Tổng quan về mạch lọc số

Tổng quan về mạch lọc số

4 Phần 1: Tổng quan về mạch lọc số Chơng 1: Khái niệm cơ bản về mạch lọc số 1.1. Tổng quan 1.1.1. Định nghĩa bộ lọc số . Một hệ thống dùng để làm biến dạng sự phân bố tần số của các thành phần của một tín hiệu theo chỉ tiêu đã cho đợc gọi là bộ lọc số . 1.1.2. Xét các cách biểu diễn của hệ thống tuyến tính bất biến trong miền biến số n . x(n) y(n) trong đó : y(n) = h(n) *x(n) = = m mnxmh )().( =x(n) *h(n) = = m mnhmx )().( ( 1.1) h(n) : là đáp ứng xung của hệ thống và ta biết rằng đáp ứng xung là đặc trng hoàn toàn cho hệ thống trong miền n. Mặt khác một lớp các hệ thống tuyến tính bất biến đợc biểu diễn bởi phơng trình sai phân sau đây : = N k k knya 0 )(. = = M r r rnxb 0 )( (1.2) Tổng hợp tất cả các hệ số k a và r b sẽ biểu diễn một hệ thống tuyến tính bất biến . Tức là các hệ số k a và r b đặc trng hoàn toàn cho hệ thống . Trong miền Z hệ thống đợc đặc trng bởi hàm truyền đạt H(Z) H(Z) = ZT[h(n)] = )( )( ZX ZY = = = N k k k r M r r Za Zb 0 0 (1.3) Khi đó , trong miền tần số : Nếu hàm truyền đạt H(Z) đợc đánh giá trên vòng tròn đơn vị đối với Z =1 thì chúng ta có đặc tính tần số H( j e ) h(n) Hình 1.1.1 5 H( j e ) = )( )( j j eX eY = = = N k kj k M r rj r ea eb 0 0 Y( j e ) = H( j e ) . X( j e ) (1.4) Quan hệ trên cho thấy rằng việc phân bố tần số của biên độ và pha của tín hiệu vào x(n) đợc biến dạng bởi hệ thống tuỳ thuộc vào dạng của H( j e ) . Chính dạng của H( j e ) đã xác định việc suy giảm hoặc khuếch đại các thành phần tần số khác nhau . Các hệ thống tơng ứng với H( j e ) này có đặc tính tần số mong muốn và có thể thực hiện đợc về mặt vật lý đợc gọi là bộ lọc số. 1.1.3. Các mạch lọc số lý tởng . Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của xử lý tín hiệu là lọc số . Việc thiết kế các bộ lọc số thực tế xuất phát từ lý thuyết bộ lọc số lý tởng . Do vậy để đi đến việc tính toán các thông số của mạch lọc thực tế ta xét các loại bộ lọc số lý tởng sau : - Bộ lọc số thông thấp - Bộ lọc số thông cao - Bộ lọc số thông dải - Bộ lọc số chắn dải 1.1.3.1. Bộ lọc số thông thấp lý tởng. Định nghĩa : Đặc tính biên độ của bộ lọc số thông thấp lý tởng đợc định nghĩa nh sau : 1 cc )( j eH = (1.5) 0 với còn lại ( ) 1 c c Hình 1.1.2 )( j eH 6 Nhận xét: - ở đây )( j eH là đối xứng , tức là đã định nghĩa bộ lọc số thông thấp lý tởng với h(n) là thực , và sau này nếu )( j eH là đối xứng thì ta chỉ cần xét nửa chu kỳ ( 0 ) là đủ . - Nếu chỉ xét trong một nửa chu kỳ thì các tham số của bộ lọc số thông thấp lý tởng sẽ nh sau : c : tần số cắt . 0 : dải thông . c : dải chắn . - Đáp ứng xung h(n) đợc tính theo công thức sau : h(n) = 2 1 deH j )( = 2 1 c c de j = ( ) njnj cc ee jn 2 1 = n n c sin 1 h(n) = c n n c c sin (1.6) Nh vậy : - Đặc tính xung h(n) là đối xứng , bởi vì đặc tính pha )( là tuyến tính . - Tâm đối xứng của h(n) nằm tại mẫu n = 0 , bởi vì pha )( = 0 - Tại tất cả các mẫu là số nguyên lần của 2 ( các mẫu chẵn ) trừ tại n = 0 thì h(n) = 0 . Trong trờng hợp tổng quát c = M - Các bộ lọc có tần số cắt c = M ( M là số nguyên dơng ) đợc gọi là bộ lọc Nyquist. - Nếu c = 2 gọi là bộ lọc nửa band, nếu c = M gọi là bộ lọc một phần M band n h(n) 2 1 2 1 1 5 1 0 Hình 1.1.3 7 - Đặc tính tần số )( j eH của bộ lọc thông thấp lý tởng là hoàn toàn nh nhau , nhng đặc tính pha )( có thể khác nhau . 1.1.3.2. Bộ lọc thông cao lý tởng. Định nghĩa : - Đặc tính biên độ của bộ lọc số thông cao lý tởng đợc định nghĩa nh sau: 1 c )( j eH = c (1.7) 0 với còn lại ( ) Đồ thị của đáp ứng biên độ của bộ lọc thông cao lý tởng đợc cho ở hình dới đây. )( j eH Cũng giống nh bộ lọc thông thấp lý tởng )( j eH là đối xứng nh vậy h(n) là thực và nh vậy trong miền tần số chỉ xét )( j eH trong một nửa chu kỳ 0 là đủ . Nếu xét trong một nửa chu kỳ thì các tham số của bộ lọc thông cao lý tởng sẽ nh sau : c : tần số cắt c 0 : dải chắn c : dải thông Đáp ứng xung h(n) đợc tính theo công thức sau : h(n) = 2 1 deeH njj )( = 2 1 de j - 2 1 c c de j = n n sin - c n n c c sin h(n) = )(n - c n n c c sin (1.8) c c Hình 1.1.4 8 Nhận xét : - Cũng giống nh bộ lọc số thông thấp lý tởng pha không , đối với bộ lọc số thông cao lý tởng thì h(n) là đối xứng và tâm đối xứng nằm tại mẫu n = 0 bởi vì )( là tuyến tính và )( = 0 . - Nh vậy bộ lọc thông thấp lý tởng và bộ lọc thông cao lý tởng đã xét ở trên nếu đem cộng đặc tính biên độ )( j eH của bộ lọc thông thấp lý tởng với đặc tính biên độ của bộ lọc thông cao lý tởng thì thu đợc đặc tính biên độ của bộ lọc thông tất . Từ đây có quan hệ sau: 1 - h lp (n) n = 0 h hp = (1.9) - h lp (n) n 0 trong đó h hp (n) ký hiệu của bộ lọc thông cao h lp (n) ký hiệu của bộ lọc thông thấp mặt khác )(n chính là đặc tính xung của bộ lọc thông tất ( All-pass filter) pha không và đặc tính biên độ của bộ lọc thông tất là : )( j ap eH đợc định nghĩa nh sau : )( j ap eH = 1 n h(n) 2 1 2 1 1 3 1 0 Hình 1.1.5 9 Nhận xét : - Nh vậy bộ lọc thông tất cho qua tất cả các thành phần tần số , hay nói cách khác bộ lọc thông tất là bộ lọc thông thấp có tần số cắt c = (nếu xét trong nửa chu kỳ 0 ). vì vậy bộ lọc thông tất thờng dùng làm các bộ di pha . - Nếu các bộ lọc thông thấp , thông cao và thông tất có cùng đáp ứng pha thì có các quan hệ sau đây : h hp (n) = h ap (n) - h lp (n) và H hp (e j ) = H ap (e j ) - H lp (e j ) tơng tự cũng có : )( j hp eH = )( j ap eH = )( j lp eH 1.1.3.3. Bộ lọc số thông dải lý tởng . Định nghĩa : Đặc tính biên độ của bộ lọc số thông dải lý tởng đợc định nghĩa nh sau : 1 12 cc )( j eH = 21 cc (1.10) 0 với còn lại ( ) Hình vẽ dới đây chỉ ra đặc tính biên độ của bộ lọc số thông dải lý tởng. )( j eH Hình 1.1.6 10 Nhận xét : - Đặc tính biên độ )( j eH là đối xứng trong một chu kỳ ( ) vì vậy ta chỉ xét trong một nửa chu kỳ ( 0 ) .Trong một nửa chu kỳ này bộ lọc thông dải chỉ cho qua các thành phần tần số từ 1 c đến 2 c . Các tham số của bộ lọc số thông dải lý tởng nh sau : 1 c : tần số cắt dới . 2 c : tần số cắt trên . 21 cc : dải thông . 0 đến 1 c và 2 c đến : dải chắn . Đáp ứng xung h(n) đợc tính theo công thức sau : h(n) = 2 1 deeH njj )( = 2 1 2 2 c c de j - 2 1 1 1 c c de j h(n)= 2c n n c c 2 2 sin - 1c n n c c 1 1 sin (1.11) Nhận xét : Nếu có hai bộ lọc thông thấp có các tần số cắt là 1c và 2c và nếu hai bộ lọc này có cùng đáp ứng pha thì bộ lọc thông dải chính là hiệu của hai bộ lọc thông thấp này , tức là : H bp (e j ) = H lp2 (e j ) = H lp1 (e j ) ở đây : H bp (e j ) : là đặc tính tần số của bộ lọc thông dải . H lp2 (e j ) : là đặc tính tần số của bộ lọc thông thấp với tần số cắt 2c . H lp1 (e j ) : là đặc tính tần số của bộ lọc thông thấp với tần số cắt 1c Nếu xét trong miền n thì đáp ứng xung h bp đợc tính . h bp (n) = h lp2 (n) - h lp1 (n) . )( j eH 1 - 2c - 1c 1c 2c Hình 1.1.7 11 1.1.3.4. Bộ lọc số chắn dải lý tởng . - Định nghĩa : Đặc tính biên độ của bộ lọc số chắn dải lý tởng đợc định nghĩa nh sau : 1 2c )( j eH = 11 cc (1.12) 2c 0 với còn lại ( ) Đồ thị của đặc tính biên độ của bộ lọc số chắn dải lý tởng đợc biểu diễn ở hình dới đây : Đáp ứng xung h(n) đợc tính theo công thức sau đây : h(n) = 2 1 deeH njj )( = 2 1 de j - 2 1 2 2 c c de j + 2 1 1 1 c c de j h(n)= )(n - [ 2 c n n c c 2 2 sin - 1 c n n c c 1 1 sin ] (1.13) Nhận xét : Nếu các bộ lọc thông tất , bộ lọc thông dải và bộ lọc chắn dải có cùng đặc tính pha thì có quan hệ sau : H bs (e j ) = H ap (e j ) = H bp (e j ) ở đây : H bs (e j ) là đáp ứng tần số của bộ lọc dải chắn . H ap (e j ) là đáp ứng tần số của bộ lọc thông tất H bp (e j ) là đáp ứng tần số của bộ lọc thông dải tơng tự xét trong miền n cũng có : h bs (n) = h ap (n) - h bp (n) )( j eH 1 - 2 c - 1 c 1 c 2c 0 Hình 1.1.8 12 1.1.3.5. Nhận xét chung về bộ lọc số lý tởng . Các bộ lọc số lý tởng không thể thực hiện đợc về vật lý mặc dù đã xét trờng hợp h(n) thực bởi vì chiều dài của h(n) là vô hạn , mặt khác h(n) là không nhân quả . Tức là : L[h(n)] = [- ,+ ] = h(n) 0 khi n < 0 . 1.1.4. Bộ lọc số thực tế . Các bộ lọc số thực tế đợc đặc trng bởi các tham số kỷ thuật trong miền tần số liên tục có bốn tham số chính là : 1 : độ gợn sóng ở dải thông 2 : độ gợn sóng ở dải chắn . p : tần số giới hạn ( biên tần ) dải thông . s : tần số giới hạn ( biên tần ) dải chắn . Ngoài ra còn tham số phụ là : = s - p : bề rộng dải quá độ . Hình vẽ 1.1.9 minh hoạ cho bộ lọc thông thấp . 1.2. Phân loại mạch lọc số Để tổng hợp bộ lọc số xuất phát từ mạch lọc số lý tởng . Đặc tính tần số H(e j ) khi đó đáp ứng xung của mạch lọc lý tởng h(n) có dạng sinx/x do vậy nó có chiều dài vô hạn . Dải thông Dải quá đ ộ Dải chắn p s 2 1- 1 1+ 1 )( j eH Hình 1.1.9. Dải thông Dải quá đ ộ Dải chắn p s 2 1- 1 1+ 1 )( j eH Hình 1.1.9. 0 13 Mặt khác quan hệ giữa đầu vào , đầu ra và đáp ứng xung của hệ thống phải thoả mãn điều kiện (1.1). y(n) =x(n) * h(n) = = m mnxmh )().( (2.1) L [ ] )( nh = [ ] ,0 = m nh )( < Từ các quan hệ này cho thấy rằng chiều dài của đáp ứng xung là rất quan trọng Do đó , có thể phân loại các hệ thống theo chiều dài của đáp ứng xung h(n) hai loại nh sau . Loại thứ nhất : Hệ thống đợc đặc trng bởi đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn . Nó đợc gọi là hệ thống có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn ( Tiếng Anh là Finite - Impulse Responseviết tắt là FIR) tức là h(n) chỉ khác không trong một khoảng có chiều dài hữu hạn N (từ 0 đến N-1). Loại thứ hai : Hệ thống đợc đặc trng bởi đáp ứng xung có chiều dài vô hạn . Hệ thống đợc gọi là hệ thống có đáp ứng xung có chiều dài vô hạn (Tiếng Anh infinte Impulse Response viết tắt là IIR) , tức là h(n) khác không trong một khoảng vô hạn . 1.3. Bộ lọc số FIR pha tuyến tính 1.3.1. Đặc tính tần số của pha .( đặc tính pha) Giả sử h(n) là đáp ứng xung của bộ lọc FIR xác định bởi các mẫu .n=0,1 .N-1 tức là L [ ] )( nh = [ ] 1,0 N =N Hàm truyền đạt nh sau . H(z) = = 1 0 )( N n n znh = h(0) + h(1)z 1 + . + h(N-1)z )1( N (3.1) Đáp ứng tần số . H( j e ) = = 1 0 )( N n nj enh = = 1 0 )( N n nh cosn +j = 1 0 sin)( N n nnh (3.2) Hoặc H( j e ) = ) ( j eH e )( j trong đó )( =arg [ ] ) ( j eH Mà ta dã biết đáp ứng tần số H( j e ) tuần hoàn với chu kỳ 2 tức là : H( j e ) = H )( )2( nkj e + (3.3) Mặt khác nếu h(n) là thực thì theo tính chất biến đổi fourier đối với tín hiệu rời rạc có . [...]... (4.6) k Z Chơng 2 : Các phơng pháp tổng hợp bộ lọc số 2.1 Khái niệm chung Phơng pháp tổng hợp bộ lọc số FIR tức là việc tìm phơng pháp tính toán các hệ số của bộ lọc Các hệ số sau khi tính toán này đợc gọi là các hệ số có giá trị liên tục Tuy nhiên ở đây chỉ xét các phơng pháp tổng hợp bộ lọc số FIR pha tuyến tính Các hệ số h(n) của bộ lọc đợc tính toán sao cho bộ lọc đợc thoả mãn các chỉ tiêu kỷ... thể phân bộ lọc thành 4 loại nh sau : Bộ lọc số loại một ( h(n) đối xứng N lẻ) Bộ lọc số loại hai ( h(n) đối xứng N chẵn) Bộ lọc số loại ba ( h(n) phản đối xứng N lẻ) Bộ lọc số loại bốn ( h(n)phản đối xứng N lẻ) Cả bốn loại bộ lọc trên đây cho phép xác định đáp ứng tần số sao cho thoả mãn các chỉ tiêu kỷ thuật của bộ lọc 1.3.3 Đáp ứng tần số của các bộ lọc FIR pha tuyến tính 1.3.3.1 Bộ lọc loại một... sổ thờng chiều dài của bộ lọc sẽ lớn hơn cần thiết , để thoả mãn chỉ tiêu kỷ thuật đã cho Mặt khác việc chọn cửa sổ thiết kế mạch lọc để giảm hiện tợng Gibbs củng không phải đơn giản Việc biểu diễn mạch lọc trong miền n càng phức tạp thì việc khảo sát mạch lọc trong miền tần số lại càng gặp khó khăn Đối với phơng pháp lấy mẫu tần số thì việc tính toán các thông số của mạch lọc phức tạp hơn so với... trình tính toán tổng hợp bộ lọc số 2.5.1 Xác định phơng pháp Nh trình bày ở trên có 3 phơng pháp chính để tổng hợp bộ lọc số Mỗi phơng pháp có u và nhợc điểm khác nhau Đối với phơng pháp cửa sổ việc tính toán các thông số của mạch lọc là đơn giản nhất vì đây là phơng pháp trực quan có thể minh hoạ đợc bằng hình vẽ Tuy nhiên với một chỉ tiêu kỹ thuật đặt ra , thì việc thiết kế bộ lọc theo phơng pháp... 2 s Có ba phơng pháp chính để tổng hợp bộ lọc số nh sau : Phơng pháp cửa sổ Phơng pháp lấy mẫu tần số Phơng pháp lặp 2.2 Phơng pháp cửa sổ Nh đã xét ở phần đầu đặc tính tần số H(e j ) là một hàm tuần hoàn chu kỳ 2 trong lọc tơng tự đợc đặc trng trong miền tần số tơng tự a bằng đáp ứng tần số của nó Ha( a ) để thực hiện đợc bằng con đờng số , đáp ứng tần số Ha( a ) này phải coi nh tuần hoàn... của đáp ứng xung là phơng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng 1.4.2 Biểu diễn mạch lọc trong miền Z Xét quan hệ giữa đầu vào và đầu ra Trong miền n bộ lọc có quan hệ nh sau : h(n) x(n) y(n) y(n) = x(n) *h(n) = x ( k ) h( n k ) k = Biểu diễn bộ lọc trong miền Z thực chất là biến đổi Z của bộ lọc H(Z) = ZT[h(n)] Nh vậy trong miền Z sẽ có quan hệ nh sau : (4.4) H(Z) X(Z) Y(Z) Y(Z) = X(Z) - H(Z)... ) 4 Hình 1.3.7 23 Nh vậy tại tần số = 0 và = thì : sin n =sin0n = 0 với mọi n sin n = sin n = 0 với mọi n Nh vậy ở đây A(e j ) = 0 tai tần số = 0 và = với bất kỳ b(n) nào (hoặc là bất kỳ h(n) nào ) do vậy các bộ lọc loại này không thể sử dụng để tổng hợp bộ lọc có đáp ứng tần số khác không tại = 0 và = Hinh vẽ 1.3.8 minh hoạ cho đặc tính tần số của bộ lọc FIR loại ba với các giá trị của... là các hệ số khai triển fourier hàm tuần hoàn chu kỳ 2 vì vậy phơng pháp cửa sổ còn gọi là phơng pháp tổng hợp bộ lọc FIR nhờ khai triển Fourier h(n) là đáp ứng xung của bộ lọc lý tởng vì vậy h(n) có chiều dài vô hạn nên không thể tổng hợp bộ lọc FIR đợc L[h(n)] = [ ,+ ] h(n) là không nhân quả vì vậy không thực hiện đợc về mặt vật lý Để cho đáp ứng h(n) trở thành đáp ứng xunng của bộ lọc FIR phải... tần số H(e j ) của bộ lọc lý tởng đợc tính nh sau : H(z) = h( n) Z n n = H(e j )= h ( n )e j n n = Do vậy phơng pháp lấy mẫu tần số sẽ làm gần đúng H(e j ) bằng một hàm Hd(e j ) của bộ lọc thực tế Hd(e j ) nhận dợc qua việc nội suy (interpolation) giữa các mẫu H(r) lấy trên 2 H(e j ) tại các tần số k = k N Sai số của phép gần đúng này bằng không tại tần số k và sẽ hữu hạn đối với các tần số. .. phức tạp vì việc tổng hợp bộ lọc số ở đây nh là một bài toán gần đúng theo định nghĩa chebyscher Cách biểu diễn Ad(e j ) của bộ lọc số FIR Dạng tổng quát Ad(e j ) = Q(e j ).P(e j ) Xác định Q(e j ) và P(e j ) trong từng loại bộ lọc Bộ lọc loại một: N 1 2 N 1 a(n) cos n Ad(e j ) = =1 Q(e , n =0 n=0 j a (n) cos n )= 1 N 1 2 a (n) cos n P(e j ) = , n =0 a(n) a , (n) Bộ lọc loại hai Ad(e j ) = N