GIÁO TRÌNH MATLAB căn bản CHƯƠNG 8

CHƯƠNG 8: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN   ĐẠO HÀM RIÊNG    §1. MỞ ĐẦU 1.  Khái  niệm  chung:  Partial  Differential  Equation  (PDE)  Toolbox  cung  cấp  một môi trường mạnh và mềm mại để nghiên và giải các phương trình vi phân  đạo hàm riêng trong mặt phẳng. Dạng phương trình cơ bản của PDE Toolbox  là:    ‐∇.(c∇u) + au = f trong miền Ω  Các phương trình được rời rạc hoá bằng phương pháp phần tử hữu hạn(FEM).  Các đối tượng trong PDE cung cấp công cụ để:  • xác định bài toán PDE, nghĩa là xác định vùng 2D, các điều kiện biên và  các hệ số PDE.  •  giải  bằng  phương  pháp  số  các  bài  toán,  nghĩa  là  tạo  ra  lưới  không  có  cấu trúc, rời rạc hoá phương trình và tìm nghiệm xấp xỉ.   • hiển thị kết quả    2. Sử dụng GUI:    a. GUI: PDE Toolbox có một bộ giao diện đồ hoạ người dùng (graphical  user interface GUI) bao gồm các khiá cạnh của quá trình tìm nghiệm của PDE.  Để kích hoạt nó ta nhập lệnh pdetool tại cửa sổ lệnh của MATLAB.    Trên  cửa  sổ  GUI  có  các  menu  và  các  icon.  Ta  dùng  các  menu  hay  icon  này để thực hiện các nhiệm vụ nhất định.    b. Các menu: Có một số menu sau đây trên cửa sổ GUI:    • File: Từ menu này ta có thể Open và Save mô hình dưới dạng M‐file. Ta  có thể in đồ thị và thoát khỏi GUI.     • Edit:Từ menu này ta có thể cắt, dán, xoá, copy các đối tượng và chọn tất  cả các đối tượng.    • Options: Menu này chứa các tuỳ chọn cũng như các thay đổi trên trục x.     • Draw: Từ menu này ta có thể chọn các đối tương cơ bản để vẽ.    • Boundary: Menu này dùng để nhập các điều kiện biên cho các vùng.    • PDE: Menu này cung cấp các hộp thoại để mô tả PDE và xuất các hệ số  của nó vào vùng làm việc.     • Mesh: Ta dùng menu này để tạo ra lưới và thay đổi các tam giác.    • Solve: Ta chọn menu này để giải các phương trình PDE.    • Plot: Từ menu này ta vẽ nghiệm.  154   • Window: Chọn cửa sổ làm việc    • Help: Hiển thị cửa sổ trợ giúp.    c. Thanh công cụ:  Thanh công cụ có dạng như hình vẽ:          d. Các GUI mode: Quá trình giải PDE gồm các bước sau:    • xác định vùng 2‐D    • xác định điều kiện biên    • xác định PDE    • tạo lưới tam giác    • giải PDE    • vẽ nghiệm và các thuộc tính vật lí  pdetool GUI được thiết kế theo cách tương tự. Ta làm việc trong 6 kiểu khác  nhau, mỗi kiểu tương ứng với một bước trong quá trình giải PDE.    • Trong Draw mode ta tạo vùng 2‐D.    • Trong Boundary mode ta có thể mô tả điều kiện biên    • Trong PDE mode ta nhập các hệ số của phương trình vi phân.    • Trong Mesh mode ta khởi tạo lưới.    • Trong Solve mode ta giải phương trình.    • Trong Plot mode ta ve nghiệm và các thuộc tính vật lí khác    e. Mô hình CGS và Set Formular: PDE Toolbox dùng mẫu mô hình CSG  để mô hình hoá.Ta có thể vẽ các đối tượng chồng nhau. Có 4 loại đối tượng:    • Circle    • Polygon    • Rectangle    • Ellipse  Mỗi  đối  tượng  có  một  tên  duy  nhất  trong  GUI.  Tên  mặc  định  của  đối  tượng  circle là C, đối tượng đa giác là P, đối tượng hình chữ nhật là R, đối tượng hình  vuông  SQ  và  đối  tượng  ellip  là  E.  Tên  được  hiển  thị  trên  đối  tượng.  Trong  Draw mode ta có thể thay đổi tên và hình dạng đối tượng bằng cách nhấp đúp  lên nó. Khi đó một hộp thoại được mở ra và ta thay đổi thông số. Các toán tử +  , =, * được dùng để kết hợp các vùng. Toán tử + được dùng để tạo tổ hợp, toán  tử ‐ dùng tạo vùng có phần rỗng và toán tử * dùng để tạo ra vùng có giao nhau  155 menu con Select All trong menu Edit và chọn điều kiện biên Neumann cho tất  cả các biên. Sau đó sửa lại điều kiện biên cho hai phía của thanh. Phía trái chọn  điều  kiện  biên  Dirichlet  với  r  =  100.  Phía  bên  phải  chọn  điều  kiện  biên  Neumann  với  g  =  ‐10.  Bước  tiếp  theo  là  mở  hộp  thoại  PDE  Specification  và  nhập vào các hệ số của PDE. PDE parabolic tổng quát mà PDE Toolbox xử lí  có dạng:  ∂u   d − ∇.(∇u) + au = f   ∂t với điều kiện đầu u0 = u(t0) và thời gian tính nghiệm mô tả trong mảng tlist.  Như vậy trong trường hợp này ta có d = 1, c = 1, a = 0 và f = 0. Khởi gán các  lưới và làm tinh lại. Điều kiện đầu u0 = 0 và khoảng thời gian được nhập vào  là [0:0.5:5]. Ta nhập chúng vào hộp thoại Solve Parameters từ menu Solve. Bây  giờ  ta  có  thể  giải  bài  toán.  Để  thấy  được  quá  trình  truyền  nhiệt  ta  đánh  dấu  vào  ô  Animation  trong  hộp  thoại  Plot  selection.  Nên  chọn  màu  là  colormap  hot.  Chú  ý  là  nhiệt  độ  của  khối  tăng  rất  nhanh.  Bài  toán  này  được  lưu  trong  ct8_9.m.    b.    Phân  bố  nhiệt  trong  thanh  phóng  xạ:  Bài  toán  phân  bố  nhiệt  này  là  một ví dụ về bài toán 3‐D PDE parabolic được biến đổi thành bài toán 2‐D nhờ  dùng  toạ  độ  trụ.  Ta  khảo  sát  một  thanh  phóng  xạ  hình  trụ.  Tại  cuối  bên  trái  của thanh nhiệt được gia tăng liên tục. Đầu cuối bên phải có nhiệt độ không  đổi. Tại biên bên ngoài, nhiệt được trao đổi với mô trường bằng truyền nhiệt.  Tại một thời điểm,nhiệt độ được tạo ra không đồng đều trong toàn bộ thanh  do quá trình phóng xạ. Giả sử ban đầu nhiệt độ bằng 0. Điều này đưa tới bài  toán sau:  ∂u ρC − ∇.( k∇u) = f     ∂t Trong đó ρ là mật độ, C là nhiệt dung riêng của thanh, k là hệ số dẫn nhiệt và f  là nguồn nhiệt phóng xạ. Mật độ của kim loại là 7800kg/m3, nhiệt dung riêng  là 500Ws/kg0C, độ dẫn nhiệt là 40W/m0C. Nguồn nhiệt là 20000W/m3. Nhiệt độ  ở  một  đầu  thanh  là  1000C.  Nhiệt  độ  môi  trường  bên  ngoài  là  1000C  và  hệ  số  truyền nhiệt là 50W/m20C. Dòng nhiệt ở cuối bên trái là 5000 W/m2. Nhưng đây  là bài toán hình trụ, như vậy ta cần biến đổi phương trình, dùng các toạ độ trụ  r , z và θ. Do tính đối xứng, nghiệm không phụ thuộc θ. Như vậy phương trình  đã biến đổi là:  ∂u ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ ⎛ ∂u ⎞ rρC   − ⎜ kr ⎟ − ⎜ kr ⎟ = fr   ∂t ∂r ⎝ ∂r ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠ Điều kiện biên là:  168 r   •  n.( k∇u ) = 5000 ở đầu cuối bên trái của thanh(điều kiện biên Neumann).  r Do điều kiện Neumann tổng quát hoá trong PDE Toolbox là  n (c∇u)+qu = g và  c phụ thuộc vào r trong bài toán này( c= kr),điều kiện biên này được biểu diễn  r bằng biểu thức  n.(c∇u) = 5000r.    • u = 100 tại đầu cuối bên phải của thanh(điều kiện biên Dirichlet)  r   •  n.(k∇u)=  50(100‐u)  tại  biên  bên  ngoài(điều  kiện  biên  Neumann  tổng  quát hoá). Trong PDE Toolbox nó được biểu diễn bằng:  r   n.(c∇u)+ 50r.u = 50r.100.    • trục của hình trụ r = 0 không phải là biên trong bài toán gốc nhưng khi  r biến đổi thành 2‐D thì lại là biên.Ta phải cho một điều kiện biên  n.(c∇u) = 0 tại  đây. Giá trị đầu là u(t0) = 0  Mô hình thanh là hình chữ nhật dọc theo trục x và trục y hướng r. Ta vẽ  hình chữ nhật với các góc (‐1.5,0), (1.5,0), (1.5,0.2), (‐1.5,0.2), nghĩa là cần nhập  các số [‐1.5  0.0  3  0.2] vào Object Dialog của phần tử R1. Nhập điều kiện biên  Neumann cho đầu cuối bên trái với q = 0 và g = 5000*y. Nhập điều kiện biên  Dirichlet cho đầu cuối bên phải với h = 1và r = 100. Đối với biên ngoài dùng  điều kiện biên Neumann với q = 50*y và g = 50*y*100. Trên trục ta dùng điều  kiện biên Neumann với q = 0 và g = 0. Các hệ số của phương trình c = 40*y, a =  0, d = 7800*500*y và f =20000*y.     3. Các ví dụ về bài toán hyperbolic:  a. Phương trình sóng: Ta khảo sát sóng tạo ra từ dao động của một màng  hình  vuông  có  các  góc  (‐1,‐1),(‐1,1),(1,‐1)  và  (1,1).  Phương  trình  dao  động  có  dạng:  ∂2u − ∆u =   ∂t ∂u = ⎞⎟ ở  Màng được cố định(u = 0) tại cạnh phải và cạnh trái và tự do ⎛⎜ ⎝ ∂n ⎠ ∂u( t ) ⎞ cạnh  trên  và  cạnh  dưới.  Ngoài  ra,  ta  cần  giá  trị  đầu  u(t0)  và  ⎛⎜ ⎟   Giá  trị  ⎝ ∂t ⎠ đầu  phải  khớp  với  điều  kiện  biên.  Nếu  ta  bắt  đầu  tại  t  =  π sin ⎛⎜ y ⎞⎟ ∂u(0) π ⎞ ⎛ ⎝2 ⎠  là các giá trị đầu thoả mãn  0,thì u(0) = arctan⎜ cos x ⎟ và  = sin( πx)e ⎠ ∂t ⎝ điều kiện biên.    Ta  dùng  PDE  Toolbox  với  mode  Generic  Scalar.  Vẽ  hình  chữ  nhật  với  các góc như trên, nghĩa là ta phải điền vào  Object Dialog các số: [ ‐1  ‐1  2  2].  Sau  đó  ta  xác  định  điều  kiện  biên  và  khởi  gán  lưới.  Mở  hộp  thoại  PDE  169 ... kiện biên Neumann với q = 0 và g = 0. Các hệ số của phương trình c = 40*y, a =  0, d =  780 0*500*y và f =20000*y.     3. Các ví dụ về bài toán hyperbolic:  a. Phương trình sóng: Ta khảo sát sóng tạo ra từ dao động của một màng ... là bài toán hình trụ, như vậy ta cần biến đổi phương trình,  dùng các toạ độ trụ  r , z và θ. Do tính đối xứng, nghiệm không phụ thuộc θ. Như vậy phương trình đã biến đổi là:  ∂u ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ ⎛ ∂u ⎞ rρC... nhau, mỗi kiểu tương ứng với một bước trong quá trình giải PDE.    • Trong Draw mode ta tạo vùng 2‐D.    • Trong Boundary mode ta có thể mô tả điều kiện biên    • Trong PDE mode ta nhập các hệ số của phương trình vi phân.