Tổng quan về mạch lọc số

Tổng quan về mạch lọc số

Một hệ thống dùng để làm biến dạng sự phân bố tần số của các thành phần của một tín hiệu theo chỉ tiêu đã cho được gọi là bộ lọc số

1.1.2 Xét các cách biểu diễn của hệ thống tuyến tính bất biến trong miền biến

x( ) ( ) ( 1.1) h(n) : là đáp ứng xung của hệ thống và ta biết rằng đáp ứng xung là đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống trong miền n Mặt khác một lớp các hệ thống tuyến tính bất biến

được biểu diễn bởi phương trình sai phân sau đây :

∑

=

ư

N k

k y n k a

0

)(

=

ư

M r

r x n r b

0

)( (1.2) Tổng hợp tất cả các hệ số a k và b rsẽ biểu diễn một hệ thống tuyến tính bất biến Tức là các hệ số a k và b rđặc trưng hoàn toàn cho hệ thống

Trong miền Z hệ thống được đặc trưng bởi hàm truyền đạt H(Z)

H(Z) = ZT[h(n)] =

)(

)(

Z X

Z Y

k k

r M r r Z a

Z b

0

0

(1.3)

Khi đó , trong miền tần số :

Nếu hàm truyền đạt H(Z) được đánh giá trên vòng tròn đơn vị đối với Z =1 thì chúng ta có đặc tính tần số H( jω

e )

h(n)

Hình 1.1.1

H( jω

e ) =

) (

) (

ω

ω

j j e X

e Y

=

∑

∑

=

ư

=

ư

N k

k j k r

r j r e a

e b

0

0

ω ω

Y( jω

e ) = H( jω

e ) X( jω

e ) (1.4)

Quan hệ trên cho thấy rằng việc phân bố tần số của biên độ và pha của tín hiệu vào x(n) được biến dạng bởi hệ thống tuỳ thuộc vào dạng của H( jω

e ) Chính dạng của H( jω

e ) đã xác định việc suy giảm hoặc khuếch đại các thành phần tần số khác nhau Các hệ thống tương ứng với H( jω

e ) này có đặc tính tần số mong muốn và có thể thực hiện được về mặt vật lý được gọi là bộ lọc số

1.1.3 Các mạch lọc số lý tưởng

Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của xử lý tín hiệu là lọc số Việc thiết kế các bộ lọc số thực tế xuất phát từ lý thuyết bộ lọc số lý tưởng Do vậy để đi

đến việc tính toán các thông số của mạch lọc thực tế ta xét các loại bộ lọc số lý tưởng sau :

- Bộ lọc số thông thấp

- Bộ lọc số thông cao

- Bộ lọc số thông dải

- Bộ lọc số chắn dải

1.1.3.1 Bộ lọc số thông thấp lý tưởng

Định nghĩa :

Đặc tính biên độ của bộ lọc số thông thấp lý tưởng được định nghĩa như sau : 1 ưωc ≤ω ≤ωc H(e jω) = (1.5) 0 với ω còn lại (ưπ ≤ω ≤π)

1

ω

π

c

ω

π

ư

Hình 1.1.2

H(e jω)

Nhận xét:

- ở đây H(e jω) là đối xứng , tức là đã định nghĩa bộ lọc số thông thấp lý tưởng với h(n) là thực , và sau này nếu H(e jω) là đối xứng thì ta chỉ cần xét nửa chu kỳ (0 ≤ω ≤π ) là đủ

- Nếu chỉ xét trong một nửa chu kỳ thì các tham số của bộ lọc số thông thấp lý tưởng sẽ như sau :

jn

ω ω

π

ư

ư2

1

n ωc

π sin1

h(n) = πωc

n

n c

Như vậy :

- Đặc tính xung h(n) là đối xứng , bởi vì đặc tính pha θ(ω)là tuyến tính

- Tâm đối xứng của h(n) nằm tại mẫu n = 0 , bởi vì pha θ(ω)= 0

- Tại tất cả các mẫu là số nguyên lần của 2 ( các mẫu chẵn ) trừ tại n = 0 thì h(n)

= 0 Trong trường hợp tổng quát ω = c

- Nếu ω = c

2

πgọi là bộ lọc nửa band, nếu ω = c

M

π gọi là bộ lọc một phần M band

n

h(n)

2

121

π

1

π

5 1

0

Hình 1.1.3

- Đặc tính tần số H(e jω) của bộ lọc thông thấp lý tưởng là hoàn toàn như nhau , nhưng đặc tính pha θ(ω) có thể khác nhau

Đồ thị của đáp ứng biên độ của bộ lọc thông cao lý tưởng được cho ở hình dưới

- πωc

n

n c

Nhận xét :

- Cũng giống như bộ lọc số thông thấp lý tưởng pha không , đối với bộ lọc số thông cao lý tưởng thì h(n) là đối xứng và tâm đối xứng nằm tại mẫu n = 0 bởi vì )

(ω

θ là tuyến tính và θ(ω) = 0

- Như vậy bộ lọc thông thấp lý tưởng và bộ lọc thông cao lý tưởng đã xét ở trên nếu đem cộng đặc tính biên độ H(e jω) của bộ lọc thông thấp lý tưởng với đặc tính biên độ của bộ lọc thông cao lý tưởng thì thu được đặc tính biên độ của bộ lọc thông tất

Từ đây có quan hệ sau:

1 - hlp(n) n = 0

hhp = (1.9)

- hlp(n) n ≠0

trong đó hhp(n) ký hiệu của bộ lọc thông cao

hlp(n) ký hiệu của bộ lọc thông thấp

mặt khác δ(n) chính là đặc tính xung của bộ lọc thông tất ( All-pass filter) pha không và đặc tính biên độ của bộ lọc thông tất là : H ap(e jω) được định nghĩa như sau :

)( jω

ap e

πω

0

Hình 1.1.5

chu kỳ 0 ≤ω ≤π ) vì vậy bộ lọc thông tất thường dùng làm các bộ di pha

- Nếu các bộ lọc thông thấp , thông cao và thông tất có cùng đáp ứng pha thì có các quan hệ sau đây :

)( jω

Hình vẽ dưới đây chỉ ra đặc tính biên độ của bộ lọc số thông dải lý tưởng

) (e jωH

ω Hình 1.1.6

π π

ư

Nhận xét :

- Đặc tính biên độ H(e jω) là đối xứng trong một chu kỳ (ưπ ≤ω ≤π) vì vậy ta chỉ xét trong một nửa chu kỳ (0 ≤ω ≤π ) Trong một nửa chu kỳ này bộ lọc thông dải chỉ cho qua các thành phần tần số từ ω đến 1 ω 2

Các tham số của bộ lọc số thông dải lý tưởng như sau :

1

∫

ư 1

2 2

sin

ω

ω-π

ω 1

n

n c c

1 1

sin

ω

ω (1.11) Nhận xét :

Nếu có hai bộ lọc thông thấp có các tần số cắt là ω và 1 ω và nếu hai bộ lọc 2này có cùng đáp ứng pha thì bộ lọc thông dải chính là hiệu của hai bộ lọc thông thấp này , tức là :

) : là đặc tính tần số của bộ lọc thông thấp với tần số cắt ω 1

Nếu xét trong miền n thì đáp ứng xung hbp được tính

h (n) = h (n) - h (n)

)(e jωH

Đồ thị của đặc tính biên độ của bộ lọc số chắn dải lý tưởng được biểu diễn ở hình dưới đây :

Đáp ứng xung h(n) được tính theo công thức sau đây :

1

∫

ư 1

2 2

sin

ω

ω

- π

ω 1

n

n c c

1 1

hbs(n) = hap(n) - hbp(n)

)(e jωH

1.1.3.5 Nhận xét chung về bộ lọc số lý tưởng

Các bộ lọc số lý tưởng không thể thực hiện được về vật lý mặc dù đã xét trường hợp h(n) thực bởi vì chiều dài của h(n) là vô hạn , mặt khác h(n) là không nhân quả Tức là :

L[h(n)] = [-∞,+∞] = ∞h(n) ≠0 khi n < 0

ω : tần số giới hạn ( biên tần ) dải thông p

ω : tần số giới hạn ( biên tần ) dải chắn s

Ngoài ra còn tham số phụ là :

) khi đó đáp ứng xung của mạch lọc lý tưởng h(n) có dạng sinx/x do vậy nó có chiều dài vô hạn

H ư

Hình 1.1.9

0

Mặt khác quan hệ giữa đầu vào , đầu ra và đáp ứng xung của hệ thống phải thoả mãn điều kiện (1.1)

h( ) ( ) (2.1) L[h (n)] = [ ]0 , ∞

∑∞

∞

=

m n

h )( < ∞

Từ các quan hệ này cho thấy rằng chiều dài của đáp ứng xung là rất quan trọng

Do đó , có thể phân loại các hệ thống theo chiều dài của đáp ứng xung h(n) hai loại nh− sau

Loại thứ nhất : Hệ thống đ−ợc đặc tr−ng bởi đáp ứng xung có chiều dài hữu

hạn Nó đ−ợc gọi là hệ thống có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn ( Tiếng Anh là Finite - Impulse Responseviết tắt là FIR) tức là h(n) chỉ khác không trong một khoảng có chiều dài hữu hạn N (từ 0 đến N-1)

Loại thứ hai : Hệ thống đ−ợc đặc tr−ng bởi đáp ứng xung có chiều dài vô

hạn Hệ thống đ−ợc gọi là hệ thống có đáp ứng xung có chiều dài vô hạn (Tiếng Anh infinte – Impulse Response viết tắt là IIR) , tức là h(n) khác không trong một khoảng vô hạn

1.3 Bộ lọc số FIR pha tuyến tính

1.3.1 Đặc tính tần số của pha ( đặc tính pha)

Giả sử h(n) là đáp ứng xung của bộ lọc FIR xác định bởi các mẫu n=0,1 N-1 tức là

L[h (n)] = [0 ,N− 1] =N Hàm truyền đạt nh− sau

H(z) =∑−

=

− 1

0

)(

N n

n z n

h = h(0) + h(1)z− 1

+ + h(N-1)z− N( − 1 )

(3.1) Đáp ứng tần số

H( jω

e ) = ∑−

=

− 1

0

)(

N n

n j e n

h ω =∑−

= 1

0

)(

N n n

0

sin)(

N n

n n

h ω (3.2) Hoặc

Mà ta dã biết đáp ứng tần số H( jω

e ) tuần hoàn với chu kỳ 2π tức là : H( jω

e ) = H(e j(ω+2kπn)) (3.3) Mặt khác nếu h(n) là thực thì theo tính chất biến đổi fourier đối với tín hiệu rời rạc có

)eH( jω = H(e-jω)arg[ )]

(e jω

(e jωH

hoặc

)(ω

θ =- θ(ưω) H(ejω) : là hàm chẵn đối xứng

e ) trong khoảng từ 0≤ω ≤π 2/ H( jω

e ) có thể lấy giá trị âm hoặc lấy giá trị dương nhưng H(ejω) luôn luôn

lấy giá trị dương do vậy để thuận lợi cho việc thiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tính

biểu diễn chúng dưới dạng độ lớn A(ejω

) và θ(ω) H( jω

e ) = A(ejω

)ejθ ( ω )

(3.4) với

A(ejω

) = H(ejω)

1.3.2 Điều kiện pha tuyến tính của bộ lọc FIR

Để tổng hợp được bộ lọc FIR thì điều kiện cần là hệ thống phải tuyến tính bất

biến nhân quả và ổn định

Một hệ thống được gọi là hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả và ổn định được

định nghĩa như sau:

Nếu y(n) là đáp ứng của kích thích x(n) thì hệ thống được gọi là bất biến khi y(n

- k) là đáp ứng của kích thích x(n- k), ở đây k là số nguyên

Nếu biến số là thời gian thì hệ thống bất biến theo thời gian

Hệ thống tuyến tính bất biến được gọi là nhân quả nếu đáp ứng ra của nó ở một

thời điểm bất kỳ n = n0 hoàn toàn độc lập với kích thích của nó ở các thời điểm

tương lai n > n0

Nói cách khác, đối với một hệ thống nhân quả đáp ứng ra của nó không bao giờ

đi trước kích thích của nó

Một hệ thống được gọi là ổn định, nếu và chỉ nếu với dãy đầu vào giới hạn, có

dãy đầu ra giới hạn, tức là với:

)

(n

x <∞ với n bất kỳ

y (n) <∞ với n bất kỳ Tuy nhiên để tổng hợp bộ lọc FIR thì những điều kiện ràng buộc trên chưa đủ

Do vậy phải xét thêm điều kiện ràng buộc nữa về pha Đây là điều kiện tuyến tính và

θ = β - αω Thêi gian lan truyÒn cña tÝn hiÖu τ ®−îc tÝnh nh− sau:

τ= ω

ωθ

d

d ( )

VËy trong tr−êng hîp nµy τ = -α

Nh− vËy h»ng sè α sÏ biÓu diÔn thêi gian truyÒn tÝn hiÖu τ

) cã thÓ tÝnh theo FT [h (n)] H(ejω

) = ∑−

=

− 1

0

)(

N n

n j e n

h ω = ∑−

= 1

0

)(

N n n

h cosωn +j⎢⎣⎡−∑− ⎥⎦⎤

= 1

0

sin)(

N n

n n

h ω (3.6) VËy :

A(ejω

) cosωα =∑−

= 1

0

)(

N n n

h cosωn A(ejω

) sinαω = ∑−

= 1

0

)(

N n n

0

1

0

cos)(

sin)(

N n

N n

n n

h

n n

h

ω

ω (3.7)

0(

sin)(

N n

N n

n n

h h

n n

h

ωω

§Õn ®©y α xuÊt hiÖn hai tr−êng hîp: α = 0 vµ α ≠0

XÐt víi : α = 0 ⇒ tg0 =0

⇒h(n) = 0 víi mäi n≠0 vµ h(0) ≠0

0

≠ víi n = 0 h(n) = (3.8)

0 víi n cßn l¹i

1

0

cos)(

sin)(

N n

N n

n n

h

n n

h

ω

ω (3.9)

sinαω∑−

= 1

0

)(

N n n

h cosωn = cosωα∑−

= 1

0

)(

N n n

h sinωn

Cã thÓ viÕt l¹i quan hÖ nµy d−íi d¹ng sau:

∑−

= 1

0

)(

N n n

h [cosωn sinαω− sinωn cosαω] = 0 vËy ta cã :

∑−

= 1

0

)(

N n n

h sin[(α −n)ω] = 0

Tõ ph−¬ng tr×nh trªn cã mét nghiÖm duy nhÊt lµ

21

−

= Nα h(n) = h(N-1-n) 0≤ n≤ N-1

h(n)

1

n H×nh 1.3.1

0

Nh− vậy:

- Đối với một giá trị N chỉ có một giá trị α đảm bảo pha tuyến tính

- Đối với giá trị α này , đáp −ng xung h(n) là đối xứng

- Nếu N lẻ thì α là một số nguyên tâm đối xứng của đáp ứng xung trùng với mẫu 2

) = ∑ư

=

ư 1

0

)(

N n

n j e n

∑ư

= 1

0

)(

N n n

h sin[β+ (αưn)ω] = 0 Nghiệm duy nhất của phương trình có dạng

21

ư

= Nα

β =

2

π

±h(n) = - h(N-1-n) 0≤ n≤ N-1 Nhận xét:

Đối với một giá trị của N chỉ có một giá trị α đảm nảo pha tuyến tính

Đối với một giá trị α này , đáp ưng xung h(n) là phản đối xứng

- Nếu N lẻ thì α là một số nguyên và tâm phản đối xứng của đáp ứng xung h(n) trùng với mẫu

21

ư

N

, h(

21

ư

N

và 2

)(

N n

n j e n

0

) (

N n

n j e n

h ω + h(

21

−

N

)e 2 )

1 ( −

1 2

) (

N n

n j

N

e n

h ω (3.12) §Æt n = N -1-m ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng

0

) (

N n

n j e n

h ω + h(

21

−

N

)e 2 )

1 ( −

0

) 1 (

) 1 (

N n

n N j e n N

cos)(

N n

n n

2

1 ( −

−jω N

)02

1()0

)2

1(2)

ωα

∑

−

= 2 1

0

cos ) (

21

0

)(

N n

n j e n

0

) (

N n

n j e n

h ω + ∑−

=

− 1

2

) (

N n

n j

N

e n

h ω (3.14) §Æt n = N -1-m ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng

0

)(

N n

n j e n

0

) 1 (

)1(

N m

m N j e m N

1

)2

1(cos)(

N n

n n

1 ( −

−jω N

)2(2)

1 ( cos ) (

2

n n

b N

ω

)(e jωH

0

)(

N n

n j e n

N lÎ nªn biÓu diÔn H(ejω

) nh− sau H(ejω

0

)(

N n

n j e n

h ω + h(

21

−

N

)e 2 )

1 ( −

1 2

) (

N n

n j

N

e n

h ω (3.16)

Trong tr−êng hîp nµy h(

21

0

)(

N n

n j e n

1 2 1

) (

N n

n j

N

e n

h ω (3.17) §Æt n = N -1-m ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng

0

) (

N n

n j e n

0

) 1 (

) 1 (

N n

n N j e n N

1

sin)(

N n

n n

2 1 2 (π− −ω

ë ®©y : )

2

1(2)

ω

∑

−

= 2 1

0

sin ) (

21

−

= N

2π

2cos2ω

H×nh 1.3.7

Như vậy tại tần số ω =0 vàω=πthì :

sinω n =sin0n = 0 với mọi n

sinω n = sinπ n = 0 với mọi n

Như vậy ở đây A(ejω

) = 0 tai tần số ω 0 vàω =π với bất kỳ b(n) nào (hoặc =

là bất kỳ h(n) nào ) do vậy các bộ lọc loại này không thể sử dụng để tổng hợp bộ lọc

0

)(

N n

n j e n

0

) (

N n

n j e n

h ω + ∑ư

=

ư 1

2

) (

N n

n j

N

e n

h ω (3.14) Đặt n = N -1-m Viết lại phương trình dưới dạng

0

) (

N n

n j e n

) 1 (

) 1 (

N m

m N j e m N

1

)2

1(sin)(

N n

n n

1 2 ( ư ư

ưjπ N

)2(2)

1 ( sin ) (

2

1

n n

d N n

ω

21

ư

= N

β = 2π Như vậy tại tần số ω =0 thì

0 n = 0 với mọi n

⇒ A(ejω

) = 0 với bất kỳ d(n) nào (hoặc là bất kỳ h(n) nào ) do vậy các bộ lọc loại này không thể sử dụng để tổng hợp bộ lọc có đáp ứng tần số khác không tại ω =0

)(e jωH

0 0 0

H×nh 1.3.9.

-2sin2ω

ω

Có thể tổng kết một cách ngắn gọn 4 loại bộ lọc FIR pha tuyến tính trong bảng sau

h(n) = h(N-1-n)

h(n) phản đối xứng h(n) = -h(N-1-n)

ωα

∑

−

= 2 1

0

cos ) (

2

1()0

2

1 1

21

) đối xứng trong khoảng tần

số

0≤ω ≤ 2π

)()(e jω A e jω

) (

2

1

n n

b

N

n

ω

0 với n còn lại A(ejω

) phản đối xứng trong khoảng tần số 0≤ω ≤ 2π

)()(e jω A e jω

khoảng 0≤ω ≤ 2π

A(ejω

) =0 tạiω= π ( Bộ lọc FIR loại hai )

N j

A(ejω

N n

ω

∑

−

= 2 1

1

sin ) (

2h ⎟

2

1 1

21

−

≤

≤n N c(n) =

0 với n còn lại A(ejω

) phản đối xứng trong khoảng tần

số 0≤ω ≤ 2π

)()(e jω A e jω

khoảng 0≤ω ≤ 2πA(ejω

) =0 ở ω =0 và ω = π (Bộ lọc FIR loại ba )

N j

) (

2

1

n n

d N n

ω

0 với n còn lại A(ejω

) đối xứng trong khoảng tần số

0≤ω ≤ 2π

)()(e jω A e jω

khoảng 0≤ω ≤ 2πA(ejω

) =0 ở tại ω = π ( Bộ lọc FIR loại bốn )

1.4 Biểu diễn mạch lọc trong miền thời gian và miền Z

1.4.1 Biểu diễn mạch lọc trong miền thời gian

- Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính

Xét một dãy bất kỳ x(n) ta có thể biểu diễn bằng biểu thức tổng sau đây :

x( )δ( ) Giả sử hệ thống đ−a vào xét là tuyến tính do vậy có thể viết

x( ) ( ) (4.3)

- Đáp ứng xung hk(n) đ−ợc gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính

Nhận xét :

- Các hệ thống tuyến tính đ−ợc đặc tr−ng hoàn toàn bởi đáp ứng xung của nó

- hk(n) là hàm của k và n nh− vậy ở các giá trị k khác nhau sẽ cho đáp ứng xung khác nhau , hệ thống tuyến tính này sẽ phụ thuộc vào biến k , nếu biến k là thời gian thì ta nói hệ thống tuyến tính phụ thuộc vào thời gian

+ / Các hệ thống tuyến tính bất biến

Định nghĩa

T)

(n−k

Nếu y(n) là đáp ứng của kích thích x(n) thì hệ thống tuyến tính gọi là bất biến khi y(n-k) là đáp ứng xung của kích thích x(n-k) ở đây k là số nguyên dương hoặc

âm

Nếu biến số là thời gian thì hệ thống bất biến theo thời gian

Hệ thống đang xét là bộ lọc do vậy đây là hệ thống tuyến tính , bất biến , nhân quả và ổn định

Tính chất của đáp ứng xung của mạch lọc

Các bộ lọc có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn được đặc trưng bởi hàm truyền đạt sau đây :

H(Z) = ∑ư

=

ư 1

0

)(

N n

n z n h

tức là :

L[h(n)] = [0, N-1] = N như vậy hệ thống lọc là một hệ thống ổn định

Dạng biểu diển của đáp ứng xung là phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

1.4.2 Biểu diễn mạch lọc trong miền Z

Xét quan hệ giữa đầu vào và đầu ra

Trong miền n bộ lọc có quan hệ như sau :

x( ) ( )

Biểu diễn bộ lọc trong miền Z thực chất là biến đổi Z của bộ lọc

H(Z) = ZT[h(n)] (4.4) Như vậy trong miền Z sẽ có quan hệ như sau :

Y(Z) = X(Z) - H(Z) X(Z) = ZT[x(n)]

H(Z) = ZT[h(n)]

Y(Z) = ZT[y(n)]

H(Z) =

)(

)(

Z X

Z Y

(4.5)

Như vậy biểu diễn bộ lọc trong miền Z thì ta thu được hàm truyền đạt của bộ lọc Hàm truyền đạt của một hệ thống rời rạc được biểu diễn dưới dạng phương trình sai phân tuyến tính

Quan hệ giữa đầu vào và đầu ra của hệ thống rời rạc tuyến tính , tuyến tính , bất biến và nhân quả được cho bởi phương trình sai phân sau đây

h(n)

y(n)x(n)

H(Z)

Y(Z)X(Z)

)(

lấy biến đổi Z các thành phần của phương trình ta có :

ZT[∑

=

ư

N k

k y n k a

0

)( ] = ZT[∑

=

ư

M r

r x n r b

k y n k a

0

)( zưn = ∑ ∑∞

r x n r b

k ZTy n k a

r ZTx n r b

0

)(

∑

=

ư

N k

k

k Z Y Z a

0

)( = ∑

=

ư

M r

r

r Z X Z b

0

)(

Y(Z)∑

=

ư

N k

k

k Z a

r

r Z b

0

H(Z) =

)(

)(

Z X

Z Y

0 k k

0 r

a

b (4.6)

Chương 2 :Các phương pháp tổng hợp bộ lọc số 2.1 Khái niệm chung

Phương pháp tổng hợp bộ lọc số FIR tức là việc tìm phương pháp tính toán các

hệ số của bộ lọc Các hệ số sau khi tính toán này được gọi là các hệ số có giá trị liên tục Tuy nhiên ở đây chỉ xét các phương pháp tổng hợp bộ lọc số FIR pha tuyến tính

Các hệ số h(n) của bộ lọc được tính toán sao cho bộ lọc được thoả mãn các chỉ tiêu kỷ thuật đã đề ra theo yêu cầu của các nhiệm vụ cụ thể Các chỉ tiêu kỷ thuật này thông thường cho trrong miền tần số , tức là cho theo đáp ứng tần số

Đáp ứng tần số này phải gần đúng một hàm đã cho , và phải nằm trong một giới hạn được xây dựng bởi các chỉ tiêu kỷ thuật của bộ lọc số

Chẳng hạn như đối với bộ lọc số thông thấp đặc tính tần số của biên độ

Tức là:

)eH( jω ≤δ 2 ω ωs ≤ π≤

) là một hàm tuần hoàn chu kỳ

2πtrong lọc tương tự được đặc trưng trong miền tần số tương tự ω bằng đáp ứng tần a

số của nó Ha(ω ) để thực hiện được bằng con đường số , đáp ứng tần số Ha a(ω ) anày phải coi như tuần hoàn với (chu kỳ 2π )

a

e t

H( ) 2

Các giá trị của h(n) là các hệ số khai triển fourier hàm tuần hoàn chu kỳ 2πvì vậy phương pháp cửa sổ còn gọi là phương pháp tổng hợp bộ lọc FIR nhờ khai triển Fourier

h(n) là đáp ứng xung của bộ lọc lý tưởng vì vậy h(n) có chiều dài vô hạn nên không thể tổng hợp bộ lọc FIR được

L[h(n)] = [ư , ∞ +∞] h(n) là không nhân quả vì vậy không thực hiện được về mặt vật lý

Để cho đáp ứng h(n) trở thành đáp ứng xunng của bộ lọc FIR phải thực hiện chuyển h(n) trở thành nhân quả và phải hạn chế chiều dài của nó

Để hạn chế chiều dài của đáp ứng xung h(n) sử dụng các hàm cửa sổ

Hàm cửa sổ được định nghĩa như sau

≠0 1

21

ư

≤

≤n N W(n)N =

0 với n còn lại

Các bước chính của phương pháp cửa sổ

Phương pháp cửa sổ được thực hiện với bộ lọc FIR loại 1 gồm các bước chính sau đây

- Chọn 4 chỉ tiêu kỷ thuật của bộ lọc số : δ1,δ2,ωp,ωs

- Chọn dạng cửa sổ và chiều dài N của cửa sổ , trong miền n cửa sổ có tâm đối xứng tại n =

21

ư

N

Vậy trong miền tần số cửa sổ có pha tuyến tính θ(ω)=

-21

ư

N ω -Chọn loại bộ lọc lý tưởng có đáp ứng xung là h(n) , h(n) có tâm đối xứng tại 2

ư

N ω

- Nhân cửa sổ W(n)N với h(n) để được hd(n) của bộ lọc thực tế

hd(n) = W(n)Nh(n) L[W(n)N] = N L[h(n) ] = ∞L[hd(n)] = N Sau khi tìm được hd(n) thử lại trong miền tần số xem có thỏa mãn 4 chỉ tiêu kỷ thuật đã đặt ra hay không Nếu không thoả mãn thì tiếp tục tăng N rồi lặp lại các bước trên đến khi nào thoả mãn các chỉ tiêu kỷ thuật thì dừng lại

Để thử lại trong miền tần số được thực hiện bằng tích chập trong miền tần số sau

π

π

d e

H e

2.3 Phương pháp lấy mẫu tần số

Từ phương pháp đã xét ở trên có hạn chế là cùng một chỉ tiêu kỷ thuật thì thương chiều dài của bộ lọc N lớn hơn là chiều dài cần thiết để thoả mãn chỉ tiêu kỷ thuật đã cho

Hơn nữa đối với phương pháp cửa sổ thường chịu ảnh hưởng của hiện tượng Gibbs Khi sử dụng cửa sổ trong miền n rất phức tạp , thì việc khảo sát trong miền tần số gặp nhiều khó khăn

Đặc trưng cơ bản

≠ 0 0≤n≤N ư 1

hd(n)N =

0 n còn lại Vậy ta có thể tìm biến đổi Fourier rời rạc với N điểm

kn

N N

0

)(

1 N k

kn N

d k W H

k d N

ở đây:

k N

sin ) (

1 N k

k j N

N d

N N

e k k

H N

π

ω π

ω ω

e k H

)(

) sin(

sin

2

2

k N

N

π ω

θ =

-21

N

e k

H − π

−

=

∑10

)(

) sin(

sin

2

2

k N

N

π ω

π

ω = 2 Sai số của phép gần đúng này bằng không tại tần số ω và sẽ hữu hạn đối với kcác tần số khác

e k H

)(

) sin(

sin

2

2

k N

N

π ω

sin

2

2

k N

N

π ω

loại 1 k

N k

N k

Tuy nhiên phương pháp này sẽ gặp khó khăn đó là việc tính toán rất phức tạp vì việc tổng hợp bộ lọc số ở đây như là một bài toán gần đúng theo định nghĩa chebyscher

Cách biểu diễn Ad(ejω

) của bộ lọc số FIR Dạng tổng quát

Ad(ejω

) = Q(ejω

).P(ejω

) Xác định Q(ejω

0

cos)(

N n

n n

ư

= 2 1

0

,

cos ) (

N n

n n

Q(ejω

) = 1 P(e jω

) = ∑

ư

= 2 1

0

,

cos ) (

N n

n n

1 ( cos ) (

N n

n n

= 2

0

,

cos ) ( 2

N n

n n

P(ejω

) = ∑

= 2

0

,

cos ) (

n

n n

b(

2

N

) = 2

1

b’(2

1

sin ) (

N n

n n

c ω = sinωn ∑−

−

=

1 2 1

0

'

cos ) (

N n

n n

0

'

cos ) (

N n

n n

−

N

) = 2

1

c’(21

(sin)(

N n

n n

0

'

cos)(

N n

n n

P(ejω

) = ∑−

=

1 2

0

'

cos ) (

N n

n n

1

d’(2

sinω n

sin2ω

∑

ư

= 2 1

0

,

cos ) (

N n

n n

∑

= 2

0

,

cos)(

N n

n n

0

'

cos ) (

N n

n n

∑ư

=

1 2

0

'

cos ) (

N n

n n

2.5 Xác định phương pháp lập trình tính toán tổng hợp bộ lọc số

2.5.1 Xác định phương pháp

Như trình bày ở trên có 3 phương pháp chính để tổng hợp bộ lọc số Mỗi phương pháp có ưu và nhược điểm khác nhau

Đối với phương pháp cửa sổ việc tính toán các thông số của mạch lọc là đơn giản nhất vì đây là phương pháp trực quan có thể minh hoạ được bằng hình vẽ Tuy nhiên với một chỉ tiêu kỹ thuật đặt ra , thì việc thiết kế bộ lọc theo phương pháp cửa

sổ so với hai phương pháp còn lại thì phương pháp cửa sổ độ dài cửa sổ thường chiều dài của bộ lọc sẽ lớn hơn cần thiết , để thoả mãn chỉ tiêu kỷ thuật đã cho Mặt khác việc chọn cửa sổ thiết kế mạch lọc để giảm hiện tượng Gibbs củng không phải đơn giản Việc biểu diễn mạch lọc trong miền n càng phức tạp thì việc khảo sát mạch lọc trong miền tần số lại càng gặp khó khăn

Đối với phương pháp lấy mẫu tần số thì việc tính toán các thông số của mạch lọc phức tạp hơn so với phương pháp cửa sổ tuy nhiên chỉ tiêu kỹ thuật của mạch lọc đạt

được khả quan hơn so với phương pháp cửa sổ