Sổ tay môn toán giải các dạng bài tập thi thptqg

 Hai tam giác đồng dạng thì :  Tỷ số giữa các yếu tố không kể góc; và diện tích tương ứng bằng nhau và bằng tỷ số đồng dạng..  Trong tam giác đường thẳng song song với một cạnh thì tạ

1 ( x ) '

x ln a

u 'log u '

LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam

o Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn

vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

o Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo

hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số

 Vẽ đồ thị của hàm số:

o Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm

số bậc ba và hàm số trùng phương)

– Tính y

– Tìm các điểm tại đó y = 0 và xét dấu y

o Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ

thị

o Xác định một số điểm đặc biệt của đồ

thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

(trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ

hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể

bỏ qua) Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ

Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của

hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm

(C): y =f(x) tại điểm M0x ; y0 0

 Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0)

Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0

 Tính y = f (x) Suy ra y(x0) = f (x0)

 Phương trình tiếp tuyến  là:

y – y0 = f (x0).(x – x0)

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến  của

(C): y =f(x), biết  có hệ số góc k cho trước

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm

 Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm Tính f (x0)

  có hệ số góc k  f (x0) = k (1)

 Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0

= f(x0) Từ đó viết phương trình của 

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam

Trang 4

Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến  có thể

được cho gián tiếp như sau:

  tạo với chiều dương trục hoành góc  thì

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến  của

(C): y = f(x), biết  đi qua điểm A(x ; y ) A A

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm

 Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm Khi đó:

 Giải phương trình (1), tìm được x0 Từ đó

viết phương trình của 

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

 Phương trình đường thẳng  đi qua

 Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k) Từ đó viết

phương trình tiếp tuyến 

Dạng 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc

Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x)

và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương

Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm

của hai đường đó

Dạng 3: Tìm những điểm trên đường thẳng d

mà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x)

và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

 Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C)  (3)

có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

 Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

 f (x1).f (x2) = –1

Từ đó tìm được M

Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao

cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành thì 

Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2)

ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm)

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao

 Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ

giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)

 Để biện luận số nghiệm của phương trình

F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một

trong các dạng sau:

Dạng 1: F(x, m) = 0  f(x) = m (1)

Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành

độ giao điểm của hai đường: (C): y = f(x) và d: y

= m

 d là đường thẳng cùng phương với Ox

 Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm

của (C) và d Từ đó suy ra số nghiệm của (1)

Dạng 2: F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2)

 Thực hiện tương tự, có thể đặt g(m) = k

 Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m

Đặc biệt: Biện luận số nghiệm của phương

 Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân

LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam

thị nằm phía bên phải trục tung

Bước 2 Lấy đối xứng phần đồ thị ở bước 1

qua trục tung ta được đồ thị (C1)

2 Đồ thị hàm số y = f(x)

Gọi (C) : yf (x) và (C ) : y2  f (x) ta thực hiện

các bước sau:

Bước 1 Vẽ đồ thị (C)

Bước 2 Giữ lại phần đồ thị của (C) nằm phía

trên trục hoành Lấy đối xứng phần đồ thị nằm

phía dưới trục hoành của (C) qua trục hoành ta

các bước vẽ (C1) rồi (C2) (hoặc (C2) rồi (C1))

Vấn đề 5 ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN

ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Dạng 1: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đường thẳng

d: y = ax + b

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau

qua d  d là trung trực của đoạn AB

 Phương trình đường thẳng  vuông góc với d: y = ax + b có dạng: : y 1x m

 Tìm toạ độ trung điểm I của AB

 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d  I 

d, ta tìm được m  xA, xB  yA, yB  A, B

Trang 7

Dạng 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị

(C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau

qua I  I là trung điểm của AB

 Phương trình đường thẳng d qua I(a; b), có

A, B khi đó xA, xB là 2 nghiệm của (1)

 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I  I là

trung điểm của AB, ta tìm được k  xA, xB

Nhận xét: Ngoài những phương pháp đã nêu, bài

tập phần này thường kết hợp với phần hình học

giải tích, định lý Vi-et nên cần chú ý xem lại các

tính chất hình học, các công cụ giải toán trong

cosx –sinx Tan –tanx –tanx cotx tanx –cotx Cot –cotx –cotx tanx cotx –tanx

II Công thức lượng giác:

1 Công thức cơ bản:

sin acos a1

tan a.cot a12

tan tantan( )

1 tan tantan tantan( )

LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam

Trang 8

3 Công thức nhân đôi, nhân ba:

(cos sin )(cos sin )

21

sin x cos x (sin x cos x) 2sin x.cos x

(1 2sin x.cos x) 2sin x.cos x

1 sin 2x sin 2x 1

8

Trong một số phương trình lượng giác, đôi

khi ta phải sử dụng cách đặt như sau:

- Đặt t là một trong các hàm lượng giác

Giải phương trình theo t và dễ dàng tìm được

nghiệm của phương trình đã cho

III Phương trình a.sin x b.cos x c

Cách giải:

- Nếu 2 2 2

a b c : phương trình vô nghiệm

- Nếu a2b2c2: Ta chia hai vế của

Pt trở thành: a = d.(kiểm tra đúng sai và két luận

có nhận nghiệm cos x 0 hay không?)

a.tan xb.tan x c d(1 tan x)

Đặt ttan x ta dễ dàng giải được phương trình

Cách 2:

Dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình III

Chú ý: Đối với dạng phương trình thuần

nhất bậc 3 hay bậc 4 đối với sin và cos ta cũng

có cách giải hoàn toàn tương tự

Chú ý: Đối với dạng phương trình

a(sin x cos x) b.sin x.cos x   c 0

Bằng cách đặt t sin x cos x 2 sin x

 Xuất hiện 3 nghĩ đến phương trình III

 Xuất hiện 3 và góc lượng giác lớn nghĩ đến dạng biến thể của phương trình III

 Xuất hiện góc lớn thì dùng công thức tổng thành tích để đưa về các góc nhỏ

 Xuất hiện các góc có cộng thêm

k , k , k

thì có thể dùng công thức tổng thành tích, tích thành tổng hoặc cung liên kết, hoặc công thức cộng để làm mất các k , k , k

t sin x cos x 2 sin x

Chú ý: Góc lớn là góc có số đo lớn hơn 2x

Ta chỉ sử dụng công thức nhân ba khi đã đưa bài toán về sinx, sin x2 hoặc cosx, cos x2

Vấn đề 4: GIẢI TAM GIÁC

I Công thức sin, cos trong tam giác:

LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam

2l

  0: phương trình vô nghiệm

IV Cách xét dấu một đa thức:

 Tìm nghiệm của đa thức gồm cả nghiệm

tử và nghiệm mẫu (nếu đa thức là phân thức)

trình tích (x )(ax2Bx C) 0

Chú ý: trường hợp nghiệm phương trình bậc lớn

hơn 3 ta cũng có thể giải tương tự

 Cách nhẩm nghiệm hữu tỉ: Nghiệm là

một trong các tỉ số (ước của d với ước của a)

II Phương trình bậc 4 đặc biệt:

3 Phương trình trùng phương tịnh tiến:

(x + a)4 + (x + b)4 = c Đặt t x a b

a2 ; b2 Bắt đầu từ b1b2 = d và chỉ thử với các giá trị nguyên

Chú ý: Phương pháp hệ số bất định này còn

áp dụng rất nhiều ở các dạng toán đòi hỏi nhóm đặt thừa số chung hay phân chia phân số

III Phương pháp tham số, hằng số biến thiên:

Phương pháp: Coi các giá trị tham số, hằng số là biến Còn biến được coi làm hằng số

IV Phương trình

a f (x) b.f (x).g(x) c g(x) 0Trong đó bậc f(x) và g(x)  2

 Xét g(x) = 0 thỏa phương trình?

 Xét g(x)0 chia hai vế cho  2

g(x) đặt

f (x)t

g(x)

Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ.

LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam

Chú ý: Ở đây ta có thể không đặt điều kiện,

cứ bình phương các vế để mất căn, phương trình

mới là phương trình hệ quả của phương trình đã

cho Do đó khi giải tìm nghiệm ta phải thử lại

ax bx c px qxr trong đó a b

p qCách giải: Đặt t px2qxr điều kiện t0

Chú ý: Bài toán nhân liên hiệp thường dùng nếu

ta nhẩm được nghiệm của bài toán và nghiệm đó

có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

 Chọn được nghiệm x0 của phương trình

 Xét các hàm số y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2) Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến

và một hàm số nghịch biến Khi đó (C1) và (C2) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x0

Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình

Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm

hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng

Dạng 2: Biện luận tham số m

 Đặt ẩn phụ theo các phương pháp trên

2 Bất phương trình vô tỷ:

Phương pháp giải bất phương trình cũng được chia thành các dạng giống như giải phương trình

LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam

3 D = Dx = Dy = 0: Hệ có vô số nghiệm thỏa

a1x + b1y = c1 hoặc a2x + b2y = c2

II Hệ chứa một phương trình bậc nhất:





Cách giải:

Cách 1: Đưa phương trình đối xứng về dạng

tích giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại

Cách 2: Đưa phương trình đối xứng về dạng

f (x)f (y) x y với hàm f đơn điệu

Chú ý: Một số bài toán cần phải đặt ẩn phụ để

chuyển về các dạng toán đã biết Ngoài ra phương pháp đánh giá và phương pháp hàm số cũng có thể được dùng để giải

  log b.log ca b log ca

 log (bc)a log b log ca  a

 loga b log b log ca a

LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam

 Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1)

 Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x)

và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất

 Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì

Cách giải: Tương tự như phương trình mũ

Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn

log f (x) b a a

c Đặt ẩn phụ

d Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

e Đưa về phương trình đặc biệt

f Phương pháp đối lập Chú ý:

 Các phương pháp liệt kê không nêu cách giải có cách giải tương tự phương trình mũ

Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa

Cách giải: Tương tự như phần phương trình

Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn

số thì:

alog B  0 (a 1)(B 1) 0; a

a

log A

0 (A 1)(B 1) 0log B     

5 Hệ phương trình mũ – logarit:

Cách giải: Kết hợp các cách giải của phương trình

mũ – logarit ở trên và phần giải phương trình và

hệ phương trình đại số

Họ nguyên hàm F(x)+C

1 tg(ax b) C

1 cot g(ax b) C a

dạng F x Cmới là nguyên hàm của f x Ta  

gọi F x Clà họ nguyên hàm hay tích phân bất

- Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ cĩ bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu

LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam

Tích phân chứa dx2

cos x Đặt t tgxTích phân chứa dx2

sin x Đặt t cot gx Tích phân chứa a2x2

b a

- Nếu mẫu là bậc nhất thì lấy tử chia mẫu

- Nếu mẫu là bậc hai có nghiệm kép thì đưa về hằng đẳng thức

- Nếu mẫu là bậc hai có hai nghiệm thì đồng nhất thức

- Nếu mẫu là bậc hai vô nghiệm thì đổi biến số

Tích phân hàm lương giác:

- Nếu sinx,cosx có số mũ chẳn thì hạ bậc

2 1 cos2x 2 1 cos2x sin x  2 ;cos x  2

x hoặc cot2x thì thêm bớt 1

- Nếu có tanx,cotx có thể đưa về sinx,cosx rồi đặt t

- Nếu có sina.cosb,sina.sinb,cosa.cosb thì dùng công thức biến đổi tích thành tổng

- Nhiều bài chúng ta phải biến đổi các hàm lượng giác để đưa về các dạng có khả năng tính được

Chú ý: Tích phân trong các đề thi đại học thường

ra dưới dạng kết nhiều dạng tính tích phân Vì thế, từ tích phân ban đầu ta biến đổi về tổng hoặc hiệu các tích phân Khi đó, từng tích phân dễ dàng tích được bằng các phương pháp trên

(thường là một tích phân đổi biến và một tích phân từng phần)

 Nếu tích S giới hạn bởi x = f(y) và x = g(y) thì

ta đổi vai trò x cho y trong công thức trên

II Tính thể tích khối tròn xoay:

LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam

Trang 20

Chuyên đề: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

I Kiến thức cơ bản:

1 Kiến thức hình học 9 – 10:

1.1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, đường trung tuyến AM Ta có:

M là trung điểm BC nên MA = MB = MC và M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

1.2 Hệ thức lượng trong tam giác thường:

Cho tam giác ABC có các cạnh lần lượt là a, b, c, đường trung tuyến AM

S  .R

Diện tích hình bình hành:

S = cạnh đáy x chiều cao

Diện tích tam giác đều:

2 ABC

a 3S



Trang 21

1.4 Tam giác - Các trường hợp bằng nhau - đồng dạng của tam giác:

a Trường hợp bằng nhau và đồng dạng của tam giác thường:

Tam giác ABC có các góc A;B;C các cạnh đối diện tương ứng a;b;c Chu vi 2p Diện tích S

Tính chất:

 Hai tam giác bằng nhau thì các yếu tố tương ứng bằng nhau

 Hai tam giác đồng dạng thì :

 Tỷ số giữa các yếu tố( không kể góc; và diện tích) tương ứng bằng nhau và bằng tỷ

số đồng dạng

 Tỷ số diện tích bằng bình phương tỷ số đồng dạng

 Hai tam giác đồng dạng nếu có 1 yếu tố về độ dài tương ứng bằng nhau thì bằng nhau

b Trường hợp bằng nhau và đồng dạng của tam giác vuông:

Do 2 tam giác vuông có góc vuông tương ứng bằng nhau nên có sự đặc biệt so với tam giác thường:

 Hai cạnh góc vuông bằng nhau (tỷ lệ )

 Một góc nhọn tương ứng bằng nhau và 1 cạnh góc vuông bằng nhau (tỷ lệ)

 Một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng nhau (tỷ lệ)

1.5 Định lý Thalet:

 Những đường thẳng song song định ra trên 2 cát tuyến những đoạn thẳng tỷ lệ

 Trong tam giác 1 đường thẳng song song với cạnh đáy khi và chỉ khi nó định ra trên 2 cạnh kia những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ

 Trong tam giác đường thẳng song song với một cạnh thì tạo với 2 cạnh kia 1 tam giác đồng dạng với tam giác đã cho ban đầu

1.6 Các yếu tố cơ bản trong tam giác:

 Ba đường trung tuyến đồng quy tại 1 điểm: trọng tâm G cách đỉnh bằng 2

3 mỗi đường

Mỗi đường trung tuyến chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau

 Ba đường cao đồng quy tại một điểm: trực tâm H

 Ba đường trung trực đồng quy tại một điểm gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp, còn gọi là

tâm của tam giác

 Ba đường phân giác trong đồng quy tại một điểm gọi là tâm đường tròn nội tiếp

Mỗi đường phân giác chia cạnh đối diện thành hai phần tỉ lệ với hai cạnh bên tương ứng

1.7 Các tính chất đặc biệt:

Cho tam giác nhọn ABC, nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính

AA‟, M trung điểm BC, H là trực tâm, H‟ đối xứng với H qua BC

Ta có:

- BHCA‟ là hình bình hành có tâm là M nên A‟ là điểm đối xứng

của H qua M

- H‟ nằm trên đường tròn tâm O

- 9 điểm gồm trung điểm 3 cạnh tam giác, trung điểm AH, BH, CH,

và các chân đường cao nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm

OH được gọi là đường tròn Euler

LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam

Trang 22

2 Kiến thức hình học 11:

Quan hệ song song:

Bài 1: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Định nghĩa:

Một đường thẳng và một mặt phẳng

được gọi là song song nếu chúng

không có điểm chung

ĐL2: Nếu một đường thẳng song

song với mặt phẳng thì nó song

song với giao tuyến của mặt phẳng

(P)

ĐL3: Nếu một đường thẳng song

song với 2 mặt phẳng cắt nhau thì

nó song song với giao tuyến của hai

mặt phẳng đó

(P) (Q) d(P) / /a d / /a(Q) / /a

Q P

Bài 2: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Định nghĩa:

Hai mặt phẳng được gọi là song

song nếu chúng không có điểm

chung

(P) / /(Q)(P)(Q) 

Q P

Định lý:

ĐL1: Điều kiện cần và đủ để 2 mặt

phẳng song song là trong mặt

phẳng này chứa 2 đường thẳng cắt

nhau cùng song song với mặt

Q P

ĐL2: Nếu 2 mặt phẳng song song

với nhau thì mọi đường thẳng nằm

trong mặt phẳng này đều song song

Q P

Quan hệ vuông góc:

Bài 1: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Định nghĩa:

Đường thẳng vuông góc với mặt

phẳng khi và chỉ khi nó vuông góc

với mọi đường thẳng nằm trong

ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông

góc với hai đường thẳng cắt nhau a

ĐL2: (định lý 3 đường vuông

góc): Cho đường thẳng a có hình

chiếu trên mặt phẳng (P) là đường

thẳng a’ Khi đó một đường thẳng b

chứa trong (P) vuông góc với a khi

và chỉ khi nó vuông góc với a’

Bài 2: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Định nghĩa:

Hai mặt phẳng được gọi là vuông

góc với nhau nếu góc giữa chúng

ĐL2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q)

vuông góc với nhau thì bất cứ

đường thẳng a nào nằm trong (P),

vuông góc với giao tuyến của (P)

và (Q) đều vuông góc với (Q)

LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam

Trang 24

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q)

vuông góc với nhau và A là một

điểm trong (P) thì đường thẳng a đi

qua điểm A và vuông góc với (Q)

ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau

và cùng vuông góc với mặt phẳng

thứ ba thì giao tuyến của chúng

vuông góc với mặt phẳng thứ ba

Bài 3: MỐI LIÊN HỆ QUAN HỆ SONG SONG VÀ VUÔNG GÓC

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a (hoặc đến

mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm O và H,

trong đó H là hình chiếu của điểm O trên đường thẳng a

P

2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

song song:

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)

song song với đường thẳng a là khoảng cách từ điểm O

bất kỳ thuộc đường thẳng a đến mặt phẳng (P)

a

H O

P

3 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng

cách từ điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

H O

Q P

4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài

đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

B

A

b a

Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song

 Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a

 Dựng hình chiếu vuông góc a‟ của a trên (P)

 Từ giao điểm B của a‟ và b, dựng đường thẳng

vuông góc với (P) rồi lấy giao điểm A của đường thẳng

này với a

 AB là đoạn vuông góc chung của a và b

b

a ' a

B A

Bài 5: GÓC

1 Góc giữa 2 đường thẳng trong không gian:

Góc giữa 2 đường thẳng trong không gian là góc hợp

bởi hai đường thẳng cùng phương với chúng, xuất phát

từ cùng một điểm

Lưu ý: 0   0

a' a

2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

 Đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng: Là

góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên

 Tìm giao điểm O của a với (P)

 Chọn điểm A  a và dựng AH  (P) Khi đó AOH(a, (P))

LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam

Trang 26

3 Góc giữa hai mặt phẳng:

 Góc giữa 2 mặt phẳng là góc tạo bởi 2 đường thẳng

lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng

 Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt

phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm

b a

Q P

Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mặt phẳng (P)

và S‟ là diện tích hình chiếu (H‟) của (H) trên (P‟)

B A

S

Lưu ý: Ngoài những vấn đề đã nêu thêm phương pháp giải, học sinh nên chú ý các định lý được in

nghiêng cũng chính là phương pháp thường được sử dụng để giải quyết các vấn đề

MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP

 Hình lăng trụ: là hình đa diện có 2 đáy song song và các cạnh không thuộc hai đáy thì song

song và bằng nhau và gọi là các cạnh bên

 Hình hộp: là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành

 Hình lăng trụ đứng: là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy

 Hình lăng trụ đều: là lăng trụ đứng và có đáy là đa giác đều

 Hình hộp đứng: là hình hộp có cạnh bên vuông góc với đáy

 Hình hộp chữ nhật: là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật Ba độ dài của ba cạnh xuất

phát từ một đỉnh gọi là ba kích thước của hình hộp chữ nhật

 Hình lập phương: là hình hộp chữ nhật có ba kích thước bằng nhau

 Hình chóp: là hình đa diện có một mặt là một đa giác còn các mặt khác đều là các tam giác có

chung đỉnh

 Hình tứ diện: là hình chóp có đáy là hình tam giác

 Hình chóp đều: là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau Đường

thẳng nối từ đỉnh đến tâm đa giác đều gọi là trục của hình chóp Trục của hình chóp vuông góc với mặt

phẳng đáy

 Hình chóp cụt: là hình đa diện tạo ra từ hình chóp có hai đáy là hai đa giác đồng dạng nằm

trong hai mặt phẳng song song, các mặt bên là các hình thang

Trang 27

3 Kiến thức hình học 12:

Diện tích – thể tích khối đa diện:

 Diện tích xung quanh: bằng tổng diện tích các mặt bên

 Diện tích toàn phần: bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy

1 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:

V = B.h với B: là diện tích đáy hình lăng trụ

h: là đường cao hình lăng trụ

THỂ TÍCH KHỐI HỘP CHỮ

NHẬT:

V = a.b.c

Với a, b c là chiều dài, chiều rộng,

chiều cao của hình hộp chữ nhật

THỂ TÍCH HÌNH LẬP

PHƯƠNG:

V = a3 Với a là độ dài cạnh hình lập

Cho khối tứ diện SABC và A‟, B‟,

C‟ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc

C

C'