CẤU TRÚC DỮ LIỆU VÀ GIẢI THUẬT

Thuật toán„ Giới thiệu thuật toán và đánh giá thuật toán „ Xét bài toán tìm phần tử lớn thứ k trong mảng „ Xét bài toán tìm phần tử lớn thứ k trong mảng „ Sắp xếp giảm dần toàn mảng „ Sắ

CẤU TRÚC DỮ LIỆU

CẤU TRÚC DỮ LIỆU

VÀ GIẢI THUẬT

Lý thuyết

Thuật toán

„ Giới thiệu thuật toán và đánh giá thuật toán

„ Xét bài toán tìm phần tử lớn thứ k trong mảng

„ Xét bài toán tìm phần tử lớn thứ k trong mảng

„ Sắp xếp giảm dần toàn mảng

„ Sắp xếp k phần tử đầu tiên và chèn dầnp p p

„ Chương 7 giới thiệu 1 thuật toán đủ tốt

„ Xét bài toán trò chơi ô chữ

Thuật toán

¾ Có thể đánh giá dựa trên thời gian chạy

¾ Làm thế nào để đánh giá thời gian chạy của g g ạy một chương trình?

¾ Đánh giá thời gian chạy không thực sự dựa g g ạy g ự ự ự trên mã lệnh của chúng.

Đệ quy và giải thuật đệ quy

„ Khái niệm : Ta nói một đối tượng là đệ quy nếu nó bao gồm chính nó như một bộ phận hoặc nó được định nghĩa dưới dạng chính nó.

Đệ quy và giải thuật đệ quy

„ Giải thuật đệ quy và thủ tục đệ quy :

„ Nếu lời giải của bài toán T được thực hiện bằng lời giải của bài toán T’ có dạng giống T, thì đó là một lời giải

đệ quy Giải thuật tương ứng với lời giải như vậy gọi là giải thuật đệ quy Điểm chú ý là T’ phải “nhỏ hơn” T

giải thuật đệ quy Điểm chú ý là T phải nhỏ hơn T

Đệ quy gián tiếp (indirectly rescursive) : Chứa lời gọi

Đệ quy gián tiếp (indirectly rescursive) : Chứa lời gọi

Đệ quy và giải thuật đệ quy

„ Thiết kế giải thuật đệ quy :

„ Hàm N!

„ Hàm Fibonaci

„ F(n) = 1 nếu n<=2( )

„ F(n) = F(n-2) + F(n-1) if n>2

„ Viết một số theo thứ tự ngược lại Ví dụ : ộ ự g ợ ạ ụ

2893 được viết lại là 3982

Đệ quy và giải thuật đệ quy

1 void printOut( int n ) // In số n không âm

Đệ quy và giải thuật đệ quy *

„ Bài toán “Tháp Hà Nội”

„ Phát biểu bài toán :

„ Phát biểu bài toán :

„ Có 3 cọc, cần chuyển đĩa từ cọc A sang cọc C

„ Cọc trung gian Bọ g g

„ Mỗi lần chỉ được chuyển 1 đĩa

„ Không bao giờ có trường hợp đĩa to ở trên đĩa nhỏ

„ Tất cả các đĩa có kĩch cỡ khác nhau

Đệ quy và giải thuật đệ quy *

„ Đệ quy quay lui (back tracking):

„ Bài toán tổ hợp chỉnh hợp

„ Bài toán tổ hợp, chỉnh hợp

„ Bài toán người mua hàng

„ Bài toán tám quân hậu

„ Bài toán tám quân hậu

Đánh giá thuật toán

„ Thuật toán đòi hỏi bao nhiêu tài nguyên về không gian và thời gian?

„ Làm sao để ước lượng thời gian chạy của một chương trình?

Các định nghĩa

Định nghĩa 2.1.

T(N) = O(f(N)) nếu có các hằng số dương c

T(N) = O(f(N)) nếu có các hằng số dương c

và n0 sao cho T(N) ≤ cf(N) khi N ≥ n0.

Đánh giá thuật toán

„ Khi T(N) = O(f(N)), là T(N) tăng với tỉ

lệ không nhanh hơn f(N); do vậy f(N)

lệ không nhanh hơn f(N); do vậy f(N)

là biên trên của T(N)

„ Do điều này ngụ ý rằng f(N) =

„ Do điều này ngụ ý rằng f(N) =

Ω(T(N)), chúng ta nói rằng T(N) là biên dưới của f(N)

dưới của f(N).

Đánh giá thuật toán

O(N2) đều đúng về mặt kỹ thuật nhưng

= O(N2) đều đúng về mặt kỹ thuật nhưng lựa chọn O(N2)là đáp án tốt nhất

Các quy tắc

Quy tắc 1.

Nếu T1(N) = O(f(N)) và T2(N) = O(g(N)) thì

Nếu T1(N) O(f(N)) và T2(N) O(g(N)), thì

(a) T1(N) + T2(N) = O(f(N) + g(N)) ( hay

„ độ phức tạp đa thức , O(P(n)), với P là đa thức bậc cao (từ 2 trở lên) Chẳng

h hư á th tá tí h t á ới ả hiề hiề (tí h đị h thứ

hạn như các thao tác tính toán với mảng nhiều chiều (tính định thức ma trận)

„ độ phức tạp logarit , O(logn) (chú ý: bậc của nó thấp hơn so với O(n))

Chẳng hạn thuật toán Euclid để tìm ước số chung lớn nhất

Chẳng hạn thuật toán Euclid để tìm ước số chung lớn nhất

„ độ phức tạp hàm bậc 2 , O(N 2 )

Bài toán tổng dãy con lớn nhất

„ Cho các số nguyên (có thể âm) A1, A2, ,

Bài toán tổng dãy con lớn nhất

Cách tính thời gian chạy

„ Viết đoạn chương trình tính :

int sum( int n )

Cách tính thời gian chạy

„ Phân tích :

„ Các khai báo không chiếm thời gian

„ Các dòng 1 và 4 được tính mỗi dòng một đơn vị thời gian

„ Dòng 3 được tính bốn đơn vị thời gian thực hiện (hai phép nhân, một phép cộng, và một phép gán) và dòng này được thực hiện N lần, nâng

tổng thời gian chạy lên 4N đơn vị

„ Dòng 2 Nn chứa thời gian khởi tạo i, kiểm tra i < N , và tăng i Thời

gian của các thao tác này gồm 1 cho việc khởi tạo, N + 1 cho các kiểm

tra, và N cho các phép tăng, tổng cộng là 2N + 2

„ Chúng ta còn chưa kể đến thời gian gọi hàm và trả về giá trị nên tổng cộng thời gian lên đến 6N + 4 ộ g g

Các quy tắc

Thời gian chạy của một vòng lặp for là thời gian chạy

của các lệnh bên trong vòng lặp (kể cả các phép kiểmtra) nhân với số lần lặp

Thời gian chạy không bao giờ vượt quá thời gian chạy

phép kiểm tra điều kiện cộng với thời gian chạy lớn nhất

của S1 và S2

Một số trường hợp đệ quy

„ Ví dụ, hàm sau đây thực ra chỉ là một vòng lặp đơn

giản và là O(N ):

long factorial(int n){

„ “Đừng tính bất cứ cái gì quá một lần”

Các thuật toán cho bài tổng dãy con lớn nhất

„ Ví dụ trong file MaxSumTest.cpp

8 for (int i = 0; i < a.size(); i++)

9 for (int j = i; j < a size(); j++)

9 for (int j = i; j < a.size(); j++)

Các thuật toán cho bài tổng dãy con lớn nhất – Thuật toán 1

„ Đánh giá thuật toán 1

N

i j

j

i k

Các thuật toán cho bài tổng dãy con lớn nhất – Thuật toán 1

„ Tiếp theo :

∑−

=

− +

−

= +

−

1

2

) )(

1 (

) 1 (

N i j

i N i

N i

−

=

− +

N i

N i

1 (

2

) )(

1 (

1 3

2

2 3

2

) 1 (

) 2

3 (

6

) 1 2

)(

1 (

2 1

1 ) 2 3

( 2

1 )

2

3 (

2 1

2 1

2 1

1 2

N N

N N

N N

N N

N

N N

i N

+

+ +

− + +

=

+ +

+ +

2 2

2 6

Các thuật toán cho bài tổng dãy

con lớn nhất – Thuật toán 2

„ Chúng ta đưa ra cải tiến thuật toán 1 bằng cách loại

Các thuật toán cho bài tổng dãy con lớn nhất – Thuật toán 3

„ Thuật toán 3 :

Tổng lớn nhất các dãy con có thể ở một trong ba vị trí : g y ộ g ị

„ Có thể trong nửa trái hay nửa phải của đầu vào, hoặc nằm ở giữa, thuộc về cả hai nửa

„ Hai trường hợp đầu có thể giải được bằng đệ quy

„ Trường hợp cuối, tìm tổng lớn nhất trong nửa đầu bao gồm

cả phần tử cuối cùng của nửa đầu và tìm tổng lớn nhất

cả phần tử cuối cùng của nửa đầu, và tìm tổng lớn nhất

trong nửa cuối bao gồm cả phần tử đầu tiên trong nửa cuối Hai tổng này được cộng với nhau

Các thuật toán cho bài tổng dãy

con lớn nhất – Thuật toán 3

14 int center = ( left + right ) / 2;

15 int maxLeftSum = maxSumRec( a, left, center );

16 int maxRightSum = maxSumRec( a, center + 1, right );

17

18 int maxLeftBorderSum = 0, leftBorderSum = 0;

19 for( int i = center; i >= left; i )

Các thuật toán cho bài tổng dãy con lớn nhất – Thuật toán 3

„ Thuật toán 3 :

25

26 int maxRightBorderSum = 0, rightBorderSum = 0;

27 for( int j = center + 1; j <= right; j++ )

Các thuật toán cho bài tổng dãy con lớn nhất – Thuật toán 3

„ Đánh giá thuật toán 3 :

Các thuật toán cho bài tổng dãy con lớn nhất – Thuật toán 4

Thuật toán Euclid