PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP TP PLEIKU NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Vòng 1) ĐỀ BÀI : Bài : (2 điểm) Chứng minh : A = n4 – 4n3 – 4n2 + 16n chia hết cho 384 với n chẵn n > Bài : ( điểm) Cho biểu thức x 9 x x 1 Q với x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ x 5 x 6 x 2 3 x a/ Rút gọn Q b/ Tìm giá trị x để Q < Bài : ( điểm) Cho ΔABC nội tiếp đường tròn tâm O Lấy điểm M cung nhỏ BC ( M ≠ B, M ≠ C) AM cắt BC D Gọi I điểm đoạn thẳng MA cho MI = MB Chứng minh : a/ ΔAIB = ΔCMB b/ MA = MB + MC 1 = + c/ MD MB MC Bài : ( điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 20 cm BC = 30 cm Lấy M BC, N AB, P AD, Q CD cho MB = BN = QD = DP Hãy xác định vị trí đỉnh tứ giác MNPQ để diện tích tứ giác MNPQ lớn Tính giá trị lớn - PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP TP PLEIKU NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN THI : TOÁN - ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM - ĐỀ CHÍNH THỨC Bài : (2 điểm) Ta có 384 = 3.128 (3; 128) = 0,25đ Lại có n chẵn n > n = 2k ( k N, k > 2) A = n4 – 4n3 – 4n2 + 16n = 16k4 – 32k3 – 16k2 + 32k = 16k(k3 – 2k2 – k + 2) = 16k(k – 2)(k – 1)(k + 1) Mà k, k – 2, k – 1, k + số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho số chia hết cho k(k – 2)(k – 1)(k + 1) A 16.8 hay A 128 Mặt khác ba số nguyên liên tiếp k, k – 2, k – 1, k + phải có số chia hết A mà (3; 128) = nên A 384 Vậy A = n4 – 4n3 – 4n2 + 16n 384 với n chẵn n > 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài : ( điểm) a/ (1,5đ) Rút gọn Q x 9 x x 1 Q x 5 x 6 x 2 3 x x 9 x 2 x 9 x 3 x 3 x x 1 x 2 x 3 x x 1 x 2 x 3 0,5đ x 1 x x 1 x 3 0,5đ x x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 0,25đ ( x 0, x 4, x 9) 0,25đ (1,5đ) b/ Tìm giá trị x để Q < 1: Q x 1 1 0 x 3 x 3 x 3 x9 Kết hợp điều kiện có Q < ≤ x < x ≠ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài : ( điểm)A a/ Chứng minh ΔAIB = ΔCMB Chứng minh ΔBMI B 600 ) Chứng minh B1 B3 ( B1 B2 B Chứng minh ΔAIB = ΔCMB (c.g.c) O I 0,5đ 0,5đ 0,5đ B C D M b/ MA = MB + MC Từ ΔAIB = ΔCMB IA = CM MI + IA = MC + MB hay MA = MB + MC 1 = + c/ MD MB MC MB MD MB.MC = MD = Chứng minh ΔAMC ΔBMD (g.g) MA MC MA MB.MC MD = (vì MA = MB + MC ) MB+MC MC + MB MC MB = MD MC.MB MC.MB MC.MB 1 = + Hay MD MB MC Bài : ( điểm) M Đặt BM = BN = DP = DQ = x B x C Ta có SMNPQ = SABCD – SMBN – SNAP – SPDQ - SMCQ N A P Q D 1 SMNPQ = 20.30 - x - x - (20 x )(30 x) 2 - (20 x )(30 x) SMNPQ = 600 – x2 – (20 – x)(30 – x) = 600 – x2 – 600 + 50x – x2 = - 2x2 + 50x = -2(x2 – 25x) = -2(x2 – 25x + 12,52) + 2.12,52 = -2(x – 12,5)2 + 312,5 ≤ 312,5 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ SMNPQmax = 312,5 (cm2) x - 12,5 = hay x = 12,5 cm Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn 312,5 cm2 điểm M, N, P, Q cách B D khoảng 12,5 cm 0,25đ 0,25đ ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP TP PLEIKU NĂM HỌC 20 09 – 2010 MÔN THI : TOÁN - ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM - ĐỀ CHÍNH THỨC Bài : (2... 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài : ( điểm) a/ (1,5đ) Rút gọn Q x 9 x x 1 Q x 5 x 6 x 2 3 x x 9 x 2 x 9 x 3 x 3 x x 1 x 2 x 3 x ... 2 x 2 x 2 x 3 x 3 0,25đ ( x 0, x 4, x 9) 0,25đ (1,5đ) b/ Tìm giá trị x để Q < 1: Q x 1 1 0 x 3 x 3 x 3 x 9 Kết hợp điều kiện có Q < ≤ x < x ≠ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài