Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN Chuyên đề: Một số phơng pháp tìm gtln - gtnn I Phơng pháp tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ biểu thức cách đa dạng Ax Ax a, Cơ sở lý luận - Trong tập hợp số (nguyên , hữu tỷ , số thực) không âm số có giá trị nhỏ - Trong tập hợp số (nguyên , hữu tỷ , số thực) âm số có giá trị lớn - Từ ta có kết luận : Nếu M = Ax / Ax GTNN Ax = Nếu M = Ax / Ax GT LN Ax = b, Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Ax = 2x2 8x +1 với x số thực Lời giải : Ta có Ax = 2x2 8x +1 = 2( x- )2 Ta có với x (x- )2 Nên ta có 2( x- )2 -7 Vậy Ax đạt giá trị nhỏ -7 x=2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức: Mx = - 5x2 4x + với x số thực Lời giải: Ta có Mx = - 5x2 4x + = -5 ( x + Với giá trị x ta có : -5 ( x + Ta có GTLN Mx = 2 ) + 5 2 ) Vậy Mx (dấu = xảy x = - 5 với x = - 5 II Phơng pháp giải toán tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số cách đa dạng Ax Ax k k Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x + 15 x + 16 Vói x số thực dơng 3x x + 15 x + 16 ( x 4) 23 ( x 4) 23 23 Lời giải: Ta có Ax = = + với x >0 + 3x 3x 3x 23 Vậy GTNN Ax = với x= Ax = Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn biểu thức: x + x + 10 với x thuộc tập hợp số thực x + 2x + 1 x + x + 10 Lời giải:Ta có Mx= =3+ Vì nên ta có 2 ( x + 1) + ( x + 1) + 2 x + 2x + M x= Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN Mx = + ( x + 1) + + 0,5 = 3,5 Vậy GTLN Mx = 3,5 với (x+1)2 = hay x= -1 Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn biểu thức: Fx,y = xy + y ( y x) + với x, y số thực x2 y4 + 2y4 + x2 + xy + y ( y x) + y4 +1 = y4 +1 với giá trị x2 y4 + 2y4 + x2 + ( y + 1)( x + 2) x nên ta chia tử mẫu cho y4 +1 ta đợc : Fx,y = x2 với x nên x2 + x +2 1 với x ,và ta có Fx,y = 2 x +2 Vậy Fx,y dật GTLN = với x=0, y lấy giá trị tuỳ ý Lời giải:Ta có Fx,y = III Tìm GTLN, GTNN biểu thức đại số cách áp dụng bất đẳng thức Côsi 1.Bất đẳng thức Côsi : Với số dơng a,b, c ta có: a + b ab đạt đợc dấu = a=b a + b+ c abc đạt đợc dấu = a=b = c Các ví dụ : Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 8x + với x > x 2 8x + Lời giải:Ta có Ax = = 8x + Ta thấy 8x hai đại lợng lấy giá trị dơng x x x áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng 8x ta có: x 2 8x + x = 16 = dấu = xẩy 8x = = > x = x x x Vậy GTNN Ax = với x = Ax = Ví dụ : Tìm giá trị lớn biểu thức: Bx = 16x3 - x6 với x thuộc tập hợp số thực dơng Lời giải: Trớc hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng đợc bất đẳng thức Côsi ta có Bx = 16x3 - x6 = x3(16- x3) Ta có x3 > , 16 x3 > 16 > x3 hay x < 16 (*) ta thấy x3 16 x3 hai đại lợng dơng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x3 16- x3 ta có x (16 x ) x + 16 x = 16 suy x3( 16 x3) 64 dấu = xẩy x3 = 16- x3 => x = (Thoả mãn *) GTLN Bx = 64 , với x=2 IV Giải toán cực trị đại số phơng pháp đặt ẩn phụ : Ví dụ : Với giá trị x biểu thức Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN x + 16 x + 56 x + 80 x + 356 Px = đạt giá trị nhỏ x + 2x + 256 x + 16 x + 56 x + 80 x + 356 Lời giải: Ta có : Px = = 4x2 + 8x+ 20 + 2 x + 2x + x + 2x + Vì x2 + 2x +5 = (x+1)2 +4 > (*) nên Px xác định với x ta đặt 256 256 với y > , ta thấy 4y hai đại lợng y y 256 dơng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng 4y ta có : y 256 256 256 y = 2.2.16 = 64 Dấu = xẩy 4y = 4y + => y = y = -8 y y y y = x2 + 2x + + , ta có Px = 4y + từ tính đợc x= -3 x=1 Vậy với x=-3 x=1 GTNN Px = 64 Ví dụ : Tìm giá trị lớn biểu thức : Qx = (x2- 2x + 2)(4x- 2x2+ 2) với x thuộc tập hợp số thực Lời giải: Đặt x2- 2x +2 = y ta có 4x 2x2 + = -y +6 Vậy Qx = y ( 6- 2y) Ta có 2Qx = 2y(6-2y) , ta thấy x2- 2x+2 = (x- 1)2 +1 >0 => y >0 => 6-2y > y y (6 y ) => Qx dấu = xẩy 2y = 6- 2y => y = 1,5 thay vào ta có x2- 2x +2 = 1,5 => x = 1+ GTLN Qx = 4,5 với x = 1+ 2 x= Vậy 2 2 x= - 2 Ví dụ 10 : Tìm giá trị lớn biểu thức : Hx = (8 + x2 + x )(20 x2 x) với x số thực tuỳ ý Lời giải: Ta có : * 8+ x2 + x =( x+ 31 ) + >0 với giá trị x *20 x2 x > -5 < x < Nh Hx = (8 + x2 + x )(20 x2 x) >0 -5 < x 0 Hãy tìm GTNN A x + 2x + x x + 14 4: Cho biểu thức : B= Tìm GTLN B x x + 12 x + 15 x + 16 5: Cho biểu thức: F = Với x >0 Hãy tìm GTNN F 3x x2 6: Cho biểu thức: A = Hãy tìm GTLN A 1+ x4 ( x + 2)( x + 8) 7: Cho biểu thức: Y = Với x > Hãy tìm GTNN Y x x3 + 2x 2x 8: Cho biểu thức: Y = Tìm GTNN cua Y x VIII Hớng dẫn giải đáp số : 3 Bài 1:Ta có : Q = (2 x 1) + Vậy GTLN Q = , với x= 0,5 Bài 2: Ta có P = x=1 ( x 1) ( x 1) với x nên P Vậy GTLN P= Vì x2 + x2 + 1 Bài 3:Ta có : A= - x + + Để A đạt giá trị nhỏ x + + đạt GTLN muốn x x 1 x+ + phải đạt GTNN Mà x> nên > áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x x x 1 ta có : x + x = Dấu = xẩy x x x Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN x = => x= 1; x = -1 (Loại ) x Vậy GTNN A = - = , với x= 4 2 x x + 14 Bài 4: Ta có : B= = 1+ ( x 3) + Ta thấy B có GTLN ( x 3) + phải x x + 12 đạt giá trị lớn , (x-3)2 + phải đạt giá trị nhỏ Ta có (x- 3)2 + với x Vậy GTLN B = , với x = 3 x 16 x + 15 x + 16 Với x >0 chia tử cho mẫu ta có F = + + x > 3x 3x x 16 x 16 x 16 Nên > 0; > áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : + = ; Dấu = xẩy 3x 3x 3 3x 23 x = Vậy GTNN F = + = ; với x = 3 1 x2 Bài 6: Ta có : A = với x A = A đạt GTLN 2 + x nhỏ , + x x 1+ x x2 ta thấy x2 hai số dơng nên theo bất đẳng thức Côsi ta có: x 1 x2 + x = Dấu = xẩy x4 = => x= 1; x = -1 x x Vậy GTLN A = , với x= 1; x = -1 ( x + 2)( x + 8) 16 16 Bài 7: Ta có : Y = Với x > Y = x + + 10 x + 10 = 18 x x x 16 ( Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x ) Dấu = xẩy x = x Bài 5: Ta có F = Vậy GTNN Y = 18; với x = 5 x3 + 2x 2x ( với x 1) Y = ( x + )2 - 4 x Dấu = xẩy x = - Vậy GTNN Y = - ; với x = - Bài 8: Ta có : Y =