BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC ĐỀ VÀ BÀI GIẢI CHI TIẾT I PHẦN CHUNG 2 ( Cm ) Câu 1: ( điểm) Cho hàm số y = x + 2(m − 2) x + m − 5m + 1, Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2, Với giá trị m đồ thị ( Cm) có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời điểm cực đại điểm cực tiểu lập thành tam giác Câu 2: ( điểm) 1, Giải phương trình: (1 + cos x ) (1 + cos x )(1 + cos 3x ) = 2 2 log1− x (− xy − x + y + 2) + log 2+ y ( x − x + 1) = 2, Giải hệ phương trình: log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4) = 1 Câu 3: ( điểm ) 1, Tính tích phân: I = ∫ (x − x ) 3 x4 dx 2, Cho số thực dương a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng: a4 + b4 b4 + c4 c4 + a4 + + ≥1 ab a + b bc(b + c ) ca(c + a ) C©u 4: ( ®iĨm ) Trong kh«ng gian víi hƯ trơc to¹ ®é §Ịc¸c Oxyz, cho mỈt ph¼ng (P) cã ph¬ng 2 x − y − = tr×nh: x + y + z − = vµ ®êng th¼ng ( d) cã ph¬ng tr×nh: y + 2z + = 1, T×m to¹ ®é giao ®iĨm A cđa ( d) vµ (P) TÝnh sè ®o gãc t¹o bëi ( d) vµ (P) 2, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ( ∆ ) ®i qua A, ( ∆ ) n»m (P) cho gãc t¹o bëi hai ®êng th¼ng ( ∆ ) vµ ( d) b»ng 450 II PhÇn riªng ( ThÝ sinh chØ lµm mét hai phÇn) C©u 5A: ( ®iĨm ) ( Dµnh cho THPT kh«ng ph©n ban) 1, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn ®i qua hai ®iĨm A( 2;5 ), B9 4; 1) vµ tiÕp xóc víi ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh: x − y + = 2 n 2, Víi n lµ sè nguyªn d¬ng, chøng minh hƯ thøc: C n1 + C n2 + + n C nn = C 2nn C©u 5B: ( ®iĨm) ( Dµnh cho THPT ph©n ban) 1 1, Gi¶i ph¬ng tr×nh: log ( x + 3) + log ( x − 1) = log x 2, Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Ịu S ABCD cã c¹nh ®¸y b»ng a, chiỊu cao còng b»ng a Gäi E, K lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa c¸c c¹nh AD vµ BC TÝnh b¸n kÝnh cđa mỈt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp S EBK ( ) ( ) ( ) ( ) ĐÁP ÁN ĐỀ I PhÇn chung C©u 1: ( ®iĨm) Cho hµm sè y = x + 2(m − 2) x + m − 5m + ( Cm ) 1, Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè m = 2, Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cđa m th× ®å thÞ ( Cm) cã ®iĨm cùc ®¹i vµ ®iĨm cùc tiĨu, ®ång thêi c¸c ®iĨm cùc ®¹i vµ ®iĨm cùc tiĨu lËp thµnh mét tam gi¸c ®Ịu §k ®Ĩ ( Cm) cã ®iĨm cùc trÞ lµ m < C¸c ®iĨm cùc trÞ cđa ( Cm) lµ A 0; m − 5m + ; B − − m ;1 − m ; C − m ;1 − m §¸p sè: m = − 3 C©u 2: ( ®iĨm) 1, Gi¶i ph¬ng tr×nh: (1 + cos x ) (1 + cos x )(1 + cos 3x ) = ( ) ( ) ( ) BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC §a ph¬ng tr×nh vỊ d¹ng: cos x cos x cos x = 2 16 Sư dơng c«ng thøc biÕn ®ỉi tÝch thµnh tỉng gi¶i hai ph¬ng tr×nh: x 3x x 3x cos cos x cos = vµ cos cos x cos =− 2 2 π kπ 2π Ta ®ỵc c¸c hä nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh ®· cho lµ: x = + ;x = ± + m2π 2 log1− x (− xy − x + y + 2) + log 2+ y ( x − x + 1) = 2, Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh: log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4) = − < x < 1, x ≠ §K y > −2; y ≠ −1 §a ph¬ng tr×nh thø nhÊt cđa hƯ vỊ d¹ng: log1− x (2 + y ) + log 2+ y (1 − x ) = ( k, m ∈ Z ) §Ỉt t = log1− x (2 + y ) , t×m ®ỵc t = 1, kÕt hỵp víi ph¬ng tr×nh thø hai cđa hƯ,®èi chiÕu víi ®iỊu kiƯn trªn, t×m ®ỵc nghiƯm ( x; y ) = ( − 2;1) C©u 3: ( ®iĨm ) 1, TÝnh tÝch ph©n: I = ∫ (x − x ) 3 x4 dx 3 1 §a I vỊ d¹ng: I = ∫ − 1 dx Dïng ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn sè, ®Ỉt t = − x 1 x x §¸p sè: I = 2, Cho c¸c sè thùc d¬ng a, b, c tho¶ m·n ab + bc + ca = abc Chøng minh r»ng: a4 + b4 b4 + c4 c4 + a4 + + ≥1 ab a + b bc(b + c ) ca(c + a ) Tõ a + b ≥ a b + ab ⇒ a + b ≥ a + a b + b + ab = a + b ( a + b ) ( ) ( ) ( ) a +b a+b 11 1 ≥ = + 3 2ab a b ab a + b T¬ng tù cho c¸c bÊt ®¼ng thøc cßn l¹i, suy ®pcm C©u 4: ( ®iĨm ) Trong kh«ng gian víi hƯ trơc to¹ ®é §Ịc¸c Oxyz, cho mỈt ph¼ng (P) cã ph¬ng 2 x − y − = tr×nh: x + y + z − = vµ ®êng th¼ng ( d) cã ph¬ng tr×nh: y + 2z + = 1, T×m to¹ ®é giao ®iĨm A cđa ( d) vµ (P) TÝnh sè ®o gãc t¹o bëi ( d) vµ (P) §¸p sè 1) A(1;0;−1); ∠( d , ( P ) ) = 30 2, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ( ∆ ) ®i qua A, ( ∆ ) n»m (P) cho gãc t¹o bëi hai ®êng th¼ng ( ∆ ) vµ ( d) b»ng 450 Hai ®êng th¼ng tho¶ m·n ®Ị bµi cã ph¬ng tr×nh: ( ∆1 ) : x − = y = z + ; ( ∆ ) : x − = y = z + − + −1+ − 3 − − −1− + 3 II PhÇn riªng ( ThÝ sinh chØ lµm mét hai phÇn) C©u 5A: ( ®iĨm ) ( Dµnh cho THPT kh«ng ph©n ban) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn ®i qua hai ®iĨm A( 2;5 ), B(4; 1) vµ tiÕp xóc víi ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh: x − y + = Hai ®êng trßn tho¶ m·n ®Ị bµi cã ph¬ng tr×nh: VËy ( ) BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC ( C1 ) : ( x − 1) + ( y − 2) = 10; ( C ) : ( x − 17 ) + ( y − 10) = 250 ( ) 2, Víi n lµ sè nguyªn d¬ng, chøng minh hƯ thøc: C n1 ( ) + C n2 §Ỉt S lµ vÕ tr¸i hƯ thøc cÇn chøng minh, lu ý C n0 = C nn = vµ C nk = C nn −k ( ) S = n C n1 ( ) + n C n2 ( + + n C nn −1 ) ( ) + n C nn ( ) n n C2n ta thÊy: + + n C nn = (1) Tõ (1 + x ) n (1 + x ) n = (1 + x ) n , ∀x ∈ R So s¸nh hƯ sè cđa x n khai triĨn nhÞ thøc Newton cđa ( ) ( ) (1 + x ) n (1 + x ) n ( ) vµ (1 + x ) n ta suy ra: C n1 + C n2 + + C nn = C 2nn ( 2) Tõ (1) vµ (2) cã ®pcm C©u 5B: ( ®iĨm) ( Dµnh cho THPT ph©n ban) 1 1, Gi¶i ph¬ng tr×nh: log ( x + 3) + log ( x − 1) = log x §k x > vµ x ≠ §a ph¬ng tr×nh vỊ d¹ng log ( x + 3) + log x − = log ( x ) XÐt hai kh¶ n¨ng < x < vµ x > 1, ®èi chiÕu víi ®iỊu kiƯn ta t×m ®ỵc hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh lµ: x = −3 + vµ x = 2, Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Ịu S ABCD cã c¹nh ®¸y b»ng a, chiỊu cao còng b»ng a Gäi E, K lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa c¸c c¹nh AD vµ BC TÝnh b¸n kÝnh cđa mỈt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp S EBK §¸p sè: R = a 29 ĐỀ 2x − Câu 1: Cho hàm số y = có đồ thị (C) x −2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt tiệm cận (C) A, b cho AB ngắn Câu 2: π 1/.Giải phương trình: 2 sin( x − ).cos x = 12 3 x y + 27 = 18y (1) 2/.Giải hệ phương trình: 2 x y + x = y (2) Câu 3: π 2 1) Tính tích phân I = ∫ sin x × sin x + π dx 2) Tìm giá trị tham số thực m cho phương trình sau có nghiệm thực: (m - 3) x + ( 2- m)x + - m = (1) Câu 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a b c + + ≥1 3 8c + 8a + 8b3 + Câu 5: Cho hình chóp S ABC có góc ((SBC), (ACB)) =60 0, ABC SBC tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) Phần riêng: BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC 1.Theo chương trình chuẩn: Câu 6a: Cho ∆ ABC có B(1;2), phân giác góc A có phương trình (∆ ) 2x +y –1 =0; khoảng cách từ C đến (∆ ) lần khoảng cách từ B đến (∆) Tìm A, C biết C thuộc trục tung Câu 7a: Trong khơng gian Oxyz cho mp(P): x –2y +z -2 =0 hai đường thẳng : x = + 2t − y z + = (d1) x + = ; (d2) y = + t (t ∈ ¡ ) Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ 1 z = + t nằm mp(P) cắt đường thẳng (d1) , (d2) 2.Theo chương trình nâng cao: Câu 6b: Cho ∆ ABC có diện tích 3/2; A(2;–3), B(3;–2), trọng tâm G ∈ (d) 3x –y –8 =0 tìm bán kinh đường tròn nội tiếp ∆ ABC Câu 7b: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (d) giao tuyến mặt phẳng: (P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 +4x –6y +m =0 Tìm tất giá trị m để (S) cắt (d) điểm MN cho MN= ĐÁP ÁN ĐỀ 2x − Câu 1: Cho hàm số y = có đồ thị (C) x −2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn x0 − Gọi M(xo; )∈ (C) x0 − 2 − x + x0 − x0 + Phương trình tiếp tuyến M: (∆) y = ( x0 − 2)2 ( x0 − 2)2 x0 − (∆ ) ∩ TCĐ = A (2; ) x0 − (∆ ) ∩ TCN = B (2x0 –2; 2) uuu r cauchy AB = (2 x0 − 4; −2 ) ⇒ AB = 4( x0 − 2)2 + 2 x0 − ( x0 − 2)2 ≥ x0 = → M (3;3) ⇒ AB = 2 ⇔ xo = → M (1;1) Câu 2: π 1) Giải phương trình: 2 sin( x − ).cos x = 12 x = π + kπ (k ∈ ¢ ) phương trình ⇔ 2(cosx–sinx)(sinx– cosx)=0 ⇔ π x = + kπ 3 8 x y + 27 = 18y (1) 2).Giải hệ phương trình: 2 x y + x = y (2) (1) ⇒ y ≠ BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC 3 8 x + 27 = 18 (2 x ) + ÷ = 18 y3 y ⇔ Hệ ⇔ x + x2 = 2 x x + = ÷ y y y y a3 + b3 = 18 a + b = 3 ⇔ Đặt a = 2x; b = Ta có hệ: y ab(a + b) = ab = Câu 3: − ; , + ; → Hệ cho có nghiệm ÷ ÷ 3+ 3− π 2 1) Tính tích phân I = ∫ sin x × sin x + π π I =−∫ π ⇒I = − cos x ×d (cos x) π ⋅ ∫ sin udu = π 16 dx §Ỉt cos x = ×cos u ( π + 2) 2) Tìm giá trị tham số thực m cho phương trình sau có nghiệm thực: (m - 3) x + ( 2- m)x + - m = (1) Đk x ≥ đặt t = x;t≥0 2t − 3t + (2) (1) trở thành (m–3)t+(2-m)t2 +3-m = ⇔ m = 2 t − t +1 Xét hàm số f(t) = 2t − 3t + (t ≥ 0) t − t +1 Lập bảng biến thiên (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t ≥ ⇔ ≤m≤3 Câu 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a b c + + ≥1 3 8c + 8a + 8b3 + cauchy a a 8c3 + = (2c + 1)(4c − 2c + 1) ≤ 2c + ⇒ 8c3 + ≥ 2c + b c ≥ 2b ; ≥ 2c Tương tự, 3 8a + 2a + 8b + 2b + a + b + c ≥ (1) Ta chứng minh: 2c + a + b + Bđt(1) ⇔ 4(a3b2+b3a2+c3a2) +2(a3+b3+c3 )+2(ab2+bc2+ca2)+( a+b+c) ≥ ≥ 8a2b2c2 +4(a2b2 +b2c2 +c2a2) +2 (a2 +b2 +c2 )+1 (2) Ta có: 2a3b2 +2ab2 ≥ 4a2b2; … (3) 2(a3b2+b3a2+c3a2) ≥ 2.3 a b5c =6 (do abc =1)(4) BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC a3+b3+c3 ≥ 3abc =3 = +2 a2b2c2 (5) a +a ≥ 2a ; … (6) Cơng vế (3), (4), (5), (6), ta (2) Dấu xảy a=b=c=1 Câu 5: Cho hình chóp S ABC có góc ((SBC), (ACB)) =600, ABC SBC tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) Gọi M trung điểm BC O hình chiếu S lên AM Suy ra: SM =AM = a ; ·AMS = 600 SO ⊥ mp(ABC) 3a ⇒ V(S.ABC) = 13 dt ( ABC ).SO = a16 ⇒ d(S; BAC) = SO = Mặt khác, V(S.ABC) = 13 dt ( SAC ).d ( B; SAC ) 13 ∆SAC cân C có CS =CA =a; SA = a ⇒ dt(SAC) = a 16 3V 3a Vậy d(B; SAC) = dt (SAC ) = 13 Phần riêng: 1.Theo chương trình chuẩn: Câu 6a: Cho ∆ ABC có B(1;2), phân giác góc A có phương trình (∆ ) 2x +y –1 =0; khoảng cách từ C đến (∆ ) lần khoảng cách từ B đến (∆) Tìm A, C biết C thuộc trục tung Gọi H, I hình chiếu B, C lên (∆) M đối xứng B qua ∆ ⇒ M ∈ AC M trung điểm AC −7 ; −1 ; (BH): x –2y + =0 → H →M 5 5 y0 = BH = ⇒CI = ; C∈ Oy ⇒ C(0; y0) ⇒ 5 yo = −5 −14 ; −27 ∉ C(0; 7) ⇒ A (∆)→loại 5 −14 ; 33 ∈ (0; –5) ⇒ A (∆)→ nhận 5 Câu 7a: Trong khơng gian Oxyz cho mp(P): x –2y +z -2 =0 hai đường thẳng : x = + 2t 3− y z+2 x + = = (d1) ; (d2) y = + t (t ∈ ¡ ) Viết phương trình tham số đường thẳng 1 z = + t ∆ nằm mp(P) cắt đường thẳng (d1) , (d2) x = − 2t (P) ∩ (d1) = A(1;1;2); (P) ∩ (d2) = B(3;3;2)→ (∆) y = − 2t (t ∈ ¡ ) z = 2.Theo chương trình nâng cao: Câu 6b: Cho ∆ ABC có diện tích 3/2; A(2;–3), B(3;–2), trọng tâm G ∈ (d) 3x –y –8 =0 tìm bán kinh đường tròn nội tiếp ∆ ABC a − b − 2S∆ABC = C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 ⇒ d(C; AB) = AB a − b = 8(1) ⇒ a−b−5 = 3⇔ a − b = 2(2) ( ( ( ) ) ( ) ) ( BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC ) Trọng tâm G a + ; b − ∈ (d) ⇒ 3a –b =4 (3) 3 S (1), (3) ⇒ C(–2; 10) ⇒ r = p = + 65 + 89 S (2), (3) ⇒ C(1; –1) ⇒ r = p = +2 Câu 7b: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (d) giao tuyến mặt phẳng: (P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 +4x –6y +m =0 Tìm tất giá trị m để (S) cắt (d) điểm MN cho MN= (S) tâm I(-2;3;0), bán kính R= 13 − m = IM (m < 13) Gọi H trung điểm MN ⇒ MH= ⇒ IH = d(I; d) = − m − r uur u; AI r r =3 (d) qua A(0;1;-1), VTCP u = (2;1;2) ⇒ d(I; d) = u Vậy : − m − =3 ⇔ m = –12( thỏa đk) ĐỀ A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3(m + 1) x + x − m , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x cho x1 − x ≤ Câu II (2,0 điểm) sin x π = sin( x + ) sin x + cos x 2 Giải phương trình: log (3 x − 1) + = log ( x + 1) Giải phương trình: cot x + Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x2 +1 x 3x + dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A' B ' C ' có AB = 1, CC ' = m (m > 0) Tìm m biết góc hai đường thẳng AB ' BC ' 60 Câu V (1,0 điểm) Cho số thực khơng âm x, y , z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức A = xy + yz + zx + x+ y+z B PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần a, b) a Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa (2,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 6) , phương trình đường thẳng chứa đường cao trung tuyến kẻ từ đỉnh C x − y + 13 = x − 13 y + 29 = Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vng MNPQ có M (5; 3; − 1), P (2; 3; − 4) Tìm toạ độ đỉnh Q biết đỉnh N nằm mặt phẳng (γ ) : x + y − z − = BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC Câu VIIa (1,0 điểm) Cho tập E = { 0,1, 2, 3, 4, 5, 6} Từ chữ số tập E lập số tự nhiên chẵn gồm chữ số đơi khác nhau? b Theo chương trình Nâng cao: Câu VIb Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xét elíp (E ) qua điểm M (−2; − 3) có phương trình đường chuẩn x + = Viết phương trình tắc (E ) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B (0;1; 0), C (0; 3; 2) mặt phẳng (α ) : x + y + = Tìm toạ độ điểm M biết M cách điểm A, B, C mặt phẳng (α ) Câu VIIb (1,0 điểm) Khai triển rút gọn biểu thức − x + 2(1 − x) + + n(1 − x ) n thu đa n thức P ( x ) = a + a1 x + + a n x Tính hệ số a8 biết n số ngun dương thoả mãn + = Cn Cn n ĐÁP ÁN ĐỀ A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3(m + 1) x + x − m , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = Víi m = ta cã y = x − x + x − * TËp x¸c ®Þnh: D = R * Sù biÕn thiªn • ChiỊu biÕn thiªn: y ' = x − 12 x + = 3( x − x + 3) x > Ta cã y ' > ⇔ , y' < ⇔ < x < x < Do ®ã: + Hµm sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng (−∞,1) vµ (3, + ∞) + Hàm sè nghÞch biÕn trªn kho¶ng (1, 3) • Cùc trÞ: Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = vµ yCD = y (1) = ; ®¹t cùc tiĨu t¹i x = vµ yCT = y (3) = −1 y = −∞; lim y = +∞ • Giíi h¹n: xlim → −∞ x → +∞ • B¶ng biÕn thiªn: • §å thÞ: §å thÞ c¾t trơc tung t¹i ®iĨm (0, − 1) 2.Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x cho x1 − x ≤ Ta cã y ' = x − 6(m + 1) x + +) Hµm sè ®¹t cùc ®¹i, cùc tiĨu t¹i x1 , x ⇔ ph¬ng tr×nh y ' = cã hai nghiƯm pb lµ x1 , x ⇔ Pt x − 2(m + 1) x + = cã hai nghiƯm ph©n biƯt lµ x1 , x m > −1 + ⇔ ∆' = (m + 1) − > ⇔ m < −1 − (1) +) Theo ®Þnh lý Viet ta cã x1 + x = 2(m + 1); x1 x = Khi ®ã BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC x1 − x ≤ ⇔ ( x1 + x ) − x1 x ≤ ⇔ 4( m + 1) − 12 ≤ ⇔ (m + 1) ≤ ⇔ −3 ≤ m ≤ (2) Tõ (1) vµ (2) suy gi¸ trÞ cđa m lµ − ≤ m < −1 − vµ − + < m ≤ Câu II (2,0 điểm) 1 Giải phương trình: cot x + sin x π = sin( x + ) sin x + cos x 2 §iỊu kiƯn: sin x ≠ 0, sin x + cos x ≠ cos x sin x cos x + − cos x = Pt ®· cho trë thµnh sin x sin x + cos x ⇔ cos x − cos x =0 sin x + cos x sin x π ⇔ cos x sin( x + ) − sin x = π +) cos x = ⇔ x = + kπ , k ∈ π π x = + m2π x = x + + m π π 4 +) sin x = sin( x + ) ⇔ ⇔ x = π + n2π 2 x = π − x − π + n 2π 4 π t 2π ⇔x= + , t ∈ §èi chiÕu ®iỊu kiƯn ta cã nghiƯm cđa pt lµ π π t 2π x = + kπ ; x = + , k, t ∈ 2.Giải phương trình: log (3 x − 1) + = log ( x + 1) §iỊu kiƯn x > (*) Víi ®k trªn, pt ®· cho ⇔ log (3x − 1) + = log (2 x + 1) ⇔ log 5(3 x − 1) = log ( x + 1) ⇔ 5(3x − 1) = ( x + 1) ⇔ x − 33x + 36 x − = ⇔ ( x − 2) (8 x − 1) = x = ⇔ x = §èi chiÕu ®iỊu kiƯn (*), ta cã nghiƯm cđa pt lµ x = Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x2 +1 x 3x + dx m, n ∈ BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC 3dx 2tdt ⇒ dx = §Ỉt t = 3x + ⇒ dt = 3x + Khi x = th× t = 2, vµ x = th× t = t2 −1 + 2tdt Suy I = ∫2 t − t 4 dt = ∫ (t − 1)dt + 2∫ 92 t −1 4 21 t −1 100 = t − t + ln = + ln 93 t +1 27 2 Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A' B ' C ' có AB = 1, CC ' = m (m > 0) Tìm m biết góc hai đường thẳng AB ' BC ' 60 - KỴ BD // AB' ( D ∈ A' B ' ) ⇒ ( AB ' , BC ' ) = ( BD, BC ' ) = 600 B ⇒ ∠DBC ' = 60 hc ∠DBC ' = 120 - NÕu ∠DBC '= 600 A V× l¨ng trơ ®Ịu nªn BB ' ⊥ ( A' B ' C ' ) ¸p dơng ®Þnh lý Pitago vµ ®Þnh lý cosin ta cã m BD = BC ' = m + vµ DC ' = KÕt hỵp ∠DBC '= 600 ta suy ∆BDC ' ®Ịu B’ Do ®ã m + = ⇔ m = 120 - NÕu ∠DBC '= 120 D ¸p dơng ®Þnh lý cosin cho ∆BDC ' suy m = (lo¹i) VËy m = * Chó ý: - NÕu HS chØ xÐt trêng hỵp gãc 600 th× chØ cho 0,5® gi¶i ®óng - HS cã thĨ gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p vect¬ hc to¹ ®é víi nhËn xÐt: cos( AB ' , BC ' ) = cos( AB', BC ') = AB'.BC ' C A’ AB'.BC ' Câu V (1,0 điểm) Cho số thực khơng âm x, y , z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức A = xy + yz + zx + x+ y+z §Ỉt t = x + y + z ⇒ t = + 2( xy + yz + zx) ⇒ xy + yz + zx = t − 2 2 Ta cã ≤ xy + yz + zx ≤ x + y + z = nªn ≤ t ≤ ⇒ ≤ t ≤ v× t > Khi ®ã A = t − + t XÐt hµm sè f (t ) = t + − , ≤ t ≤ t 10 C’ BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC Giải phương trình sau tập phức: z2+3(1+i)z-6-13i=0 ∆=24+70i, ∆ = + 5i ∆ = −7 − 5i z = + i => z = −5 − 4i ĐỀ 18 CÂUI: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − x − x + m , m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số cho cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Câu II: (2,0 điểm) x x + cos = sin 2 1 Giải phương trình: log ( x + 3) + log ( x − 1) = log (4 x ) Giải phương trình: Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân: I = π ∫ π cos x tan x + cos x dx Câu IV: (1,0 điểm) Tính thể tích khối hộp ABCD A' B ' C ' D' theo a Biết AA' B ' D' khối tứ diện cạnh a Câu V: ( 1,0 điểm) Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm thuộc đoạn − ;1 : − x − x + x + = m ( m ∈ R ) Câu VI: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng (d ) có phương trình: x − y − = hai điểm A(1;2) ; B (4;1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng (d ) qua hai điểm A , B Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A(1;1;2) , B (2;0;2) a Tìm quỹ tích điểm M cho MA − MB = b Tìm quỹ tích điểm cách hai mặt phẳng (OAB) (Oxy ) Câu VII: (1,0 điểm) Với n số tự nhiên, chứng minh đẳng thức: C n0 + 2.C n1 + 3.C n2 + 4.C n3 + + n.C nn −1 + (n + 1).C nn = (n + 2).2 n −1 ĐÁP ÁN ĐỀ 18 84 BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC CÂUI: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − x − x + m , m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số cho cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng ⇔ Phương trình x − x − x + m = có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng ⇔ Phương trình x − x − x = − m có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng ⇔ Đường thẳng y = − m qua điểm uốn đồ thị ⇔ −m = −11 ⇔ m = 11 Câu II: (2,0 điểm) 1 x x = sin Giải phương trình: + cos 2 x x + cos = sin 2 2x + cos = − cos x ⇔ + 4 2x ⇔ + + cos = − cos x x ⇔ + cos 2a = − cos 3a a = ÷ 3 ⇔ + ( cos2 a − 1) = − ( cos3 a − cos a ) ⇔ + cos2 a − + cos3 a − cos a = ⇔ cos a ( cos a + cos a − ) = cos a = ⇔ cos a = cos a = − 2.Giải phương trình: x x π 3π cos = = + kπ x= + k 3π ⇔ ⇔ ⇔ cos x = cos π x = ± π + k 2π x = ±π + k 6π 3 3 ( loại ) 1 log ( x + 3) + log ( x − 1) = log (4 x ) 1 log ( x + 3) + log ( x − 1) = log (4 x ) Điều kiện: x > −3 x ≠ ⇔ < x ≠ x > Biến đổi theo logarit số thành phương trình 85 BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC log ( x + ) ( x − 1) = log ( x ) ⇔ x2 − x − = x = −1 ( loại ) ⇔ ⇔ x = x = Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân: I = π ∫ π cos x tan x + cos x dx π π π tan x tan x dx = ∫ dx 2 π π cos x tan x + 2 + cos x cos x +1 6 cos2 x π x = => u = dx Đặt u = tan x ⇒ du = cos x π x = ⇒ u =1 u u => I = ∫ dx du Đặt t = u + ⇒ dt = 2 u +2 u +2 I= ∫ π cos x tan x dx = ∫ u= ⇒t = 3 u = ⇒ t = ⇒I= ∫ dt = t 3 = 3− 3− = 3 Câu IV: (1,0 điểm) Tính thể tích khối hộp ABCD A' B ' C ' D' theo a Biết AA' B ' D' khối tứ diện cạnh a V = Sđáy × h Sđáy = a , h = a => V = a Câu V: ( 1,0 điểm) Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm thuộc đoạn − ;1 : − x − x + x + = m ( m ∈ R ) Đặt f ( x ) = − x − x + x + , suy f ( x ) xác định liên tục trênđoạn − ;1 3x 3x2 + x 3x + f '( x) = − − = −x + ÷ − x2 x3 + x2 + x3 + x2 + 1− x 3x + + >0 ∀x ∈ − ;1 ta có x > − ⇒ x + > ⇒ 3 1− x x + x2 + 86 BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC f '( x) = ⇔ x = Vậy: Bảng biến thiên: − x f '( x) || 0 + − || CĐ 3 − 22 f ( x) −4 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Phương trình cho có nghiệm thuộc − ;1 3 − 22 m = Câu VI: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng (d ) có phương trình: x − y − = hai điểm A(1;2) ; B (4;1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng (d ) qua hai điểm A, B ⇔ −4 ≤ m < Phương trình đường trung trực AB x − y − = 2 x − y = x = ⇔ ⇒ I ( 1; −3 ) Tọa độ tâm I đường tròn nghiệm hệ: 3 x − y = y = −3 2 R = IA = Phương trình đường tròn ( x − 1) + ( y + 3) = 25 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A(1;1;2) , B (2;0;2) a Tìm quỹ tích điểm M cho MA − MB = ∀M ( x, y, z ) cho MA2 − MB = ⇔ ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − ) − ( x − ) − y − ( z − ) = 2 2 ⇔ x − y − = Vậy quỹ tích điểm M mặt phẳng có phương trình x − y − = b Tìm quỹ tích điểm cách hai mặt phẳng (OAB) (Oxy ) uuu r uuur OA, OB = ( 2; 2; −2 ) = ( 1;1; −1) ⇒ ( OAB ) : x + y − z = ( Oxy ) : z = 87 BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC N ( x; y; z ) cách ( OAB ) ( Oxy ) ⇔ d ( N , ( OAB ) ) = d ( N , ( Oxy ) ) ⇔ x + y − ⇔ x + y − z = ± 3z ⇔ x + y + ( ( ) − 1) z = ( = z +1 z = Vậy tập hợp điểm N hai mặt phẳng có phương trình x + y − x+ y+ x+ y−z ) ( ) + z = −1 z = Câu VII: (1,0 điểm) Với n số tự nhiên, chứng minh đẳng thức: C n0 + 2.C n1 + 3.C n2 + 4.C n3 + + n.C nn −1 + (n + 1).C nn = (n + 2).2 n −1 Khai triển ( + x ) ta có: n ( 1+ x) n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + Cn3 x + + Cnn −1 x n −1 + Cnn x n Nhân vào hai vế với x ∈ ¡ , ta có: n ( + x ) x = Cn0 x + Cn1 x + Cn2 x3 + Cn3 x + + Cnn−1 x n + Cnn x n+1 Lấy đạo hàm hai vế ta có: n −1 n Cn0 + 2Cn1 x + 3Cn2 x + 4Cn3 x + + nCnn −1 x n −1 + ( n + 1) Cnn x n = n ( + x ) x + ( + x ) = ( 1+ x) n −1 ( nx + x + 1) n −1 n n −1 Thay x = , ta có Cn + 2.Cn + 3.Cn + 4.Cn + + n.Cn + ( n + 1).Cn = ( n + ) ĐỀ 19 I PHẦN CHUNG: Câu 1( điểm): Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = x−2 x −1 Chứng minh với giá trị thực m, đường thẳng (d) y = - x + m ln cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm giá trị nhỏ đoạn AB Câu (1.5 điểm): Giải hệ phương trình sau: Giải phương trình: y2 + 3y = x2 3x = x + y2 2x + + 2x + + 2x + = Câu ( điểm): Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC), ngồi AC = AD = 4; AB = 3; BC = Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) 88 BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC Câu 4( điểm): π Tính tích phân: I = ∫ π x cos x dx sin x Câu ( điểm): Cho số thực dương x,y,z Chứng minh rằng: x − xy y − yz z − zx + + ≥0 x+ y y+z z+x II PHẦN RIÊNG: 1) Theo chương trình chuẩn: Câu ( 1.5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): x + y + = 0, (d2): 2x – y – = Lập phương trình đường thẳng (d) qua uuur uuur r M(1;-1) cắt (d1) (d2) tương ứng A B cho MA + MB = Giải bất phương trình sau: 2C2x+1 + 3A2x < 30 ĐÁP ÁN ĐỀ 19 I PHẦN CHUNG: Câu 1( điểm): Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = x−2 x −1 Chứng minh với giá trị thực m, đường thẳng (d) y = - x + m ln cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm giá trị nhỏ đoạn AB Phương hồnh độ giao điểm (d) (C) là: x−2 =-x+m x −1 x ≠ ⇔ ln có nghiệm phân biệt với m x − mx + m − = (1) Ta có A(x1; -x1 +m), B(x2; - x2 + m) AB = Vậy gtnn AB = 2( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = m = Câu (1.5 điểm): Giải hệ phương trình sau: y2 + 3y = x2 3x = x + y2 89 2( m2 − 4m + 8) ≥ BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC 3 x y = y + điều kiện x>0, y>0 Khi hệ tương đương 2 3 xy = x + Trừ vế theo vế hai phương trình ta được: (x-y)(3xy+x+y) = ⇔ x = y thay lại phương trình Giải tìm nghiệm hệ là: (1;1) Giải phương trình: 2x + + 2x + + 2x + = Tập xác định: D = R Đặt f(x) = x + + x + + x + Ta có: f ' ( x) = (2 x + 1) + + ( x + 2) 2 3 > ; ∀ x ≠ − , − , − 2 (2 x + 3) 1 2 3 ,−1 ∪ − 1,− ∪ − ,+∞ 2 Suy hàm số f(x) đồng biến tập M= − ∞,− ∪ − Ta thấy f(-1)=0 ⇒ x=-1 nghiệm (1) Ta có: f ( − ) = 3; f (− ) = −3 Ta có bảng biến thiên hàm số f(x): x -∞ − f’(x) − -1 +∞ F(x) +∞ -∞ -3 Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) = ⇔ x = -1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = -1 u = x + Cách 2: Học sinh đặt ta hệ v = x + u + v3 =0 u + v + giải hệ v − u = tìm nghiệm Câu ( điểm): Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC), ngồi AC = AD = 4; AB = 3; BC = Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) 1 1 AH S DBC = DA.S DBC = DA AB AC 3 Vậy AH.SDBC= DA AB AC (1) 12 Mà AM.BC = BA.CA ⇒ AM = từ (1) có 1 AH BC.DM = DA AB AC 2 DA AB AC 4.3.4 34 AH = = = từ BC.DM 17 144 16 + 25 Ta có VABCD = 90 D H C A M B BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC π Câu 4( điểm): Tính tích phân: I = ∫ π x cos x dx sin x ' cos x Ta có = − nên sin x sin x π π π 1 dx π π 1 π I = − ∫ xd ( ) = − x |π + ∫ = − ( − ) − cot x |π = 2π 2 2 sin x sin x π sin x 4 Câu ( điểm): Cho số thực dương x,y,z Chứng minh rằng: x − xy y − yz z − zx + + ≥0 x+ y y+z z+x x − xy x( x + y ) − xy xy ( x + y) x+ y x− y = = x− ≥ x− = x− = (1)( x,y>0) x+ y x+ y x+ y 2( x + y ) 2 y − yz y − z z − zx z − x ≥ Tương tự: (2), (3) Cộng vế (1),(2),(3) suy ra: ≥ y+z z+x x − xy y − yz z − zx x − y y − z z − x + + ≥ + + = Đẳng thức xảy x = y = z x+ y y+z z+x 2 Ta có: II PHẦN RIÊNG: 1) Theo chương trình chuẩn: Câu ( 1.5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): x + y + = 0, (d2): 2x – y – = Lập phương trình đường thẳng (d) qua M(1;-1) cắt uuur uuur r (d1) (d2) tương ứng A B cho MA + MB = A(a;-a-1), B(b;2b uuur – 1) uuur r Từ điều kiện MA + MB = tìm A(1; - 2), B(1;1) suy (d): x – = Giải bất phương trình sau: 2C2x+1 + 3A2x < 30 Điều kiện x ∈ N , x ≥ Ta có 2C2x+1 + 3A2x < 30 ⇔ x(x + 1) +3x(x-1) < 30 ⇔ 4x2 – 2x – 30 > −5 ⇔ < x < kết hợp với điều kiện ta x = 2 ĐỀ 20 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH x+2 Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = (1) 2x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thò hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O Câu II (2,0 điểm) 91 (1 − 2sin x) cos x = Giải phương trình (1 + 2sin x)(1 − sin x) BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC Giải phương trình : 3x − + − 5x − = (x ∈ R) π Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = (cos3 x − 1) cos2 xdx ∫ Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AB = AD = 2a; CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 60 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Câu V (1,0 điểm) Chứng minh với số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x+y+z) = 3yz, ta có (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤ 5(y + z)3 PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6, 2) giao điểm đường chéo AC BD Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y – = Viết phương trình đường thẳng AB Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x – 2y – z – = mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác đònh tọa độ tâm tính bán kính đường tròn Câu VII.a (1,0 điểm) Gọi z1 z2 nghiệm phức phương trình: z 2+2z+10=0 Tính giá trò biểu thức A = z12 + z22 B Theo Chương trình Nâng Cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + = đường thẳng ∆ : x + my – 2m + = với m tham số thực Gọi I tâm đường tròn (C) Tìm m để ∆ cắt (C) điểm phân biệt A B cho diện tích ∆IAB lớn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – = đường x +1 y z + x −1 y − z +1 = = = = thẳng ∆1 : ; ∆2 : Xác đònh tọa độ điểm M thuộc 1 −2 đường thẳng ∆1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) Câu VII.b (1,0 điểm) log (x + y ) = + log (xy) Gỉai hệ phương trình : x2 −xy+ y (x, y ∈ R) = 81 3 ĐÁP ÁN ĐỀ 20 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH 92 x+2 Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = (1) 2x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số (1) −1 −3 D = ¡ \ , y/ = < 0, ∀x ∈ D (2 x + 3) 2 Suy hàm số giảm khoảng xác định khơng có cực trị −3 lim− y = −∞ , lim+ y = +∞ ⇒ −3 −3 TCĐ: x = x→ x→ 2 1 lim y = ⇒ TCN : y = x →±∞ 2 BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC y -2 −3 2/3 −3 x y/ -∞ +∞ - +∞ y -∞ 2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thò hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O Tam giác OAB cân O nên tiếp tuyến song song với hai đường thẳng y = x y = -x Nghóa là: −1 x = −1 ⇒ y = = ±1 ⇒ (2x + 3) x = −2 ⇒ y = ∆1 : y – = -1(x + 1) ⇔ y = -x (loại) ∆2 : y – = -1(x + 2) ⇔ y = -x – (nhận) f’(x0) = ±1 ⇒ Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình (1 − 2sin x) cos x = (1 + 2sin x)(1 − sin x) −1 , sinx ≠ Pt ⇔ ( − 2sin x ) cos x = ( + 2sin x ) ( − sin x ) ĐK: sin x ≠ ⇔ cos x − 2sin x cos x = ( + sin x − 2sin x ) ⇔ cos x − s inx = s in2x + cos x 3 π π ⇔ cos x − sin x = s in2x + cos x ⇔ cos + x ÷ = cos x − ÷ 2 2 6 3 π π π π ⇔ + x = x − + k 2π hay + x = −2 x + + k 2π 6 93 x BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC π π 2π ⇔ x = − k 2π (loại) x = − + k , k ∈ Z (nhận) 18 2.Giải phương trình : 3x − + − 5x − = (x ∈ R) 3x − + − 5x − = , điều kiện : − x ≥ ⇔ x ≤ t +2 − 5t Đặt t = 3x − ⇔ t3 = 3x – ⇔ x = – 5x = 3 − 5t −8 = Phương trình trở thành : 2t + ⇔3 { t≤4 − 5t = − 2t ⇔ 15t + 4t − 32t + 40 = ⇔ t = -2 Vậy x = -2 π Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = (cos3 x − 1) cos2 xdx ∫ π π π 0 I = ∫ ( cos3 x − 1) cos2 xdx = ∫ cos5 xdx − ∫ cos xdx π π 0 π I1 = ∫ cos4 x cos xdx = ∫ ( − sin x ) cos xdx = ∫ ( − 2sin x + sin x ) cos xdx t = sin x ⇒ dt = cos xdx Đổi cận: x= ⇒ t = 0; x = π ⇒t=1 1 2t t I1 = ∫ ( − 2t + t ) dt = t − + = 15 π π π π π π 2 + cos x 12 π I = ∫ cos xdx = ∫ dx = ∫ dx + ∫ cos xdx = x + sin x = 2 20 4 0 0 π I = ∫ ( cos3 x − 1) cos xdx = π − 15 Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AB = AD = 2a; CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 60 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Từ giả thiết toán ta suy SI thẳng góc với mặt phẳng ABCD, gọi J trung điểm BC; E hình chiếu I xuống BC 2a + a 3a IJ × CH 3a 3a BC a IJ = = = a= SCIJ = , CJ= = 2 2 2 94 A I N B H J E D C BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC ⇒ SCIJ = 2 3a 1 3a 3a 6a 3a = IE × CJ ⇒ IE = = ⇒ SE = ,SI = , CJ 5 11 3a 3a 15 V = [ a + 2a ] 2a ÷ = 3 Câu V (1,0 điểm) Chứng minh với số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x+y+z) = 3yz, ta có (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤ 5(y + z)3 y z yz ⇔ 1+ + = x(x+y+z) = 3yz x x xx y z Đặt u = > 0, v = > 0, t = u + v > x x Ta có t2 u+v + t = 3uv ≤ = ⇔ 3t − 4t − ≥ ⇔ ( t − ) ( 3t + ) ≥ ⇔ t ≥ ÷ Chia hai vế cho x bất đẳng thức cần chứng minh đưa 3 ( 1+ u ) + ( 1+ v) + 3( 1+ u ) ( 1+ v) ( u + v) ≤ 5( u + v) ⇔ ( + t ) − ( + u ) ( + v ) − ( + u ) ( + v ) + ( + u ) ( + v ) t ≤ 5t 3 2 ⇔ ( + t ) − ( + u ) ( + v ) ≤ 5t ⇔ ( + t ) − 6(1 + u + v + uv ) ≤ 5t 3 1+ t 3 ⇔ ( + t ) − 1 + t + ÷ ≤ 5t ⇔ 4t − 6t − 4t ≥ ⇔ t ( 2t + 1) ( t − ) ≥ Đúng t ≥ PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6, 2) giao điểm đường chéo AC BD Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y – = Viết phương trình đường thẳng AB I (6; 2); M (1; 5) ∆ : x + y – = 0, E ∈ ∆ ⇒ E(m; – m); Gọi N trung điểm AB x N = 2x I − x E = 12 − m I trung điểm NE ⇒ ⇒ N (12 – m; m – 1) y N = 2y I − y E = − + m = m − uuuu r uu r MN = (11 – m; m – 6); IE = (m – 6; – m – 2) = (m – 6; – m) uuuu r uu r MN.IE = ⇔ (11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) = ⇔ m – = hay 14 – 2m = ⇔ m = hay m = uuuu r + m = ⇒ MN = (5; 0) ⇒ pt AB y = uuuu r + m = ⇒ MN = (4; 1) ⇒ pt AB x – – 4(y – 5) = ⇒ x – 4y + 19 = 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x – 2y – z – = mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác đònh tọa độ tâm tính bán kính đường tròn I (1; 2; 3); R = + + + 11 = 95 BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC d (I; (P)) = 2(1) − 2(2) − − 4 + +1 = < R = Vậy (P) cắt (S) theo đường tròn (C) x = + 2t Phương trình d qua I, vuông góc với (P) : y = − 2t z = − t Gọi J tâm, r bán kính đường tròn (C) J ∈ d ⇒ J (1 + 2t; – 2t; – t) J ∈ (P) ⇒ 2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – + t – = ⇒ t = Vậy tâm đường tròn J (3; 0; 2) Bán kính đường tròn r = R − IJ = 25 − = Câu VII.a (1,0 điểm) Gọi z1 z2 nghiệm phức phương trình: z 2+2z+10=0 Tính giá trò biểu thức A = z12 + z22 ∆’ = -9 = 9i2 phương trình ⇔ z = z1 = -1 – 3i hay z = z2 = -1 + 3i ⇒ A = z12 + z22 = (1 + 9) + (1 + 9) = 20 B Theo Chương trình Nâng Cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + = đường thẳng ∆ : x + my – 2m + = với m tham số thực Gọi I tâm đường tròn (C) Tìm m để ∆ cắt (C) điểm phân biệt A B cho diện tích ∆IAB lớn (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + = có tâm I (-2; -2); R = Giả sử ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Kẻ đường cao IH ∆ABC, ta có · · S∆ABC = IA.IB.sin AIB = sin AIB · Do S∆ABC lớn sin AIB = ⇔ ∆AIB vuông I − 4m IA = (thỏa IH < R) ⇔ =1 ⇔ IH = m2 + ⇔ – 8m + 16m2 = m2 + ⇔ 15m2 – 8m = ⇔ m = hay m = 15 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – = đường x +1 y z + x −1 y − z +1 = = = = thẳng ∆1 : ; ∆2 : Xác đònh tọa độ điểm M thuộc đường 1 −2 thẳng ∆1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) r M (-1 + t; t; -9 + 6t) ∈∆1; ∆2 qua A (1; 3; -1) có véctơ phương a = (2; 1; -2) uuuu r r uuuu r AM = (t – 2; t – 3; 6t – 8) ⇒ AM ∧ a = (14 – 8t; 14t – 20; – t) Ta có : d (M, ∆2) = d (M, (P)) ⇔ 261t − 792t + 612 = 11t − 20 ⇔ 35t2 - 88t + 53 = ⇔ t = hay t = 53 35 18 53 Vậy M (0; 1; -3) hay M ; ; ÷ 35 35 35 Câu VII.b (1,0 điểm) 96 BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC log (x + y ) = + log (xy) Gỉai hệ phương trình : x2 −xy+ y (x, y ∈ R) = 81 3 Điều kiện x, y > 2 log (x + y ) = log 2 + log (xy) = log (2xy) 2 x − xy + y = 2 (x − y) = x = y x = x = −2 x + y = 2xy ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ hay x − xy + y = xy = y = y = −2 xy = 97 BỘ TỐN CĨ ĐÁP ÁN ƠN THI ĐẠI HỌC 98 [...]... z0 ) Vì N ( ) x0 + y0 z0 6 = 0 (1) MN = PN - MNPQ là hình vuông MNP vuông cân tại N MN PN = 0 ( x0 5) 2 + ( y0 3) 2 + ( z0 + 1) 2 = ( x0 2) 2 + ( y0 3) 2 + ( z0 + 4) 2 ( x0 5)( x0 2) + ( y0 3) 2 + ( z0 + 1)( z0 + 4) = 0 ( 2) x0 + z0 1 = 0 2 (3) ( x0 5)( x0 2) + ( y0 3) + ( z0 + 1)( z0 + 4) = 0 11 B TON Cể P N ễN THI I HC y = 2 x 0 + 7 - Từ (1) và (2) suy ra 0 Thay vào (3) ta... trục tung x Phơng trình hoành độ giao điểm: x2 + x +1 = 2 x + m 3 x 2 + (1 m) x 1 = 0 ( x 0) (1) x Nhận thấy x = 0, không là nghiệm của phơng trình (1) và có biệt số: = (1 m ) 2 + 12 > 0, m , suy ra phơng trình (1) luôn có hai phân biệt x1 , x 2 khác 0 với mọi m, tức thẳng luôn cắt đờng cong tại hai điểm A, B phân biệt với mọi m b m 1 Theo định lí Viét ta có x1 + x 2 = = a 3 x + x2 m 1 Hoành... tan C = Ta có tanA+tanB= cos A.cos B cos C tan A + tan B ABC không nhọn nên đặt x=tanA>0,y=tanB>0,z=tanC>0 x y z 3 x y z 3 + + = với x,y,z>0.Dễ dàng CM đợc + + Từ GT ta có y+z z+x x+ y 2 y+z z+x x+ y 2 Dấu =xảy ra khi và chỉ khi x=y=z hay tam giác ABC đều II PHN RIấNG CHO TNG CHNG TRèNH ( 3 im) Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn 1 hoc phn 2) 1 Theo chng trỡnh Chun: 2/.Cõu VI.a (2 im): 1) Trong... im)Cho hàm số y = x+2 (C) x 1 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số (C) 2 Cho điểm A(0;a) Xác định a đẻ từ A kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (C) sao cho hai tiếp điểm tơng ứng nằm về hai phía trục ox Cõu II (2,0im) 4 2 2 x 4x + y 6 y + 9 = 0 1 Giải hệ phơng trình : 2 2 x y + x + 2 y 22 = 0 13 2 2 2 2 Gii PT : cos x + ữ+ cos x + 3 3 B TON Cể P N ễN THI I HC 1 ữ = ( sin x +1) 2 4 4 sin 6... CHO TT C CC TH SINH (7,0 im) Cõu I (2,0 im)Cho hàm số y = x+2 (C) x 1 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số (C) 2 Cho điểm A(0;a) Xác định a đẻ từ A kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (C) sao cho hai tiếp điểm tơng ứng nằm về hai phía trục ox Phơng trình tiếp tuyến qua A(0;a) có dạng y=kx+a (1) 14 B TON Cể P N ễN THI I HC x + 2 (2 ) x 1 = kx a Điều kiện có hai tiếp tuyến qua A: có nghiệm x 1 3 ... giác, OA BC BC // Ox suy ra phơng trình của BC có dạng y = y0 A Đờng cao BB đi qua trực tâm O và vuông góc với AC suy ra BB có B phơng trình là: 7(x 0) - 4(y 0) = 0 hay BB: 7x 4y = 0 Điểm B = BB'AC tọa độ của B là nghiệm của hệ phơng trình: Do abc = 1 xyz = 1 nên ta có A = 17 C B TON Cể P N ễN THI I HC 7x 4y = 0 x = 4 5 x 2 y = 6 y = 7 Đờng thẳng đi qua B(- 4; - 7) và song song với Ox... rằng không phân biệt các chức danh là ủy viên) Hỏi có bao nhiêu cách lập ra một ban cán sự Đầu tiên ta chọn ra 2 học sinh để làm lớp trởng và lớp phó, (chú ý rằng hai chức danh đó là khác nhau) Một cách xếp 2 học sinh làm lớp trởng và lớp phó là một chỉnh hợp chập 2 của 40 Số cách xếp 2 học sinh làm lớp trởng và lớp phó là A402 Còn lại 38 học sinh Tiếp đó ta chọn 3 học sinh làm ủy viên (không phân...B TON Cể P N ễN THI I HC 3 Ta có f ' (t ) = t 5 = t 5 > 0 vì t 3 t2 t2 Suy ra f (t ) đồng biến trên [ 3 , 3] Do đó f (t ) f (3) = 14 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi t = 3 x = y = z = 1 14 Vậy GTLN của A là , đạt đợc khi x = y = z = 1 3 B PHN RIấNG (3,0 im) Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn a, hoc b) a Theo chng trỡnh Chun: Cõu VIa (2,0 im) 1 Trong mt... 2: Gii bt phng trỡnh: x 2 + 35 < 5 x 4 + x 2 + 24 5 Cõu III (1im): Tớnh tớch phõn : I = ln( x 1 + 1) dx x 1 2 x 1 + 19 B TON Cể P N ễN THI I HC Cõu IV (1im): Cho tam giác ABC cân nội tiếp đờng tròn tâm J bán kính R=2a (a>0) ,góc BAC =1200.Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho SA = a 3 Gọi I là trung điểm đoạn BC Tính góc giữa SI và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (ABC)... dx x 1 2 x 1 + t t= x 1 + 1 21 * x = 2 t = 2 *x = 5 t = 3 3 B TON Cể P N ễN THI I HC *dx=2(t-1)dt 3 (t 1) ln t ln t dt = 2 dt 2 t I=2 2 (t 1) + t 1 2 3 S = 2 ln td ln t = ln 2 t 32 = ln 2 3 ln 2 2 2 Cõu IV (1im): Cho tam giác ABC cân nội tiếp đờng tròn tâm J bán kính R=2a (a>0) ,góc BAC =1200.Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho SA = a 3 Gọi I là trung điểm đoạn ... m , vi m l tham s thc Kho sỏt s bin thi n v v th ca hm s ó cho ng vi m = Với m = ta có y = x x + x * Tập xác định: D = R * Sự biến thi n Chiều biến thi n: y ' = x 12 x + = 3( x x + 3)... 2ab a b ab a + b Tơng tự cho bất đẳng thức lại, suy đpcm Câu 4: ( điểm ) Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phơng x y = trình: x + y + z = đờng thẳng ( d)... đờng thẳng thoả mãn đề có phơng trình: ( ) : x = y = z + ; ( ) : x = y = z + + 1+ 3 3 + 3 II Phần riêng ( Thí sinh làm hai phần) Câu 5A: ( điểm ) ( Dành cho THPT không phân ban) Viết phơng