Tài liệu về Phân tích ma trận
Trang 1§5 PHÂN TÍCH MA TRẬN
1 Phương pháp Crout: Khi giải hệ phương trình tuyến tính nếu ta gặp một
ma trận tam giác thì việc giải hệ sẽ rất dễ dàng Vì vậy chúng ta tìm cách phân tích ma trận A thành tích của hai ma trận L và R sao cho : A = L.R Để phân tích được, ma trận A phải có các giá trị trụ khác 0 Các ma trận L và R
là các ma trận tam giác dưới (L) và tam giác trên (R).Các hệ số lkk = 1 Ma trận L và R bậc 3 có dạng :
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
A
1 l l
0 1 l
0 0 1 L
321 31
33
23 22
13 12 11
r 0 0
r r 0
r r r
Chúng ta nhắc lại quy tắc nhân hai ma trận A.B :
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
33 32 31
23 22 21
13 12 11
c b b
b b b
b b b
33 32 31
23 22 21
13 12 11
c c c
c c c
c c c
với c11= a11b11 + a12b21 + a13b31
c12= a11b12 + a12b22 + a13b32
c13= a11b13 + a12b23 + a13b33
c21= a21b11 + a22b21 + a23b31
Tổng quát :
n
1
k ik kj
ij a b
c
Dùng quy tắc này cho hai ma trận L và R và cho đồng nhất các hệ số của chúng với ma trận A ta có :
1 l
l
0 1 l
0 0 1
321 31
33
23 22
13 12 11
r 0 0
r r 0
r r r
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
a11 = 1 r11 + 0.0 + 0.0 = r11 ;
a12 = r12 ; a13 = r13
a21 = l21r11 ;
a22 = l21r12 + r22 ; a23 = l31r11
a31 = l31r11 ; a32 = l31r12 ;
a33 = l31r13 + l32r23 + r33
Một cách tổng quát ta có :
với j > i : lij = rji = 0
với i = 1 : r1j = a1j (j = 1 tới n)
lj1 = aj1/r11 (j = 1 tới n)
với i = 2 tới n
1 i
1
k ik kj ij
Trang 21 i
1 k ki jk ji
ji
r
r l a
l
Chương trình phân tích ma trận thành 2 ma trận như sau :
Chương trình 3-7
#include <conio.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#define max 6
void main()
{
float a[max][max],r[max][max],l[max][max];
int i,j,k,n;
float tr,tl;
clrscr();
printf("Cho bac cua ma tran n = ");
scanf("%d",&n);
printf("Cho cac phan tu cua ma tran can phan tich a\n");
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=1;j<=n;j++)
{ printf("a[%d][%d] = ",i,j);
scanf("%f",&a[i][j]);
} for (i=1;i<=n;i++)
for (j=1;j<=n;j++)
{ l[i][j]=0.0;
r[i][j]=0.0;
} for (i=1;i<=n;i++)
{
r[1][i]=a[1][i];
l[i][i]=1.0;
l[i][1]=a[i][1]/a[1][1];
Trang 3}
for (k=2;k<=n;k++)
{
for (j=k;j<=n;j++) {
tr=0.0;
for (i=1;i<=k;i++) tr=tr+l[k][i]*r[i][j];
r[k][j]=a[k][j]-tr;
}
if (k!=n) {
for (i=1;i<=n;i++) {
tl=0.0;
for (j=1;j<=k-1;j++) tl=tl+l[i][j]*r[j][k];
l[i][k]=(a[i][k]-tl)/r[k][k];
} }
else printf("\n");
}
printf("Ma tran l :\n");
for (i=1;i<=n;i++)
{
for (j=1;j<=n;j++) printf("%15.5f",l[i][j]);
printf("\n");
}
printf("Ma tran r :\n");
for (i=1;i<=n;i++)
{
for (j=1;j<=n;j++) printf("%15.5f",r[i][j]);
printf("\n");
}
getch();
}
Trang 4Dùng chương trình này phân tích ma trận ta được :
4 6 0 0
4 5 2 0
2 1
2 R 1
6 5 3
0 1 5 1
0 0 1 L 3
5 7
1 1 3
2 1 2
A
2 Phương pháp phân tích Cholesky : Phương pháp Cholesky dùng để
phân tích một ma trận đối xứng sao cho A = RTR với R là một ma trận tam giác trên Cách phân tích cũng tương tự như phương pháp Crout Ta xét các ma trận A và R bậc 3 như sau :
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
33
23 22
13 12 11
r 0 0
r r 0
r r r R
Tích hai ma trận RT và R là :
33
23 22
13 12 11 T
33
23 22
13 12 11
r 0 0
r r 0
r r r r
0 0
r r 0
r r r
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
Ta tính được :
r112 = a11
r11r12 = a12
r11r13 = a13
r11r12 = a21
r122 + r22r12 = a22
r222 + r12r13 = a23
r11r13 = a31
r13r12+ r23r21 = a32
r332 + r22r23 + r132 = a23
Tổng quát ta có :
11
ij ij 11 11
a
a s
; a
n i 1 s a
r
1 i 1 k
2 ki ii
j i r
r r a
r
ii
1 i
1 k kj ki ij
rij = 0 (i > j ) Dưới đây là chương trình:
Chương trình 3-8
Trang 5#include <conio.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#define max 6
void main()
{
float a[max][max],r[max][max],b[max][max];
int i,j,k,n,l;
clrscr();
printf("Cho bac cua ma tran n : ");
scanf("%d",&n);
printf("Cho cac phan tu cua ma tran can phan tich a :\n");
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=1;j<=n;j++)
{ printf("a[%d][%d] = ",i,j);
scanf("%f",&a[i][j]);
} for (i=1;i<=n;i++)
for (j=1;j<=n;j++)
r[i][j]=0.0;
for (i=1;i<=n;i++)
{
if (a[i][i]<0.0) {
printf("Ma tran khong duong");
getch();
exit(1);
} else {
r[i][i]=sqrt(a[i][i]);
for (j=1+i;j<=n;j++) r[i][j]=a[i][j]/r[i][i];
for (k=i+1;k<=n;k++) for (l=k;l<=n;l++)
a[k][l]=a[k][l]-r[i][k]*r[i][l];
Trang 6} } printf("\n");
printf("Ma tran chuyen vi cua r\n");
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=1;j<=n;j++)
b[j][i]=r[i][j];
for (i=1;i<=n;i++)
{
for (j=1;j<=n;j++) printf("%15.5f",b[i][j]);
printf("\n");
}
printf("\n");
printf("Ma tran r\n");
for (i=1;i<=n;i++)
{
for (j=1;j<=n;j++) printf("%15.5f",r[i][j]);
printf("\n");
}
getch();
}
Dùng chương trình này để phân tích ma trận
9 7
6 4
6
7
9 5
7
6 9
6 8
4 5
6 5
7
6 7
8 7
1 0
ta có :
732052
1 0
0 0
0
0 707107
0 0
0 0
414214
1 121320
2 414214
1 0
0
631456
0 316228
0 264911
1 316228
0 0
897367
1 213594
2 529822
2 213594
2 162278
3
R