Bài giảng vật lý a1 chương 4

CHƯƠNG IV CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ CHẤT ĐIỂM VÀ VẬT RẮN §1 CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ CHẤT ĐIỂM 1.Khối tâm hệ chất điểm Giả sử có hệ gồm chất điểm có khối lượng m1, m2 đặt điểm tương ứng M1, M2 trọng trường Trọng lực   tác dụng lên chất điểm m1 m2 véctơ: m1 g ; m2 g song song chiều với Tổng hợp lực có điểm đặt G nằm phương M1M2 thoả mãn điều kiện:   M 1G m2 g m2    m1M 1G   m2 M 2G M 2G m1 g m1    m1M 1G  m2 M 2G  (4  1) Điểm G thoả mãn (4-1) gọi khối tâm hệ chất Xét hệ n chất điểm sau: Khối tâm hệ n chất điểm có khối lượng m1, m2 …mn điểm G xác định đẳng thức vectơ:    m1M 1G  m2 M 2G   mn M nG   hay  mi M i G  n i 1 (4  2) Toạ độ khối tâm G gốc toạ độ O đó Toạ độ có thể xác định theo cách sau chất điểm thứ i (hình 4-2):    OG  OM i  M iG (4  3) Nhân vế (4-3) với mi cộng phương trình nhận theo vến với vế từ đến n, ta được: n ( m i )OG  i 1 m i OM i i 1 Chú ý đến (4-2), ta có: n ( m i 1 n i )OG  m i 1 n i OM i  m i 1 i MiG n  m OM Từ đó, ta suy ra: i i 1 OG  n m  OG  R i i i 1  có toạ độ X,Y,Z; OM i  r i có toạ độ xi, yi, zi, n  mi ri    R  i n1  mi i 1 Chiếu lên trục toạ độ, được: n n m x m y i i X i 1 n i i 1 i ;Y  m n i 1 n i i ;Z m i i 1 m z i i 1 n m i i 1 Vận tốc khối tâm Khi hệ chất điểm chuyển động, khối tâm có vận tốc:  n n   mi dri  mi vi  dR i 1 dt V  n  i 1n dt  mi  mi i 1 (4  4) i 1 n    Trong  mi vi   pi  P động lượng tổng hợp hệ n i 1 i 1 Nên vận tốc khối tâm có biểu thức:   P V m   5 Phương trình chuyển động khối tâm Giả sử hệ có n chất điểm, chất điểm chịu tác    dụng lực F1 , F2 , , Fn    chuyển động với gia tốc tương ứng: a1 , a2 , , an     cho m1a1  F1 , , mn an  Fn ta tìm gia tốc khối tâm   dV a  dt  dvi mi  dt i 1 n m i i 1   Fi   mi n n  i 1 n  m i i 1 n i 1 n   6 m i i 1    Fi  F tổng hợp ngoại lực tác dụng lên tất chất n i 1 m điểm hệ,  mi  m tổng khối lượng hệ, i 1 Do viết lại biểu thức sau:   F a m 4  7 Phương trình (4-7) giống phương trình chuyển động chất điểm Từ ta kết luận: Chuyển động khối tâm hệ chất điểm giống chuyển động chất điểm mang khối lượng tổng khối lượng hệ chịu tác dụng lực tổng hợp ngoại lực tác dụng lên hệ §2 CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA VẬT RẮN Định nghĩa Chuyển động tịnh tiến vật rắn chuyển động cho bất kỳ đoạn thẳng vẽ vật rắn luôn song song với Ví dụ: Chuyển động ngăn kéo bàn giấy, chuyển động bàn đạp xe đạp… Tính chất Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, chất điểm có quĩ đạo giống Do đó, chúng có quãng đường di chuyển s, vận tốc và gia tốc Phương trình động lực học vật rắn tịnh tiến Giả sử chất điểm có khối lượng m1, m2, , mn chịu    tác dụng ngoại lực F1 , F2 , , Fn    Khi đó chất điểm vật rắn có gia tốc a1 , a2 , , an       tuân theo định luật Newton II: m1a1  F1 , m2 a2  F2 , , mn an  Fn Trong chuyển động tịnh tiến, chất điểm có gia tốc Cộng vế với vế phương trình ta được:    n  n    mi  a   Fi  ma  F i 1  i 1    8    Fi  F tổng hợp tất ngoại lực tác dụng lên vật n i 1 rắn n m i i 1  m khối lượng vật rắn 1.Mômen lực tác dụng lên vật rắn quay Giả sử có vật rắn quay xung quanh trục cố định  tác dụng lực F Khi đó điểm đặt M lực F vạch quỹ đạo tròn bán kính r nằm mặt phẳng vuông góc với trục , có tâm nằm trục này, và có thể phân tích lực    thành thành phần (hình 4-5) F1 , Fn , Ft     cho:F  F1  Fn  Ft - Thành phần Ft tiếp tuyến vuông góc với bán kính - Thành phần Fnxuyên trục phương với bán kính - Thành phần F1 song song với trục quay  Như vậy: Tác dụng lực làm cho vật rắn quay quanh trục cố định  tương đương với tác dụng thành phần tiếp tuyến lực Vectơ mômen lực tiếp tuyến trục quay định    nghĩa: M  r  Ft Mômen lực có:    -Trị số: M  r.Ft sin  r , Ft   r.Ft   - Phương vuông góc với mặt phẳng chứa r , Ft    - Chiều cho ba vectơ r , Ft , M theo thứ tự đó hợp thành tam diện thuận Chú ý: M =0 F =0 F đồng phẳng với trục quay , nghĩa F song song với  , cắt trục  (r=0) Phương trình động lực học vật rắn quay quanh trục cố định Ta xét vật rắn chịu tác dụng mômen lực M, quay quanh trục cố định  với gia tốc góc β (Hình 4-6) Ta tìm mối liên hệ M và β Ta tưởng tượng chia vật rắn thành nhiều phần tử, phần tử có khối lượng mi, cách trục quay khoảng ri, chịu tác dụng ngoại lực tiếp tuyến Fti   Theo định luật Newton II, ta viết được: mi ati  Fti  Nhân hữu hướng bên trái phương trình với ri    và thay ati    ri      mi ri  (   ri )  ri  Fti          2  Chú ý: ri    ri   ri ri    ri  ri  ri     mi ri   M i        Cộng phương trình (4-8) vế với vế theo i ta được:     (mi ri )   M hay I   M    9   i i ngoại lực tác dụng lên vật i M i  M mômen tổng hợp rắn Và đại lượng I   mi ri mômen quán tính i  vật rắn trục quay Phương trình (4-9) có dạng tương tự phương trình   động lực học vật rắn chuyển động tịnh tiến ma  F đó: - Mômen lực đặc trưng cho tác dụng ngoại lực lên vật rắn chuyển động quay, có vai trò giống lực -Gia tốc góc đặc trưng cho biến thiên trạng thái vật rắn chuyển động quay, có vai trò giống gia tốc a -Mômen quán tính I đặc trưng cho quán tính vật rắn chuyển động quay, đóng vai trò khối lượng m Thật vậy, mômen lực tác dụng, mômen quán tính I lớn thì gia tốc góc nhỏ, vận tốc góc biến đổi, nghĩa trạng thái chuyển động quay vật rắn thay đổi Tính mômen quán tính vật rắn quay a.Trường hợp chung Mômen tính I vật rắn quay quanh trục cố định  tính theo công thức I   mi ri Trong đó mômen quán tính i chất điểm thứ i trục , phép cộng lấy cho chất điểm vật rắn Nếu khối lượng vật phân bố liên tục toàn thể tích nó, ta chia vật thành phần tử có khối lượng vô nhỏ dm, đó phép cộng tổng trở thành phép lấy tích phân cho toàn vật rắn I  toanvat r dm b Mômen quán tính vật rắn trục đối xứng Ví dụ Một đồng chất dài l, khối lượng m, quay quanh trục o qua trung điểm G và vuông góc với (Hình 4-7) Ta xét phần tử khối lượng dm, dài dx, cách G đoạn x Khi đó mômen quán tính dm trục o dI = x2.dm Vì đồng chất nên khối lượng đơn vị dài m/ℓ Khối lượng dm̀: dm = ml dx m dI = x dx l m ml  I   dI   x dx  I   12 Ví dụ Tính mômen quán tính khối trụ đặc đồng chất khối lượng m, bán kính R, quay quanh trục đối xứng o khối trụ Ta chia khối trụ đặc thành nhiều phần tử có đáy dS hình vành khăn bán kính x rộng dx, cao h Mỗi phần tử tích dV có khối lượng dm (hình 4-8): dm = dV = h2xdx R π R I   ρh πx dx  ρh mR I0  Trong đó, m = V = hR2 Bằng cách tương tự, ta tính Io cho trường hợp khác.Cụ thể là: - Vành tròn rỗng, trụ rỗng: Io = mR2 - Khối cầu I o = mR - Tấm phẳng chữ nhật I o = m (a + b ) 12 Định lý Steiner-Huyghens Trong trường hợp trục quay  song song với trục đối xứng ta có thể áp dụng định lý Steiner- Huyghens sau: Mômen quán tính I vật rắn trục  song song với trục đối xứng o mômen quán tính vật trục đối xứng o cộng với tích khối lượng m vật với bình phương khoảng cách d hai trục đó: I = Io + md2 §4.CÁC ĐỊNH LÝ VỀ MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG.ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG 1.Các định lý mômen động lượng   d   Nếu ta thay  = vào phương trình I  = M dt I = const thì   Id d  I   dL     M   10  dt dt dt   L  I  gọi mômen động lượng vật rắn trục quay  “Đạo hàm theo thời gian vectơ mômen động lượng vật rắn quay quanh trục cố định mômen tổng hợp ngoại lực tác dụng lên vật rắn đó”   Từ (4-10) ta suy ra: dL  Mdt   11  Trong dL độ biến thiên mômen động lượng vật rắn khoảng thời gian dt  Mdt gọi xung lượng mômen tổng hợp ngoại lực tác dụng lên vật rắn khoảng thời gian dt.Lấy tích phan hai vế (4-11)   ΔL  L2   L1  dL  t2   Mdt t1 “Độ biến thiên mômen động lượng vât rắn quay quanh trục cố định khoảng thời gian t=t2-t1 xung lượng vectơ mômen động lượng tổng hợp ngoại lực tác dụng lên vật rắn khoảng thời gian đó” Định luật bảo toàn mômen động lượng Giả sử có vật rắn cô lập (không chịu tác dụng ngoại lực), theo định lývề mômen động lượng dL =0 dt  L  const “Mômen động lượng vật rắn cô lập bảo toàn” Trong thực tế, vật rắn chịu tác dụng ngoại lực mômen lực trục quay không   M  F  F đồng phẳng với trục quay , mômen động lượng vật rắn bảo toàn Trường hợp M hình chiếu lên phuơng không, mômen động lượng vật rắn bảo toàn (theo phương) §5 CÔNG CỦA LỰC VÀ ĐỘNG NĂNG CỦA VẬT RẮN QUAY Công và công suất lực chuyển động quay vật rắn Nếu vật rắn quay xung quanh trục cố định , lực tiếp tuyến nằm mặt phẳng quỹ đạo làm cho vật rắn quay (xem hình 4-13) thì đó, công vi phân lực tiếp tuyến Ft là: dA = Ft.ds Mặt khác ds = r.d → dA = r.Ft.d mà M = r.Ft mômen lực Ft trục quay   ta có thể viết: dA=M.d → A12   Md 1 Công suất mômen lực là: dA d P M  M dt dt Vì hai vectơ chiều nên viết:   P  M Động vật rắn quay Giả sử tác dụng lực tiếp tuyến điểm đặt lực lên vật rắn quay cung ds Công nguyên tố ds là: dA=M.d Ta có phương trình động lực học vật rắn quay định nghĩa vận tốc góc gia tốc góc:      d dA  Fds  M  ; M  I dt  2     d   dA  I   I  d  Id   dt Công toàn phần mômen ngoại lực tác dụng làm cho vật rắn quay từ lúc có vận tốc góc 1 đến lúc có vận tốc góc 2 bằng: I 22 I 12 A  2 Từ đó suy biểu thức động vật rắn quay thời điểm có vận tốc góc  là: I w dq  Nếu vật rắn vừa quay vừa tịnh tiến, động toàn phần vật rắn tổng động quay và động tịnh tiến 2 mv I wd   2 [...]...    2  mi ri   M i  4  8      Cộng các phương trình (4- 8) vế với vế theo i ta được:     (mi ri )   M hay I   M 2   4  9   i i ngoại lực tác dụng lên vật i M i  M là mômen tổng hợp các rắn Và đại lượng I   mi ri 2 mômen quán tính của i  vật rắn đối với trục quay Phương trình (4- 9) có dạng tương tự phương trình cơ bản   của động lực học vật rắn chuyển động tịnh tiến...  Id d  I   dL     M  4  10  dt dt dt   L  I  được gọi là mômen động lượng của vật rắn đối với trục quay  “Đạo hàm theo thời gian vectơ mômen động lượng của vật rắn quay quanh một trục cố định bằng mômen tổng hợp của các ngoại lực tác dụng lên vật rắn đó”   Từ (4- 10) ta suy ra: dL  Mdt  4  11  Trong đó dL là độ biến thiên mômen động lượng của vật rắn trong khoảng thời gian dt... định lý Steiner- Huyghens như sau: Mômen quán tính I của vật rắn đối với một trục  song song với trục đối xứng o bằng mômen quán tính của vật đối với trục đối xứng o cộng với tích khối lượng m của vật với bình phương khoảng cách d giữa hai trục đó: I = Io + md2 4. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG.ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG 1.Các định lý về mômen động lượng   d   Nếu ta thay  = vào phương... chuyển động quay của vật rắn càng ít thay đổi 3 Tính mômen quán tính của vật rắn quay a.Trường hợp chung Mômen quá tính I của vật rắn quay quanh trục cố định  được tính theo công thức I   mi ri 2 Trong đó là mômen quán tính i của chất điểm thứ i đối với trục , phép cộng lấy cho các chất điểm của vật rắn Nếu khối lượng của vật phân bố liên tục trong toàn thể tích của nó, ta chia vật thành những... chiếu của nó lên phuơng nào đó bằng không, thì mômen động lượng của vật rắn được bảo toàn (theo một phương) §5 CÔNG CỦA LỰC VÀ ĐỘNG NĂNG CỦA VẬT RẮN QUAY 1 Công và công suất của lực trong chuyển động quay của vật rắn Nếu vật rắn quay xung quanh trục cố định , lực tiếp tuyến nằm trong mặt phẳng quỹ đạo làm cho vật rắn quay (xem hình 4- 13) thì khi đó, công vi phân của lực tiếp tuyến Ft là: dA = Ft.ds... ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH Khi một vật rắn quay xung quanh một trục  thì: -Mọi điểm của vật rắn sẽ có qũy đạo tròn, các đường tròn qũy đạo của chúng có cùng trục, trục này trùng với trục quay  và có tâm nằm trên trục quay , có bán kính r khác nhau -Trong cùng một khoảng thời gian t, bán kính của mọi điểm của vật rắn đều quay được một góc  như nhau -Mọi điểm của vật rắn có cùng... dụng lên vật rắn trong khoảng thời gian dt.Lấy tích phan hai vế của (4- 11)   ΔL  L2   L1  dL  t2   Mdt t1 “Độ biến thiên mômen động lượng của vât rắn quay quanh một trục cố định trong khoảng thời gian t=t2-t1 bằng xung lượng của vectơ mômen động lượng tổng hợp của các ngoại lực tác dụng lên vật rắn trong cùng khoảng thời gian đó” 2 Định luật bảo toàn mômen động lượng Giả sử có vật rắn cô... (không chịu tác dụng của ngoại lực), khi đó theo định lý về mômen động lượng dL =0 dt  L  const “Mômen động lượng của vật rắn cô lập được bảo toàn” Trong thực tế, vật rắn luôn chịu tác dụng của các ngoại lực nhưng nếu mômen lực đối với trục quay bằng không   M  0 do F  0 hoặc do F đồng phẳng với trục quay , thì khi đó mômen động lượng của vật rắn cũng được bảo toàn Trường hợp M 0 nhưng hình... quay , nghĩa là khi F song song với  , hoặc cắt trục  (r=0) 2 Phương trình cơ bản của động lực học vật rắn quay quanh một trục cố định Ta xét một vật rắn chịu tác dụng của mômen lực M, quay quanh trục cố định  với gia tốc góc β (Hình 4- 6) Ta tìm mối liên hệ giữa M và β Ta tưởng tượng chia vật rắn thành nhiều phần tử, mỗi phần tử có khối lượng mi, cách trục quay một khoảng ri, chịu tác dụng... với trục quay   ta có thể viết: dA=M.d → A12   Md 2 1 Công suất của mômen lực là: dA d P M  M dt dt Vì hai vectơ cùng chiều nên có thể viết:   P  M 2 Động năng của vật rắn quay Giả sử dưới tác dụng của lực tiếp tuyến điểm đặt lực lên vật rắn quay được một cung ds Công nguyên tố trên ds là: dA=M.d Ta đã có phương trình động lực học của vật rắn quay và định nghĩa vận tốc góc và gia ... lực tác dụng lên vật n i 1 rắn n m i i 1  m khối lượng vật rắn §3 CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH Khi vật rắn quay xung quanh trục  thì: -Mọi điểm vật rắn có qũy đạo... tính I vật rắn trục  song song với trục đối xứng o mômen quán tính vật trục đối xứng o cộng với tích khối lượng m vật với bình phương khoảng cách d hai trục đó: I = Io + md2 4. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ... lực học vật rắn quay quanh trục cố định Ta xét vật rắn chịu tác dụng mômen lực M, quay quanh trục cố định  với gia tốc góc β (Hình 4- 6) Ta tìm mối liên hệ M và β Ta tưởng tượng chia vật rắn