Ôn thi HSG Hình Học

TRƯỜNG THCS HƯNG LỢI PHẦN HÌNH HỌC I Tam giác : ( LỚP ): Vấn đề : Tính số đo góc thông qua việc phát tam giác vuông có cạnh góc vuông cạnh huyền Bài : Tính số đo góc ∆ABC biết đường cao AH ,trung tuyến AM chia góc ·ABC thành ba góc Gợi ý : + Kẻ MK ⊥ AC µ = 300 ⇒ B µ = 600 , µA = 900 +C Bài : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Về phía tam giác ABC ta vẽ tam giác ABE ACF H trực tâm tam giác ABE , N trung điểm BC Tính góc tam giác FNH Gợi ý : + Trên tia đối NH lấy điểm K cho NH = NK + ∆NBH = ∆NCK ⇒ CK = BH = HA µ = HBN · µ + 300 · =B Chú ý : FAH = 600 + 300 + µA < 1800 , C ( ) µ +C ¶ = 360 − ( 90 + B ) · µ +C ¶ +C µ FCK = 3600 − C 0 · = 900 + µA = FAH ∆AHF ? ∆CKF để ý : ·AFC = 600 Vấn đề : Tính số đo góc thông qua việc phát tam giác vuông cân µ = 450 , C µ = 1200 Trên tia đối tia CB lấy điểm D Bài : Cho tam giác ABC có B cho CD = 2CB Tính số đo góc ·ADB Gợi ý : + kẻ DH ⊥ AC + cm : ∆HAD vuông cân · Bài : Cho tam giác ABC có góc BAC tù , đường cao AH , đường phân giác BD cho ·AHD = 450 Tính số đo góc ·ADB Gợi ý : + Kẻ BK ⊥ AC , ∆ABH có BD phân giác , HD đường phân giác nên AD phân giác góc A ( µA1 = µ A2 ) · µ · +B + µA1 = KBH ( µA1 = KBD µ +B µ ( 2) ) ( 1) , µA2 = D µ =B µ ⇒ ∆KBD ? + Vì µA1 = µ A2 giả thiết B Vấn đề : Tính số đo góc thông qua việc phát tam giác µ = 750 Trên tia đối AB lấy điểm H cho Bài : Cho tam giác ABC vuông A B · BH = 2AC Tính số đo góc BHC GV : Nguyễn Triều Dương TRƯỜNG THCS HƯNG LỢI Gợi ý : + Trên mp bờ BC chứa đỉnh A vẽ tam giác EBC E miền tam giác HBC + Lấy K trung điểm BH Chứng minh : ∆ABC = ∆KEB ( c.g.c ) ⇒ ∆EBH cân + Chứng minh : ∆EHC = ∆EHB ( c.g.c ) Bài : Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A Điểm E nằm tam giác cho · · EAC = ECA = 150 Tính số đo góc ·AEB · · Gợiý:+ Trong ∆ABC lấy điểm K cho KBA = KAB = 150 Cm : ∆KAB = ∆EAC ( c.g.c ) Vấn đề : Tính số đo góc thông qua việc phát tam giác cân có góc biết số đo µ = 200 Trên đường phân giác BE tam giác ta Bài : Cho tam giác ABC có µA = 500 , B · lấy điểm F cho FAB = 200 Gọi N trung điểm AF , EN cắt AB K Tính số đo · góc KCB Gợi ý : + Kẻ CK cắt BE M cm : ∆EAF cân E ⇒ ·AEF = 1200 + Trung tuyến EN đồng thời phân giác ⇒ ba góc E ⇒ ∆BEK = ∆BEC ( g.c.g ) ⇒ ∆BCK cân có góc biết sđ µ =C µ = 500 N điểm thuộc miền tam giác thỏa Bài : Cho tam giác ABC với B · · = 100 , NCB = 200 Tính số đo góc ·ANB mãn NBC Gợi ý : + Kẻ đường cao AH ∆ABC cắt BN O ; vẽ AK ⊥ BN AK cắt CN J · · · · · + OBH = HAK = ? , HAC = 400 ⇒ KAC = ? NCA = ? ⇒ ∆JAC ? ⇒ JA = JC ? + Cm : ∆OAC cân O ( OA = OC ) ⇒ OJ đường trung trực II Tam giác – Tứ giác : ( Lớp ) Bài toán : Cho tam giác ABC AB > AC Gọi H chân đường cao kẻ từ đỉnh A M , N , P trung điểm cạnh AB , AC , BC Chứng minh tứ giác MNHP hình thang cân Bài toán : µ = 1v CD = 2AB = 2AD Lấy điểm M thuộc đáy Cho hình thang ABCD có µA = D nhỏ AB kẻ đường thẳng Mx vuông góc với DM ; Mx cắt cạnh BC N Chứng minh tam giác DMNlà tam giác vuông cân Hướng dẫn : + Để cm ∆DMN cân ta cần cm có đường trung tuyến vừa đường cao ( gọi I trung điểm DN ) + từ giả thiết suy : ∆ADB ? Gọi K trung điểm DC suy ? kq : ·ABC = 1350 + Để ý đến ∆DMN vuông , ∆DBN vuông ⇒ IM = … · + Tổng góc tứ giác MBIN ⇒ MIN = 900 Bài toán : Cho tứ giác ABCD Các đường chéo AC DB cắt O Các cạnh AD BC kéo dài cắt P Biết AC ⊥ AD DB ⊥ CB a ) Chứng minh đường thẳng qua trung điểm PO CD trục đối xứng AB b ) Tứ giác ABCD phải có điều kiện để d PO trùng Bài toán : GV : Nguyễn Triều Dương TRƯỜNG THCS HƯNG LỢI Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cao AH , vẽ điểm đối xứng H qua AB AC D E Chứng minh : a ) Ba điểm D , A , E thẳng hàng b ) Tứ giác BCED hình thang · c ) DHE = 900 Bài toán : Cho tam giác ABC , đường cao AK , BD cắt G Vẽ đường trung trực HE , HF AC BC Chứng minh : BG = 2HE AG = 2HF Hướng dẫn : Để tận dụng giả thiết E , F trung điểm AC BC ta dựng tam giác phụ Mà HE , HF đường trung bình , so sánh đáy tam giác với cạnh ta quan tâm Bài toán : Cho hình bình hành ABCD AD = 2AB Từ C ta kẻ CE vuông góc với AB Nối E với trung điểm M AD Từ M ta kẻ MF vuông góc với CE ; MF cắt BC N a ) Tứ giác MNCD hình ? E b ) Tam giác EMC tam giác ? F · c ) Chứng minh BAD = ·AEM Hướng dẫn : B C N + Từ giả thiết suy NM = NC ? 32 + cm : ∆EMC cân µ · ¶ ¶ ¶ µ D M A + Ta có : A = NMD = M + M = 2M = E Bài toán : ( quỹ tích ) Cho tam giác ABC điểm M chạy cạnh BC Từ M kẻ đường thẳng song song với cạnh bên , cắt AB D AC E Tìm tập hợp trung điểm I DE M chuyển động BC A Hướng dẫn : E + WADME hbh nên I trung điểm DE trung điểm AM Q P I + Lấy P trung điểm AB ; Q trung điểm AC F Giới hạn : * M chạy đến trùng với B I trùng với P C H B D I' * M chạy đến trùng với C I trùng với Q Bài toán : Cho hình chữ nhật ABCD Kéo dài BC AD thêm đoạn CE = DF = DC H Kéo dài DC đoạn CH = BC Nối A với E , F với H Chứng minh : AE vuông góc với FH Hướng dẫn : + cm : góc F vuông + cm : Hai tam giác vuông ∆DHF = ∆FAE C B µ = 900 + Xét góc hai tam giác DAI KIH ⇒ K E K I Bài toán : ( quỹ tích ) Cho tam giác ABC Một điểm D di chuyển A F D cạnh đáy BC Từ D ta kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AC E đường thẳng song song với AC , cắt AB F Tìm tập hợp trung điểm I EF Tương tự toán GV : Nguyễn Triều Dương TRƯỜNG THCS HƯNG LỢI Bài toán 10 : Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vuông góc với AC Gọi M trung điểm AH , Klà trung điểm CD Chứng minh : BM ⊥ MK Hướng dẫn : + Gọi N trung điểm BH , đường thẳng MN cắt BC E cm : MN đường tb ⇒ MN ⊥ BC Bài toán 11 : Cho hình thoi ABCD có góc µA = 600 Đường thẳng MN cắt AB AC theo thứ tự điểm M , N Sao cho tổng MB + NB cạnh hình thoi A Cm : ∆MDN tam giác Gợi ý : cm : ∆MBD = ∆NDC Bài toán 12 : Trên cạnh hình bình hành , ta dựng phía hình vuông Chứng minh tâm hình vuông đỉnh hình vuông Gợi ý : + cm : ∆EAH = ∆GDH để có DH = HG · DGH = ·AHE E B C N M K H M B N C D E B A C D G · ⇒ GHE = 900 Bài toán 13 : Cho tam giác ABC vuông A Ta dựng Hình vuông ABDE BCFG cho D C phía cạnh AB ; G A phía cạnh BC Chứng minh : GA ⊥ DC GA = DC Gợi ý : · Cm : ∆ABG = ∆DBC để có ·AGB = DCB Bài toán 14 : Cho tam giác ABC Dựng hình vuông ABMN CBPQ tam giác Gọi D , E , G , H trung điểm cạnh AC , NB , MP BQ a ) Chứng minh : AF ⊥ MC b ) Chứng minh tứ giác DEGH hình vuông gợi ý : + cm : DEGH hình bình hành Bài toán 15 : Cho tam giác ABC phía ta dựng Các hình vuông ABDE , ACGH , BCRS Gọi O1 ,O2 ,O3 tâm hình vuông Chứng minh : O1O2 = AO3 GV : Nguyễn Triều Dương D A G F A N E B I H M D E C A D C B G H F Q H E A D O1 M B O2 G C S O3 R TRƯỜNG THCS HƯNG LỢI Gợi ý : Cm : DC = AS DC ⊥ AS (1) DC AS ; O3 M / / = 2 ∆ O MO = ∆ AMO + Cm : + O1M / / = (2) Từ (1) (2) : O1M = O3 M O1M ⊥ O3 M L Bài toán 16 : D Trên cạnh AB AC tam giác ABC , phía B , ta dựng hình vuông BCKL BAED Chứng minh đoạn thẳng nối cácđỉnh D L hai K E hình vuông hai lần trung tuyến tam giác ABC ,kẻ từ đỉnh B ( DL = 2BM ) A M C Gợi ý : Cách 1: Kéo dài trung tuyến BM thêm đoạn MQ = MB Chứng minh : ∆BCQ = ∆LBD Q Bài toán 17 : Cho hình vuông ABCD Gọi M N trung điểm M A B Của AB AC Các đường thẳng DN CM cắt I Chứng minh : IA = AD µ =C µ ⇒ DN ⊥ CM Gợi ý : + Cm : ∆DCN = ∆CBM ⇒ D 1 N I + Kẻ đường cao AH Cm : HD = HI H Bài toán 18 : C P D Trên cạnh AB hình vuông ABCD , lấy điểm E tùy ý Phân giác góc CDE cắt cạnh BC K D C Chứng minh : AE + KC = DE Gợi ý : Trên tia đối tia AB , lấy điểm F cho AF = CK K + Cm : ∆DAF = ∆DCK µ =K µ D µ =D ¶ ⇒F + Cm : ∆EFD cân E F B E A Bài toán 19 : D C Trên cạnh AB hình vuông ABCD dựng tam giác AFB cân đỉnh F , có góc đáy 150 Chứng minh tam giác CFD tam giác I Gợi ý : µ =C µ = 150 Dựng ∆IBC có B 3 F ⇒ ∆IBC = ∆FAB theo cách dựng 15 H B Cm : ∆FBI A Đường CI kéo dài cắt FB H Cm : ∆FIC cân I góc đáy 150 ? + Hướng thứ : Cm góc + Hướng thứ : Cm cạnh GV : Nguyễn Triều Dương ... cm : ∆MBD = ∆NDC Bài toán 12 : Trên cạnh hình bình hành , ta dựng phía hình vuông Chứng minh tâm hình vuông đỉnh hình vuông Gợi ý : + cm : ∆EAH = ∆GDH để có DH = HG · DGH = ·AHE E B C N M K... vuông A Ta dựng Hình vuông ABDE BCFG cho D C phía cạnh AB ; G A phía cạnh BC Chứng minh : GA ⊥ DC GA = DC Gợi ý : · Cm : ∆ABG = ∆DBC để có ·AGB = DCB Bài toán 14 : Cho tam giác ABC Dựng hình. .. ABC Dựng hình vuông ABMN CBPQ tam giác Gọi D , E , G , H trung điểm cạnh AC , NB , MP BQ a ) Chứng minh : AF ⊥ MC b ) Chứng minh tứ giác DEGH hình vuông gợi ý : + cm : DEGH hình bình hành