bài tập và hướng dẫn giải chi tiết môn toán rời rạc

TOÁN RỜI RẠC Bài 2: ta có bảng chân trị sau: p q T T F T F F F T T F F T Từ bảng chân trị  ^( ^ q) = ^ F T F T ^q F F T F ^ F F F T v( ^ q)) F F F T Bài 3: Ta có bảng giá trị: p q pΛq 1 1 0 0 0 Ta thấy : VT=VP (đpcm) pvq 1 (p Λ q)→( p v q) 1 1 T 1 1 Câu Ta có bảng giá trị p q p→q q→p p↔q (p → q) ˄ (q → p) 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 Theo bảng giá trị ta thấy mệnh đề (p ↔ q) mệnh đề (p → q) ˄ (q → p) có giá trị chân lý Vậy (p ↔ q) = (p → q) ˄ (q → p) Bài 6: Sử dụng bảng giá trị, chứng minh : (p→ r)∨ (q→ r)=(p∧ q)→ r Giải p q r p→r q→r p∧q 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 ( p → r ) ∨ ( q → ( p ∧ q) → r) r 1 1 1 1 1 1 0 1 Vậy ( p → r ) ∨ ( q → r ) = ( p ∧ q ) → r Bài 7: Cho tập A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Sử dụng thuật toán sinh hoán vị theo thứ tự từ điển,tìm hoán vị liền kề hoán vị 568397412 Bài làm: j=3 , k=7 => hoán vị 568421379 j=6 k=8 => hoán vị 568427913 j=8 k=9 => hoán vị 568427931 j=5 k=8 => hoán vị 568431297 Bài 8: A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} n=9; a[]=(458796321) Hoán vị 1: i=4; k=5 → a[]=(4587912367) Hoán vị 2: i=8; k=9 → a[]=(458912376) Hoán vị 3: i=7; k=9 → a[]=(458912637) Hoán vị 4: i=8; k=9 → a[]=(458912673) Vậy hoán vị liền kề hoán vị 45879321 là: 458912367 458912376 458912637 458912673 Bài 9: Cho tập A={1, 2, … , 9} Sử dụng phương pháp sinh hội theo thứ tự từ điển, tìm hoán vị liền kề 236897541 Giải: *Phương pháp: Cho hoán vị ban đầu: a1a2 an +Bước 1: Tìm từ phải qua trái hoán vị ban đầu phần tử ak thỏa mãn akak +Bước 3: Đổi chỗ ak +Bước 4: Đảo ngược thứ tự phần tử từ ak+1 đến an *Bài giải: Hoán vị đầu tiên: 236897541 +n=9 +k=4: ak=a4=8 < ak+1=a5=9 +i=5: ai=a5=9 +Đổi chỗ a4 a5 Sau đảo ngược thứ tự từ a5 đến a9, ta hoán vị kế tiếp: 236914578 Sinh hoán vị kế tiếp: +n=9 +k=8: a8=7Có 10+100+1000=1110(cách) +)Tiếp theo 10 chữ số dạng NXX-NXX-XXXX ,N nhận giá trị từ đến =>Có 62(cách chọn N) +)X biểu thị chữ số từ đến =>Có 108(cách chọn X) Vậy:Số số điện thoại dùng 1110.62.108=39960.108(số) Vậy ( p ∨ q ) ∨ r ⇔ p ∨ ( q ∨ r ) b) ( p ∧ q ) ∧ r ⇔ p ∧( q ∧ r ) p q r p∧q q∧r 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 (p∧q)∧ p∧(q∧ r r) 0 0 0 Vậy ( p ∧ q ) ∧ r ⇔ p ∧( q ∧ r ) Bài 59 : Dùng bảng chân lý để chứng minh quy luật phân phối a) pv(q˄r)(pvq)˄(pvr) b) p˄(qvr)(p˄q)v(p˄r) Bài làm : a) p q r q˄r 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 pv(q˄ r) 0 1 1 pvq pvr 0 1 1 1 1 1 1 (pvq)˄(pv r) 0 1 1 0 0 0 Từ bảng chân lý => p v ( q ˄ r )  ( p v q ) ˄ ( p v r ) b) p q r qvr 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 p˄(qv r) 0 0 1 p˄q p˄r 0 0 0 1 0 0 1 (p˄q)v(p˄ r) 0 0 1 Từ bảng chân lý => p ˄ ( q v r )  ( p ˄ q ) v ( p ˄ r ) Bài 60: a, ⌐(p˄q)(⌐p)˅(⌐q) Ta có bảng chân lí: p Q ⌐p ⌐q p˄q T T F F T T F F T F F T T F F F F T T F Từ bảng chân lí ta thấy: VT↔VP (đpcm) ⌐(p˄q) (VT) F T T T (⌐p)˅(⌐q) (VP) F T T T ⌐(p˅q) (VT) F F (⌐p)˄(⌐q) (VP) F F b, ⌐(p˅q(⌐p)˄(⌐q) Ta có bảng chân lí: p T T q T F ⌐p F F ⌐q F T p˅q T T F T T F T F F T T F Từ bảng chân lí ta thấy: VTVP (đpcm) F T F T Câu 61: a, ( p ^ q) → p Bảng chân lý: p 0 1  q 1 p^q 1 ( p ^ q) → p 0 0 ( p ^ q) → p  điều phải chứng minh b, p → ( p v q) Bảng chân lý: p 0 1  q 1 pvq 0 p → ( p v q)  điều phải chứng minh c, → ( p → q) Bảng chân lý: p → ( p v q) 0 0 p 0 1 q 1 p→q 0 1 0 → ( p → q) 0 0 → ( p → q)  điều phải chứng minh  d, ( p ^ q) → ( p → q) Bảng chân lý: p 0 1  q 1 p^q 1 p→q 0 ( p ^ q) → ( p → q) 0 0 ( p ^ q) → ( p → q)  điều phải chứng minh e, → p Bảng chân lý: p 0 1  f, → q 1 p→q 0 → p  điều phải chứng minh 1 →p 0 0 Bảng chân lý: P 0 1 q 1 p→q 0 1 1 →  điều phải chứng minh  Bài 62: a/ p 0 1 q 1 1 0 1 1 0 1 1 Do mệnh đề b/ p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 r 1 1 1 1 0 1 Do mệnh đề 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 → 0 0 c/ p q 0 1 1 1 0 1 1 Do mệnh đề d/ Do mệnh đề Câu 63: a, ( p  q)  ( p ^ q) v ( Ta có bảng chân lý: p 0 1 q 1 1 0 1 Nhận xét: VT=VP  Điều phải chứng minh pq 0 p^q 0 VT VP 0 ( p ^ q) v ( 0 b, ( p → q)  → Ta có bảng chân lý: VT VP p 0 1 q 1 1 0 p→q 1 1 → 1 Nhận xét: VT=VP  Điều phải chứng minh c, (  ( p q) Ta có bảng chân lý: VT p 0 1 q 1 Nhận xét: VT=VP  Điều phải chứng minh d, ( )  ( q ) 1 0 VP pq 0 Ta có bảng chân lý VT p 0 1 q 1 1 0 p q 0 1 VP q 1 Nhận xét: VT=VP  Điều phải chứng minh Bài 64 :Không dùng chân lý chứng minh mệnh đề kéo theo a) b) c) d) e) f) ( p ˄ q ) => p p => ( p v q ) => P ( P ˄ Q ) => ( P => Q ) => p => Bài làm : a) b) c) d) e) f) (p ˄ q) => p  v p (  v  p => ( p v q )    (p ˄  ( p ˄ ) v p  ( p ˄ q ) => ( p => q )  (p ˄ q ) => (   v  => p  ( p ˄ => p   v q  =>  ( p ˄ =>  v q v   Bài 65: Không dùng bảng chân lý chứng minh mệnh đề kéo theo a) [p ∧ ( p ∨ q ) ] → q b) [ ( p → q ) ∧ ( q → r ) ] → ( p → r ) c) [ p ∧ ( p → q ) ]→q d) [ ( p ∨ q ) ∧ ( p → r ) ∧ ( q → r ) ] → r Giải a) [p ∧ ( p ∨ q ) ] → q ⇔ ¬[p ∧ ( p ∨ q ) ] ∨ q ⇔ [ ¬p ∨ ¬ ( p ∨ q ) ] ∨ q ⇔ [ p ∨ (p ∧q ) ] ∨ q ⇔ [ ( p ∨p ) ∧ ( p ∨q) ] ∨ q ⇔ (1 ∨ q ) ∧ [ p ∨ (q ∨ q ) ] ⇔ ∧ ( p ∨ ) ⇔ → Hằng c) [ p ∧ ( p → q ) ]→q ⇔ ¬[ p ∧ ( p → q ) ] ∨ q ⇔ [p ∨ ¬( p → q ) ] ∨ q ⇔ (p ∨ q ) ∨ ¬( p → q ) ⇔ ( p → q ) ∨ ¬( p → q ) ⇔ → Hằng Bài 66 Ta có : Ta có : Ta có : Ta có: Câu 67 a) ( B − A) ∪ (C − A) = ( B ∪ C ) − A x  x ∈ C   x ∉ A  x ∈ B  x ∈ ( B − A)   ∈ ( B − A) ∪ (C − A) ⇔  x ∈ (C − A) ⇔   x ∉ A ⇔ ⇒ đpcm b) A− B = A∩ B x ⇒ x ∈ A  ∈ A − B ⇔ x ∉ B ⇔ đpcm c)  x ∈ A   x ∈ B ⇔ A ∩ B x ∉ A   x ∈ B  x ∈ C  ⇔ x ∈ (B ∪ C ) − A ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B) = A Ta có VT= ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B) = [A ∪ ( A ∩ B)] ∩ [B ∪ ( A ∩ B)] A ∩ ( B ∪ A) ⇒ =A=VP đpcm d) x A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C x ∈ A x ∈ B x ∈ A   ∈ A ∪ ( B ∪ C ) ⇔  x ∈ ( B ∪ C ) ⇔  x ∈ C ⇔ ⇒ = A ∩ [(B ∪ A) ∩ (B ∪ B)] x ∈ A ∪ B x ∈C  ⇔ ( A ∪ B) ∪ C đpcm e) ( A − B) − C = ( A − B ) − ( B − C ) VP= ⇒ = ( A − B) ∩ ( B ∩ C ) [( A − B ) ∩ C ] ∪ (A ∩ 0) = = ( A − B) ∩ ( B ∪ C ) [( A − B) ∩ C ] ∪ = = [( A − B) ∩ C ] ∪ (A ∩ B ∩ B ) ( A − B) ∩ C đpcm Bài 68:   x3=1: x3=0: δ3=9 ω3=10-7=3 g3=9+3*=12.75 δ3=0 ω3=10 ⇒loại = ( A − B) − C =VT = g3=10*[...]... văn nghệ là: Vậy số cách chọn đội văn nghệ thỏa mãn bài toán là: Bài 23 Số người trong đội văn nghệ thóa măn yêu cầu bài toán là : 6,9,12 trong 3 trường hợp TH 1 Đội văn nghệ có 6 người : Số cách chọn 4 bạn nam từ 50 nam và 2 bạn nữ từ 20 nữ tại thành đội văn nghệ 6 người là : (cách) TH 2 Đội văn nghệ có 9 người : Số cách chọn 6 bạn nam từ 50 nam và 3 bạn nữ từ 20 nữ tại thành đội văn nghệ 9 người... hồi để tính số xâu nhị phân có độ dài n,kết thúc bằng 1 và có 2 số 0 liên tiếp là: với c) Bài 41: a/ Giải hệ thức truy hồi sau: a0=8, a1=7, an=-1an-1+12an-2 (n≥2) *Giải: +PT đặc trưng của hệ thức là: r2+r-12=0 (1) =>Nghiệm của (1) là: r1=3 và r2=-4 +Công thức tổng quát cho dãy nghiệm {an}: an=A.(3)n+B.(-4)n +Dựa vào điều kiện ban đầu ta có: A= và B= Vậy nghiệm của hệ thức truy hồi là {an}: an= 3n+ (-4)n... nam và 4 bạn nữ từ 20 nữ tại thành đội văn nghệ 12 người là : (cách) Vậy có cách lập thành một đội văn nghệ là : Bài 24 Số người trong đội văn nghệ thóa măn yêu cầu bài toán là: 3,6,9 theo 3 trường hợp TH 1: Đội văn nghệ có 3 người: Số cách chọn 2 bạn nam từ 60 nam và 1 bạn nữ từ 25 bạn nữ tạo thành đội văn nghệ 3 người là: (cách) TH 2: Đội văn nghệ có 6 người: Số cách chọn 4 bạn nam từ 60 nam và 2... Bài 36: a, Phương trình đặc trưng: Phương trình tổng quát: Theo đề bài ta có: Vậy b, Gọi là số xâu nhị phân kết thúc bằng số 1 và có 2 số 1 liên tiếp Với n≥3 ta có: +, Nếu a[1]=0 → +, Nếu a[1]=1 • • a[2]=1 a[2]=0 Vậy (n≥3) c, Với n=6 → = 2.5+2+4+8 =24 Bài 37: a )Giải hệ thức truy hồi sau: a0=5,a1=4,an=an-1+2an-2 với n>=2 b)Tìm hệ thức truy hồi để tính số các xâu nhị phân độ dài n,bắt đầu bằng số 0 và. .. mãn điều kiện ở câu b) với n=7 Lời giải: a) Phương trình đặc trưng : r2 - r – 2=0 Có hai nghiệm phân biệt là: r1 và r2 = -2; Theo định lý dãy {an} là nghiệm của hệ thức truy hồi nếu và chỉ nếu : Theo bài ra ta có : an = b1 2n + b2(-1)n với b1,b2 là hằng số nào đó.Từ các điều kiện đầu suy ra : a0 = 5 = b1 + b2 (1) a1 = 4 = 2b1 – b2 (2) Từ (1) và (2) ta được : b1 = 3 và b2 = 2 Vậy nghiệm của biểu thức... 10^12 (cách) Câu 22: Lớp học có 60 bạn nam và 42 bạn nữ Hãy cho biết có bao nhiêu cách chọn đội văn nghệ của lớp sao cho số bạn nam bằng số bạn nữ, biết rằng đội văn nghệ cần ít nhất 4 thành viên và nhiều nhất 8 thành viên Bài giải Gọi số bạn nam trong đội văn nghệ là , số bạn nữ là Vì số nam và nữ trong đội băng nhau nên ta có: = Mà đội cần ít nhất 4 thành viên và nhiều nhất 8 thành viên nên: Vậy có... dạng 3 Lập được 53 x (108 + 109 + 1010) số điện thoại thỏa mãn Bài 21: Lớp học có 55 bạn nam và 35 bạn nữ Hãy cho biết có bao nhiêu cách chọn đội văn nghệ của lớp sao cho số bạn nam bằng số bạn nữ, biết rằng đội văn nghệ cần ít nhất 6 thành viên và nhiều nhất 10 thành viên Giải Ta có đội văn nghệ cần ít nhất là 6 nhiều nhất là 10 người và số nam phải bằng số nữ nên ta chỉ có thể chọn 3 nam-3 nữ hoặc... nam và 3 bạn nữ từ 25 bạn nữ tạo thành đội văn nghệ 9 người là: (cách) Vậy có cách lập thành một đội văn nghệ là: + + (cách), Câu 25: Thi đại học có 2 môn lý, hóa Mỗi môn có 50 câu, mỗi câu có 4 p/a Tối đa chọn 1 p/a mỗi câu, đúng được 0,25, sai chả sao a,Có bn cách điền phiếu trắc nghiệm môn lý b,Cần có bn thí sinh tham gia để ít nhất 10 bạn có tổng lý, hóa bằng nhau a, Có 50 câu trắc nghiệm môn. .. thỏa mãn điều kiện ở câu b với n=7 Bài giải Phương trình đặc trưng của hệ thức truy hồi có dạng: có 2 nghiệm phân biệt Khi đó dãy là nghiệm của hệ thức truy hồi khi và chỉ khi: Từ giả thiết: Vậy nghiệm của hệ thức truy hồi là b) • • Vậy Gọi là số xâu nhị phân có độ dài n,bắt đầu bằng 1 và có 2 số 0 liên tiếp Ta có: Với n , xét xâu nhị phân có độ dài n, bắt đầu bằng 1 và có 2 số 0 liên tiếp Nếu X[n] =... thì có xâu thỏa mãn c) Ta có: Câu 40: a) b) c) Giải hệ thức truy hồi: với n Tìm hệ thức truy hồi để tính số xâu nhị phân có độ dài n,kết thúc bằng 1 và có 2 số 0 liên tiếp Tính số xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện trên với n=6 Bài giải a) Phương trình đặc trưng của hệ thức truy hồi có dạng: Có 2 nghiệm phân biệt Khi đó dãy là nghiệm của hệ thức truy hồi khi và chỉ khi : Từ giả thiết có: b) Vậy nghiệm của ... [1000;5000] có 5000:18-1000:18 = 222 số chia hết Vậy [1000;5000]có 677+444-222 = 899 số chia hết cho Bài 18: Số số chia hết cho khoảng từ 5000 đến 9999 : (số) Số số chia hết cho 12 khoảng từ 5000 đến... r ) ∨ ( q → r ) = ( p ∧ q ) → r Bài 7: Cho tập A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.Sử dụng thuật toán sinh hoán vị theo thứ tự từ điển,tìm hoán vị liền kề hoán vị 568397412 Bài làm: j=3 , k=7 => hoán vị 568421379... có:cách xếp Xếp vào vị trí, sau với vị trí ta xếp 1,1 vào vị trí lại TH5:{1,1,1,1} Ta có: cách xếp Vậy có: 6+30+15+60+15=126 nghiệm b, Đặt : Và: Phương trình trở thành: Nghiệm toán nghiệm loại