NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN 1. Luận án giới thiệu bài toán xác định quy luật biên phi tuyến trong quá trình truyền nhiệt nhiều chiều từ quan sát trên biên và bài toán xác định nguồn của phương trình với các hệ số truyền nhiệt phụ thuộc thời gian từ quan sát khác nhau. 2. Với bài toán xác định quy luật biên phi tuyến: - Sử dụng điều kiện quan sát tích phân biên hoặc quan sát một phần biên thay cho quan sát điểm. - Chứng minh lý thuyết bằng phương pháp biến phân cho bài toán nhiều chiều; Áp dụng được cho nhiều bài toán khác nhau. - Rời rạc bài toán biến phân và thử nghiệm trên máy tính; Tính toán trên máy tính nhanh do áp dụng phương pháp phần tử biên rời rạc tích phân trên biên đưa bài toán hai chiều về bài toán một chiều. 3. Với bài toán xác định nguồn: - Sử dụng quan sát tích phân để xác định nguồn. - Nghiên cứu bài toán xác định thành phần của nguồn trong trường hợp nhiều chiều với hệ số phụ thuộc thời gian bằng phương pháp biến phân. - Rời rạc bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân phân rã, chỉnh hóa và thử nghiệm trên máy tính. - Thuật toán hữu hiệu do sử dụng phương pháp sai phân phân rã đưa bài toán nhiều chiều về các bài toán một chiều và phương pháp gradient liên hợp. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIỄN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU * Khả năng ứng dụng trong thực tiễn: Có thể ứng dụng trong các ngành khoa học khác về vấn đề xác định quy luật biên phi tuyến và xác định nguồn trong các quá trình truyền nhiệt, quá trình khuyếch tán. * Một số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu: + Nghiên cứu phương pháp giải số bài toán xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát một phần biên và phương pháp giải số bài toán xác định hệ số truyền nhiệt từ quan sát tích phân. Nghiên cứu bài toán cho phương trình phức tạp hơn. + Nghiên cứu bài toán xác định nguồn cho quá trình truyền nhiệt phi tuyến, nghiên cứu bài toán xác định nguồn điểm.
B GIO DC V O TO I HC THI NGUYấN BI VIT HNG XC NH QUY LUT BIấN PHI TUYN V XC NH NGUN TRONG CC QU TRèNH TRUYN NHIT LUN N TIN S TON HC THI NGUYấN 2015 B GIO DC V O TO I HC THI NGUYấN BI VIT HNG XC NH QUY LUT BIấN PHI TUYN V XC NH NGUN TRONG CC QU TRèNH TRUYN NHIT Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 62 46 01 02 LUN N TIN S TON HC Ngi hng dn khoa hc: GS TSKH INH NHO HO THI NGUYấN 2015 i LI CAM OAN Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca tụi, c hon thnh di s hng dn ca GS TSKH inh Nho Ho Cỏc kt qu vit chung vi tỏc gi khỏc ó c s nht trớ ca ng tỏc gi a vo lun ỏn Cỏc kt qu nờu lun ỏn l nhng kt qu mi v cha tng c cụng b cỏc cụng trỡnh no khỏc Tỏc gi Bựi Vit Hng ii LI CM N Lun ỏn c hon thnh di s hng dn khoa hc tn tỡnh, quý bỏu v nghiờm khc ca GS.TSKH inh Nho Ho Thy ó t bi toỏn v dnh nhiu cụng sc, tng bc dn dt tụi dn lm quen vi cụng vic nghiờn cu khoa hc, ng viờn khớch l tụi vt lờn nhng khú khn hc v cuc sng T tn ỏy lũng, em xin by t lũng bit n chõn thnh v sõu sc nht ti Thy v s c gng phn u hn na xng ỏng vi cụng lao ca Thy Trong quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun ỏn, tỏc gi luụn nhn c s quan tõm, giỳp ca GS TSKH H Huy Bng, PGS TS H Tin Ngon, GS TSKH Nguyn Minh Trớ, TS Nguyn Vn Ngc, TS Nguyn Th Thu Thy Tỏc gi xin by t s kớnh trng v bit n sõu sc n Thy Cụ Tỏc gi xin chõn thnh cm n anh ch em nhúm nghiờn cu ca Thy GS TSKH inh Nho Ho ó cú nhng trao i v ý kin úng gúp hu ớch thụng qua cỏc xờ mi na nhúm; Chõn thnh cm n TS Nguyn Trung Thnh, TS Phan Xuõn Thnh, NCS Nguyn Th Ngc Oanh ó hng dn tỏc gi v k thut lp trỡnh th nghim vic gii s Tỏc gi xin chõn thnh cm n Ban ch nhim Khoa Toỏn, Khoa sau i hc trng i hc S phm; Ban ch nhim khoa Toỏn Tin, Ban giỏm hiu trng i hc Khoa hc i hc Thỏi Nguyờn ó to iu kin thun li cho tỏc gi quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun ỏn Xin chõn thnh cm n cỏc anh ch em NCS chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch, bn bố ng nghip ó luụn quan tõm, ng viờn, trao i v úng gúp nhng ý kin quý bỏu cho tỏc gi Lun ỏn s khụng th hon thnh nu thiu s cm thụng, giỳp ca nhng ngi thõn gia ỡnh Tỏc gi xin kớnh tng Gia ỡnh thõn yờu nim vinh hnh to ln ny Tỏc gi Bựi Vit Hng Mc lc Li cam oan i Li cm n ii Mc lc ii Mt s ký hiu v M u 1 Xỏc nh quy lut trao i nhit phi tuyn t quan sỏt trờn biờn 10 1.1 Mt s kin thc b tr 11 1.1.1 Nghim yu khụng gian H 1,0 (Q) 11 1.1.2 Nghim yu khụng gian W (0, T ) 15 1.2 Bi toỏn xỏc nh quy lut trao i nhit phi tuyn t quan sỏt tớch phõn trờn biờn 17 1.2.1 Bi toỏn thun 17 1.2.2 Bi toỏn bin phõn 23 1.2.3 Vớ d s 27 1.3 Bi toỏn xỏc nh quy lut trao i nhit phi tuyn t quan sỏt mt phn trờn biờn 39 1.4 Bi toỏn xỏc nh h s truyn nhit (u) t quan sỏt tớch phõn 42 Xỏc nh ngun bi toỏn truyn nhit t quan sỏt trờn biờn 46 iii iv 2.1 Phng phỏp bin phõn 48 2.2 Phng phỏp phn t hu hn 54 2.2.1 Xp x phn t hu hn ca Ak , Ak , k = 1, , N 55 2.2.2 S hi t 56 2.2.3 Vớ d s 61 2.3 Ri rc húa bi toỏn xỏc nh thnh phn ch ph thuc thi gian v phi 65 2.3.1 Ri rc húa bi toỏn thun bng phng phỏp sai phõn hu hn phõn ró 66 2.3.2 Ri rc húa bi toỏn bin phõn 70 2.3.3 Phng phỏp gradient liờn hp 74 2.3.4 Vớ d s 75 Kt lun chung 89 Danh mc cỏc cụng trỡnh ó cụng b liờn quan n lun ỏn 90 Ti liu tham kho 91 Mt s ký hiu R cỏc s thc Rn khụng gian vộct Euclide thc nchiu V khụng gian i ngu ca khụng gian V C() khụng gian cỏc hm liờn tc C([0, T ], L2 ()) khụng gian cỏc hm liờn tc trờn [0, T ] nhn giỏ tr L2 () C (Q) khụng gian cỏc hm kh vi liờn tc Q C ,/2 khụng gian Hăolder vi s m /2, (0, 1) khụng gian cỏc hm kh tớch bc p , p < Lp () khụng gian cỏc hm thuc L2 () cú xỏc nh l I L2I () khụng gian cỏc hm thuc L2 () cú o hm riờng yu thuc H () L2 () H01 () bao úng ca khụng gian C0 () khụng gian H () H 1,0 (Q) khụng gian cỏc hm y L2 (Q) cú o hm riờng yu cp mt theo bin xi thuc L2 (Q) khụng gian cỏc hm y L2 (Q) cú o hm riờng yu cp mt H 1,1 (Q) theo bin xi v o hm suy rng theo bin t thuc L2 (Q) HI1,0 (Q) ess sup L () khụng gian cỏc hm thuc H 1,0 (Q) cú xỏc nh l I xE |y(x)| := inf ( sup |y(x)|) |F |=0 xE\F khụng gian cỏc hm b chn v o c theo ngha Lebesgue vi chun c xỏc nh bi y(x) v L () = ess sup xE |y(x)| M u Cỏc quỏ trỡnh truyn nhit hay khuch tỏn thng c mụ hỡnh húa bng bi toỏn biờn cho phng trỡnh parabolic: vt lý, h s ca phng trỡnh, iu kin ban u v iu kin biờn c bit, ngi ta nghiờn cu bi toỏn biờn ny v da vo nghim ca bi toỏn a mt d oỏn v hin tng ang nghiờn cu õy l bi toỏn thun cho quỏ trỡnh m ta ang xột Tuy nhiờn, thc t, nhiu vt lý, hoc h s ca phng trỡnh, hoc iu kin biờn, iu kin ban u khụng c bit c th m ta phi xỏc nh chỳng qua cỏc o c giỏn tip, qua ú nghiờn cu li quỏ trỡnh õy chớnh l nhng bi toỏn ngc vi bi toỏn thun c núi trờn v l ch sụi ng mụ hỡnh húa toỏn hc v lý thuyt phng trỡnh vi phõn hn 100 nm qua [1], [5], [9], [33], [46], [46], [47], [70] Hai iu kin quan trng mụ hỡnh húa mt quỏ trỡnh truyn nhit ú l quy lut trao i nhit trờn biờn v ngun C hai iu kin ny u tỏc ng bờn ngoi v khụng phi lỳc no cng c bit trc, ú nhng trng hp ny, ta phi xỏc nh chỳng qua cỏc o c giỏn tip v ú l ni dung ca lun ỏn ny Lun ỏn gm hai phn, phn u nghiờn cu bi toỏn xỏc nh quy lut trao i nhit (núi chung l phi tuyn) trờn biờn qua o c trờn biờn v phn th hai nghiờn cu bi toỏn xỏc nh ngun (to quỏ trỡnh truyn nhit hay khuch tỏn) qua cỏc quan sỏt khỏc Cú rt nhiu cỏc hin tng vt lý xy iu kin nhit , ỏp sut cao hoc cỏc mụi trng khc nghit nh: cỏc bung t, cỏc tua bin khớ, cỏc quỏ trỡnh lm núng, lm ngui thộp v quỏ trỡnh dp tt khớ lũ, m ú c ngun nhit v lng nhit trao i u cha bit, hoc quỏ trỡnh trao i nhit trờn biờn cha bit tuõn theo quy lut no (quy lut truyn nhit tuyn tớnh ca Newton hay quy lut bc x nhit bc bn ca Stefan-Boltzmann chng hn) Khi ú, chỳng ta mụ hỡnh húa cỏc quỏ trỡnh truyn nhit ny nh cỏc bi toỏn ngc xỏc nh quy lut truyn nhit khụng tuyn tớnh trờn biờn hoc xỏc nh nhit ph thuc vo h s truyn nhit Trong mt s lnh vc ng dng khỏc, cỏc bi toỏn ny cú th xem nh cỏc dng mụ hỡnh v s khuch tỏn khớ cỏc phn ng húa hc cha bit trờn b mt vt cht hay mt dõn s ti vựng giỏp ranh vi quy lut di trỳ cha bit [88] Nm 1989, Pilant v Rundell [69] xột bi toỏn xỏc nh quy lut truyn nhit g(ã) v nhit u(x, t) bi toỏn giỏ tr biờn ban u mt chiu ut uxx = (x, t), < x < 1, < t < T, u(x, 0) = u0 (x), < x < 1, (0.1) ux (0, t) = g(u(0, t)), t T, ux (1, t) = g(u(1, t)), t T, t iu kin quan sỏt b sung u(0, t) = h(t), (0.2) ú , u0 v h l cỏc hm cho trc, tng ng vi ngun nhit, nhit ti thi im ban u v nhit trờn biờn T phng trỡnh (0.1) ta thu c ux (0, t) = g(h(t)) vi t [0, T ] Vi mt s iu kin nht nh, cỏc tỏc gi ó chng minh tn ti nht cp (u, g) ca phng trỡnh (0.1) khong t t , vi t (0, T ] no ú Cỏc tỏc gi cng ó xut phng phỏp lp gii bi toỏn ngc ny v th nghim thut toỏn trờn mỏy tớnh Sau ú, vo nm 1990, Rundell v Yin [79] ó nghiờn cu bi toỏn tng t nhng trng hp nhiu chiu C th, cho T > v Q = ì (0, T ] vi l gii ni Rn , cỏc tỏc gi xột bi toỏn tỡm cp hm u(x, t) v g(s) xỏc nh tng ng trờn Q v [A, B], tha ut u = (x, t) u(x, 0) = u0 (x) u = g(u) + h phng trỡnh Q, , trờn S := ì [0, T ], (0.3) vi quan sỏt b sung ti mt im trờn biờn u(0 , t) = h(t), t [0, T ], (0.4) ú cỏc hm , u0 , v h cho trc, l mt im c nh trờn biờn ca , l vộc t phỏp tuyn n v ngoi trờn biờn S, A = minQ u(x, t) v B = maxQ u(x, t) Vi mt s gi thit nht nh, cỏc tỏc gi ó a ỏnh giỏ n nh cho hm g v t ú h thu c tớnh nht nghim ca bi toỏn (0.3) Ta thy, hm g ch cú th xỏc nh khong [A, B] ch khụng xỏc nh trờn ton trc thc R Vỡ th vo nm 1999, Choulli [14] ó t mt cõu hi rt t nhiờn: chỳng ta phi cn n bao nhiờu o c tỡm li hm g(s) vi s R? Choulli ó chng minh rng: (i) nu tt c cỏc o c trờn biờn u thc hin c v hm g b chn thỡ bi toỏn cú nghim nht; (ii) nu cỏc o c trờn biờn c thc hin cỏc khụng gian vect mt chiu thỡ ta cng cú nghim nht, v ụng ó chng minh hm g biu din c di dng g = g0 + g1 , ú g0 l hm ó bit cũn g1 l hm cha bit v khụng cú im t Theo hng nghiờn cu ny, cỏc tỏc gi ca [18] ó phng phỏp tuyn tớnh húa t nhiờn (natural linearization) xỏc nh li quy lut truyn nhit khụng tuyn tớnh g(u) (0.3) vi gi thit l nhit trờn ton b biờn S o c, thay vỡ cỏc o c ti tng im nh (0.4) Trong mt chui cỏc bi bỏo ([51], [80] [86]), Trăoltzsch v Răosch cng ó nghiờn cu bi toỏn tng t C th, cỏc tỏc gi xột bi toỏn xỏc nh h s truyn nhit (u) bi toỏn giỏ tr biờn ut u = u(x, 0) = u0 (x) u = (u(, t))(u u(, t)) ban u Q, trờn , (0.5) trờn S = ì [0, T ], ú u l nhit mụi trng xung quanh, c bit l mt hng s cho trc, t cỏc iu kin quan sỏt b sung khỏc nh: u(x, t) c cho trờn c Q, hoc u(x, ti ) c cho ti mt thi im c nh ti , i = 1, , L, [80], [86], hoc u cho trờn ton b biờn S [83] Cỏc tỏc gi ó chuyn bi toỏn ngc v bi toỏn iu khin ti u, ri chng minh tớnh kh vi Frộchet ca phim hm cn cc tiu húa, sau ú ó s dng phng phỏp lp gii s 87 Vớ d Nhiu n 101 0.05 102 0.01 2.9E 2.47E 101 0.05 13 8.5E 102 0.01 14 7.8E 8.50E 1.66E 3 101 0.05 17 9.5E 1.28E 102 0.01 29 f fn J (fn ) L2 (0,T ) 7.8E 1.0E 1.42E 2.53E Bng 2.2: Tham s hiu chnh , s bc lp n , sai s f fn L2 (0,T ) v giỏ tr ca phim hm J (fn ) (hm trng c cho bi (2.66)) Vớ d Nhiu Sai s L2 J 101 1.9E 102 7.4E 3.96E 101 102 1.0E 2.23E 101 1.8E 2.82E 102 9.0E 7.8E 2.95E 2.21E 2.62E Bng 2.3: Sai s L2 , giỏ tr ca phim hm quan sỏt tng ng vi nhiu 88 KT LUN CHNG Cỏc kt qu chớnh chỳng tụi t c chng ny l - a cỏch tip cn mi v phng phỏp s cho bi toỏn xỏc nh ngun quỏ trỡnh truyn nhit (xỏc nh v phi phng trỡnh parabolic) t cỏc quan sỏt tớch phõn - a phng phỏp bin phõn gii bi toỏn v cụng thc tớnh gradient (2.17) thụng qua bi toỏn liờn hp (nh lý 2.1) - Ri rc húa bi toỏn bin phõn bng cỏc phng phỏp khỏc nh phng phỏp phn t hu hn v phng phỏp sai phõn hu hn phõn ró, sau ú chng minh cỏc kt qu tng t v tớnh kh vi Frộchet cng nh cụng thc tớnh o hm Frộchet cho cỏc phim hm ri rc cn ti thiu húa - Gii s cỏc bi toỏn bng phng phỏp gradient liờn hp khng nh s hu hiu ca phng phỏp 89 KT LUN CHUNG Lun ỏn ny nghiờn cu bi toỏn xỏc nh quy lut biờn phi tuyn v xỏc nh ngun cỏc quỏ trỡnh truyn nhit C th lun ỏn ó t c cỏc kt qu sau: i vi bi toỏn xỏc nh quy lut trao i nhit phi tuyn trờn biờn, v lý thuyt chỳng tụi ó gii quyt trit bi toỏn trng hp nhiu chiu da trờn phng phỏp bin phõn Chng minh tớnh kh vi theo ngha Frộchet ca phim hm cn ti u húa, a cụng thc tớnh o hm bng bi toỏn liờn hp Trong mt s trng hp chng minh c s tn ti nghim ca bi toỏn bin phõn Bi toỏn c ri rc bng phng phỏp phn t biờn (BEM) v sau ú c gii s bng phng phỏp lp Gauss-Newton Cỏc th nghim bng s trờn mỏy tớnh cho thy phng phỏp v thut toỏn l hu hiu Vi bi toỏn xỏc nh ngun cỏc quỏ trỡnh truyn nhit, chỳng tụi a mt cỏch tip cn mi cú ý ngha thc t gii bi toỏn xỏc nh ngun nhiu chiu vi h s ph thuc thi gian (cha c nghiờn cu t trc), sau ú chuyn bi toỏn v bi toỏn bin phõn Vỡ bi toỏn bin phõn khụng n nh, nờn chỳng tụi ó hiu chớnh nú bng phng phỏp chnh Tikhonov, sau ú chng minh phim hm Tikhonov kh vi Frộchet ri a cụng thc cho o hm Frộchet qua s tr giỳp ca bi toỏn liờn hp Bi toỏn c ri rc húa bng phng phỏp phn t hu hn (FEM) v phng phỏp sai phõn phõn ró (finite difference splitting method), sau ú c gii bng phng phỏp gradient liờn hp (conjugate gradient method) Thut toỏn c th nghim trờn mỏy tớnh v cỏc kt qu s cho thy phng phỏp rt hu hiu Lun ỏn m mt s hng tip tc nghiờn cu l: Nghiờn cu phng phỏp gii s bi toỏn xỏc nh quy lut trao i nhit phi tuyn t quan sỏt mt phn biờn v phng phỏp gii s bi toỏn xỏc nh h s truyn nhit t quan sỏt tớch phõn Nghiờn cu bi toỏn cho phng trỡnh phc hn Nghiờn cu bi toỏn xỏc nh ngun cho quỏ trỡnh truyn nhit phi tuyn, nghiờn cu bi toỏn xỏc nh ngun im 90 DANH MC CC CễNG TRèNH CễNG B LIấN QUAN N LUN N Dinh Nho Ho, Bui Viet Huong, Phan Xuan Thanh, D Lesnic (2015), "Identification of nonlinear heat transfer laws from boundary observations", Applicable Analysis, 94 (9), pp 17841799 Nguyen Thi Ngoc Oanh, Bui Viet Huong (2015), "Determination of a time-dependent term in the right-hand side of linear parabolic equations", Acta Mathematica Vietnamica, DOI: 10.1007/ s40306-015-0143-y Dinh Nho Ho, Bui Viet Huong, Nguyen Thi Ngoc Oanh, and Phan Xuan Thanh, "Determination of a term in the right-hand side of parabolic equations", Preprint 2015 Ti liu tham kho [1] Alifanov O.M (1994), Inversr Heat Transfer Problems, Wiley, New York [2] Andrle M., Ben Belgacem F and El Badia A (2011), "Identification of moving pointwise sources in an advection-dispersion-reaction equation", Inverse Problems 27, 025007 [3] Andrle M., El Badia A (2015), "On an inverse source problem for the heat equation Application to a pollution detection problem II", Inverse Probl Sci Eng 23, pp 389412 [4] Barbu V (1982), "Boundary control problems with nonlinear state equation", SIAM J Control Optim 20, pp 125143 [5] Beck J V., Blackwell B., Clair St C R (1985), Inverse Heat Conduction, Ill-Posed Problems, Wiley, New York [6] Borukhov V T and Vabishchevich P N (1998), "Numerical solution of a inverse problem of source reconstructions in a parabolic equation", Mat Model 10, pp 93100 (Russian) [7] Borukhov V T and Vabishchevich P N (2000), "Numerical solution of a inverse problem of reconstructing a distributed right-hand side of a parabolic equation", Comput Phys Comm 126, pp 3236 [8] Cannon J R (1968), "Determination of an unknown heat source from overspecified boundary data", SIAM J Numer Anal 5, pp 275286 91 92 [9] Cannon J R (1984), The One-dimensional Heat Equation AddisonWesley Publishing Company, Advanced Book Program, Reading, MA [10] J R and DuChateau P (1998), "Structural identification of an unknown source term in a heat equation", Inverse Problems 14, pp 535551 [11] Cannon J R and Ewing R E (1976), "Determination of a source term in a linear parabolic partial differential equation", Z Angew Math Phys 27, pp 393401 [12] Cannon J R and Lin Y P (1986), "Determination of a source term in a linear parabolic differential equation with mixed boundary conditions", Inverse Problems (Oberwolfach, 1986), pp 3149, Internat Schriftenreihe Numer Math 77, Birkhăauser, Basel [13] Casas E (1997), "Pontryagins principle for state-constrained boundary control problems of semilinear parabolic equations", SIAM J Control Optim 35, pp 12971327 [14] Choulli M (1999), "On the determination of an unknown boundary function in a parabolic equation", Inverse Problems 15, pp 659667 [15] Choulli M and Yamamoto M (2004), "Conditional stability in determining a heat source", J Inverse Ill-Posed Probl 12, pp 233243 [16] Choulli M and Yamamoto M (2006), "Some stability estimates in determining sources and coefficients", J Inverse Ill-Posed Probl 14, pp 355373 [17] Costabel M (1990), "Boundary integral operators for the heat equations", Integral Equations and Operator Theory 13, pp 498552 [18] Engl H W., Fusek P and Pereverzev S V (2005), "Natural linearization for the identification of nonlinear heat transfer laws Inverse problems: modeling and simulation", J Inverse Ill-Posed Probl 13, pp 567582 [19] El Badia A and Ha-Duong T (2002), "On an inverse source problem for the heat equation Application to a pollution detection problem", J Inverse Ill-Posed Probl 10, pp 585599 93 [20] El Badia A., Ha-Duong T and Hamdi A (2005), "Identification of a point source in a linear advection-dispersion-reaction equation: application to a pollution source problem", Inverse Problems 21, pp 11211136 [21] El Badia A and Hamdi A (2007), "Inverse source problem in an advectiondispersion-reaction system: application to water pollution", Inverse Problems 23, pp 21032120 [22] Engl H W., Scherzer O and Yamamoto M (1994), "Uniqueness and stable determination of forcing terms in linear partial differential equations with overspecified boundary data", Inverse Problems 10, pp 12531276 [23] Erdem A., Lesnic D and Hasanov A (2013), "Identification of a spacewise dependent heat source", Appl Math Model 37, pp 1023110244 [24] Farcas A and Lesnic D (2006), "The boundary-element method for the determination of a heat source dependent on one variable", J Eng Math 54, pp 375388 [25] Goldman N L (2003), "Inverse problem with final observation for quasilinear parabolic equations with unknown right hand side", Vychislit Metody i Programmirovanie, 4, pp 155166 [26] Goldman N L (2005), "Determination of the right-hand side in a quasilinear parabolic equation with final observation", Differ Equ 41,pp 384392 [27] Goldman N L (2007), "Finding the right-hand side in multidimensional parabolic equations with terminal observation", Differ Equ 43, pp 1101 1110 [28] Grever W (1998), "A nonlinear parabolic initial-boundary value problem modelling the continuous casting of steel", ZAMM Z Angew Math Mech 78, pp 109119 [29] Dinh Nho Ho (1992), "A noncharacteristic Cauchy problem for linear parabolic equations II: A variational method", Numer Funct Anal Optim 13, pp 541564 94 [30] Dinh Nho Ho (1992), "A noncharacteristic Cauchy problem for linear parabolic equations III: A variational method and its approximation schemes", Numer Funct Anal Optim 13, pp 565583 [31] Dinh Nho Ho (1992), "A Noncharacteristic Cauchy Problem for Linear Parabolic Equations and Related Inverse Problems II: A Variational Method", Pitman Res Notes in Maths 263, pp 4356 [32] Dinh Nho Ho (1994), "A Noncharacteristic Cauchy Problem for Linear Parabolic Equations and Related Inverse Problems I: Solvability", Inverse Problems 10, pp 295315 [33] Dinh Nho Ho (1998), Methods for Inverse Heat Conduction Problems, Peter Lang Verlag, Frankfurt/Main, Bern, New York, Paris [34] Dinh Nho Ho, Bui Viet Huong, Phan Xuan Thanh, D Lesnic (2015), "Identification of nonlinear heat transfer laws from boundary observations", Applicable Analysis, 94, no 9, pp 17841799 [35] Dinh Nho Ho, Bui Viet Huong, Nguyen Thi Ngoc Oanh, and Phan Xuan Thanh, "Determination of a term in the right-hand side of parabolic equations", Preprint 2015 [36] Dinh Nho Ho, Phan Xuan Thanh, and Lesnic D (2013), "Determination of heat transfer coefficients in transient heat conduction", Inverse Problems 29, 095020, 21 pp [37] Ho D N., Thanh P X., Lesnic D and Johansson B T (2012), "A boundary element method for a multi-dimensional inverse heat conduction problem", Inter J Comput Math 89, pp 15401554 [38] Dinh Nho Ho, Nguyen Trung Thnh, and H Sahli (2009), "Splitting-based gradient method for multi-dimensional inverse conduction problems", J Comput Appl Math., 232, pp 361377 95 [39] Hamdi A (2007), "Identification of point sources in two-dimensional advection-diffusion-reaction equation: application to pollution sources in a river Stationary case", Inverse Probl Sci Eng 15, pp 855870 [40] Hamdi A (2009), "Identification of a time-varying point source in a system of two coupled linear diffusion-advection-reaction equations: Application to surface water pollution", Inverse Problems 25, 115009 [41] Hasanov A (2012), "Identification of spacewise and time-dependent source terms in 1D heat conduction equation from temperature measurable at a final time", Int J Heat Mass Transfer 55, pp 20692080 [42] Hasanov A and PektaásB (2013), "Identification of unknown timedependent heat source term from overspecified Dirichlet boundary data by conjugate gradient method", Comput Math Appl 65, pp 4257 [43] Hasanov A and Pektaás B (2014), "A unified approach to identifying an unknown spacewise dependent source in a variable coefficient parabolic equation from final and integral overdeterminations", Appl Numer Math 78, pp 4967 [44] Hettlich F and Rundell W (2001), "Identification of a discontinuous source in the heat equation", Inverse Problems 17, pp 14651482 [45] Hinze M (2005), "A variational discretization concept in control constrained optimization: The linear-quadratic case", Computat Optimiz Appl., 30, pp 4561 [46] Isakov V.(1990),Inverse Source Problems.Amer.Math.Soc.,Providence,RI [47] Isakov V (2006), Inverse Problems for Partial Differential Equations Second edition Springer, New York [48] Iskenderov A D (1976), "Some inverse problems on determining the righthand sides of differential equations", Izv Akad Nauk Azerbaijan SSR Ser Fiz.-Tehn Mat Nauk 2, pp 5863 (in Russian) 96 [49] Iskenderov A D and Tagiev R G (1979), "An inverse problem on determinating the right hand side of evolution equations in Banach spaces", Questions of Applied Mathematics and Cybernetics (A collection of Scientific Papers, Azerbaijan State University) 1, pp 5156 [50] Janicki M and Kindermann S (2009), "Recovering temperature dependence of heat transfer coefficient in electronic circuits", Inverse Probl Sci Eng 17, pp 11291142 [51] Kaiser T and Trăoltzsch F (1987), "An inverse problem arising in the steel cooling process", Wiss Z Tech Univ Karl-Marx-Stadt 29, pp 212218 [52] Kamynin V L (2003), "On the unique solvability of an inverse problem for parabolic equations with a final overdetermination condition", Math Notes 73, pp 202211 [53] Kamynin V L (2005), "On an inverse problem of determining the righthand side of a parabolic equation with the integral overdetermination condition", Math Notes 77, pp 482493 [54] Kriksin Yu A., Plyushchev S N., Samarskaya E A , and Tishkin V F (1995), "The inverse problem of source reconstruction for a convective diffusion equation", Mat Model (11), pp 95108 (Russian) [55] Ladyzhenskaya O A (1985), The Boundary Value Problems of Mathematical Physics Springer-Verlag, New York [56] Ladyzhenskaya O A (1968), V.A Solonnikov, N.N Uralceva, Linear and Quasi-Linear Equations of Parabolic Type, AMS Translations of Mathematical Monographs 23, Providence [57] Lavrentev M M and Maksimov V I (2008), "On the reconstruction of the right-hand side of a parabolic equation", Comput Math Math Phys 48, pp 641647 [58] Lesnic D., Onyango T T M and Ingham D B (2009), "The boundary element method for the determination of nonlinear boundary conditions in 97 heat conduction", Mesh Reduction Methods-BEM/MRM XXXI,pp 4555, WIT Trans Model Simul., 49, WIT Press, Southampton [59] Ling LV and Takeuchi T (2009), "Point sources identification problems for heat equations", Commun Comput Phys 5, pp 897913 [60] Ling LV, Yamamoto M., Hon Y C and Takeuchi T (2006), "Identification of source locations in two-dimensional heat equations", Inverse Problems 22, pp 12891305 [61] Marchuk G I (1975), Methods of Numerical Mathematics Springer-Verlag, New York [62] Marchuk G I (1990), "Splitting and alternating direction methods", In Ciaglet P G and Lions J L , editiors, Handbook of Numerical Mathematics Volume 1: Finite Difference Methods ELsevier Science Publisher B.V., North-Holland, Amsterdam [63] Nemirovskii A S (1986), "The regularizing properties of the adjoint gradient method in ill-posed problems",Zh vychisl Math Phys.26(2),pp.716 [64] Nguyen Thi Ngoc Oanh, Bui Viet Huong (2015), "Determination of a time dependent term in the right hand side of linear parabolic equations", Acta Mathematica Vietnamica, DOI: 10.1007/ s40306-015-0143-y [65] Orlovskii D.G.(1991),"Determination of parameter evolution in an abstract quasilinear parabolic equation", Mat.Zametki 50 (2), pp 111119 (Russian) [66] Orlovskii D G (1991), "Solvability of an inverse problem for a parabolic equation in the Hăolder class", Mat Zametki 50(3), pp 107112 (Russian) [67] Onyango T T M., Ingham D B and Lesnic D (2009), "Reconstruction of boundary condition laws in heat conduction using the boundary element method", Comput Math Appl 57, pp 153168 [68] Noon P J (1998), The Single Layer Heat Potential and Galerkin Boundary Element Methods for the Heat Equation, Dissertation, The University of Maryland, USA 98 [69] Pilant M and Rundell W (1989), "An iteration method for the determination of an unknown boundary condition in a parabolic initial-boundary value problem", Proc Edinburgh Math Soc 32, pp 5971 [70] Prilepko A I., Orlovsky D G., and Vasin I A (2000), Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics Marcel Dekker, Inc., New York [71] Prilepko A I and Solovev V V (1987), "Solvability theorems and the Rothe method in inverse problems for an equation of parabolic type I (Russian)", Differentsialnye Uravneniya 23, pp 17911799 [72] Prilepko A I and Solovev V V (1987), "Solvability theorems and the Rothe method in inverse problems for an equation of parabolic type II (Russian)", Differentsialnye Uravneniya 23, pp 19711980 [73] Prilepko A I and Tkachenko D S (2003), "Properties of solutions of a parabolic equation and the uniqueness of the solution of the inverse source problem with integral overdetermination", Comput Math Math Phys 43, pp 537546 [74] Prilepko A I and Tkachenko D S (2003), "The Fredholm property and the well-posedness of the inverse source problem with integral overdetermination", Comput Math Math Phys 43, pp 13381347 [75] Prilepko A I and Tkachenko D S (2003), "Inverse problem for a parabolic equation with integral overdetermination", J Inverse Ill-Posed Probl 11, pp 191218 [76] Raymond J P and Zidani H (1998), "Pontryagins principle for stateconstrained control problems governed by parabolic equations with unbounded controls", SIAM J Control Optim 36, pp 18531879 [77] Raymond J P and Zidani H (1999), "Hamiltonian-Pontryagins principles for control problems governed by semilinear parabolic equations", Appl Math Optim 39, pp 143177 99 [78] Rundell W (1980), "Determination of an unknown nonhomogeneous term in a linear partial differential equation from overspecified boundary data", Applicable Analysis, 10(3), pp 231242 [79] Rundell W and Yin H M (1990), "A parabolic inverse problem with an unknown boundary condition", J Differential Equations 86, pp 234242 [80] Răosch A (1994), "Identification of nonlinear heat transfer laws by optimal control", Numer Funct Anal Optim 15, pp 417434 [81] Răosch A (1996), "Frộchet differentiability of the solution of the heat equation with respect to a nonlinear boundary condition", Z Anal Anwendungen 15, pp 603618 [82] Răosch A (1996), "Stability estimates for the identification of nonlinear heat transfer laws", Inverse Problems 12, pp 743756 [83] Răosch A (1996), "Identification of nonlinear heat transfer laws by means of boundary data", Progress in Industry (at ECMI 94), pp 405412 Wiley Teubner [84] Răosch A (1998), "Second order optimality conditions and stability estimates for the identification of nonlinear heat transfer laws", Control and Estimation of Distributed Parameter Systems (Vorau, 1996), 237246, Internat Ser Numer Math., 126, Birkhăauser, Basel [85] Răosch A.(2002), "A Gauss-Newton method for the identification of nonlinear heat transfer laws", Optimal Control of Complex Structures (Oberwolfach, 2000), 217230, Internat Ser Numer Math., 139, Birkhăauser, Basel [86] Răosch A and Trăoltzsch F (1992), "An optimal control problem arising from the identification of nonlinear heat transfer laws", Arch Control Sci 1, pp 183195 [87] Schmidt E J P G (1989), "Boundary control for the heat equation with nonlinear boundary condition", J Differential Equations 78, pp 89121 100 [88] Tao L N (1981), "Heat conduction with nonlinear boundary condition", Z Angew Math Phys 32, pp 144155 [89] Phan Xuan Thnh (2011), Boundary Element Methods for Boundary Control Problems, PhD thesis, Graz University of Technology, Graz, Austria [90] Nguyen Trung Thnh (2007), Infrared Thermography for the Detection and Characterization of Buried Objects PhD thesis, Vrije Universiteit Brussel, Brussel, Belgium [91] Thomộe V (2006), Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems Second edition Springer-Verlag, Berlin [92] Tkachenko D S (2004), "On an inverse problem for a parabolic equation", Math Notes 75, pp 676689 [93] Trefethen L.N., Bau D III (1997), Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia [94] Trăoltzsh F.(2010),Optimal Control of Partial Differential Equations: Theory, Methods and Applications, Amer.Math.Soc.,Providence,Rhode Island [95] Trong D D., Pham Ngoc Dinh A., Nam P T (2009), "Determine the special term of a two-dimensional heat source", Applicable Analysis, 88, pp 457474 [96] Vabishchevich P N (2003), "Numerical solution of the problem of the identification of the right-hand side of a parabolic equation", Russian Math (Iz VUZ) 47(1), pp 2735 [97] Wloka J (1987), Partial Differential Equations, Cambridge Univ Press, Cambridge [98] Yamamoto M.(1993), "Conditional stability in determination of force terms of heat equations in a rectangle", Math Comput Modelling 18, pp 7988 [99] Yamamoto M (1994), "Conditional stability in determination of densities of heat sources in a bounded domain", In Control and Estimation of 101 Distributed Parameter Systems: Nonlinear Phenomena (Vorau, 1993), pp 359370, Internat Ser Numer Math 118, Birkhăauser, Basel [100] Yanenko N N (1971), The Method of Fractional Steps Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York [...]... cũng lưu ý rằng, trong quá trình truyền nhiệt, hệ số truyền nhiệt σ trong bài toán (0.5) có thể phụ thuộc cả vào nhiệt độ u và thời gian t [28], nhưng việc nghiên cứu bài toán ngược khi đó rất phức tạp và không nằm trong khuôn khổ của luận án này Ngoài ta, chúng tôi cũng muốn bổ sung thêm rằng, vào năm 2009, Lesnic và các đồng tác giả [58], [67], Janicki và Kindermann [50] cũng nghiên cứu các phương pháp... cùng trong mỗi mục, chúng tôi dành để trình bày và thảo luận về phương pháp số để giải các bài toán trên Phần thứ hai của luận án dành cho bài toán xác định nguồn trong quá trình truyền nhiệt Bài toán này được nhiều nhà khoa học nghiên cứu trong vòng hơn 6 50 năm qua Mặc dù có khá nhiều kết quả về tính tồn tại, duy nhất và đánh giá ổn định cho bài toán, nhưng do tính đặt không chỉnh và có thể phi tuyến. .. toán xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát tích phân trên biên 1.2.1 Bài toán thuận Xét bài toán giá trị biên ban đầu ut − ∆u = 0 trong Q, u(x, 0) = u0 (x) trong Ω, ∂u = g(u, f ) trên S ∂ν (1.8) 18 Bằng cách sử dụng nghiệm yếu trong không gian W (0, T ), nghiệm của bài toán (1.8) trong không gian W (0, T ) tồn tại và duy nhất Định nghĩa 1.6 Cho u0 ∈ L2I (Ω) và hàm... thường, hệ số truyền nhiệt được xem như hàm của biến thời gian và không gian [36], tuy nhiên trong luận án chúng tôi chỉ đề cập đến những ứng dụng mà hệ số truyền nhiệt chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ trên biên Ta biết rằng, bài toán (0.6) mô tả nhiều tình huống thực tế [4], [87] Nó bao gồm điều kiện biên tuyến tính dạng g(u, f ) = c(f −u) với c là một hằng số dương Nó cũng bao gồm điều kiện biên phi tuyến dạng... theo biến f và thỏa mãn điều kiện g(u, u) = 0 còn u0 và f là các hàm số cho trước có miền giá trị là I, thuộc vào không gian L2 (Ω) và L2 (S) Nếu hàm g thỏa mãn điều kiện trên thì ta kí hiệu g ∈ A Thông thường thì hệ số truyền nhiệt được xem như một hàm của biến thời gian hoặc không gian, tuy nhiên trong chương này, chúng tôi chỉ 10 11 xét hệ số truyền nhiệt phụ thuộc vào nhiệt độ trên biên Ở đây,... phân và quan sát trên một phần của biên và đưa ra kết quả số minh họa; Mục 1.4, chúng tôi xét bài toán xác định hệ số truyền nhiệt σ(u) trong bài toán giá trị biên ban đầu ut − ∆u = 0 trong Q, u(x, 0) = u0 (x) trong Ω, ∂u = σ(u(x, t))(u∞ − u(x, t)) trên S = ∂Ω × [0, T ] , ∂ν từ quan sát tích phân, trong đó u∞ là nhiệt độ môi trường xung quanh và được giả sử là hằng số cho trước... (Q)×L2 (Σ)× L2 (Ω) vào không gian W (0, T ) và trong trường hợp riêng ánh xạ đó vào không gian C([0, T ]; L2 (Ω)) Xét bài toán liên hợp với bài toán (1.5) −p − ∆p + c0 p = aQ t trong Q, (1.6) ∂ν p + αp = aΣ trên Σ, p(·, T ) = aΩ trong Ω, với các hệ số c0 , α bị chặn và đo được, các vế phải thỏa mãn aQ ∈ L2 (Q), aΣ ∈ L2 (Σ) và aΩ ∈ L2 (Ω) Ta xác định một dạng song tuyến tính như sau... không âm hầu khắp nơi trên S 7 Bài toán thuận là bài toán xác định u khi các hệ số của phương trình (2.7) và các dữ kiện u0 , ϕ (hoặc ψ) cũng như F đã cho [33], [94], [97] Bài toán ngược là bài toán xác định vế phải F khi một số điều kiện bổ sung lên lời giải u được cho thêm vào Phụ thuộc vào cấu trúc của F và các quan sát bổ sung của u, ta có các bài toán ngược khác nhau như sau: • Bài toán ngược IP1:... của phi m hàm J, Định lý 1.12 và Định lý Weierstrass 1.2.3 Ví dụ số Để giải số bài toán (1.8) với quan sát tích phân (1.19) chúng tôi sử dụng phương pháp phần tử biên để giải bài toán thuận và bài toán liên hợp, sử dụng phương pháp lặp Gauss–Newton để tìm cực tiểu của phi m hàm (1.20) 1.2.3.1 Phương pháp phần tử biên cho phương trình parabolic Xét bài toán biên loại 3 đối với phương trình truyền nhiệt. .. chúng tôi sẽ nghiên cứu bài toán xác định hàm u(x, t) và g(u, f ) trong bài toán giá trị biên ut − ∆u = 0 u(x, 0) = u0 (x) ∂u = g(u, f ) ∂ν ban đầu trong Q, trong Ω, trên S = ∂Ω × [0, T ] , từ điều kiện quan sát bổ sung trên biên Trong đó, Ω là miền giới nội trong không gian Rn với biên ∂Ω trơn, Q = Ω × (0, T ), với T > 0 bất kì, ν là vectơ pháp tuyến đơn vị ngoài Hàm g : I × I ... quy lut no (quy lut truyn nhit tuyn tớnh ca Newton hay quy lut bc x nhit bc bn ca Stefan-Boltzmann chng hn) Khi ú, chỳng ta mụ hỡnh húa cỏc quỏ trỡnh truyn nhit ny nh cỏc bi toỏn ngc xỏc nh quy. .. quy lut truyn nhit tuyn tớnh ca Newton v quy lut bc x nhit phi tuyn bc bn iu kin biờn cú dng u = g(u) gexact (f ), trờn S, vi d kin u vo f cho trc c xỏc nh bi f= uexact + uexact , trờn S Trong. .. (bờn phi) , vi nhiu = 0.01 Hm trng c cho bi (1.34) d oỏn ban u (1.40), iu ny thy rừ hn vi phng phỏp (M2) v nhiu ln = 0.01 Trng hp phi tuyn Trong trng hp ny, chỳng tụi cn thit lp li hm phi tuyn