chiều đồng điều gorenstein

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thái Ngân CHIỀU ĐỒNG ĐIỀU GORENSTEIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thái Ngân CHIỀU ĐỒNG ĐIỀU GORENSTEIN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VIẾT ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy tổ Đại số, tận tình dạy dỗ truyền đạt cho em kiến thức quý báu suốt năm cao học Đặc biệt, em xin cảm ơn thầy TS Nguyễn Viết Đông, thầy tận tình hướng dẫn em trình làm luận văn Em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình tạo điều kiện em tập trung học tập Cuối cùng, xin cảm ơn anh chị khóa người bạn giúp đỡ nhiều thời gian qua Lê Thái Ngân MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các môđun đặc biệt 1.2 Tiền bao tiền phủ 10 1.3 Vành coherent phải 11 1.4 Phức đồng điều 12 1.5 Chiều đồng điều 14 1.6 Torn Extn 15 CHƯƠNG 2: LỚP RESOLVING 19 CHƯƠNG 3: CHIỀU XẠ ẢNH GORENSTEIN VÀ CHIỀU NỘI XẠ GORENSTEIN 29 CHƯƠNG 4: CHIỀU DẸT GORENSTEIN 51 KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 BẢNG KÍ HIỆU M ⊕N tổng trực tiếp môđun M môđun N M ⊗R N tích tenxơ hai môđun M N vành R ⊕ Mi i∈I tổng trực tiếp họ môđun {M i }i∈I ∏ Mi tích trực tiếp họ môđun {M i }i∈I Im( M → N ) ảnh đồng cấu M → N Ker( M → N ) hạt nhân đồng cấu M → N Coker( M → N ) đối hạt nhân đồng cấu M → N Hom R ( M , N ) tập R-đồng cấu M → N TornR ( M , N ) tích xoắn n -chiều R môđun M N Ext nR ( M , N ) tích mở rộng n -chiều R môđun M N M+ môđun đặc trưng M , M + = Hom ( M ,  ) X⊥ ( ⊥ X ) P( R) ( I ( R) , F( R) ) lớp trực giao phải (lớp trực giao trái) lớp R-môđun xạ ảnh (nội xạ, dẹt) P ( R) ( I lớp R-môđun có chiều xạ ảnh i∈I ( R) , F ( R) ) (nội xạ, dẹt) hữu hạn GP( R) ( GI ( R) , GF( R) ) GP ( R) ( GI lớp R-môđun xạ ảnh (nội xạ,dẹt) Gorenstein ( R) , G F ( R) ) lớp R-môđun có chiều xạ ảnh (nội xạ, dẹt) Gorenstein hữu hạn pd R M ( id R M , fd R M ) chiều xạ ảnh (nội xạ, dẹt) R-môđun M Gpd R M ( Gid R M , Gfd R M ) chiều xạ ảnh (nội xạ, dẹt) Gorenstein R-môđun M Chú ý Nếu vành R xác định, ta ký hiệu thu gọn là: M ⊗ N , Hom( M , N ), Torn ( M , N ), Ext n ( M , N ), pdM , idM , fdM , GpdM , GidM , GfdM LỜI MỞ ĐẦU Nội dung luận văn nghiên cứu chiều đồng điều Gorenstein môđun, dựa báo [7] Henrik Holm Trong suốt luận văn, nói đến môđun M mà không nói rõ ta hiểu M môđun trái Khi nói đến vành bất kì, ta qui ước vành kết hợp có đơn vị Luận văn có chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị mà sử dụng suốt luận văn Đặc biệt tính chất liên quan đến biểu đồ giao hoán, định nghĩa, tính chất liên quan đến Torn Ext n Chương trình bày lớp resolving, lớp trực giao X -phép giải với tính chất chúng Đặc biệt tính chất đóng tổng trực tiếp, đóng tích trực tiếp đóng hạng tử trực tiếp lớp Các kết chương sở để ta nghiên cứu lớp môđun xạ ảnh Gorenstein, lớp môđun nội xạ Gorenstein, lớp môđun dẹt Gorenstein, chiều đồng điều Gorenstein chương sau Chương trình bày môđun xạ ảnh Gorenstein, môđun nội xạ Gorenstein, chiều xạ ảnh Gorenstein chiều nội xạ Gorenstein Những khái niệm tính chất môđun nội xạ Gorenstein chiều nội xạ Gorenstein đối ngẫu khái niệm tính chất môđun xạ ảnh Gorenstein chiều xạ ảnh Gorenstein nên ta không chứng minh Cụ thể, ta chứng minh kết sau đây: Định lý 3.5 GP( R) tất R-môđun xạ ảnh Gorenstein lớp resolving xạ ảnh Hơn nữa, GP( R) đóng tổng trực tiếp đóng đối Lớp với hạng tử trực tiếp Định lý 3.21 Cho R-môđun M có chiều xạ ảnh Gorenstein hữu hạn, số nguyên n Khi ta có mệnh đề sau tương đương: 1) GpdM ≤ n 2) Ext i ( M , L) = với i > n, với R-môđun L có pdL hữu hạn 3) Ext i ( M , Q) = với i > n, với R-môđun xạ ảnh Q 4) Với dãy khớp → K n → Gn - →  → G0 → M → , Gn - 1,, G0 R-môđun xạ ảnh Gorenstein, K n R-môđun xạ ảnh Gorenstein Khi đó, có định lý đối ngẫu định lý môđun nội xạ Gorenstein chiều nội xạ Gorenstein Chương ta nghiên cứu môđun dẹt Gorenstein chiều dẹt Gorenstein Trên vành coherent phải có liên hệ môđun trái dẹt Gorenstein môđun phải nội xạ Gorenstein Do đó, từ tính chất môđun phải nội xạ Gorenstein chương 3, ta có tính chất tương tự cho môđun trái, dẹt Gorenstein Do hạn chế thời gian lực nên luận văn giới thiệu khái niệm số tính chất chiều đồng điều Gorenstein, chưa ứng dụng chúng nghiên cứu Toán học Mặc dù cố gắng luận văn khó tránh khỏi sai sót Rất mong nhận góp ý thầy cô, anh chị bạn Chân thành cảm ơn Lê Thái Ngân CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các môđun đặc biệt Định nghĩa 1.1 Môđun P gọi môđun xạ ảnh với toàn cấu σ : B → C , đồng cấu f : P → C , tồn đồng cấu ϕ : P → B cho f = σϕ Chú ý 1.2 Một định nghĩa vắn tắt môđun xạ ảnh là: Môđun P môđun xạ ảnh hàm tử Hom( P,−) hàm tử khớp Như vậy, môđun P môđun xạ ảnh với dãy khớp ngắn → A → B → C → 0, dãy sau khớp: → Hom( P,A) → Hom( P,B) → Hom( P,C ) → Định lý 1.3 ([1], Định lý 1, trang 73) Mỗi môđun tự X môđun xạ ảnh Định lý 1.4 ([1], Định lý 2, trang 73) Tổng trực tiếp họ môđun P = ⊕ Pi xạ i∈I ảnh môđun thành phần Pi xạ ảnh Mệnh đề 1.5 ([2], Bài tập 1.17) Cho biểu đồ đồng cấu h hf = 0, dòng khớp Khi đó, tồn đồng cấu ϕ : C → X cho h = ϕ g Mệnh đề 1.6 ([2], Bài tập 1.18) Cho biểu đồ đồng cấu h gh = 0, dòng khớp Khi đó, tồn đồng cấu ψ : X → A cho f ψ = h Mệnh đề 1.7 ([2], Bài tập 2.4) Cho biểu đồ đồng cấu hình vuông giao hoán, dòng khớp, kh = 0, P môđun xạ ảnh Khi đó, tồn đồng cấu ϕ : P → A để hình vuông bên trái giao hoán Mệnh đề 1.8 ([1], Bổ đề năm ngắn, trang 56) Cho biểu đồ giao hoán đồng cấu sau, dòng khớp: Khi đó, α , γ đơn (toàn, đẳng) cấu β đơn (toàn, đẳng) cấu Mệnh đề 1.9 ([2], Bài tập 1.23) Cho biểu đồ giao hoán cột khớp Nếu hai dòng liên tiếp khớp dòng lại khớp Nếu dòng dòng khớp, dòng nửa khớp, dòng khớp Mệnh đề 1.10 ([2], Bài tập 2.6) Mỗi dãy khớp ngắn → A → B → C → nhúng vào biểu đồ giao hoán ba dòng, ba cột khớp, dòng chẻ gồm môđun xạ ảnh Hơn nữa, cột biên trái biên phải chọn tùy ý Định nghĩa 1.11 Môđun J gọi môđun nội xạ với đơn cấu χ : A → B, đồng cấu f : A → J , tồn đồng cấu f : B → J cho f = f χ Chú ý 1.12 Một định nghĩa vắn tắt môđun nội xạ là: Môđun J môđun nội xạ hàm tử Hom(−,J ) hàm tử khớp Như vậy, môđun J môđun nội xạ với dãy khớp ngắn → A → B → C → 0, dãy sau khớp: → Hom(C,J ) → Hom( B,J ) → Hom( A,J ) → Định lý 1.13 ([1], Định lý 8, trang 81) Tích trực tiếp họ môđun J = ∏ Ji nội i∈I xạ môđun thành phần J i nội xạ Định lý 1.14 ([1], Định lý 9, trang 82) Mỗi môđun X nhúng vào môđun nội xạ N(X) đó, xem môđun của N(X) Mệnh đề 1.15   môđun nội xạ vành  ta GpdM ′′ = GpdL+1 nên GpdM ′′ < ∞ Vậy hai môđun M , M ′ M ′′ có chiều xạ ảnh Gorenstein hữu hạn môđun lại Định lý 3.24 Cho → N ′ → N → N ′′ → dãy khớp ngắn R-môđun Nếu hai môđun N , N ′ N ′′ có chiều nội xạ Gorenstein hữu hạn môđun lại 50 CHƯƠNG 4: CHIỀU DẸT GORENSTEIN Định nghĩa 4.1 Một phép giải dẹt mở rộng dãy khớp R -môđun (trái) dẹt, F :  → F1 → F0 → F → F →  , cho I ⊗ F dãy khớp với R-môđun phải, nội xạ I Một R-môđun M gọi dẹt Gorenstein (viết gọn G-dẹt), có phép giải dẹt mở rộng F thỏa M ≅ Im( F0 → F ) Lớp tất R-môđun dẹt Gorenstein kí hiệu GF( R) Nhận xét 4.2 Nếu F phép giải dẹt mở rộng tất ảnh, hạt nhân đối hạt nhân F môđun dẹt Gorenstein Hơn nữa, môđun dẹt môđun dẹt Gorenstein Mệnh đề 4.3 Lớp GF( R) đóng tổng trực tiếp Chứng minh Áp dụng Định lý 1.20, ta có tổng trực tiếp phép giải dẹt mở rộng phép giải dẹt mở rộng Từ đó, suy lớp GF( R) đóng tổng trực tiếp Định lý 4.4 Cho R vành bất kì, M R-môđun (trái) Xét mệnh đề sau: 1) M R-môđun dẹt Gorenstein 2) Môđun đặc trưng M + = Hom ( M ,  ) R-môđun phải, nội xạ Gorenstein 3) M có F( R) -phép giải phải, đối chính, ToriR ( I , M ) = với i > với R-môđun phải, nội xạ I Khi đó, ta có 1) ⇒ 2) Nếu R vành coherent phải, ta có 2) ⇒ 3) ⇒ 1), mệnh đề tương đương Chứng minh Với R vành bất kì, ta chứng minh 1) ⇒ 2) Giả sử M R- môđun dẹt Gorenstein, tồn phép giải dẹt mở rộng F ,  → F1 → F0 → F → F → , 51 thỏa M ≅ Im( F0 → F ) Do F phép giải dẹt mở rộng nên dãy I ⊗R F ,  → I ⊗R F1 → I ⊗R F0 → I ⊗R F → I ⊗R F → , dãy khớp với R-môđun phải, nội xạ I Tác dụng hàm tử Hom (−,  ) lên dãy khớp I ⊗R F , ta dãy khớp  → Hom ( I ⊗R F ,  ) → Hom ( I ⊗R F ,  ) → Hom  ( I ⊗R F0 ,  ) → Hom  ( I ⊗R F1 ,  ) →  Từ Mệnh đề 1.59, ta có Hom  ( I ⊗R F i ,  ) = Hom R ( I ,Hom  ( F i ,  )) = Hom R ( I , F i + ), Hom  ( I ⊗R Fi ,  ) = Hom R ( I ,Hom ( Fi ,  )) = Hom R ( I , Fi + ) với i ≥ 0, nên ta có dãy khớp  → Hom R ( I , F 1+ ) → Hom R ( I , F 0+ ) → Hom R ( I , F0+ ) → Hom R ( I , F1+ ) →  Do F i Fi R-môđun dẹt nên theo Mệnh đề 1.26, F i + Fi + Rmôđun phải, nội xạ Do đó, ta có dãy  → F 1+ → F 0+ → F0+ → F1+ →  phép giải nội xạ mở rộng Do M ≅ Im( F0 → F ) nên M + ≅ Ker ( F0+ → F1+ ) Vì vậy, M + R-môđun phải, nội xạ Gorenstein Giả sử R vành coherent phải, ta chứng minh 2) ⇒ 3) ⇒ 1) Ta chứng minh 2) ⇒ 3) Ta chứng minh ToriR ( I , M ) = với i > với R-môđun phải, nội xạ I Do M + = Hom ( M ,  ) R-môđun phải, nội xạ Gorenstein, kết hợp Mệnh đề 1.60 Mệnh đề 3.4, ta Hom ( ToriR ( I , M ),   ) ≅ Ext iR ( I , Hom ( M ,  ) ) = với i > Suy ToriR ( I , M ) = với i > với R-môđun phải, nội xạ I 52 F( R) -phép giải phải, đối Vì M + Rmôđun phải, nội xạ Gorenstein nên theo Mệnh đề 3.4, M + có I ( R) -phép giải Ta chứng minh M có trái, chính, giả sử dãy khớp  → I1 → I → M + → 0, với I i R-môđun phải, nội xạ Đặt K = Ker( I → M + ) , ta có dãy khớp ngắn → K → I → M + → Do đó, dãy sau khớp → M ++ → I 0+ → K + → Vì R vành coherent phải I R-môđun phải, nội xạ, theo Bổ đề 1.32 I 0+ R-môđun trái, dẹt Theo Nhận xét 1.24 M → M ++ đơn cấu, mà M ++ → I 0+ đơn cấu, nên ta có đơn cấu ϕ : M → I 0+ Theo Định lý 1.31, M có tiền bao dẹt ( F( R) -tiền bao), giả sử σ : M → F (F dẹt) I 0+ R-môđun dẹt, theo định nghĩa tiền bao dẹt, ta có dãy khớp Hom R ( F , I 0+ ) → Hom R ( M , I 0+ ) → Do đó, với đồng cấu ϕ : M → I 0+ tồn đồng cấu ϕ ′ : F → I 0+ thỏa ϕ = ϕ ′σ Do ϕ đơn cấu nên σ đơn cấu Khi đó, đặt C = Cokerσ , ta có dãy khớp ngắn → M → F → C → Nên dãy sau khớp → C 0+ → F 0+ → M + → Ta chứng minh C 0+ R-môđun phải, nội xạ Gorenstein Do F R-môđun dẹt, nên F 0+ R-môđun phải, nội xạ nên nội xạ Gorenstein Do đó, theo Hệ 53 3.14, để chứng minh C 0+ nội xạ Gorenstein ta chứng minh Ext R ( I , C 0+ ) = với R-môđun phải, nội xạ I Do Ext R ( I , C 0+ ) Ext R ( I , Hom (C ,  ) ) ≅ Hom ( Tor R ( I , C ),   ) , = nên ta chứng minh Tor R ( I , C ) = Ta có, Tor R ( I , M ) = 0, chứng minh Vì F dẹt nên Tor R ( I , F ) = Do đó, để chứng minh Tor R ( I , C ) = , ta chứng minh dãy sau khớp → I ⊗R M → I ⊗R F → I ⊗R C → Vì R vành coherent phải I R-môđun phải, nội xạ, nên I + R-môđun dẹt Mà M → F tiền bao dẹt, nên dãy → Hom R ( F , I + ) → Hom R ( M , I + ) → khớp, suy dãy → Hom R (C , I + ) → Hom R ( F , I + ) → Hom R ( M , I + ) → khớp Khi đó, từ Mệnh đề 1.58, ta có dãy sau khớp → ( I ⊗R C ) → ( I ⊗R F ) → ( I ⊗R M ) → + + + Do đó, theo Mệnh đề 1.25, ta có dãy → I ⊗R M → I ⊗R F → I ⊗R C → khớp Vì vậy, C 0+ nội xạ Gorenstein Lập luận tương tự trình trên, ta có dãy khớp ngắn → C → F → C1 → 0, với F R-môđun dẹt C1+ R-môđun phải, nội xạ Gorenstein Tiếp tục trình ta thu dãy khớp ngắn → C n - → F n → C n → 0, với F n R-môđun dẹt C n+ R-môđun phải, nội xạ Gorenstein 54 Do đó, ta lập dãy F : → M → F → F1 →  → F n -1 → F n →  với F i R-môđun dẹt Do M → F tiền bao dẹt nên dãy Hom( F , F ) khớp F( R) -phép giải phải, đối M Ta chứng minh 3) ⇒ 1) Theo 3) M có F( R) -phép giải phải, đối chính, với R-môđun dẹt F Vậy, F giả sử dãy khớp F : → M → F → F →, với F i R-môđun dẹt Với R-môđun phải, nội xạ I, R vành coherent phải nên I + R-môđun dẹt F F( R) -phép giải phải, đối nên dãy sau khớp,  → Hom R ( F 1, I + ) → Hom R ( F , I + ) → Hom R ( M , I + ) → Do đó, dãy  → ( I ⊗R F ) → ( I ⊗R F ) → ( I ⊗R M ) → + + + khớp, nên dãy → I ⊗R M → I ⊗R F → I ⊗R F →, khớp Giả sử M có F( R) -phép giải trái  → F1 → F0 → M → 0, với Fi R-môđun dẹt Do ToriR ( I , M ) = với i > nên ta có dãy khớp  → I ⊗R F1 → I ⊗R F0 → I ⊗R M → Khi đó, ta có dãy khớp F ′ :  → F1 → F0 → F → F → , với F i Fi R-môđun dẹt, dãy I ⊗ F ′ khớp với R-môđun phải, nội xạ I Hơn nữa, M ≅ Ker( F → F )= Im( F0 → F ) nên M Gorenstein Vậy R vành coherent phải, ta có 1) ⇔ 2) ⇔ 3) 55 R-môđun dẹt Định lý 4.5 Cho R vành coherent phải lớp GF( R) tất R-môđun dẹt Gorenstein lớp resolving xạ ảnh đóng hạng tử trực tiếp Chứng minh Vì môđun dẹt dẹt Gorenstein nên F( R) ⊆ GF( R) Xét dãy khớp → M ′ → M → M ′′ → có M ′′ ∈ GF( R) Ta chứng minh M ′ ∈ GF( R) M ∈ GF( R) Từ dãy khớp ta có dãy khớp → M ′′+ → M + → M ′+ → M ′′ R-môđun dẹt Gorenstein nên theo 1) ⇒ 2) Định lý 4.4, ta có M ′′+ R-môđun phải, nội xạ Gorenstein Khi đó, R vành coherent phải, ta có M ′ ∈ GF( R) ⇔ M ′+ ∈ GI ( R) (do 1) ⇔ 2) Định lý 4.4) ⇔ M + ∈ GI ( R) (do GI ( R) lớp resolving nội xạ) ⇔ M ∈ GF( R) (do 1) ⇔ 2) Định lý 4.4) Do đó, lớp GF( R) lớp resolving Giả sử N ′ hạng tử trực tiếp N ∈ GF( R), ta chứng minh N ′ ∈ GF( R) Ta có N = N ′ ⊕ N ′′ với N ′′ R-môđun Do N R-môđun dẹt Gorenstein nên theo 1) ⇒ 2) Định lý 4.4, N + R-môđun phải, nội xạ Gorenstein Mà ta có N + = Hom ( N ,  ) = Hom ( N ′ ⊕ N ′′,  ) ≅ Hom ( N ′,  ) ⊕ Hom ( N ′′,  ) = N ′+ ⊕ N ′′+ , 56 nên N ′+ hạng tử trực tiếp N + Theo Định lý 3.6, ta có N ′+ Rmôđun phải, nội xạ Gorenstein Do R vành coherent phải theo 2) ⇒ 1) Định lý 4.4 N ′ R-môđun dẹt Gorenstein Vậy, lớp GF( R) đóng hạng tử trực tiếp Mệnh đề 4.6 Cho R vành coherent phải, → G′ → G → M → dãy khớp ngắn R-môđun, G G′ R-môđun dẹt Gorenstein Nếu Tor R ( I , M ) = với R-môđun phải, nội xạ I, M R-môđun dẹt Gorenstein Chứng minh Từ dãy khớp → G′ → G → M → , ta có dãy khớp → M + → G + → G ′+ → Do G, G′ R-môđun dẹt Gorenstein nên theo 1) ⇒ 2) Định lý 4.4, ta có G + G′+ R-môđun phải, nội xạ Gorenstein Ta có Ext R ( I , M + ) =Ext R ( I , Hom ( M ,  ) ) ≅ Hom ( Tor R ( I , M ),   ) = với R-môđun phải, nội xạ I Do đó, theo Hệ 3.14, ta có M + R-môđun phải, nội xạ Gorenstein Từ 2) ⇒ 1) Định lý 4.4, ta có M R-môđun dẹt Gorenstein Định nghĩa 4.7 Một R-môđun M gọi có chiều dẹt Gorenstein, Gfd R M (GfdM ), tối đa n (n ∈ ) , Gfd R M ≤ n, M có phép giải F( R) -phép giải) độ dài n Nếu M dẹt Gorenstein ( G phép giải dẹt Gorenstein hữu hạn, ta viết Gfd R M = ∞ Lớp tất R-môđun có chiều dẹt Gorenstein hữu hạn kí hiệu GF ( R) Nhận xét 4.8 Chiều dẹt Gorenstein R-môđun M độ dài nhỏ độ dài phép giải dẹt Gorenstein hữu hạn M R-môđun M dẹt Gorenstein có chiều dẹt Gorenstein không Mệnh đề 4.9 Cho R-môđun M bất kì, ta có bất đẳng thức = Gid R M + Gid R Hom ( M ,  ) ≤ Gfd R M 57 Nếu R vành coherent phải, ta có đẳng thức Gid R M + = Gfd R M Chứng minh Với vành R bất kì, giả sử Gfd R M = n , M có phép giải dẹt Gorenstein độ dài n, → Gn →  → G0 → M → 0, G0 ,, Gn R-môđun dẹt Gorenstein Khi đó, ta có dãy khớp → M + → G0+ →  → Gn+ → Do G0 ,, Gn R-môđun dẹt Gorenstein nên G0+ , , Gn+ R-môđun phải, nội xạ Gorenstein Như vậy, M + có phép giải nội xạ Gorenstein độ dài n Theo Định nghĩa 3.9, ta có Gid R M + ≤ n = Gfd R M Giả sử R vành coherent phải, ta chứng minh Gid R M + ≥ Gfd R M (1) Đặt Gid R M + = m hữu hạn Lấy dãy khớp → K m → Gm′ - →  → G0′ → M → 0, G0′ ,, Gm′ -1 R-môđun dẹt Gorenstein Do đó, ta có dãy khớp → M + → G0′+ →  → Gm′+- → K m+ → Do G0′ ,, Gm′ -1 R-môđun dẹt Gorenstein nên G0′+ , Gm′+- R-môđun phải, nội xạ Gorenstein Khi đó, Gid R M + = m hữu hạn, theo 1) ⇒ 4) Định lý 3.22, K m+ R-môđun phải, nội xạ Gorenstein Vì R vành coherent phải nên K m R-môđun dẹt Gorenstein Do đó, M có phép giải dẹt Gorenstein độ dài m nên Gfd R M ≤ m = Gid R M + (2) Vậy R vành coherent phải, từ bất đẳng thức (1) (2) ta có đẳng thức Gid R M + = Gfd R M 58 Mệnh đề 4.10 Cho R vành coherent phải, dãy khớp ngắn R-môđun → K → G → M → 0, G môđun dẹt Gorenstein, Gfd R M = n Nếu M môđun dẹt Gorenstein K Mặt khác n > Gfd R K= n − Chứng minh Theo Định lý 4.5, lớp GF( R) lớp resolving xạ ảnh, nên M môđun dẹt Gorenstein K Từ dãy khớp → K → G → M → 0, ta có dãy khớp → M + → G + → K + → G môđun dẹt Gorenstein nên G + môđun phải, nội xạ Gorenstein Vì R vành coherent phải nên theo Mệnh đề 4.9, ta có Gid R K + = Gfd R K Khi đó, áp dụng + Gid Gfd = = n RM RM Mệnh đề 3.18, ta có Gid R K + = Gid R M + − = n − Do đó, Gfd R K= n − Mệnh đề 4.11 Cho R vành coherent phải Nếu {M λ }λ∈Λ họ R-môđun bất kì, ta có đẳng thức: ( ) = Gfd R ⊕M λ sup {Gfd R M λ λ ∈ Λ} Chứng minh Vì R vành coherent phải, theo Mệnh đề 4.9, ta có Gfd R + (⊕M ) = Gid (⊕M ) = Gid Hom ( ⊕M λ λ R R  λ ,  ) = Gid R ∏ Hom ( M λ ,   ) (do Mệnh đề 1.55) = sup {Gid R Hom ( M λ ,   ) λ ∈ Λ} (do Mệnh đề 3.20) = sup {Gfd R M λ λ ∈ Λ} 59 (do Mệnh đề 4.9) Định lý 4.12 Cho R vành coherent phải, M R-môđun có chiều dẹt Gorenstein hữu hạn, số nguyên n Khi ta có mệnh đề sau tương đương: 1) Gfd R M ≤ n 2) ToriR ( H , M ) = với i > n, với R-môđun phải H có id R H hữu hạn 3) ToriR ( I , M ) = với i > n, với R-môđun phải, nội xạ I → K n → Gn - →  → G0 → M → 4) Với dãy khớp , Gn - 1,, G0 R-môđun dẹt Gorenstein, K n R-môđun dẹt Gorenstein Khi đó, chiều dẹt Gorenstein M xác định công thức sau: { } = sup i ∈  ∃H ∈ I ( R) : ToriR ( H , M ) ≠ Gfd R M { } = sup i ∈  ∃I ∈ I ( R) : ToriR ( I , M ) ≠ Chứng minh Ta chứng minh định lý theo chiều 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 4) ⇒ 1) Ta chứng minh 1) ⇒ 2) Do R vành coherent phải nên theo Mệnh đề 4.9, ta có + Gid = Gfd R M ≤ n Khi đó, theo 1) ⇒ 2) Định lý 3.22, ta có RM Ext iR ( H , M + ) = với i > n, với R-môđun phải H có id R L hữu hạn Mà theo Mệnh đề 1.60 , ta có Hom ( ToriR ( H , M ),   ) ≅ Ext iR ( H , Hom ( M ,  ) ) = Ext iR ( H , M + ) = 0, suy ToriR ( H , M ) = với i > n, với R-môđun phải H có id R L hữu hạn Ta chứng minh 2) ⇒ 3) Mọi R-môđun phải, nội xạ I có id R I = hữu hạn Do đó, từ 2) ToriR ( I , M ) = với i > n Ta chứng minh 3) ⇒ 4) Xét dãy khớp → K n → Gn - →  → G0 → M → 0, Gn - 1,, G0 R-môđun dẹt Gorenstein Từ đó, ta có dãy khớp 60 → M + → G0+ →  → Gn+- → K n+ → 0, G0+ ,, Gn+- R-môđun phải, nội xạ Gorenstein, Gn - 1, , G0 R-môđun dẹt Gorenstein Khi đó, áp dụng 3) ⇒ 4) Định lý 3.22, ta K n+ R-môđun phải, nội xạ Gorenstein R vành coherent phải nên K n R-môđun dẹt Gorenstein 4) ⇒ 1) Hiển nhiên Vậy, ta có 1) ⇔ 2) ⇔ 3) ⇔ 4) Ta chứng minh công thức tính chiều dẹt Gorenstein M Vì R vành coherent phải, theo Mệnh đề 4.9, ta có Gfd R M = Gid R M + { } = sup i ∈  ∃H ∈ I ( R) : Ext iR ( H , M + ) ≠ (do Định lý 3.22) { sup {i ∈  } ( H , M ),   ) ≠ 0} = sup i ∈  ∃H ∈ I ( R) : Ext iR ( H ,Hom ( M ,   ) ) ≠ = ( ∃H ∈ I ( R) : Hom ToriR (do Mệnh đề 1.60) { } = sup i ∈  ∃H ∈ I ( R) : ToriR ( H , M ) ≠ Do 2) ⇔ 3) nên ta có công thức { } Gfd R M = sup i ∈  ∃H ∈ I ( R) : ToriR ( H , M ) ≠ { } = sup i ∈  ∃I ∈ I ( R) : ToriR ( I , M ) ≠ Định lý 4.13 Cho R vành coherent phải, → M ′ → M → M ′′ → dãy khớp ngắn R-môđun Nếu hai môđun M , M ′ M ′′ có chiều dẹt Gorenstein hữu hạn môđun lại 61 Chứng minh Từ dãy khớp → M ′ → M → M ′′ → , ta có dãy khớp → M ′′+ → M + → M ′+ → Do R vành coherent phải, nên hai ba R-môđun M , M ′ M ′′ có chiều dẹt Gorenstein hữu hạn theo Mệnh đề 4.9, ta có hai ba R-môđun phải tương ứng M + , M ′+ M ′′+ có chiều nội xạ Gorenstein hữu hạn Khi đó, theo Định lý 3.24 R-môđun phải đặc trưng lại có chiều nội xạ Gorenstein hữu hạn Tương ứng, R-môđun lại R-môđun M , M ′ M ′′ có chiều dẹt Gorenstein hữu hạn 62 KẾT LUẬN Trong luận văn này, trình bày định nghĩa số tính chất lớp resolving, môđun xạ ảnh Gorenstein, môđun nội xạ Gorenstein, môđun dẹt Gorenstein, chiều xạ ảnh Gorenstein, chiều nội xạ Gorenstein chiều dẹt Gorenstein môđun vành Đặ biệt, phát biểu chứng minh tính chất quan trọng như: Tính chất resolving tính chất đóng lớp môđun xạ ảnh Gorenstein, lớp môđun nội xạ Gorenstein lớp môđun dẹt Gorenstein Mối quan hệ chiều xạ ảnh Gorenstein chiều nội xạ Gorenstein với Ext Mối quan hệ chiều dẹt Gorenstein với Tor 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2002), Đại số đồng điều, NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2003), Bài tập đại số đồng điều, NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh M Auslander, M Bridger (1996), Stable module theory, Memoirs of the American Mathematical Society 94 H Cartan and S Eilenberg (1965), Homological algebra, Princeton Univ Press L.W Christensen (2000), Gorenstein dimensions, Lecture Notes in Mathematics, Vol 1747, Springer, Berlin E.E Enochs, O.M.G Jenda (2000), Relative homological algebra, De gruyter expositions in Mathematics, Vol 30, Walter de Gruyter & Co., Berlin Henrik Holm (2004), “Gorenstein homological dimensions”, Journal of Pure and Applied Algebra 189, pp 167 – 193 Joseph J Rotman (1979), An introduction to homological algebra, Academic Press, New York Jinzhong Xu (1996), Flat covers of modules, Lecture Notes in Mathematics, Vol 1634, Springer, Berlin 64 [...]... Hom ( I ,  ) là R-môđun dẹt trái 11 1.4 Phức và đồng điều Định nghĩa 1.33 Dãy các đồng cấu X: ∂ n +1 ∂n  → X n + 1  → Xn  → X n -1  → gọi là nửa khớp nếu tích hai đồng cấu liên tiếp là đồng cấu 0 Một phức là một dãy nửa khớp đánh số trên tập số nguyên Nếu chỉ số tăng cùng (ngược) chiều các mũi tên đồng cấu gọi là phức tiến (lùi) Các ∂ n gọi là đồng cấu vi phân Phức X = { X n ,∂ n } gọi là phức... R-môđun có chiều nội xạ hữu hạn được kí hiệu là I ( R) 4) Chiều dẹt của R-môđun M, fd R M (fdM ), là độ dài nhỏ nhất trong các độ dài của các phép giải dẹt hữu hạn của M Nếu M không có phép giải dẹt hữu hạn, ta viết fd R M = ∞ Lớp tất cả các R-môđun có chiều dẹt hữu hạn được kí hiệu là F ( R) Nhận xét 1.45 R-môđun xạ ảnh (tương ứng, nội xạ, dẹt) có chiều xạ ảnh (tương ứng, chiều nội xạ, chiều dẹt)... X n )  → Ker∂∗( n - 1)  → 0 Mà ∂∗ j = j∂ = 0 nên j ∈ Ker∂∗( n - 1) , do đó tồn tại đồng cấu k n : X n +1 → X n thỏa k n ∂ = j = f n − g n − ∂ k n - 1 Suy ra ∂ k n - 1 + k n ∂ = f n − g n Vậy ∂ k n - 1 + k n ∂ = f n − g n với mọi n ≥ 0 hay f và g đồng luân 28 CHƯƠNG 3: CHIỀU XẠ ẢNH GORENSTEIN VÀ CHIỀU NỘI XẠ GORENSTEIN Định nghĩa 3.1 1) Một phép giải xạ ảnh mở rộng là một dãy khớp các R-môđun... khớp 1.5 Chiều đồng điều Định nghĩa 1.42 Cho A là R-môđun tùy ý Ta gọi phép giải của A là một dãy khớp các R-môđun và các đồng cấu ∂n ∂0 ∂1  → Xn  → X n -1  →  → X1  → X0  →A →0 Nói riêng, nếu X n là môđun tự do (tương ứng, môđun xạ ảnh, dẹt) trên R với mọi n ≥ 0, thì phép giải trên gọi là một phép giải tự do (tương ứng, phép giải xạ ảnh, phép giải dẹt) của A Dãy khớp các R-môđun và các đồng cấu... →, 0 Theo giả thiết thì Hom( M , Y ) → Hom( M ′, Y ) là toàn cấu với mọi Y ∈ X, nên với đồng cấu ∂′ : M ′ → P′0 ( P′0 ∈ X ) thì tồn tại đồng cấu f ′0 : M → P′0 sao cho ∂′ =f ′0 f ′ Mặt khác, ta có đồng cấu f ′′0 : M → P′′0 với f ′′0 = ∂′′f ′′ Khi đó, do tính chất phổ dụng của tổng trực tiếp hữu hạn, thì tồn tại đồng cấu ∂ : M → P′0 ⊕ P′′0 Xét biểu đồ giao hoán, có ∂′, ∂′′ là đơn cấu, theo Bổ đề năm... M là một đồng cấu các môđun và X : 0 → M → X 0 → X1 → → X n → là một X -phép giải phải, đối chính của M, X : 0 → M → X 0 → X 1 →  → X n →  là một X -phép giải phải của M Khi đó tồn tại các đồng cấu f n : X n → X n , n≥0 sau cho biểu đồ sau đây giao hoán: f f0 f1 f n Các đồng cấu f n và f lập thành biến đổi dây chuyền từ X vào X Hơn nữa bất kì hai biến đổi dây chuyền nào thỏa điều kiện... trên thì chúng đồng luân Chứng minh Đầu tiên ta xây dựng biến đổi dây chuyền từ X vào X 25 Do X là một X -phép giải phải, đối chính nên Hom( X , Y ) khớp với mọi  0 ∈ X thì Y ∈ X, do đó với X Hom( X 0 , X 0 ) → Hom( M , X 0 ) → 0 khớp, nên với đồng cấu ∂ f : M → X 0 thì tồn tại đồng cấu f 0 : X 0 → X 0 để biểu đồ sau giao hoán f0 f Giả sử với mọi 0 ≤ m < n ta xây dựng được các đồng cấu f m :... tại Mà ∂∗( n - 2) (∂ n - 1 f n - 1 ) = đồng cấu f n : X n → X n để hình vuông bên phải của biểu đồ (1) giao hoán Như vậy, ta đã hoàn thành xây dựng các đồng cấu của phép biến đổi dây chuyền từ X vào X Bây giờ, giả sử có hai biến đổi dây chuyền từ X vào X là f = { f n , f n ≥ 0} và g = { g n , g n ≥ 0} Ta sẽ chứng minh chúng đồng luân Ta sẽ xây dựng các đồng cấu k n : X n +1 → X n sao cho ∂ k... n +1 ∂n  → X n + 1  → Xn  → X n -1  →, δ δ  → X n -1   →Xn  → X n +1  →, n -1 n môđun thương H n ( X ) =Ker∂ n Im ∂ n + 1 được gọi là môđun đồng điều thứ n của phức X Môđun thương H n ( X ) =Kerδn Im δn - 1 được gọi là môđun đối đồng điều thứ n của phức X ′ 12 Định nghĩa 1.37 Phức K = {K n ,∂ K } được gọi là phức con của X = { X n ,∂ n } nếu với mỗi n ∈  , K n là môđun con của X n và... ) Lớp tất cả các R-môđun nội xạ Gorenstein được kí hiệu là GI ( R) Nhận xét 3.2 Nếu X là một phép giải xạ ảnh (tương ứng, nội xạ) mở rộng thì tất cả các ảnh, hạt nhân và đối hạt nhân của X là các môđun xạ ảnh (tương ứng, nội xạ) Gorenstein Hơn nữa, mỗi môđun xạ ảnh (tương ứng, nội xạ) là môđun xạ ảnh (tương ứng, nội xạ) Gorenstein Mệnh đề 3.3 Một R-môđun M là xạ ảnh Gorenstein khi và chỉ khi M ∈ ⊥ ... ảnh Gorenstein, lớp môđun nội xạ Gorenstein, lớp môđun dẹt Gorenstein, chiều đồng điều Gorenstein chương sau Chương trình bày môđun xạ ảnh Gorenstein, môđun nội xạ Gorenstein, chiều xạ ảnh Gorenstein. .. 1.4 Phức đồng điều 12 1.5 Chiều đồng điều 14 1.6 Torn Extn 15 CHƯƠNG 2: LỚP RESOLVING 19 CHƯƠNG 3: CHIỀU XẠ ẢNH GORENSTEIN VÀ CHIỀU NỘI XẠ GORENSTEIN. .. ảnh Gorenstein chiều nội xạ Gorenstein Những khái niệm tính chất môđun nội xạ Gorenstein chiều nội xạ Gorenstein đối ngẫu khái niệm tính chất môđun xạ ảnh Gorenstein chiều xạ ảnh Gorenstein nên