Nhóm tôpô đày đủ

1 Mục lục trang lời mở đầu ChơngI:Tổng quan nhóm tôpô Đ1.Nhóm tôpô Đ2 Nhóm ớc chuẩn nhóm thơng Đ3 Nhóm compact-nhóm liên thông 10 ChơngII:nhóm tôpô đầy đủ đầy đủ yếu 15 Đ1.Nhóm đầy đủ đầy đủ yếu 15 Đ2.Nhóm lũy linh lũy linh tổng quát 20 Đ3.Nhóm tôpô đầy đủ đầy đủ yếu 26 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 lời mở đầu Lý thuyết nhóm tôpô đời nh kết hợp tự nhiên lý thuyết nhóm lý thuyết không gian tôpô Trong khoá luận đề cập đến số lớp nhóm tôpô đặc biệt, chủ yếu lớp nhóm tôpô đầy đủ (tức nhóm tôpô chia đợc); nghiên cứu quan hệ tính chất đại số (chẳng hạn tính Z - A, tính đầy đủ) với tính chất tôpô chúng (chẳng hạn tính compact, tính liên thông) Khoá luận gồm chơng: Chơng I :Tổng quan nhóm tôpô Chơng II: Nhóm tôpô đầy đủ đầy đủ yếu Trong chơng I, nghiên cứu khái niệm nhóm tôpô nói chung Các cấu trúc quen thuộc nh nhóm tôpô, nhóm thơng tôpô, chơng này, tính chất đặc biệt không gian tôpô đợc gán cho nhóm để ta thu đợc nhóm compact, nhóm liên thông, Chơng II, giới thiệu khái niệm tính chất hai lớp nhóm đại số đặc biệt, nhóm đầy đủ với nhóm đầy đủ yếu, nhóm luỹ linh tổng quát (còn gọi Z - A nhóm) Tính đầy đủ nhóm compact tơng đơng với tính liên thông Còn nhóm compact địa phơng, tính đầy đủ yếu tơng đơng với tính liên thông nhóm tôpô aben tôpô Z - A, tính đầy đủ yếu tơng đơng với tính đầy đủ Chúng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Nguyễn Quốc Thơ - ngời thầy dìu dắt trình học tập Trờng Đại học Vinh tận tình hớng dẫn viết khóa luận chúng tôI xin chân thành cảm ơn Tiến sĩ Nguyễn Thị Hồng Loan đả cho nhiều bảo quý báu.Nhân dịp này, xin chân thành cảm ơn tới thầy, cô khoa Toán Trờng Đại học Vinh bạn bè động viên tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành khoá luận Tác giả Chơng I Tổng quan nhóm tôpô Đ1 Nhóm tôpô Định nghĩa 1.1.1 Nhóm tôpô G tập hợp G đợc trang bị cấu trúc nhóm cấu trúc tôpô thoả mãn điều kiện: i) ánh xạ f: G x G G ánh xạ liên tục (x, y) a xy ii) ánh xạ g: G G ánh xạ liên tục x a x-1 Khi ta nói cấu trúc nhóm cấu trúc tôpô tơng thích với Chú ý: điều kiện i) ii) tơng đơng với điều kiện sau ánh xạ : G x G G ánh xạ liên tục (x, y) a xy-1 Ví dụ: Giả sử G R nhóm cộng số thực với tôpô tự nhiên Khi đó, nhóm tôpô Mệnh đề 1.1.2 Giả sử G nhóm tôpô a phần tử xác định G Khi ánh xạ a) fa : G G b) a :G G c) f: G G x a xa x a ax x a x-1 đồng phôi Chứng minh: a ) ta chứng minh fa đồng phôi ta cần chứng minh : fa song ánh, fa , fa -1 liên tục Thật vậy: +) chứng minh fa song ánh x, y G, fa (x) = fa (y) xa = ya x = y (Vì G nhóm nên có luật giản ớc) Vậy fa đơn ánh - Lấy g G tồn x = ga-1 G cho fa(x) =xa=(ga-1)a=g(a-1a)=ge= g Vậy fa toàn ánh nên fa song ánh +) fa liên tục Giả sử x G W' lân cận phần tử y = xa.Vì G nhóm tôpô nên tồn lân cận chứa x, V chứa a cho : U x V w' Khi đó: fa (U) = Ua UV w',do fa liên tục +) fa -1 liên tục Vì G nhóm a G a-1 G fa1 liên tục Mặt khác fa fa1 (x) = fa( fa1 (x)) = fa (xa-1) = (xa-1)a = x(a-1a) = xe = x fa1 fa(x) = fa1 (fa(x) = fa1 (xa)a-1 = x(aa-1) = xe = x fa1 nghịch đảo fa fa1 = fa liên tục Vậy fa đồng phôi b) c) Chứng minh tơng tự Mệnh đề 1.1.3 Giả sử F tập đóng, U tập mở, p tập hợp tuỳ ý a phần tử nhóm tôpô G Khi Fa, aF, F -1 tập đóng, UP, PU, U-1 tập mở Chứng minh Theo mệnh đề 1.1.2 có a: G G x a ax f: G G phép đồng phôi Do đó: x a x-1 + U mở a(U) = aU mở G f(U) = U-1 mở G PU = UxU xP mở G + F đóng: a(F) = aF đóng G f(F) = F-1 đóng G Mệnh đề 1.1.4 Không gian tôpô G Nghĩa với hai phần tử p q nhóm G tìm đợc đồng phôi G lên nó, biến p thành q Chứng minh Thật vậy, lấy ánh xạ f = xa a = p-1q, ta có f thoả mãn điều kiện f(p) = q theo mệnh đề 1.1.2 f lại đồng phôi Nhận xét: Tính không gian G cho phép ta muốn kiểm tra tính chất địa phơng G ta cần làm điểm, chẳng hạn đơn vị Mệnh đề 1.1.5 Nếu P Q hai tập compact nhóm tôpô G tích PQ chúng compact Chứng minh: Ta xây dựng ánh xạ f: P ì Q PQ (x, y) a xy Ta chứng minh f liên tục Thật vậy, giả sử a P, b Q, c = ab W lân cận tuỳ ý điểm c G Do tính liên tục phép nhân nên tồn lân cận U V điểm a b P Q cho UV W Hiển nhiên f(U, V) W Và (U, V) lân cận điểm (a, b) P ì Q nên f liên tục Do tích P ì Q compact nên ảnh qua ánh xạ liên tục f PQ compact Đ2 Nhóm - ớc chuẩn - nhóm thơng Định nghĩa 1.2.1 Giả sử G nhóm tôpô, H tập khác nhóm tôpô G Khi H đợc gọi nhóm tôpô G hai điều kiện sau thoả mãn: i) H nhóm trừu tợng G Nghĩa a, b H ab-1 H ii) H đóng G (tức H = H ) Ví dụ: Giả sử nhóm cộng số thực với tôpô tự nhiên Khi đó, nhóm tôpô Ký hiệu nhóm cộng số nguyên Khi Nhóm tôpô N nhóm tôpô G đợc gọi ớc chuẩn N ớc chuẩn nhóm đại số G Mệnh đề 1.2.2 Giả sử H nhóm đại số nhóm tôpô G Khi đó, H nhóm tôpô với tôpô cảm sinh H tôpô cho G Nói riêng, nhóm H nhóm tôpô G nhóm tôpô Chứng minh: i ) Giả sử W lân cận c = ab -1 H Với a,b H c H (vì H nhóm tôpô G).Khi đó, tồn lân cận W c = ab-1 G cho W= W1 H mà G nhóm tôpô Tồn lân cận U1 a, V1 b G cho U1 V1 W1 Đặt U= U1 H ; V = V1 H U lân cận a H V lân cận b H cho UV-1 U1V2 W1 H = W UV-1 W Vậy H nhóm tôpô ii) G nhóm tôpô,H nhóm tôpô củaG Khi đó, H nhóm tôpô Thật vậy, H G H đóng G Khi đó, F đóng H Tồn F đóng G cho F = F1 H F đóng G (Vì F1 H đóng G) Đảo lại, F1 đóng G hiển nhiên F H đóng H Do dó tôpô G cảm sinh H trùng với tôpô H H nhóm tôpô Chú ý: 1) Giả sử M tập không gian tôpô G Khi M M 2) x M lân cận U x; U M Mệnh đề 1.2.3 Giả sử G nhóm tôpô H nhóm đại số ớc chuẩn đại số G.Khi H tơng ứng nhóm tôpô ớc chuẩn tôpô nhóm tôpô G Nếu H tập mở G H = H Chứng minh: a) Nếu H nhóm trừu tợng G Chứng minh: H nhóm tôpô G +) H đóng ( hiển nhiên) +) a, b H Ta chứng minh ab-1 H Thật vậy, lân cận W ab-1 tồn lân cân U a, V b cho : UV-1 W (vì G nhóm tôpô) a H U H x U H x H Vì x U U lân cận a tơng tự, Tồn y V, y H cho xy-1 H (Vì H nhóm trừu tợng G) ta lại có xy-1 UV-1 W xy-1 H W H W Vì W lân cận tuỳ ý ab-1 ab-1 H H nhóm trừu tợng G H nhóm tôpô G b) Nếu H ớc chuẩn trừu tợng G Ta chứng minh H ớc chuẩn tôpô G Thật vậy, H ớc chuẩn trừu tợng G H nhóm trừu tợng củaG H nhóm tôpô G (theo câu a) g G, h H ghg-1 H * Với lân cận W ghg-1 W mở nên g-1 Wg mở g-1 Wg h mà h H nên g-1Wg H Tồn x W: g-1xg H x gHg-1 H (vì H ớc chuẩn trừu tợng G) x W H W H , ghg-1 H H H Mặt khác H H H = H Mệnh đề 1.2.4 Giả sử C(G) = {g G gx = xg, x G} Khi C(G) ớc chuẩn tôpô G đợc gọi tâm G Chứng minh: Giả sử a, b C(G) Khi ax = xa by = yb, x, y G nên abx = axb = xab, x G ab C(G) Từ xa = ax, x G a-1(ax)a-1 = a-1(xa)a-1 = a-1x xa-1 = a-1x x G haylà a-1 C(G) C(G) nhóm trừu tợng G x G, h C(G) hx = xh nên xhx-1 = hxx-1 = he = h C(G) C(G) ớc chuẩn trừu tợng G Ta phải chứng minh C(G) đóng G Giả sử a C(G) tồn x G cho a' = x-1ax a Khi Vì G không gian quy nên tồn lân cận không giao U U' a a' Đặt V = C(G) U Thế a V , mâu thuẫn với U' V = Bởi x-1ax = a với x G a C(G) Do C(G) = C(G) Vậy C(G) đóng G Mệnh đề 1.2.5 Giả sử G nhóm tô tô N thành phần liên thông đơn vị e không gian tôpô G Khi N ớc chuẩn tôpô cúa G Chứng minh: N thành phần liên thông e nên N đóng G tức N = N x,y N xy-1 N Thật vậy, N liên thông Ny-1 liên thông mà y N Ny-1 yy-1 = e Ny-1 N xy-1 Ny-1 N g G, a N gag-1 N Vì N liên thông gNg-1 liên thông mà N e.Suy gNg-1 geg-1 = e gNg-1 N (Vì N tập liên thông lớn chứa e) gag-1 gNg-1 N Do N ớc chuẩn tôpô G Mệnh đề 1.2.6 Giả sử G nhóm tôpô H nhóm tôpô G, gọi G H tập hợp tất lớp ghép phải nhóm G theo nhóm H Thế G H không gian tôpô Chứng minh: Ta đa vào G H tôpô nh sau: Gọi hệ lân cận đầy đủ không gian G U* = {Hx/x U},*: = {U*/ U } Thì * hệ lân cận đầy đủ không gian G/H Vậy G H không gian tôpô Mệnh đề 1.2.7 Giả sử G nhóm tôpô N ớc chuẩn tôpô G.Khi nhóm thơng G/N nhóm tôpô Chứng minh: Theo mệnh đề 1.2.6 không G N không tôpô Ta phải chứng minh phép toán đại số nhóm thơng G N liên tục Thật vậy, giả sử A B G N , C = AB-1 W* lân cận C Khi W* = {Nx/x W}, W lân cận G Vì C W* Tồn c W: C = Nc Giả sử chứng minh a, b G; A = Na; B = Nb với c = ab-1 W ab-1 Tồn lân cận U a, v b cho UV-1 W Ký hiệu U*: = {Nx/x U}, V* U*(V*)-1 W* V*: = {Nx, x V}.Thì U*, V* *, U* A; 10 Vậy G/H nhóm tôpô Chú ý: sở G = {U*/U } sở G/H Định nghĩa 1.2.8 Giả sử G nhóm tôpô N ớc chuẩn Khi đó, nhóm thơng G/N (đồng thời nhóm tôpô) đợc gọi nhóm thơng nhóm tôpô G theo ớc chuẩn N Định nghĩa 1.2.9 Giả sử N1, N2, , Nm dãy hữu hạn nhóm tôpô Gọi G = {(x1, ,xm)/xi Ni/i = 1,m } Khi G' nhóm đại số không tôpô Thế phép toán nhóm G' liên tục không gian G' đợc gọi tích trực tiếp nhóm tôpô N1, N2, Nm ta viết: G' = N1 ì N2 ì ì Nm 23 Định lý 2.2.5 Nếu phần xoắn F nhóm luỹ linh tổng quát hữu hạn F = E, tức G nhóm phi xoắn Khi G có dãy tâm mà tất nhóm thơng nhóm aben phi xoắn đầy đủ Chứng minh: Xem [1] Định lý 2.2.6 Phần xoắn F nhóm luỹ linh tổng quát G đầy đủ yếu nhóm đầy đủ thuộc tâm G Chứng minh: Trớc hết ta chứng minh F nhóm xoắn tối đại Thật vậy, giả sử g1, g2 hai phần tử thuộc F Khi theo [1], G nhóm địa phơng luỹ linh H = {g1, g2} nhóm luỹ linh hữu hạn sinh cấp phần tử H hữu hạn nên H hữu hạn Vậy g g2 F Mặt khác, g F g-1 thuộc F Vì G nhóm luỹ linh tổng quát nên G có dãy tâm tăng E = Z0 Z1 Z2 Z = G với E đơn vị G, Z i G Zi + 1/Zi C(G/ Zi) Giả sử a F a e, an = e với n số tự nhiên Vậy tồn số cho a Z mà a Z + Ta chứng minh: = tức a Z1 + Nếu = 1, giả sử x phần tử thuộc G phần tử x n giao hoán đợc với Thật vậy, H = {a, x} nhóm luỹ linh a Z2, lớp hoán tử a nhỏ ta có [a, xn] = [a, x]n = [an, x] = [e, x] = e Vì G đầy đủ yếu nên phần tử G tích luỹ thừa bậc n số phần tử G Theo chứng minh trên, a C(G) điều trái giả thiết = + Giả thiết định lý đợc chứng minh đến < Giả sử = a Z + a G [x, a] Z ta có [x, a] = (x -1a-1x) phần tử có cấp hữu hạn tích hai phần tử có cấp hữu hạn Vậy [x, a] F Theo giả thiết quy nạp hoán tử thuộc Z nên phải thuộc vào Z1 tâm G Z2 Trái với giả thiết > 24 Vậy F nhóm thuộc vào tâm G = + Bây ta chứng minh F nhóm đầy đủ Giả sử F nhóm thực F với số hữu hạn F thuộc tâm G ớc G Do G/F0 nhóm đầy đủ luỹ thừa tổng quát phần xoắn F/F0 hữu hạn khác E Trái định lý Vậy F nhóm thực số hữu hạn Do F nhóm đầy đủ Định lý 2.2.7 Nếu G nhóm luỹ linh tổng quát đầy đủ yếu đầy đủ Chứng minh Vì G nhóm luỹ linh tổng quát đầy đủ nên có dãy tâm E Z0 Z1 Z = G (1) Với Z0 phần xoắn đầy đủ thuộc tâm G, tất nhóm khác có thơng nhóm phi xoắn đầy đủ aben Giả sử a phần tử tuỳ ý G, phơng trình xn = a có nghiệm G tồn dãy tâm (1) cho a Z nhng a Z +1 Do +1 nhóm đầy đủ aben nên tồn Z + Z phần tử x1 cho x1n Z = aZ Từ suy a = x1n a1 với a1 Z tồn cho a1 Z nhng a1 Z + Mặt khác ta có Z + 1/ Z đầy đủ aben thuộc tâm G/ Z nên Z + tồn x2 cho:a1 Z = (x2 Z )n n n n aZ1 = ( x1 Z1 ) ( x2 Z1 ) = ( x1 x2 ) Z suy a = (x1 x2)n a2, Với a2 Z n Tiếp tục trình ta có >1 >2 >> - đồng thời a = (x1,,x)na với a Z Ta có mà -1 cho a Z nhng a Z + Tiếp tục trình ta có a = (x1 x2 x + 1)n a + với a + Z Cuối cùng, số hữu hạn bớc ta có: a = (x1x2xt)nat với at Z0 25 n Vì Z0 đầy đủ nên tồn phần tử xt+1 Z0 cho xt +1 = at nghĩa a = (x1x2xt xt + 1)n Vậy G đầy đủ Định nghĩa 2.2.8 Nhóm G đợc gọi nhóm luỹ linh địa phơng nhóm hữu hạn sinh nhóm luỹ linh Mệnh đề 2.2.9 Nhóm luỹ linh tổng quát nhóm luỹ linh địa phơng Chứng minh: Thật giả sử cho nhóm G luỹ linh với dãy tâm tăng E = Z0 Z1 Z = G (1) Gọi số thứ tự độ dài dãy tâm này, ta quy nạp theo Với =1 G aben Định lý hiển nhiên Giả sử: định lý đợc chứng minh nhóm có độ dài dãy tâm nhỏ lấy G hệ hữu hạn phần tử a1, a2, , an (2) Nếu số lớn nhát phần tử (2) thuộc vào nhóm Z B đó, < nhóm có độ dài dãy tâm tăng mà < nên theo giả thiết quy nạp, nhóm {a1, a2, , an} luỹ linh Bây lại giả sử số lớn Khi tồn số lớn số tự nhiên k cho = + k Lấy tất hoán tử liên tiếp dạng [[[a, a], a],a] với chọn k+1 phần tử khác hệ (2) Số hoán tử nh hữu hạn tất hoán tử thuộc Z lại số lớn nhóm Z đó, < Giả sử H = {Z , a1, a2, , an } Ta xây dựng dãy tâm H cách sau: Bắt đầu dãy đoạn từ E đến Z dãy (1) Tiếp theo Z' + 1, tơng ứng với tâm nhóm thơng /, sau đến Z' + 2, tơng ứng với tâm nhóm thơng /, tiếp tục nh Bởi nhóm Z' + chứa tất hoán tử liên tiếp k phần tử hệ (2) nên nhóm Z' + chứa tất hoán tử liên tiếp k -1 phần tử hệ (2) tiếp tục nh Bằng cách nh vậy, dãy 26 tâm tăng đến H không k bớc, tức trở thành dãy tâm tăng mà độ dài không vợt qua + k Bởi lớn nhất, < , nên + k thực nhỏ nhỏ Từ đó, theo giả thiết quy nạp, suy tính luỹ linh nhóm {a1, a2, , an} Mệnh đề đợc chứng minh 27 Đ3 Nhóm tôpô đầy đủ đầy đủ yếu Tính đầy đủ(đầy đủ yếu)của nhóm đại số đợc nghiên cứu lý thuyết nhóm mà kết chúng tôI trìng bày mục 1,2 mục nghiên cứu tính chất nhóm đầy đủ có hay không đợc xem xét với t cách nhóm tôpô Định lý 2.3.1 Giả sử G nhóm compact địa phơng với nhóm thơng G* = G G nhóm compact Khi G nhóm đầy đủ đầy đủ yếu Chứng minh Vì nhóm G* compact nên theo định lý 1.3.5 tồn ớc chuẩn * * H* cho nhóm thơng G H * hữu hạn Theo định lý 2.1.2 theo G H * hữu hạn nên không đầy đủ (hoặc đầy đủ yếu) Theo định lý 2.1.3 nhóm th* ơng G H * không đầy đủ (đầy đủ yếu) nên G* không đầy đủ (đầy đủ yếu).Tơng tự nh G* = G/H không đầy đủ (đầy đủ yếu) nên G không đầy đủ (đầy đủ yếu) Định lý 2.3.2 Giả sử G nhóm aben, compact địa phơng, với nhóm thơng G G compact Khi nhóm G nhóm đầy đủ G nhóm liên thông Chứng minh Giả sử G nhóm aben, compact địa phơng, với nhóm thơng G/G0 compact G nhóm đầy đủ Ta chứng minh G nhóm liên thông Thật vậy, theo Định lý 2.1.3 nhóm thơng nhóm đầy đủ nhóm đầy đủ, nên G G nhóm đầy đủ Giả sử G G0 Khi G G0 nhóm compact hoàn toàn không liên thông Theo Định lý 1.3.5 tồn nhóm G G ớc chuẩn mở K* để 28 G G ữ nhóm hữu hạn Theo Định lý 2.1.2 nhóm hữu hạn K * đầy đủ Điều mâu thuẫn với G/G0 nhóm đầy đủ Vậy G = G0 tức G liên thông Ngợc lại, giả sử G nhóm aben, compact địa phơng liên thông Ta chứng minh G đầy đủ Vì ánh xạ f: G G liên tục nên f(G) nhóm compact đóng x a xn Do G f (G ) liên thông xoắn Nhóm Lie liên thông compact, có nhiều phần tử nhóm xoắn nên G f (G ) = {e*} Vậy G = f(G) điều có nghĩa phơng trình xn = g, với nN gG có nghiệm G, tức G đầy đủ Do G compact khẳng định đợc chứng minh Còn G compact địa phơng nhng liên thông aben G = B ì Hm B nhóm compact địa phơng liên thông, H nhóm vectơ chiều Vì B H nhóm đầy đủ nên tích G chúng củng đầy đủ Định lý 2.3.3 Giả sử G nhóm compact Khi G nhóm đầy đủ G nhóm liên thông Chứng minh: Điều kiện cần: giả sử G compact đầy đủ ta chứng minh G liên thông Thật vậy, ta có G G nhóm compact hoàn toàn không liên thông nên G G G0 nhóm hữu hạn Theo định lý 2.1.2, nhóm hữu hạn G0 nhóm đầy đủ Điều mâu thuẫn với định lý 2.1.3 thơng G G nhóm đầy đủ phải đầy đủ Vậy G = G0 tức G liên thông 29 Điều kiện đủ: giả sử G compact, liên thông Ta chứng minh G đầy đủ Thật vậy, với g G, tồn nhóm T G compact aben liên thông cho g T theo Định lý 2.3.2 T đầy đủ Nghĩa phơng trình xn = g n N có nghiệm T tức G suy G đầy đủ Định lý 2.3.4 Giả G nhóm compact địa phơng với thơng G G compact Khi G đầy đủ yếu G liên thông Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử G compact địa phơng đầy đủ yếu ta chứng minh G liên thông Thật vậy, giả sử G không liên thông Thế G G hoàn toàn không liên thông Hơn G G compact nên theo định lý 2.3.3 G không đầy đủ yếu Trái giả thiết G liên thông Điều kiện đủ: giả sử G compact địa phơng liên thông Ta chứng minh G đầy đủ Thật theo định lý Manxev- cartan- Iwasawa, G có phân tích G=B.H1.H2 Hn Trong B nhóm compact liên thông tối đại nhóm cộng vectơ chiều Hi (i=1, n ) nhóm đầy đủ Mỗi phần tử g G viết g = bh1hm bB, hiHi, i = 1, m Do B Hi (i=1, m ) nhóm đầy đủ nên phơng trình = b có nghiệm B yin = hi (i = 1, m ) có nhgiệm Hi (i= 1,m ), Nghĩa tồn x1 B Hi cho x1n =b ,ain =bi (i= 1,m ) Khi g= x1n a1n amn Do G đầy đủ yếu xn 30 Định lý 2.3.5 Giả sử G nhóm compact địa phơng, lũy linh tổng quát đầy đủ yếu Khi tập hợp B tất phần tử compact G ớc chuẩn đầy đủ thuộc tâm nhóm G Chứng minh: Trớc hết ta chứng minh tập hợp B tất phần tử compact nhóm G nhóm đại số Thật vậy, giả sử g1, g2 hai phần tử tuỳ ý B theo Định lý 2.2.9 nhóm lũy linh tổng quát nhóm luỹ linh địa phơng, nhóm {g1,g2}đợc sinh hai phân tử g1, g2 nhóm luỹ linh Mặt khác, theo [5] bao đóng nhóm luỹ linh hữu hạn sinh phần tử compact nhóm compact nên { g ,g } { compact Mà g1g2 g1 ,g } tức g1g2 phần tử compact, g1g2 B Nếu g B từ {g} = {g-1} ta có g-1 B Vậy B nhóm đại số Bây ta chứng minh B đóng Thật vậy, theo định lý Manxev - cartan - Iwasawa có phân tích G = C H 1H2Hn Trong C nhóm compact tối đại Hi (i = 1, n ) nhóm vec tơ chiều Do G compact địa phơng đầy đủ yếu Theo Định lý 2.3.4 G liên thông Do tất nhóm compact tối đại G liên thông B hợp chúng liên thông, theo kết [1] B compact B compact, liên thông đóng Theo Định lý 2.3.3 B đầy đủ Cuối ta chứng minh B thuộc tâm G Xét ánh xạ : G Aut (B) g: B B g g b g-1bg Vì B ớc chuẩn nên g-1 bg B g(b) xác định nên ánh xạ Hơn đồng cấu liên tục nên ảnh (G) nhóm G liên thông liên thông Vì (G) liên thông Aut (B) nhóm rời rạc nên (G) = e Aut(B) tức g ánh xạ đồng với g hay B C(G) 31 Hệ 2.3.6: Nếu tôpô G rời rạc từ Định lý 2.3.5 ta thu đợcĐịnh lý 1.2.6 Định lý 2.3.7 Giả sử nhóm tôpô G compact địa phơng, luỹ linh tổng quát với G G0 compact Khi G nhóm đầy đủ liên thông Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử G nhóm tôpô compact địa phơng lũy linh tổng quát đầy đủ Vì G G nhóm compact hoàn toàn không liên thông đầy đủ nên G phải nhóm liên thông Điều kiện đủ: Giả sử G nhóm tôpô compact địa phơng, lũy linh tổng quát liên thông Theo Định lý 2.3.4, G nhóm đầy đủ yếu Ta chứng minh G đầy đủ Nếu G aben điều kiện đủ đợc chứng minh G không aben ta chứng minh G có dãy nhóm bất biến E = B0 B1 B = G (1) Trong Bi G, Bi +1 Bi nhóm đầy đủ thuộc tâm G Bi nhóm thơng G B phần tử compact Gọi B nhóm compact tối i đại G Khi B xuyến đầy đủ C(G) Lấy B1 = B G B nhóm phần tử compact Theo kết [3] tâm G B có ảnh đồng cấu nhóm G B Ký hiệu ảnh 1 B2 B1 Vậy đầy đủ B2 B1 nhóm aben Ngoài ra, tạo ảnh đầy đủ nên 32 B Tiếp tục trình với thơng G B ta có nhóm B C ( G B ) 2 ảnh G B tiếp tục nh ta có dãy E = B0 B1 B = G (2) Trong B+1 B đầy đủ, thuộc tâm nhóm G B phần tử compact Giả sử g G, n N, ta chứng minh phơng trình: xn = g có nghiệm G Thật vậy, theo cách xây dựng với g G, tồn B+1 số để g B , nhng g B + Vì B nhóm đầy đủ, aben nên tồn x n B + để (x1 B)n = gB = x1 b Do tồn phần tử b1 B cho g= x1n b1 Mặt khác, tồn số < cho b1 B nhng b1 B +1 Ta có: gB = ( x1B ) ( x B ) = ( x1x ) B n n n Khi tồn b2 B cho g = (x1x2)nb2 Tiếp tục trình ta đợc dãy số > 1>r -1 đồng thời g =(x1x2xr )nbr, với br B r Khi tồn số r < r - cho br B r nhng br B r +1 Sau số hữu hạn bớc ta đợc br B0 = E br B1 Vì B0, B1 C(G) nhóm đầy đủ nên tồn phần tử xr + cho x rn+1 = b2.Vậy g = (x1,,xr + 1)n suy G nhóm đầy đủ , C, Thí dụ: Giả sử G = nhóm với phép nhân ma trận thông thờng Khi G nhóm compact địa phơng liên thông Ta chứng minh G nhóm đầy đủ 33 Giả sử g = với Khi đó, phơng trình x2 = g nghiệm G Thật vậy, giả sử thoả mãn phơng trình x2 = g Khi =i + = nên + = i i = 0, trái với giả thiết Ta ý nên G không aben * , C G / G C Hơn đạo nhóm G' = nhóm liên thôngnhng nhóm luỹ linh C(G) = {e} Thật = ( , C, ) = Hệ 2.3 8: Với tôpô rời rạc, lũy linh tổng quát,nhóm G nhóm đầy đủ G ớc chuẩn số hữu hạn Định lý 2.3.9 Giả sử G nhóm luỹ linh tổng quát, đầy đủ Khi đó, phần xoắn Tôpô F nhóm G nhóm compact hoàn toàn không liên thông F = E G nhóm phần tử compact Đồng thời G tồn dãy tâm tăng mà tất nhóm thơng aben, đầy đủ, phần tử compact 34 Chứng minh: Theo kết [5] F ớc chuẩn G gồm tất phần tử compact G Ta chứng minh G F phần tử compact Thật vậy, ánh xạ f: G G F đồng cấu tự nhiên từ G lên tập thơng G F G F g* phần tử compact nhóm G F {f ( g ) , F} * nhóm compact G chứa F Điều mâu thuẫn với F nhóm compact tối đại Vậy G F không chứa phần tử compact Mặt khác, theo Định lý 2.1.4 nhóm xoắn tối đại F nhóm G đầy đủ đầy đủ Nhng theo giả thiết, F vừa compact vừa hoàn toàn không liên thông nên F đầy đủ đợc Do mâu thuẫn nên F = E Vì G Z - A nhóm nên tâm Z khác E Khi đó, theo định lý Grun, Z tồn nhóm L ảnh đồng cấu G Do G đầy đủ nên L1 đầy đủ Hơn L1 aben, phần tử compact ớc FL1 chuẩn G Phần xoắn G L trùng với phần xoắn L1 Ta chứng minh G L phần tử compact Thật vậy, ta có aL phần tử FL1 L compact G L nhờ L1 L1 F Ta suy a phần tử compact G Nhng G phần tử compact nên G L phần tử compact 35 Tiếp tục nh với nhóm G L ta có nhóm L2 thuộc tâm G L 1 L2 L1 aben, đầy đủ, phần tử compact cuối ta đợc dãy E B0 B1 B = G dãy tăng thoả mãn điều kiện định lý Nhận xét: Nếu tôpô G rời rạc từ Định lý 2.3.8 ta thu đợc ĐAịnh lý 2.2.5 36 Kết luận Khoá luận giải đợc vấn đề: 1.Trong điều kiện không gian nhóm compact(hoặc compact địa phơng kèm theo vài điều kiện khác) tính đầy đủ nhóm tơng đơng với tinh liên thông 2.Các Định lý 2.2.5, 2.3.5, 2.2.6 chơng II đợc chuyển sang để đợc định lý tơng ứng mục chơng II Định lý 2.3.9, 2.3.5 tính hữu hạn nhóm đại số đợc đợc thay tính compact nhóm tôpô sau hoàn thành khoá luận thấy vấn đề nh:liệu làm tơng tự nh với lớp nhóm giải đợc hay không vấn đề sẻ tiếp tục nghiên cứu thời gian tới 37 Tài liệu tham khảo [1] A I Kurosh,Lý thuyết nhóm, Moskva, 1954 [2] A B Pontjagin, Nhóm liên tục, Moskva, 1975 [3] A I Kurosh, Nhóm giải đợc nhóm luỹ linh, Y M H Z, N 05, 1947, 18-59 [4] B P Platonov,Nhóm xoắn nhóm compact nhóm tôpô [5] B P Platonov, Cấu trúc nhóm tôpô địa phơng xạ ảnh luỹ linh Nauka T.15 - N07, 1971 [6] H Yamabe, On the conjecture of Iwasawa andGleason, Ann of Math, 58, N02, 1953 [7] Trần Văn Hạo - Hoàng Kỳ, Bài tập Đại số, Nxb Đại học THCN, Hà Nội, 1980 [8] Lê Quốc Hán, Nhóm tôpô (Bài giảng chuyên đề Cao học), Vinh, 1998 [9] O I Smith, Nhóm giải đợc vô hạn, Math, CCCP, N017, 1947, 45 - 162 [10] R Baer, Nhóm luỹ linh tổng quát Trans amer Math, 47, 1940, 393 - 343 [11] V I Ploskin, Nhóm giải đợc nhóm luỹ linh tổng quát, YM H13 N04, 1958, 89 - 172 [12] C.H Trernhicop, Nhóm địa phơng hữu hạn có cấp vô hạn với hữu hạn nhóm Sylow, Math CCCP, N052, 1960, 647 - 652 [...]... là nhóm tôpô. Tâm C(G) của nhóm đại số G là ớc chuẩn tôpô của nhóm tôpô G Mổi nhóm con N của nhóm tôpô C(G) cũng là ớc chuẩn tôpô của nhóm tôpô G và đựoc gọi là ớc chuẩn trung tâm Chứng minh: +) C(G) là ớc chuẩn tôpô của G(Xem mệnh đề 1.2.4) +) Xét N là nhóm con tuỳ ý của C(G) Vì N C(G) nên N G Hơn nữa N tt là nhóm con của nhóm tôpô C(G) nên N đóng trong C(G) và do đó đóng trong G vậy N ớc chuẩn tôpô. .. (đầy đủ yếu) nên G cũng không đầy đủ (đầy đủ yếu) Định lý 2.3.2 Giả sử G là nhóm aben, compact địa phơng, với nhóm thơng G G 0 compact Khi đó nhóm G là nhóm đầy đủ nếu và chỉ nếu G là nhóm liên thông Chứng minh Giả sử G là nhóm aben, compact địa phơng, với nhóm thơng G/G0 compact và G là nhóm đầy đủ Ta chứng minh G là nhóm liên thông Thật vậy, theo Định lý 2.1.3 nhóm thơng của nhóm đầy đủ cũng là nhóm. .. của nhóm con {a1, a2, , an} Mệnh đề đã đợc chứng minh 27 Đ3 Nhóm tôpô đầy đủ và đầy đủ yếu Tính đầy đủ( đầy đủ yếu)của nhóm đại số đã đợc nghiên cứu trong lý thuyết nhóm mà kết quả chúng tôI đã trìng bày trong mục 1,2 trong mục 3 này chúng tôi nghiên cứu các tính chất của nhóm đầy đủ có còn nữa hay không khi nó đợc xem xét với t cách là nhóm tôpô Định lý 2.3.1 Giả sử G là nhóm compact địa phơng với nhóm. ..11 Đ3 Nhóm compact và nhóm liên thông trong mục này chúng ta sẻ xét một vài lớp nhóm tôpô đặc biệt không tơng tự với một lớp nhóm đại số nào Định nghĩa 1.3.1 Nhóm tôpô G đợc gọi là nhóm liên thông nếu không gian tôpô G liên thông Nhóm tôpô G đợc gọi là nhóm hoàn toàn không liên thông nếu không tôpô G hoàn toàn không liên thông Nhận xét: Nếu gọi thành phần liên thông của đơn vị của nhóm G là G0... là nhóm compact Khi đó G không phải là nhóm đầy đủ hoặc đầy đủ 0 yếu Chứng minh Vì nhóm G* compact nên theo định lý 1.3.5 tồn tại một ớc chuẩn * * mới H* sao cho nhóm thơng G H * hữu hạn Theo định lý 2.1.2 theo G H * hữu hạn nên không đầy đủ (hoặc đầy đủ yếu) Theo định lý 2.1.3 do nhóm th* ơng G H * không đầy đủ (đầy đủ yếu) nên G* cũng không đầy đủ (đầy đủ yếu).Tơng tự nh vậy G* = G/H không đầy đủ. .. phải là nhóm đầy đủ yếu, do đó cũng không đầy đủ Chứng minh: Giả sử G là nhóm hữu hạn có k phần tử k > 1 Nếu G đầy đủ yếu thì nó sẽ đợc sinh ra bởi các luỹ thừa bậc k của các phần tử trong G k k k G = { g1 g 2 g K } = { e} 0(G) = 1 , trái với giả thiết là k > 1 Vậy G không đầy đủ yếu và do đó G, không đầy đủ Mệnh đề 2.1.3 a) Nhóm thơng của một nhóm đầy đủ (đầy đủ yếu) là nhóm đầy đủ (đầy đủ yếu) b)... sử G là nhóm tôpô compact địa phơng lũy linh tổng quát và đầy đủ Vì G G là nhóm compact hoàn toàn không liên thông đầy đủ nên G 0 phải là nhóm liên thông Điều kiện đủ: Giả sử G là nhóm tôpô compact địa phơng, lũy linh tổng quát và liên thông Theo Định lý 2.3.4, G là nhóm đầy đủ yếu Ta chứng minh G đầy đủ Nếu G aben thì điều kiện đủ đợc chứng minh còn nếu G không aben ta chứng minh G có dãy nhóm con... đó B là nhóm compact địa phơng liên thông, H là nhóm vectơ một chiều Vì B và H là các nhóm đầy đủ nên tích G của chúng củng đầy đủ Định lý 2.3.3 Giả sử G là nhóm compact Khi đó G là nhóm đầy đủ khi và chỉ khi G là nhóm liên thông Chứng minh: Điều kiện cần: giả sử G compact và đầy đủ ta sẽ chứng minh G liên thông Thật vậy, ta có G G là nhóm compact hoàn toàn không liên thông nên 0 G G G0 là nhóm hữu... đạo nhóm G' = 1 0 1 0 là nhóm liên thôngnhng không phải là nhóm luỹ linh vì C(G) = {e} Thật vậy 1 1 0 1 0 1 = 0 1 0 1 ( , C, 0 ) = 0 Hệ quả 2.3 8: Với tôpô rời rạc, lũy linh tổng quát ,nhóm G là nhóm đầy đủ khi và chỉ khi G không có ớc chuẩn chỉ số hữu hạn Định lý 2.3.9 Giả sử G là nhóm luỹ linh tổng quát, đầy đủ Khi đó, nếu phần xoắn Tôpô F của nhóm G là nhóm. .. đó Hợp của một chuỗi tăng các nhóm xyclic cấp p, p2pn là một nhóm Định nghĩa 2.1.12 Một nhóm là hợp của một chuỗi tăng các nhóm xyclic cấp p, p2, p3pn cũng với tất cả các nhóm đẳng cấu với nó đợc gọi là nhóm kiểu p và đợc ký hiệu là C(p) Định lý 2.1.13 Một nhóm aben đầy đủ bất kỳ đều phân tích đợc thành tích trực tiếp của một tập các nhóm đẳng cấu với nhóm hữu tỷ Q và các nhóm kiểu p theo các số nguyên ... đại số nhóm tôpô G Khi đó, H nhóm tôpô với tôpô cảm sinh H tôpô cho G Nói riêng, nhóm H nhóm tôpô G nhóm tôpô Chứng minh: i ) Giả sử W lân cận c = ab -1 H Với a,b H c H (vì H nhóm tôpô G).Khi... 1.3.4: giả sử G nhóm tôpô. Tâm C(G) nhóm đại số G ớc chuẩn tôpô nhóm tôpô G Mổi nhóm N nhóm tôpô C(G) ớc chuẩn tôpô nhóm tôpô G đựoc gọi ớc chuẩn trung tâm Chứng minh: +) C(G) ớc chuẩn tôpô G(Xem mệnh... phơng, với nhóm thơng G/G0 compact G nhóm đầy đủ Ta chứng minh G nhóm liên thông Thật vậy, theo Định lý 2.1.3 nhóm thơng nhóm đầy đủ nhóm đầy đủ, nên G G nhóm đầy đủ Giả sử G G0 Khi G G0 nhóm compact