AM cắt BC tại D.. Gọi I là một điểm trên đoạn thẳng MA sao cho MI = MB.. Hãy xác định vị trí các đỉnh của tứ giác MNPQ để diện tích của tứ giác MNPQ là lớn nhất.. Tính giá trị lớn nhất đ
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
TP PLEIKU NĂM HỌC 2009 – 2010
- MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC (Vòng 1)
ĐỀ BÀI :
Bài 1 : (2 điểm) Chứng minh rằng :
A = n4 – 4n3 – 4n2 + 16n chia hết cho 384 với mọi n chẵn và n > 4
Bài 2 : ( 3 điểm) Cho biểu thức
Q
a/ Rút gọn Q
b/ Tìm giá trị của x để Q < 1
Bài 3 : ( 3 điểm) Cho ΔABC đều nội tiếp đường tròn tâm O Lấy một điểm M trên cung
nhỏ BC ( M ≠ B, M ≠ C) AM cắt BC tại D Gọi I là một điểm trên đoạn thẳng MA sao cho MI = MB Chứng minh rằng :
a/ ΔAIB = ΔCMB
b/ MA = MB + MC
Bài 4 : ( 2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 20 cm và BC = 30 cm
Lấy M BC, N AB, P AD, Q CD sao cho MB = BN = QD = DP
Hãy xác định vị trí các đỉnh của tứ giác MNPQ để diện tích của tứ giác MNPQ là lớn nhất Tính giá trị lớn nhất đó
-
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
TP PLEIKU NĂM HỌC 2009 – 2010
- MÔN THI : TOÁN
- ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM - ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1 : (2 điểm)
Ta có 384 = 3.128 và (3; 128) = 1
Lại có n chẵn và n > 4 n = 2k ( k N, k > 2)
A = n4 – 4n3 – 4n2 + 16n = 16k4 – 32k3 – 16k2 + 32k
= 16k(k3 – 2k2 – k + 2)
= 16k(k – 2)(k – 1)(k + 1)
Mà k, k – 2, k – 1, k + 1 là 4 số nguyên liên tiếp nên luôn có một số chia hết
cho 2 và một số chia hết cho 4
k(k – 2)(k – 1)(k + 1) 8
A 16.8 hay A 128
Mặt khác ba trong 4 số nguyên liên tiếp k, k – 2, k – 1, k + 1 phải có một số
chia hết cho 3 nên A 3
Vậy A = n4 – 4n3 – 4n2 + 16n 384 với mọi n chẵn và n > 4
0,25đ
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ
Bài 2 : ( 3 điểm) a/ (1,5đ) Rút gọn Q
2
1
( x 0, x 4, x 9) 3
Q
x x
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
Trang 3(1,5đ) b/ Tìm giá trị của x để Q < 1: 1 1 4 0
x Q
x 3 x 9
Kết hợp điều kiện trên có Q < 1 khi 0 ≤ x < 9 và x ≠ 4
0,5đ 0,5đ 0,5đ
Bài 3 : ( 3 điểm)
a/ Chứng minh ΔAIB = ΔCMB Chứng minh ΔBMI đều
Chứng minh ΔAIB = ΔCMB (c.g.c)
b/ MA = MB + MC
Từ ΔAIB = ΔCMB IA = CM
MI + IA = MC + MB hay MA = MB + MC
0,5đ 0,5đ 0,5đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Bài 4 : ( 2 điểm)
Đặt BM = BN = DP = DQ = x
Ta có
SMNPQ = SABCD – SMBN – SNAP – SPDQ - SMCQ
SMNPQ = 20.30 - 1 2
2x - 1 2
2x - 1(20 )(30 )
-1(20 )(30 )
SMNPQ = 600 – x2 – (20 – x)(30 – x) = 600 – x2 – 600 + 50x – x2 = - 2x2 + 50x = -2(x2 – 25x)
= -2(x2 – 25x + 12,52) + 2.12,52
= -2(x – 12,5)2 + 312,5 ≤ 312,5
0,25đ
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
A
D
N
M
P
Q
x
M
A
C
B
I
1 2
3
1
2
O
D
Trang 4 SMNPQmax = 312,5 (cm2) khi x - 12,5 = 0 hay x = 12,5 cm
cách B và D một khoảng bằng 12,5 cm
0,25đ 0,25đ