ M số nguyên / Hết Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẤN CHẤM HUYỆN SƠN DƯƠNG THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP NĂM HỌC 2013-2014 Môn thi: TOÁN Câu Nội dung Điểm 2 1 − 0,25 + 0,4 − + 11 − : 2013 1,4 − + 1 − 0,875 + 0,7 2014 11 a (2 điểm) A = Câu 2 2 − + A= 11 − 7−7+ 11 1 − + : 2013 7 2014 − + 10 1 1 1 2 − + − + 11 − : 2013 = 1 1 2014 − + 7 − + 11 2 7 0,5 2013 =0 2014 = − : b.(2 điểm) Ta có B = = 0,5 9 9 + + + + + 19 19.29 29.39 39.49 1999.2009 9 9 + + + + + 9.19 19.29 29.39 39.49 1999.2009 0,25 1 1 + + + + + 1999.2009 9.19 19.29 29.39 39.49 0,25 = 10 10 10 10 10 + + + + + 1999.2009 10 9.19 19.29 29.39 39.49 0,5 = 2009 − 1999 19 − 29 − 19 39 − 29 49 − 39 + + + + + 19.29 29.39 39.49 1999.2009 10 9.19 0,5 = 1 1 1 1 + − + − − + − 1999 2009 10 19 19 29 29 39 0,25 = 10 = 200 1 − = 2009 2009 0,25 Câu a (1 điểm) Gọi số đo độ của góc của tam giác là x, y, z đó ta có: x y z x+ y+z = = = = 20 ( Vì x+y+z = 1800 ) 0,25 x = 20 => x = 400 0,25 y = 20 => y = 600 0,25 z = 800 0,25 b (2 điểm) Từ a c 2014 => Từ a c a b a−b = = = => b d c d c−d b = d 2014 a −b = c−d 0,5 2014 a c a b a = => = => b d c d c 0,5 (1) 2014 b = d 2014 = a 2014 + b 2014 a − b = Từ (1) và (2) suy 2014 c + d 2014 c − d Bài a 2014 + b 2014 (2) c 2014 + d 2014 0,5 2014 0,5 c (1 điểm) Cho hàm số y = f(x) = kx (k là hằng số, k ≠ 0) Ta có f(x1 – x2) = = k(x1 – x2) = kx1 – kx2 = f(x1) – f(x2) a (2 điểm) Tìm x biết x − = x + (1) 0,5 Xét với x < -2 ta có (1) – 5x + + x = => x = 3/2 ( loại) 0,5 Xét với -2 ≤ x < 4/5 ta có (1) – 5x – x – = => x = 1/3 0,5 Xét với 4/5≤ x ta có (1) 5x- – x – = => x = 3/2 0,5 Vậy x = 1/3 ; x = 3/2 b (2 điểm) Từ x + xy + y = x(y + 1) + (y + 1) = 10 0,5 (y+1) (x+1) = 10 0,5 x+1 -1 -2 -5 -10 10 x -2 -3 -6 -11 y+1 -10 10 -5 -2 -1 y -11 -6 -1 -2 0,5 Vậy có các cặp (x,y) thỏa mãn là : (-2; -11); (0; 9); (-3; -6); (1; 4); (-6; Câu -1); (4; 1); (-11; -2); (9; 0); 0,5 Ghi GT và KL vẽ hình đúng 0,5 F M A D B E C a (2 điểm) Ta có ∆ABD = ∆EDB vì có AD chung và Bˆ1 = Bˆ cho ta DA = DE (1) 0,5 Trong tam giác vuông EDC thì DE < DC (2) 0,5 Từ (1) và (2) suy DA < DC b ∆ABD= ∆EDB nên AB = BE ( hai cạnh tương ứng ) 0,5 Hai tam giác EFB và ACB có AB = EB và góc B chung, suy BF = BC => ∆FBC cân, đỉnh B Mà BM là phân giác của góc B nên cũng là đường cao, 0,5 suy BM ⊥ FC (3) hay BD ⊥ FC 0,5 c Ta dễ dàng thấy BD ⊥ AE (4) 0,5 Từ (3) và (4) suy AE // FC 0,5 a a b b c c > ; > ; > a +b a+b+c b+c a+b+c c+a a+b+c a b c a+b+c + + > =1 => M = a+b b+c c+a a+b+c 0,25 Vì a, b, c > nên: Do đó M > Bài (2 điểm) (1) b c b c a a + + + + Mà: ÷+ ÷ a+b b+c c+a a+b b+c a+c b b c c a a + + + = ÷+ ÷+ ÷=3 a+b a+b b+c b+c c+a c+a c a b + + Vì ÷>1 a+b b+c a+c b c a + + Suy ra: M = (2) ÷< a+b b+c c+a Từ (1) (2) suy ra: 1< M < nên M số nguyên Chú ý : Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa./ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ... CHẤM HUYỆN SƠN DƯƠNG THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP NĂM HỌC 2013-2014 Môn thi: TOÁN Câu Nội dung Điểm 2 1 − 0,25 + 0,4 − + 11 − : 2013 1,4 − + 1 − 0, 875 + 0 ,7 2014 11 ... − + A= 11 − 7 7+ 11 1 − + : 2013 7 2014 − + 10 1 1 1 2 − + − + 11 − : 2013 = 1 1 2014 − + 7 − + 11 2 7 0,5 2013 =0... a + + Suy ra: M = (2) ÷< a+b b+c c+a Từ (1) (2) suy ra: 1< M < nên M số nguyên Chú ý : Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa./ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25